Kuvien pinta-alojen laskeminen integraaliesimerkkien avulla. Integraali. Pintojen laskeminen integraalilla. Etsi "ulkoinen" syy, joka ei salli sinun laskea kuvion pinta-alaa

Määrätyn integraalin avulla voit laskea tasokuvioiden pinta-alat, koska tämä tehtävä rajoittuu aina kaarevien puolisuunnikkaan pinta-alojen laskemiseen.

Minkä tahansa suorakaiteen muotoisen koordinaatiston kuvion pinta-ala voi koostua akselin vieressä olevista kaarevien puolisuunnikkaan alueista vai niin tai akselille OU.

Tasokuvioiden pinta-alojen laskemiseen liittyviä ongelmia on kätevää ratkaista seuraavan suunnitelman avulla:

1. Tee kaaviokuva tehtävän ehtojen mukaan

2. Esitä vaadittu pinta-ala kaarevien puolisuunnikkaan pinta-alojen summana tai erotuksena. Tehtävän ehdoista ja piirustuksesta määritetään integroinnin rajat kullekin kaarevan puolisuunnikkaan komponentille.

3. Kirjoita jokainen funktio lomakkeeseen y = f(x).

4. Laske jokaisen kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala ja halutun kuvion pinta-ala.

Harkitsemme useita vaihtoehtoja kuvien järjestelyyn.

1). Päästä segmenttiin [ a; b]-toiminto f(x) ottaa ei-negatiiviset arvot. Sitten funktion kaavio y = f(x) sijaitsee akselin yläpuolella vai niin.

S=

2). Päästä segmenttiin [ a; b] ei-positiivinen jatkuva funktio f(x). Sitten funktion kaavio y = f(x) sijaitsee akselin alla vai niin:

Tällaisen luvun pinta-ala lasketaan kaavalla: S = -

Tällaisen luvun pinta-ala lasketaan kaavalla: S=

4). Päästä segmenttiin [ a; b]-toiminto f(x) ottaa sekä positiiviset että negatiiviset arvot. Sitten segmentti [ a; b] on jaettava osiin, joissa funktio ei muuta etumerkkiä, laske sitten yllä olevien kaavojen avulla näitä osia vastaavat pinta-alat ja lisää löydetyt alueet.

S 1 = S 2 = - S f = S 1 + S 2

Luokka: 11

Esitys oppitunnille

Takaisin eteenpäin

Huomio! Diojen esikatselut ovat vain tiedoksi, eivätkä ne välttämättä edusta kaikkia esityksen ominaisuuksia. Jos olet kiinnostunut tästä työstä, lataa täysversio.

Oppitunnin tavoitteet: johda kaava tasokuvioiden pinta-alojen laskemiseksi käyttämällä määrättyä integraalia; kehittää taitoa laskea tasokuvioiden pinta-alat määrätyn integraalin avulla; toistaa tunnetut ja tarjota uutta tietoa integraalilaskennan historiasta; kokeen valmistelu; jatkaa huomion, puheen, loogisen ajattelun ja kirjoittamisen tarkkuuden kehittämistä; parantaa graafista kulttuuria; jatkaa opiskelijoiden luovien kykyjen kehittämistä; lisätä kiinnostusta matematiikan opiskeluun;

Laitteet: multimediaprojektori, valkokangas, esitys aiheesta, kehitetty Power Point ympäristössä.

Tuntien aikana

I. Organisatorinen hetki, aiheen viesti ja oppitunnin tarkoitus.

II. Kotitehtävien tarkistaminen.

Lisäkotitehtävien tarkistaminen (opettaja näyttää ratkaisun aiemmin laaditussa piirustuksessa, ratkaisu on taulun takana):

Laske funktioiden y = 1+ 3cos(x/2), x = -π/2, x = 3π/2, y = 0 kaavioiden rajoittaman kuvan pinta-ala

III. Perustietojen päivittäminen.

1. Suullinen työ(Diat 3-4)

1. Ilmaise kuvissa olevien kuvien pinta-alat integraalilla:
2. Laske integraalit:

2. Hieman historiaa. ( Diat 5-9)

Katkelma opiskelijoiden tietokoneprojektista aiheesta "Integraalilaskennan historiasta".

1 opiskelija

Integraali- yksi tärkeimmistä matematiikan käsitteistä, joka syntyi tarpeesta toisaalta löytää funktioita niiden derivaattojen perusteella ja toisaalta mitata pinta-aloja, tilavuuksia, kaarien pituuksia, voimien työtä tietty aika jne.

Itse sana integraali on keksinyt J. Bernoulli(1690). Se tulee latinasta kokonaisluku, käännettynä tuo edelliseen tilaan, palauttaa.

Muut integraalilaskentaan liittyvät termit, jotka saatat tietää, ilmestyivät paljon myöhemmin. Nykyinen nimi antiderivatiivinen toiminto korvasi aikaisemman "primitiivinen funktio", jonka esitteli Joseph Louis Lagrange(1797). Latinalainen sana primitivus käännettynä "alkuperäiseksi".

Integraalilaskennan ongelmien ilmaantuminen liittyy pinta-alojen ja tilavuuksien löytämiseen. Muinaisen Kreikan matemaatikot ratkaisivat useita tämän tyyppisiä ongelmia. Ensimmäinen tunnettu menetelmä integraalien laskentaan on Eudoxus-umpuntamenetelmä ( suunnilleen 370 eaa eKr.), joka yritti löytää alueita ja tilavuuksia jakamalla ne äärettömään määrään osia, joiden alue tai tilavuus oli jo tiedossa. Tämän menetelmän otti ja kehitti Archimedes, ja sitä käytettiin paraabelien pinta-alojen laskemiseen ja ympyrän alueen likimääräiseen laskemiseen.

Arkhimedes ei kuitenkaan tunnistanut integrointitekniikoiden ja integraalikäsitteiden yleistä sisältöä, saati vähemmän integraalilaskennan algoritmia.

Arkhimedesen teokset, jotka kirjoitettiin ensimmäisen kerran vuonna 1544, olivat yksi integraalilaskennan kehittämisen tärkeimmistä lähtökohdista.

2 opiskelijaa

Integraalin käsite liittyy suoraan integraalilaskentaan, matematiikan alaan, joka tutkii integraaleja, niiden ominaisuuksia ja laskentamenetelmiä.

Pääsimme lähemmäs ja tarkemmin integraalin käsitettä Isaac Newton. Hän rakensi ensimmäisenä differentiaali- ja integraalilaskennan ja kutsui sitä "vuon menetelmäksi..." (1670-1671, julkaisu 1736). Newton nimesi muuttujat sujuvat(nykyiset arvot, alkaen lat. fluo – virtaus). Muutosnopeus sujuvasti Newton – fluksioita, ja fluxien laskemiseen tarvittavat äärettömät muutokset ovat " hetkiä"(Leibniz kutsui niitä differentiaaleiksi). Näin ollen Newton perusti fluxion (derivaata) ja fluentsin (antiderivaatti tai epämääräinen integraali) käsitteet.

Tämä mahdollisti välittömästi monenlaisten matemaattisten ja fyysisten ongelmien ratkaisemisen.

Samaan aikaan Newtonin kanssa toinen erinomainen tiedemies tuli samanlaisiin ajatuksiin - Gottfried Wilhelm Leibniz.

Pohtiessaan filosofisia ja matemaattisia kysymyksiä, Leibniz vakuuttui siitä, että matematiikka voisi olla luotettavin keino etsiä ja löytää totuutta tieteessä. Integraalimerkkiä (∫) käytti ensimmäisen kerran Leibniz 1600-luvun lopulla. Tämä symboli muodostuu S-kirjaimesta - latinan sanan lyhenteestä. summa(summa).

Newton ja Leibniz kehittivät kaksi tulkintaa tavallisen määrätyn integraalin käsitteestä.

Newton tulkitsi lopullisen integraalin erona antiderivatiivisen funktion vastaavien arvojen välillä:

,
Missä F`(x)=f(x).

Leibnizille määrätty integraali oli kaikkien infinitesimaalien differentiaalien summa.

Kaava, jonka Newton ja Leibniz löysivät toisistaan ​​riippumatta, kutsuttiin Newton-Leibnizin kaava.

Siten integraalin käsite yhdistettiin kuuluisien tiedemiesten nimiin: Newton, Leibniz, Bernoulli, jotka loivat perustan nykyaikaiselle matemaattiselle analyysille.

IV. Uuden materiaalin selitys.

Integraalin avulla voit laskea kaarevien puolisuunnikkaan pinta-alan lisäksi myös monimutkaisempia tasokuvioita.

Anna hahmon P rajoitettu suoriin linjoihin X = a, x = b ja funktiokaavioita y = f(x) Ja y = g(x), ja segmentillä [ a;b] epätasa-arvo pätee g(x)f(x).

Kuvion alueen laskemiseksi perustelemme seuraavasti. Suoritetaan kuvion rinnakkaissiirto P päällä m yksiköt ylös niin, että kuva P osoittautui sijaitsevan koordinaattitasossa abskissa-akselin yläpuolella.

Nyt se on rajoitettu ylä- ja alapuolelta funktiokaavioilla y = f(x)+m Ja

y = g(x)+m, ja molemmat funktiot ovat jatkuvia ja ei-negatiivisia aikavälillä [ a;b].

Merkitsemme tuloksena olevaa lukua ABCD. Sen pinta-ala löytyy kuvien alueiden välisenä erona:

S ABCD = S aDCb – S aABb = =
=

Siten kuvion S alue, jota rajoittavat suorit viivat X = a, x = b ja funktiokaavioita y = f(x) Ja y = g(x), jatkuva aikavälillä [ a;b] ja ne, jotka ovat kaikille X segmentistä [ a;b] epätasa-arvo pätee g(x)f(x), lasketaan kaavalla

Esimerkki.(Dia 11) Laske viivojen rajoittaman kuvan pinta-ala y = x, y = 5 – x, x = 1, x = 2.

Valitse näistä kaavoista kuvion alueen laskemiseen se, joka sopii yhteen kuudesta piirustuksesta. (Dia 14)

Tehtävä 3.(Dia 15) Laske funktion kuvaajan rajoittaman kuvan pinta-ala y = 0,5x 2+ 2, tangentti tälle kuvaajalle abskissapisteessä X= -2 ja suora X = 0.

1. Luodaan yhtälö funktion kaavion tangentille y = 0,5x 2+ 2 abskissassa X = -2:

y = f(x 0) + f"(x 0)(x - x 0)
f(-2) = 0,5∙(-2) 2 + 2 = 4
f"(x) = (0,5x 2 + 2)"= x
f"(-2) = -2
y = 4 – 2(x + 2)
y = -2x

2. Rakennetaan funktioiden kuvaajia.

3. Etsi kuvion pinta-ala ABC.

VI. Yhteenveto.

• kaava tasokuvioiden pinta-alojen laskemiseksi;
• kaavojen kirjoittaminen tasokuvioiden alueille käyttämällä määrättyä integraalia;
• toistetaan funktion kaavion tangentin yhtälö ja ratkaistaan ​​yhtälö moduulilla;
• arvostelevia opiskelijoita.

VII. Kotitehtävät.

1. kohta 4, s. 228–230;
2. nro 1025 (c, d), nro 1037 (c, d), nro 1038 (c, d)

oppikirja: A. G. Mordkovich "Algebra ja analyysin periaatteet 10-11"

Itse asiassa, jotta voit löytää hahmon alueen, et tarvitse niin paljon tietoa epämääräisestä ja määrätystä integraalista. Tehtävä "laske pinta-ala määrätyn integraalin avulla" sisältää aina piirustuksen, joten tietosi ja piirustustaitosi ovat paljon kiireellisempi kysymys. Tässä mielessä on hyödyllistä päivittää muistiasi perusfunktioiden kaavioista ja pystyä ainakin rakentamaan suora ja hyperboli.

Kaareva puolisuunnikas on litteä kuvio, jota rajoittavat akseli, suorat viivat ja funktion kuvaaja, joka on jatkuva janalla, joka ei muuta etumerkkiä tällä välillä. Olkoon tämä kuva paikannettava ei vähempää x-akseli:

Sitten kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala on numeerisesti yhtä suuri kuin määrätty integraali. Kaikilla määrätyillä integraaleilla (olemassa olevalla) on erittäin hyvä geometrinen merkitys.

Geometrian näkökulmasta tarkka integraali on AREA.

Tuo on, tietty integraali (jos se on olemassa) vastaa geometrisesti tietyn kuvion aluetta. Tarkastellaan esimerkiksi tarkkaa integraalia. Integrandi määrittää käyrän akselin yläpuolella olevalle tasolle (haluavat voivat piirtää), ja itse kiinteä integraali on numeerisesti yhtä suuri kuin vastaavan kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala.

Esimerkki 1

Tämä on tyypillinen tehtävälausunto. Päätöksen ensimmäinen ja tärkein kohta on piirustuksen rakentaminen. Lisäksi piirustus on rakennettava OIKEIN.

Piirustusta rakennettaessa suosittelen seuraavaa järjestystä: ensiksi on parempi rakentaa kaikki suorat (jos niitä on) ja vain Sitten- paraabelit, hyperbelit, muiden funktioiden kuvaajat. On kannattavampaa rakentaa funktiokaavioita kohta kohdalta.

Tässä ongelmassa ratkaisu saattaa näyttää tältä.
Piirretään piirustus (huomaa, että yhtälö määrittää akselin):

Segmentillä sijaitsee funktion kuvaaja akselin yläpuolella, Siksi:

Vastaus:

Kun tehtävä on suoritettu, on aina hyödyllistä katsoa piirustusta ja selvittää, onko vastaus todellinen. Tässä tapauksessa "silmällä" laskemme solujen lukumäärän piirustuksessa - no, niitä on noin 9, se näyttää olevan totta. On täysin selvää, että jos saimme vaikka vastauksen: 20 neliöyksikköä, niin on selvää, että jossain on tehty virhe - 20 solua ei ilmeisesti mahdu kyseiseen kuvaan, korkeintaan tusina. Jos vastaus on kielteinen, myös tehtävä ratkaistiin väärin.

Esimerkki 3

Laske viivojen ja koordinaattiakseleiden rajoittaman kuvan pinta-ala.

Ratkaisu: Tehdään piirustus:

Jos kaareva puolisuunnikas sijaitsee akselin alle(tai ainakin ei korkeampi annettu akseli), sen pinta-ala voidaan löytää kaavalla:

Tässä tapauksessa:

Huomio! Näitä kahta tehtävätyyppiä ei pidä sekoittaa:

1) Jos sinua pyydetään ratkaisemaan yksinkertaisesti määrätty integraali ilman geometristä merkitystä, se voi olla negatiivinen.

2) Jos sinua pyydetään löytämään hahmon pinta-ala määrätyn integraalin avulla, pinta-ala on aina positiivinen! Siksi miinus näkyy juuri käsitellyssä kaavassa.

Käytännössä kuva sijoittuu useimmiten sekä ylempään että alempaan puolitasoon, ja siksi yksinkertaisimmista koulutehtävistä siirrytään merkityksellisempiin esimerkkeihin.

Esimerkki 4

Etsi viivojen, , rajoittaman tasokuvan pinta-ala.

Ratkaisu: Ensin sinun on suoritettava piirustus. Yleisesti ottaen piirustusta rakennettaessa aluetehtävässä meitä kiinnostavat eniten viivojen leikkauspisteet. Etsitään paraabelin ja suoran leikkauspisteet. Tämä voidaan tehdä kahdella tavalla. Ensimmäinen menetelmä on analyyttinen. Ratkaisemme yhtälön:

Tämä tarkoittaa, että integraation alaraja on, integraation yläraja on.

Jos mahdollista, on parempi olla käyttämättä tätä menetelmää..

On paljon kannattavampaa ja nopeampaa rakentaa viivoja piste kerrallaan, ja integraation rajat selviävät "itsensä". Silti analyyttistä rajojen etsintämenetelmää on joskus vielä käytettävä, jos esimerkiksi graafi on riittävän suuri tai yksityiskohtainen rakenne ei paljastanut integroinnin rajoja (ne voivat olla murto-osia tai irrationaalisia). Ja harkitsemme myös tällaista esimerkkiä.

Palataan tehtäväämme: on järkevämpää rakentaa ensin suora ja vasta sitten paraabeli. Tehdään piirustus:

Ja nyt työkaava: Jos segmentissä on jatkuva toiminto suurempi tai yhtä suuri kuin jokin jatkuva funktio , niin näiden funktioiden kaavioiden ja viivojen rajaama kuvion alue , löytyy kaavalla:

Täällä sinun ei enää tarvitse miettiä, missä hahmo sijaitsee - akselin yläpuolella tai akselin alapuolella, ja karkeasti sanottuna, sillä on merkitystä, kumpi kuvaaja on KORKEAmpi(suhteessa toiseen kuvaajaan), ja kumpi on ALLA.

Tarkasteltavassa esimerkissä on ilmeistä, että segmentillä paraabeli sijaitsee suoran yläpuolella, ja siksi siitä on vähennettävä

Valmis ratkaisu voi näyttää tältä:

Haluttua lukua rajoittaa paraabeli yläpuolella ja suora viiva alla.
Segmentillä vastaavan kaavan mukaan:

Vastaus:

Esimerkki 4

Laske viivojen , , , , rajoittaman kuvion pinta-ala.

Ratkaisu: Tehdään ensin piirustus:

Figuuri, jonka alueen meidän on löydettävä, on varjostettu siniseksi(katso tarkkaan kuntoa - kuinka luku on rajoitettu!). Mutta käytännössä huomaamattomuudesta johtuen "häiriö" tapahtuu usein, että sinun on löydettävä vihreällä varjostettu alue!

Tämä esimerkki on hyödyllinen myös siinä mielessä, että se laskee kuvion alueen kahdella kiinteällä integraalilla.

Todella:

1) Akselin yläpuolella olevalla segmentillä on suoran kaavio;

2) Akselin yläpuolella olevalla segmentillä on hyperbolin kuvaaja.

On aivan selvää, että alueet voidaan (ja pitäisi) lisätä, joten:

Kuvan pinta-alan laskeminen– Tämä on ehkä yksi alueteorian vaikeimmista ongelmista. Koulugeometriassa opetetaan etsimään geometristen perusmuotojen alueita, kuten esimerkiksi kolmio, rombi, suorakulmio, puolisuunnikas, ympyrä jne. Usein joudut kuitenkin laskemaan monimutkaisempien lukujen alueita. Tällaisia ​​ongelmia ratkaistaessa on erittäin kätevää käyttää integraalilaskentaa.

Määritelmä.

Kaareva puolisuunnikas kutsutaan jokin kuvio G, jota rajoittavat suorat y = f(x), y = 0, x = a ja x = b, ja funktio f(x) on jatkuva janalla [a; b] eikä muuta merkkiään siinä (Kuva 1). Kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala voidaan merkitä S(G).

Määrätty integraali ʃ a b f(x)dx funktiolle f(x), joka on jatkuva ja ei-negatiivinen välillä [a; b] ja on vastaavan kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala.

Toisin sanoen linjojen y = f(x), y = 0, x = a ja x = b rajoittaman kuvion G alueen löytämiseksi on laskettava määrätty integraali ʃ a b f(x)dx .

Täten, S(G) = ʃ a b f(x)dx.

Jos funktio y = f(x) ei ole positiivinen [a; b], niin kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala löytyy kaavalla S(G) = -ʃ a b f(x)dx.

Esimerkki 1.

Laske viivojen y = x 3 rajoittaman kuvan pinta-ala; y = 1; x = 2.

Ratkaisu.

Annetut viivat muodostavat kuvion ABC, joka esitetään viivoituksella riisi. 2.

Vaadittu pinta-ala on yhtä suuri kuin kaarevan puolisuunnikkaan DACE ja neliön DABE pinta-alojen erotus.

Kaavalla S = ʃ a b f(x)dx = S(b) – S(a) saadaan integroinnin rajat. Tätä varten ratkaisemme kahden yhtälön järjestelmän:

(y = x 3,
(y = 1.

Näin ollen meillä on x 1 = 1 – alaraja ja x = 2 – yläraja.

Joten, S = S DACE – S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx – 1 = x 4 /4| 1 2 – 1 = (16 – 1)/4 – 1 = 11/4 (neliöyksikköä).

Vastaus: 11/4 neliötä. yksiköitä

Esimerkki 2.

Laske viivojen y = √x rajoittaman kuvan pinta-ala; y = 2; x = 9.

Ratkaisu.

Annetut viivat muodostavat ABC-kuvion, jota yllä rajoittaa funktion kaavio

y = √x, ja alla on funktion y = 2 kuvaaja. Tuloksena oleva kuva esitetään viivoittamalla riisi. 3.

Vaadittu pinta-ala on S = ʃ a b (√x – 2). Etsitään integroinnin rajat: b = 9, löytääksemme a, ratkaisemme kahden yhtälön järjestelmän:

(y = √x,
(y = 2.

Näin ollen meillä on, että x = 4 = a - tämä on alaraja.

Joten S = ∫ 4 9 (√x – 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x| 4 9 – 2х| 4 9 = (18 – 16/3) – (18 – 8) = 2 2/3 (neliöyksikköä).

Vastaus: S = 2 2/3 neliömetriä. yksiköitä

Esimerkki 3.

Laske viivojen y = x 3 – 4x rajoittaman kuvan pinta-ala; y = 0; x ≥ 0.

Ratkaisu.

Piirretään funktio y = x 3 – 4x arvolle x ≥ 0. Tee tämä etsimällä derivaatta y':

y’ = 3x 2 – 4, y’ = 0 x = ±2/√3 ≈ 1,1 – kriittiset pisteet.

Jos piirrämme kriittiset pisteet lukuviivalle ja järjestämme derivaatan etumerkit, huomaamme, että funktio pienenee nollasta arvoon 2/√3 ja kasvaa arvosta 2/√3 plus äärettömään. Tällöin x = 2/√3 on minimipiste, funktion y minimiarvo min = -16/(3√3) ≈ -3.

Määritetään kaavion leikkauspisteet koordinaattiakseleiden kanssa:

jos x = 0, niin y = 0, mikä tarkoittaa, että A(0; 0) on Oy-akselin leikkauspiste;

jos y = 0, niin x 3 – 4x = 0 tai x(x 2 – 4) = 0 tai x(x – 2)(x + 2) = 0, mistä x 1 = 0, x 2 = 2, x 3 = -2 (ei sovellu, koska x ≥ 0).

Pisteet A(0; 0) ja B(2; 0) ovat kuvaajan leikkauspisteitä Ox-akselin kanssa.

Annetut viivat muodostavat OAB-kuvion, joka esitetään viivoituksella riisi. 4.

Koska funktio y = x 3 – 4x saa negatiivisen arvon (0; 2), niin

S = |ʃ 0 2 (x 3 – 4x)dx|.

Meillä on: ʃ 0 2 (x 3 – 4х)dx =(x 4 /4 – 4х 2 /2)| 0 2 = -4, josta S = 4 neliömetriä. yksiköitä

Vastaus: S = 4 neliömetriä. yksiköitä

Esimerkki 4.

Etsi paraabelin y = 2x 2 – 2x + 1, suorat x = 0, y = 0 ja tämän paraabelin tangentti pisteessä, jonka abskissa on x 0 = 2, rajoittaman kuvion alue.

Ratkaisu.

Luodaan ensin yhtälö paraabelin tangentille y = 2x 2 – 2x + 1 pisteessä, jossa abskissa x₀ = 2.

Koska derivaatta y’ = 4x – 2, niin arvolle x 0 = 2 saadaan k = y’(2) = 6.

Etsitään tangentin pisteen ordinaatat: y 0 = 2 2 2 – 2 2 + 1 = 5.

Siksi tangenttiyhtälön muoto on: y – 5 = 6(x – 2) tai y = 6x – 7.

Rakennetaan viivoilla rajattu kuvio:

y = 2x 2 – 2x + 1, y = 0, x = 0, y = 6x - 7.

Г у = 2х 2 – 2х + 1 – paraabeli. Leikkauspisteet koordinaattiakselien kanssa: A(0; 1) – Oy-akselin kanssa; Ox-akselilla - ei ole leikkauspisteitä, koska yhtälöllä 2x 2 – 2x + 1 = 0 ei ole ratkaisuja (D< 0). Найдем вершину параболы:

x b = 2/4 = 1/2;

y b = 1/2, eli paraabelipisteen B kärjellä on koordinaatit B(1/2; 1/2).

Joten kuvio, jonka pinta-ala on määritettävä, esitetään viivoituksella riisi. 5.

Meillä on: S O A B D = S OABC – S ADBC.

Etsitään pisteen D koordinaatit ehdosta:

6x – 7 = 0, ts. x = 7/6, mikä tarkoittaa DC = 2 – 7/6 = 5/6.

Löydämme kolmion DBC alueen kaavalla S ADBC ​​= 1/2 · DC · BC. Täten,

S ADBC ​​= 1/2 · 5/6 · 5 = 25/12 neliömetriä yksiköitä

S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 – 2x + 1)dx = (2x 3 /3 – 2x 2 /2 + x)| 0 2 = 10/3 (neliöyksikköä).

Lopulta saamme: S O A B D = S OABC – S ADBC ​​= 10/3 – 25/12 = 5/4 = 1 1/4 (neliöyksikköä).

Vastaus: S = 1 1/4 neliömetriä. yksiköitä

Olemme katsoneet esimerkkejä löytää annetuilla viivoilla rajattujen kuvioiden alueet. Tällaisten ongelmien ratkaisemiseksi onnistuneesti sinun on kyettävä piirtämään viivoja ja funktioiden kuvaajia tasolle, löydettävä viivojen leikkauspisteet, käytettävä kaavaa alueen löytämiseksi, mikä tarkoittaa kykyä laskea tiettyjä integraaleja.

verkkosivuilla, kopioitaessa materiaalia kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.

26. Tasokuvioiden pinta-alojen laskeminen kiinteällä integraalilla

Määritelmä 1.Kaareva puolisuunnikas, joka on luotu ei-negatiivisen funktion kaaviolla f janalla kutsutaan segmentin rajoittamaa kuvaa
x-akseli, janat
,
ja funktion kuvaaja
päällä
.

1. Jaetaan segmentti
osoittaa osittaisiksi segmenteiksi.

2. Jokaisessa segmentissä
(Missä k=1,2,...,n) valitse mielivaltainen piste .

3. Laske niiden suorakulmioiden pinta-alat, joiden kantat ovat segmenttejä
x-akseleilla ja korkeuksilla on pituudet
. Sitten näiden suorakulmioiden muodostaman porrastetun hahmon pinta-ala on yhtä suuri
.

Huomaa, että mitä lyhyempiä osittaissegmenttien pituus on, sitä enemmän porrastettu kuvio on lähempänä annettua kaarevaa puolisuunnikasta. Siksi on luonnollista antaa seuraava määritelmä.

Määritelmä 2.Kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala, ei-negatiivisen funktion kuvaajan luoma f segmentillä
, kutsutaan porrastettujen lukujen pinta-alojen rajaksi (koska kaikkien osittaisosien pituudet ovat yleensä 0), jos:

1) tämä raja on olemassa ja on äärellinen;

2) ei riipu segmentin jakotavasta
osiin osiin;

3) ei riipu pisteiden valinnasta
.

Lause 1.Jos toiminto
jatkuva ja ei-negatiivinen välissä
, sitten kaareva puolisuunnikasF,graafin luoma funktiofpäällä
, on pinta-ala, joka lasketaan kaavalla
.

Tarkalla integraalilla voit laskea tasokuvioiden ja monimutkaisempien kuvioiden pinta-alat.

Jos f Ja g- jatkuva ja ei-negatiivinen segmentillä
toimintoja kaikille x segmentistä
eriarvoisuus pätee
, sitten kuvan pinta-ala F, rajoitettu suorilla viivoilla
,
ja funktiokaavioita
,
, lasketaan kaavalla
.

Kommentti. Jos hylkäämme funktioiden ei-negatiivisuuden ehdon f Ja g, viimeinen kaava on totta.

Aihe 9. Differentiaaliyhtälöt

27. Differentiaaliyhtälön käsite. Yleinen ja erityinen ratkaisu. Cauchy ongelma. Demografisen prosessin matemaattisen mallin rakentamisen ongelma

Differentiaaliyhtälöiden teoria syntyi 1600-luvun lopulla mekaniikan ja muiden luonnontieteen tieteenalojen tarpeiden vaikutuksesta olennaisesti samanaikaisesti integraali- ja differentiaalilaskennan kanssa.

Määritelmä 1.n- järjestys on yhtälö muodossa, jossa
- tuntematon toiminto.

Määritelmä 2. Toiminto
kutsutaan välin differentiaaliyhtälön ratkaisuksi minä, jos tämän funktion ja sen johdannaisten korvaamisen yhteydessä differentiaaliyhtälöstä tulee identiteetti.

Ratkaise differentiaaliyhtälö- on löytää kaikki sen ratkaisut.

Määritelmä 3. Differentiaaliyhtälön ratkaisun kuvaajaa kutsutaan integraalikäyrä differentiaaliyhtälö.

Määritelmä 4.Tavallinen differentiaaliyhtälö 1- järjestys kutsutaan muodon yhtälöksi
.

Määritelmä 5. Muodon yhtälö
nimeltään differentiaaliyhtälö 1- järjestys,ratkaistaan ​​johdannaisen suhteen.

Yleensä kaikilla differentiaaliyhtälöillä on äärettömän monta ratkaisua. Yhden ratkaisun valitsemiseksi kaikkien ratkaisujen joukosta on asetettava lisäehtoja.

Määritelmä 6. Tyypin kunto
1. kertaluvun differentiaaliyhtälön ratkaisun päälle asetettua kutsutaan alkutila, tai Kauhea kunto.

Geometrisesti tämä tarkoittaa, että vastaava integraalikäyrä kulkee pisteen läpi
.

Määritelmä 7.Yleinen ratkaisu 1. asteen differentiaaliyhtälö
tasaisella alueella D kutsutaan yhden parametrin funktioperheeksi
, joka täyttää ehdot:

1) kenelle tahansa
toiminto
on yhtälön ratkaisu;

2) jokaiselle pisteelle
on sellainen parametriarvo
, että vastaava toiminto
on yhtälön ratkaisu, joka täyttää alkuehdon
.

Määritelmä 8. Yleisestä ratkaisusta saatua ratkaisua parametrin tietylle arvolle kutsutaan yksityinen ratkaisu differentiaaliyhtälö.

Määritelmä 9.Erikoispäätöksellä Differentiaaliyhtälö on mikä tahansa ratkaisu, jota ei voida saada yleisestä ratkaisusta millekään parametrin arvolle.

Differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen on erittäin vaikea tehtävä, ja yleisesti ottaen mitä korkeampi yhtälön järjestys on, sitä vaikeampaa on määritellä yhtälön ratkaisutapoja. Jopa ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöille on mahdollista osoittaa menetelmiä yleisen ratkaisun löytämiseksi vain harvoissa erikoistapauksissa. Lisäksi näissä tapauksissa haluttu ratkaisu ei aina ole perusfunktio.

Yksi O. Cauchyn ensimmäisenä tutkiman differentiaaliyhtälöiden teorian tärkeimmistä ongelmista on ratkaisun löytäminen differentiaaliyhtälöön, joka täyttää tietyt alkuehdot.

Esimerkiksi onko differentiaaliyhtälölle aina ratkaisu
, joka täyttää alkuperäisen ehdon
, ja onko se ainoa? Yleisesti ottaen vastaus on ei. Todellakin, yhtälö
, jonka oikea puoli on jatkuva koko tasossa, on ratkaisuja y=0 ja y=(x+C) 3 ,CR . Siksi minkä tahansa pisteen kautta O-akselilla X kulkee kahden integraalikäyrän läpi.

Toiminnon on siis täytettävä tietyt vaatimukset. Seuraava lause sisältää yhden vaihtoehdoista riittävistä ehdoista differentiaaliyhtälön ratkaisun olemassaololle ja ainutlaatuisuudelle
, joka täyttää alkuperäisen ehdon
.