त्रिभुज का कर्ण सूत्र क्या है। यदि कर्ण ज्ञात हो तो पैर कैसे ज्ञात करें

अनुदेश

एक त्रिभुज को समकोण त्रिभुज कहा जाता है यदि इसका एक कोण 90 डिग्री का हो। इसमें दो पैर और एक कर्ण होता है। कर्ण इस त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा है। वह इसके खिलाफ झूठ बोलती है समकोण. पैर, क्रमशः, इसके छोटे पक्ष कहलाते हैं। वे या तो एक दूसरे के बराबर हो सकते हैं या अलग-अलग आकार के हो सकते हैं। पैरों की समानता जो आप एक समकोण त्रिभुज के साथ काम कर रहे हैं। इसकी सुंदरता यह है कि यह दो आकृतियों को जोड़ती है: एक समकोण त्रिभुज और एक समद्विबाहु त्रिभुज। यदि पैर समान नहीं हैं, तो त्रिभुज मनमाना है और मूल नियम के अनुसार: कोण जितना बड़ा होगा, उतना ही उसके विपरीत स्थित होगा।

कर्ण और कोण को खोजने के कई तरीके हैं। लेकिन उनमें से किसी एक का उपयोग करने से पहले, आपको यह निर्धारित करना चाहिए कि कौन सा और कौन सा कोण ज्ञात है। एक कोण और उससे सटे पैर को देखते हुए, कोण के कोसाइन द्वारा कर्ण को खोजना आसान होता है। एक समकोण त्रिभुज में एक तीव्र कोण (cos a) का कोज्या कर्ण के सन्निकट पैर का अनुपात है। इसका तात्पर्य है कि कर्ण (सी) आसन्न पैर (बी) के कोण ए (कोस ए) के कोसाइन के अनुपात के बराबर होगा। इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: cos a=b/c => c=b/cos a.

यदि एक कोण और एक विपरीत पैर दिया गया है, तो काम करना चाहिए। एक समकोण त्रिभुज में एक तीव्र कोण (sin a) का साइन विपरीत पैर (a) का कर्ण (c) से अनुपात है। यहां सिद्धांत पिछले उदाहरण के समान ही है, कोसाइन फ़ंक्शन के बजाय केवल साइन लिया जाता है। sin a=a/c => c=a/sin a.

आप एक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का उपयोग भी कर सकते हैं जैसे . लेकिन वांछित मूल्य खोजना थोड़ा अधिक जटिल है। एक समकोण त्रिभुज में एक तीव्र कोण (tg a) की स्पर्शरेखा विपरीत पैर (a) का आसन्न एक (b) से अनुपात है। दोनों पैरों को खोजने के बाद, पायथागॉरियन प्रमेय लागू करें (कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर है) और बड़ा मिल जाएगा।

टिप्पणी

पायथागॉरियन प्रमेय के साथ काम करते समय, यह न भूलें कि आप डिग्री के साथ काम कर रहे हैं। पैरों के वर्गों का योग प्राप्त करने के बाद, अंतिम उत्तर प्राप्त करने के लिए, आपको वर्गमूल लेना चाहिए।

स्रोत:

पैर और कर्ण कैसे खोजें

कर्ण एक समकोण त्रिभुज में वह भुजा है जो 90 डिग्री के कोण के विपरीत होती है। इसकी लंबाई की गणना करने के लिए, किसी एक पैर की लंबाई और त्रिकोण के तीव्र कोणों में से एक का मान जानना पर्याप्त है।

अनुदेश

एक ज्ञात और तीव्र समकोण के साथ, कर्ण का आकार इस कोण के / के पैर का अनुपात है, यदि दिया गया कोण इसके विपरीत / आसन्न है:

h = C1(या C2)/sinα;

h = С1(या С2)/cosα।

उदाहरण: मान लीजिए कर्ण AB और C के साथ ABC दिया गया है। माना कोण B 60 डिग्री और कोण A 30 डिग्री है, भुजा BC की लंबाई 8 सेमी है। आपको कर्ण AB की लंबाई चाहिए। ऐसा करने के लिए, आप ऊपर सुझाए गए किसी भी तरीके का उपयोग कर सकते हैं:

AB=BC/cos60=8 सेमी.

AB = BC/sin30 = 8 सेमी.

शब्द " टांग" ग्रीक शब्द "लंबवत" या "ऊर्ध्वाधर" से आता है - यह बताता है कि एक समकोण त्रिभुज के दोनों पक्षों को, जो इसके नब्बे डिग्री कोण बनाते हैं, इस तरह से नाम दिया गया था। इनमें से किसी की लंबाई ज्ञात कीजिए टांग ov मुश्किल नहीं है अगर इसके निकटवर्ती कोण और किसी भी अन्य पैरामीटर का मान ज्ञात हो, क्योंकि इस मामले में सभी तीन कोणों के मान वास्तव में ज्ञात हो जाएंगे।

अनुदेश

यदि, आसन्न कोण (β) के मान के अतिरिक्त, दूसरे की लंबाई टांगए (बी), फिर लंबाई टांगऔर (ए) ज्ञात की लंबाई के भागफल के रूप में परिभाषित किया जा सकता है टांगऔर एक ज्ञात कोण पर: a=b/tg(β)। यह इस त्रिकोणमितीय की परिभाषा से आता है। यदि आप प्रमेय का उपयोग करते हैं तो आप स्पर्शरेखा के बिना कर सकते हैं। यह इस प्रकार है कि ज्ञात की लंबाई के अनुपात में विपरीत कोण की ज्या के लिए वांछित की लंबाई टांगलेकिन एक ज्ञात कोण की ज्या करने के लिए। वांछित के विपरीत टांगएक तीव्र कोण को एक ज्ञात कोण के रूप में 180°-90°-β = 90°-β के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, क्योंकि किसी भी त्रिभुज के सभी कोणों का योग 180° होना चाहिए, और इसका एक कोण 90 के बराबर है। °। तो वांछित लंबाई टांगऔर सूत्र a=sin(90°-β)∗b/sin(β) द्वारा परिकलित किया जा सकता है।

यदि आसन्न कोण (β) का परिमाण और कर्ण (c) की लंबाई ज्ञात हो, तो लंबाई टांगऔर (ए) ज्ञात कोण के कर्ण की लंबाई और कोसाइन के उत्पाद के रूप में गणना की जा सकती है: a=c∗cos(β)। यह कोसाइन की परिभाषा से निम्नानुसार है त्रिकोणमितीय समारोह. लेकिन आप उपयोग कर सकते हैं, जैसा कि पिछले चरण में, साइन प्रमेय और फिर वांछित लंबाई टांग a 90° के बीच ज्या के गुणनफल के बराबर होगा और कर्ण की लंबाई और समकोण की ज्या के अनुपात के ज्ञात कोण का गुणनफल होगा। और चूँकि 90° का ज्या एक के बराबर है, इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: a=sin(90°-β)∗c।

व्यावहारिक गणनाएं की जा सकती हैं, उदाहरण के लिए, विंडोज ऑपरेटिंग सिस्टम में शामिल सॉफ्टवेयर कैलकुलेटर का उपयोग करना। इसे चलाने के लिए, आप "स्टार्ट" बटन पर मुख्य मेनू में "रन" आइटम का चयन कर सकते हैं, कैल्क कमांड टाइप करें और "ओके" बटन पर क्लिक करें। डिफ़ॉल्ट रूप से खुलने वाले इस प्रोग्राम के इंटरफ़ेस का सबसे सरल संस्करण त्रिकोणमितीय फ़ंक्शंस प्रदान नहीं करता है, इसलिए, इसे लॉन्च करने के बाद, आपको मेनू में "देखें" अनुभाग पर क्लिक करना होगा और "वैज्ञानिक" या "इंजीनियरिंग" लाइन का चयन करना होगा (आधार पर) आपके द्वारा उपयोग किए जा रहे ऑपरेटिंग सिस्टम के संस्करण पर)।

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शब्द "केटेट" ग्रीक से रूसी भाषा में आया। सटीक अनुवाद में, इसका अर्थ है एक साहुल रेखा, जो कि पृथ्वी की सतह के लंबवत है। गणित में, पैरों को भुजाएँ कहा जाता है जो एक समकोण त्रिभुज का समकोण बनाती हैं। इस कोण के सम्मुख भुजा कर्ण कहलाती है। "पैर" शब्द का प्रयोग वास्तुकला और प्रौद्योगिकी में भी किया जाता है वेल्डिंग का काम.

एक समकोण त्रिभुज ACB खींचिए। इसके पैरों को a और b से लेबल करें, और इसके कर्ण c को लेबल करें। एक समकोण त्रिभुज की सभी भुजाएँ और कोण एक दूसरे से परिभाषित होते हैं। कर्ण के एक तीव्र कोण के विपरीत पैर के अनुपात को इस कोण की ज्या कहा जाता है। इस त्रिभुज में sinCAB=a/c. कोज्या आसन्न पैर के कर्ण का अनुपात है, यानी cosCAB=b/c। व्युत्क्रम संबंधों को छेदक और व्युत्क्रमज्या कहते हैं।

इस कोण का छेदक कर्ण को सन्निकट पाद से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है, अर्थात secCAB=c/b। यह कोसाइन के व्युत्क्रम को दर्शाता है, अर्थात, इसे सूत्र secCAB=1/cosSAB द्वारा व्यक्त किया जा सकता है।
व्युत्क्रमज्या कर्ण को विपरीत पाद से विभाजित करने के भागफल के बराबर होता है और ज्या का व्युत्क्रम होता है। इसकी गणना cosecCAB=1/sinCAB सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है

दोनों पैर आपस में जुड़े हुए और स्पर्शरेखा हैं। इस मामले में, स्पर्शरेखा भुजा a से भुजा b का अनुपात होगा, अर्थात विपरीत पैर आसन्न पैर के लिए। यह अनुपात सूत्र tgCAB=a/b द्वारा व्यक्त किया जा सकता है। तदनुसार, प्रतिलोम अनुपात कोटिस्पर्श होगा: ctgCAB=b/a।

कर्ण और दोनों पैरों के आकार के बीच का अनुपात प्राचीन यूनानी पाइथागोरस द्वारा निर्धारित किया गया था। प्रमेय, उसका नाम, लोग अभी भी उपयोग करते हैं। यह कहता है कि कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर है, अर्थात c2 \u003d a2 + b2। तदनुसार, प्रत्येक पैर कर्ण और दूसरे पैर के वर्गों के बीच के अंतर के वर्गमूल के बराबर होगा। यह सूत्र b=√(c2-a2) के रूप में लिखा जा सकता है।

पैर की लंबाई को आप जो संबंध जानते हैं, उसके द्वारा भी व्यक्त किया जा सकता है। साइन और कोसाइन के प्रमेय के अनुसार, पैर कर्ण के उत्पाद और इन कार्यों में से एक के बराबर है। आप इसे व्यक्त कर सकते हैं और या cotangent। पैर a पाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, सूत्र a \u003d b * tan CAB द्वारा। ठीक उसी तरह, दिए गए स्पर्शरेखा या के आधार पर, दूसरा पैर निर्धारित किया जाता है।

वास्तुकला में, "पैर" शब्द का भी प्रयोग किया जाता है। यह एक आयनिक राजधानी पर लगाया जाता है और इसकी पीठ के बीच से होकर निकलता है। अर्थात्, इस मामले में, इस पद के द्वारा, दी गई रेखा पर लंब।

वेल्डिंग तकनीक में, "लेग ऑफ़ ए फ़िलेट वेल्ड" होता है। अन्य मामलों की तरह, यह सबसे छोटी दूरी है। यहां हम दूसरे भाग की सतह पर स्थित सीम की सीमा तक वेल्ड किए जाने वाले भागों में से एक के बीच के अंतर के बारे में बात कर रहे हैं।

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स्रोत:

2019 में पैर और कर्ण क्या है

पैर एक समकोण त्रिभुज की दो भुजाएँ कहलाती हैं, जो एक समकोण बनाती हैं। समकोण के सम्मुख त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा कर्ण कहलाती है। कर्ण का पता लगाने के लिए, आपको पैरों की लंबाई जानने की जरूरत है।

अनुदेश

1. पायथागॉरियन प्रमेय द्वारा वर्णित अनुपात से पैरों और कर्ण की लंबाई संबंधित होती है। बीजगणितीय सूत्रीकरण: "एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण की लंबाई का वर्ग पैरों की लंबाई के वर्गों के योग के बराबर होता है।" पायथागॉरियन सूत्र इस तरह दिखता है: c2 = a2 + b2, जहाँ c है कर्ण की लंबाई, a और b पैरों की लंबाई हैं।

2. पायथागॉरियन प्रमेय के अनुसार पैरों की लंबाई जानने के बाद, एक समकोण त्रिभुज का कर्ण ज्ञात करना संभव है: c \u003d ? (a2 + b2)।

3. उदाहरण। पैरों में से एक की लंबाई 3 सेमी है, दूसरे की लंबाई 4 सेमी है। उनके वर्गों का योग 25 सेमी है ?: 9 सेमी? + 16 सेमी? \u003d 25 सेमी? हमारे मामले में कर्ण की लंबाई 25 सेमी के वर्गमूल के बराबर है? - 5 सेमी इसलिए, कर्ण की लंबाई 5 सेमी है।

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1. एक समकोण त्रिभुज के प्रसिद्ध पैर और तीव्र कोण के साथ, कर्ण का आकार इस कोण के कोसाइन / साइन के पैर के अनुपात के बराबर हो सकता है, यदि यह कोण इसके विपरीत / समीप है: h \u003d C1 (या C2) / sin ?; h \u003d C1 (या C2 )/cos?. उदाहरण: कर्ण AB और समकोण C के साथ एक समकोण त्रिभुज ABC दिया जाए। मान लें कि कोण B 60 डिग्री और कोण A 30 डिग्री है। भुजा BC की लम्बाई 8 सेमी है कर्ण AB की लम्बाई ज्ञात करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, आप ऊपर प्रस्तावित विधियों में से किसी का भी उपयोग कर सकते हैं: AB = BC / cos60 = 8 सेमी AB = BC / sin30 = 8 सेमी।

कर्ण एक आयताकार की सबसे लंबी भुजा है त्रिकोण. यह समकोण के विपरीत स्थित है। एक आयताकार का कर्ण ज्ञात करने की विधि त्रिकोणयह इस बात पर निर्भर करता है कि आप किस प्रारंभिक डेटा के स्वामी हैं।

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1. अगर हम एक आयताकार के पैरों को जानते हैं त्रिकोण, तो आयताकार के कर्ण की लंबाई त्रिकोणपायथागॉरियन प्रमेय की मदद से पाया जा सकता है - कर्ण की लंबाई का वर्ग पैरों की लंबाई के वर्गों के योग के बराबर है: c2 = a2 + b2, जहां a और b पैरों की लंबाई हैं एक आयताकार का त्रिकोण .

2. यदि हम पैरों में से एक और एक तीव्र कोण का नेतृत्व करते हैं, तो कर्ण को खोजने का सूत्र इस बात पर निर्भर करेगा कि संचालित पैर के संबंध में दिया गया कोण आसन्न (पैर के पास स्थित) या विपरीत (इसके विपरीत स्थित) है। एक शामिल कोण, कर्ण इस कोण के कोसाइन द्वारा पैर के अनुपात के बराबर है: c = a/cos?; E विपरीत कोण है, कर्ण पैर के कोण के साइन के अनुपात के बराबर है : सी = ए/पाप?

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कर्ण समकोण त्रिभुज की वह भुजा है जो समकोण के विपरीत स्थित होती है। वह है सबसे बड़ी पार्टीसही त्रिकोण। इसकी गणना पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग करके या त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन फ़ार्मुलों के समर्थन से की जा सकती है।

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1. पैरों को समकोण से सटे समकोण त्रिभुज की भुजाएँ कहा जाता है। आकृति में, पैरों को AB और BC के रूप में नामित किया गया है। दोनों पैरों की लंबाई दी जाए। आइए उन्हें |AB| के रूप में निरूपित करें और |बीसी|। कर्ण |AC| की लंबाई ज्ञात करने के लिए, हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हैं। इस प्रमेय के अनुसार पादों के वर्गों का योग कर्ण के वर्ग के बराबर होता है, अर्थात् हमारे ड्राइंग के अंकन में |AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2। सूत्र से हम पाते हैं कि कर्ण AC की लंबाई |AC| के रूप में पाई जाती है = ?(|एबी|^2 + |बीसी|^2) .

2. आइए एक उदाहरण देखें। माना पैरों की लंबाई |AB| = 13, |बीसी| = 21. पाइथागोरस प्रमेय से, हम पाते हैं कि |AC|^2 = 13^2 + 21^2 = 169 + 441 = 610। कर्ण की लंबाई प्राप्त करने के लिए, आपको वर्गमूल निकालना होगा। पैरों के वर्गों का योग, मैं। संख्या 610 से: |AC| = ?610। पूर्णांकों के वर्गों की तालिका का उपयोग करके, हम पाते हैं कि संख्या 610 किसी भी पूर्णांक का पूर्ण वर्ग नहीं है। कर्ण की लंबाई का अंतिम मान प्राप्त करने के लिए, आइए स्थानांतरित करने का प्रयास करें पूर्ण वर्गजड़ के चिह्न के नीचे से। ऐसा करने के लिए, हम संख्या 610 को कारकों में विघटित करते हैं। 610 = 2 * 5 * 61। आदिम संख्याओं की तालिका के अनुसार, हम देखते हैं कि 61 एक आदिम संख्या है। नतीजतन, संख्या? 610 की बाद की कमी अवास्तविक है। हमें अंतिम परिणाम मिलता है |एसी| = ?610। यदि कर्ण का वर्ग, उदाहरण के लिए, 675 था, तो ?675 = ?(3 * 25 * 9) = 5 * 3 * ?3 = 15 * ?3। यदि समान कास्ट वैध है, तो एक रिवर्स चेक करें - कुल का वर्ग करें और प्रारंभिक मूल्य के साथ तुलना करें।

3. आइए हम एक पैर और उससे सटे कोने को जानते हैं। निश्चितता के लिए, इसे पैर |AB| होने दें और कोण? तब हम त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन कोसाइन के सूत्र का उपयोग कर सकते हैं - कोण का कोसाइन आसन्न पैर के कर्ण के अनुपात के बराबर है। वे। हमारे अंकन में? = |एबी| / |एसी|. यहाँ से हमें कर्ण की लंबाई |AC| प्राप्त होती है = |एबी| / cos ?. यदि हम पैर जानते हैं |BC| और कोण ?, तो हम कोण की ज्या की गणना के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं - कोण की ज्या कर्ण के विपरीत पैर के अनुपात के बराबर है: पाप? = |बीसी| / |एसी|. हम पाते हैं कि कर्ण की लंबाई |AC| के रूप में पाई जाती है = |बीसी| /cos?.

4. स्पष्टता के लिए, आइए एक उदाहरण देखें। माना पैर की लंबाई |AB| = 15. और कोण? = 60 डिग्री। हमें मिलता है |AC| = 15 / cos 60° = 15 / 0.5 = 30। आइए देखें कि आप पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके अपना परिणाम कैसे देख सकते हैं। ऐसा करने के लिए, हमें दूसरे चरण |BC| की लंबाई की गणना करने की आवश्यकता है। कोण tg की स्पर्शरेखा के लिए सूत्र का प्रयोग करना ? = |बीसी| / |AC|, हमें |BC| प्राप्त होता है = |एबी| * टीजी? \u003d 15 * टीजी 60 ° \u003d 15 *? 3। फिर हम पाइथागोरस प्रमेय लागू करते हैं, हमें 15^2 + (15 * ?3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900 मिलता है। जाँच हो चुकी है।

उपयोगी सलाह
कर्ण की गणना करने के बाद, जांचें कि परिणामी मान पाइथागोरस प्रमेय को संतुष्ट करता है या नहीं।

कर्ण एक समकोण त्रिभुज की भुजा है जो समकोण के विपरीत है। यह एक समकोण त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा है। आप पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके या त्रिकोणमितीय कार्यों के सूत्रों का उपयोग करके इसकी गणना कर सकते हैं।

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पैरों को समकोण से सटे समकोण त्रिभुज की भुजाएँ कहा जाता है। आकृति में, पैरों को AB और BC के रूप में नामित किया गया है। दोनों पैरों की लंबाई दी जाए। आइए उन्हें |AB| के रूप में निरूपित करें और |बीसी|। कर्ण |AC| की लंबाई ज्ञात करने के लिए, हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हैं। इस प्रमेय के अनुसार पादों के वर्गों का योग कर्ण के वर्ग के बराबर होता है, अर्थात् हमारे ड्राइंग के अंकन में |AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2। सूत्र से हम पाते हैं कि कर्ण AC की लंबाई |AC| के रूप में पाई जाती है = √(|एबी|^2 + |बीसी|^2) .
एक उदाहरण पर विचार करें। माना पैरों की लंबाई |AB| = 13, |बीसी| = 21. पाइथागोरस प्रमेय से, हम पाते हैं कि |AC|^2 = 13^2 + 21^2 = 169 + 441 = 610। संख्या 610 से: |AC| = √610। पूर्णांकों के वर्गों की तालिका का उपयोग करके, हम पाते हैं कि संख्या 610 किसी भी पूर्णांक का पूर्ण वर्ग नहीं है। कर्ण की लंबाई का अंतिम मान प्राप्त करने के लिए, आइए जड़ के चिन्ह के नीचे से एक पूर्ण वर्ग निकालने का प्रयास करें। ऐसा करने के लिए, हम संख्या 610 को कारकों में विघटित करते हैं। 610 = 2 * 5 * 61। तालिका के अनुसार अभाज्य सँख्याहम देखते हैं कि 61 एक अभाज्य संख्या है। इसलिए, संख्या √610 को और कम करना असंभव है। हमें अंतिम उत्तर मिलता है |एसी| = √610।
उदाहरण के लिए, यदि कर्ण का वर्ग 675 था, तो √675 = √(3 * 25 * 9) = 5 * 3 * √3 = 15 * √3। यदि ऐसा कास्ट संभव है, तो एक रिवर्स चेक करें - परिणाम का वर्ग करें और मूल मूल्य के साथ तुलना करें।
आइए हम किसी एक पाद और उससे सटे कोण को जानते हैं। निश्चितता के लिए, इसे पैर |AB| होने दें और कोण α। तब हम त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन कोसाइन के सूत्र का उपयोग कर सकते हैं - कोण का कोसाइन आसन्न पैर के कर्ण के अनुपात के बराबर है। वे। हमारे संकेतन में cos α = |AB| / |एसी|. यहाँ से हमें कर्ण की लंबाई |AC| प्राप्त होती है = |एबी| / cosα।
अगर हम पैर जानते हैं |बीसी | और कोण α, तो हम कोण की ज्या की गणना के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं - कोण की ज्या कर्ण के विपरीत पैर के अनुपात के बराबर है: sin α = |BC| / |एसी|. हम पाते हैं कि कर्ण की लंबाई |AC| के रूप में पाई जाती है = |बीसी| / cosα।
स्पष्टता के लिए, एक उदाहरण पर विचार करें। माना पैर की लंबाई |AB| = 15. और कोण α = 60°। हमें मिलता है |AC| = 15 / cos 60° = 15 / 0.5 = 30।
विचार करें कि आप पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग करके अपना परिणाम कैसे देख सकते हैं। ऐसा करने के लिए, हमें दूसरे चरण |BC| की लंबाई की गणना करने की आवश्यकता है। कोण tg α = |BC| की स्पर्शरेखा के लिए सूत्र का उपयोग करना / |AC|, हमें |BC| प्राप्त होता है = |एबी| * टीजी α = 15 * टीजी 60 डिग्री = 15 * √3। इसके बाद, हम पायथागॉरियन प्रमेय लागू करते हैं, हमें 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900 मिलता है। सत्यापन किया जाता है।

पायथागॉरियन प्रमेय हर गणित के लिए मौलिक है। यह एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के बीच के अनुपात को सेट करता है। अब इस प्रमेय के 367 प्रमाण निश्चित किए जा चुके हैं।

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1. पायथागॉरियन प्रमेय का क्लासिक स्कूल सूत्रीकरण इस तरह लगता है: कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर होता है। इस प्रकार, दो पादों द्वारा एक समकोण त्रिभुज का कर्ण ज्ञात करने के लिए, आपको पादों की लंबाई को एक-एक करके वर्ग करना होगा, उन्हें जोड़ना होगा और योग का वर्गमूल निकालना होगा। अपने मूल सूत्रीकरण में, प्रमेय ने कहा कि कर्ण पर निर्मित एक वर्ग का क्षेत्रफल पैरों पर बने 2 वर्गों के क्षेत्रों के योग के बराबर है। हालांकि, आधुनिक बीजगणितीय सूत्रीकरण को क्षेत्र के प्रतिनिधित्व की शुरूआत की आवश्यकता नहीं है।

2. मान लीजिए, एक समकोण त्रिभुज दिया गया है, जिसकी भुजाएँ 7 सेमी और 8 सेमी हैं। फिर, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, कर्ण का वर्ग 7? + 8? = 49 + 64 = 113 सेमी है? . कर्ण स्वयं संख्या 113 के वर्गमूल के बराबर है। यह एक अपरिमेय संख्या है जो परिणाम में जाती है।

3. यदि त्रिभुज के पाद 3 और 4 हैं, तो कर्ण 25=5 है। निकालते समय वर्गमूलप्राकृतिक संख्या निकली। संख्याएँ 3, 4, 5 एक पाइथागोरस त्रिक बनाती हैं, क्योंकि वे सभी प्राकृतिक होने के नाते x?+y?=z? संबंध को संतुष्ट करती हैं। पायथागॉरियन ट्रिपल के अन्य उदाहरण: 6, 8, 10; 5, 12, 13; 15, 20, 25; 9, 40, 41।

4. इस घटना में कि पैर एक दूसरे के बराबर हैं, पाइथागोरस प्रमेय एक अधिक आदिम समीकरण में बदल जाता है। मान लीजिए, उदाहरण के लिए, दोनों पैर संख्या A के बराबर हैं, और कर्ण को C द्वारा निरूपित किया जाता है। फिर C?=A?+A?, C?=2A?, C=A?2। इस स्थिति में, संख्या A का वर्ग करना आवश्यक नहीं है।

5. पायथागॉरियन प्रमेय अधिक सामान्य कोसाइन प्रमेय का एक विशेष मामला है, जो उनमें से किन्हीं दो के बीच एक मनमाना कोण के लिए त्रिकोण के तीन पक्षों के बीच संबंध स्थापित करता है।

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1. अगर हम एक आयताकार के पैरों को जानते हैं त्रिकोण, तो आयताकार के कर्ण की लंबाई त्रिकोणपायथागॉरियन प्रमेय के समर्थन से पता लगाया जा सकता है - कर्ण की लंबाई का वर्ग पैरों की लंबाई के वर्गों के योग के बराबर है: c2 = a2 + b2, जहां a और b पैरों की लंबाई हैं एक आयताकार का त्रिकोण .

2. यदि पैरों में से एक और एक तीव्र कोण प्रसिद्ध है, तो कर्ण को खोजने का सूत्र इस बात पर निर्भर करेगा कि प्रसिद्ध पैर के संबंध में कौन सा कोण आसन्न (पैर के पास स्थित) या विपरीत (इसके विपरीत स्थित) है। एक आसन्न कोण, कर्ण इस कोण के कोसाइन द्वारा पैर के अनुपात के बराबर है: c = a/cos?; E विपरीत कोण है, कर्ण पैर के कोण के साइन के अनुपात के बराबर है : सी = ए/पाप?

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उपयोगी सलाह
एक समकोण त्रिभुज, जिसकी भुजाएँ 3:4:5 के रूप में संबंधित हैं, को मिस्र का त्रिभुज कहा जाता है, क्योंकि इस तरह के आंकड़े प्राचीन मिस्र के वास्तुकारों द्वारा ऊर्जावान रूप से उपयोग किए गए थे। यह हेरोनियन त्रिभुजों का सबसे सरल उदाहरण भी है, जिसमें भुजाएँ और क्षेत्रफल पूर्णांक हैं।

विभिन्न राशियों की कुछ मात्राओं की गणना करने के लिए की गई कई गणनाओं में त्रिभुज का कर्ण ज्ञात करना है। याद रखें कि एक त्रिभुज तीन कोणों वाला एक बहुफलक है। नीचे विभिन्न त्रिभुजों के कर्ण की गणना करने के कई तरीके दिए गए हैं।

पहले, देखते हैं कि एक समकोण त्रिभुज का कर्ण कैसे ज्ञात किया जाता है। जो लोग भूल गए हैं, उनके लिए एक समकोण त्रिभुज 90 डिग्री के कोण वाला त्रिभुज होता है। त्रिभुज की वह भुजा जो चालू है विपरीत दिशासमकोण कर्ण कहलाता है। इसके अलावा, यह त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा है। निर्भर करना ज्ञात मात्राएँकर्ण की लंबाई की गणना निम्नानुसार की जाती है:

पैरों की लंबाई ज्ञात है। इस मामले में कर्ण की गणना पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके की जाती है, जो इस प्रकार है: कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर होता है। यदि हम एक समकोण त्रिभुज BKF पर विचार करें, जहाँ BK और KF पैर हैं, और FB कर्ण है, तो FB2= BK2+ KF2। पूर्वगामी से, यह इस प्रकार है कि कर्ण की लंबाई की गणना करते समय, पैर के प्रत्येक मान को बदले में वर्ग करना आवश्यक है। फिर संख्याओं को जोड़ें और परिणाम का वर्गमूल निकालें।

एक उदाहरण पर विचार करें: समकोण वाला एक त्रिभुज दिया है। एक पैर 3 सेमी, दूसरा 4 सेमी है। कर्ण का पता लगाएं। समाधान इस प्रकार दिखता है।

FB2= BK2+ KF2= (3cm)2+(4cm)2= 9cm2+16cm2=25cm2. निकालें और एफबी = 5 सेमी प्राप्त करें।

ज्ञात पाद (BK) और उससे सटे कोण, जो कर्ण और इस पाद से बनता है। त्रिभुज का कर्ण कैसे ज्ञात करें? आइए हम ज्ञात कोण को α के रूप में निरूपित करें। उस गुण के अनुसार जो कहता है कि पैर की लंबाई का कर्ण की लंबाई से अनुपात इस पैर और कर्ण के बीच के कोण के कोसाइन के बराबर है। त्रिभुज को ध्यान में रखते हुए, इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: FB= BK*cos(α).
पैर (केएफ) और एक ही कोण α ज्ञात हैं, केवल अब यह पहले से ही विपरीत होगा। इस मामले में कर्ण कैसे खोजें? आइए हम एक समकोण त्रिभुज के उन्हीं गुणों की ओर मुड़ें और पता करें कि पैर की लंबाई का कर्ण की लंबाई से अनुपात पैर के विपरीत कोण की ज्या के बराबर है। यानी एफबी = केएफ * पाप (α)।

आइए एक उदाहरण देखें। कर्ण FB के साथ समान समकोण त्रिभुज BKF दिया गया है। कोण F को 30 डिग्री के बराबर होने दें, दूसरा कोण B 60 डिग्री से मेल खाता है। पैर बीके भी जाना जाता है, जिसकी लंबाई 8 सेमी से मेल खाती है आप निम्नानुसार वांछित मूल्य की गणना कर सकते हैं:

FB=BK/cos60=8 सेमी.
FB = BK / sin30 = 8 सेमी।

(आर) के लिए जाना जाता है, जो समकोण वाले त्रिभुज के बारे में परिचालित है। ऐसी समस्या पर विचार करते समय कर्ण का पता कैसे लगाएं? एक समकोण त्रिभुज के चारों ओर परिचालित वृत्त के गुणों से, यह ज्ञात होता है कि इस तरह के वृत्त का केंद्र कर्ण बिंदु के साथ मेल खाता है जो इसे आधे में विभाजित करता है। सरल शब्दों में- त्रिज्या कर्ण के आधे भाग से मेल खाती है। इसलिए कर्ण दो त्रिज्याओं के बराबर है। एफबी = 2 * आर। यदि, हालांकि, एक समान समस्या दी गई है, जिसमें त्रिज्या नहीं, बल्कि माध्यिका ज्ञात है, तो किसी को समकोण वाले त्रिभुज के चारों ओर परिचालित वृत्त की संपत्ति पर ध्यान देना चाहिए, जो कहता है कि त्रिज्या के बराबर है माध्य कर्ण के लिए खींचा गया। इन सभी गुणों का उपयोग करके समस्या को उसी तरह हल किया जाता है।

यदि प्रश्न यह है कि समद्विबाहु समकोण त्रिभुज का कर्ण कैसे ज्ञात किया जाए, तो उसी पाइथागोरस प्रमेय की ओर मुड़ना आवश्यक है। लेकिन, सबसे पहले, याद रखें कि एक समद्विबाहु त्रिभुज एक त्रिभुज है जिसमें दो समान भुजाएँ होती हैं। एक समकोण त्रिभुज के मामले में, पैर समान भुजाएँ हैं। हमारे पास FB2= BK2+ KF2 है, लेकिन चूँकि BK= KF हमारे पास निम्नलिखित हैं: FB2=2 BK2, FB= BK√2

जैसा कि आप देख सकते हैं, पायथागॉरियन प्रमेय और समकोण त्रिभुज के गुणों को जानना, उन समस्याओं को हल करना जिनमें कर्ण की लंबाई की गणना करना आवश्यक है, बहुत सरल है। यदि सभी गुणों को याद रखना मुश्किल है, तो तैयार किए गए फ़ार्मुलों को सीखें, जिसमें प्रतिस्थापित करें ज्ञात मूल्यकर्ण की वांछित लंबाई की गणना करना संभव होगा।