Aritmeettisessa progressiossa xn. Aritmeettinen eteneminen esimerkein

Jos jokaiselle luonnolliselle luvulle n vastaa oikeaa lukua a n , sitten he sanovat, että se on annettu numerosarja :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Numerosarja on siis luonnollisen argumentin funktio.

Määrä a 1 nimeltään sekvenssin ensimmäinen termi , numero a 2 — sekvenssin toinen termi , numero a 3 — kolmas ja niin edelleen. Määrä a n nimeltään n. termi sekvenssejä , ja luonnollinen luku n — hänen numeronsa .

Kahdesta vierekkäisestä jäsenestä a n Ja a n +1 sekvenssin jäsen a n +1 nimeltään myöhemmin (kohti a n ), A a n — Edellinen (kohti a n +1 ).

Jos haluat määrittää sekvenssin, sinun on määritettävä menetelmä, jonka avulla voit löytää sekvenssin jäsenen millä tahansa numerolla.

Usein järjestys määritetään käyttämällä n. termikaavat , eli kaava, jonka avulla voit määrittää sekvenssin jäsenen sen numeron perusteella.

Esimerkiksi,

positiivinen sarja parittomat luvut voidaan antaa kaavalla

a n= 2n- 1,

ja vuorottelujärjestys 1 Ja -1 -kaava

b n = (-1)n +1 . ◄

Järjestys voidaan määrittää toistuva kaava, eli kaava, joka ilmaisee minkä tahansa sekvenssin jäsenen, alkaen joistakin, edellisten (yhden tai useamman) jäsenen kautta.

Esimerkiksi,

Jos a 1 = 1 , A a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Jos a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , sitten numeerisen sekvenssin seitsemän ensimmäistä termiä muodostetaan seuraavasti:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Sekvenssit voivat olla lopullinen Ja loputon .

Sarjaa kutsutaan perimmäinen , jos sillä on rajallinen määrä jäseniä. Sarjaa kutsutaan loputon , jos sillä on äärettömän monta jäsentä.

Esimerkiksi,

kaksinumeroinen sarja luonnolliset luvut:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

lopullinen.

Alkulukujen järjestys:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

loputon. ◄

Sarjaa kutsutaan lisääntyy , jos jokainen sen jäsenistä toisesta alkaen on suurempi kuin edellinen.

Sarjaa kutsutaan vähenee , jos jokainen sen jäsen toisesta alkaen on pienempi kuin edellinen.

Esimerkiksi,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . — kasvava järjestys;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . - laskeva järjestys. ◄

Kutsutaan jonoa, jonka alkiot eivät pienene luvun kasvaessa tai päinvastoin eivät kasva monotoninen sarja .

Erityisesti monotoniset sekvenssit ovat kasvavia ja väheneviä sekvenssejä.

Aritmeettinen progressio

Aritmeettinen progressio on sarja, jossa jokainen jäsen toisesta alkaen on yhtä suuri kuin edellinen, johon lisätään sama numero.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

on aritmeettinen progressio jollekin luonnolliselle luvulle n ehto täyttyy:

a n +1 = a n + d,

Missä d - tietty numero.

Siten ero tietyn aritmeettisen etenemisen seuraavien ja edellisten termien välillä on aina vakio:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Määrä d nimeltään aritmeettisen etenemisen ero.

Aritmeettisen progression määrittelemiseksi riittää, kun ilmoitetaan sen ensimmäinen termi ja ero.

Esimerkiksi,

Jos a 1 = 3, d = 4 , niin löydämme sekvenssin viisi ensimmäistä termiä seuraavasti:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Aritmeettiselle progressiolle ensimmäisellä termillä a 1 ja ero d hänen n

a n = a 1 + (n- 1)d.

Esimerkiksi,

etsi aritmeettisen progression kolmaskymmenes termi

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

sitten ilmeisesti

Jokainen aritmeettisen progression jäsen toisesta alkaen on yhtä suuri kuin edellisen ja sitä seuraavien jäsenten aritmeettinen keskiarvo.

luvut a, b ja c ovat jonkin aritmeettisen progression peräkkäisiä termejä, jos ja vain jos toinen niistä on yhtä suuri kuin kahden muun aritmeettinen keskiarvo.

Esimerkiksi,

a n = 2n- 7 , on aritmeettinen progressio.

Käytetään yllä olevaa lausetta. Meillä on:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Siten,

◄

Ota huomioon, että n Aritmeettisen progression th termi löytyy paitsi kautta a 1 , mutta myös kaikki aikaisemmat a k

a n = a k + (n- k)d.

Esimerkiksi,

varten a 5 voidaan kirjoittaa ylös

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

sitten ilmeisesti

mikä tahansa aritmeettisen jakson jäsen toisesta alkaen on yhtä suuri kuin puolet tämän aritmeettisen jakson tasavälein olevien jäsenten summasta.

Lisäksi jokaiselle aritmeettiselle progressiolle pätee seuraava yhtäläisyys:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Esimerkiksi,

aritmeettisessa progressiossa

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, koska

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 +. . .+ a n,

ensimmäinen n Aritmeettisen progression termit on yhtä suuri kuin puolen ääritermin ja termien määrän tulo:

Tästä seuraa erityisesti, että jos sinun on summattava ehdot

a k, a k +1 , . . . , a n,

silloin edellinen kaava säilyttää rakenteensa:

Esimerkiksi,

aritmeettisessa progressiossa 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Jos aritmeettinen progressio annetaan, niin suuret a 1 , a n, d, n JaS n yhdistetty kahdella kaavalla:

Siksi jos kolmen merkitykset Näistä määristä on annettu, sitten kahden muun suuren vastaavat arvot määritetään näistä kaavoista yhdistettynä kahden yhtälön järjestelmäksi, jossa on kaksi tuntematonta.

Aritmeettinen progressio on monotoninen sekvenssi. Jossa:

• Jos d > 0 , silloin se kasvaa;
• Jos d < 0 , silloin se pienenee;
• Jos d = 0 , sekvenssi pysyy paikallaan.

Geometrinen eteneminen

Geometrinen eteneminen on sarja, jossa jokainen jäsen toisesta alkaen on yhtä suuri kuin edellinen kerrottuna samalla luvulla.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

on geometrinen progressio jollekin luonnolliselle luvulle n ehto täyttyy:

b n +1 = b n · q,

Missä q ≠ 0 - tietty numero.

Siten tietyn geometrisen etenemisen seuraavan termin suhde edelliseen on vakioluku:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Määrä q nimeltään geometrisen progression nimittäjä.

Geometrisen progression määrittämiseksi riittää, kun ilmoitetaan sen ensimmäinen termi ja nimittäjä.

Esimerkiksi,

Jos b 1 = 1, q = -3 , niin löydämme sekvenssin viisi ensimmäistä termiä seuraavasti:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 ja nimittäjä q hänen n Termi löytyy kaavalla:

b n = b 1 · qn -1 .

Esimerkiksi,

etsi geometrisen progression seitsemäs termi 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = b 1 · qn,

sitten ilmeisesti

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

jokainen geometrisen etenemisen jäsen toisesta alkaen on yhtä suuri kuin edellisen ja seuraavien jäsenten geometrinen keskiarvo (suhteellinen).

Koska myös päinvastoin on totta, seuraava väite pätee:

luvut a, b ja c ovat jonkin geometrisen progression peräkkäisiä termejä, jos ja vain jos toisen neliö on yhtä suuri kuin kahden muun tulo, eli toinen luvuista on kahden muun geometrinen keskiarvo.

Esimerkiksi,

Osoittakaamme, että kaavan antama sekvenssi b n= -3 2 n , on geometrinen progressio. Käytetään yllä olevaa lausetta. Meillä on:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Siten,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

joka todistaa halutun väitteen. ◄

Ota huomioon, että n Geometrisen progression th termi löytyy paitsi kautta b 1 , mutta myös kaikki aiemmat jäsenet b k , johon riittää kaavan käyttäminen

b n = b k · qn - k.

Esimerkiksi,

varten b 5 voidaan kirjoittaa ylös

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · qn - k,

b n = b n - k · q k,

sitten ilmeisesti

b n 2 = b n - k· b n + k

geometrisen progression minkä tahansa termin neliö toisesta alkaen on yhtä suuri kuin tämän etenemisen termien tulo, jotka ovat yhtä kaukana siitä.

Lisäksi yhtäläisyys on totta kaikille geometrisille progressioille:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Esimerkiksi,

geometrisessa progressiossa

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , koska

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

ensimmäinen n geometrisen progression jäsenet nimittäjän kanssa q ≠ 0 lasketaan kaavalla:

Ja milloin q = 1 -kaavan mukaan

S n= Huom 1

Huomaa, että jos sinun on laskettava ehdot yhteen

b k, b k +1 , . . . , b n,

sitten käytetään kaavaa:

Esimerkiksi,

geometrisessa progressiossa 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Jos annetaan geometrinen eteneminen, sitten määrät b 1 , b n, q, n Ja S n yhdistetty kahdella kaavalla:

Siksi, jos minkä tahansa kolmen näiden suureiden arvot annetaan, kahden muun suuren vastaavat arvot määritetään näistä kaavoista yhdistettynä kahden yhtälön järjestelmäksi, jossa on kaksi tuntematonta.

Geometriselle etenemiselle ensimmäisellä termillä b 1 ja nimittäjä q tapahtuu seuraavaa monotonisuuden ominaisuudet :

• eteneminen lisääntyy, jos jokin seuraavista ehdoista täyttyy:

b 1 > 0 Ja q> 1;

b 1 < 0 Ja 0 < q< 1;

• Eteneminen vähenee, jos jokin seuraavista ehdoista täyttyy:

b 1 > 0 Ja 0 < q< 1;

b 1 < 0 Ja q> 1.

Jos q< 0 , silloin geometrinen progressio on vuorotteleva: sen parittomilla luvuilla varustetut termit ovat samassa etumerkissä kuin ensimmäisellä termillä ja parillisten lukujen termeillä on päinvastainen etumerkki. On selvää, että vuorotteleva geometrinen eteneminen ei ole monotoninen.

Ensimmäisen tuote n geometrisen progression termit voidaan laskea kaavalla:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Esimerkiksi,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Portaattomasti pienenevä geometrinen eteneminen

Portaattomasti pienenevä geometrinen eteneminen kutsutaan äärettömäksi geometriseksi progressioksi, jonka nimittäjämoduuli on pienempi 1 , tuo on

|q| < 1 .

Huomaa, että äärettömästi pienenevä geometrinen eteneminen ei välttämättä ole vähenevä sarja. Se sopii tilaisuuteen

1 < q< 0 .

Tällaisella nimittäjällä sekvenssi on vuorotteleva. Esimerkiksi,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Äärettömästi pienenevän geometrisen progression summa nimeä luku, johon ensimmäisten summa lähestyy rajattomasti n etenemisen jäseniä, joiden lukumäärä kasvaa rajattomasti n . Tämä luku on aina äärellinen ja ilmaistaan ​​kaavalla

Esimerkiksi,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Aritmeettisen ja geometrisen progression välinen suhde

Aritmeettinen ja geometrinen progressio liittyvät läheisesti toisiinsa. Katsotaanpa vain kahta esimerkkiä.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , Tuo

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Esimerkiksi,

1, 3, 5, . . . - aritmeettinen eteneminen erolla 2 Ja

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - geometrinen eteneminen nimittäjällä 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - geometrinen eteneminen nimittäjällä q , Tuo

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - aritmeettinen eteneminen erolla kirjaudu aq .

Esimerkiksi,

2, 12, 72, . . . - geometrinen eteneminen nimittäjällä 6 Ja

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - aritmeettinen eteneminen erolla lg 6 . ◄

Ennen kuin alamme päättää aritmeettiset etenemisongelmat, pohditaan, mikä numerosarja on, koska aritmeettinen progressio on lukujonon erikoistapaus.

Numerosarja on numerojoukko, jonka jokaisella elementillä on oma sarjanumeronsa. Tämän joukon elementtejä kutsutaan sarjan jäseniksi. Sekvenssielementin sarjanumero ilmaistaan ​​indeksillä:

Sarjan ensimmäinen elementti;

Jakson viides elementti;

- sekvenssin "n:s" elementti, ts. elementti "seisoi jonossa" numerossa n.

Järjestyselementin arvon ja sen järjestysnumeron välillä on suhde. Siksi voimme pitää sekvenssiä funktiona, jonka argumentti on sekvenssin elementin järjestysnumero. Toisin sanoen voimme sanoa niin sekvenssi on luonnollisen argumentin funktio:

Sarja voidaan asettaa kolmella tavalla:

1 . Järjestys voidaan määrittää taulukon avulla. Tässä tapauksessa asetamme yksinkertaisesti sekvenssin kunkin jäsenen arvon.

Esimerkiksi Joku päätti ryhtyä henkilökohtaiseen ajanhallintaan ja laskea aluksi, kuinka paljon aikaa hän viettää VKontaktessa viikon aikana. Tallentamalla ajan taulukkoon hän saa sarjan, joka koostuu seitsemästä elementistä:

Taulukon ensimmäinen rivi osoittaa viikonpäivän numeron, toinen - ajan minuutteina. Näemme, että eli maanantaina Joku vietti 125 minuuttia VKontaktessa, eli torstaina - 248 minuuttia, ja eli perjantaina vain 15.

2 . Jakso voidaan määrittää käyttämällä n:nnen termin kaavaa.

Tässä tapauksessa sarjaelementin arvon riippuvuus sen numerosta ilmaistaan ​​suoraan kaavan muodossa.

Esimerkiksi jos , niin

Löytääksemme tietyn numeron sekvenssielementin arvon korvaamme elementin numeron n:nnen termin kaavalla.

Teemme samoin, jos meidän on löydettävä funktion arvo, jos argumentin arvo tunnetaan. Korvaamme argumentin arvon funktioyhtälöön:

Jos esim. , Tuo

Huomautan vielä kerran, että sekvenssissä, toisin kuin mielivaltaisessa numeerisessa funktiossa, argumentti voi olla vain luonnollinen luku.

3 . Sarja voidaan määrittää kaavalla, joka ilmaisee sekvenssin jäsennumeron n arvon riippuvuuden aiempien jäsenten arvoista. Tässä tapauksessa ei riitä, että tiedämme vain sekvenssin jäsenen numeron löytääksemme sen arvon. Meidän on määritettävä sekvenssin ensimmäinen jäsen tai muutama ensimmäinen jäsen.

Harkitse esimerkiksi järjestystä ,

Löydämme sarjan jäsenten arvot järjestyksessä, alkaen kolmannesta:

Eli joka kerta löytääksemme sekvenssin n:nnen termin arvon, palaamme kahteen edelliseen. Tätä menetelmää sekvenssin määrittämiseksi kutsutaan toistuva, latinan sanasta recurro- tule takaisin.

Nyt voimme määritellä aritmeettisen progression. Aritmeettinen progressio on yksinkertainen numerosarjan erikoistapaus.

Aritmeettinen progressio on numerosarja, jonka jokainen jäsen toisesta alkaen on yhtä suuri kuin edellinen samaan numeroon lisättynä.

Numeroon soitetaan aritmeettisen etenemisen ero. Aritmeettisen progression ero voi olla positiivinen, negatiivinen tai yhtä suuri kuin nolla.

If title="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} lisääntyy.

Esimerkiksi 2; 5; 8; yksitoista;...

Jos , niin aritmeettisen etenemisen jokainen termi on pienempi kuin edellinen, ja eteneminen on vähenee.

Esimerkiksi 2; -1; -4; -7;...

Jos , Kaikki etenemisen ehdot ovat samat, ja eteneminen on paikallaan.

Esimerkiksi 2;2;2;2;...

Aritmeettisen progression pääominaisuus:

Katsotaanpa kuvaa.

Näemme sen

, ja samaan aikaan

Kun nämä kaksi yhtälöä lisätään, saadaan:

.

Jaetaan tasa-arvon molemmat puolet kahdella:

Joten jokainen aritmeettisen progression jäsen toisesta alkaen on yhtä suuri kuin kahden vierekkäisen aritmeettisen keskiarvon:

Lisäksi koska

, ja samaan aikaan

, Tuo

, ja siksi

Aritmeettisen progression jokainen termi, joka alkaa otsikko="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Termin kaava.

Näemme, että aritmeettisen progression ehdot täyttävät seuraavat suhteet:

ja lopuksi

Saimme n:nnen termin kaava.

TÄRKEÄ! Mikä tahansa aritmeettisen progression jäsen voidaan ilmaista ja. Kun tiedät aritmeettisen progression ensimmäisen termin ja eron, voit löytää minkä tahansa sen termistä.

Aritmeettisen etenemisen n ehdon summa.

Satunnaisessa aritmeettisessa progressiossa äärimmäisistä yhtä kaukana olevien termien summat ovat keskenään yhtä suuret:

Tarkastellaan aritmeettista progressiota, jossa on n termiä. Olkoon tämän etenemisen n ehtojen summa yhtä suuri kuin .

Järjestetään etenemisen ehdot ensin numeroiden nousevaan järjestykseen ja sitten laskevaan järjestykseen:

Lisätään pareittain:

Jokaisessa sulussa oleva summa on , parien lukumäärä on n.

Saamme:

Niin, aritmeettisen etenemisen n ehdon summa voidaan löytää kaavoilla:

Harkitsemme aritmeettisten etenemisongelmien ratkaiseminen.

1 . Järjestys saadaan n:nnen termin kaavalla: . Todista, että tämä sarja on aritmeettinen progressio.

Osoittakaamme, että sekvenssin kahden vierekkäisen termin välinen ero on yhtä suuri kuin sama luku.

Huomasimme, että ero sekvenssin kahden vierekkäisen jäsenen välillä ei riipu niiden lukumäärästä ja on vakio. Siksi tämä sarja on määritelmän mukaan aritmeettinen progressio.

2 . Annettu aritmeettinen progressio -31; -27;...

a) Etsi etenemisen 31 termiä.

b) Selvitä, sisältyykö luku 41 tähän etenemiseen.

A) Näemme sen;

Kirjataan ylös kaava n:nnelle termille edistymisellemme.

Yleisesti

Meidän tapauksessamme , Siksi

Aritmeettisen progression summa.

Aritmeettisen progression summa on yksinkertainen asia. Sekä merkityksessä että kaavassa. Mutta tähän aiheeseen liittyy kaikenlaisia ​​tehtäviä. Perustasosta melko kiinteään.

Ymmärretään ensin määrän merkitys ja kaava. Ja sitten päätetään. Omaksi iloksesi.) Summan merkitys on yksinkertainen kuin moo. Löytääksesi aritmeettisen progression summan, sinun on vain lisättävä huolellisesti kaikki sen ehdot. Jos näitä termejä on vähän, voit lisätä ilman kaavoja. Mutta jos on paljon, tai paljon... lisääminen on ärsyttävää.) Tässä tapauksessa kaava tulee apuun.

Määrän kaava on yksinkertainen:

Selvitetään, millaisia ​​kirjaimia kaava sisältää. Tämä selventää asioita paljon.

S n - aritmeettisen progression summa. Lisäyksen tulos kaikille jäseniä, kanssa ensimmäinen Tekijä: kestää. On tärkeää. Ne summautuvat täsmälleen Kaikki jäseniä peräkkäin ilman ohittamista. Ja nimenomaan alkaen ensimmäinen. Ongelmissa, kuten kolmannen ja kahdeksannen ehdon summan tai viidennen ja kahdennenkymmenennen termien summan löytäminen, kaavan suora soveltaminen tuottaa pettymyksen.)

a 1 - ensimmäinen etenemisen jäsen. Kaikki on selvää täällä, se on yksinkertaista ensimmäinen rivin numero.

a n- viimeinen etenemisen jäsen. Sarjan viimeinen numero. Ei kovin tuttu nimi, mutta määrään käytettynä se on erittäin sopiva. Sitten näet itse.

n - viimeisen jäsenen numero. On tärkeää ymmärtää, että kaavassa tämä numero sama kuin lisättyjen termien määrä.

Määritellään käsite kestää jäsen a n. Hankala kysymys: mikä jäsen tulee viimeinen jos annetaan loputon aritmeettinen progressio?)

Vastataksesi itsevarmasti sinun on ymmärrettävä aritmeettisen etenemisen alkeellinen merkitys ja... lue tehtävä huolellisesti!)

Tehtävässä löytää aritmeettisen progression summa, viimeinen termi esiintyy aina (suoraan tai epäsuorasti), joita pitäisi rajoittaa. Muuten lopullinen, tietty määrä ei yksinkertaisesti ole olemassa. Ratkaisun kannalta ei ole väliä onko progressio annettu: äärellinen vai ääretön. Ei ole väliä miten se annetaan: numerosarja vai n:nnen termin kaava.

Tärkeintä on ymmärtää, että kaava toimii etenemisen ensimmäisestä termistä numeron sisältävään termiin n. Itse asiassa kaavan koko nimi näyttää tältä: aritmeettisen progression n ensimmäisen ehdon summa. Näiden aivan ensimmäisten jäsenten lukumäärä, ts. n, määräytyy yksinomaan tehtävän mukaan. Tehtävässä kaikki tämä arvokas tieto on usein salattu, kyllä... Mutta ei se haittaa, alla olevissa esimerkeissä paljastamme nämä salaisuudet.)

Esimerkkejä tehtävistä aritmeettisen progression summalla.

Ensinnäkin, hyödyllistä tietoa:

Suurin vaikeus tehtävissä, joihin liittyy aritmeettisen progression summa, on kaavan elementtien oikea määrittäminen.

Tehtävän kirjoittajat salaavat juuri nämä elementit rajattomalla mielikuvituksella.) Tärkeintä tässä ei ole pelätä. Elementtien olemuksen ymmärtäminen riittää, kun ne yksinkertaisesti tulkitaan. Katsotaanpa muutama esimerkki yksityiskohtaisesti. Aloitetaan tehtävällä, joka perustuu todelliseen GIA:han.

1. Aritmeettinen eteneminen saadaan ehdolla: a n = 2n-3.5. Etsi sen 10 ensimmäisen ehdon summa.

Hyvää työtä. Helppoa.) Mitä meidän on tiedettävä summan määrittämiseksi kaavan avulla? Ensimmäinen jäsen a 1, viime kausi a n, kyllä ​​viimeisen jäsenen numero n.

Mistä saan viimeisen jäsenen numeron? n? Kyllä, siellä ehdolla! Se sanoo: etsi summa 10 ensimmäistä jäsentä. No, millä numerolla se tulee olemaan? kestää, kymmenes jäsen?) Et usko sitä, hänen numeronsa on kymmenes!) Siksi sen sijaan a n Korvataan kaavaan a 10, ja sen sijaan n- kymmenen. Toistan, että viimeisen jäsenen lukumäärä on sama kuin jäsenten lukumäärä.

Se on vielä määritettävä a 1 Ja a 10. Tämä on helppo laskea käyttämällä n:nnen termin kaavaa, joka on annettu tehtävälausekkeessa. Etkö tiedä miten tämä tehdään? Osallistu edelliseen oppituntiin, ilman tätä ei ole mitään keinoa.

a 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

a 10=2·10 - 3,5 =16,5

S n = S 10.

Olemme selvittäneet aritmeettisen progression summan kaavan kaikkien elementtien merkityksen. Jäljelle jää vain korvata ne ja laskea:

Se siitä. Vastaus: 75.

Toinen tehtävä, joka perustuu GIA:han. Hieman monimutkaisempi:

2. Annettu aritmeettinen progressio (a n), jonka ero on 3,7; a 1 = 2,3. Etsi sen 15 ensimmäisen ehdon summa.

Kirjoitamme välittömästi summakaavan:

Tämän kaavan avulla voimme löytää minkä tahansa termin arvon sen numeron perusteella. Etsimme yksinkertaista vaihtoa:

a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1

On vielä korvattava kaikki elementit aritmeettisen etenemisen summan kaavaan ja laskettava vastaus:

Vastaus: 423.

Muuten, jos summakaavassa sen sijaan a n Korvaamme yksinkertaisesti kaavan n:nnelle termille ja saamme:

Esitetään samanlaisia ​​ja hankitaan uusi kaava aritmeettisen progression termien summalle:

Kuten näet, sitä ei vaadita täällä n. termi a n. Joissakin ongelmissa tämä kaava auttaa paljon, kyllä... Voit muistaa tämän kaavan. Tai voit yksinkertaisesti näyttää sen oikeaan aikaan, kuten täällä. Loppujen lopuksi sinun on aina muistettava summan kaava ja n:nnen termin kaava.)

Nyt tehtävä lyhyen salauksen muodossa):

3. Laske kaikkien positiivisten kaksinumeroisten lukujen summa, jotka ovat kolmen kerrannaisia.

Vau! Ei ensimmäinen jäsen, ei viimeinen tai eteneminen ollenkaan... Kuinka elää!?

Sinun täytyy ajatella päälläsi ja vetää kaikki aritmeettisen etenemisen summan elementit pois ehdosta. Tiedämme mitä kaksinumeroiset luvut ovat. Ne koostuvat kahdesta numerosta.) Mikä kaksinumeroinen luku tulee olemaan ensimmäinen? 10, oletettavasti.) A viimeinen asia kaksinumeroinen luku? 99 tietysti! Kolminumeroiset seuraavat häntä...

Kolmen kerrannaiset... Hm... Nämä ovat kolmella jaollisia lukuja, tässä! Kymmenen ei ole jaollinen kolmella, 11 ei ole jaollinen... 12... on jaollinen! Jotain on siis tulossa. Voit jo kirjoittaa sarjan muistiin ongelman ehtojen mukaan:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Onko tämä sarja aritmeettinen progressio? Varmasti! Jokainen termi eroaa edellisestä tiukasti kolmella. Jos lisäät termiin 2 tai 4, sanotaan esimerkiksi tulos, ts. uusi luku ei ole enää jaollinen kolmella. Voit määrittää aritmeettisen etenemisen eron välittömästi: d = 3. Se tulee tarpeeseen!)

Joten voimme turvallisesti kirjoittaa muistiin joitain etenemisparametreja:

Mikä numero tulee olemaan? n viimeinen jäsen? Jokainen, joka luulee, että 99, on kohtalokkaasti väärässä... Numerot menevät aina peräkkäin, mutta jäsenemme hyppäävät kolmen yli. Ne eivät sovi yhteen.

Tässä on kaksi ratkaisua. Yksi tapa on erittäin ahkeralle. Voit kirjoittaa muistiin etenemisen, koko numerosarjan ja laskea jäsenten lukumäärän sormella.) Toinen tapa on harkitseville. Sinun on muistettava n:nnen termin kaava. Jos sovellamme kaavaa ongelmaamme, huomaamme, että 99 on etenemisen kolmaskymmenes termi. Nuo. n = 30.

Katsotaan aritmeettisen progression summan kaavaa:

Katsomme ja iloitsemme.) Poimimme ongelmanratkaisusta kaiken tarvittavan summan laskemiseen:

a 1= 12.

a 30= 99.

S n = S 30.

Jäljelle jää vain perusaritmetiikka. Korvaamme luvut kaavaan ja laskemme:

Vastaus: 1665

Toinen suosittu palapelityyppi:

4. Annettu aritmeettinen progressio:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Etsi termien summa kahdeskymmenes-kolmekymmentäneljäksi.

Katsomme summan kaavaa ja... suuttumme.) Muistutan teitä, kaava laskee määrän ensimmäisestä jäsen. Ja ongelmassa sinun on laskettava summa 20:sta lähtien... Kaava ei toimi.

Voit tietysti kirjoittaa koko etenemisen sarjaksi ja lisätä termejä 20:stä 34:ään. Mutta... se on jotenkin typerää ja kestää kauan, eikö?)

On olemassa tyylikkäämpi ratkaisu. Jaetaan sarjamme kahteen osaan. Ensimmäinen osa tulee olemaan ensimmäisestä lukukaudesta yhdeksänteentoista. Toinen osa - kahdestakymmenestä kolmeenkymmeneenneljään. On selvää, että jos laskemme ensimmäisen osan ehtojen summan S 1-19, lisätään se toisen osan ehtojen summaan S 20-34, saamme etenemisen summan ensimmäisestä termistä kolmeenkymmeneenneljänteen S 1-34. Kuten tämä:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Tästä voimme nähdä, että löytää summa S 20-34 voidaan tehdä yksinkertaisella vähennyksellä

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Molemmat oikealla puolella olevat summat otetaan huomioon ensimmäisestä jäsen, ts. vakiosummakaava soveltuu hyvin niihin. Aloitetaan?

Poimimme etenemisparametrit ongelmalauseesta:

d = 1,5.

a 1= -21,5.

Ensimmäisen 19 ja 34 ensimmäisen termin summan laskemiseksi tarvitsemme 19. ja 34. ehdon. Laskemme ne n:nnen termin kaavalla, kuten tehtävässä 2:

a 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5

a 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28

Ei ole mitään jäljellä. 34 ehdon summasta vähennetään 19 ehdon summa:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Vastaus: 262,5

Yksi tärkeä huomio! Tämän ongelman ratkaisemisessa on erittäin hyödyllinen temppu. Suoran laskennan sijaan mitä tarvitset (S 20-34), laskimme jotain mitä ei näytä tarvittavan - S 1-19. Ja sitten he päättivät S 20-34, hylkäämällä tarpeettomat täydellisestä tuloksesta. Tällainen "korvien pettäminen" säästää sinut usein pahoilta ongelmilta.)

Tällä oppitunnilla tarkastelimme tehtäviä, joissa riittää ymmärtää aritmeettisen progression summan merkitys. No, sinun täytyy tietää pari kaavaa.)

Käytännön neuvoja:

Kun ratkaiset mitä tahansa aritmeettisen progression summaa koskevaa ongelmaa, suosittelen heti kirjoittamaan kaksi pääkaavaa tästä aiheesta.

Kaava n:nnelle termille:

Nämä kaavat kertovat heti, mitä etsiä ja mihin suuntaan ajatella ongelman ratkaisemiseksi. Auttaa.

Ja nyt itsenäisen ratkaisun tehtävät.

5. Laske kaikkien niiden kaksinumeroisten lukujen summa, jotka eivät ole jaollisia kolmella.

Hienoa?) Vihje on piilotettu muistiinpanoon tehtävään 4. No, tehtävä 3 auttaa.

6. Aritmeettinen eteneminen saadaan ehdolla: a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Etsi sen 24 ensimmäisen ehdon summa.

Epätavallinen?) Tämä on toistuva kaava. Voit lukea siitä edellisellä oppitunnilla. Älä sivuuta linkkiä, tällaisia ​​​​ongelmia löytyy usein valtion tiedeakatemiasta.

7. Vasya säästi rahaa lomaa varten. Jopa 4550 ruplaa! Ja päätin antaa suosikkihenkilölleni (itselleni) muutaman päivän onnea). Elä kauniisti kieltämättä itseltäsi mitään. Käytä 500 ruplaa ensimmäisenä päivänä ja jokaisena seuraavana päivänä kuluta 50 ruplaa enemmän kuin edellinen! Kunnes rahat loppuvat. Kuinka monta onnellista päivää Vasyalla oli?

Onko vaikeaa?) Tehtävän 2 lisäkaava auttaa.

Vastaukset (sekaisin): 7, 3240, 6.

Jos pidät tästä sivustosta...

Muuten, minulla on sinulle pari muuta mielenkiintoista sivustoa.)

Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Opitaan - mielenkiinnolla!)

Voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.

Huomio!
On olemassa ylimääräisiä
materiaalit erityisosastossa 555.
Niille, jotka ovat erittäin "ei kovin..."
Ja niille, jotka "erittäin...")

Aritmeettinen progressio on lukusarja, jossa jokainen luku on suurempi (tai pienempi) kuin edellinen saman verran.

Tämä aihe tuntuu usein monimutkaiselta ja käsittämättömältä. Kirjainten indeksit, etenemisen n:s termi, etenemisen ero - kaikki tämä on jotenkin hämmentävää, kyllä... Selvitetään aritmeettisen etenemisen merkitys ja kaikki paranee heti.)

Aritmeettisen progression käsite.

Aritmeettinen progressio on hyvin yksinkertainen ja selkeä käsite. Onko sinulla epäilyksiä? Turhaan.) Katso itse.

Kirjoitan keskeneräisen numerosarjan:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Voitko jatkaa tätä sarjaa? Mitkä numerot tulevat seuraavaksi viiden jälkeen? Kaikki... öh..., lyhyesti sanottuna, kaikki ymmärtävät, että numerot 6, 7, 8, 9 jne. tulevat seuraavaksi.

Monimutkaistaan ​​tehtävää. Annan sinulle keskeneräisen numerosarjan:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Pystyt saamaan kuvion kiinni, laajentamaan sarjaa ja nimeämään seitsemäs rivin numero?

Jos ymmärsit, että tämä luku on 20, onnittelut! Et vain tuntenut avainkohdat aritmeettinen progressio, mutta myös käyttänyt niitä menestyksekkäästi liiketoiminnassa! Jos et ole ymmärtänyt sitä, lue.

Käännetään nyt avainkohdat aistimuksista matematiikkaan.)

Ensimmäinen keskeinen kohta.

Aritmeettinen progressio käsittelee lukusarjoja. Tämä on aluksi hämmentävää. Olemme tottuneet ratkaisemaan yhtälöitä, piirtämään kaavioita ja kaikkea muuta... Mutta tässä laajennetaan sarjaa, etsitään sarjan numero...

Se on okei. Progressiot ovat vain ensimmäinen tutustuminen uuteen matematiikan haaraan. Osio on nimeltään "Sarja", ja se toimii erityisesti numerosarjojen ja lausekkeiden kanssa. Totu siihen.)

Toinen keskeinen kohta.

Aritmeettisessa progressiossa mikä tahansa luku on erilainen kuin edellinen samalla määrällä.

Ensimmäisessä esimerkissä tämä ero on yksi. Minkä numeron valitsetkin, se on yksi enemmän kuin edellinen. Toisessa - kolme. Mikä tahansa luku on kolme enemmän kuin edellinen. Itse asiassa juuri tämä hetki antaa meille mahdollisuuden tarttua kuvioon ja laskea seuraavat luvut.

Kolmas keskeinen kohta.

Tämä hetki ei ole silmiinpistävä, kyllä... Mutta se on erittäin, erittäin tärkeä. Täällä hän on: jokainen etenemisnumero seisoo paikallaan. Siellä on ensimmäinen numero, on seitsemäs, on neljäkymmentäviides jne. Jos sekoitat ne satunnaisesti, kuvio katoaa. Myös aritmeettinen progressio katoaa. Jäljelle jää vain numerosarja.

Se on koko pointti.

Tietysti sisään uusi aihe uudet termit ja nimitykset ilmestyvät. Sinun on tunnettava ne. Muuten et ymmärrä tehtävää. Sinun on esimerkiksi päätettävä jotain seuraavista:

Kirjoita muistiin aritmeettisen progression (a n) kuusi ensimmäistä termiä, jos a 2 = 5, d = -2,5.

Inspiroivaa?) Kirjeitä, joitain hakemistoja... Eikä tehtävä muuten voisi olla yksinkertaisempi. Sinun tarvitsee vain ymmärtää termien ja nimitysten merkitys. Nyt hallitsemme tämän asian ja palaamme tehtävään.

Termit ja nimitykset.

Aritmeettinen progressio on numerosarja, jossa jokainen numero on erilainen kuin edellinen samalla määrällä.

Tätä määrää kutsutaan . Katsotaanpa tätä konseptia tarkemmin.

Aritmeettinen etenemisero.

Aritmeettinen etenemisero on määrä, jolla mikä tahansa etenemisluku lisää Edellinen.

Yksi tärkeä pointti. Kiinnitä huomiota sanaan "lisää". Matemaattisesti tämä tarkoittaa, että jokainen etenemisluku on lisäämällä aritmeettisen etenemisen ero edelliseen numeroon.

Lasketaan vaikka toinen sarjan numerot, sinun täytyy ensimmäinen määrä lisätä juuri tämä aritmeettisen progression ero. Laskemiseen viides- ero on välttämätön lisätä Vastaanottaja neljäs, no jne.

Aritmeettinen etenemisero Voi olla positiivinen, silloin jokainen sarjan numero osoittautuu todelliseksi enemmän kuin edellinen. Tätä etenemistä kutsutaan kasvaa. Esimerkiksi:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Tässä jokainen numero saadaan lisäämällä positiivinen luku, +5 edelliseen.

Ero voi olla negatiivinen, silloin jokainen numero sarjassa on vähemmän kuin edellinen. Tätä kehitystä kutsutaan (et usko sitä!) vähenee.

Esimerkiksi:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Täältä saadaan myös jokainen numero lisäämällä edelliseen, mutta jo negatiivinen numero, -5.

Muuten, etenemisen kanssa työskennellessä on erittäin hyödyllistä määrittää välittömästi sen luonne - onko se lisääntymässä vai laskemassa. Tämä auttaa suuresti navigoimaan päätöksessä, havaitsemaan virheesi ja korjaamaan ne ennen kuin on liian myöhäistä.

Aritmeettinen etenemisero yleensä merkitään kirjaimella d.

Kuinka löytää d? Erittäin yksinkertainen. Se on vähennettävä mistä tahansa sarjan numerosta Edellinen määrä. Vähentää. Muuten, vähennyksen tulosta kutsutaan "eroksi".)

Määrittelemme esim. d aritmeettisen progression lisäämiseksi:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Otetaan mikä tahansa numero sarjasta, jonka haluamme, esimerkiksi 11. Vähennämme siitä edellinen numero nuo. 8:

Tämä on oikea vastaus. Tässä aritmeettisessa progressiossa ero on kolme.

Sinä voit ottaa sen mikä tahansa etenemisnumero, koska tiettyä etenemistä varten d-aina sama. Ainakin jossain rivin alussa, ainakin keskellä, ainakin missä tahansa. Et voi ottaa vain ensimmäistä numeroa. Yksinkertaisesti ensimmäisestä numerosta ei aiempaa.)

Muuten, sen tietäen d = 3, tämän etenemisen seitsemännen numeron löytäminen on hyvin yksinkertaista. Lisätään 3 viidenteen numeroon - saamme kuudennen, siitä tulee 17. Lisätään kuudenteen numeroon kolme, saadaan seitsemäs luku - kaksikymmentä.

Määritellään d laskeva aritmeettinen progressio:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Muistutan teitä siitä, että riippumatta merkkejä, määrittää d tarve mistä tahansa numerosta ottaa edellinen pois. Valitse mikä tahansa etenemisnumero, esimerkiksi -7. Hänen edellinen numeronsa on -2. Sitten:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Aritmeettisen progression ero voi olla mikä tahansa luku: kokonaisluku, murtoluku, irrationaalinen, mikä tahansa luku.

Muut termit ja nimitykset.

Jokaista sarjan numeroa kutsutaan aritmeettisen progression jäsen.

Jokainen etenemisen jäsen on oma numeronsa. Numerot ovat tiukasti järjestyksessä, ilman mitään temppuja. Ensimmäinen, toinen, kolmas, neljäs jne. Esimerkiksi etenemisessä 2, 5, 8, 11, 14, ... kaksi on ensimmäinen termi, viisi on toinen, yksitoista on neljäs, no, ymmärräthän...) Ymmärrä selvästi - itse numerot voi olla mitä tahansa, kokonaista, murto-osaa, negatiivista, mitä tahansa, mutta numeroiden numerointi- ehdottomasti järjestyksessä!

Kuinka kirjoittaa eteneminen sisään yleisnäkymä? Ei ongelmaa! Jokainen sarjan numero kirjoitetaan kirjaimeksi. Aritmeettisen progression merkitsemiseen käytetään yleensä kirjainta a. Jäsennumero on merkitty hakemistolla oikeassa alakulmassa. Kirjoitamme termit pilkuilla (tai puolipisteillä) erotettuina seuraavasti:

1, 2, 3, 4, 5, .....

a 1- tämä on ensimmäinen numero, a 3-kolmas jne. Ei mitään hienoa. Tämä sarja voidaan kirjoittaa lyhyesti näin: (a n).

Edistymistä tapahtuu äärellinen ja ääretön.

Perimmäinen etenemisessä on rajoitettu määrä jäseniä. Viisi, kolmekymmentäkahdeksan, mitä tahansa. Mutta se on rajallinen luku.

Ääretön eteneminen - siinä on ääretön määrä jäseniä, kuten saatat arvata.)

Voit kirjoittaa lopullisen etenemisen sarjan läpi seuraavasti, kaikki termit ja piste lopussa:

1, 2, 3, 4, 5.

Tai näin, jos jäseniä on paljon:

1, 2, ... 14, 15.

Lyhyessä merkinnässä sinun on lisäksi ilmoitettava jäsenmäärä. Esimerkiksi (kahdeksallekymmenelle jäsenelle) näin:

(a n), n = 20

Ääretön eteneminen voidaan tunnistaa rivin lopussa olevasta ellipsistä, kuten tämän oppitunnin esimerkeissä.

Nyt voit ratkaista tehtäviä. Tehtävät ovat yksinkertaisia, pelkästään aritmeettisen progression merkityksen ymmärtämiseksi.

Esimerkkejä aritmeettisen etenemisen tehtävistä.

Katsotaanpa yllä annettua tehtävää yksityiskohtaisesti:

1. Kirjoita aritmeettisen progression (a n) kuusi ensimmäistä termiä, jos a 2 = 5, d = -2,5.

Käännämme tehtävän ymmärrettävälle kielelle. On annettu ääretön aritmeettinen progressio. Tämän etenemisen toinen numero tunnetaan: a 2 = 5. Etenemisero tunnetaan: d = -2,5. Meidän on löydettävä tämän etenemisen ensimmäinen, kolmas, neljäs, viides ja kuudes termi.

Selvyyden vuoksi kirjoitan sarjan ongelman olosuhteiden mukaan. Ensimmäiset kuusi termiä, kun toinen termi on viisi:

1, 5, 3, 4, 5, 6,...

a 3 = a 2 + d

Korvaa ilmaisuksi a 2 = 5 Ja d = -2,5. Älä unohda miinusta!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Kolmas lukukausi selvisi alle kaksi. Kaikki on loogista. Jos luku on suurempi kuin edellinen negatiivinen arvo, mikä tarkoittaa, että itse numero on pienempi kuin edellinen. Edistyminen vähenee. Okei, otetaan se huomioon.) Laskemme sarjamme neljännen termin:

a 4 = a 3 + d

a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

a 5 = a 4 + d

a 5=0+(-2,5)= - 2,5

a 6 = a 5 + d

a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Joten termit kolmannesta kuudenteen laskettiin. Tuloksena on seuraava sarja:

a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....

Vielä on löydettävä ensimmäinen termi a 1 Tekijä: kuuluisa toinen. Tämä on askel toiseen suuntaan, vasemmalle.) Eli aritmeettisen etenemisen ero d ei pidä lisätä a 2, A ottaa mukaan:

a 1 = a 2 - d

a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Se siitä. Tehtävän vastaus:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Ohimennen haluan huomauttaa, että ratkaisimme tämän tehtävän toistuva tapa. Tämä kauhea sana tarkoittaa vain etenemisen jäsenen etsimistä edellisen (viereisen) numeron mukaan. Katsomme alla muita tapoja työskennellä edistymisen kanssa.

Tästä yksinkertaisesta tehtävästä voidaan tehdä yksi tärkeä johtopäätös.

Muistaa:

Jos tiedämme ainakin yhden termin ja aritmeettisen etenemisen eron, voimme löytää tämän etenemisen minkä tahansa termin.

Muistatko? Tämän yksinkertaisen päätelmän avulla voit ratkaista suurimman osan tämän aiheen koulukurssin ongelmista. Kaikki tehtävät pyörivät ympäri kolme pääasiallista parametrit: aritmeettisen progression jäsen, progression ero, progression jäsenen lukumäärä. Kaikki.

Tietenkään kaikkia aiempaa algebraa ei peruuteta.) Epäyhtälöt, yhtälöt ja muut asiat liittyvät etenemiseen. Mutta itse etenemisen mukaan- Kaikki pyörii kolmen parametrin ympärillä.

Katsotaanpa esimerkkinä joitain suosittuja tehtäviä tästä aiheesta.

2. Kirjoita äärellinen aritmeettinen eteneminen sarjana, jos n=5, d = 0,4 ja a 1 = 3,6.

Täällä kaikki on yksinkertaista. Kaikki on jo annettu. Sinun on muistettava, kuinka aritmeettisen progression jäsenet lasketaan, laskea ne ja kirjoittaa ne muistiin. On suositeltavaa olla unohtamatta sanoja tehtäväehdoissa: "lopullinen" ja " n = 5". Jotta ei lasketa ennen kuin olet täysin sinisilmäinen.) Tässä etenemisessä on vain 5 (viisi) jäsentä:

a 2 = a 1 + d = 3,6 + 0,4 = 4

a3 = a2 + d = 4 + 0,4 = 4,4

a 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

a 5 = a 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Jää vielä kirjoittaa vastaus ylös:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Toinen tehtävä:

3. Päätä, onko luku 7 aritmeettisen progression (a n) jäsen, jos a 1 = 4,1; d = 1,2.

Hmm... Kuka tietää? Kuinka määrittää jotain?

Miten-miten... Kirjoita eteneminen muistiin sarjan muodossa ja katso tuleeko siellä seitsemän vai ei! Me laskemme:

a 2 = a 1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3

a3 = a2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5

a 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Nyt on selvästi nähtävissä, että meitä on vasta seitsemän lipsahti läpi 6,5 ja 7,7 välillä! Seitsemän ei kuulunut lukusarjaamme, ja siksi seitsemän ei ole annetun etenemisen jäsen.

Vastaus: ei.

Tässä on ongelma, joka perustuu todellinen vaihtoehto GIA:

4. Useita peräkkäisiä aritmeettisen progression termejä kirjoitetaan:

...; 15; X; 9; 6; ...

Tässä on sarja ilman loppua ja alkua. Ei jäsennumeroita, ei eroa d. Se on okei. Ongelman ratkaisemiseksi riittää, että ymmärrät aritmeettisen progression merkityksen. Katsotaan ja katsotaan mikä on mahdollista tietää tästä sarjasta? Mitkä ovat kolme pääparametria?

Jäsennumerot? Tässä ei ole ainuttakaan numeroa.

Mutta on kolme numeroa ja - huomio! - sana "johdonmukainen" kunnossa. Tämä tarkoittaa, että luvut ovat ehdottomasti järjestyksessä, ilman aukkoja. Onko tässä rivissä kaksi? naapuri tunnetut numerot? Kyllä minulla on! Nämä ovat 9 ja 6. Näin ollen voimme laskea aritmeettisen etenemisen eron! Vähennä kuudesta Edellinen numero, ts. yhdeksän:

Jäljellä on vain pikkujuttuja. Mikä numero on X:n edellinen numero? Viisitoista. Tämä tarkoittaa, että X voidaan löytää helposti yksinkertaisella summauksella. Lisää aritmeettisen etenemisen ero 15:een:

Siinä kaikki. Vastaus: x = 12

Ratkaisemme seuraavat ongelmat itse. Huomaa: nämä ongelmat eivät perustu kaavoihin. Puhtaasti ymmärtääksemme aritmeettisen progression merkityksen.) Kirjoitamme vain sarjan numeroita ja kirjaimia, katsomme ja selvitämme ne.

5. Etsi aritmeettisen progression ensimmäinen positiivinen termi, jos a 5 = -3; d = 1,1.

6. Tiedetään, että luku 5,5 on aritmeettisen progression (a n) jäsen, jossa a 1 = 1,6; d = 1,3. Määritä tämän jäsenen luku n.

7. Tiedetään, että aritmeettisessa progressiossa a 2 = 4; a 5 = 15,1. Etsi 3.

8. Useita peräkkäisiä aritmeettisen progression termejä kirjoitetaan:

...; 15,6; X; 3,4; ...

Etsi x-kirjaimella merkityn etenemisen termi.

9. Juna lähti liikkeelle asemalta ja lisäsi nopeutta tasaisesti 30 metriä minuutissa. Mikä on junan nopeus viiden minuutin kuluttua? Anna vastauksesi kilometriä tunnissa.

10. Tiedetään, että aritmeettisessa progressiossa a 2 = 5; a 6 = -5. Etsi 1.

Vastaukset (sekaisin): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.

Kaikki onnistui? Hämmästyttävä! Voit hallita aritmeettista progressiota saadaksesi lisää korkeatasoinen, seuraavilla oppitunneilla.

Eikö kaikki mennyt? Ei ongelmaa. Erikoisosastossa 555 kaikki nämä ongelmat on lajiteltu pala kerrallaan.) Ja tietysti kuvataan yksinkertainen käytännön tekniikka, joka tuo välittömästi esiin ratkaisun sellaisiin tehtäviin selkeästi, selkeästi, yhdellä silmäyksellä!

Muuten, junapalapelissä on kaksi ongelmaa, joihin ihmiset usein kompastuvat. Toinen on puhtaasti etenemisen kannalta, ja toinen on yleinen matematiikan ja myös fysiikan ongelmille. Tämä on ulottuvuuksien käännös yhdestä toiseen. Se osoittaa, kuinka nämä ongelmat pitäisi ratkaista.

Tällä oppitunnilla tarkastelimme aritmeettisen progression perusmerkitystä ja sen pääparametreja. Tämä riittää ratkaisemaan melkein kaikki tämän aiheen ongelmat. Lisätä d numeroihin, kirjoita sarja, kaikki ratkeaa.

Sormiratkaisu toimii hyvin hyvin lyhyille rivin osille, kuten tämän oppitunnin esimerkeissä. Jos sarja on pidempi, laskelmat monimutkaistuvat. Esimerkiksi jos kysymyksen tehtävässä 9 korvaamme "viisi minuuttia" päällä "kolmekymmentäviisi minuuttia" ongelma pahenee huomattavasti.)

Ja on myös tehtäviä, jotka ovat pohjimmiltaan yksinkertaisia, mutta laskelmien kannalta absurdeja, esimerkiksi:

Aritmeettinen progressio (a n) on annettu. Etsi 121, jos 1 = 3 ja d = 1/6.

Joten mitä, lisäämmekö 1/6 monta, monta kertaa?! Voitko tappaa itsesi!?

Voit.) Jos et tiedä yksinkertainen kaava, jonka avulla voit ratkaista tällaiset tehtävät minuutissa. Tämä kaava on seuraavassa oppitunnissa. Ja tämä ongelma ratkeaa siellä. Minuutissa.)

Jos pidät tästä sivustosta...

Muuten, minulla on sinulle pari muuta mielenkiintoista sivustoa.)

Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Opitaan - mielenkiinnolla!)

Voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.

Tai aritmetiikka on järjestetyn numeerisen sekvenssin tyyppi, jonka ominaisuuksia tutkitaan koulun kurssi algebra. Tässä artikkelissa käsitellään yksityiskohtaisesti kysymystä aritmeettisen progression summan löytämisestä.

Millainen eteneminen tämä on?

Ennen kuin siirryt kysymykseen (miten löytää aritmeettisen progression summa), on syytä ymmärtää, mistä puhumme.

Mitä tahansa reaalilukujen sarjaa, joka saadaan lisäämällä (vähentämällä) jokin arvo jokaisesta edellisestä numerosta, kutsutaan algebralliseksi (aritmeettiseksi) progressioksi. Tämä määritelmä käännettynä matemaattiselle kielelle saa muotoa:

Tässä i on rivin a i elementin sarjanumero. Näin ollen, kun tiedät vain yhden aloitusnumeron, voit helposti palauttaa koko sarjan. Kaavan parametria d kutsutaan etenemiseroksi.

Voidaan helposti osoittaa, että tarkasteltavana olevalle lukusarjalle pätee seuraava yhtäläisyys:

a n = a 1 + d* (n - 1).

Eli löytääksesi n:nnen elementin arvon järjestyksessä, sinun tulee lisätä erotus d ensimmäiseen elementtiin a 1 n-1 kertaa.

Mikä on aritmeettisen progression summa: kaava

Ennen kuin annat ilmoitetun määrän kaavan, kannattaa harkita yksinkertaista erikoistapausta. Kun otetaan huomioon luonnollisten lukujen eteneminen 1:stä 10:een, sinun on löydettävä niiden summa. Koska etenemisessä (10) on vähän termejä, on mahdollista ratkaista ongelma suoraan, eli summata kaikki elementit järjestyksessä.

S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

Yksi harkitsemisen arvoinen asia mielenkiintoinen asia: koska jokainen termi eroaa seuraavasta samalla arvolla d = 1, niin ensimmäisen ja yhdeksännen termin parillinen summaus antaa saman tuloksen. Todella:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Kuten näette, näitä summia on vain 5, eli tasan kaksi kertaa vähemmän kuin sarjan elementtien lukumäärä. Sitten kertomalla summien lukumäärä (5) kunkin summan tuloksella (11), saadaan ensimmäisessä esimerkissä saatu tulos.

Jos yleistämme nämä argumentit, voimme kirjoittaa seuraavan lausekkeen:

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

Tämä lauseke osoittaa, että kaikkia rivin alkioita ei tarvitse laskea yhteen, vaan riittää, että tiedät ensimmäisen a 1:n ja viimeisen a n:n arvot sekä kokonaismäärä n termejä.

Uskotaan, että Gauss ajatteli ensimmäisen kerran tätä yhtäläisyyttä etsiessään ratkaisua opettajansa antamaan ongelmaan: laske ensimmäiset 100 kokonaislukua.

Alkioiden summa m:stä n:ään: kaava

Edellisessä kappaleessa annettu kaava vastaa kysymykseen, kuinka aritmeettisen progression summa (ensimmäiset alkiot) löydetään, mutta usein tehtävissä joudutaan summaamaan numerosarja etenemisen keskellä. Kuinka tehdä se?

Helpoin tapa vastata tähän kysymykseen on tarkastella seuraavaa esimerkkiä: olkoon tarpeen löytää termien summa m-:nnestä n:nneksi. Ongelman ratkaisemiseksi sinun tulee esittää etenemisen annettu segmentti m:stä n:ään uuden numerosarjan muodossa. Tässä näkymässä mth termi a m on ensimmäinen, ja a n on numeroitu n-(m-1). Tässä tapauksessa summan vakiokaavaa käyttämällä saadaan seuraava lauseke:

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Esimerkki kaavojen käytöstä

Tietäen kuinka löytää aritmeettisen progression summa, kannattaa harkita yksinkertaista esimerkkiä yllä olevien kaavojen käytöstä.

Alla on numeerinen sekvenssi, josta sinun pitäisi löytää sen termien summa alkaen 5:stä ja päättyen 12:een:

Annetut numerot osoittavat, että ero d on yhtä suuri kuin 3. Käyttämällä n:nnen elementin lauseketta voit löytää etenemisen 5. ja 12. jäsenen arvot. Siitä käy ilmi:

a5 = a1 + d*4 = -4 + 3*4 = 8;

a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

Kun tiedät tarkasteltavan algebrallisen etenemisen päissä olevien lukujen arvot sekä tiedät, mitä numeroita sarjassa ne vievät, voit käyttää edellisessä kappaleessa saadun summan kaavaa. Siitä tulee ilmi:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

On syytä huomata, että tämä arvo voidaan saada eri tavalla: etsi ensin 12 ensimmäisen elementin summa vakiokaavalla, laske sitten neljän ensimmäisen elementin summa samalla kaavalla ja vähennä sitten toinen ensimmäisestä summasta.