Äärillisellä aritmeettisella progressiolla. Aritmeettinen eteneminen esimerkein

Esimerkiksi sekvenssi \(2\); \(5\); \(8\); \(yksitoista\); \(14\)... on aritmeettinen progressio, koska jokainen seuraava alkio eroaa edellisestä kolmella (saat edellisestä lisäämällä kolme):

Tässä etenemisessä ero \(d\) on positiivinen (yhtä kuin \(3\)), ja siksi jokainen seuraava termi on suurempi kuin edellinen. Tällaisia ​​kehityskulkuja kutsutaan lisääntyy.

Kuitenkin \(d\) voi myös olla negatiivinen numero. Esimerkiksi, aritmeettisessa progressiossa \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... etenemisero \(d\) on yhtä suuri kuin miinus kuusi.

Ja tässä tapauksessa jokainen seuraava elementti on pienempi kuin edellinen. Näitä kehityskulkuja kutsutaan vähenee.

Aritmeettinen etenemismerkintä

Edistyminen on merkitty pienellä latinalaiskirjaimella.

Progression muodostavia lukuja kutsutaan jäsenet(tai elementtejä).

Ne on merkitty samalla kirjaimella aritmeettisena progressiona, mutta numeerisella indeksillä, joka on yhtä suuri kuin elementin numero järjestyksessä.

Esimerkiksi aritmeettinen progressio \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) koostuu elementeistä \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) ja niin edelleen.

Toisin sanoen etenemiselle \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Aritmeettisten etenemisongelmien ratkaiseminen

Periaatteessa edellä esitetyt tiedot riittävät jo ratkaisemaan lähes kaikki aritmeettiset etenemisongelmat (mukaan lukien OGE:ssä tarjotut).

Esimerkki (OGE). Aritmeettinen progressio annetaan ehdoilla \(b_1=7; d=4\). Etsi \(b_5\).
Ratkaisu:

Vastaus: \(b_5=23\)

Esimerkki (OGE). Aritmeettisen progression kolme ensimmäistä termiä on annettu: \(62; 49; 36…\) Laske tämän etenemisen ensimmäisen negatiivisen termin arvo.
Ratkaisu:

Vastaus: \(-3\)

Esimerkki (OGE). Annettu aritmeettisen progression useita peräkkäisiä alkioita: \(…5; x; 10; 12.5...\) Etsi kirjaimella \(x\) tarkoitetun elementin arvo.
Ratkaisu:

Vastaus: \(7,5\).

Esimerkki (OGE). Aritmeettinen progressio annetaan seuraavat ehdot: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Laske tämän etenemisen kuuden ensimmäisen termin summa.
Ratkaisu:

Vastaus: \(S_6=9\).

Esimerkki (OGE). Aritmeettisessa progressiossa \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Etsi tämän etenemisen ero.
Ratkaisu:

Vastaus: \(d=7\).

Tärkeitä aritmeettisen etenemisen kaavoja

Kuten näette, monet aritmeettisen etenemisen ongelmat voidaan ratkaista yksinkertaisesti ymmärtämällä pääasia - että aritmeettinen eteneminen on lukujen ketju, ja jokainen seuraava elementti tässä ketjussa saadaan lisäämällä sama luku edelliseen ( etenemisen ero).

Joskus on kuitenkin tilanteita, joissa "päältä" päättäminen on erittäin hankalaa. Kuvittele esimerkiksi, että aivan ensimmäisessä esimerkissä meidän ei tarvitse löytää viidettä elementtiä \(b_5\), vaan kolmesataakahdeksankymmentäkuudes \(b_(386)\). Pitäisikö meidän lisätä neljä \(385\) kertaa? Tai kuvittele, että toiseksi viimeisessä esimerkissä sinun on löydettävä ensimmäisen seitsemänkymmentäkolmen elementin summa. Olet kyllästynyt laskemaan...

Siksi he eivät tällaisissa tapauksissa ratkaise asioita "päässä", vaan käyttävät erikoiskaavoja, jotka on johdettu aritmeettiseen etenemiseen. Ja tärkeimmät ovat kaava etenemisen n:nnelle termille ja kaava \(n\) ensimmäisten termien summalle.

\(n\):nnen termin kaava: \(a_n=a_1+(n-1)d\), missä \(a_1\) on etenemisen ensimmäinen termi;
\(n\) – vaaditun elementin numero;
\(a_n\) – etenemisen termi numerolla \(n\).

Tämän kaavan avulla voimme nopeasti löytää jopa kolmen sadasosan tai miljoonannen elementin, kun tiedämme vain ensimmäisen ja etenemisen eron.

Esimerkki. Aritmeettinen eteneminen määritetään ehdoilla: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Etsi \(b_(246)\).
Ratkaisu:

Vastaus: \(b_(246)=1850\).

Kaava ensimmäisten n termien summalle: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), jossa

\(a_n\) – viimeinen summattu termi;

Esimerkki (OGE). Aritmeettinen eteneminen määritellään ehdoilla \(a_n=3,4n-0,6\). Etsi tämän etenemisen ensimmäisten \(25\) termien summa.
Ratkaisu:

Vastaus: \(S_(25)=1090\).

Ensimmäisten ehtojen summalle \(n\) voit saada toisen kaavan: sinun tarvitsee vain \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) \(a_n\) sijaan korvaa sen kaava \(a_n=a_1+(n-1)d\). Saamme:

Kaava ensimmäisten n termien summalle: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), missä

\(S_n\) – vaadittu \(n\) ensimmäisen elementin summa;
\(a_1\) – ensimmäinen summattu termi;
\(d\) – etenemisero;
\(n\) – elementtien lukumäärä yhteensä.

Esimerkki. Etsi aritmeettisen etenemisen ensimmäisten \(33\)-ex termien summa: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Ratkaisu:

Vastaus: \(S_(33)=-231\).

Monimutkaisemmat aritmeettiset etenemisongelmat

Nyt sinulla on kaikki tarvittavat tiedot lähes minkä tahansa aritmeettisen etenemisongelman ratkaisemiseen. Lopetetaan aihe pohtimalla ongelmia, joissa sinun ei tarvitse vain soveltaa kaavoja, vaan myös ajatella hieman (matematiikassa tästä voi olla hyötyä ☺)

Esimerkki (OGE). Etsi progression kaikkien negatiivisten termien summa: \(-19.3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Ratkaisu:

Vastaus: \(S_(65)=-630,5\).

Esimerkki (OGE). Aritmeettinen eteneminen määritellään ehdoilla: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Etsi summa \(26\):nnesta \(42\)-elementtiin.
Ratkaisu:

Vastaus: \(S=1683\).

Aritmeettiselle progressiolle on olemassa useita muita kaavoja, joita emme käsitelleet tässä artikkelissa niiden vähäisen käytännön hyödyn vuoksi. Voit kuitenkin löytää ne helposti.

Tärkeät muistiinpanot!
1. Jos näet gobbledygookin kaavojen sijaan, tyhjennä välimuisti. Kuinka tehdä tämä selaimessasi, on kirjoitettu tähän:
2. Ennen kuin aloitat artikkelin lukemisen, kiinnitä huomiota navigaattoriimme hyödyllinen resurssi varten

Numerosarja

Istutaan siis alas ja aletaan kirjoittaa numeroita. Esimerkiksi:
Voit kirjoittaa mitä tahansa numeroita, ja niitä voi olla niin monta kuin haluat (meidän tapauksessamme niitä on). Riippumatta siitä, kuinka monta numeroa kirjoitamme, voimme aina sanoa, kumpi on ensimmäinen, kumpi toinen ja niin edelleen viimeiseen asti, eli voimme numeroida ne. Tämä on esimerkki numerosarjasta:

Numerosarja
Esimerkiksi sarjallemme:

Annettu numero koskee vain yhtä numeroa sarjassa. Toisin sanoen sekvenssissä ei ole kolmea sekuntia. Toinen numero (kuten th) on aina sama.
Lukua, jossa on numero, kutsutaan sekvenssin th termiksi.

Kutsumme yleensä koko sarjaa jollakin kirjaimella (esimerkiksi), ja jokainen tämän sekvenssin jäsen on sama kirjain, jonka indeksi on yhtä suuri kuin tämän jäsenen numero: .

Meidän tapauksessamme:

Oletetaan, että meillä on numerosarja, jossa vierekkäisten lukujen välinen ero on sama ja yhtä suuri.
Esimerkiksi:

jne.
Tätä numerosarjaa kutsutaan aritmeettiseksi progressioksi.
Roomalainen kirjailija Boethius esitteli termin "eteneminen" jo 500-luvulla, ja se ymmärrettiin laajemmassa merkityksessä äärettömänä numeerisena sarjana. Nimi "aritmetiikka" siirrettiin jatkuvien suhteiden teoriasta, jota muinaiset kreikkalaiset tutkivat.

Tämä on numerosarja, jonka jokainen jäsen on sama kuin edellinen samaan numeroon lisätty jäsen. Tätä lukua kutsutaan aritmeettisen progression erotukseksi ja se on nimetty.

Yritä määrittää, mitkä numerosarjat ovat aritmeettisia ja mitkä eivät:

a)
b)
c)
d)

Sain sen? Verrataan vastauksiamme:
On aritmeettinen progressio - b, c.
Ei ole aritmeettinen progressio - a, d.

Palataan annettuun etenemiseen () ja yritetään löytää sen :nnen termin arvo. Olemassa kaksi tapa löytää se.

1. Menetelmä

Voimme lisätä etenemisluvun edelliseen arvoon, kunnes saavutamme etenemisen :nnen termin. On hyvä, että meillä ei ole paljon yhteenvetoa - vain kolme arvoa:

Joten kuvatun aritmeettisen etenemisen th termi on yhtä suuri kuin.

2. Menetelmä

Entä jos meidän pitäisi löytää etenemisen :nnen termin arvo? Summaaminen kestäisi meiltä yli tunnin, eikä ole tosiasia, ettemme tekisi virheitä lukujen lisäämisessä.
Tietenkin matemaatikot ovat keksineet tavan, jolla aritmeettisen progression eroa ei tarvitse lisätä edelliseen arvoon. Katso piirrettyä kuvaa tarkemmin... Olet varmasti jo huomannut tietyn kuvion, nimittäin:

Katsotaanpa esimerkiksi, mistä tämän aritmeettisen progression :nnen termin arvo koostuu:


Toisin sanoen:

Yritä itse löytää tietyn aritmeettisen progression jäsenen arvo tällä tavalla.

Laskitko? Vertaa muistiinpanojasi vastaukseen:

Huomaa, että sait täsmälleen saman luvun kuin edellisessä menetelmässä, kun lisäsimme peräkkäin aritmeettisen etenemisen ehdot edelliseen arvoon.
Yritetään "depersonalisoida" tämä kaava- Laitetaan se yleiseen muotoon ja saadaan:

Aritmeettinen progressio voi kasvaa tai laskea.

Kasvava- progressiot, joissa jokainen seuraava termien arvo on suurempi kuin edellinen.
Esimerkiksi:

Laskeva- progressiot, joissa jokainen seuraava ehtojen arvo on pienempi kuin edellinen.
Esimerkiksi:

Johdettua kaavaa käytetään termien laskennassa sekä aritmeettisen etenemisen kasvavissa että laskevissa termeissä.
Tarkastetaan tämä käytännössä.
Meille annetaan aritmeettinen progressio, joka koostuu seuraavat numerot: Tarkastetaan, mikä on tämän aritmeettisen progression numero, jos käytämme kaavaamme sen laskemiseen:

Siitä lähtien:

Näin ollen olemme vakuuttuneita siitä, että kaava toimii sekä laskevassa että kasvavassa aritmeettisessa progressiossa.
Yritä löytää itse tämän aritmeettisen etenemisen th ja th termi.

Verrataanpa tuloksia:

Aritmeettisen progression ominaisuus

Monimutkaistaan ​​ongelmaa - johdamme aritmeettisen etenemisen ominaisuuden.
Oletetaan, että meille annetaan seuraava ehto:
- aritmeettinen progressio, löydä arvo.
Helppoa, sanot ja alat laskea jo tuntemasi kaavan mukaan:

Ah, sitten:

Aivan oikeassa. Osoittautuu, että löydämme ensin, sitten lisäämme sen ensimmäiseen numeroon ja saamme etsimämme. Jos etenemistä edustavat pienet arvot, niin siinä ei ole mitään monimutkaista, mutta entä jos ehtoon annetaan numeroita? Hyväksy, että laskelmissa on mahdollista tehdä virhe.
Mieti nyt, onko mahdollista ratkaista tämä ongelma yhdessä vaiheessa millä tahansa kaavalla? Tietysti kyllä, ja sitä yritämme nyt tuoda esiin.

Merkitään aritmeettisen progression vaadittu termi kuten, sen löytämisen kaava on meille tiedossa - tämä on sama kaava, jonka johdimme alussa:
, Sitten:

• etenemisen edellinen termi on:
• etenemisen seuraava termi on:

Tehdään yhteenvetona etenemisen edellinen ja myöhemmät ehdot:

Osoittautuu, että etenemisen edellisen ja seuraavien ehtojen summa on niiden välissä olevan etenemistermin kaksinkertainen arvo. Toisin sanoen, jos haluat löytää etenemistermin arvon tunnetuilla aikaisemmilla ja peräkkäisillä arvoilla, sinun on lisättävä ne ja jaettava arvolla.

Aivan oikein, meillä on sama numero. Varmistetaan materiaali. Laske etenemisen arvo itse, se ei ole ollenkaan vaikeaa.

Hyvin tehty! Tiedät melkein kaiken edistymisestä! Jäljelle jää vain yksi kaava, jonka legendan mukaan yksi kaikkien aikojen suurimmista matemaatikoista, "matemaatikoiden kuningas" - Karl Gauss - päätteli helposti...

Kun Carl Gauss oli 9-vuotias, opettaja, joka oli kiireinen tarkistamassa muiden luokkien opiskelijoiden työtä, kysyi luokassa seuraava tehtävä: "Laske kaikkien summa luonnolliset luvut alkaen (muiden lähteiden mukaan aina) mukaan lukien." Kuvittele opettajan yllätys, kun yksi hänen oppilaistaan ​​(tämä oli Karl Gauss) minuutti myöhemmin antoi oikean vastauksen tehtävään, kun taas suurin osa urhoollisen luokkatovereista sai pitkien laskelmien jälkeen väärän tuloksen...

Nuori Carl Gauss huomasi tietyn kuvion, jonka sinäkin huomaat helposti.
Oletetaan, että meillä on aritmeettinen progressio, joka koostuu -:nnestä termistä: Meidän on löydettävä aritmeettisen etenemisen näiden termien summa. Tietysti voimme manuaalisesti summata kaikki arvot, mutta entä jos tehtävä edellyttää ehtojensa summan löytämistä, kuten Gauss etsi?

Kuvataanpa meille annettua kehitystä. Tarkastele korostettuja lukuja tarkemmin ja yritä suorittaa niillä erilaisia ​​matemaattisia operaatioita.


Oletko kokeillut sitä? Mitä huomasit? Oikein! Niiden summat ovat yhtä suuret

Kerro nyt minulle, kuinka monta tällaista paria meille annetussa etenemisessä on yhteensä? Tietysti tarkalleen puolet kaikista luvuista.
Perustuen siihen tosiasiaan, että aritmeettisen etenemisen kahden ehdon summa on yhtä suuri ja samanlaiset parit yhtä suuret, saadaan, että kokonaissumma on yhtä suuri:
.
Siten minkä tahansa aritmeettisen etenemisen ensimmäisten termien summan kaava on:

Joissakin tehtävissä emme tunne th termiä, mutta tiedämme etenemisen eron. Yritä korvata th termin kaava summakaavalla.
Mitä sinä sait?

Hyvin tehty! Palataan nyt Carl Gaussille esitettyyn ongelmaan: laske itse, mikä on th:stä alkavien lukujen summa ja th:stä alkavien lukujen summa.

Kuinka paljon sait?
Gauss havaitsi, että termien summa on yhtä suuri ja termien summa. Näinkö sinä päätit?

Itse asiassa antiikin kreikkalainen tiedemies Diophantus osoitti aritmeettisen etenemisen ehtojen summan kaavan 300-luvulla, ja koko tämän ajan nokkelat ihmiset käyttivät täysimääräisesti aritmeettisen etenemisen ominaisuuksia.
Esimerkiksi kuvitella Muinainen Egypti ja sen ajan suurin rakennusprojekti - pyramidin rakentaminen... Kuvassa sen toinen puoli.

Missä tässä on kehitys, sanotteko? Katso huolellisesti ja löydä kuvio hiekkalohkojen määrästä pyramidiseinän jokaisella rivillä.


Miksei aritmeettinen progressio? Laske kuinka monta lohkoa tarvitaan yhden seinän rakentamiseen, jos tiilet laitetaan pohjaan. Toivottavasti et laske, kun liikutat sormeasi näytön poikki, muistatko viimeisen kaavan ja kaiken, mitä sanoimme aritmeettisesta etenemisestä?

Tässä tapauksessa eteneminen näyttää tältä: .
Aritmeettinen etenemisero.
Aritmeettisen progression termien lukumäärä.
Korvataan tietomme viimeisiin kaavoihin (laske lohkojen määrä kahdella tavalla).

Menetelmä 1.

Menetelmä 2.

Ja nyt voit laskea näytöllä: vertailla saatuja arvoja pyramidissamme olevien lohkojen lukumäärään. Sain sen? Hyvin tehty, olet hallinnut aritmeettisen progression n:nnen jäsenen summan.
Tietenkään et voi rakentaa pyramidia pohjassa olevista lohkoista, mutta? Yritä laskea kuinka monta hiekkatiiliä tarvitaan seinän rakentamiseen tällä ehdolla.
Onnistuitko?
Oikea vastaus on lohkot:

Koulutus

Tehtävät:

1. Masha on alkamassa kuntoon kesäksi. Joka päivä hän lisää kyykkyjen määrää. Kuinka monta kertaa Masha tekee kyykkyjä viikossa, jos hän teki kyykkyn ensimmäisessä harjoituksessa?
2. Mikä on kaikkien mukana olevien parittomien lukujen summa.
3. Tukkeja tallennettaessa metsuri pinoaa ne siten, että jokaisessa yläkerroksessa on yksi tuki vähemmän kuin edellinen. Kuinka monta hirsiä on yhdessä muurauksessa, jos muurauksen perusta on hirsiä?

Vastaukset:

1. Määritellään aritmeettisen progression parametrit. Tässä tapauksessa
   (viikot = päivät).

   Vastaus: Kahden viikon kuluttua Mashan tulisi tehdä kyykkyjä kerran päivässä.

2. Ensimmäinen pariton numero, viimeinen numero.
   Aritmeettinen etenemisero.
   Parittomien lukujen määrä on puolet, mutta tarkistetaan tämä fakta käyttämällä kaavaa aritmeettisen progression :nnen termin löytämiseksi:

   Numerot sisältävät parittomat numerot.
   Korvataan käytettävissä olevat tiedot kaavaan:

   Vastaus: Kaikkien mukana olevien parittomien lukujen summa on yhtä suuri.

3. Muistakaamme ongelma pyramideista. Meidän tapauksessamme a , koska jokaista päällimmäistä kerrosta pienennetään yhdellä tukilla, niin kerroksia on yhteensä nippu, eli.
   Korvataan tiedot kaavaan:

   Vastaus: Muurauksessa on tukkeja.

Tehdään se yhteenveto

1. - numerosarja, jossa vierekkäisten lukujen välinen ero on sama ja yhtä suuri. Se voi kasvaa tai laskea.
2. Kaavan löytäminen Aritmeettisen jakson th termi kirjoitetaan kaavalla - , jossa on etenemisen numeroiden lukumäärä.
3. Aritmeettisen progression jäsenten ominaisuus- - missä on etenevien numeroiden lukumäärä.
4. Aritmeettisen progression ehtojen summa löytyy kahdella tavalla:
   
   , missä on arvojen määrä.

ARITMEETTINEN EDISTYMINEN. KESKITASO

Numerosarja

Istutaan alas ja aletaan kirjoittaa numeroita. Esimerkiksi:

Voit kirjoittaa mitä tahansa numeroita, ja niitä voi olla niin monta kuin haluat. Mutta voimme aina sanoa, kumpi on ensimmäinen, kumpi toinen ja niin edelleen, eli voimme numeroida ne. Tämä on esimerkki numerosarjasta.

Numerosarja on joukko numeroita, joille jokaiselle voidaan määrittää yksilöllinen numero.

Toisin sanoen jokainen luku voidaan liittää tiettyyn luonnolliseen numeroon ja ainutlaatuiseen numeroon. Emmekä määritä tätä numeroa millekään muulle tämän sarjan numerolle.

Numeroa sisältävää numeroa kutsutaan sekvenssin :nneksi jäseneksi.

Kutsumme yleensä koko sarjaa jollakin kirjaimella (esimerkiksi), ja jokainen tämän sekvenssin jäsen on sama kirjain, jonka indeksi on yhtä suuri kuin tämän jäsenen numero: .

On erittäin kätevää, jos sekvenssin th termi voidaan määrittää jollakin kaavalla. Esimerkiksi kaava

asettaa järjestyksen:

Ja kaava on seuraava järjestys:

Esimerkiksi aritmeettinen progressio on sekvenssi (ensimmäinen termi tässä on yhtä suuri ja ero on). Tai (, ero).

n:nnen termin kaava

Kutsumme kaavaa toistuvaksi, jossa :nnen termin selvittämiseksi sinun on tiedettävä edellinen tai useita aikaisempia:

Löytääksemme esimerkiksi etenemisen :nnen termin tällä kaavalla, meidän on laskettava edelliset yhdeksän. Antaa esimerkiksi. Sitten:

No, onko nyt selvää, mikä kaava on?

Jokaisella rivillä, jonka lisäämme, kerrottuna jollakin numerolla. Kumpi? Hyvin yksinkertainen: tämä on nykyisen jäsenen numero miinus:

Paljon kätevämpää nyt, eikö? Tarkistamme:

Päätä itse:

Etsi aritmeettisesta progressiosta kaava n:nnelle termille ja löydä sadas termi.

Ratkaisu:

Ensimmäinen termi on yhtä suuri. Mikä on ero? Tässä on mitä:

(Tästä syystä sitä kutsutaan erotukseksi, koska se on yhtä suuri kuin etenemisen peräkkäisten termien erotus).

Eli kaava:

Sitten sadas termi on yhtä suuri:

Mikä on kaikkien luonnollisten lukujen summa välillä -?

Legendan mukaan suuri matemaatikko Carl Gauss laski 9-vuotiaana tämän summan muutamassa minuutissa. Hän huomasi, että ensimmäisen ja viimeisen luvun summa on yhtä suuri, toisen ja toiseksi viimeisen luvun summa on sama, kolmannen ja kolmannen lopun summa on sama ja niin edelleen. Kuinka monta tällaista paria on yhteensä? Aivan oikein, tasan puolet kaikista numeroista. Niin,

Yleinen kaava minkä tahansa aritmeettisen etenemisen ensimmäisten termien summalle on:

Esimerkki:
Etsi kaikkien kaksinumeroisten kerrannaisten summa.

Ratkaisu:

Ensimmäinen tällainen numero on tämä. Jokainen seuraava numero saadaan lisäämällä edelliseen numeroon. Siten luvut, joista olemme kiinnostuneita, muodostavat aritmeettisen progression ensimmäisellä termillä ja erolla.

Tämän etenemisen th termin kaava:

Kuinka monta termiä on etenemisessä, jos niiden kaikkien on oltava kaksinumeroisia?

Erittäin helppoa: .

Etenemisen viimeinen termi on yhtä suuri. Sitten summa:

Vastaus:.

Päätä nyt itse:

1. Urheilija juoksee joka päivä enemmän metrejä kuin edellisenä päivänä. Kuinka monta kilometriä hän juoksee yhteensä viikossa, jos hän juoksi km m ensimmäisenä päivänä?
2. Pyöräilijä ajaa joka päivä enemmän kilometrejä kuin edellisenä päivänä. Ensimmäisenä päivänä hän matkusti km. Kuinka monta päivää hän tarvitsee matkustaakseen kilometrin? Kuinka monta kilometriä hän matkustaa matkansa viimeisenä päivänä?
3. Jääkaapin hinta kaupassa laskee saman verran joka vuosi. Määritä, kuinka paljon jääkaapin hinta laski vuosittain, jos se myytiin ruplilla kuusi vuotta myöhemmin.

Vastaukset:

1. Tärkeintä tässä on tunnistaa aritmeettinen eteneminen ja määrittää sen parametrit. Tässä tapauksessa (viikot = päivät). Sinun on määritettävä tämän etenemisen ensimmäisten ehtojen summa:
   .
   Vastaus:
2. Tässä se annetaan: , täytyy löytää.
   Ilmeisesti sinun on käytettävä samaa summakaavaa kuin edellisessä tehtävässä:
   .
   Korvaa arvot:

   Juuri ei ilmeisesti sovi, joten vastaus on.
   Lasketaan viimeisen päivän aikana kuljettu polku th termin kaavalla:
   (km).
   Vastaus:

3. Annettu: . Löytö: .
   Se ei voisi olla yksinkertaisempaa:
   (hieroa).
   Vastaus:

ARITMEETTINEN EDISTYMINEN. LYHYESTI PÄÄASIJOISTA

Tämä on numerosarja, jossa vierekkäisten lukujen välinen ero on sama ja yhtä suuri.

Aritmeettinen eteneminen voi olla kasvava () ja laskeva ().

Esimerkiksi:

Kaava aritmeettisen progression n:nnen termin löytämiseksi

kirjoitetaan kaavalla, jossa on etenevien numeroiden lukumäärä.

Aritmeettisen progression jäsenten ominaisuus

Sen avulla voit helposti löytää etenemisen termin, jos sen viereiset termit tunnetaan - missä on etenemisen numeroiden lukumäärä.

Aritmeettisen progression termien summa

On kaksi tapaa löytää summa:

Missä on arvojen määrä.

Missä on arvojen määrä.

No, aihe on ohi. Jos luet näitä rivejä, se tarkoittaa, että olet erittäin siisti.

Koska vain 5% ihmisistä pystyy hallitsemaan jotain itse. Ja jos luet loppuun, olet tässä 5 %:ssa!

Nyt se tärkein asia.

Olet ymmärtänyt tämän aiheen teorian. Ja toistan, tämä... tämä on aivan super! Olet jo parempi kuin suurin osa ikäisistäsi.

Ongelmana on, että tämä ei ehkä riitä...

Minkä vuoksi?

varten onnistunut valmistuminen Unified State Exam, pääsy korkeakouluun budjetilla ja, TÄRKEIMMÄN, elinikäinen.

En vakuuta sinua mistään, sanon vain yhden asian...

Ihmiset, jotka saivat hyvä koulutus, ansaitsevat paljon enemmän kuin ne, jotka eivät saaneet sitä. Tämä on tilastoa.

Mutta tämä ei ole pääasia.

Pääasia, että he ovat ONNELISEMME (sellaisia ​​tutkimuksia on). Ehkä siksi, että heidän edessään on paljon avoimempaa lisää mahdollisuuksia ja elämästä tulee valoisampaa? En tiedä...

Mutta ajattele itse...

Mitä tarvitaan, jotta voit olla varmasti parempi kuin muut Unified State -kokeessa ja lopulta... onnellisempi?

SAADA KÄSI RATKAISEMME ONGELMIA TÄSTÄ AIHESTA.

Sinulta ei kysytä teoriaa kokeen aikana.

Tarvitset ratkaista ongelmia aikaa vastaan.

Ja jos et ole ratkaissut niitä (PALJON!), teet varmasti tyhmän virheen jossain tai sinulla ei yksinkertaisesti ole aikaa.

Se on kuin urheilussa - sinun täytyy toistaa se monta kertaa voittaaksesi varmasti.

Löydä kokoelma missä haluat, välttämättä ratkaisuilla, yksityiskohtainen analyysi ja päätä, päätä, päätä!

Voit käyttää tehtäviämme (valinnainen) ja me tietysti suosittelemme niitä.

Jotta voisit paremmin käyttää tehtäviämme, sinun on pidennettävä parhaillaan lukemasi YouClever-oppikirjan käyttöikää.

Miten? Vaihtoehtoja on kaksi:

1. Avaa kaikki tämän artikkelin piilotetut tehtävät -
2. Avaa pääsy kaikkiin piilotettuihin tehtäviin kaikissa oppikirjan 99 artikkelissa - Osta oppikirja - 499 RUR

Kyllä, meillä on 99 tällaista artikkelia oppikirjassamme ja pääsy kaikkiin tehtäviin ja kaikille piilotetut tekstit ne voidaan avata heti.

Pääsy kaikkiin piilotettuihin tehtäviin tarjotaan sivuston KOKO käyttöiän ajan.

Tiivistettynä...

Jos et pidä tehtävistämme, etsi muita. Älä vain pysähdy teoriaan.

"Ymmärretty" ja "osaan ratkaista" ovat täysin eri taitoja. Tarvitset molemmat.

Etsi ongelmia ja ratkaise ne!

Ennen kuin alamme päättää aritmeettiset etenemisongelmat, pohditaan, mikä numerosarja on, koska aritmeettinen progressio on lukujonon erikoistapaus.

Numerosarja on numerojoukko, jonka jokaisella elementillä on oma sarjanumeronsa. Tämän joukon elementtejä kutsutaan sarjan jäseniksi. Sekvenssielementin sarjanumero ilmaistaan ​​indeksillä:

Sarjan ensimmäinen elementti;

Jakson viides elementti;

- sekvenssin "n:s" elementti, ts. elementti "seisoi jonossa" numerossa n.

Järjestyselementin arvon ja sen järjestysnumeron välillä on suhde. Siksi voimme pitää sekvenssiä funktiona, jonka argumentti on sekvenssin elementin järjestysnumero. Toisin sanoen voimme sanoa niin sekvenssi on luonnollisen argumentin funktio:

Sarja voidaan asettaa kolmella tavalla:

1 . Järjestys voidaan määrittää taulukon avulla. Tässä tapauksessa asetamme yksinkertaisesti sekvenssin kunkin jäsenen arvon.

Esimerkiksi Joku päätti ryhtyä henkilökohtaiseen ajanhallintaan ja laskea aluksi, kuinka paljon aikaa hän viettää VKontaktessa viikon aikana. Tallentamalla ajan taulukkoon hän saa sarjan, joka koostuu seitsemästä elementistä:

Taulukon ensimmäinen rivi osoittaa viikonpäivän numeron, toinen - ajan minuutteina. Näemme, että eli maanantaina Joku vietti 125 minuuttia VKontaktessa, eli torstaina - 248 minuuttia, ja eli perjantaina vain 15.

2 . Jakso voidaan määrittää käyttämällä n:nnen termin kaavaa.

Tässä tapauksessa sarjaelementin arvon riippuvuus sen numerosta ilmaistaan ​​suoraan kaavan muodossa.

Esimerkiksi jos , niin

Löytääksemme tietyn numeron sekvenssielementin arvon korvaamme elementin numeron n:nnen termin kaavalla.

Teemme samoin, jos meidän on löydettävä funktion arvo, jos argumentin arvo tunnetaan. Korvaamme argumentin arvon funktioyhtälöön:

Jos esim. , Tuo

Huomautan vielä kerran, että sekvenssissä, toisin kuin mielivaltaisessa numeerisessa funktiossa, argumentti voi olla vain luonnollinen luku.

3 . Sarja voidaan määrittää kaavalla, joka ilmaisee sekvenssin jäsennumeron n arvon riippuvuuden aiempien jäsenten arvoista. Tässä tapauksessa ei riitä, että tiedämme vain sekvenssin jäsenen numeron löytääksemme sen arvon. Meidän on määritettävä sekvenssin ensimmäinen jäsen tai muutama ensimmäinen jäsen.

Harkitse esimerkiksi järjestystä ,

Löydämme sarjan jäsenten arvot järjestyksessä, alkaen kolmannesta:

Eli joka kerta löytääksemme sekvenssin n:nnen termin arvon, palaamme kahteen edelliseen. Tätä menetelmää sekvenssin määrittämiseksi kutsutaan toistuva, latinan sanasta recurro- tule takaisin.

Nyt voimme määritellä aritmeettisen progression. Aritmeettinen progressio on yksinkertainen numerosarjan erikoistapaus.

Aritmeettinen progressio on numerosarja, jonka jokainen jäsen toisesta alkaen on yhtä suuri kuin edellinen samaan numeroon lisättynä.

Numeroon soitetaan aritmeettisen etenemisen ero. Aritmeettisen progression ero voi olla positiivinen, negatiivinen tai yhtä suuri kuin nolla.

If title="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} lisääntyy.

Esimerkiksi 2; 5; 8; yksitoista;...

Jos , niin aritmeettisen etenemisen jokainen termi on pienempi kuin edellinen, ja eteneminen on vähenee.

Esimerkiksi 2; -1; -4; -7;...

Jos , Kaikki etenemisen ehdot ovat samat, ja eteneminen on paikallaan.

Esimerkiksi 2;2;2;2;...

Aritmeettisen progression pääominaisuus:

Katsotaanpa kuvaa.

Näemme sen

, ja samaan aikaan

Kun nämä kaksi yhtälöä lisätään, saadaan:

.

Jaetaan tasa-arvon molemmat puolet kahdella:

Joten jokainen aritmeettisen progression jäsen toisesta alkaen on yhtä suuri kuin kahden vierekkäisen aritmeettisen keskiarvon:

Lisäksi koska

, ja samaan aikaan

, Tuo

, ja siksi

Aritmeettisen progression jokainen termi, joka alkaa otsikko="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Termin kaava.

Näemme, että aritmeettisen progression ehdot täyttävät seuraavat suhteet:

ja lopuksi

Saimme n:nnen termin kaava.

TÄRKEÄ! Mikä tahansa aritmeettisen progression jäsen voidaan ilmaista ja. Kun tiedät aritmeettisen progression ensimmäisen termin ja eron, voit löytää minkä tahansa sen termistä.

Aritmeettisen etenemisen n ehdon summa.

Satunnaisessa aritmeettisessa progressiossa äärimmäisistä yhtä kaukana olevien termien summat ovat keskenään yhtä suuret:

Tarkastellaan aritmeettista progressiota, jossa on n termiä. Olkoon tämän etenemisen n ehtojen summa yhtä suuri kuin .

Järjestetään etenemisen ehdot ensin numeroiden nousevaan järjestykseen ja sitten laskevaan järjestykseen:

Lisätään pareittain:

Jokaisessa sulussa oleva summa on , parien lukumäärä on n.

Saamme:

Niin, aritmeettisen etenemisen n ehdon summa voidaan löytää kaavoilla:

Harkitsemme aritmeettisten etenemisongelmien ratkaiseminen.

1 . Järjestys saadaan n:nnen termin kaavalla: . Todista, että tämä sarja on aritmeettinen progressio.

Osoittakaamme, että sekvenssin kahden vierekkäisen termin välinen ero on yhtä suuri kuin sama luku.

Huomasimme, että ero sekvenssin kahden vierekkäisen jäsenen välillä ei riipu niiden lukumäärästä ja on vakio. Siksi tämä sarja on määritelmän mukaan aritmeettinen progressio.

2 . Annettu aritmeettinen progressio -31; -27;...

a) Etsi etenemisen 31 termiä.

b) Selvitä, sisältyykö luku 41 tähän etenemiseen.

A) Näemme sen;

Kirjataan ylös kaava n:nnelle termille edistymisellemme.

Yleisesti

Meidän tapauksessamme , Siksi

Aritmeettinen ja geometrinen progressio

Teoreettista tietoa

	Aritmeettinen progressio	Geometrinen eteneminen
Määritelmä	Aritmeettinen progressio a n on sarja, jossa jokainen jäsen toisesta alkaen on yhtä suuri kuin edellinen samaan numeroon lisätty jäsen d (d- etenemisero)	Geometrinen eteneminen b n on nollasta poikkeavien lukujen sarja, jonka jokainen termi toisesta alkaen on yhtä suuri kuin edellinen termi kerrottuna samalla luvulla q (q- etenemisen nimittäjä)
Toistumisen kaava	Kaikille luonnollisille n a n + 1 = a n + d	Kaikille luonnollisille n b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
Kaavan n:s termi	a n = a 1 + d (n - 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0
Ominainen ominaisuus
Ensimmäisen n ehdon summa

Esimerkkejä tehtävistä kommentein

Harjoitus 1

Aritmeettisessa progressiossa ( a n) a 1 = -6, a 2

N:nnen termin kaavan mukaan:

a 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21 pv

Ehdon mukaan:

a 1= -6 siis a 22= -6 + 21 d.

On tarpeen löytää etenemisero:

d = a 2-a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Vastaus: a 22 = -48.

Tehtävä 2

Etsi geometrisen progression viides termi: -3; 6;...

1. menetelmä (käyttäen n-termin kaavaa)

Geometrisen progression n:nnen termin kaavan mukaan:

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Koska b 1 = -3,

2. menetelmä (käytetään toistuvaa kaavaa)

Koska etenemisen nimittäjä on -2 (q = -2), niin:

b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Vastaus: b 5 = -48.

Tehtävä 3

Aritmeettisessa progressiossa ( a n ) a 74 = 34; a 76= 156. Etsi tämän etenemisen seitsemänkymmentäviides termi.

Aritmeettiselle progressiolle ominaisella ominaisuudella on muoto .

Siksi:

.

Korvataan tiedot kaavaan:

Vastaus: 95.

Tehtävä 4

Aritmeettisessa progressiossa ( a n) a n= 3n - 4. Laske ensimmäisen seitsemäntoista termin summa.

Aritmeettisen etenemisen n ensimmäisen ehdon summan löytämiseksi käytetään kahta kaavaa:

.

Kumpi niistä on kätevämpi käyttää tässä tapauksessa?

Ehdolla tunnetaan alkuperäisen etenemisen n:nnen termin kaava ( a n) a n= 3n - 4. Löydät heti ja a 1, Ja a 16 löytämättä d. Siksi käytämme ensimmäistä kaavaa.

Vastaus: 368.

Tehtävä 5

Aritmeettisessa progressiossa ( a n) a 1 = -6; a 2= -8. Etsi etenemisen 22. termi.

N:nnen termin kaavan mukaan:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21p.

Ehdolla, jos a 1= -6 siis a 22= -6 + 21p. On tarpeen löytää etenemisero:

d = a 2-a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Vastaus: a 22 = -48.

Tehtävä 6

Useita peräkkäisiä geometrisen progression termejä kirjoitetaan:

Etsi x:llä merkityn etenemisen termi.

Ratkaisussa käytämme n:nnen termin kaavaa b n = b 1 ∙ q n - 1 varten geometriset progressiot. Jakson ensimmäinen termi. Löytääksesi etenemisen q nimittäjä, sinun on otettava mikä tahansa annetuista etenemisen ehdoista ja jaettava se edellisellä. Esimerkissämme voimme ottaa ja jakaa. Saadaan, että q = 3. Korvataan n:n sijasta kaavassa 3, koska on tarpeen löytää tietyn geometrisen progression kolmas termi.

Korvaamalla löydetyt arvot kaavaan, saamme:

.

Vastaus:.

Tehtävä 7

Valitse n:nnen termin kaavan antamista aritmeettisista progressioista se, jonka ehto täyttyy a 27 > 9:

Koska annetun ehdon on täytyttävä etenemisen 27. termillä, korvaamme 27:n n:n sijaan kussakin neljässä etenemisessä. Neljännessä vaiheessa saamme:

.

Vastaus: 4.

Tehtävä 8

Aritmeettisessa progressiossa a 1= 3, d = -1,5. Täsmentää korkein arvo n, jolle epäyhtälö pätee a n > -6.

Mitä pääkohta kaavat?

Tämän kaavan avulla voit löytää minkä tahansa HÄNEN NUMEROLLAAN" n" .

Tietenkin sinun on tiedettävä myös ensimmäinen termi a 1 ja etenemisero d, ilman näitä parametreja et voi kirjoittaa muistiin tiettyä etenemistä.

Tämän kaavan muistaminen (tai huutaminen) ei riitä. Sinun on ymmärrettävä sen olemus ja sovellettava kaavaa erilaisiin ongelmiin. Eikä myöskään unohtaa oikealla hetkellä, kyllä...) Miten ei unohda- Minä en tiedä. Ja täällä kuinka muistaa Tarvittaessa neuvon ehdottomasti. Niille, jotka suorittavat oppitunnin loppuun.)

Katsotaanpa siis aritmeettisen progression n:nnen termin kaavaa.

Mikä on kaava yleensä? Muuten, katso, jos et ole lukenut sitä. Siellä kaikki on yksinkertaista. On vielä selvitettävä, mikä se on n. termi.

Edistyminen sisään yleisnäkymä voidaan kirjoittaa numerosarjana:

1, 2, 3, 4, 5, .....

a 1- tarkoittaa aritmeettisen progression ensimmäistä termiä, a 3- kolmas jäsen, a 4- neljäs ja niin edelleen. Jos olemme kiinnostuneita viidennestä kaudesta, oletetaan, että teemme yhteistyötä a 5, jos satakahdeskymmenes - s a 120.

Kuinka voimme määritellä sen yleisesti? minkä tahansa aritmeettisen progression termi, jossa minkä tahansa määrä? Erittäin yksinkertainen! Kuten tämä:

a n

Sitä se on aritmeettisen progression n:s termi. Kirjain n piilottaa kaikki jäsennumerot kerralla: 1, 2, 3, 4 ja niin edelleen.

Ja mitä tällainen ennätys meille antaa? Ajatelkaapa, numeron sijaan he kirjoittivat muistiin kirjaimen...

Tämä merkintä antaa meille tehokkaan työkalun aritmeettisen progression työskentelyyn. Muistimerkin käyttö a n, löydämme nopeasti minkä tahansa jäsen minkä tahansa aritmeettinen progressio. Ja ratkaise joukko muita etenemisongelmia. Katsot itse lisää.

Aritmeettisen progression n:nnen termin kaavassa:

a 1- aritmeettisen progression ensimmäinen termi;

n- jäsennumero.

Kaava yhdistää minkä tahansa etenemisen keskeiset parametrit: a n; a 1; d Ja n. Kaikki etenemisongelmat pyörivät näiden parametrien ympärillä.

N:nnen termin kaavaa voidaan käyttää myös tietyn etenemisen kirjoittamiseen. Ongelma voi esimerkiksi sanoa, että etenemisen määrittää ehto:

a n = 5 + (n-1) 2.

Tällainen ongelma voi olla umpikuja... Ei ole sarjaa eikä eroa... Mutta kun vertaa ehtoa kaavaan, on helppo ymmärtää, että tässä etenemisessä a 1 = 5 ja d = 2.

Ja se voi olla vielä pahempaa!) Jos otamme saman ehdon: a n = 5 + (n-1) 2, Kyllä, avaa sulut ja tuo samanlaisia? Saamme uuden kaavan:

a n = 3 + 2n.

Tämä Ei vain yleistä, vaan tiettyä kehitystä varten. Tässä sudenkuoppa piilee. Jotkut ihmiset ajattelevat, että ensimmäinen termi on kolme. Vaikka todellisuudessa ensimmäinen termi on viisi... Hieman alempana työskentelemme tällaisella muunnetulla kaavalla.

Etenemisongelmissa on toinen merkintä - a n+1. Tämä on, kuten arvasit, etenemisen "n plus ensimmäinen" termi. Sen merkitys on yksinkertainen ja vaaraton.) Tämä on progression jäsen, jonka lukumäärä on suurempi kuin luku n yhdellä. Esimerkiksi jos otamme jonkin ongelman a n sitten viides lukukausi a n+1 on kuudes jäsen. Jne.

Useimmiten nimitys a n+1 löytyy toistumiskaavoista. Älä pelkää tätä pelottavaa sanaa!) Tämä on vain tapa ilmaista aritmeettisen progression jäsen edellisen kautta. Oletetaan, että meille annetaan aritmeettinen eteneminen tässä muodossa käyttäen toistuvaa kaavaa:

a n+1 = a n+3

a 2 = a 1 + 3 = 5 + 3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8 + 3 = 11

Neljäs - kolmanteen, viides - neljänteen ja niin edelleen. Kuinka voimme heti laskea, vaikkapa kahdeskymmenes termi? a 20? Mutta ei ole mitään keinoa!) Ennen kuin saamme selville 19. lukukauden, emme voi laskea 20:tä. Tämä se on perustavanlaatuinen ero toistuva kaava n:nnen termin kaavasta. Toistuva toimii vain kautta Edellinen termi, ja n:nnen termin kaava on ohi ensimmäinen ja sallii heti löytää jäsenen numeron perusteella. Laskematta koko numerosarjaa järjestyksessä.

Aritmeettisessa progressiossa toistuva kaava on helppo muuttaa säännölliseksi. Laske pari peräkkäistä termiä, laske ero d, etsi tarvittaessa ensimmäinen termi a 1, kirjoita kaava sen tavallisessa muodossa ja työskentele sen kanssa. Tällaisia ​​tehtäviä kohdataan usein valtion tiedeakatemiassa.

Kaavan soveltaminen aritmeettisen progression n:nnelle termille.

Katsotaanpa ensin kaavan suoraa soveltamista. Edellisen oppitunnin lopussa oli ongelma:

Aritmeettinen progressio (a n) on annettu. Etsi 121, jos 1 = 3 ja d = 1/6.

Tämä ongelma voidaan ratkaista ilman kaavoja, yksinkertaisesti perustuen aritmeettisen progression merkitykseen. Lisää ja lisää... Tunti tai kaksi.)

Ja kaavan mukaan ratkaisu kestää alle minuutin. Voit ajoittaa sen.) Päätetään.

Ehdoissa on kaikki tiedot kaavan käyttöä varten: a 1 = 3, d = 1/6. On vielä selvitettävä, mikä on tasa-arvoista n. Ei ongelmaa! Meidän täytyy löytää a 121. Joten kirjoitamme:

Ole hyvä ja keskity! Indeksin sijaan n ilmestyi tietty luku: 121. Mikä on varsin loogista.) Olemme kiinnostuneita aritmeettisen progression jäsenestä numero satakaksikymmentäyksi. Tämä on meidän n. Tämä on tarkoitus n= 121 korvataan edelleen kaavassa, suluissa. Korvaamme kaikki luvut kaavaan ja laskemme:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

Se siitä. Yhtä nopeasti voisi löytää viisisataakymmenennen termin ja tuhatkolmannen, minkä tahansa. Laitamme tilalle n haluttu numero kirjaimen hakemistossa " a" ja suluissa, ja me laskemme.

Haluan muistuttaa sinua asiasta: tämän kaavan avulla voit löytää minkä tahansa aritmeettinen progressiotermi HÄNEN NUMEROLLAAN" n" .

Ratkaistaan ​​ongelma ovelammin. Törmätäänpä seuraavaan ongelmaan:

Etsi aritmeettisen progression (a n) ensimmäinen termi, jos a 17 =-2; d = -0,5.

Jos sinulla on vaikeuksia, kerron sinulle ensimmäisen vaiheen. Kirjoita aritmeettisen progression n:nnelle termille kaava! Kyllä kyllä. Kirjoita käsin suoraan muistivihkoon:

Ja nyt, katsomalla kaavan kirjaimia, ymmärrämme, mitä tietoja meillä on ja mitä puuttuu? Saatavilla d = -0,5, siellä on seitsemästoista jäsen... Onko se siinä? Jos luulet niin, et ratkaise ongelmaa, kyllä...

Meillä on vielä numero n! Kunnossa a 17 = -2 piilotettu kaksi parametria. Tämä on sekä seitsemännentoista termin arvo (-2) että sen numero (17). Nuo. n = 17. Tämä "pikkuasia" lipsahtaa usein pään ohi, ja ilman sitä (ilman "pientä asiaa", ei päätä!) ongelmaa ei voida ratkaista. Vaikka... ja myös ilman päätä.)

Nyt voimme yksinkertaisesti korvata tietomme typerästi kaavaan:

a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Kyllä, a 17 tiedämme, että se on -2. Okei, korvataan:

-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Siinä on periaatteessa kaikki. Jää vielä ilmaista aritmeettisen etenemisen ensimmäinen termi kaavasta ja laskea se. Vastaus tulee olemaan: a 1 = 6.

Tämä tekniikka - kaavan kirjoittaminen ja yksinkertaisesti tunnetun tiedon korvaaminen - on suuri apu yksinkertaisissa tehtävissä. No, tietysti sinun täytyy pystyä ilmaisemaan muuttuja kaavasta, mutta mitä tehdä!? Ilman tätä taitoa matematiikkaa ei ehkä opiskella ollenkaan...

Toinen suosittu palapeli:

Laske aritmeettisen progression ero (a n), jos a 1 =2; a 15 = 12.

Mitä olemme tekemässä? Tulet yllättymään, me kirjoitamme kaavan!)

Mietitään, mitä tiedämme: a 1 = 2; a 15 = 12; ja (korostan erityisesti!) n = 15. Voit vapaasti korvata tämän kaavalla:

12=2 + (15-1)d

Teemme aritmetiikkaa.)

12=2 + 14d

d=10/14 = 5/7

Tämä on oikea vastaus.

Tehtävät siis a n, a 1 Ja d päättänyt. Jäljelle jää vain opetella löytämään numero:

Luku 99 on aritmeettisen progression (a n) jäsen, jossa a 1 =12; d = 3. Etsi tämän jäsenen numero.

Korvaamme meille tunnetut suureet n:nnen termin kaavaan:

a n = 12 + (n-1) 3

Ensi silmäyksellä tässä on kaksi tuntematonta määrää: a n ja n. Mutta a n- tämä on joku jäsen etenemisestä numerolla n...Ja me tunnemme tämän edistyksen jäsenen! Se on 99. Emme tiedä sen numeroa. n, Joten tämä numero on se, mitä sinun on löydettävä. Korvataan etenemisen termi 99 kaavaan:

99 = 12 + (n-1) 3

Ilmaisemme kaavasta n, me ajattelemme. Saamme vastauksen: n = 30.

Ja nyt ongelma samasta aiheesta, mutta luovempi):

Selvitä, onko luku 117 aritmeettisen progression (a n) jäsen:

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Kirjoitetaan kaava uudelleen. Mitä, ei ole parametreja? Hm... Miksi meille annetaan silmät?) Näemmekö etenemisen ensimmäisen termin? Me näemme. Tämä on -3.6. Voit kirjoittaa turvallisesti: a 1 = -3,6. Ero d Voitko kertoa sarjasta? Se on helppoa, jos tiedät, mikä ero aritmeettisella progressiolla on:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Joten teimme yksinkertaisimman asian. Jäljelle jää tuntemattoman numeron käsittely n ja käsittämätön luku 117. Edellisessä tehtävässä ainakin tiedettiin, että etenemisen termi annettiin. Mutta täällä emme edes tiedä... Mitä tehdä!? No, mitä tehdä, mitä tehdä... Kytke päälle Luovat taidot!)

Me olettaa että 117 on loppujen lopuksi edistymisemme jäsen. Tuntemattomalla numerolla n. Ja aivan kuten edellisessä tehtävässä, yritetään löytää tämä numero. Nuo. kirjoitamme kaavan (kyllä, kyllä!)) ja korvaamme numeromme:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Jälleen ilmaisemme kaavastan, laskemme ja saamme:

Oho! Numero selvisi murto-osa! Sata ja puolitoista. Ja murtoluvut progressioissa ei voi olla. Millaisen johtopäätöksen voimme tehdä? Joo! Numero 117 ei ole edistymisemme jäsen. Se on jossain sadan ensimmäisen ja sadan toisen termien välillä. Jos numero osoittautui luonnolliseksi, ts. on positiivinen kokonaisluku, silloin luku olisi löydetyn luvun etenemisen jäsen. Ja meidän tapauksessamme vastaus ongelmaan on: Ei.

Tehtäväpohjainen todellinen vaihtoehto GIA:

Aritmeettinen progressio saadaan ehdolla:

a n = -4 + 6,8n

Etsi etenemisen ensimmäinen ja kymmenes termi.

Tässä eteneminen on asetettu epätavallisella tavalla. Jonkinlainen kaava... Se tapahtuu.) Kuitenkin tämä kaava (kuten kirjoitin edellä) - myös aritmeettisen progression n:nnen termin kaava! Hän myös sallii Etsi mikä tahansa etenemisen jäsen sen numeron perusteella.

Etsimme ensimmäistä jäsentä. Se joka ajattelee. että ensimmäinen termi on miinus neljä, on kohtalokkaasti virheellinen!) Koska tehtävän kaava on modifioitu. Sen aritmeettisen progression ensimmäinen termi piilotettu. Ei hätää, löydämme sen nyt.)

Kuten aikaisemmissakin ongelmissa, korvaamme n = 1 tähän kaavaan:

a 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8

Tässä! Ensimmäinen termi on 2,8, ei -4!

Etsimme kymmenennen termiä samalla tavalla:

a 10 = -4 + 6,8 10 = 64

Se siitä.

Ja nyt niille, jotka ovat lukeneet nämä rivit, luvattu bonus.)

Oletetaan, että olette unohtaneet aritmeettisen progression n:nnelle termille hyödyllisen kaavan valtiokokeen tai yhtenäisen valtiontutkinnon vaikeassa taistelutilanteessa. Muistan jotain, mutta jotenkin epävarmaa... Tai n siellä, tai n+1 tai n-1... Kuinka olla!?

Rauhoittaa! Tämä kaava on helppo johtaa. Ei kovin tiukasti, mutta luottamusta ja oikea päätös ehdottomasti riittää!) Johtopäätöksen tekemiseen riittää, että muistat aritmeettisen progression alkeellisen merkityksen ja varaa pari minuuttia aikaa. Sinun tarvitsee vain piirtää kuva. Selvyydeksi.

Piirrä numeroviiva ja merkitse siihen ensimmäinen. toinen, kolmas jne. jäsenet. Ja huomaamme eron d jäsenten välillä. Kuten tämä:

Katsomme kuvaa ja ajattelemme: mitä toinen termi vastaa? Toinen yksi d:

a 2 =a 1 + 1 d

Mikä on kolmas termi? Kolmas termi on yhtä suuri kuin ensimmäinen termi plus kaksi d.

a 3 =a 1 + 2 d

Ymmärrätkö? Ei turhaan korostan joitakin sanoja lihavoituna. Okei, vielä yksi askel).

Mikä on neljäs termi? Neljäs termi on yhtä suuri kuin ensimmäinen termi plus kolme d.

a 4 =a 1 + 3 d

On aika tajuta, että aukkojen määrä, ts. d, Aina yksi vähemmän kuin etsimäsi jäsenmäärä n. Eli numeroon n, välilyöntien lukumäärä tahtoa n-1. Siksi kaava on (ilman muunnelmia!):

Yleisesti ottaen visuaaliset kuvat ovat erittäin hyödyllisiä monien matematiikan ongelmien ratkaisemisessa. Älä unohda kuvia. Mutta jos kuvan piirtäminen on vaikeaa, niin... vain kaava!) Lisäksi n:nnen termin kaavan avulla voit yhdistää ratkaisuun koko tehokkaan matematiikan arsenaalin - yhtälöt, epäyhtälöt, järjestelmät jne. Et voi lisätä kuvaa yhtälöön...

Tehtävät itsenäiseen ratkaisuun.

Lämmitellä:

1. Aritmeettisessa progressiossa (a n) a 2 =3; a 5 = 5,1. Etsi 3.

Vihje: kuvan mukaan ongelma ratkeaa 20 sekunnissa... Kaavan mukaan se osoittautuu vaikeammaksi. Mutta kaavan hallitsemiseksi se on hyödyllisempää.) Kohdassa 555 tämä ongelma ratkaistaan ​​käyttämällä sekä kuvaa että kaavaa. Tunne erilaisuus!)

Ja tämä ei ole enää lämmittely.)

2. Aritmeettisessa progressiossa (a n) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. Etsi 3 .

Mitä, etkö halua piirtää kuvaa?) Tietenkin! Parempi kaavan mukaan, kyllä...

3. Aritmeettinen eteneminen saadaan ehdolla:a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Etsi tämän etenemisen sadankahdeskymmenesviides termi.

Tässä tehtävässä eteneminen määritellään toistuvasti. Mutta kun lasketaan sataankahdenkymmenenviidenteen termiin... Kaikki eivät pysty sellaiseen saavutukseen.) Mutta n:nnen termin kaava on jokaisen vallassa!

4. Annettu aritmeettinen progressio (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Etsi etenemisen pienimmän positiivisen termin luku.

5. Etsi tehtävän 4 ehtojen mukaisesti etenemisen pienimmän positiivisen ja suurimman negatiivisen termin summa.

6. Kasvavan aritmeettisen progression viidennen ja kahdennentoista jäsenen tulo on -2,5 ja kolmannen ja yhdennentoista jäsenen summa on nolla. Etsi 14.

Ei helpoin tehtävä, kyllä...) "Sormenpää"-menetelmä ei toimi tässä. Sinun on kirjoitettava kaavoja ja ratkaistava yhtälöitä.

Vastaukset (sekaisin):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Tapahtui? Se on kiva!)

Eikö kaikki suju? Tapahtuu. Muuten, viimeisessä tehtävässä on yksi hienovarainen kohta. Ongelman lukeminen vaatii varovaisuutta. Ja logiikkaa.

Ratkaisua kaikkiin näihin ongelmiin käsitellään yksityiskohtaisesti luvussa 555. Ja fantasiaelementti neljännelle ja hienovarainen kohta kuudennelle ja yleiset lähestymistavat ongelmien ratkaisemiseen, joihin liittyy n:nnen termin kaava - kaikki on kuvattu. Minä suosittelen.

Jos pidät tästä sivustosta...

Muuten, minulla on sinulle pari muuta mielenkiintoista sivustoa.)

Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Opitaan - mielenkiinnolla!)

Voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.