Kalteva taso ja siihen vaikuttavat voimat. Kehon liike ylös kaltevassa tasossa. Liikkumisongelman ratkaisu kaltevassa tasossa

Yksinkertaisiin mekanismeihin kuuluu vivun ja lohkon lisäksi myös kalteva taso ja sen lajikkeet: kiila ja ruuvi.

KALTEVA TASO

Kaltevaa tasoa käytetään siirtämään raskaita esineitä korkeammalle tasolle nostamatta niitä suoraan.
Tällaisia laitteita ovat rampit, liukuportaat, tavanomaiset portaat ja kuljettimet.

Jos sinun on nostettava kuorma korkealle, on aina helpompi käyttää loivaa rinnettä kuin jyrkkää. Lisäksi mitä pienempi kaltevuus, sitä helpompi tämä työ on tehdä. Kun aika ja etäisyys eivät ole tärkeitä, vaan on tärkeää nostaa kuorma mahdollisimman pienellä vaivalla, kalteva taso on välttämätön.

Nämä piirustukset voivat auttaa selittämään, kuinka yksinkertainen TILT PLANE -mekanismi toimii.
Klassiset laskelmat kaltevan tason toiminnasta ja muista yksinkertaisista mekanismeista kuuluvat erinomaiselle muinaiselle Syrakusan mekaanikolle Archimedesille.

Temppelien rakentamisen aikana egyptiläiset kuljettivat, nostivat ja asensivat valtavia obeliskejä ja patsaita, joiden paino oli kymmeniä ja satoja tonneja! Kaikki tämä voitaisiin tehdä käyttämällä muiden yksinkertaisten mekanismien ohella kaltevaa tasoa.

Egyptiläisten tärkein nostolaite oli kalteva taso - ramppi. Rampin runko, eli sen sivut ja väliseinät. Pyramidin kasvaessa ramppi rakennettiin sen päälle. Kiviä raahattiin näitä ramppeja pitkin kelkoilla. Rampin kulma oli hyvin pieni - 5 tai 6 astetta.

Muinaisen egyptiläisen temppelin pylväät Thebassa.

Orjat raahasivat jokaista näistä valtavista pylväistä ramppia pitkin - kaltevaa tasoa. Kun pylväs ryömi kaivoon, reiän läpi haravoitiin hiekkaa, minkä jälkeen tiiliseinä purettiin ja pengerrys poistettiin. Siten esimerkiksi kalteva tie Khafren pyramidille, jonka korkeus oli 46 metriä, oli noin puoli kilometriä pitkä.

Kaltevalla tasolla olevaa kappaletta pitää voima, joka on niin monta kertaa pienempi kuin tämän kappaleen paino suuruusluokkaa mitattuna, niin monta kertaa kaltevan tason pituus on suurempi kuin sen korkeus.
Tämän ehdon voimien tasapainolle kaltevalla tasolla muotoili hollantilainen tiedemies Simon Stevin (1548-1620).

Piirustus S. Stevinin kirjan nimisivulta, jolla hän vahvistaa sanamuotonsa.

Krasnojarskin vesivoimalan kalteva kone on erittäin nerokkaasti käytetty. Täällä lukkojen sijaan on laivan kammio, joka liikkuu kaltevaa ylikulkusiltaa pitkin. Sen liikkumiseen tarvitaan 4000 kN:n vetovoima.

Ja miksi vuoristotiet kiemurtelevat lempeässä "serpentiinissä"?

Kiila on muunnelma yksinkertaisesta mekanismista, jota kutsutaan "kaltetuksi tasoksi". Kiila koostuu kahdesta kaltevasta tasosta, joiden pohjat ovat kosketuksissa. Sitä käytetään lisäämään voimaa, toisin sanoen pienemmän voiman avulla vastustamaan suurempaa voimaa.

Polttopuita pilkottaessa työn helpottamiseksi puun halkeamaan työnnetään metallikiila ja lyödään sitä kirveen perällä.

Kiilan antama ihanteellinen lujuuden lisäys on yhtä suuri kuin sen pituuden suhde tylppän pään paksuisuuteen. Suuresta kitkasta johtuen sen hyötysuhde on niin pieni, että ihanteellisella vahvistuksella ei oikeastaan ole väliä.

Toinen kalteva tasotyyppi on ruuvi.
Ruuvi on kalteva taso, joka on kierretty akselin ympärille. Ruuvin kierre on kalteva taso, joka on kiedottu toistuvasti sylinterin ympärille.

Suuresta kitkasta johtuen sen hyötysuhde on niin pieni, että ihanteellisella vahvistuksella ei ole suurta merkitystä. Kaltevan tason noususuunnasta riippuen ruuvin kierre voi olla vasen tai oikea.
Esimerkkejä yksinkertaisista laitteista, joissa on ruuvikierteet, ovat tunkki, pultti mutterilla, mikrometri, ruuvipenkki.

Kappaleen liike kaltevaa tasoa pitkin on klassinen esimerkki kappaleen liikkeestä useiden ei-suunnaisten voimien vaikutuksesta. Vakiomenetelmä tämän tyyppisen liikkeen ongelmien ratkaisemiseksi on laajentaa kaikkien voimien vektorit koordinaattiakseleita pitkin suuntautuneiksi komponenteiksi. Tällaiset komponentit ovat lineaarisesti riippumattomia. Tämä mahdollistaa Newtonin toisen lain kirjoittamisen kunkin akselin komponenteille erikseen. Siten Newtonin toinen laki, joka on vektoriyhtälö, muuttuu kahden (kolmiulotteisen tapauksen tapauksessa kolmen) algebrallisen yhtälön järjestelmäksi.

Lohkoon vaikuttavat voimat
nopeutetun alaspäin suuntautuvan liikkeen tapauksessa

Tarkastellaan kehoa, joka liukuu alas kaltevassa tasossa. Tässä tapauksessa seuraavat voimat vaikuttavat siihen:

Painovoima m g , suunnattu pystysuoraan alaspäin;
Tue reaktiovoimaa N , suunnattu kohtisuoraan tasoon nähden;
liukuva kitkavoima F tr, suunnattu vastapäätä nopeutta (ylöspäin kaltevaa tasoa pitkin, kun keho luistaa)

Kun ratkaistaan kaltevaa tasoa koskevia ongelmia, on usein tarkoituksenmukaista ottaa käyttöön kalteva koordinaattijärjestelmä, jonka OX-akseli on suunnattu alaspäin tasoa pitkin. Tämä on kätevää, koska tässä tapauksessa vain yksi vektori on hajotettava komponenteiksi - painovoimavektori m g , ja kitkavoimavektorit F tr ja tue reaktiojoukkoja N jo suunnattu akseleita pitkin. Tällä laajennuksella painovoiman x-komponentti on yhtä suuri kuin mg synti( α ) ja vastaa "vetovoimaa", joka vastaa kiihdytetystä alaspäinliikkeestä, ja y-komponenttia - mg cos( α ) = N tasapainottaa tuen reaktiovoimaa, koska keho ei liiku OY-akselia pitkin.
liukuva kitkavoima F tr = µN verrannollinen tuen reaktiovoimaan. Tämän avulla voimme saada seuraavan lausekkeen kitkavoimalle: F tr = mmg cos( α ). Tämä voima on päinvastainen kuin painovoiman "vetävä" komponentti. Siksi varten keho liukuu alas , saamme lausekkeet tuloksen kokonaisvoimalle ja kiihtyvyydelle:

F x= mg(synti( α ) – µ cos( α ));
a x= g(synti( α ) – µ cos( α )).

Ei ole vaikea nähdä, että jos µ < tg(α ), silloin lausekkeella on positiivinen etumerkki ja kyseessä on tasaisesti kiihdytetty liike alas kaltevassa tasossa. Jos µ >tg( α ), silloin kiihtyvyydellä on negatiivinen etumerkki ja liike on yhtä hidasta. Tällainen liike on mahdollista vain, jos keholle annetaan alkunopeus alas rinnettä. Tässä tapauksessa keho pysähtyy vähitellen. Jos, edellyttäen µ >tg( α ) kohde on aluksi levossa, sitten se ei ala liukua alas. Tässä staattinen kitkavoima kompensoi täysin painovoiman "vetävän" komponentin.

Kun kitkakerroin on täsmälleen yhtä suuri kuin tason kaltevuuskulman tangentti: µ = tg( α ), käsittelemme kaikkien kolmen voiman keskinäistä korvausta. Tässä tapauksessa Newtonin ensimmäisen lain mukaan keho voi olla joko levossa tai liikkua vakionopeudella (Tässä tapauksessa tasainen liike on mahdollista vain alaspäin).

Lohkoon vaikuttavat voimat
liukuminen kaltevassa tasossa:
ylös hidastettu kotelo

Keho voi kuitenkin ajaa myös kaltevaa tasoa ylöspäin. Esimerkki tällaisesta liikkeestä on jääkiekon liike jääliukumäellä. Kun kappale liikkuu ylöspäin, sekä kitkavoima että painovoiman "vetävä" komponentti suuntautuvat alaspäin kaltevaa tasoa pitkin. Tässä tapauksessa kyseessä on aina tasaisesti hidastettu liike, koska kokonaisvoima on suunnattu nopeuden vastaiseen suuntaan. Tämän tilanteen kiihtyvyyden lauseke saadaan samalla tavalla ja eroaa vain etumerkistä. Joten varten keho liukuu kaltevaa tasoa ylöspäin , meillä on.

Kalteva taso on tasainen pinta jossain kulmassa vaakatasoon nähden. Sen avulla voit nostaa kuormaa pienemmällä voimalla kuin jos kuormaa nostettaisiin pystysuorassa ylöspäin. Kaltevalla tasolla kuorma nousee tätä tasoa pitkin. Samalla hän voittaa suuremman etäisyyden kuin jos hän nousisi pystysuoraan.

Huomautus 1

Lisäksi kuinka monta kertaa vahvuus lisääntyy, niin monta kertaa kuorman voitettava etäisyys on suurempi.

Kuva 1. Kalteva taso

Jos korkeus, johon kuorma on nostettava, on yhtä suuri kuin $h$ ja siten kuluisi voima $F_h$ ja kaltevan tason pituus on $l$ ja voima $F_l$ kuluu, niin $l$ liittyy arvoon $h $, kun $F_h$ liittyy arvoon $F_l$: $l/h = F_h/F_l$... $F_h$ on kuitenkin kuorman paino ($P$). Siksi se kirjoitetaan yleensä seuraavasti: $l/h = P/F$, missä $F$ on kuorman nostovoima.

Voiman määrä $F$, joka täytyy kohdistaa painoon $P$, jotta keho olisi tasapainossa kaltevalla tasolla, on $F_1 = P_h/l = Psin(\mathbf \alpha )$ jos voima $P$ kohdistetaan yhdensuuntaisesti kaltevan tasotason kanssa (kuva 2, a) ja $F_2$ = $Р_h/l = Рtg(\mathbf \alpha )$, jos voima $Р$ kohdistetaan yhdensuuntaisesti kaltevan tason pohjaan (kuva 2, b).

Kuva 2. Kuorman liike kaltevassa tasossa

a) voima on yhdensuuntainen tason kanssa b) voima on yhdensuuntainen kannan kanssa

Kalteva taso lisää voimaa, jonka avulla on helpompi nostaa kuorma korkealle. Mitä pienempi kulma $\alpha $, sitä suurempi voimanlisäys. Jos kulma $\alpha $ on pienempi kuin kitkakulma, kuorma ei liiku spontaanisti, vaan sen vetäminen alas vaatii ponnistelua.

Jos otamme huomioon kitkavoimat kuorman ja kaltevan tason välillä, saadaan seuraavat arvot $F_1$:lle ja $F_2$:lle: $F_1=Рsin($$(\mathbf \alpha )$$\pm $$(\mathbf \varphi )$) /cos$(\mathbf \varphi )$; $F_2=Рtg($$(\mathbf \alpha )$$\pm$$(\mathbf \varphi )$)

Plus-merkki viittaa nousemiseen, miinusmerkki kuorman laskemiseen. Kaltevan tason tehokkuus $(\mathbf \eta )$1=sin$(\mathbf \alpha )$cos$(\mathbf \alpha )$/sin($(\mathbf \alpha )$+$(\mathbf \varphi )$ ) jos voima $P$ on suunnattu yhdensuuntaisesti tason kanssa ja $(\mathbf \eta )$2=tg$(\mathbf \alpha )$/tg($(\mathbf \alpha )$+$(\mathbf \ varphi )$), jos voima $P$ on suunnattu yhdensuuntaisesti kaltevan tason kannan kanssa.

Kalteva taso noudattaa "mekaniikan kultaista sääntöä". Mitä pienempi on pinnan ja kaltevan tason välinen kulma (eli mitä tasaisempi se on, ei nouse jyrkästi), sitä vähemmän voimaa on käytettävä kuorman nostamiseen, mutta sitä suurempi etäisyys on ylitettävä.

Kitkavoimien puuttuessa voiman vahvistus on $K = P/F = 1/sin$$\alpha = l/h$. Todellisissa olosuhteissa kaltevan tason hyötysuhde on kitkavoiman vaikutuksesta pienempi kuin 1, voiman vahvistus on pienempi kuin suhde $l/h$.

Esimerkki 1

40 kg painava kuorma nostetaan kaltevaa tasoa pitkin 10 m korkeuteen 200 N:n voimalla (kuva 3). Mikä on kaltevan tason pituus? Ohita kitka.

$(\mathbf \eta )$ = 1

Kun kappale liikkuu kaltevaa tasoa pitkin, kohdistetun voiman suhde kappaleen painoon on yhtä suuri kuin kaltevan tason pituuden suhde sen korkeuteen: $\frac(F)(P)=\frac( l)(h)=\frac(1)((sin (\ mathbf \alpha )\ ))$. Tästä syystä $l=\frac(Fh)(mg)=\ \frac(200\cdot 10)(40\cdot 9,8)=5,1\m$.

Vastaus: Kaltevan tason pituus on 5,1 m

Esimerkki 2

Kaksi kappaletta, joiden massat ovat $m_1$ = 10 g ja $m_2$ = 15 g, on yhdistetty kaltevalle tasolle asennetun kiinteän kappaleen yli heitetyllä kierteellä (kuva 4). Taso muodostaa horisontin kanssa kulman $\alpha $ = 30$()^\circ$. Etsi kiihtyvyys, jolla nämä kappaleet liikkuvat.

$(\mathbf \alpha )$ = 30 astetta

$g$ = 9,8 $m/s_2$

Ohjataan OX-akseli kaltevaa tasoa pitkin ja OY-akseli kohtisuoraan sitä vastaan ja heijastetaan vektorit $\ (\overrightarrow(Р))_1\ ja\ (\overrightarrow(Р))_2$ näille akseleille. Kuten kuvasta voidaan nähdä, kuhunkin kappaleeseen kohdistettujen voimien resultantti on yhtä suuri kuin vektorien $\ (\overrightarrow(Р))_1\ ja\ (\overrightarrow(Р)) projektioiden erotus. _2$ OX-akselille:

Vastaus: kappaleiden kiihtyvyydet $a_1=2,45\frac(m)(s^2);\ \ \ \ \ \ a_2=1,63\ m/s^2$

Keho, joka liukuu alas kaltevaa tasoa. Tässä tapauksessa seuraavat voimat vaikuttavat siihen:

Painovoima mg suunnattu pystysuunnassa alaspäin;

Tukireaktiovoima N, suunnattu kohtisuoraan tasoon nähden;

Liukukitkavoima Ftr on suunnattu nopeutta vastapäätä (ylöspäin kaltevaa tasoa pitkin, kun runko liukuu).

Otetaan käyttöön kalteva koordinaattijärjestelmä, jonka OX-akseli on suunnattu alaspäin tasoa pitkin. Tämä on kätevää, koska tässä tapauksessa on tarpeen hajottaa komponenteiksi vain yksi vektori - painovoiman vektori mg, ja kitkavoiman Ftr ja tuen reaktiovoiman vektorit on jo suunnattu akseleita pitkin. Tällä laajennuksella painovoiman x-komponentti on yhtä suuri kuin mg sin(α) ja vastaa "vetovoimaa", joka vastaa kiihtyvästä alaspäinliikkeestä, ja y-komponentti - mg cos(α) = N tasapainottaa tukireaktion. voima, koska kehon liike OY-akselia pitkin puuttuu.

Liukukitkavoima Fr = µN on verrannollinen tuen reaktiovoimaan. Näin kitkavoimalle voidaan saada seuraava lauseke: Ffr = µmg cos(α). Tämä voima on päinvastainen kuin painovoiman "vetävä" komponentti. Siksi alas liukuvalle kappaleelle saadaan kokonaisresultanttivoiman ja kiihtyvyyden lausekkeet:

Fx = mg(sin(α) – µ cos(α));

ax = g(sin(α) – μ cos(α)).

kiihtyvyys:

nopeus on

v=ax*t=t*g(sin(α) – µ cos(α))

t = 0,2 s jälkeen

nopeus on

v=0,2*9,8(sin(45)-0,4*cos(45))=0,83 m/s

Voimaa, jolla kappale vetää puoleensa Maata Maan gravitaatiokentän vaikutuksesta, kutsutaan painovoimaksi. Universaalin painovoiman lain mukaan maan pinnalla (tai lähellä tätä pintaa) painovoima vaikuttaa kappaleeseen, jonka massa on m.

Fт = GMm/R2 (2,28)

missä M on maan massa; R on maan säde.

Jos vain painovoima vaikuttaa kehoon ja kaikki muut voimat ovat keskenään tasapainossa, keho on vapaassa pudotuksessa. Newtonin toisen lain ja kaavan (2.28) mukaan vapaan pudotuksen kiihtyvyysmoduuli g saadaan kaavalla

g = Ft/m = GM/R2. (2,29)

Kaavasta (2.29) seuraa, että vapaan pudotuksen kiihtyvyys ei riipu putoavan kappaleen massasta m, ts. se on sama kaikille tietyssä paikassa maan päällä oleville kappaleille. Kaavasta (2.29) seuraa, että Fт = mg. Vektorimuodossa

Pykälässä 5 todettiin, että koska maapallo ei ole pallo, vaan kiertoellipsoidi, sen napasäde on pienempi kuin päiväntasaajan. Kaavasta (2.28) voidaan nähdä, että tästä syystä painovoima ja sen aiheuttama vapaan pudotuksen kiihtyvyys navalla on suurempi kuin päiväntasaajalla.

Painovoima vaikuttaa kaikkiin kappaleisiin maan vetovoimakentässä, mutta kaikki kappaleet eivät putoa maan päälle. Tämä selittyy sillä, että monien kappaleiden liikkumista estävät muut kappaleet, kuten tuet, ripustuskierteet jne. Muiden kappaleiden liikkumista rajoittavia kappaleita kutsutaan sidoksiksi. Painovoiman vaikutuksesta sidokset vääntyvät ja epämuodostuneen sidoksen reaktiovoima Newtonin kolmannen lain mukaan tasapainottaa painovoimaa.

Pykälässä 5 todettiin myös, että vapaan pudotuksen kiihtyvyyteen vaikuttaa Maan pyöriminen. Tämä vaikutus selitetään seuraavasti. Maan pintaan liittyvät viitekehykset (lukuun ottamatta kahta, jotka liittyvät Maan napoihin) eivät ole varsinaisesti inertiavertailukehyksiä - Maa pyörii akselinsa ympäri ja liikkuu sen mukana ympyröitä pitkin keskipitkällä. kiihtyvyys ja vastaavat viitekehykset. Tämä vertailujärjestelmien ei-inertiaalisuus ilmenee erityisesti siinä, että vapaan pudotuksen kiihtyvyyden arvo osoittautuu erilaiseksi eri paikoissa maapallolla ja riippuu sen paikan maantieteellisestä leveysasteesta, johon vertailukehys liittyy. Maan kanssa sijaitsee, johon nähden painovoiman kiihtyvyys määräytyy.

Eri leveysasteilla tehdyt mittaukset osoittivat, että painovoimakiihtyvyyden numeeriset arvot eroavat vähän toisistaan. Siksi ei kovin tarkoilla laskelmilla voidaan jättää huomiotta Maan pintaan liittyvien vertailujärjestelmien ei-inertiaalisuus sekä Maan muodon ero pallomaisesta ja olettaa, että vapaan pudotuksen kiihtyvyys missä tahansa paikka maan päällä on sama ja yhtä suuri kuin 9,8 m/s2.

Universaalin painovoiman laista seuraa, että painovoima ja sen aiheuttama vapaan pudotuksen kiihtyvyys pienenevät etäisyyden kasvaessa Maasta. Korkeudella h maan pinnasta gravitaatiokiihtyvyysmoduuli määräytyy kaavan mukaan

On todettu, että 300 km:n korkeudella maan pinnasta vapaan pudotuksen kiihtyvyys on 1 m/s2 pienempi kuin maan pinnalla.

Näin ollen maan lähellä (usean kilometrin korkeuteen asti) painovoima käytännössä ei muutu, ja siksi kappaleiden vapaa pudotus lähellä maata on tasaisesti kiihdytetty liike.

Kehon paino. Painottomuus ja ylikuormitus

Voimaa, jossa keho vaikuttaa sen tukeen tai ripustukseen Maahan vetovoiman vuoksi, kutsutaan kehon painoksi. Toisin kuin painovoima, joka on kehoon kohdistuva gravitaatiovoima, paino on kimmoisa voima, joka kohdistuu tukeen tai ripustukseen (eli liitokseen).

Havainnot osoittavat, että jousivaa'alla määritetty kappaleen P paino on yhtä suuri kuin kehoon vaikuttava painovoima Ft vain, jos tasapaino kehon kanssa suhteessa maahan on levossa tai liikkuu tasaisesti ja suoraviivaisesti; Tässä tapauksessa

Jos keho liikkuu kiihtyvällä vauhdilla, sen paino riippuu tämän kiihtyvyyden arvosta ja sen suunnasta suhteessa vapaan pudotuksen kiihtyvyyden suuntaan.

Kun kappale on ripustettu jousiasteikolla, siihen vaikuttaa kaksi voimaa: painovoima Ft=mg ja jousen kimmovoima Fyp. Jos samaan aikaan kappale liikkuu pystysuunnassa ylös- tai alaspäin suhteessa vapaan pudotuksen kiihtyvyyden suuntaan, niin voimien Ft ja Fup vektorisumma antaa resultantin, joka aiheuttaa kehon kiihtyvyyden, ts.

Ft + Fup \u003d ma.

Yllä olevan "paino"-käsitteen määritelmän mukaan voimme kirjoittaa, että Р=-Fyп. kun otetaan huomioon se tosiasia, että Ft=mg, tästä seuraa, että mg-ma=-Fyp. Siksi P \u003d m (g-a).

Voimat Ft ja Fup suunnataan yhtä pystysuoraa linjaa pitkin. Siksi, jos kappaleen a kiihtyvyys on suunnattu alaspäin (eli se osuu yhteen vapaan pudotuksen kiihtyvyyden g kanssa), niin modulo

Jos kehon kiihtyvyys on suunnattu ylöspäin (eli vapaan pudotuksen kiihtyvyyden suuntaa vastapäätä), niin

P \u003d m \u003d m (g + a).

Näin ollen sellaisen kappaleen paino, jonka kiihtyvyys osuu yhteen vapaan pudotuksen kiihtyvyyden kanssa, on pienempi kuin levossa olevan kappaleen paino ja sellaisen kappaleen paino, jonka kiihtyvyys on päinvastainen vapaan pudotuksen kiihtyvyyden suuntaa vastaan, on suurempi kuin kehon paino levossa. Sen kiihtyneen liikkeen aiheuttamaa painon nousua kutsutaan ylikuormitukseksi.

Vapaassa pudotuksessa a=g. tästä seuraa, että tässä tapauksessa P=0, eli painoa ei ole. Siksi, jos kappaleet liikkuvat vain painovoiman vaikutuksesta (eli putoavat vapaasti), ne ovat painottomuuden tilassa. Tämän tilan ominaispiirre on muodonmuutosten ja sisäisten jännitysten puuttuminen vapaasti putoavissa kappaleissa, joita painovoima aiheuttaa lepokappaleissa. Syy kappaleiden painottomuuteen on se, että painovoima antaa samat kiihtyvyydet vapaasti putoavalle kappaleelle ja sen tuelle (tai jousitukselle).