Aritmeettisessa progressiossa am n. Aritmeettinen progressio. Yksityiskohtainen teoria esimerkeineen (2019)

Tai aritmetiikka on järjestetyn numeerisen sekvenssin tyyppi, jonka ominaisuuksia tutkitaan koulun kurssi algebra. Tässä artikkelissa käsitellään yksityiskohtaisesti kysymystä aritmeettisen progression summan löytämisestä.

Millainen eteneminen tämä on?

Ennen kuin siirryt kysymykseen (miten löytää aritmeettisen progression summa), on syytä ymmärtää, mistä puhumme.

Mitä tahansa reaalilukujen sarjaa, joka saadaan lisäämällä (vähentämällä) jokin arvo jokaisesta edellisestä numerosta, kutsutaan algebralliseksi (aritmeettiseksi) progressioksi. Tämä määritelmä käännettynä matemaattiselle kielelle saa muotoa:

Tässä i on rivin a i elementin sarjanumero. Näin ollen, kun tiedät vain yhden aloitusnumeron, voit helposti palauttaa koko sarjan. Kaavan parametria d kutsutaan etenemiseroksi.

Voidaan helposti osoittaa, että tarkasteltavana olevalle lukusarjalle pätee seuraava yhtäläisyys:

a n = a 1 + d* (n - 1).

Eli löytääksesi n:nnen elementin arvon järjestyksessä, sinun tulee lisätä erotus d ensimmäiseen elementtiin a 1 n-1 kertaa.

Mikä on aritmeettisen progression summa: kaava

Ennen kuin annat ilmoitetun määrän kaavan, kannattaa harkita yksinkertaista erikoistapausta. Eteneminen on annettu luonnolliset luvut 1-10, sinun on löydettävä niiden summa. Koska etenemisessä (10) on vähän termejä, on mahdollista ratkaista ongelma suoraan, eli summata kaikki elementit järjestyksessä.

S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

Yksi harkitsemisen arvoinen asia mielenkiintoinen asia: koska jokainen termi eroaa seuraavasta samalla arvolla d = 1, niin ensimmäisen ja yhdeksännen termin parillinen summaus antaa saman tuloksen. Todella:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Kuten näette, näitä summia on vain 5, eli tasan kaksi kertaa vähemmän kuin sarjan elementtien lukumäärä. Sitten kertomalla summien lukumäärä (5) kunkin summan tuloksella (11), saadaan ensimmäisessä esimerkissä saatu tulos.

Jos yleistämme nämä argumentit, voimme kirjoittaa seuraavan lausekkeen:

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

Tämä lauseke osoittaa, että kaikkia rivin alkioita ei tarvitse laskea yhteen, vaan riittää, että tiedät ensimmäisen a 1:n ja viimeisen a n:n arvot sekä kokonaismäärä n termejä.

Uskotaan, että Gauss ajatteli ensimmäisen kerran tätä yhtäläisyyttä etsiessään ratkaisua opettajansa antamaan ongelmaan: laske ensimmäiset 100 kokonaislukua.

Alkioiden summa m:stä n:ään: kaava

Edellisessä kappaleessa annettu kaava vastaa kysymykseen, kuinka aritmeettisen progression summa (ensimmäiset alkiot) löydetään, mutta usein tehtävissä joudutaan summaamaan numerosarja etenemisen keskellä. Kuinka tehdä se?

Helpoin tapa vastata tähän kysymykseen on tarkastella seuraavaa esimerkkiä: olkoon tarpeen löytää termien summa m-:nnestä n:nneksi. Ongelman ratkaisemiseksi sinun tulee esittää etenemisen annettu segmentti m:stä n:ään uuden numerosarjan muodossa. Tällaisissa m-edustus termi a m on ensimmäinen, ja a n on numeroitu n-(m-1). Tässä tapauksessa summan vakiokaavaa käyttämällä saadaan seuraava lauseke:

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Esimerkki kaavojen käytöstä

Tietäen kuinka löytää aritmeettisen progression summa, kannattaa harkita yksinkertaista esimerkkiä yllä olevien kaavojen käytöstä.

Alla on numeerinen sekvenssi, josta sinun pitäisi löytää sen termien summa alkaen 5:stä ja päättyen 12:een:

Annetut numerot osoittavat, että ero d on yhtä suuri kuin 3. Käyttämällä n:nnen elementin lauseketta voit löytää etenemisen 5. ja 12. jäsenen arvot. Siitä käy ilmi:

a5 = a1 + d*4 = -4 + 3*4 = 8;

a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

Tietäen annettujen päissä olevien numeroiden arvot algebrallinen eteneminen, ja tiedät myös, mitä numeroita rivillä ne vievät, voit käyttää kaavaa edellisessä kappaleessa saadulle summalle. Siitä tulee ilmi:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

On syytä huomata, että tämä arvo voidaan saada eri tavalla: etsi ensin 12 ensimmäisen elementin summa vakiokaavalla, laske sitten neljän ensimmäisen elementin summa samalla kaavalla ja vähennä sitten toinen ensimmäisestä summasta.

Jos jokaiselle luonnolliselle luvulle n vastaa oikeaa lukua a n , sitten he sanovat, että se on annettu numerosarja :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Numerosarja on siis luonnollisen argumentin funktio.

Määrä a 1 nimeltään sekvenssin ensimmäinen termi , numero a 2 — sekvenssin toinen termi , numero a 3 — kolmas ja niin edelleen. Määrä a n nimeltään n. termi sekvenssejä , ja luonnollinen luku n — hänen numeronsa .

Kahdesta vierekkäisestä jäsenestä a n Ja a n +1 sekvenssin jäsen a n +1 nimeltään myöhemmin (kohti a n ), A a n — Edellinen (kohti a n +1 ).

Jos haluat määrittää sekvenssin, sinun on määritettävä menetelmä, jonka avulla voit löytää sekvenssin jäsenen millä tahansa numerolla.

Usein järjestys määritetään käyttämällä n. termikaavat , eli kaava, jonka avulla voit määrittää sekvenssin jäsenen sen numeron perusteella.

Esimerkiksi,

positiivinen sarja parittomat luvut voidaan antaa kaavalla

a n= 2n- 1,

ja vuorottelujärjestys 1 Ja -1 -kaava

b n = (-1)n +1 . ◄

Järjestys voidaan määrittää toistuva kaava, eli kaava, joka ilmaisee minkä tahansa sekvenssin jäsenen, alkaen joistakin, edellisten (yhden tai useamman) jäsenen kautta.

Esimerkiksi,

Jos a 1 = 1 , A a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Jos a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , sitten numeerisen sekvenssin seitsemän ensimmäistä termiä muodostetaan seuraavasti:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Sekvenssit voivat olla lopullinen Ja loputon .

Sarjaa kutsutaan perimmäinen , jos sillä on rajallinen määrä jäseniä. Sarjaa kutsutaan loputon , jos sillä on äärettömän monta jäsentä.

Esimerkiksi,

kaksinumeroisten luonnollisten lukujen sarja:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

lopullinen.

Alkulukujen järjestys:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

loputon. ◄

Sarjaa kutsutaan lisääntyy , jos jokainen sen jäsenistä toisesta alkaen on suurempi kuin edellinen.

Sarjaa kutsutaan vähenee , jos jokainen sen jäsen toisesta alkaen on pienempi kuin edellinen.

Esimerkiksi,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . — kasvava järjestys;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . - laskeva järjestys. ◄

Kutsutaan jonoa, jonka alkiot eivät pienene luvun kasvaessa tai päinvastoin eivät kasva monotoninen sarja .

Erityisesti monotoniset sekvenssit ovat kasvavia ja väheneviä sekvenssejä.

Aritmeettinen progressio

Aritmeettinen progressio on sarja, jossa jokainen jäsen toisesta alkaen on yhtä suuri kuin edellinen, johon lisätään sama numero.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

on aritmeettinen progressio jollekin luonnolliselle luvulle n ehto täyttyy:

a n +1 = a n + d,

Missä d - tietty numero.

Siten ero tietyn aritmeettisen etenemisen seuraavien ja edellisten termien välillä on aina vakio:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Määrä d nimeltään aritmeettisen etenemisen ero.

Aritmeettisen progression määrittelemiseksi riittää, kun ilmoitetaan sen ensimmäinen termi ja ero.

Esimerkiksi,

Jos a 1 = 3, d = 4 , niin löydämme sekvenssin viisi ensimmäistä termiä seuraavasti:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Aritmeettiselle progressiolle ensimmäisellä termillä a 1 ja ero d hänen n

a n = a 1 + (n- 1)d.

Esimerkiksi,

etsi aritmeettisen progression kolmaskymmenes termi

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

sitten ilmeisesti

Jokainen aritmeettisen progression jäsen toisesta alkaen on yhtä suuri kuin edellisen ja sitä seuraavien jäsenten aritmeettinen keskiarvo.

luvut a, b ja c ovat jonkin aritmeettisen progression peräkkäisiä termejä, jos ja vain jos toinen niistä on yhtä suuri kuin kahden muun aritmeettinen keskiarvo.

Esimerkiksi,

a n = 2n- 7 , on aritmeettinen progressio.

Käytetään yllä olevaa lausetta. Meillä on:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Siten,

◄

Ota huomioon, että n Aritmeettisen progression th termi löytyy paitsi kautta a 1 , mutta myös kaikki aikaisemmat a k

a n = a k + (n- k)d.

Esimerkiksi,

varten a 5 voidaan kirjoittaa ylös

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

sitten ilmeisesti

mikä tahansa aritmeettisen jakson jäsen toisesta alkaen on yhtä suuri kuin puolet tämän aritmeettisen jakson tasavälein olevien jäsenten summasta.

Lisäksi jokaiselle aritmeettiselle progressiolle pätee seuraava yhtäläisyys:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Esimerkiksi,

aritmeettisessa progressiossa

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, koska

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 +. . .+ a n,

ensimmäinen n Aritmeettisen progression termit on yhtä suuri kuin puolen ääritermin ja termien määrän tulo:

Tästä seuraa erityisesti, että jos sinun on summattava ehdot

a k, a k +1 , . . . , a n,

silloin edellinen kaava säilyttää rakenteensa:

Esimerkiksi,

aritmeettisessa progressiossa 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Jos aritmeettinen progressio annetaan, niin suuret a 1 , a n, d, n JaS n yhdistetty kahdella kaavalla:

Siksi jos kolmen merkitykset Näistä määristä on annettu, sitten kahden muun suuren vastaavat arvot määritetään näistä kaavoista yhdistettynä kahden yhtälön järjestelmäksi, jossa on kaksi tuntematonta.

Aritmeettinen progressio on monotoninen sekvenssi. Jossa:

• Jos d > 0 , silloin se kasvaa;
• Jos d < 0 , silloin se pienenee;
• Jos d = 0 , sekvenssi pysyy paikallaan.

Geometrinen eteneminen

Geometrinen eteneminen on sarja, jossa jokainen jäsen toisesta alkaen on yhtä suuri kuin edellinen kerrottuna samalla luvulla.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

on geometrinen progressio jollekin luonnolliselle luvulle n ehto täyttyy:

b n +1 = b n · q,

Missä q ≠ 0 - tietty numero.

Siten tietyn geometrisen etenemisen seuraavan termin suhde edelliseen on vakioluku:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Määrä q nimeltään geometrisen progression nimittäjä.

Geometrisen progression määrittämiseksi riittää, kun ilmoitetaan sen ensimmäinen termi ja nimittäjä.

Esimerkiksi,

Jos b 1 = 1, q = -3 , niin löydämme sekvenssin viisi ensimmäistä termiä seuraavasti:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 ja nimittäjä q hänen n Termi löytyy kaavalla:

b n = b 1 · qn -1 .

Esimerkiksi,

etsi geometrisen progression seitsemäs termi 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = b 1 · qn,

sitten ilmeisesti

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

jokainen geometrisen etenemisen jäsen toisesta alkaen on yhtä suuri kuin edellisen ja seuraavien jäsenten geometrinen keskiarvo (suhteellinen).

Koska myös päinvastoin on totta, seuraava väite pätee:

luvut a, b ja c ovat jonkin geometrisen progression peräkkäisiä termejä, jos ja vain jos toisen neliö on yhtä suuri kuin kahden muun tulo, eli toinen luvuista on kahden muun geometrinen keskiarvo.

Esimerkiksi,

Osoittakaamme, että kaavan antama sekvenssi b n= -3 2 n , on geometrinen progressio. Käytetään yllä olevaa lausetta. Meillä on:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Siten,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

joka todistaa halutun väitteen. ◄

Ota huomioon, että n Geometrisen progression th termi löytyy paitsi kautta b 1 , mutta myös kaikki aiemmat jäsenet b k , johon riittää kaavan käyttäminen

b n = b k · qn - k.

Esimerkiksi,

varten b 5 voidaan kirjoittaa ylös

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · qn - k,

b n = b n - k · q k,

sitten ilmeisesti

b n 2 = b n - k· b n + k

geometrisen progression minkä tahansa termin neliö toisesta alkaen on yhtä suuri kuin tämän etenemisen termien tulo, jotka ovat yhtä kaukana siitä.

Lisäksi yhtäläisyys on totta kaikille geometrisille progressioille:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Esimerkiksi,

geometrisessa progressiossa

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , koska

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

ensimmäinen n geometrisen progression jäsenet nimittäjän kanssa q ≠ 0 lasketaan kaavalla:

Ja milloin q = 1 -kaavan mukaan

S n= Huom 1

Huomaa, että jos sinun on laskettava ehdot yhteen

b k, b k +1 , . . . , b n,

sitten käytetään kaavaa:

Esimerkiksi,

geometrisessa progressiossa 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Jos annetaan geometrinen eteneminen, sitten määrät b 1 , b n, q, n Ja S n yhdistetty kahdella kaavalla:

Siksi, jos minkä tahansa kolmen näiden suureiden arvot annetaan, kahden muun suuren vastaavat arvot määritetään näistä kaavoista yhdistettynä kahden yhtälön järjestelmäksi, jossa on kaksi tuntematonta.

Geometriselle etenemiselle ensimmäisellä termillä b 1 ja nimittäjä q tapahtuu seuraavaa monotonisuuden ominaisuudet :

• eteneminen lisääntyy, jos jokin seuraavista ehdoista täyttyy:

b 1 > 0 Ja q> 1;

b 1 < 0 Ja 0 < q< 1;

• Eteneminen vähenee, jos jokin seuraavista ehdoista täyttyy:

b 1 > 0 Ja 0 < q< 1;

b 1 < 0 Ja q> 1.

Jos q< 0 , silloin geometrinen progressio on vuorotteleva: sen parittomilla luvuilla varustetut termit ovat samassa etumerkissä kuin ensimmäisellä termillä ja parillisten lukujen termeillä on päinvastainen etumerkki. On selvää, että vuorotteleva geometrinen eteneminen ei ole monotoninen.

Ensimmäisen tuote n geometrisen progression termit voidaan laskea kaavalla:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Esimerkiksi,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Portaattomasti pienenevä geometrinen eteneminen

Portaattomasti pienenevä geometrinen eteneminen kutsutaan äärettömäksi geometriseksi progressioksi, jonka nimittäjämoduuli on pienempi 1 , tuo on

|q| < 1 .

Huomaa, että äärettömästi pienenevä geometrinen eteneminen ei välttämättä ole vähenevä sarja. Se sopii tilaisuuteen

1 < q< 0 .

Tällaisella nimittäjällä sekvenssi on vuorotteleva. Esimerkiksi,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Äärettömästi pienenevän geometrisen progression summa nimeä luku, johon ensimmäisten summa lähestyy rajattomasti n etenemisen jäseniä, joiden lukumäärä kasvaa rajattomasti n . Tämä luku on aina äärellinen ja ilmaistaan ​​kaavalla

Esimerkiksi,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Aritmeettisen ja geometrisen progression välinen suhde

Aritmeettinen ja geometrinen progressio liittyvät läheisesti toisiinsa. Katsotaanpa vain kahta esimerkkiä.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , Tuo

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Esimerkiksi,

1, 3, 5, . . . - aritmeettinen eteneminen erolla 2 Ja

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - geometrinen eteneminen nimittäjällä 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - geometrinen eteneminen nimittäjällä q , Tuo

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - aritmeettinen eteneminen erolla kirjaudu aq .

Esimerkiksi,

2, 12, 72, . . . - geometrinen eteneminen nimittäjällä 6 Ja

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - aritmeettinen eteneminen erolla lg 6 . ◄

Numerosarjan käsite tarkoittaa, että jokainen luonnollinen luku vastaa jotakin todellista arvoa. Tällainen numerosarja voi olla joko mielivaltainen tai omata tiettyjä ominaisuuksia– eteneminen. Jälkimmäisessä tapauksessa jokainen seuraava sekvenssin elementti (jäsen) voidaan laskea käyttämällä edellistä.

Aritmeettinen progressio on numeeristen arvojen sarja, jossa sen vierekkäiset jäsenet eroavat toisistaan ​​saman numeron verran (kaikilla sarjan elementeillä, alkaen 2., on samanlainen ominaisuus). Tämä numero– edellisen ja seuraavan termin välinen ero on vakio ja sitä kutsutaan etenemiseroksi.

Etenemisero: määritelmä

Tarkastellaan jonoa, joka koostuu j-arvoista A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j kuuluu luonnollisten lukujen joukkoon N. Aritmeettinen progressio on määritelmänsä mukaan jono , jossa a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. Arvo d on tämän etenemisen haluttu ero.

d = a(j) – a(j-1).

Kohokohta:

• Kasvava eteneminen, jolloin d > 0. Esimerkki: 4, 8, 12, 16, 20, ...
• Etenemisen hidastuminen, sitten d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Eron eteneminen ja sen mielivaltaiset elementit

Jos etenemisen 2 mielivaltaista termiä tunnetaan (i-th, k-th), voidaan tietyn sekvenssin erotus määrittää suhteen perusteella:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, mikä tarkoittaa d = (a(i) – a(k))/(i-k).

Etenemisero ja sen ensimmäinen termi

Tämä lauseke auttaa määrittämään tuntemattoman arvon vain tapauksissa, joissa sekvenssielementin numero tunnetaan.

Etenemisero ja sen summa

Progression summa on sen ehtojen summa. Käytä sopivaa kaavaa laskeaksesi sen ensimmäisen j-elementin kokonaisarvon:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, mutta koska a(j) = a(1) + d(j – 1), sitten S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(–1))/2)*j.

Aritmeettisen progression summa.

Aritmeettisen progression summa on yksinkertainen asia. Sekä merkityksessä että kaavassa. Mutta tähän aiheeseen liittyy kaikenlaisia ​​tehtäviä. Perustasosta melko kiinteään.

Ymmärretään ensin määrän merkitys ja kaava. Ja sitten päätetään. Omaksi iloksesi.) Summan merkitys on yksinkertainen kuin moo. Löytääksesi aritmeettisen progression summan, sinun on vain lisättävä huolellisesti kaikki sen ehdot. Jos näitä termejä on vähän, voit lisätä ilman kaavoja. Mutta jos on paljon, tai paljon... lisääminen on ärsyttävää.) Tässä tapauksessa kaava tulee apuun.

Määrän kaava on yksinkertainen:

Selvitetään, millaisia ​​kirjaimia kaava sisältää. Tämä selventää asioita paljon.

S n - aritmeettisen progression summa. Lisäyksen tulos kaikille jäseniä, kanssa ensimmäinen Tekijä: kestää. On tärkeää. Ne summautuvat täsmälleen Kaikki jäseniä peräkkäin ilman ohittamista. Ja nimenomaan alkaen ensimmäinen. Ongelmissa, kuten kolmannen ja kahdeksannen ehdon summan tai viidennen ja kahdennenkymmenennen termien summan löytäminen, kaavan suora soveltaminen tuottaa pettymyksen.)

a 1 - ensimmäinen etenemisen jäsen. Kaikki on selvää täällä, se on yksinkertaista ensimmäinen rivin numero.

a n- viimeinen etenemisen jäsen. Sarjan viimeinen numero. Ei kovin tuttu nimi, mutta määrään käytettynä se on erittäin sopiva. Sitten näet itse.

n - viimeisen jäsenen numero. On tärkeää ymmärtää, että kaavassa tämä numero sama kuin lisättyjen termien määrä.

Määritellään käsite kestää jäsen a n. Hankala kysymys: mikä jäsen tulee viimeinen jos annetaan loputon aritmeettinen progressio?)

Vastataksesi itsevarmasti sinun on ymmärrettävä aritmeettisen etenemisen alkeellinen merkitys ja... lue tehtävä huolellisesti!)

Tehtävässä löytää aritmeettisen progression summa, viimeinen termi esiintyy aina (suoraan tai epäsuorasti), joita pitäisi rajoittaa. Muuten lopullinen, tietty määrä ei yksinkertaisesti ole olemassa. Ratkaisun kannalta ei ole väliä onko progressio annettu: äärellinen vai ääretön. Ei ole väliä miten se annetaan: numerosarja vai n:nnen termin kaava.

Tärkeintä on ymmärtää, että kaava toimii etenemisen ensimmäisestä termistä numeron sisältävään termiin n. Itse asiassa kaavan koko nimi näyttää tältä: aritmeettisen progression n ensimmäisen ehdon summa. Näiden aivan ensimmäisten jäsenten lukumäärä, ts. n, määräytyy yksinomaan tehtävän mukaan. Tehtävässä kaikki tämä arvokas tieto on usein salattu, kyllä... Mutta ei se haittaa, alla olevissa esimerkeissä paljastamme nämä salaisuudet.)

Esimerkkejä tehtävistä aritmeettisen progression summalla.

Ensinnäkin, hyödyllistä tietoa:

Suurin vaikeus tehtävissä, joihin liittyy aritmeettisen progression summa, on kaavan elementtien oikea määrittäminen.

Tehtävän kirjoittajat salaavat juuri nämä elementit rajattomalla mielikuvituksella.) Tärkeintä tässä ei ole pelätä. Elementtien olemuksen ymmärtäminen riittää, kun ne yksinkertaisesti tulkitaan. Katsotaanpa muutama esimerkki yksityiskohtaisesti. Aloitetaan tehtävällä, joka perustuu todelliseen GIA:han.

1. Aritmeettinen eteneminen saadaan ehdolla: a n = 2n-3.5. Etsi sen 10 ensimmäisen ehdon summa.

Hyvää työtä. Helppoa.) Mitä meidän on tiedettävä summan määrittämiseksi kaavan avulla? Ensimmäinen jäsen a 1, viime kausi a n, kyllä ​​viimeisen jäsenen numero n.

Mistä saan viimeisen jäsenen numeron? n? Kyllä, siellä ehdolla! Se sanoo: etsi summa 10 ensimmäistä jäsentä. No, millä numerolla se tulee olemaan? kestää, kymmenes jäsen?) Et usko sitä, hänen numeronsa on kymmenes!) Siksi sen sijaan a n Korvataan kaavaan a 10, ja sen sijaan n- kymmenen. Toistan, että viimeisen jäsenen lukumäärä on sama kuin jäsenten lukumäärä.

Se on vielä määritettävä a 1 Ja a 10. Tämä on helppo laskea käyttämällä n:nnen termin kaavaa, joka on annettu tehtävälausekkeessa. Etkö tiedä miten tämä tehdään? Osallistu edelliseen oppituntiin, ilman tätä ei ole mitään keinoa.

a 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

a 10=2·10 - 3,5 =16,5

S n = S 10.

Olemme selvittäneet aritmeettisen progression summan kaavan kaikkien elementtien merkityksen. Jäljelle jää vain korvata ne ja laskea:

Se siitä. Vastaus: 75.

Toinen tehtävä, joka perustuu GIA:han. Hieman monimutkaisempi:

2. Annettu aritmeettinen progressio (a n), jonka ero on 3,7; a 1 = 2,3. Etsi sen 15 ensimmäisen ehdon summa.

Kirjoitamme välittömästi summakaavan:

Tämän kaavan avulla voimme löytää minkä tahansa termin arvon sen numeron perusteella. Etsimme yksinkertaista vaihtoa:

a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1

On vielä korvattava kaikki elementit aritmeettisen etenemisen summan kaavaan ja laskettava vastaus:

Vastaus: 423.

Muuten, jos summakaavassa sen sijaan a n Korvaamme yksinkertaisesti kaavan n:nnelle termille ja saamme:

Esitetään samanlaisia ​​ja hankitaan uusi kaava aritmeettisen progression termien summalle:

Kuten näet, sitä ei vaadita täällä n. termi a n. Joissakin ongelmissa tämä kaava auttaa paljon, kyllä... Voit muistaa tämän kaavan. Tai voit yksinkertaisesti näyttää sen oikeaan aikaan, kuten täällä. Loppujen lopuksi sinun on aina muistettava summan kaava ja n:nnen termin kaava.)

Nyt tehtävä lyhyen salauksen muodossa):

3. Laske kaikkien positiivisten kaksinumeroisten lukujen summa, jotka ovat kolmen kerrannaisia.

Vau! Ei ensimmäinen jäsen, ei viimeinen tai eteneminen ollenkaan... Kuinka elää!?

Sinun täytyy ajatella päälläsi ja vetää kaikki aritmeettisen etenemisen summan elementit pois ehdosta. Tiedämme mitä kaksinumeroiset luvut ovat. Ne koostuvat kahdesta numerosta.) Mikä kaksinumeroinen luku tulee olemaan ensimmäinen? 10, oletettavasti.) A viimeinen asia kaksinumeroinen luku? 99 tietysti! Kolminumeroiset seuraavat häntä...

Kolmen kerrannaiset... Hm... Nämä ovat kolmella jaollisia lukuja, tässä! Kymmenen ei ole jaollinen kolmella, 11 ei ole jaollinen... 12... on jaollinen! Jotain on siis tulossa. Voit jo kirjoittaa sarjan muistiin ongelman ehtojen mukaan:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Onko tämä sarja aritmeettinen progressio? Varmasti! Jokainen termi eroaa edellisestä tiukasti kolmella. Jos lisäät termiin 2 tai 4, sanotaan esimerkiksi tulos, ts. uusi luku ei ole enää jaollinen kolmella. Voit määrittää aritmeettisen etenemisen eron välittömästi: d = 3. Se tulee tarpeeseen!)

Joten voimme turvallisesti kirjoittaa muistiin joitain etenemisparametreja:

Mikä numero tulee olemaan? n viimeinen jäsen? Jokainen, joka luulee, että 99, on kohtalokkaasti väärässä... Numerot menevät aina peräkkäin, mutta jäsenemme hyppäävät kolmen yli. Ne eivät sovi yhteen.

Tässä on kaksi ratkaisua. Yksi tapa on erittäin ahkeralle. Voit kirjoittaa muistiin etenemisen, koko numerosarjan ja laskea jäsenten lukumäärän sormella.) Toinen tapa on harkitseville. Sinun on muistettava n:nnen termin kaava. Jos sovellamme kaavaa ongelmaamme, huomaamme, että 99 on etenemisen kolmaskymmenes termi. Nuo. n = 30.

Katsotaan aritmeettisen progression summan kaavaa:

Katsomme ja iloitsemme.) Poimimme ongelmanratkaisusta kaiken tarvittavan summan laskemiseen:

a 1= 12.

a 30= 99.

S n = S 30.

Jäljelle jää vain perusaritmetiikka. Korvaamme luvut kaavaan ja laskemme:

Vastaus: 1665

Toinen suosittu palapelityyppi:

4. Annettu aritmeettinen progressio:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Etsi termien summa kahdeskymmenes-kolmekymmentäneljäksi.

Katsomme summan kaavaa ja... suuttumme.) Muistutan teitä, kaava laskee määrän ensimmäisestä jäsen. Ja ongelmassa sinun on laskettava summa 20:sta lähtien... Kaava ei toimi.

Voit tietysti kirjoittaa koko etenemisen sarjaksi ja lisätä termejä 20:stä 34:ään. Mutta... se on jotenkin typerää ja kestää kauan, eikö?)

On olemassa tyylikkäämpi ratkaisu. Jaetaan sarjamme kahteen osaan. Ensimmäinen osa tulee olemaan ensimmäisestä lukukaudesta yhdeksänteentoista. Toinen osa - kahdestakymmenestä kolmeenkymmeneenneljään. On selvää, että jos laskemme ensimmäisen osan ehtojen summan S 1-19, lisätään se toisen osan ehtojen summaan S 20-34, saamme etenemisen summan ensimmäisestä termistä kolmeenkymmeneenneljänteen S 1-34. Kuten tämä:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Tästä voimme nähdä, että löytää summa S 20-34 voidaan tehdä yksinkertaisella vähennyksellä

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Molemmat oikealla puolella olevat summat otetaan huomioon ensimmäisestä jäsen, ts. vakiosummakaava soveltuu hyvin niihin. Aloitetaan?

Poimimme etenemisparametrit ongelmalauseesta:

d = 1,5.

a 1= -21,5.

Ensimmäisen 19 ja 34 ensimmäisen termin summan laskemiseksi tarvitsemme 19. ja 34. ehdon. Laskemme ne n:nnen termin kaavalla, kuten tehtävässä 2:

a 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5

a 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28

Ei ole mitään jäljellä. 34 ehdon summasta vähennetään 19 ehdon summa:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Vastaus: 262,5

Yksi tärkeä huomio! Tämän ongelman ratkaisemisessa on erittäin hyödyllinen temppu. Suoran laskennan sijaan mitä tarvitset (S 20-34), laskimme jotain mitä ei näytä tarvittavan - S 1-19. Ja sitten he päättivät S 20-34, hylkäämällä tarpeettomat täydellisestä tuloksesta. Tällainen "korvien pettäminen" säästää sinut usein pahoilta ongelmilta.)

Tällä oppitunnilla tarkastelimme tehtäviä, joissa riittää ymmärtää aritmeettisen progression summan merkitys. No, sinun täytyy tietää pari kaavaa.)

Käytännön neuvoja:

Kun ratkaiset mitä tahansa aritmeettisen progression summaa koskevaa ongelmaa, suosittelen heti kirjoittamaan kaksi pääkaavaa tästä aiheesta.

Kaava n:nnelle termille:

Nämä kaavat kertovat heti, mitä etsiä ja mihin suuntaan ajatella ongelman ratkaisemiseksi. Auttaa.

Ja nyt itsenäisen ratkaisun tehtävät.

5. Laske kaikkien niiden kaksinumeroisten lukujen summa, jotka eivät ole jaollisia kolmella.

Hienoa?) Vihje on piilotettu muistiinpanoon tehtävään 4. No, tehtävä 3 auttaa.

6. Aritmeettinen eteneminen saadaan ehdolla: a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Etsi sen 24 ensimmäisen ehdon summa.

Epätavallinen?) Tämä on toistuva kaava. Voit lukea siitä edellisellä oppitunnilla. Älä sivuuta linkkiä, tällaisia ​​​​ongelmia löytyy usein valtion tiedeakatemiasta.

7. Vasya säästi rahaa lomaa varten. Jopa 4550 ruplaa! Ja päätin antaa suosikkihenkilölleni (itselleni) muutaman päivän onnea). Elä kauniisti kieltämättä itseltäsi mitään. Käytä 500 ruplaa ensimmäisenä päivänä ja jokaisena seuraavana päivänä kuluta 50 ruplaa enemmän kuin edellinen! Kunnes rahat loppuvat. Kuinka monta onnellista päivää Vasyalla oli?

Onko vaikeaa?) Tehtävän 2 lisäkaava auttaa.

Vastaukset (sekaisin): 7, 3240, 6.

Jos pidät tästä sivustosta...

Muuten, minulla on sinulle pari muuta mielenkiintoista sivustoa.)

Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Opitaan - mielenkiinnolla!)

Voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.