Esitä kompleksiluvut trigonometrisessa muodossa verkossa. Luento aiheesta: "Kompleksiluvun trigonometrinen muoto." Kompleksiluvut trigonometrisessa muodossa

Kompleksiluvun trigonometrinen muoto

Suunnitelma

1. Kompleksilukujen geometrinen esitys.

2. Kompleksilukujen trigonometrinen merkintä.

3. Toiminnot kompleksiluvuille trigonometrisessa muodossa.

Kompleksilukujen geometrinen esitys.

a) Kompleksiluvut esitetään tason pisteillä seuraavan säännön mukaisesti: a + bi = M ( a ; b ) (Kuva 1).

Kuva 1

b) Kompleksiluku voidaan esittää vektorilla, joka alkaa pisteestäNOIN ja loppu tietyssä pisteessä (kuva 2).

Kuva 2

Esimerkki 7. Muodosta kompleksilukuja edustavat pisteet:1; - i ; - 1 + i ; 2 – 3 i (Kuva 3).

Kuva 3

Kompleksilukujen trigonometrinen merkintä.

Monimutkainen lukuz = a + bi voidaan määrittää käyttämällä sädevektoria koordinaattien kanssa( a ; b ) (Kuva 4).

Kuva 4

Määritelmä . Vektorin pituus , edustaa kompleksilukuaz , kutsutaan tämän luvun moduuliksi ja merkitään tair .

Mille tahansa kompleksiluvullez sen moduulir = | z | määräytyy yksiselitteisesti kaavan mukaan .

Määritelmä . Reaaliakselin positiivisen suunnan ja vektorin välisen kulman suuruus , joka edustaa kompleksilukua, kutsutaan tämän kompleksiluvun argumentiksi ja merkitäänA rg z taiφ .

Monimutkainen luku-argumenttiz = 0 määrittelemätön. Monimutkainen luku-argumenttiz≠ 0 – moniarvoinen suure ja määräytyy tietyn aikavälin sisällä2πk (k = 0; -1; 1; -2; 2; …): Arg z = arg z + 2πk , Missäarg z – väliin sisältyvän argumentin pääarvo(-π; π] , tuo on-π < arg z ≤ π (joskus väliin kuuluva arvo otetaan argumentin pääarvoksi .

Tämä kaava kunr =1 jota usein kutsutaan Moivren kaavaksi:

(cos φ + i sin φ) n = cos (nφ) + i sin (nφ), n  N .

Esimerkki 11: Laske(1 + i ) 100 .

Kirjoitetaan kompleksiluku1 + i trigonometrisessa muodossa.

a = 1, b = 1 .

cos φ = , sin φ = , φ = .

(1+i) 100 = [ (cos + teen syntiä )] 100 = ( ) 100 (cos 100+ teen syntiä ·100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = -2 50 .

4) Kompleksiluvun neliöjuuren erottaminen.

Kun otetaan kompleksiluvun neliöjuuria + bi meillä on kaksi tapausta:

Josb >o , Tuo ;

2.3. Kompleksilukujen trigonometrinen muoto

Määritetään vektori kompleksitasolla numerolla .

Merkitään φ:llä positiivisen puoliakselin Ox ja vektorin välinen kulma (kulmaa φ pidetään positiivisena, jos se mitataan vastapäivään, ja negatiivisena muuten).

Merkitään vektorin pituus r:llä. Sitten . Merkitsemme myös

Nollasta poikkeavan kompleksiluvun z kirjoittaminen muotoon

kutsutaan kompleksiluvun z trigonometriseksi muodoksi. Lukua r kutsutaan kompleksiluvun z moduuliksi ja lukua φ tämän kompleksiluvun argumentiksi, ja sitä merkitään Arg z:llä.

Kompleksiluvun kirjoittamisen trigonometrinen muoto - (Eulerin kaava) - kompleksiluvun kirjoittamisen eksponentiaalinen muoto:

Kompleksiluvulla z on äärettömän monta argumenttia: jos φ0 on mikä tahansa luvun z argumentti, niin kaikki muut löytyvät kaavalla

Kompleksiluvun argumenttia ja trigonometristä muotoa ei ole määritelty.

Siten nollasta poikkeavan kompleksiluvun argumentti on mikä tahansa ratkaisu yhtälöjärjestelmään:

(3)

Kompleksiluvun z argumentin arvoa φ, joka tyydyttää epäyhtälöt, kutsutaan pääarvoksi ja sitä merkitään arg z:llä.

Argumentit Arg z ja arg z liittyvät toisiinsa

, (4)

Kaava (5) on seuraus systeemistä (3), joten kaikki kompleksiluvun argumentit täyttävät yhtälön (5), mutta eivät kaikki yhtälön (5) ratkaisut φ ole luvun z argumentteja.

Nollasta poikkeavan kompleksiluvun argumentin pääarvo löydetään kaavojen mukaan:

Kaavat kompleksilukujen kertomiseen ja jakamiseen trigonometrisessa muodossa ovat seuraavat:

. (7)

Kun kompleksiluku nostetaan luonnolliseen potenssiin, käytetään Moivren kaavaa:

Poimittaessa kompleksiluvun juuria käytetään kaavaa:

, (9)

jossa k = 0, 1, 2, …, n-1.

Tehtävä 54. Laske missä .

Esitetään tämän lausekkeen ratkaisu eksponentiaalisessa muodossa kirjoittamalla kompleksiluku: .

Jos sitten.

Sitten, . Siksi siis Ja , Missä .

Vastaus: , klo .

Tehtävä 55. Kirjoita kompleksiluvut trigonometriseen muotoon:

A) ; b) ; V) ; G) ; d) ; e) ; ja) .

Koska kompleksiluvun trigonometrinen muoto on , niin:

a) Kompleksiluvussa: .

,

Siksi

b) , Missä ,

G) , Missä ,

e) .

ja) , A , Tuo.

Siksi

Vastaus: ; 4; ; ; ; ; .

Tehtävä 56. Etsi kompleksiluvun trigonometrinen muoto

.

Antaa , .

Sitten, , .

Siitä lähtien ja , , sitten , ja

Siksi, siis

Vastaus: , Missä .

Tehtävä 57. Suorita seuraavat toiminnot käyttämällä kompleksiluvun trigonometristä muotoa: .

Kuvitellaanpa numerot ja trigonometrisessa muodossa.

1), missä Sitten

Etsi pääargumentin arvo:

Korvataan arvot ja lausekkeeseen, saamme

2) , missä sitten

Sitten

3) Etsitään osamäärä

Olettaen k = 0, 1, 2, saamme kolme erilaisia ​​merkityksiä haluttu juuri:

Jos sitten

jos sitten

jos sitten .

Vastaus: :

:

: .

Tehtävä 58. Olkoon , , , erilaisia ​​kompleksilukuja ja . Todista se

numero on todellinen positiivinen luku;

b) tasa-arvo pätee:

a) Esitetään nämä kompleksiluvut trigonometrisessa muodossa:

Koska .

Teeskennetäänpä sitä. Sitten

.

Viimeinen lauseke on positiivinen luku, koska sinimerkit sisältävät numeroita väliltä.

numerosta lähtien todellista ja positiivista. Todellakin, jos a ja b ovat kompleksilukuja ja ovat todellisia ja suurempia kuin nolla, niin .

Sitä paitsi,

siksi vaadittu tasa-arvo on todistettu.

Tehtävä 59. Kirjoita luku algebralliseen muotoon .

Esitetään luku trigonometrisessa muodossa ja etsitään sitten sen algebrallinen muoto. Meillä on . varten saamme järjestelmän:

Tämä tarkoittaa tasa-arvoa: .

Moivren kaavaa soveltaen: ,

saamme

Annetun luvun trigonometrinen muoto löytyy.

Kirjoitetaan nyt tämä luku algebrallisessa muodossa:

.

Vastaus: .

Tehtävä 60. Etsi summa , ,

Mietitäänpä summaa

Moivren kaavaa soveltamalla löydämme

Tämä summa on n ehdon summa geometrinen eteneminen nimittäjän kanssa ja ensimmäinen jäsen .

Käyttämällä kaavaa tällaisen etenemisen termien summalle, meillä on

Eristämällä imaginaarisen osan viimeisestä lausekkeesta löydämme

Eristämällä reaaliosan saamme myös seuraavan kaavan: , , .

Tehtävä 61. Etsi summa:

A) ; b) .

Newtonin eksponentiointikaavan mukaan meillä on

Moivren kaavalla saadaan:

Yhdistäen tuloksena olevien lausekkeiden reaali- ja imaginaariosat, meillä on:

Ja .

Nämä kaavat sisällä kompakti muoto voidaan kirjoittaa näin:

,

, missä on luvun a kokonaislukuosa.

Tehtävä 62. Etsi kaikki , joille .

Koska , sitten käyttämällä kaavaa

, Poimimaan juuret, saamme ,

Siten, , ,

, .

Numeroita vastaavat pisteet sijaitsevat neliön kärjessä, joka on piirretty säteellä 2 olevaan ympyrään, jonka keskipiste on pisteessä (0;0) (kuva 30).

Vastaus: , ,

, .

Tehtävä 63. Ratkaise yhtälö , .

Ehdon mukaan; siksi tällä yhtälöllä ei ole juuria, ja siksi se on yhtälö yhtälö.

Jotta luku z olisi tietyn yhtälön juuri, luvun on oltava juuri n:s aste numerosta 1.

Tästä päättelemme, että alkuperäisellä yhtälöllä on yhtälöistä määrätyt juuret

,

Täten,

,

eli ,

Vastaus: .

Tehtävä 64. Ratkaise kompleksilukujoukon yhtälö.

Koska luku ei ole tämän yhtälön juuri, tämä yhtälö vastaa yhtälöä

Eli yhtälö.

Kaikki tämän yhtälön juuret saadaan kaavasta (katso tehtävä 62):

; ; ; ; .

Tehtävä 65. Piirrä kompleksitasolle joukko pisteitä, jotka täyttävät epäyhtälöt: . (2. tapa ratkaista ongelma 45)

Antaa .

Kompleksiluvut, joilla on identtiset moduulit, vastaavat tason pisteitä, jotka sijaitsevat origossa keskitetyllä ympyrällä, joten epäyhtälö täyttävät kaikki avoimen renkaan pisteet, joita rajoittavat ympyrät, joilla on yhteinen keskus origossa ja säteissä ja (kuva 31). Vastaako jokin kompleksitason piste lukua w0. Määrä , jonka moduuli on useita kertoja pienempi kuin moduuli w0 ja argumentti suurempi kuin argumentti w0. Geometrialta katsottuna w1:tä vastaava piste voidaan saada käyttämällä homoteettia, jonka keskipiste on origossa ja kerroin, sekä kiertoa suhteessa origoon kulman verran vastapäivään. Näiden kahden muunnoksen soveltamisen seurauksena renkaan pisteisiin (kuva 31), jälkimmäinen muuttuu renkaaksi, jota rajoittavat ympyrät, joilla on sama keskipiste ja säteet 1 ja 2 (kuva 32).

Muuntaminen toteutetaan rinnakkaissiirrolla vektoriin. Siirtämällä rengas, jonka keskipiste on pisteessä, osoitettuun vektoriin saadaan samankokoinen rengas, jonka keskipiste on pisteessä (kuva 22).

Ehdotettu menetelmä, joka käyttää tason geometristen muunnosten ideaa, on luultavasti vähemmän kätevä kuvata, mutta se on erittäin tyylikäs ja tehokas.

Tehtävä 66. Etsi jos .

Anna sitten ja . Alkuperäinen tasa-arvo saa muodon . Kahden kompleksiluvun yhtäläisyyden ehdosta saadaan , , josta , . Täten, .

Kirjoitetaan luku z trigonometriseen muotoon:

, Missä , . Moivren kaavan mukaan löydämme .

Vastaus: 64.

Tehtävä 67. Etsi kompleksiluvulle kaikki kompleksiluvut siten, että , ja .

Esitetään numero trigonometrisessa muodossa:

. Täältä, . Saatu numero voi olla yhtä suuri kuin tai .

Ensimmäisessä tapauksessa , toisessa

.

Vastaus: , .

Tehtävä 68. Etsi sellaisten lukujen summa, jotka . Ilmoita jokin näistä numeroista.

Huomaa, että jo ongelman muotoilusta voidaan ymmärtää, että yhtälön juurien summa voidaan löytää laskematta itse juuria. Todellakin, yhtälön juurien summa on kerroin at otettu vastakkainen merkki(yleistetty Vietan lause), ts.

Opiskelijat, koulun dokumentaatio, tekevät johtopäätöksiä mestaruusasteesta tämä käsite. Tee yhteenveto matemaattisen ajattelun piirteiden tutkimuksesta ja kompleksiluvun käsitteen muodostumisprosessista. Menetelmien kuvaus. Diagnostiikka: vaihe I. Keskustelu käytiin matematiikan opettajan kanssa, joka opettaa algebraa ja geometriaa 10. luokalla. Keskustelu käytiin sen jälkeen, kun alusta oli kulunut jonkin aikaa...

Resonanssi" (!)), joka sisältää myös oman käytöksen arvioinnin. 4. Kriittinen arvio oman tilanteen ymmärtämisestä (epäilykset). 5. Lopuksi oikeuspsykologian suositusten käyttö (lakimies ottaa huomioon psykologisia puolia suoritetut ammatilliset toimet – ammatillinen ja psykologinen valmius). Mietitään nyt psykologinen analyysi juridiset tosiasiat. ...

Trigonometrisen substituution matematiikka ja kehitetyn opetusmetodologian tehokkuuden testaus. Työvaiheet: 1. Valinnaisen kurssin kehittäminen aiheesta "Trigonometrisen substituution soveltaminen algebrallisten tehtävien ratkaisemiseen" opiskelijoiden kanssa edistyneen matematiikan luokissa. 2. Kehitettävän valinnaisen kurssin suorittaminen. 3. Suoritetaan diagnostinen testi...

Kognitiiviset tehtävät on tarkoitettu vain täydentämään olemassa olevia opetusvälineitä ja ne on yhdistettävä asianmukaisesti kaikkien kanssa perinteisin keinoin ja koulutusprosessin osat. Oppimistavoitteiden ero opetuksessa humanistiset tieteet tarkasta, mistä matemaattisia ongelmia Ainoa ongelma on, että historiallisista ongelmista puuttuu kaavoja, tiukkoja algoritmeja jne., mikä vaikeuttaa niiden ratkaisua. ...

3.1. Polaarikoordinaatit

Käytetään usein lentokoneessa napakoordinaattijärjestelmä . Se määritellään, jos piste O annetaan, kutsutaan napa, ja navasta lähtevä säde (meille tämä on akseli Ox) – napa-akseli. Pisteen M sijainti on kiinteä kahdella numerolla: säde (tai sädevektori) ja kulma φ napa-akselin ja vektorin välillä. Kulmaa φ kutsutaan napakulma; mitattuna radiaaneina ja laskettu vastapäivään napa-akselilta.

Pisteen sijainti napakoordinaatistossa ilmaistaan ​​järjestetyllä numeroparilla (r; φ). Napalla r = 0, ja φ ei ​​ole määritelty. Kaikille muille kohdille r > 0, ja φ määritellään termiin asti, joka on 2π:n kerrannainen. Tässä tapauksessa numeroparit (r; φ) ja (r 1 ; φ 1) liittyvät samaan pisteeseen, jos .

Suorakaiteen muotoiselle koordinaattijärjestelmälle xOy Pisteen suorakulmaiset koordinaatit ilmaistaan ​​helposti sen napakoordinaateina seuraavasti:

3.2. Kompleksiluvun geometrinen tulkinta

Tarkastellaan suorakaiteen muotoista koordinaattijärjestelmää tasossa xOy.

Mikä tahansa kompleksiluku z=(a, b) liittyy tason pisteeseen, jonka koordinaatit ( x, y), Missä koordinaatti x = a, ts. kompleksiluvun reaaliosa ja koordinaatti y = bi on imaginaariosa.

Taso, jonka pisteet ovat kompleksilukuja, on kompleksitaso.

Kuvassa kompleksiluku z = (a, b) vastaa pistettä M(x, y).

Harjoittele.Piirrä kompleksiluvut koordinaattitasolle:

3.3. Kompleksiluvun trigonometrinen muoto

Tasossa olevalla kompleksiluvulla on pisteen koordinaatit M(x;y). Jossa:

Kompleksiluvun kirjoittaminen - kompleksiluvun trigonometrinen muoto.

Numeroa r kutsutaan moduuli kompleksiluku z ja on nimetty. Modulus on ei-negatiivinen reaaliluku. varten .

Moduuli on nolla jos ja vain jos z = 0, so. a = b = 0.

Numeroa φ kutsutaan argumentti z ja on nimetty. Argumentti z määritellään moniselitteisesti, kuten napakulma napakoordinaattijärjestelmässä, nimittäin termiin, joka on 2π:n kerrannainen.

Sitten hyväksymme: , jossa φ on argumentin pienin arvo. Se on selvää

.

Kun aihetta tutkitaan syvällisemmin, otetaan käyttöön apuargumentti φ*, niin että

Esimerkki 1. Etsi kompleksiluvun trigonometrinen muoto.

Ratkaisu. 1) harkitse moduulia: ;

2) etsii φ: ;

3) trigonometrinen muoto:

Esimerkki 2. Etsi kompleksiluvun algebrallinen muoto .

Tässä riittää arvojen korvaaminen trigonometriset funktiot ja muuta lauseke:

Esimerkki 3. Etsi kompleksiluvun moduuli ja argumentti;

1) ;

2) ; φ – 4 neljänneksellä:

3.4. Operaatiot kompleksiluvuilla trigonometrisessa muodossa

· Yhteen-ja vähennyslasku Se on kätevämpää tehdä kompleksiluvuilla algebrallisessa muodossa:

· Kertominen– yksinkertaisilla trigonometrisilla muunnoksilla voidaan osoittaa, että Kerrottaessa lukumoduulit kerrotaan ja argumentit lisätään: ;