प्रथम कोटि का अवकल समीकरण है। विभेदक समीकरण ऑनलाइन

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विभेदक समीकरण।कई भौतिक नियम, जो कुछ परिघटनाओं के अधीन होते हैं, गणितीय समीकरण के रूप में लिखे जाते हैं जो कुछ राशियों के बीच एक निश्चित संबंध को व्यक्त करते हैं। अक्सर हम मूल्यों के बीच संबंधों के बारे में बात कर रहे हैं जो समय के साथ बदलते हैं, उदाहरण के लिए, इंजन की दक्षता, दूरी से मापा जाता है कि कार एक लीटर ईंधन पर यात्रा कर सकती है, कार की गति पर निर्भर करती है। संगत समीकरण में एक या अधिक फलन और उनके अवकलज होते हैं और इसे अवकल समीकरण कहते हैं। (समय के साथ दूरी के परिवर्तन की दर गति से निर्धारित होती है, इसलिए, गति दूरी का व्युत्पन्न है; इसी तरह, त्वरण गति का व्युत्पन्न है, क्योंकि त्वरण समय के साथ गति के परिवर्तन की दर निर्धारित करता है।) बडा महत्वगणित के लिए और विशेष रूप से इसके अनुप्रयोगों के लिए जो अवकल समीकरण हैं, उन्हें इस तथ्य से समझाया गया है कि कई भौतिक और तकनीकी कार्य. विभेदक समीकरणजीव विज्ञान, अर्थशास्त्र और इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग जैसे अन्य विज्ञानों में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं; वास्तव में, वे घटना के मात्रात्मक (संख्यात्मक) विवरण की आवश्यकता होने पर उत्पन्न होते हैं (जैसे ही दुनियासमय के साथ परिवर्तन होता है, और परिस्थितियाँ एक स्थान से दूसरे स्थान पर बदलती हैं)।

उदाहरण।

निम्नलिखित उदाहरण एक बेहतर समझ प्रदान करते हैं कि अंतर समीकरणों के संदर्भ में विभिन्न समस्याओं का निर्माण कैसे किया जाता है।

1) कुछ रेडियोधर्मी पदार्थों के क्षय का नियम यह है कि क्षय की दर इस पदार्थ की उपलब्ध मात्रा के समानुपाती होती है। यदि एक्सकिसी दिए गए समय में पदार्थ की मात्रा है टी, तब इस नियम को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

कहाँ पे डीएक्स/डीटीक्षय दर है, और कदिए गए पदार्थ की विशेषता बताने वाला कुछ सकारात्मक स्थिरांक है। (दाईं ओर ऋण चिह्न यह दर्शाता है एक्ससमय के साथ घटता है; प्लस साइन, हमेशा निहित होता है जब साइन स्पष्ट रूप से नहीं कहा जाता है, इसका मतलब यह होगा एक्ससमय के साथ बढ़ता है।)

2) कंटेनर में शुरू में 100 मीटर 3 पानी में 10 किलो नमक घोला जाता है। यदि शुद्ध पानी 1 मीटर 3 प्रति मिनट की दर से कंटेनर में डाला जाता है और समान रूप से घोल के साथ मिलाया जाता है, और परिणामी घोल उसी गति से कंटेनर से बाहर निकलता है, तो बाद के समय में कंटेनर में कितना नमक होगा? यदि एक्स- उस समय कंटेनर में नमक की मात्रा (किग्रा में)। टी, फिर किसी भी समय टीकंटेनर में समाधान का 1 मीटर 3 होता है एक्स/100 किलो नमक; इसलिए नमक की मात्रा एक दर से घट जाती है एक्स/100 किग्रा/मिनट, या

3) द्रव्यमान को शरीर पर आने दें एमएक वसंत के अंत से निलंबित, एक बहाली बल वसंत में तनाव की मात्रा के आनुपातिक कार्य करता है। होने देना एक्स- संतुलन की स्थिति से शरीर के विचलन की मात्रा। फिर, न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार, जो बताता है कि त्वरण (का दूसरा व्युत्पन्न एक्ससमय में, निरूपित डी 2 एक्स/डीटी 2) शक्ति के अनुपात में:

दाहिना भाग ऋण चिह्न के साथ है क्योंकि प्रत्यानयन बल कमानी के विस्तार को कम करता है।

4) निकायों के शीतलन का नियम कहता है कि शरीर में गर्मी की मात्रा शरीर के तापमान में अंतर के अनुपात में घट जाती है और वातावरण. यदि 90°C के तापमान पर गर्म की गई कॉफी का प्याला 20°C तापमान वाले कमरे में है, तो

कहाँ पे टी- उस समय कॉफी का तापमान टी.

5) ब्लेफुस्कु राज्य के विदेश मामलों के मंत्री का दावा है कि लिलिपुट द्वारा अपनाया गया आयुध कार्यक्रम उनके देश को जितना संभव हो सके सैन्य खर्च बढ़ाने के लिए मजबूर कर रहा है। इसी तरह के बयान लिलिपुट के विदेश मंत्री द्वारा दिए गए हैं। परिणामी स्थिति (इसकी सबसे सरल व्याख्या में) को दो अंतर समीकरणों द्वारा सटीक रूप से वर्णित किया जा सकता है। होने देना एक्सऔर वाई- लिलिपुट और ब्लेफस्कु को हथियार देने की लागत। यह मानते हुए कि लिलिपुटिया अपने आयुध खर्च को ब्लेफस्कु के आयुध खर्च में वृद्धि की दर के अनुपात में बढ़ाता है, और इसके विपरीत, हम प्राप्त करते हैं:

जहां सदस्य हैं कुल्हाड़ीऔर - द्वाराप्रत्येक देश के सैन्य खर्च का वर्णन करें, कऔर एलसकारात्मक स्थिरांक हैं। (यह समस्या सर्वप्रथम 1939 में एल. रिचर्डसन द्वारा इस प्रकार प्रतिपादित की गई थी।)

समस्या को अवकल समीकरणों की भाषा में लिखे जाने के बाद, उसे हल करने का प्रयास करना चाहिए, अर्थात उन मात्राओं को खोजें जिनकी परिवर्तन की दरें समीकरणों में शामिल हैं। कभी-कभी समाधान स्पष्ट सूत्रों के रूप में पाए जाते हैं, लेकिन अधिक बार उन्हें केवल अनुमानित रूप में दर्शाया जा सकता है या उनके बारे में गुणात्मक जानकारी प्राप्त की जा सकती है। यह स्थापित करना अक्सर मुश्किल होता है कि कोई समाधान मौजूद है या नहीं, अकेले खोजने दें। अंतर समीकरणों के सिद्धांत का एक महत्वपूर्ण हिस्सा तथाकथित "अस्तित्व प्रमेय" है, जो एक या दूसरे प्रकार के अंतर समीकरणों के समाधान के अस्तित्व को साबित करता है।

किसी भौतिक समस्या के मूल गणितीय सूत्रीकरण में सामान्यत: सरलीकृत मान्यताएँ होती हैं; उपलब्ध टिप्पणियों के साथ गणितीय समाधान की निरंतरता की डिग्री उनकी तर्कशीलता की कसौटी हो सकती है।

अंतर समीकरणों के समाधान।

उदाहरण के लिए विभेदक समीकरण डीवाई/डीएक्स = एक्स/वाई, एक संख्या नहीं, बल्कि एक फ़ंक्शन को संतुष्ट करता है, इस विशेष मामले में ऐसा है कि किसी भी बिंदु पर इसका ग्राफ, उदाहरण के लिए, निर्देशांक (2,3) के साथ एक बिंदु पर, निर्देशांक के अनुपात के बराबर ढलान के साथ एक स्पर्शरेखा है ( हमारे उदाहरण में 2/3)। यह सत्यापित करना आसान है कि क्या बड़ी संख्या में बिंदुओं का निर्माण किया गया है और प्रत्येक से संबंधित ढलान के साथ एक छोटा खंड रखा गया है। समाधान एक ऐसा फ़ंक्शन होगा जिसका ग्राफ़ संबंधित सेगमेंट पर इसके प्रत्येक बिंदु को छूता है। यदि पर्याप्त बिंदु और खंड हैं, तो हम लगभग निर्णय वक्रों के पाठ्यक्रम की रूपरेखा तैयार कर सकते हैं (ऐसे तीन वक्र चित्र 1 में दिखाए गए हैं)। प्रत्येक बिंदु से गुजरने वाला ठीक एक समाधान वक्र है वाईनंबर 0। प्रत्येक व्यक्तिगत समाधान को अंतर समीकरण का एक विशेष समाधान कहा जाता है; यदि सभी विशेष समाधानों (कुछ विशेष समाधानों के संभावित अपवाद के साथ) वाले सूत्र को खोजना संभव है, तो हम कहते हैं कि एक सामान्य समाधान प्राप्त किया गया है। एक विशेष समाधान एक एकल कार्य है, जबकि एक सामान्य समाधान उनका पूरा परिवार है। अवकल समीकरण को हल करने का अर्थ है उसका विशेष या व्यापक हल ज्ञात करना। हमारे उदाहरण में, सामान्य समाधान का रूप है वाई 2 – एक्स 2 = सी, कहाँ पे सी- कोई संख्या; बिंदु (1,1) से गुजरने वाले विशेष समाधान का रूप है वाई = एक्सऔर कब प्राप्त होता है सी= 0; बिंदु (2.1) से गुजरने वाले विशेष समाधान का रूप है वाई 2 – एक्स 2 = 3। समाधान वक्र के पारित होने की आवश्यकता वाली स्थिति, उदाहरण के लिए, बिंदु (2,1) के माध्यम से, प्रारंभिक स्थिति कहलाती है (क्योंकि यह समाधान वक्र पर प्रारंभिक बिंदु निर्दिष्ट करती है)।

यह दिखाया जा सकता है कि उदाहरण (1) में व्यापक समाधान का रूप है एक्स = सीई –के.टी., कहाँ पे सी- एक स्थिर जिसे निर्धारित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, पदार्थ की मात्रा को इंगित करके टी= 0. उदाहरण (2) से समीकरण उदाहरण (1) से समीकरण का एक विशेष मामला है, इसके अनुरूप है क= 1/100। आरंभिक दशा एक्स= 10 बजे टी= 0 एक विशेष हल देता है एक्स = 10इ –टी/एक सौ । उदाहरण (4) के समीकरण का एक सामान्य हल है टी = 70 + सीई –के.टी.और एक विशेष हल 70 + 130 – के.टी.; मूल्य निर्धारित करने के लिए क, अतिरिक्त डेटा की आवश्यकता है।

अंतर समीकरण डीवाई/डीएक्स = एक्स/वाईप्रथम-क्रम समीकरण कहा जाता है, क्योंकि इसमें पहला व्युत्पन्न होता है (यह अंतर समीकरण के क्रम के रूप में इसमें शामिल उच्चतम व्युत्पन्न के क्रम पर विचार करने के लिए प्रथागत है)। पहले प्रकार के अधिकांश (यद्यपि सभी नहीं) अवकल समीकरणों के लिए, जो व्यवहार में उत्पन्न होते हैं, प्रत्येक बिंदु से केवल एक हल वक्र गुजरता है।

कई महत्वपूर्ण प्रकार के प्रथम-क्रम अंतर समीकरण हैं जिन्हें केवल प्राथमिक कार्यों - शक्तियों, घातांक, लघुगणक, ज्या और कोसाइन आदि वाले सूत्रों के रूप में हल किया जा सकता है। इन समीकरणों में निम्नलिखित शामिल हैं।

वियोज्य चर के साथ समीकरण।

रूप के समीकरण डीवाई/डीएक्स = एफ(एक्स)/जी(वाई) को अवकलों में लिखकर हल किया जा सकता है जी(वाई)डीवाई = एफ(एक्स)डीएक्सऔर दोनों भागों को एकीकृत करना। सबसे खराब स्थिति में, समाधान को ज्ञात कार्यों के अभिन्न अंग के रूप में दर्शाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, समीकरण के मामले में डीवाई/डीएक्स = एक्स/वाईअपने पास एफ(एक्स) = एक्स, जी(वाई) = वाई. इसे फॉर्म में लिखकर ydy = xdxऔर समाकलित करने पर हमें प्राप्त होता है वाई 2 = एक्स 2 + सी. वियोज्य चर वाले समीकरणों में उदाहरण (1), (2), (4) के समीकरण शामिल हैं (उन्हें ऊपर वर्णित विधि द्वारा हल किया जा सकता है)।

कुल अंतरों में समीकरण।

यदि अंतर समीकरण का रूप है डीवाई/डीएक्स = एम(एक्स,वाई)/एन(एक्स,वाई), कहाँ पे एमऔर एनदो दिए गए कार्य हैं, इसे इस रूप में दर्शाया जा सकता है एम(एक्स,वाई)डीएक्स – एन(एक्स,वाई)डीवाई= 0. यदि बाईं ओर किसी फलन का अवकल है एफ(एक्स,वाई), तो अंतर समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है dF(एक्स,वाई) = 0, जो समीकरण के समतुल्य है एफ(एक्स,वाई) = कास्ट। इस प्रकार, समीकरण-समाधान वक्र एक फ़ंक्शन के "स्थिर स्तरों की रेखाएँ" या बिंदुओं का स्थान है जो समीकरणों को संतुष्ट करता है एफ(एक्स,वाई) = सी. समीकरण ydy = xdx(चित्र 1) - वियोज्य चर के साथ, और यह समान है - कुल अंतर में: बाद वाले को सत्यापित करने के लिए, हम इसे फॉर्म में लिखते हैं ydy – xdx= 0, यानी डी(वाई 2 – एक्स 2) = 0. कार्य एफ(एक्स,वाई) इस मामले में (1/2) के बराबर है ( वाई 2 – एक्स 2); इसकी कुछ स्थिर समतल रेखाएँ चित्र में दिखाई गई हैं। 1.

रेखीय समीकरण।

रैखिक समीकरण "पहली डिग्री" समीकरण हैं - अज्ञात फ़ंक्शन और इसके डेरिवेटिव ऐसे समीकरणों में केवल पहली डिग्री में शामिल हैं। इस प्रकार, प्रथम-क्रम रैखिक अंतर समीकरण का रूप है डीवाई/डीएक्स + पी(एक्स) = क्यू(एक्स), कहाँ पे पी(एक्स) और क्यू(एक्स) केवल पर निर्भर करने वाले कार्य हैं एक्स. ज्ञात कार्यों के अभिन्न का उपयोग करके इसका समाधान हमेशा लिखा जा सकता है। कई अन्य प्रकार के प्रथम-क्रम अवकल समीकरण विशेष तकनीकों का उपयोग करके हल किए जाते हैं।

उच्च कोटि के समीकरण।

बहुत से अवकल समीकरण, जिनसे भौतिक विज्ञानी व्यवहार करते हैं, दूसरे क्रम के समीकरण हैं (अर्थात्, दूसरे अवकलज वाले समीकरण)। उदाहरण के लिए, उदाहरण (3) से सरल हार्मोनिक गति समीकरण है, मोहम्मद 2 एक्स/डीटी 2 = –केएक्स. सामान्यतया, किसी को दूसरे क्रम के समीकरण से दो स्थितियों को संतुष्ट करने वाले विशेष समाधान की उम्मीद होगी; उदाहरण के लिए, किसी को समाधान वक्र से गुजरने की आवश्यकता हो सकती है दिया बिंदुमें यह दिशा. ऐसे मामलों में जहां अंतर समीकरण में कुछ पैरामीटर होते हैं (एक संख्या जिसका मूल्य परिस्थितियों पर निर्भर करता है), आवश्यक प्रकार के समाधान केवल इस पैरामीटर के कुछ मूल्यों के लिए मौजूद होते हैं। उदाहरण के लिए, समीकरण पर विचार करें मोहम्मद 2 एक्स/डीटी 2 = –केएक्सऔर हमें इसकी आवश्यकता है वाई(0) = वाई(1) = 0. कार्य वाईє 0 निश्चित रूप से एक समाधान है, लेकिन यदि पूर्णांक एकाधिक है पी, अर्थात। क = एम 2 एन 2 पी 2, कहाँ एनएक पूर्णांक है, और वास्तव में केवल इस मामले में, अन्य समाधान हैं, अर्थात्: वाई= पाप npx. वे पैरामीटर मान जिनके लिए समीकरण के विशेष समाधान हैं, उन्हें विशेषता या eigenvalues ​​​​कहा जाता है; कई कार्यों में इनकी अहम भूमिका होती है।

सरल हार्मोनिक गति का समीकरण समीकरणों के एक महत्वपूर्ण वर्ग का उदाहरण देता है, अर्थात् निरंतर गुणांक वाले रैखिक अंतर समीकरण। एक अधिक सामान्य उदाहरण (द्वितीय क्रम भी) समीकरण है

कहाँ पे एकऔर बीस्थिरांक दिए गए हैं, एफ(एक्स) एक दिया गया कार्य है। ऐसे समीकरण हल किए जा सकते हैं विभिन्न तरीके, उदाहरण के लिए, इंटीग्रल लाप्लास ट्रांसफ़ॉर्म का उपयोग करना। स्थिर गुणांक वाले उच्च कोटि के रैखिक समीकरणों के बारे में भी यही कहा जा सकता है। चर गुणांक वाले रेखीय समीकरण भी महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।

अरैखिक अवकल समीकरण।

अज्ञात कार्यों वाले समीकरण और उनके डेरिवेटिव पहले से अधिक या कुछ अधिक जटिल तरीके से गैर-रैखिक कहलाते हैं। पर पिछले साल काउन्हें अधिक से अधिक ध्यान मिल रहा है। मुद्दा यह है कि भौतिक समीकरण आमतौर पर केवल पहले सन्निकटन में रैखिक होते हैं; आगे और अधिक सटीक जांच, एक नियम के रूप में, गैर-रैखिक समीकरणों के उपयोग की आवश्यकता होती है। इसके अलावा, कई समस्याएं स्वाभाविक रूप से गैर-रैखिक हैं। चूंकि गैर-रैखिक समीकरणों के समाधान अक्सर बहुत जटिल होते हैं और उनका प्रतिनिधित्व करना मुश्किल होता है सरल सूत्र, पर्याप्त हिस्सा आधुनिक सिद्धांतउनके व्यवहार के गुणात्मक विश्लेषण के लिए समर्पित है, अर्थात। उन विधियों का विकास जो समीकरणों को हल किए बिना, समग्र रूप से समाधानों की प्रकृति के बारे में कुछ महत्वपूर्ण कहने के लिए संभव बनाते हैं: उदाहरण के लिए, कि वे सभी सीमित हैं, या एक आवधिक चरित्र हैं, या एक निश्चित तरीके से निर्भर हैं गुणांक।

विभेदक समीकरणों के अनुमानित समाधान संख्यात्मक रूप से पाए जा सकते हैं, लेकिन इसमें बहुत समय लगता है। हाई-स्पीड कंप्यूटर के आगमन के साथ, यह समय बहुत कम हो गया है, जिसने कई समस्याओं के संख्यात्मक समाधान के लिए नई संभावनाएं खोली हैं जो पहले इस तरह के समाधान के लिए उत्तरदायी नहीं थीं।

अस्तित्व प्रमेय।

एक अस्तित्व प्रमेय एक प्रमेय है जिसमें कहा गया है कि कुछ शर्तों के तहत दिए गए अंतर समीकरण का एक समाधान है। ऐसे विभेदक समीकरण हैं जिनका समाधान नहीं है या अपेक्षा से अधिक समाधान हैं। अस्तित्व प्रमेय का उद्देश्य हमें यह विश्वास दिलाना है कि दिए गए समीकरण का एक हल होता है, और अक्सर यह आश्वस्त करने के लिए होता है कि इसके पास आवश्यक प्रकार का ठीक एक समाधान है। उदाहरण के लिए, जो समीकरण हम पहले ही देख चुके हैं डीवाई/डीएक्स = –2वाईविमान के प्रत्येक बिंदु से होकर गुजरने वाला ठीक एक समाधान है ( एक्स,वाई), और चूंकि हम पहले ही ऐसा एक हल ढूंढ चुके हैं, इसलिए हमने इस समीकरण को पूरी तरह से हल कर लिया है। दूसरी ओर, समीकरण ( डीवाई/डीएक्स) 2 = 1 – वाई 2 के अनेक उपाय हैं। इनमें प्रत्यक्ष हैं वाई = 1, वाई= -1 और घटता है वाई= पाप ( एक्स + सी). समाधान में इन सीधी रेखाओं और वक्रों के कई खंड शामिल हो सकते हैं, जो संपर्क के बिंदुओं पर एक दूसरे से गुजरते हैं (चित्र 2)।

आंशिक अंतर समीकरण।

साधारण अवकल समीकरण एक चर के अज्ञात फलन के अवकलज के बारे में एक कथन है। एक आंशिक अवकल समीकरण में दो या दो से अधिक चरों का एक फलन होता है और उस फलन के अवकलज कम से कम दो भिन्न चरों में होते हैं।

भौतिकी में, ऐसे समीकरणों के उदाहरण लाप्लास समीकरण हैं

एक्स , वाई) सर्कल के अंदर अगर मान यूबाउंडिंग सर्कल के प्रत्येक बिंदु पर दिए गए हैं। चूंकि भौतिकी में एक से अधिक चर वाली समस्याएं अपवाद के बजाय नियम हैं, इसलिए यह कल्पना करना आसान है कि आंशिक अंतर समीकरणों के सिद्धांत का विषय कितना व्यापक है।

व्याख्यान नोट्स पर

विभेदक समीकरण

विभेदक समीकरण

परिचय

कुछ परिघटनाओं का अध्ययन करते समय, अक्सर ऐसी स्थिति उत्पन्न होती है जब समीकरण y=f(x) या F(x;y)=0 का उपयोग करके प्रक्रिया का वर्णन नहीं किया जा सकता है। चर x और अज्ञात फलन के अतिरिक्त, समीकरण में इस फलन का अवकलज भी शामिल है।

परिभाषा:चर x, अज्ञात फलन y(x) और इसके अवकलजों से संबंधित समीकरण कहलाता है अंतर समीकरण. पर सामान्य रूप से देखेंअंतर समीकरण इस तरह दिखता है:

एफ (एक्स; वाई (एक्स); ;;...;y(n))=0

परिभाषा:अवकल समीकरण की कोटि उसके उच्चतम अवकलज की कोटि होती है।

प्रथम क्रम का विभेदक समीकरण

-तीसरे क्रम का विभेदक समीकरण

परिभाषा:अवकल समीकरण का हल एक ऐसा फलन है, जो समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, इसे एक पहचान में बदल देता है।

प्रथम क्रम अवकल समीकरण

परिभाषा:समीकरण टाइप करें =f(x;y) या F(x;y; )=0प्रथम कोटि का अवकल समीकरण कहलाता है।

परिभाषा:प्रथम कोटि के अवकल समीकरण का सामान्य हल फलन y=γ(x;c) है, जहाँ (с –const), जो समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, इसे एक पहचान में बदल देता है। ज्यामितीय रूप से समतल पर, सामान्य समाधान पैरामीटर c के आधार पर अभिन्न वक्रों के एक परिवार से मेल खाता है।

परिभाषा:निर्देशांक (x 0; y 0) के साथ विमान में एक बिंदु से गुजरने वाला एक अभिन्न वक्र एक अंतर समीकरण के एक विशेष समाधान से मेल खाता है जो प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करता है:

प्रथम क्रम के अंतर समीकरण के समाधान की विशिष्टता के अस्तित्व पर प्रमेय

प्रथम क्रम के एक अंतर समीकरण को देखते हुए
और फलन f(x; y) XOY समतल के किसी क्षेत्र D में आंशिक अवकलजों के साथ सतत है, फिर बिंदु M 0 (x 0; y 0) से होकर D प्रारंभिक स्थिति y(x 0)=y 0 के संगत अवकल समीकरण के किसी विशेष समाधान के संगत एकमात्र वक्र से गुजरता है

दिए गए निर्देशांक के साथ समतल के बिंदु के माध्यम से 1 अभिन्न वक्र गुजरता है।

यदि स्पष्ट रूप में प्रथम क्रम के अवकल समीकरण का सामान्य हल प्राप्त करना संभव नहीं है, अर्थात
, तो इसे निहित रूप से प्राप्त किया जा सकता है:

एफ (एक्स; वाई; सी) = 0 - अंतर्निहित रूप

इस रूप में सामान्य समाधान कहा जाता है सामान्य अभिन्नअंतर समीकरण।

प्रथम क्रम के अंतर समीकरण के संबंध में, 2 कार्य निर्धारित हैं:

1) एक सामान्य समाधान खोजें (सामान्य समाकल)

2) एक विशेष समाधान (आंशिक समाकल) ज्ञात करें जो दी गई प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करता हो। इस समस्या को अवकल समीकरण की कौशी समस्या कहते हैं।

वियोज्य चर के साथ विभेदक समीकरण

फॉर्म के समीकरण:
वियोज्य चर के साथ एक अंतर समीकरण कहा जाता है।

स्थानापन्न

dx से गुणा करें

हम चर अलग करते हैं

से भाग

नोट: किसी विशेष मामले पर विचार करना आवश्यक है जब

चर अलग हो गए हैं

हम समीकरण के दोनों भागों को एकीकृत करते हैं

- सामान्य निर्णय

वियोज्य चर के साथ एक अंतर समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

व्यक्तिगत मामला
!

हम समीकरण के दोनों भागों को एकीकृत करते हैं:

1)

2)
जल्दी शर्तें:

प्रथम क्रम के सजातीय अंतर समीकरण

परिभाषा:समारोह
क्रम n का सजातीय कहा जाता है यदि

उदाहरण:- कोटि n=2 का सजातीय फलन

परिभाषा:ऑर्डर 0 के एक सजातीय कार्य को कहा जाता है सजातीय.

परिभाषा:अंतर समीकरण
सजातीय कहा जाता है अगर
- सजातीय कार्य, अर्थात।

इस प्रकार, सजातीय अंतर समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

बदल कर , जहाँ t चर x का एक फलन है, सजातीय अवकल समीकरण को वियोज्य चरों वाले समीकरण में घटा दिया जाता है।

- समीकरण में स्थानापन्न

चर अलग हो गए हैं, हम समीकरण के दोनों भागों को एकीकृत करते हैं

आइए हम प्रतिस्थापन करके रिवर्स प्रतिस्थापन करें , हम निहित रूप में सामान्य समाधान प्राप्त करते हैं।

एक समांगी अवकल समीकरण को अवकल रूप में लिखा जा सकता है।

M(x;y)dx+N(x;y)dy=0, कहा पे M(x;y) और N(x;y) एक ही क्रम के सजातीय कार्य हैं।

डीएक्स द्वारा विभाजित करें और व्यक्त करें

1)

उस समस्या को याद करें जिसका हमें निश्चित समाकल ज्ञात करते समय सामना करना पड़ा था:

या डीई = एफ (एक्स) डीएक्स। उसका समाधान:

और यह गणना करने के लिए उबलता है अनिश्चितकालीन अभिन्न. व्यवहार में, एक अधिक कठिन कार्य अधिक सामान्य है: एक फ़ंक्शन खोजना वाई, अगर यह ज्ञात है कि यह फॉर्म के संबंध को संतुष्ट करता है

यह संबंध स्वतंत्र चर से संबंधित है एक्स, अज्ञात कार्य वाईऔर इसके डेरिवेटिव ऑर्डर तक एनसमावेशी कहलाते हैं .

अवकल समीकरण में एक क्रम या किसी अन्य के अवकलज (या अवकल) के चिह्न के अंतर्गत एक फलन शामिल होता है। उच्चतम के क्रम को आदेश कहा जाता है (9.1) .

विभेदक समीकरण:

- पहले के आदेश

द्वितीय आदेश,

- पाँचवाँ क्रम, आदि।

वह फलन जो दिए गए अवकल समीकरण को संतुष्ट करता है, उसका हल कहलाता है , या अभिन्न . इसे हल करने का अर्थ है इसके सभी समाधानों को खोजना। यदि वांछित कार्य के लिए वाईएक सूत्र प्राप्त करने में सफल होते हैं जो सभी समाधान देता है, तो हम कहते हैं कि हमें इसका सामान्य समाधान मिल गया है , या सामान्य अभिन्न .

सामान्य निर्णय शामिल है एनमनमाना स्थिरांक और दिखता है

यदि कोई संबंध प्राप्त होता है जो संबंधित है एक्स, वाईऔर एनमनमाना स्थिरांक, एक ऐसे रूप में जिसके संबंध में अनुमति नहीं है वाई -

तब ऐसे संबंध को समीकरण का व्यापक समाकल (9.1) कहा जाता है।

कॉची समस्या

प्रत्येक विशिष्ट समाधान, अर्थात, प्रत्येक विशिष्ट फलन जो दिए गए अवकल समीकरण को संतुष्ट करता है और स्वेच्छ अचरों पर निर्भर नहीं करता है, एक विशेष हल कहलाता है। , या निजी अभिन्न। सामान्य से विशेष समाधान (इंटीग्रल) प्राप्त करने के लिए, विशिष्ट संख्यात्मक मानों को स्थिरांक से जोड़ना आवश्यक है।

किसी विशेष समाधान के आलेख को समाकल वक्र कहते हैं। सामान्य समाधान, जिसमें सभी विशेष समाधान शामिल हैं, अभिन्न वक्रों का एक परिवार है। पहले क्रम के समीकरण के लिए, यह परिवार एक मनमाना स्थिरांक पर निर्भर करता है; समीकरण के लिए एनवें क्रम - से एनमनमाना स्थिरांक।

कॉची समस्या समीकरण का एक विशेष समाधान खोजने के लिए है एनवें आदेश, संतोषजनक एनआरंभिक स्थितियां:

जो n स्थिरांक с 1 , с 2 ,..., c n निर्धारित करते हैं।

प्रथम क्रम अवकल समीकरण

व्युत्पन्न के संबंध में एक अनसुलझे के लिए, पहले क्रम के अंतर समीकरण का रूप है

या अपेक्षाकृत अनुमति के लिए

उदाहरण 3.46. समीकरण का सामान्य हल ज्ञात कीजिए

फेसला।समाकलित करने पर हमें प्राप्त होता है

जहाँ C एक मनमाना स्थिरांक है। यदि हम C विशिष्ट संख्यात्मक मान देते हैं, तो हमें विशेष समाधान मिलते हैं, उदाहरण के लिए,

उदाहरण 3.47. बैंक में जमा धन की बढ़ती हुई राशि पर विचार करें, जो 100 आर के संचय के अधीन है प्रति वर्ष चक्रवृद्धि ब्याज। बता दें कि यो पैसे की प्रारंभिक राशि है, और समाप्ति के बाद Yx एक्सवर्षों पुराना। जब ब्याज की गणना वर्ष में एक बार की जाती है, तो हमें प्राप्त होता है

जहाँ x = 0, 1, 2, 3,.... जब ब्याज की गणना वर्ष में दो बार की जाती है, तो हमें प्राप्त होता है

जहाँ x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... ब्याज की गणना करते समय एनसाल में एक बार और अगर एक्सक्रमिक रूप से 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., तब मान लेता है

निरूपित करें 1/n = h , तो पिछली समानता इस तरह दिखेगी:

असीमित आवर्धन के साथ एन(पर ) सीमा में हम निरंतर ब्याज उपार्जन के साथ धन की राशि बढ़ाने की प्रक्रिया में आते हैं:

इस प्रकार, यह देखा जा सकता है कि एक निरंतर परिवर्तन के साथ एक्समुद्रा आपूर्ति में परिवर्तन का नियम प्रथम क्रम के अंतर समीकरण द्वारा व्यक्त किया गया है। जहाँ Y x एक अज्ञात फलन है, एक्स- स्वतंत्र चर, आर- स्थिर। हम इस समीकरण को हल करते हैं, इसके लिए हम इसे इस प्रकार लिखते हैं:

कहाँ पे , या , जहां पी ई सी के लिए खड़ा है।

प्रारंभिक स्थितियों Y(0) = Yo से, हम P: Yo = Pe o पाते हैं, जहां से, Yo = P. इसलिए, समाधान इस तरह दिखता है:

दूसरी आर्थिक समस्या पर विचार करें। मैक्रोइकॉनॉमिक मॉडल को पहले क्रम के रैखिक अंतर समीकरणों द्वारा भी वर्णित किया जाता है, जो समय के कार्य के रूप में आय या आउटपुट वाई में परिवर्तन का वर्णन करता है।

उदाहरण 3.48. बता दें कि राष्ट्रीय आय Y इसके आकार के आनुपातिक दर से बढ़ती है:

और बता दें, सरकारी खर्च में घाटा आनुपातिक गुणांक के साथ आय Y के सीधे आनुपातिक है क्यू. खर्च में कमी से राष्ट्रीय ऋण में वृद्धि होती है D:

प्रारंभिक स्थितियाँ Y = यो और D = t = 0 पर करें। पहले समीकरण Y = Yoe kt से। Y को प्रतिस्थापित करने पर हमें dD/dt = qYoe kt मिलता है। सामान्य समाधान का रूप है
डी = (क्यू/ के) यो केटी + सी, जहां सी = कॉन्स्ट, जो प्रारंभिक स्थितियों से निर्धारित होता है। प्रारंभिक शर्तों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें Do = (q/k)Yo + C प्राप्त होता है। इसलिए, अंत में,

डी = डू + (क्यू/के) यो (ई केटी -1),

इससे पता चलता है कि राष्ट्रीय ऋण उसी सापेक्ष दर से बढ़ रहा है क, जो राष्ट्रीय आय है।

सबसे सरल अंतर समीकरणों पर विचार करें एनक्रम, ये रूप के समीकरण हैं

इसका सामान्य समाधान प्रयोग करके प्राप्त किया जा सकता है एनएकीकरण के समय।

उदाहरण 3.49।उदाहरण y """ = cos x पर विचार करें।

फेसला।एकीकरण, हम पाते हैं

सामान्य समाधान का रूप है

रैखिक अंतर समीकरण

अर्थशास्त्र में ये बड़े काम के होते हैं, ऐसे समीकरणों के हल पर विचार कीजिए। यदि (9.1) का रूप है:

तब इसे रैखिक कहा जाता है, जहाँ po(x), p1(x),..., pn(x), f(x) दिए गए फलन हैं। यदि f(x) = 0, तो (9.2) समांगी कहलाता है, अन्यथा असमघात कहलाता है। समीकरण (9.2) का सामान्य समाधान इसके किसी विशेष समाधान के योग के बराबर है वाई (एक्स)और इसके अनुरूप सजातीय समीकरण का सामान्य समाधान:

यदि गुणांक p o (x), p 1 (x),..., p n (x) स्थिरांक हैं, तो (9.2)

समीकरण (9.4) को कोटि के अचर गुणांकों वाला रैखिक अवकल समीकरण कहा जाता है एन .

(9.4) के लिए इसका रूप है:

हम व्यापकता p = 1 को खोए बिना सेट कर सकते हैं और फॉर्म में (9.5) लिख सकते हैं

हम y = e kx के रूप में एक हल (9.6) खोजेंगे, जहाँ k एक अचर है। हमारे पास है: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx । प्राप्त अभिव्यक्तियों को (9.6) में प्रतिस्थापित करें, हमारे पास होगा:

(9.7) एक बीजगणितीय समीकरण है, इसका अज्ञात है क, इसे विशेषता कहते हैं। विशेषता समीकरण में डिग्री है एनऔर एनजड़ें, जिनमें से कई और जटिल दोनों हो सकते हैं। मान लीजिए k 1 , k 2 ,..., k n वास्तविक और विशिष्ट हैं, तब विशेष समाधान (9.7) हैं, जबकि सामान्य

निरंतर गुणांकों के साथ दूसरे क्रम के एक रेखीय सजातीय अंतर समीकरण पर विचार करें:

इसकी विशेषता समीकरण का रूप है

(9.9)

इसका विविक्तकर D = p 2 - 4q, D के चिह्न के आधार पर, तीन स्थितियाँ संभव हैं।

1. यदि D > 0, तो मूल k 1 और k 2 (9.9) वास्तविक और भिन्न हैं, और सामान्य समाधान का रूप है:

फेसला।विशेषता समीकरण: k 2 + 9 = 0, जहाँ k = ± 3i, a = 0, b = 3, सामान्य समाधान है:

वाई = सी 1 कॉस 3x + सी 2 पाप 3x।

माल के शेयरों के साथ एक वेब-जैसे आर्थिक मॉडल का अध्ययन करने के लिए दूसरे क्रम के रैखिक अंतर समीकरणों का उपयोग किया जाता है, जहां मूल्य P के परिवर्तन की दर स्टॉक के आकार पर निर्भर करती है (पैराग्राफ 10 देखें)। यदि आपूर्ति और मांग मूल्य के रैखिक कार्य हैं, अर्थात,

ए - एक स्थिरांक है जो प्रतिक्रिया दर निर्धारित करता है, फिर मूल्य परिवर्तन की प्रक्रिया को एक अंतर समीकरण द्वारा वर्णित किया जाता है:

किसी विशेष समाधान के लिए, आप एक स्थिरांक ले सकते हैं

जिसका अर्थ है संतुलन कीमत। विचलन सजातीय समीकरण को संतुष्ट करता है

(9.10)

विशेषता समीकरण निम्नलिखित होंगे:

मामले में, शब्द सकारात्मक है। निरूपित . चारित्रिक समीकरण k 1,2 = ± i w की जड़ें, इसलिए सामान्य समाधान (9.10) का रूप है:

जहां सी और मनमाना स्थिरांक, वे प्रारंभिक स्थितियों से निर्धारित होते हैं। हमने समय में मूल्य परिवर्तन का नियम प्राप्त किया है:

ऑनलाइन कैलकुलेटरआपको अंतर समीकरणों को ऑनलाइन हल करने की अनुमति देता है। एपोस्ट्रोफ के साथ "फ़ंक्शन के डेरिवेटिव" को दर्शाते हुए, उचित क्षेत्र में अपना समीकरण दर्ज करने के लिए पर्याप्त है और "समीकरण हल करें" बटन पर क्लिक करें। और लोकप्रिय वोल्फ्रामअल्फा वेबसाइट के आधार पर लागू प्रणाली एक विस्तृत विवरण देगी अंतर समीकरण समाधानबिल्कुल नि: शुल्क। आप कॉची समस्या को भी सेट कर सकते हैं ताकि पूरे सेट से संभव समाधानदी गई प्रारंभिक शर्तों के अनुरूप भागफल चुनें। कॉची समस्या को एक अलग क्षेत्र में दर्ज किया गया है।

अंतर समीकरण

डिफ़ॉल्ट रूप से, समीकरण में, function वाईएक चर का एक कार्य है एक्स. हालाँकि, आप अपना स्वयं का चर संकेतन सेट कर सकते हैं, यदि आप लिखते हैं, उदाहरण के लिए, y(t) एक समीकरण में, कैलकुलेटर स्वचालित रूप से इसे पहचान लेगा वाईएक चर का एक कार्य है टी. कैलकुलेटर के साथ आप कर सकते हैं अंतर समीकरणों को हल करेंकिसी भी जटिलता और प्रकार की: सजातीय और विषम, रैखिक या गैर-रैखिक, पहला क्रम या दूसरा और उच्च क्रम, वियोज्य या गैर-वियोज्य चर के साथ समीकरण, आदि। समाधान अंतर। में समीकरण दिए गए हैं विश्लेषणात्मक रूप, यह है विस्तृत विवरण. भौतिकी और गणित में विभेदक समीकरण बहुत आम हैं। उनकी गणना के बिना, कई समस्याओं को हल करना असंभव है (विशेष रूप से गणितीय भौतिकी में)।

अवकल समीकरणों को हल करने का एक चरण फलनों का एकीकरण है। अवकल समीकरणों को हल करने के लिए मानक विधियाँ हैं। समीकरणों को वियोज्य चर y और x के रूप में लाना और अलग-अलग कार्यों को अलग-अलग एकीकृत करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, कभी-कभी आपको एक निश्चित प्रतिस्थापन करने की आवश्यकता होती है।

विभेदक समीकरण (डीई) समीकरण है,
जहाँ स्वतंत्र चर हैं, y एक फलन है और आंशिक अवकलज हैं।

साधारण अंतर समीकरण एक अवकल समीकरण है जिसमें केवल एक स्वतंत्र चर होता है।

आंशिक विभेदक समीकरण एक अवकल समीकरण है जिसमें दो या दो से अधिक स्वतंत्र चर होते हैं।

"साधारण" और "आंशिक डेरिवेटिव" शब्दों को छोड़ा जा सकता है यदि यह स्पष्ट है कि किस समीकरण पर विचार किया जा रहा है। निम्नलिखित में, साधारण अवकल समीकरणों पर विचार किया जाता है।

अंतर समीकरण का क्रम उच्चतम व्युत्पन्न का क्रम है।

यहाँ पहले क्रम के समीकरण का एक उदाहरण दिया गया है:

यहाँ चौथे क्रम के समीकरण का एक उदाहरण दिया गया है:

कभी-कभी अंतर के संदर्भ में एक प्रथम-क्रम अंतर समीकरण लिखा जाता है:

इस स्थिति में, चर x और y बराबर हैं। अर्थात्, स्वतंत्र चर या तो x या y हो सकता है। पहली स्थिति में, y, x का एक फलन है। दूसरी स्थिति में, x, y का एक फलन है। यदि आवश्यक हो, तो हम इस समीकरण को ऐसे रूप में ला सकते हैं जिसमें व्युत्पन्न y' स्पष्ट रूप से प्रवेश करता है।
इस समीकरण को dx से भाग देने पर, हम पाते हैं:
.
चूंकि और , यह उसी का अनुसरण करता है
.

अवकल समीकरणों का हल

प्राथमिक कार्यों के डेरिवेटिव प्राथमिक कार्यों के संदर्भ में व्यक्त किए जाते हैं। प्राथमिक कार्यों के अभिन्न अंग अक्सर प्राथमिक कार्यों के संदर्भ में व्यक्त नहीं किए जाते हैं। अवकल समीकरणों के साथ तो स्थिति और भी खराब है। समाधान के परिणामस्वरूप, आप प्राप्त कर सकते हैं:

• एक चर पर एक फ़ंक्शन की स्पष्ट निर्भरता;

  एक विभेदक समीकरण को हल करना फलन y = u है (एक्स), जो परिभाषित किया गया है, n गुणा अवकलनीय है, और .

• प्रकार Φ के समीकरण के रूप में अंतर्निहित निर्भरता (एक्स, वाई) = 0या समीकरणों की प्रणाली;

  अवकल समीकरण का समाकलन एक अंतर समीकरण का समाधान है जिसका एक अंतर्निहित रूप है।

• प्राथमिक कार्यों और उनसे अभिन्न के माध्यम से व्यक्त की गई निर्भरता;

  चतुष्कोणों में एक अंतर समीकरण का समाधान - यह प्राथमिक कार्यों और उनके अभिन्न अंग के संयोजन के रूप में एक समाधान ढूंढ रहा है।

• प्राथमिक कार्यों के संदर्भ में समाधान व्यक्त नहीं किया जा सकता है।

चूँकि अवकल समीकरणों के हल को समाकलों की गणना तक सीमित कर दिया गया है, समाधान में स्थिरांक C 1 , C 2 , C 3 , ... C n शामिल हैं। स्थिरांकों की संख्या समीकरण के क्रम के बराबर है। एक अंतर समीकरण का आंशिक अभिन्न स्थिरांक C 1 , C 2 , C 3 , ... , C n के दिए गए मानों के लिए सामान्य अभिन्न है।

संदर्भ:
वी.वी. स्टेपानोव, विभेदक समीकरणों का कोर्स, एलकेआई, 2015।
एन.एम. गुंथर, आर.ओ. कुज़मिन, उच्च गणित में समस्याओं का संग्रह, लैन, 2003।