Quels angles sont dits adjacents ? Quelle est la somme de deux angles adjacents ? Angles verticaux et adjacents Nombre d'angles adjacents

Dans le cadre de l'étude d'un cours de géométrie, les notions d'« angle », d'« angles verticaux », d'« angles adjacents » reviennent assez souvent. Comprendre chacun des termes vous aidera à comprendre le problème et à le résoudre correctement. Que sont les angles adjacents et comment les déterminer ?

Angles adjacents – définition du concept

Le terme « angles adjacents » caractérise deux angles formés par un rayon commun et deux demi-droites supplémentaires situées sur une même droite. Les trois rayons partent du même point. Une demi-ligne commune est simultanément un côté de l’un et de l’autre angle.

Angles adjacents - propriétés de base

1. En se basant sur la formulation des angles adjacents, il est facile de remarquer que la somme de ces angles forme toujours un angle inverse dont la mesure en degrés est de 180° :

• Si μ et η sont des angles adjacents, alors μ + η = 180°.
• Connaissant l'amplitude de l'un des angles adjacents (par exemple, μ), vous pouvez facilement calculer la mesure en degrés du deuxième angle (η) en utilisant l'expression η = 180° – μ.

2. Cette propriété des angles permet de tirer la conclusion suivante : un angle adjacent à un angle droit sera également droit.

3. En considérant les fonctions trigonométriques (sin, cos, tg, ctg), basées sur les formules de réduction pour les angles adjacents μ et η, ce qui suit est vrai :

• sinη = sin(180° – μ) = sinμ,
• cosη = cos(180° – μ) = -cosμ,
• tgη = tg(180° – μ) = -tgμ,
• ctgη ​​​​​​= ctg(180° – μ) = -ctgμ.

Angles adjacents - exemples

Exemple 1

Étant donné un triangle de sommets M, P, Q – ΔMPQ. Trouvez les angles adjacents aux angles ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM.

• Prolongons chaque côté du triangle par une ligne droite.
• Sachant que les angles adjacents se complètent jusqu'à un angle inversé, on découvre que :

adjacent à l'angle ∠QMP est ∠LMP,

adjacent à l'angle ∠MPQ est ∠SPQ,

adjacent à l'angle ∠PQM est ∠HQP.

Exemple 2

La valeur d'un angle adjacent est de 35°. Quelle est la mesure en degrés du deuxième angle adjacent ?

• Deux angles adjacents totalisent 180°.
• Si ∠μ = 35°, alors à côté ∠η = 180° – 35° = 145°.

Exemple 3

Déterminez les valeurs des angles adjacents si l'on sait que la mesure en degrés de l'un d'eux est trois fois supérieure à la mesure en degrés de l'autre angle.

• Notons la grandeur d’un angle (plus petit) par – ∠μ = λ.
• Alors, selon les conditions du problème, la valeur du deuxième angle sera égale à ∠η = 3λ.
• Sur la base de la propriété de base des angles adjacents, μ + η = 180° suit

λ + 3λ = µ + η = 180°,

λ = 180°/4 = 45°.

Cela signifie que le premier angle est ∠μ = λ = 45° et le deuxième angle est ∠η = 3λ = 135°.

La capacité d'utiliser la terminologie, ainsi que la connaissance des propriétés de base des angles adjacents, vous aideront à résoudre de nombreux problèmes géométriques.

Bon après-midi La dernière fois, nous avons commencé à examiner la question : « Comment comprendre la géométrie en 7e année ? et abordé plusieurs définitions de base, à savoir ce qu'est

Je pense que c'est très important, car à l'avenir, lorsque vous étudierez la géométrie en 8e, 9e année et au-delà, vous rencontrerez de plus en plus souvent des problèmes avec les angles adjacents et verticaux. C'est pourquoi nous résolvons à nouveau des problèmes avec des angles adjacents.

Problème 1. Une paire d'angles adjacents peut-elle être constituée de deux angles aigus ? Solution : Regardons l'image du haut. On voit ici que l'angle a est inférieur à 90°. Cet angle est appelé aigu. Dans le même temps, l'angle b est supérieur à 90° et inférieur à l'angle c = 180°. Cet angle est dit obtus. Par conséquent, si l'un des angles adjacents est aigu, alors le second doit être obtus. Et vice versa. L'exception concerne les angles de 90°. Ceux. Si deux angles adjacents sont égaux, alors ils sont égaux à 90°. Il n’y a donc pas deux angles aigus adjacents.

Problème 2. L'un des angles adjacents est 56 degrés inférieur à l'autre. Trouvez les valeurs de ces angles. Solution : Soit le premier angle égal à X, alors le deuxième angle est égal à X+56. Au total ils donnent 180°. Faisons l'équation : X+X+56 = 180 2X = 180 - 56 2X = 124 X=124/2 = 62. Réponse : le premier angle est de 62°, le second est de 62+56 = 118°.

Problème 3. Quel est l'angle entre les bissectrices d'angles adjacents ? Solution : Pour résoudre ce problème, nous devons introduire un concept supplémentaire : la bissectrice. Une bissectrice est un rayon qui passe à l’intérieur d’un angle et divise l’angle en deux. Comment un tel problème est-il résolu ? Si l’on regarde la figure, on verra que les angles AOB et BOC sont adjacents. Leur somme est de 180°. Les bissectrices OD et OE divisent les angles AOB et BOC en α et α égaux, ainsi qu'en β et β. De là, nous obtenons : α+α+β+β=180, soit 2α +2β = 180. En réduisant les côtés droit et gauche de l'équation par 2, nous obtenons le résultat final : α +β = 90. L'angle entre les bissectrices des angles adjacents est TOUJOURS 90°.

Problème 4. Trouvez les angles adjacents si leurs mesures en degrés sont dans le rapport 4:11. Solution : Soit le premier angle soit 4X, puis le second soit 11X. Au total ils donnent 180°. Nous formons l'équation : 4X+11X=180 15X = 180 X = 180/15 X=12 4X=4*12 = 48, 11X=11*12 = 132. Réponse : le premier angle est de 48°, le second est de 132°.

Problème 5. L'un des angles adjacents est 33 degrés supérieur à la moitié du deuxième angle adjacent. Trouvez ces angles. Solution : Soit la moitié de l'angle égal à X, puis prenons l'angle entier comme étant 2X. Celui qui lui est adjacent est égal à X à 33°. On compose l'équation : 2X + X + 33 = 180 3X = 180 - 33 3X = 147 X = 147/3 = 49. Réponse : le premier angle est 49*2 = 98°, le second est 49+33 = 82°. Ceci conclut les problèmes avec les angles adjacents. La prochaine fois, nous résoudrons les problèmes liés aux angles verticaux. À la prochaine!

Deux angles sont dits adjacents s'ils ont un côté en commun, et les autres côtés de ces angles sont des rayons complémentaires. Sur la figure 20, les angles AOB et BOC sont adjacents.

La somme des angles adjacents est de 180°

Théorème 1. La somme des angles adjacents est de 180°.

Preuve. Le faisceau OB (voir Fig. 1) passe entre les côtés de l'angle déplié. C'est pourquoi ∠ AOB + ∠ BOS = 180°.

Du théorème 1, il résulte que si deux angles sont égaux, alors leurs angles adjacents sont égaux.

Les angles verticaux sont égaux

Deux angles sont dits verticaux si les côtés d’un angle sont des rayons complémentaires des côtés de l’autre. Les angles AOB et COD, BOD et AOC, formés à l'intersection de deux droites, sont verticaux (Fig. 2).

Théorème 2. Les angles verticaux sont égaux.

Preuve. Considérons les angles verticaux AOB et COD (voir Fig. 2). L'angle BOD est adjacent à chacun des angles AOB et COD. Par Théorème 1 ∠ AOB + ∠ DBO = 180°, ∠ DCO + ∠ DBO = 180°.

De là, nous concluons que ∠ AOB = ∠ COD.

Corollaire 1. Un angle adjacent à un angle droit est un angle droit.

Considérons deux droites sécantes AC et BD (Fig. 3). Ils forment quatre coins. Si l'un d'eux est droit (angle 1 sur la figure 3), alors les angles restants sont également droits (les angles 1 et 2, 1 et 4 sont adjacents, les angles 1 et 3 sont verticaux). Dans ce cas, on dit que ces lignes se coupent à angle droit et sont dites perpendiculaires (ou mutuellement perpendiculaires). La perpendiculaire des droites AC et BD est notée comme suit : AC ⊥ BD.

Une médiatrice à un segment est une droite perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu.

AN - perpendiculaire à une ligne

Considérons une droite a et un point A qui ne s'y trouve pas (Fig. 4). Relions le point A avec un segment au point H avec la droite a. Le segment AN est appelé perpendiculaire tracé du point A à la ligne a si les lignes AN et a sont perpendiculaires. Le point H est appelé la base de la perpendiculaire.

Dessiner un carré

Le théorème suivant est vrai.

Théorème 3. A partir de tout point ne se trouvant pas sur une droite, il est possible de tracer une perpendiculaire à cette droite, et de plus une seule.

Pour tracer une perpendiculaire d'un point à une ligne droite dans un dessin, utilisez une équerre à dessin (Fig. 5).

Commentaire. La formulation du théorème se compose généralement de deux parties. Une partie parle de ce qui est donné. Cette partie est appelée la condition du théorème. L'autre partie parle de ce qui doit être prouvé. Cette partie est appelée la conclusion du théorème. Par exemple, la condition du théorème 2 est que les angles sont verticaux ; conclusion - ces angles sont égaux.

Tout théorème peut être exprimé en détail avec des mots de sorte que sa condition commence par le mot « si » et sa conclusion par le mot « alors ». Par exemple, le théorème 2 peut être énoncé en détail comme suit : « Si deux angles sont verticaux, alors ils sont égaux. »

Exemple 1. L'un des angles adjacents est de 44°. A quoi est égal l’autre ?

Solution. Notons la mesure en degré d'un autre angle par x, alors selon le théorème 1.
44° + x = 180°.
En résolvant l’équation résultante, nous trouvons que x = 136°. L’autre angle est donc de 136°.

Exemple 2. Soit l'angle COD sur la figure 21 soit de 45°. Quels sont les angles AOB et AOC ?

Solution. Les angles COD et AOB sont verticaux, donc d'après le théorème 1.2, ils sont égaux, c'est-à-dire ∠ AOB = 45°. L'angle AOC est adjacent à l'angle COD, ce qui signifie selon le théorème 1.
∠ AOC = 180° - ∠ DCO = 180° - 45° = 135°.

Exemple 3. Trouvez les angles adjacents si l’un d’eux est 3 fois plus grand que l’autre.

Solution. Notons x la mesure en degrés du plus petit angle. Ensuite, la mesure en degrés du plus grand angle sera 3x. Puisque la somme des angles adjacents est égale à 180° (Théorème 1), alors x + 3x = 180°, d'où x = 45°.
Cela signifie que les angles adjacents sont de 45° et 135°.

Exemple 4. La somme de deux angles verticaux est de 100°. Trouvez la taille de chacun des quatre angles.

Solution. Soit la figure 2 remplissant les conditions du problème. Les angles verticaux COD à AOB sont égaux (théorème 2), ce qui signifie que leurs mesures en degrés sont également égales. Donc ∠ COD = ∠ AOB = 50° (leur somme selon la condition est de 100°). L'angle BOD (également angle AOC) est adjacent à l'angle COD, et donc, d'après le théorème 1
∠ DBO = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.

Angles dont un côté est commun et les autres côtés se trouvent sur la même ligne droite (sur la figure, les angles 1 et 2 sont adjacents). Riz. à l'art. Coins adjacents... Grande Encyclopédie Soviétique

COINS ADJACENTS- des angles qui ont un sommet commun et un côté commun, et dont les deux autres côtés se trouvent sur la même droite... Grande encyclopédie polytechnique

Voir Angle... Grand dictionnaire encyclopédique

ANGLES ADJACENTS, deux angles dont la somme est 180°. Chacun de ces angles complète l'autre jusqu'à l'angle complet... Dictionnaire encyclopédique scientifique et technique

Voir Angle. * * * COINS ADJACENTS COINS ADJACENTS, voir Angle (voir ANGLE)... Dictionnaire encyclopédique

- (Angles adjacents) ceux qui ont un sommet commun et un côté commun. La plupart du temps, ce nom fait référence à de tels angles C., dont les deux autres côtés se trouvent dans des directions opposées d'une ligne droite passant par le sommet... Dictionnaire encyclopédique F.A. Brockhaus et I.A. Éfron

Voir Angle... Sciences naturelles. Dictionnaire encyclopédique

Deux lignes droites se croisent pour créer une paire d'angles verticaux. Une paire est constituée des angles A et B, l'autre de C et D. En géométrie, deux angles sont dits verticaux s'ils sont créés par l'intersection de deux... Wikipédia

Une paire d'angles complémentaires qui se complètent jusqu'à 90 degrés. Si deux angles complémentaires sont adjacents (c'est-à-dire qu'ils ont un sommet commun et ne sont séparés que... ... Wikipédia

Une paire d'angles complémentaires qui se complètent jusqu'à 90 degrés. Les angles complémentaires sont une paire d'angles qui se complètent jusqu'à 90 degrés. Si deux angles complémentaires sont avec... Wikipédia

Livres

• À propos de la preuve en géométrie, A.I. Fetisov. Une fois, au tout début de l'année scolaire, j'ai dû entendre une conversation entre deux filles. L'aîné d'entre eux est passé en sixième, le plus jeune en cinquième. Les filles ont partagé leurs impressions sur les cours...
• Géométrie. 7e année. Cahier complet pour le contrôle des connaissances, I. S. Markova, S. P. Babenko. Le manuel présente des matériaux de contrôle et de mesure (CMM) en géométrie pour effectuer le contrôle qualité actuel, thématique et final des connaissances des élèves de 7e année. Contenu du manuel...

Chaque angle, selon sa taille, a son propre nom :

Type d'angle	Taille en degrés	Exemple
Épicé	Moins de 90°
Droit	Égal à 90°. Dans un dessin, un angle droit est généralement désigné par un symbole dessiné d'un côté à l'autre de l'angle.
Émoussé	Plus de 90° mais moins de 180°
Étendu	Égal à 180° Un angle droit est égal à la somme de deux angles droits et un angle droit est la moitié d'un angle droit.
Convexe	Plus de 180° mais moins de 360°
Complet	Égal à 360°

Les deux angles sont appelés adjacent, s'ils ont un côté en commun et que les deux autres côtés forment une ligne droite :

Angles SERPILLIÈRE Et PON adjacent, puisque la poutre PO- le côté commun, et les deux autres côtés - OM Et SUR former une ligne droite.

Le côté commun des angles adjacents est appelé oblique à droit, sur lequel se trouvent les deux autres côtés, uniquement dans le cas où les angles adjacents ne sont pas égaux entre eux. Si les angles adjacents sont égaux, alors leur côté commun sera perpendiculaire.

La somme des angles adjacents est de 180°.

Les deux angles sont appelés verticale, si les côtés d'un angle complètent les côtés de l'autre angle en lignes droites :

Les angles 1 et 3, ainsi que les angles 2 et 4, sont verticaux.

Les angles verticaux sont égaux.

Montrons que les angles verticaux sont égaux :

La somme de ∠1 et ∠2 est un angle droit. Et la somme de ∠3 et ∠2 est un angle droit. Ces deux montants sont donc égaux :

∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠2.

Dans cette égalité, il existe un terme identique à gauche et à droite - ∠2. L'égalité ne sera pas violée si ce terme à gauche et à droite est omis. Ensuite, nous comprenons.