Kuinka löytää aritmeettisen progression summa: kaavat ja esimerkki niiden käytöstä. Aritmeettinen progressio

Ensimmäinen taso

Aritmeettinen progressio. Yksityiskohtainen teoria esimerkein (2019)

Numerosarja

Istutaan siis alas ja aletaan kirjoittaa numeroita. Esimerkiksi:
Voit kirjoittaa mitä tahansa numeroita, ja niitä voi olla niin monta kuin haluat (meidän tapauksessamme niitä on). Riippumatta siitä, kuinka monta numeroa kirjoitamme, voimme aina sanoa, kumpi on ensimmäinen, kumpi toinen ja niin edelleen viimeiseen asti, eli voimme numeroida ne. Tämä on esimerkki numerosarjasta:

Numerosarja
Esimerkiksi sarjallemme:

Annettu numero koskee vain yhtä numeroa sarjassa. Toisin sanoen sekvenssissä ei ole kolmea sekuntia. Toinen numero (kuten th) on aina sama.
Lukua, jossa on numero, kutsutaan sekvenssin th termiksi.

Kutsumme yleensä koko sarjaa jollakin kirjaimella (esimerkiksi), ja jokainen tämän sekvenssin jäsen on sama kirjain, jonka indeksi on yhtä suuri kuin tämän jäsenen numero: .

Meidän tapauksessamme:

Oletetaan, että meillä on numerosarja, jossa vierekkäisten lukujen välinen ero on sama ja yhtä suuri.
Esimerkiksi:

jne.
Tätä numerosarjaa kutsutaan aritmeettiseksi progressioksi.
Roomalainen kirjailija Boethius esitteli termin "eteneminen" jo 500-luvulla, ja se ymmärrettiin laajemmassa merkityksessä äärettömänä numeerisena sarjana. Nimi "aritmetiikka" siirrettiin jatkuvien suhteiden teoriasta, jota muinaiset kreikkalaiset tutkivat.

Tämä on numerosarja, jonka jokainen jäsen on sama kuin edellinen samaan numeroon lisätty jäsen. Tätä lukua kutsutaan aritmeettisen progression erotukseksi ja se on nimetty.

Yritä määrittää, mitkä numerosarjat ovat aritmeettisia ja mitkä eivät:

a)
b)
c)
d)

Sain sen? Verrataan vastauksiamme:
On aritmeettinen progressio - b, c.
Ei ole aritmeettinen progressio - a, d.

Palataan annettuun etenemiseen () ja yritetään löytää sen :nnen termin arvo. Olemassa kaksi tapa löytää se.

1. Menetelmä

Voimme lisätä etenemisluvun edelliseen arvoon, kunnes saavutamme etenemisen :nnen termin. On hyvä, että meillä ei ole paljon yhteenvetoa - vain kolme arvoa:

Joten kuvatun aritmeettisen etenemisen th termi on yhtä suuri kuin.

2. Menetelmä

Entä jos meidän pitäisi löytää etenemisen :nnen termin arvo? Summaaminen kestäisi meiltä yli tunnin, eikä ole tosiasia, ettemme tekisi virheitä lukujen lisäämisessä.
Tietenkin matemaatikot ovat keksineet tavan, jolla aritmeettisen progression eroa ei tarvitse lisätä edelliseen arvoon. Katso piirrettyä kuvaa tarkemmin... Olet varmasti jo huomannut tietyn kuvion, nimittäin:

Katsotaanpa esimerkiksi, mistä tämän aritmeettisen progression :nnen termin arvo koostuu:


Toisin sanoen:

Yritä itse löytää tietyn aritmeettisen progression jäsenen arvo tällä tavalla.

Laskitko? Vertaa muistiinpanojasi vastaukseen:

Huomaa, että sait täsmälleen saman luvun kuin edellisessä menetelmässä, kun lisäsimme peräkkäin aritmeettisen etenemisen ehdot edelliseen arvoon.
Yritetään "depersonalisoida" tämä kaava- viedään hänet luokse yleinen muoto ja saamme:

Aritmeettinen progressio voi kasvaa tai laskea.

Kasvava- progressiot, joissa jokainen seuraava termien arvo on suurempi kuin edellinen.
Esimerkiksi:

Laskeva- progressiot, joissa jokainen seuraava ehtojen arvo on pienempi kuin edellinen.
Esimerkiksi:

Johdettua kaavaa käytetään termien laskennassa sekä aritmeettisen etenemisen kasvavissa että laskevissa termeissä.
Tarkastetaan tämä käytännössä.
Meille annetaan aritmeettinen progressio, joka koostuu seuraavat numerot: Tarkastetaan, mikä on tämän aritmeettisen progression numero, jos käytämme kaavaamme sen laskemiseen:

Siitä lähtien:

Näin ollen olemme vakuuttuneita siitä, että kaava toimii sekä laskevassa että kasvavassa aritmeettisessa progressiossa.
Yritä löytää itse tämän aritmeettisen etenemisen th ja th termi.

Verrataanpa tuloksia:

Aritmeettisen progression ominaisuus

Monimutkaistaan ​​ongelmaa - johdamme aritmeettisen etenemisen ominaisuuden.
Oletetaan, että meille annetaan seuraava ehto:
- aritmeettinen progressio, löydä arvo.
Helppoa, sanot ja alat laskea jo tuntemasi kaavan mukaan:

Ah, sitten:

Aivan oikeassa. Osoittautuu, että löydämme ensin, sitten lisäämme sen ensimmäiseen numeroon ja saamme etsimämme. Jos etenemistä edustavat pienet arvot, niin siinä ei ole mitään monimutkaista, mutta entä jos ehtoon annetaan numeroita? Hyväksy, että laskelmissa on mahdollista tehdä virhe.
Mieti nyt, onko mahdollista ratkaista tämä ongelma yhdessä vaiheessa millä tahansa kaavalla? Tietysti kyllä, ja sitä yritämme nyt tuoda esiin.

Merkitään aritmeettisen progression vaadittu termi kuten, sen löytämisen kaava on meille tiedossa - tämä on sama kaava, jonka johdimme alussa:
, Sitten:

• etenemisen edellinen termi on:
• etenemisen seuraava termi on:

Tehdään yhteenvetona etenemisen edellinen ja myöhemmät ehdot:

Osoittautuu, että etenemisen edellisen ja seuraavien ehtojen summa on niiden välissä olevan etenemistermin kaksinkertainen arvo. Toisin sanoen, jos haluat löytää etenemistermin arvon tunnetuilla aikaisemmilla ja peräkkäisillä arvoilla, sinun on lisättävä ne ja jaettava arvolla.

Aivan oikein, meillä on sama numero. Varmistetaan materiaali. Laske etenemisen arvo itse, se ei ole ollenkaan vaikeaa.

Hyvin tehty! Tiedät melkein kaiken edistymisestä! Jäljelle jää vain yksi kaava, jonka legendan mukaan yksi kaikkien aikojen suurimmista matemaatikoista, "matemaatikoiden kuningas" - Karl Gauss - päätteli helposti...

Kun Carl Gauss oli 9-vuotias, opettaja, joka oli kiireinen tarkistamassa muiden luokkien opiskelijoiden työtä, kysyi luokassa seuraava tehtävä: "Laske kaikkien luonnollisten lukujen summa alkaen - (muiden lähteiden mukaan) mukaan lukien." Kuvittele opettajan yllätys, kun yksi hänen oppilaistaan ​​(tämä oli Karl Gauss) minuutti myöhemmin antoi oikean vastauksen tehtävään, kun taas suurin osa urhoollisen luokkatovereista sai pitkien laskelmien jälkeen väärän tuloksen...

Nuori Carl Gauss huomasi tietyn kuvion, jonka sinäkin huomaat helposti.
Oletetaan, että meillä on aritmeettinen progressio, joka koostuu -:nnestä termistä: Meidän on löydettävä aritmeettisen etenemisen näiden termien summa. Tietysti voimme manuaalisesti summata kaikki arvot, mutta entä jos tehtävä edellyttää ehtojensa summan löytämistä, kuten Gauss etsi?

Kuvataanpa meille annettua kehitystä. Tarkastele korostettuja lukuja tarkemmin ja yritä suorittaa niillä erilaisia ​​matemaattisia operaatioita.


Oletko kokeillut sitä? Mitä huomasit? Oikein! Niiden summat ovat yhtä suuret

Kerro nyt minulle, kuinka monta tällaista paria meille annetussa etenemisessä on yhteensä? Tietysti tarkalleen puolet kaikista luvuista.
Perustuen siihen tosiasiaan, että aritmeettisen etenemisen kahden ehdon summa on yhtä suuri ja samanlaiset parit yhtä suuret, saadaan, että kokonaissumma on yhtä suuri:
.
Siten minkä tahansa aritmeettisen etenemisen ensimmäisten termien summan kaava on:

Joissakin tehtävissä emme tunne th termiä, mutta tiedämme etenemisen eron. Yritä korvata th termin kaava summakaavalla.
Mitä sinä sait?

Hyvin tehty! Palataan nyt Carl Gaussille esitettyyn ongelmaan: laske itse, mikä on th:stä alkavien lukujen summa ja th:stä alkavien lukujen summa.

Kuinka paljon sait?
Gauss havaitsi, että termien summa on yhtä suuri ja termien summa. Näinkö sinä päätit?

Itse asiassa antiikin kreikkalainen tiedemies Diophantus osoitti aritmeettisen etenemisen ehtojen summan kaavan 300-luvulla, ja koko tämän ajan nokkelat ihmiset käyttivät täysimääräisesti aritmeettisen etenemisen ominaisuuksia.
Kuvittele esimerkiksi Muinainen Egypti ja sen ajan suurin rakennusprojekti - pyramidin rakentaminen... Kuvassa sen toinen puoli.

Missä tässä on kehitys, sanotteko? Katso huolellisesti ja löydä kuvio hiekkalohkojen määrästä pyramidiseinän jokaisella rivillä.


Miksei aritmeettinen progressio? Laske kuinka monta lohkoa tarvitaan yhden seinän rakentamiseen, jos tiilet laitetaan pohjaan. Toivottavasti et laske, kun liikutat sormeasi näytön poikki, muistatko viimeisen kaavan ja kaiken, mitä sanoimme aritmeettisesta etenemisestä?

Tässä tapauksessa eteneminen näyttää tältä: .
Aritmeettinen etenemisero.
Aritmeettisen progression termien lukumäärä.
Korvataan tietomme viimeisiin kaavoihin (laske lohkojen määrä kahdella tavalla).

Menetelmä 1.

Menetelmä 2.

Ja nyt voit laskea näytöllä: vertailla saatuja arvoja pyramidissamme olevien lohkojen lukumäärään. Sain sen? Hyvin tehty, olet hallinnut aritmeettisen progression n:nnen jäsenen summan.
Tietenkään et voi rakentaa pyramidia pohjassa olevista lohkoista, mutta? Yritä laskea kuinka monta hiekkatiiliä tarvitaan seinän rakentamiseen tällä ehdolla.
Onnistuitko?
Oikea vastaus on lohkot:

Koulutus

Tehtävät:

1. Masha on alkamassa kuntoon kesäksi. Joka päivä hän lisää kyykkyjen määrää. Kuinka monta kertaa Masha tekee kyykkyjä viikossa, jos hän teki kyykkyn ensimmäisessä harjoituksessa?
2. Mikä on kaikkien mukana olevien parittomien lukujen summa.
3. Tukkeja tallennettaessa metsuri pinoaa ne siten, että jokaisessa yläkerroksessa on yksi tuki vähemmän kuin edellinen. Kuinka monta hirsiä on yhdessä muurauksessa, jos muurauksen perusta on hirsiä?

Vastaukset:

1. Määritellään aritmeettisen progression parametrit. Tässä tapauksessa
   (viikot = päivät).

   Vastaus: Kahden viikon kuluttua Mashan tulisi tehdä kyykkyjä kerran päivässä.

2. Ensimmäinen pariton numero, viimeinen numero.
   Aritmeettinen etenemisero.
   Parittomien lukujen määrä on puolet, mutta tarkistetaan tämä fakta käyttämällä kaavaa aritmeettisen progression :nnen termin löytämiseksi:

   Numerot sisältävät parittomat numerot.
   Korvataan käytettävissä olevat tiedot kaavaan:

   Vastaus: Kaikkien mukana olevien parittomien lukujen summa on yhtä suuri.

3. Muistakaamme ongelma pyramideista. Meidän tapauksessamme a , koska jokaista päällimmäistä kerrosta pienennetään yhdellä tukilla, niin kerroksia on yhteensä nippu, eli.
   Korvataan tiedot kaavaan:

   Vastaus: Muurauksessa on tukkeja.

Tehdään se yhteenveto

1. - numerosarja, jossa vierekkäisten lukujen välinen ero on sama ja yhtä suuri. Se voi kasvaa tai laskea.
2. Kaavan löytäminen Aritmeettisen jakson th termi kirjoitetaan kaavalla - , jossa on etenemisen numeroiden lukumäärä.
3. Aritmeettisen progression jäsenten ominaisuus- - missä on etenevien numeroiden lukumäärä.
4. Aritmeettisen progression ehtojen summa löytyy kahdella tavalla:
   
   , missä on arvojen määrä.

ARITMEETTINEN EDISTYMINEN. KESKITASO

Numerosarja

Istutaan alas ja aletaan kirjoittaa numeroita. Esimerkiksi:

Voit kirjoittaa mitä tahansa numeroita, ja niitä voi olla niin monta kuin haluat. Mutta voimme aina sanoa, kumpi on ensimmäinen, kumpi toinen ja niin edelleen, eli voimme numeroida ne. Tämä on esimerkki numerosarjasta.

Numerosarja on joukko numeroita, joille jokaiselle voidaan määrittää yksilöllinen numero.

Toisin sanoen jokainen luku voidaan liittää tiettyyn luonnolliseen numeroon ja ainutlaatuiseen numeroon. Emmekä määritä tätä numeroa millekään muulle tämän sarjan numerolle.

Numeroa sisältävää numeroa kutsutaan sekvenssin :nneksi jäseneksi.

Kutsumme yleensä koko sarjaa jollakin kirjaimella (esimerkiksi), ja jokainen tämän sekvenssin jäsen on sama kirjain, jonka indeksi on yhtä suuri kuin tämän jäsenen numero: .

On erittäin kätevää, jos sekvenssin th termi voidaan määrittää jollakin kaavalla. Esimerkiksi kaava

asettaa järjestyksen:

Ja kaava on seuraava järjestys:

Esimerkiksi aritmeettinen progressio on sekvenssi (ensimmäinen termi tässä on yhtä suuri ja ero on). Tai (, ero).

n:nnen termin kaava

Kutsumme kaavaa toistuvaksi, jossa :nnen termin selvittämiseksi sinun on tiedettävä edellinen tai useita aikaisempia:

Löytääksemme esimerkiksi etenemisen :nnen termin tällä kaavalla, meidän on laskettava edelliset yhdeksän. Antaa esimerkiksi. Sitten:

No, onko nyt selvää, mikä kaava on?

Jokaisella rivillä, jonka lisäämme, kerrottuna jollakin numerolla. Kumpi? Hyvin yksinkertainen: tämä on nykyisen jäsenen numero miinus:

Paljon kätevämpää nyt, eikö? Tarkistamme:

Päätä itse:

Etsi aritmeettisesta progressiosta kaava n:nnelle termille ja löydä sadas termi.

Ratkaisu:

Ensimmäinen termi on yhtä suuri. Mikä on ero? Tässä on mitä:

(Tästä syystä sitä kutsutaan erotukseksi, koska se on yhtä suuri kuin etenemisen peräkkäisten termien erotus).

Eli kaava:

Sitten sadas termi on yhtä suuri:

Mikä on kaikkien luonnollisten lukujen summa välillä -?

Legendan mukaan suuri matemaatikko Carl Gauss laski 9-vuotiaana tämän summan muutamassa minuutissa. Hän huomasi, että ensimmäisen ja viimeisen luvun summa on yhtä suuri, toisen ja toiseksi viimeisen luvun summa on sama, kolmannen ja kolmannen lopun summa on sama ja niin edelleen. Kuinka monta tällaista paria on yhteensä? Aivan oikein, tasan puolet kaikista numeroista. Niin,

Yleinen kaava minkä tahansa aritmeettisen etenemisen ensimmäisten termien summalle on:

Esimerkki:
Etsi kaikkien kaksinumeroisten kerrannaisten summa.

Ratkaisu:

Ensimmäinen tällainen numero on tämä. Jokainen seuraava numero saadaan lisäämällä edelliseen numeroon. Siten luvut, joista olemme kiinnostuneita, muodostavat aritmeettisen progression ensimmäisellä termillä ja erolla.

Tämän etenemisen th termin kaava:

Kuinka monta termiä on etenemisessä, jos niiden kaikkien on oltava kaksinumeroisia?

Erittäin helppoa: .

Etenemisen viimeinen termi on yhtä suuri. Sitten summa:

Vastaus:.

Päätä nyt itse:

1. Urheilija juoksee joka päivä enemmän metrejä kuin edellisenä päivänä. Kuinka monta kilometriä hän juoksee yhteensä viikossa, jos hän juoksi km m ensimmäisenä päivänä?
2. Pyöräilijä ajaa joka päivä enemmän kilometrejä kuin edellisenä päivänä. Ensimmäisenä päivänä hän matkusti km. Kuinka monta päivää hän tarvitsee matkustaakseen kilometrin? Kuinka monta kilometriä hän matkustaa matkansa viimeisenä päivänä?
3. Jääkaapin hinta kaupassa laskee saman verran joka vuosi. Määritä, kuinka paljon jääkaapin hinta laski vuosittain, jos se myytiin ruplilla kuusi vuotta myöhemmin.

Vastaukset:

1. Tärkeintä tässä on tunnistaa aritmeettinen eteneminen ja määrittää sen parametrit. Tässä tapauksessa (viikot = päivät). Sinun on määritettävä tämän etenemisen ensimmäisten ehtojen summa:
   .
   Vastaus:
2. Tässä se annetaan: , täytyy löytää.
   Ilmeisesti sinun on käytettävä samaa summakaavaa kuin edellisessä tehtävässä:
   .
   Korvaa arvot:

   Juuri ei ilmeisesti sovi, joten vastaus on.
   Lasketaan viimeisen päivän aikana kuljettu polku th termin kaavalla:
   (km).
   Vastaus:

3. Annettu: . Löytö: .
   Se ei voisi olla yksinkertaisempaa:
   (hieroa).
   Vastaus:

ARITMEETTINEN EDISTYMINEN. LYHYESTI PÄÄASIJOISTA

Tämä on numerosarja, jossa vierekkäisten lukujen välinen ero on sama ja yhtä suuri.

Aritmeettinen eteneminen voi olla kasvava () ja laskeva ().

Esimerkiksi:

Kaava aritmeettisen progression n:nnen termin löytämiseksi

kirjoitetaan kaavalla, jossa on etenevien numeroiden lukumäärä.

Aritmeettisen progression jäsenten ominaisuus

Sen avulla voit helposti löytää etenemisen termin, jos sen viereiset termit tunnetaan - missä on etenemisen numeroiden lukumäärä.

Aritmeettisen progression termien summa

On kaksi tapaa löytää summa:

Missä on arvojen määrä.

Missä on arvojen määrä.

No, aihe on ohi. Jos luet näitä rivejä, se tarkoittaa, että olet erittäin siisti.

Koska vain 5% ihmisistä pystyy hallitsemaan jotain itse. Ja jos luet loppuun, olet tässä 5 %:ssa!

Nyt se tärkein asia.

Olet ymmärtänyt tämän aiheen teorian. Ja toistan, tämä... tämä on aivan super! Olet jo parempi kuin suurin osa ikäisistäsi.

Ongelmana on, että tämä ei ehkä riitä...

Minkä vuoksi?

varten onnistunut valmistuminen Unified State Exam, pääsy korkeakouluun budjetilla ja, TÄRKEIMMÄN, elinikäinen.

En vakuuta sinua mistään, sanon vain yhden asian...

Ihmiset, jotka saivat hyvä koulutus, ansaitsevat paljon enemmän kuin ne, jotka eivät saaneet sitä. Tämä on tilastoa.

Mutta tämä ei ole pääasia.

Pääasia, että he ovat ONNELISEMME (sellaisia ​​tutkimuksia on). Ehkä siksi, että heidän edessään on paljon avoimempaa lisää mahdollisuuksia ja elämästä tulee valoisampaa? En tiedä...

Mutta ajattele itse...

Mitä tarvitaan, jotta voit olla varmasti parempi kuin muut Unified State -kokeessa ja lopulta... onnellisempi?

SAADA KÄSI RATKAISEMME ONGELMIA TÄSTÄ AIHESTA.

Sinulta ei kysytä teoriaa kokeen aikana.

Tarvitset ratkaista ongelmia aikaa vastaan.

Ja jos et ole ratkaissut niitä (PALJON!), teet varmasti tyhmän virheen jossain tai sinulla ei yksinkertaisesti ole aikaa.

Se on kuin urheilussa - sinun täytyy toistaa se monta kertaa voittaaksesi varmasti.

Löydä kokoelma missä haluat, välttämättä ratkaisuilla, yksityiskohtainen analyysi ja päätä, päätä, päätä!

Voit käyttää tehtäviämme (valinnainen) ja me tietysti suosittelemme niitä.

Jotta voisit paremmin käyttää tehtäviämme, sinun on pidennettävä parhaillaan lukemasi YouClever-oppikirjan käyttöikää.

Miten? Vaihtoehtoja on kaksi:

1. Avaa kaikki tämän artikkelin piilotetut tehtävät - 299 hieroa.
2. Avaa pääsy kaikkiin piilotettuihin tehtäviin kaikissa oppikirjan 99 artikkelissa - 999 hieroa.

Kyllä, meillä on 99 tällaista artikkelia oppikirjassamme ja pääsy kaikkiin tehtäviin ja kaikille piilotetut tekstit ne voidaan avata heti.

Toisessa tapauksessa me annamme sinulle simulaattori "6000 ongelmaa ratkaisuineen ja vastauksineen, kullekin aiheelle, kaikilla monimutkaisuuden tasoilla." Se riittää varmasti käsiksi ongelmien ratkaisemiseen mistä tahansa aiheesta.

Itse asiassa tämä on paljon enemmän kuin pelkkä simulaattori - koko koulutusohjelma. Tarvittaessa voit käyttää sitä myös ILMAISEKSI.

Pääsy kaikkiin teksteihin ja ohjelmiin tarjotaan koko sivuston olemassaolon ajan.

Tiivistettynä...

Jos et pidä tehtävistämme, etsi muita. Älä vain pysähdy teoriaan.

"Ymmärretty" ja "osaan ratkaista" ovat täysin eri taitoja. Tarvitset molemmat.

Etsi ongelmia ja ratkaise ne!

Aritmeettisen progression ongelmia oli jo muinaisina aikoina. He ilmestyivät ja vaativat ratkaisua, koska heillä oli käytännön tarve.

Joten, yhdessä papyruksista Muinainen Egypti", jolla on matemaattinen sisältö - Rhind-papyrus (1800-luvulla eKr.) - sisältää seuraavan tehtävän: jaa kymmenen mittaa leipää kymmenelle ihmiselle, edellyttäen, että jokaisen ero on kahdeksasosa mittasta."

Ja muinaisten kreikkalaisten matemaattisissa teoksissa on elegantteja lauseita, jotka liittyvät aritmeettiseen etenemiseen. Niinpä Hypsicles of Alexandria (2. vuosisadalla, joka kokosi monia mielenkiintoisia tehtäviä ja lisäsi neljäntoista kirjan Eukleideen elementteihin) muotoili ajatuksen: "Aritmeettisessa progressiossa, jossa on parillinen määrä termejä, toisen puoliskon termien summa on suurempi kuin 1/2 jäsenmäärän neliön ehtojen summa."

Jakso on merkitty an. Jakson numeroita kutsutaan sen jäseniksi, ja niitä merkitään yleensä kirjaimilla ja indekseillä, jotka osoittavat tämän jäsenen sarjanumeron (a1, a2, a3 ... lue: "a 1st", "a 2nd", "a 3rd" ja niin edelleen).

Sarja voi olla ääretön tai äärellinen.

Mikä on aritmeettinen progressio? Sillä tarkoitetaan sitä, joka saadaan lisäämällä edellinen termi (n), jolla on sama luku d, joka on etenemisen erotus.

Jos d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, tämän etenemisen katsotaan kasvavan.

Aritmeettista progressiota kutsutaan äärelliseksi, jos vain sen ensimmäiset termit otetaan huomioon. Hyvin suuria määriä jäseniä on jo loputon edistysaskel.

Mikä tahansa aritmeettinen progressio määritellään seuraavalla kaavalla:

an =kn+b, kun taas b ja k ovat joitain lukuja.

Päinvastainen väite on täysin totta: jos sekvenssi annetaan samanlaisella kaavalla, se on täsmälleen aritmeettinen progressio, jolla on ominaisuudet:

1. Jokainen progression termi on edellisen ja seuraavan termin aritmeettinen keskiarvo.
2. Päinvastoin: jos kukin termi on 2:sta alkaen edellisen ja seuraavan termin aritmeettinen keskiarvo, ts. jos ehto täyttyy, tämä sarja on aritmeettinen progressio. Tämä tasa-arvo on myös merkki etenemisestä, minkä vuoksi sitä yleensä kutsutaan etenemisen tunnusomaiseksi ominaisuudeksi.
   Samalla tavalla tätä ominaisuutta heijastava lause on tosi: jono on aritmeettinen progressio vain, jos tämä yhtälö on tosi jollekin sekvenssin termistä alkaen 2.:sta.

Aritmeettisen jakson minkä tahansa neljän luvun ominaisominaisuus voidaan ilmaista kaavalla an + am = ak + al, jos n + m = k + l (m, n, k ovat progressiolukuja).

Aritmeettisessa progressiossa mikä tahansa tarvittava (N:s) termi voidaan löytää käyttämällä seuraavaa kaavaa:

Esimerkiksi: aritmeettisen progression ensimmäinen termi (a1) on annettu ja yhtä suuri kuin kolme, ja erotus (d) on neljä. Sinun on löydettävä tämän etenemisen neljäskymmenesviides termi. a45 = 1+4(45-1)=177

Kaavan an = ak + d(n - k) avulla voit määrittää aritmeettisen etenemisen n:nnen jäsenen minkä tahansa k:nnen ehdon kautta, jos se tunnetaan.

Aritmeettisen progression termien summa (eli 1. n termiä rajallinen eteneminen) lasketaan seuraavasti:

Sn = (a1+an) n/2.

Jos myös ensimmäinen termi tunnetaan, toinen kaava on kätevä laskemiseen:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Aritmeettisen progression summa, joka sisältää n termiä, lasketaan seuraavasti:

Laskelmien kaavojen valinta riippuu tehtävien ehdoista ja lähtötiedoista.

Minkä tahansa numeron luonnollinen sarja, kuten 1,2,3,...,n,...- yksinkertaisin esimerkki aritmeettinen progressio.

Aritmeettisen progression lisäksi on olemassa myös geometrinen progressio, jolla on omat ominaisuutensa ja ominaisuutensa.

No, ystävät, jos luet tätä tekstiä, niin sisäinen cap-todisteet kertovat minulle, että et vielä tiedä mitä aritmeettinen progressio on, mutta todella (ei, niin: SOOOOO!) haluat tietää. Siksi en kiusaa teitä pitkillä esittelyillä ja menen suoraan asiaan.

Ensin pari esimerkkiä. Katsotaanpa useita lukujoukkoja:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Mitä yhteistä kaikilla näillä sarjoilla on? Ensi silmäyksellä ei mitään. Mutta itse asiassa on jotain. Nimittäin: jokainen seuraava elementti eroaa edellisestä samalla numerolla.

Tuomari itse. Ensimmäinen joukko on yksinkertaisesti peräkkäisiä numeroita, joista jokainen on yksi enemmän kuin edellinen. Toisessa tapauksessa vierekkäisten lukujen välinen ero on jo viisi, mutta tämä ero on edelleen vakio. Kolmannessa tapauksessa juuret ovat kokonaan. Kuitenkin $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ ja $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, ts. ja tässä tapauksessa jokainen seuraava elementti yksinkertaisesti kasvaa $\sqrt(2)$ (äläkä pelkää, että tämä luku on irrationaalinen).

Joten: kaikkia tällaisia ​​sekvenssejä kutsutaan aritmeettisiksi progressioiksi. Annetaan tiukka määritelmä:

Määritelmä. Lukusarjaa, jossa jokainen seuraava eroaa edellisestä täsmälleen saman verran, kutsutaan aritmeettiseksi progressioksi. Juuri sitä määrää, jolla numerot eroavat, kutsutaan etenemiseroksi, ja sitä merkitään useimmiten kirjaimella $d$.

Merkintä: $\left(((a)_(n)) \right)$ on itse eteneminen, $d$ on sen erotus.

Ja vain pari tärkeää huomautusta. Ensinnäkin etenemistä tarkastellaan vain tilattu numerosarja: ne saa lukea tiukasti siinä järjestyksessä, jossa ne on kirjoitettu - eikä mitään muuta. Numeroita ei voi järjestää uudelleen tai vaihtaa.

Toiseksi itse sekvenssi voi olla joko äärellinen tai ääretön. Esimerkiksi joukko (1; 2; 3) on ilmeisesti äärellinen aritmeettinen progressio. Mutta jos kirjoitat jotain hengessä (1; 2; 3; 4; ...) - tämä on jo ääretön kehitys. Neljän jälkeinen ellipsi näyttää vihjaavan, että lukuja on tulossa vielä muutama. Esimerkiksi äärettömän monta. :)

Haluaisin myös huomauttaa, että eteneminen voi lisääntyä tai laskea. Olemme jo nähneet kasvavia - sama joukko (1; 2; 3; 4; ...). Tässä on esimerkkejä etenemisen hidastumisesta:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Okei, okei: viimeinen esimerkki saattaa tuntua liian monimutkaiselta. Mutta loput, luulen, että ymmärrät. Siksi otamme käyttöön uusia määritelmiä:

Määritelmä. Aritmeettista progressiota kutsutaan:

1. kasvaa, jos jokainen seuraava elementti on suurempi kuin edellinen;
2. vähenee, jos päinvastoin jokainen seuraava elementti on pienempi kuin edellinen.

Lisäksi on niin kutsuttuja "kiinteitä" sekvenssejä - ne koostuvat samasta toistuvasta numerosta. Esimerkiksi (3; 3; 3; ...).

Jäljelle jää vain yksi kysymys: kuinka erottaa kasvava eteneminen laskevasta? Onneksi täällä kaikki riippuu vain luvun $d$ merkistä, ts. etenemiserot:

1. Jos $d \gt 0$, niin eteneminen kasvaa;
2. Jos $d \lt 0$, niin eteneminen on ilmeisesti vähenemässä;
3. Lopuksi on tapaus $d=0$ - tässä tapauksessa koko eteneminen pelkistetään identtisten lukujen kiinteään sarjaan: (1; 1; 1; 1; ...) jne.

Yritetään laskea ero $d$ kolmelle yllä annetulle laskevalle progressiolle. Tätä varten riittää, että otat kaksi vierekkäistä elementtiä (esimerkiksi ensimmäinen ja toinen) ja vähennät vasemmanpuoleisen numeron oikeasta numerosta. Se näyttää tältä:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Kuten näemme, kaikissa kolmessa tapauksessa ero osoittautui itse asiassa negatiiviseksi. Ja nyt kun olemme enemmän tai vähemmän selvittäneet määritelmät, on aika selvittää, miten edistymistä kuvataan ja mitä ominaisuuksia niillä on.

Etenemistermit ja toistumiskaava

Koska sekvenssiemme elementtejä ei voi vaihtaa, ne voidaan numeroida:

\[\vasen(((a)_(n)) \oikea)=\vasen\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \oikea\)\]

Tämän joukon yksittäisiä elementtejä kutsutaan etenemisen jäseniksi. Ne on merkitty numerolla: ensimmäinen jäsen, toinen jäsen jne.

Lisäksi, kuten jo tiedämme, etenemisen naapuritermit liittyvät toisiinsa kaavalla:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Lyhyesti sanottuna, jotta voit löytää etenemisen $n$:nnen termin, sinun on tiedettävä $n-1$:s termi ja ero $d$. Tätä kaavaa kutsutaan toistuvaksi, koska sen avulla voit löytää minkä tahansa luvun vain tuntemalla edellisen (ja itse asiassa kaikki edelliset). Tämä on erittäin hankalaa, joten on olemassa ovelampi kaava, joka vähentää kaikki laskelmat ensimmäiseen termiin ja eroon:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\vasen(n-1 \oikea)d\]

Olet luultavasti jo törmännyt tähän kaavaan. He haluavat antaa sen kaikenlaisissa hakuteoksissa ja ratkaisukirjoissa. Ja missä tahansa järkevässä matematiikan oppikirjassa se on yksi ensimmäisistä.

Suosittelen kuitenkin harjoittelemaan vähän.

Tehtävä nro 1. Kirjoita muistiin aritmeettisen progression $\left(((a)_(n)) \right)$ kolme ensimmäistä termiä, jos $((a)_(1))=8,d=-5$.

Ratkaisu. Tiedämme siis ensimmäisen termin $((a)_(1))=8$ ja etenemisen erotuksen $d=-5$. Käytetään juuri annettua kaavaa ja korvataan $n=1$, $n=2$ ja $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\vasen(1-1 \oikea)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\vasen(2-1 \oikea)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\vasen(3-1 \oikea)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(tasaa)\]

Vastaus: (8; 3; -2)

Siinä kaikki! Huomaa: edistymisemme on laskussa.

Tietenkään $n=1$ ei voitu korvata - ensimmäinen termi on jo meille tiedossa. Korvaamalla yhtenäisyyden, olimme kuitenkin vakuuttuneita siitä, että kaavamme toimii jo ensimmäisellä termillä. Muissa tapauksissa kaikki meni banaaliin aritmetiikkaan.

Tehtävä nro 2. Kirjoita muistiin aritmeettisen progression kolme ensimmäistä termiä, jos sen seitsemäs termi on −40 ja seitsemästoista termi on −50.

Ratkaisu. Kirjoitetaan ongelmatilanne tutuin termein:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(tasaa) \oikea.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(tasaa) \oikein.\]

Laitoin järjestelmämerkin, koska nämä vaatimukset on täytettävä samanaikaisesti. Huomaa nyt, että jos vähennämme ensimmäisen toisesta yhtälöstä (meillä on oikeus tehdä tämä, koska meillä on järjestelmä), saamme tämän:

\[\begin(tasaa) & ((a)_(1))+16d-\vasen(((a)_(1))+6d \oikea)=-50-\vasen(-40 \oikea); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(tasaa)\]

Näin helppoa on löytää etenemisero! Jäljelle jää vain korvaamalla löydetty luku mihin tahansa järjestelmän yhtälöön. Esimerkiksi ensimmäisessä:

\[\begin(matriisi) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matriisi)\]

Nyt, kun tiedät ensimmäisen termin ja eron, on vielä löydettävä toinen ja kolmas termi:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(tasaa)\]

Valmis! Ongelma on ratkaistu.

Vastaus: (-34; -35; -36)

Huomaa etenemisen mielenkiintoinen ominaisuus, jonka löysimme: jos otamme $n$th- ja $m$th-termit ja vähennämme ne toisistaan, saadaan etenemisen erotus kerrottuna $n-m$-luvulla:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

Yksinkertaista mutta erittäin hyödyllinen omaisuus, joka sinun on ehdottomasti tiedettävä - sen avulla voit nopeuttaa merkittävästi monien etenemisongelmien ratkaisua. Tässä on selkeä esimerkki tästä:

Tehtävä nro 3. Aritmeettisen progression viides termi on 8,4 ja kymmenes termi 14,4. Etsi tämän etenemisen viidestoista termi.

Ratkaisu. Koska $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$ ja meidän on löydettävä $((a)_(15))$, huomioimme seuraavat:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(tasaa)\]

Mutta ehdolla $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, siis $5d=6$, josta meillä on:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(tasaa)\]

Vastaus: 20.4

Siinä kaikki! Meidän ei tarvinnut luoda yhtälöjärjestelmiä ja laskea ensimmäistä termiä ja eroa - kaikki ratkesi vain parilla rivillä.

Katsotaan nyt toisen tyyppistä ongelmaa - etenemisen negatiivisten ja positiivisten termien etsimistä. Ei ole mikään salaisuus, että jos eteneminen kasvaa ja sen ensimmäinen termi on negatiivinen, niin ennemmin tai myöhemmin positiivisia termejä ilmestyy siihen. Ja päinvastoin: vähenevän etenemisen ehdot muuttuvat ennemmin tai myöhemmin negatiivisiksi.

Samanaikaisesti tätä hetkeä ei aina ole mahdollista löytää "päässä" käymällä elementtejä peräkkäin. Usein tehtävät kirjoitetaan niin, että kaavoja tuntematta laskelmat vaativat useita paperiarkkeja – nukahdimme yksinkertaisesti, kun löytäisimme vastauksen. Siksi yritetään ratkaista nämä ongelmat nopeammin.

Tehtävä nro 4. Kuinka monta negatiivista termiä on aritmeettisessa progressiossa −38,5; −35,8; ...?

Ratkaisu. Joten $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, josta löydämme heti eron:

Huomaa, että ero on positiivinen, joten eteneminen kasvaa. Ensimmäinen termi on negatiivinen, joten todellakin jossain vaiheessa törmäämme positiivisiin lukuihin. Ainoa kysymys on, milloin tämä tapahtuu.

Yritetään selvittää: mihin asti (eli mihin asti luonnollinen luku$n$) ehtojen negatiivisuus säilyy:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Nuoli oikealle ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \oikea. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Oikea nuoli ((n)_(\max ))=15. \\ \end(tasaa)\]

Viimeinen rivi vaatii selitystä. Tiedämme siis, että $n \lt 15\frac(7)(27)$. Toisaalta tyydymme vain luvun kokonaislukuarvoihin (lisäksi: $n\in \mathbb(N)$), joten suurin sallittu luku on juuri $n=15$, eikä missään tapauksessa 16 .

Tehtävä nro 5. Aritmeettisessa progressiossa $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Etsi tämän etenemisen ensimmäisen positiivisen termin numero.

Tämä olisi täsmälleen sama ongelma kuin edellinen, mutta emme tiedä $((a)_(1))$. Mutta viereiset termit tunnetaan: $((a)_(5))$ ja $((a)_(6))$, joten voimme helposti löytää etenemisen eron:

Lisäksi yritetään ilmaista viides termi ensimmäisen kautta ja erotus käyttämällä standardikaavaa:

\[\begin(tasaa) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1)) = -150-12 = -162. \\ \end(tasaa)\]

Jatketaan nyt analogisesti edellisen tehtävän kanssa. Selvitetään, missä vaiheessa sarjaamme positiiviset luvut ilmestyvät:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56. \\ \end(tasaa)\]

Tämän epäyhtälön pienin kokonaislukuratkaisu on luku 56.

Huomaa: viimeisessä tehtävässä kaikki meni tiukkaan epätasa-arvoon, joten vaihtoehto $n=55$ ei sovi meille.

Nyt kun olemme oppineet ratkaisemaan yksinkertaisia ​​ongelmia, siirrytään monimutkaisempiin. Mutta ensin tutkitaan toista erittäin hyödyllistä aritmeettisen progression ominaisuutta, joka säästää meiltä paljon aikaa ja epätasaisia ​​soluja tulevaisuudessa. :)

Aritmeettinen keskiarvo ja yhtäläiset sisennykset

Tarkastellaan useita peräkkäisiä termejä kasvavasta aritmeettisesta progressiosta $\left(((a)_(n)) \right)$. Yritetään merkitä ne numeroriville:

Merkitsin nimenomaan mielivaltaiset termit $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, en joitain $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ jne. Koska sääntö, josta kerron sinulle nyt, toimii samoin kaikille "segmenteille".

Ja sääntö on hyvin yksinkertainen. Muistetaan toistuva kaava ja kirjoitetaan se ylös kaikille merkityille termeille:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(tasaa)\]

Nämä yhtäläisyydet voidaan kuitenkin kirjoittaa eri tavalla:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(tasaa)\]

No, mitä sitten? Ja se tosiasia, että termit $((a)_(n-1))$ ja $((a)_(n+1))$ ovat samalla etäisyydellä kohteesta $((a)_(n)) $ . Ja tämä etäisyys on yhtä suuri kuin $d$. Samaa voidaan sanoa termeistä $((a)_(n-2))$ ja $((a)_(n+2))$ - ne on myös poistettu termistä $((a)_(n) )$ samalla etäisyydellä kuin $2d$. Voimme jatkaa loputtomiin, mutta merkitys havainnollistaa hyvin kuvasta

Mitä tämä tarkoittaa meille? Tämä tarkoittaa, että $((a)_(n))$ löytyy, jos naapuriluvut tunnetaan:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Olemme johtaneet erinomaisen väitteen: aritmeettisen progression jokainen termi on yhtä suuri kuin sen viereisten termien aritmeettinen keskiarvo! Lisäksi: voimme siirtyä takaisin $((a)_(n))$:sta vasemmalle ja oikealle, ei yhden askeleen, vaan $k$ askeleen - ja kaava pysyy silti oikein:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Nuo. voimme helposti löytää $((a)_(150))$, jos tiedämme $((a)_(100))$ ja $((a)_(200))$, koska $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Ensi silmäyksellä saattaa tuntua, että tämä tosiasia ei anna meille mitään hyödyllistä. Käytännössä monet tehtävät on kuitenkin räätälöity erityisesti käyttämään aritmeettista keskiarvoa. Katso:

Tehtävä nro 6. Etsi kaikki arvot $x$, joille luvut $-6((x)^(2))$, $x+1$ ja $14+4((x)^(2))$ ovat peräkkäisiä termejä aritmeettinen progressio (ilmoitetussa järjestyksessä).

Ratkaisu. Koska nämä luvut ovat progression jäseniä, aritmeettisen keskiarvon ehto täyttyy niille: keskuselementti $x+1$ voidaan ilmaista vierekkäisillä alkioilla:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(tasaa)\]

Tuloksena on klassinen toisen asteen yhtälö. Sen juuret: $x=2$ ja $x=-3$ ovat vastaukset.

Vastaus: −3; 2.

Tehtävä nro 7. Etsi $$:n arvot, joille luvut $-1;4-3;(()^(2))+1$ muodostavat aritmeettisen progression (tässä järjestyksessä).

Ratkaisu. Ilmaistaan ​​taas keskimääräinen jäsen viereisten termien aritmeettisen keskiarvon kautta:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \right.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(tasaa)\]

Jälleen toisen asteen yhtälö. Ja taas on kaksi juuria: $x=6$ ja $x=1$.

Vastaus: 1; 6.

Jos ongelman ratkaisemisen aikana keksit raakoja numeroita tai et ole täysin varma löydettyjen vastausten oikeellisuudesta, on olemassa upea tekniikka, jonka avulla voit tarkistaa: olemmeko ratkaisseet ongelman oikein?

Oletetaan, että tehtävässä nro 6 saimme vastaukset −3 ja 2. Kuinka voimme tarkistaa, että nämä vastaukset ovat oikein? Kytketään ne alkuperäiseen tilaan ja katsotaan mitä tapahtuu. Muistutan, että meillä on kolme numeroa ($-6(()^(2))$, $+1$ ja $14+4(()^(2))$), joiden on muodostettava aritmeettinen progressio. Korvataan $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(tasaa)\]

Saimme luvut −54; −2; 50, joka eroaa 52:lla, on epäilemättä aritmeettinen progressio. Sama tapahtuu $x=2$:lle:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(tasaa)\]

Taas eteneminen, mutta erolla 27. Siten ongelma ratkesi oikein. Halukkaat voivat itse tarkistaa toisen ongelman, mutta sanon heti: sielläkin kaikki on oikein.

Yleensä viimeisiä ongelmia ratkoessamme törmäsimme toiseen mielenkiintoinen fakta, joka on myös syytä muistaa:

Jos kolme numeroa ovat sellaisia, että toinen on keskimmäinen aritmeettinen ensin ja lopuksi nämä luvut muodostavat aritmeettisen progression.

Tulevaisuudessa tämän lausunnon ymmärtäminen antaa meille mahdollisuuden kirjaimellisesti "konstruoida" tarvittavat etenemiset ongelman olosuhteiden perusteella. Mutta ennen kuin ryhdymme sellaiseen "rakentamiseen", meidän tulisi kiinnittää huomiota vielä yhteen tosiasiaan, joka seuraa suoraan siitä, mitä on jo keskusteltu.

Elementtien ryhmittely ja summaus

Palataan taas numeroakseliin. Huomattakoon siellä useita etenemisen jäseniä, joiden välillä ehkä. on monen muun jäsenen arvoinen:

Yritetään ilmaista "vasen häntä" kohtien $((a)_(n))$ ja $d$ kautta ja "oikea häntä" välillä $((a)_(k))$ ja $d$. Se on hyvin yksinkertainen:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(tasaa)\]

Huomaa nyt, että seuraavat summat ovat yhtä suuret:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(tasaa)\]

Yksinkertaisesti sanottuna, jos tarkastelemme aloituksena kahta etenemisen elementtiä, jotka yhteensä ovat yhtä suuria kuin jokin luku $S$, ja sitten alamme siirtyä näistä elementeistä vastakkaiset puolet(toisiaan kohti tai päinvastoin siirtyäksesi pois), sitten myös niiden elementtien summat, joihin törmäämme, ovat yhtä suuret$S$. Tämä voidaan selkeimmin esittää graafisesti:

Ymmärtäminen Tämä fakta antaa meille mahdollisuuden ratkaista ongelmia olennaisesti enemmän korkeatasoinen vaikeuksia kuin edellä tarkastelimme. Esimerkiksi nämä:

Tehtävä nro 8. Määritä ero aritmeettiselle progressiolle, jossa ensimmäinen termi on 66 ja toisen ja kahdennentoista termin tulo on pienin mahdollinen.

Ratkaisu. Kirjataan ylös kaikki mitä tiedämme:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(tasaa)\]

Emme siis tiedä etenemiseroa $d$. Itse asiassa koko ratkaisu rakennetaan eron ympärille, koska tuote $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\vasen(66+d \oikea)\cpiste \vasen(66+11d \oikea)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(tasaa)\]

Säiliössä oleville: Otin kokonaiskertoimen 11 toisesta hakasulkeesta. Siten haluttu tulo on neliöfunktio muuttujan $d$ suhteen. Siksi harkitse funktiota $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - sen kuvaaja on paraabeli, jonka haarat ovat ylöspäin, koska jos laajennamme sulkuja, saamme:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Kuten näette, suurimman termin kerroin on 11 - tämä on positiivinen luku, joten kyseessä on todella paraabeli, jolla on ylöspäin haaroja:

toisen asteen funktion kaavio - paraabeli

Huomautus: minimiarvo tämä paraabeli ottaa $((d)_(0))$ kärjessään abskissalla. Voimme tietysti laskea tämän abskissan arvolla vakiomalli(on kaava $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), mutta olisi paljon järkevämpää huomata, että haluttu kärki on symmetria-akselilla. paraabeli, joten piste $((d) _(0))$ on yhtä kaukana yhtälön $f\left(d \right)=0$ juurista:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(tasaa)\]

Siksi minulla ei ollut erityisen kiire avata sulkuja: alkuperäisessä muodossaan juuret olivat erittäin, erittäin helppo löytää. Siksi abskissa on yhtä suuri kuin lukujen −66 ja −6 aritmeettinen keskiarvo:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Mitä löydetty numero antaa meille? Sen avulla vaadittu tuote saa pienimmän arvon (emme muuten koskaan laskeneet $((y)_(\min ))$ - tätä ei meiltä vaadita). Samalla tämä luku on alkuperäisen etenemisen erotus, ts. löysimme vastauksen. :)

Vastaus: -36

Tehtävä nro 9. Lisää lukujen $-\frac(1)(2)$ ja $-\frac(1)(6)$ väliin kolme lukua siten, että ne muodostavat yhdessä näiden lukujen kanssa aritmeettisen progression.

Ratkaisu. Pohjimmiltaan meidän on tehtävä viiden luvun sarja, joista ensimmäinen ja viimeinen numero ovat jo tiedossa. Merkitään puuttuvat luvut muuttujilla $x$, $y$ ja $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Huomaa, että luku $y$ on sekvenssimme "keskiosa" - se on yhtä kaukana luvuista $x$ ja $z$ sekä luvuista $-\frac(1)(2)$ ja $-\frac. (1)(6)$. Ja jos luvuista $x$ ja $z$ olemme mukana Tämä hetki emme voi saada $y$, niin tilanne on erilainen etenemisen päissä. Muistetaan aritmeettinen keskiarvo:

Nyt, kun tiedämme $y$, löydämme loput luvut. Huomaa, että $x$ on juuri löytämiemme numeroiden $-\frac(1)(2)$ ja $y=-\frac(1)(3)$ välissä. Siksi

Käyttämällä samanlaista päättelyä löydämme jäljellä olevan luvun:

Valmis! Löysimme kaikki kolme numeroa. Kirjoitetaan ne vastaukseen siinä järjestyksessä, jossa ne tulee lisätä alkuperäisten numeroiden väliin.

Vastaus: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Tehtävä nro 10. Syötä lukujen 2 ja 42 väliin useita lukuja, jotka yhdessä näiden numeroiden kanssa muodostavat aritmeettisen progression, jos tiedät, että ensimmäisen, toisen ja viimeisen lisätyn luvun summa on 56.

Ratkaisu. Vielä monimutkaisempi ongelma, joka kuitenkin ratkaistaan ​​saman kaavan mukaan kuin edelliset - aritmeettisen keskiarvon kautta. Ongelmana on, että emme tiedä tarkalleen kuinka monta numeroa on lisättävä. Oletetaan siis varmuuden vuoksi, että kun kaikki on lisätty, tulee täsmälleen $n$ lukuja, joista ensimmäinen on 2 ja viimeinen 42. Tässä tapauksessa vaadittu aritmeettinen eteneminen voidaan esittää muodossa:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \oikea\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Huomaa kuitenkin, että luvut $((a)_(2))$ ja $((a)_(n-1))$ saadaan numeroista 2 ja 42 reunoilla askeleen verran toisiaan kohti, eli . sekvenssin keskelle. Ja tämä tarkoittaa sitä

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Mutta sitten yllä kirjoitettu lauseke voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \vasen(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \oikea)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(tasaa)\]

Kun tiedämme $((a)_(3))$ ja $((a)_(1))$, voimme helposti löytää etenemisen eron:

\[\begin(tasaa) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\vasen(3-1 \oikea)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Nuoli oikealle d=5. \\ \end(tasaa)\]

Jäljelle jää vain jäljellä olevat ehdot:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(tasaa)\]

Siten jo 9. vaiheessa saavumme sekvenssin vasempaan päähän - numeroon 42. Yhteensä vain 7 numeroa piti lisätä: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Vastaus: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Sanaongelmat etenemisen kanssa

Lopuksi haluaisin harkita paria suhteellista yksinkertaisia ​​tehtäviä. No, niin yksinkertaista: useimmille opiskelijoille, jotka opiskelevat matematiikkaa koulussa eivätkä ole lukeneet, mitä yllä on kirjoitettu, nämä ongelmat voivat tuntua vaikeilta. Kuitenkin nämä ovat sellaisia ​​​​ongelmia, joita esiintyy OGE:ssä ja matematiikan yhtenäisessä valtionkokeessa, joten suosittelen, että tutustut niihin.

Tehtävä nro 11. Ryhmä valmisti tammikuussa 62 osaa ja jokaisessa sitä seuraavana kuukautena 14 osaa enemmän kuin edellisenä kuukautena. Kuinka monta osaa tiimi valmisti marraskuussa?

Ratkaisu. Ilmeisesti kuukausittain lueteltujen osien määrä edustaa kasvavaa aritmeettista edistystä. Lisäksi:

\[\begin(tasaa) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

Marraskuu on vuoden 11. kuukausi, joten meidän on löydettävä $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Siksi 202 osaa valmistetaan marraskuussa.

Tehtävä nro 12. Kirjansidontapaja sidoi tammikuussa 216 kirjaa ja jokaisena seuraavana kuukautena 4 kirjaa enemmän kuin edellisenä kuukautena. Kuinka monta kirjaa työpaja sidoi joulukuussa?

Ratkaisu. Aivan sama:

$\begin(tasaa) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

Joulukuu on vuoden viimeinen, 12. kuukausi, joten etsimme $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Tämä on vastaus – joulukuussa sidotaan 260 kirjaa.

No, jos olet lukenut tähän asti, kiirehdin onnittelemaan sinua: olet suorittanut menestyksekkäästi "nuoren taistelijan kurssin" aritmeettisessa progressiossa. Voit siirtyä turvallisesti seuraavaan oppituntiin, jossa tutkimme etenemisen summan kaavaa sekä sen tärkeitä ja erittäin hyödyllisiä seurauksia.

Aritmeettisen progression summa.

Aritmeettisen progression summa on yksinkertainen asia. Sekä merkityksessä että kaavassa. Mutta tähän aiheeseen liittyy kaikenlaisia ​​tehtäviä. Perustasosta melko kiinteään.

Ymmärretään ensin määrän merkitys ja kaava. Ja sitten päätetään. Omaksi iloksesi.) Summan merkitys on yksinkertainen kuin moo. Löytääksesi aritmeettisen progression summan, sinun on vain lisättävä huolellisesti kaikki sen ehdot. Jos näitä termejä on vähän, voit lisätä ilman kaavoja. Mutta jos on paljon, tai paljon... lisääminen on ärsyttävää.) Tässä tapauksessa kaava tulee apuun.

Määrän kaava on yksinkertainen:

Selvitetään, millaisia ​​kirjaimia kaava sisältää. Tämä selventää asioita paljon.

S n - aritmeettisen progression summa. Lisäyksen tulos kaikille jäseniä, kanssa ensimmäinen Tekijä: kestää. On tärkeää. Ne summautuvat täsmälleen Kaikki jäseniä peräkkäin ilman ohittamista. Ja nimenomaan alkaen ensimmäinen. Ongelmissa, kuten kolmannen ja kahdeksannen ehdon summan tai viidennen ja kahdennenkymmenennen termien summan löytäminen, kaavan suora soveltaminen tuottaa pettymyksen.)

a 1 - ensimmäinen etenemisen jäsen. Kaikki on selvää täällä, se on yksinkertaista ensimmäinen rivin numero.

a n- viimeinen etenemisen jäsen. Sarjan viimeinen numero. Ei kovin tuttu nimi, mutta määrään käytettynä se on erittäin sopiva. Sitten näet itse.

n - viimeisen jäsenen numero. On tärkeää ymmärtää, että kaavassa tämä numero sama kuin lisättyjen termien määrä.

Määritellään käsite kestää jäsen a n. Hankala kysymys: mikä jäsen tulee viimeinen jos annetaan loputon aritmeettinen progressio?)

Vastataksesi itsevarmasti sinun on ymmärrettävä aritmeettisen etenemisen alkeellinen merkitys ja... lue tehtävä huolellisesti!)

Tehtävässä löytää aritmeettisen progression summa, viimeinen termi esiintyy aina (suoraan tai epäsuorasti), joita pitäisi rajoittaa. Muuten lopullinen, tietty määrä ei yksinkertaisesti ole olemassa. Ratkaisun kannalta ei ole väliä onko progressio annettu: äärellinen vai ääretön. Ei ole väliä miten se annetaan: numerosarja vai n:nnen termin kaava.

Tärkeintä on ymmärtää, että kaava toimii etenemisen ensimmäisestä termistä numeron sisältävään termiin n. Itse asiassa kaavan koko nimi näyttää tältä: aritmeettisen progression n ensimmäisen ehdon summa. Näiden aivan ensimmäisten jäsenten lukumäärä, ts. n, määräytyy yksinomaan tehtävän mukaan. Tehtävässä kaikki tämä arvokas tieto on usein salattu, kyllä... Mutta ei se haittaa, alla olevissa esimerkeissä paljastamme nämä salaisuudet.)

Esimerkkejä tehtävistä aritmeettisen progression summalla.

Ensinnäkin, hyödyllistä tietoa:

Suurin vaikeus tehtävissä, joihin liittyy aritmeettisen progression summa, on kaavan elementtien oikea määrittäminen.

Tehtävän kirjoittajat salaavat juuri nämä elementit rajattomalla mielikuvituksella.) Tärkeintä tässä ei ole pelätä. Elementtien olemuksen ymmärtäminen riittää, kun ne yksinkertaisesti tulkitaan. Katsotaanpa muutama esimerkki yksityiskohtaisesti. Aloitetaan tehtävällä, joka perustuu todelliseen GIA:han.

1. Aritmeettinen eteneminen saadaan ehdolla: a n = 2n-3.5. Etsi sen 10 ensimmäisen ehdon summa.

Hyvää työtä. Helppoa.) Mitä meidän on tiedettävä summan määrittämiseksi kaavan avulla? Ensimmäinen jäsen a 1, viime kausi a n, kyllä ​​viimeisen jäsenen numero n.

Mistä saan viimeisen jäsenen numeron? n? Kyllä, siellä ehdolla! Se sanoo: etsi summa 10 ensimmäistä jäsentä. No, millä numerolla se tulee olemaan? kestää, kymmenes jäsen?) Et usko sitä, hänen numeronsa on kymmenes!) Siksi sen sijaan a n Korvataan kaavaan a 10, ja sen sijaan n- kymmenen. Toistan, että viimeisen jäsenen lukumäärä on sama kuin jäsenten lukumäärä.

Se on vielä määritettävä a 1 Ja a 10. Tämä on helppo laskea käyttämällä n:nnen termin kaavaa, joka on annettu tehtävälausekkeessa. Etkö tiedä miten tämä tehdään? Osallistu edelliseen oppituntiin, ilman tätä ei ole mitään keinoa.

a 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

a 10=2·10 - 3,5 =16,5

S n = S 10.

Olemme selvittäneet aritmeettisen progression summan kaavan kaikkien elementtien merkityksen. Jäljelle jää vain korvata ne ja laskea:

Se siitä. Vastaus: 75.

Toinen tehtävä, joka perustuu GIA:han. Hieman monimutkaisempi:

2. Annettu aritmeettinen progressio (a n), jonka ero on 3,7; a 1 = 2,3. Etsi sen 15 ensimmäisen ehdon summa.

Kirjoitamme välittömästi summakaavan:

Tämän kaavan avulla voimme löytää minkä tahansa termin arvon sen numeron perusteella. Etsimme yksinkertaista vaihtoa:

a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1

On vielä korvattava kaikki elementit aritmeettisen etenemisen summan kaavaan ja laskettava vastaus:

Vastaus: 423.

Muuten, jos summakaavassa sen sijaan a n Korvaamme yksinkertaisesti kaavan n:nnelle termille ja saamme:

Esitetään samanlaisia ​​ja hankitaan uusi kaava aritmeettisen progression termien summalle:

Kuten näet, n:ttä termiä ei vaadita tässä a n. Joissakin ongelmissa tämä kaava auttaa paljon, kyllä... Voit muistaa tämän kaavan. Tai voit yksinkertaisesti näyttää sen oikeaan aikaan, kuten täällä. Loppujen lopuksi sinun on aina muistettava summan kaava ja n:nnen termin kaava.)

Nyt tehtävä lyhyen salauksen muodossa):

3. Laske kaikkien positiivisten kaksinumeroisten lukujen summa, jotka ovat kolmen kerrannaisia.

Vau! Ei ensimmäinen jäsen, ei viimeinen tai eteneminen ollenkaan... Kuinka elää!?

Sinun täytyy ajatella päälläsi ja vetää kaikki aritmeettisen etenemisen summan elementit pois ehdosta. Tiedämme mitä kaksinumeroiset luvut ovat. Ne koostuvat kahdesta numerosta.) Mikä kaksinumeroinen luku tulee olemaan ensimmäinen? 10, oletettavasti.) A viimeinen asia kaksinumeroinen luku? 99 tietysti! Kolminumeroiset seuraavat häntä...

Kolmen kerrannaiset... Hm... Nämä ovat kolmella jaollisia lukuja, tässä! Kymmenen ei ole jaollinen kolmella, 11 ei ole jaollinen... 12... on jaollinen! Jotain on siis tulossa. Voit jo kirjoittaa sarjan muistiin ongelman ehtojen mukaan:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Onko tämä sarja aritmeettinen progressio? Varmasti! Jokainen termi eroaa edellisestä tiukasti kolmella. Jos lisäät termiin 2 tai 4, sanotaan esimerkiksi tulos, ts. uusi luku ei ole enää jaollinen kolmella. Voit määrittää aritmeettisen etenemisen eron välittömästi: d = 3. Se tulee tarpeeseen!)

Joten voimme turvallisesti kirjoittaa muistiin joitain etenemisparametreja:

Mikä numero tulee olemaan? n viimeinen jäsen? Jokainen, joka luulee, että 99, on kohtalokkaasti väärässä... Numerot menevät aina peräkkäin, mutta jäsenemme hyppäävät kolmen yli. Ne eivät sovi yhteen.

Tässä on kaksi ratkaisua. Yksi tapa on erittäin ahkeralle. Voit kirjoittaa muistiin etenemisen, koko numerosarjan ja laskea jäsenten lukumäärän sormella.) Toinen tapa on harkitseville. Sinun on muistettava n:nnen termin kaava. Jos sovellamme kaavaa ongelmaamme, huomaamme, että 99 on etenemisen kolmaskymmenes termi. Nuo. n = 30.

Katsotaan aritmeettisen progression summan kaavaa:

Katsomme ja iloitsemme.) Poimimme ongelmanratkaisusta kaiken tarvittavan summan laskemiseen:

a 1= 12.

a 30= 99.

S n = S 30.

Jäljelle jää vain perusaritmetiikka. Korvaamme luvut kaavaan ja laskemme:

Vastaus: 1665

Toinen suosittu palapelityyppi:

4. Annettu aritmeettinen progressio:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Etsi termien summa kahdeskymmenes-kolmekymmentäneljäksi.

Katsomme summan kaavaa ja... suuttumme.) Muistutan teitä, kaava laskee määrän ensimmäisestä jäsen. Ja ongelmassa sinun on laskettava summa 20:sta lähtien... Kaava ei toimi.

Voit tietysti kirjoittaa koko etenemisen sarjaksi ja lisätä termejä 20:stä 34:ään. Mutta... se on jotenkin typerää ja kestää kauan, eikö?)

On olemassa tyylikkäämpi ratkaisu. Jaetaan sarjamme kahteen osaan. Ensimmäinen osa tulee olemaan ensimmäisestä lukukaudesta yhdeksänteentoista. Toinen osa - kahdestakymmenestä kolmeenkymmeneenneljään. On selvää, että jos laskemme ensimmäisen osan ehtojen summan S 1-19, lisätään se toisen osan ehtojen summaan S 20-34, saamme etenemisen summan ensimmäisestä termistä kolmeenkymmeneenneljänteen S 1-34. Kuten tämä:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Tästä voimme nähdä, että löytää summa S 20-34 voidaan tehdä yksinkertaisella vähennyksellä

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Molemmat oikealla puolella olevat summat otetaan huomioon ensimmäisestä jäsen, ts. vakiosummakaava soveltuu hyvin niihin. Aloitetaan?

Poimimme etenemisparametrit ongelmalauseesta:

d = 1,5.

a 1= -21,5.

Ensimmäisen 19 ja 34 ensimmäisen termin summan laskemiseksi tarvitsemme 19. ja 34. ehdon. Laskemme ne n:nnen termin kaavalla, kuten tehtävässä 2:

a 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5

a 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28

Ei ole mitään jäljellä. 34 ehdon summasta vähennetään 19 ehdon summa:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Vastaus: 262,5

Yksi tärkeä huomio! Tämän ongelman ratkaisemisessa on erittäin hyödyllinen temppu. Suoran laskennan sijaan mitä tarvitset (S 20-34), laskimme jotain mitä ei näytä tarvittavan - S 1-19. Ja sitten he päättivät S 20-34, hylkäämällä tarpeettomat täydellisestä tuloksesta. Tällainen "korvien pettäminen" säästää sinut usein pahoilta ongelmilta.)

Tällä oppitunnilla tarkastelimme tehtäviä, joissa riittää ymmärtää aritmeettisen progression summan merkitys. No, sinun täytyy tietää pari kaavaa.)

Käytännön neuvoja:

Kun ratkaiset mitä tahansa aritmeettisen progression summaa koskevaa ongelmaa, suosittelen heti kirjoittamaan kaksi pääkaavaa tästä aiheesta.

Kaava n:nnelle termille:

Nämä kaavat kertovat heti, mitä etsiä ja mihin suuntaan ajatella ongelman ratkaisemiseksi. Auttaa.

Ja nyt itsenäisen ratkaisun tehtävät.

5. Laske kaikkien niiden kaksinumeroisten lukujen summa, jotka eivät ole jaollisia kolmella.

Hienoa?) Vihje on piilotettu muistiinpanoon tehtävään 4. No, tehtävä 3 auttaa.

6. Aritmeettinen eteneminen saadaan ehdolla: a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Etsi sen 24 ensimmäisen ehdon summa.

Epätavallinen?) Tämä on toistuva kaava. Voit lukea siitä edellisellä oppitunnilla. Älä sivuuta linkkiä, tällaisia ​​​​ongelmia löytyy usein valtion tiedeakatemiasta.

7. Vasya säästi rahaa lomaa varten. Jopa 4550 ruplaa! Ja päätin antaa suosikkihenkilölleni (itselleni) muutaman päivän onnea). Elä kauniisti kieltämättä itseltäsi mitään. Käytä 500 ruplaa ensimmäisenä päivänä ja jokaisena seuraavana päivänä kuluta 50 ruplaa enemmän kuin edellinen! Kunnes rahat loppuvat. Kuinka monta onnellista päivää Vasyalla oli?

Onko vaikeaa?) Tehtävän 2 lisäkaava auttaa.

Vastaukset (sekaisin): 7, 3240, 6.

Jos pidät tästä sivustosta...

Muuten, minulla on sinulle pari muuta mielenkiintoista sivustoa.)

Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Opitaan - mielenkiinnolla!)

Voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.