वर्गमूल वाले व्यंजकों को रूपांतरित करने वाले विषय की व्याख्या। अपरिमेय व्यंजकों, उदाहरणों, हलों को रूपांतरित करते समय जड़ों के गुणों का उपयोग करना। vii. एक परीक्षण लिखना

§ 1 वर्गमूल निकालने के संचालन वाले भावों का रूपांतरण

आइए वर्गमूल के गुणों को याद करें: यदि a, b गैर-ऋणात्मक संख्याएँ a, b ≥ 0 हैं, तो निम्नलिखित समानताएँ सत्य हैं:

इन सूत्रों का उपयोग करके, आप वर्गमूल निष्कर्षण के संचालन वाले अभिव्यक्तियों के विभिन्न परिवर्तन कर सकते हैं, लेकिन इस शर्त के साथ कि इन अभिव्यक्तियों के चर केवल गैर-ऋणात्मक मान लेते हैं। यह धारणा बनाने के बाद, कुछ उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 1: व्यंजक को सरल कीजिए:

चूंकि व्यंजक में एक भिन्न है, इसलिए हम इसे बदलने के लिए दूसरी संपत्ति का उपयोग करेंगे:

तीसरी संपत्ति का उपयोग हर को बदलने के लिए किया गया था:

नतीजतन, प्रारंभिक अभिव्यक्ति रूप लेती है:

उदाहरण 2: वर्गमूल चिह्न से गुणनखंड घटाएं:

अक्षर A के तहत उदाहरण को हल करते समय, हम वर्गमूल के पहले और तीसरे गुणों का उपयोग करेंगे:

इसी तरह, हम बी अक्षर के तहत कार्य में प्रस्तुत अभिव्यक्ति को बदलते हैं:

उदाहरण 3: वर्गमूल में गुणनखंड

मूल चिह्न में गुणनखंड करने के लिए, हम दाएं से बाएं तीसरे गुण का उपयोग करते हैं:

आइए संक्षिप्त गुणन के सूत्रों का उपयोग करके, वर्गमूल निकालने के संचालन वाले व्यंजकों को बदलने की कई समस्याओं को हल करें। सबसे पहले, आइए उन्हें याद करते हैं और लिखते हैं:

(ए + बी) 2 = ए2 + 2एबी + बी2

(ए - बी) 2 = ए 2 - 2 एबी + बी 2

a2 - b2 = (a + b) (a - b)

a3 - b3 = (a-b) (a2 + ab + b2)

a3 + a3 = (a + b) (a2 - ab + b2)

उदाहरण 4: व्यंजक को सरल कीजिए:

समस्या को हल करने के लिए, आइए संख्या तीन को तीन वर्ग के वर्गमूल के रूप में प्रस्तुत करें:

और हर में हम वर्गों के अंतर के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं, तो हम प्राप्त करते हैं:

उदाहरण 5: व्यंजक को सरल कीजिए:

हल करने के लिए, पहले, अभिव्यक्ति पर विचार करें:

मानाकि

फिर

घन योग सूत्र का उपयोग करना

हम पाते हैं

आइए उचित प्रतिस्थापन करें।

दूसरे, विभाजन के संचालन से (ए - बी), हम पारस्परिक द्वारा गुणा के संचालन की ओर मुड़ते हैं:

तीसरा, हम कोष्ठक में पहली भिन्न को व्यंजक द्वारा घटाएंगे:

और फिर हम गुणन संक्रिया करेंगे।

चलो मान लो:

वर्गों के अंतर के सूत्र का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

अंतर के वर्ग के सूत्र के अनुसार पहले अंश के अंश में व्यंजक लिखा जा सकता है:

आइए उचित प्रतिस्थापन करें। पहले अंश के अंश और हर में एक सामान्य गुणनखंड होता है, इसलिए, कमी के बाद, निष्कर्ष में, समान भाजक के साथ अंशों को जोड़ने के लिए ही रहता है।

यदि किसी बीजीय भिन्न के हर में वर्गमूल का चिह्न हो, तो हर को अपरिमेयता कहा जाता है। किसी व्यंजक का इस प्रकार रूपांतरण कि भिन्न के हर में वर्गमूल चिह्न न हों, हर में अतार्किकता से मुक्ति कहलाती है।

2 भिन्न के हर में अपरिमेयता से मुक्त होने के लिए एल्गोरिदम

1. भिन्न के हर का गुणनखंड करें;

2. यदि हर है:

यदि भाजक है:

या इस प्रकार का एक गुणनखंड है, तो अंश के अंश और हर को क्रमशः गुणा किया जाना चाहिए:

3. भिन्न के अंश और हर को परिवर्तित करें, यदि संभव हो तो परिणामी भिन्न को घटाएं। अभिव्यक्तियाँ जैसे:

आइए विचार करें कि उदाहरणों का उपयोग करके हर में तर्कहीनता से कैसे छुटकारा पाया जाए:

ए) हम अभिव्यक्ति को बदलते हैं:

आइए भिन्न के हर में अपरिमेयता से छुटकारा पाने के लिए एल्गोरिथ्म का उपयोग करें: द्वारा गुणा करें:

मीटर और विभाजक। हम पाते हैं:

बी) हम अभिव्यक्ति को बदलते हैं:

इस उदाहरण में, भिन्न के अंश और हर को संयुग्मी व्यंजक से गुणा किया जाता है:

इसलिए, हमने वर्गमूल वाले व्यंजकों को सरल बनाने के लिए कई उदाहरणों का विश्लेषण किया है।

प्रयुक्त साहित्य की सूची:

1. मोर्दकोविच ए.जी. "बीजगणित" ग्रेड 8। दोपहर 2 बजे भाग 1 शिक्षण संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक / ए.जी. मोर्दकोविच। - 9वां संस्करण, रेव. - एम।: निमोसिना, 2007 .-- 215p .: बीमार।
2. मोर्दकोविच ए.जी. "बीजगणित" ग्रेड 8। दोपहर 2 बजे भाग 2 शिक्षण संस्थानों के लिए समस्या पुस्तक / ए.जी. मोर्दकोविच, टी.एन. मिशुस्तिना, ई.ई. तुलचिंस्काया। - 8 वां संस्करण।, - एम।: मेनमोसिना, 2006 ।-- 239p।
3. बीजगणित। 8 वीं कक्षा। शैक्षिक संस्थानों के छात्रों के लिए टेस्ट पेपर एल.ए. अलेक्जेंड्रोव, एड। ए.जी. मोर्दकोविच दूसरा संस्करण, मिटा दिया गया। - एम।: निमोसिना, 2009 .-- 40s।
4. बीजगणित। 8 वीं कक्षा। शैक्षिक संस्थानों के छात्रों के लिए स्वतंत्र कार्य: पाठ्यपुस्तक के लिए ए.जी. मोर्दकोविच, एल.ए. अलेक्जेंड्रोव, एड। ए.जी. मोर्दकोविच। 9वां संस्करण, मिटा दिया गया। - एम।: निमोसिना, 2013 .-- 112s।

बीजगणित। 8 वीं कक्षा

शिक्षक: कुलेशोवा तातियाना निकोलायेवना

विषय: वर्गमूल वाले व्यंजकों को परिवर्तित करना

पाठ प्रकार: ज्ञान का सामान्यीकरण और व्यवस्थितकरण

पाठ का उद्देश्य: वर्गमूल वाले भावों को बदलने के लिए छात्रों के कौशल का निर्माण

कार्य:

शैक्षिक:अंकगणितीय वर्गमूल के गुणों को जान सकेंगे; वर्गमूल वाले व्यंजकों को रूपांतरित करना सीखें, जैसे मूल चिह्न के नीचे से एक गुणनखंड को हटाना, मूल चिह्न में गुणनखंड जोड़ना और भिन्न के हर में अपरिमेयता से मुक्त होना;

विकसित होना: स्वतंत्र गतिविधि की संज्ञानात्मक और रचनात्मक क्षमता, सोच, अवलोकन, सरलता और कौशल विकसित करना; गणित में रुचि पैदा करना;

शैक्षिक: एक टीम (समूह) में काम करने की क्षमता, रुचि के साथ सक्रिय रूप से अध्ययन करने की इच्छा; काम में स्पष्टता और संगठन; प्रत्येक छात्र को सफलता प्राप्त करने में सक्षम बनाने के लिए;

उपकरण: स्कूल की आपूर्ति, ब्लैकबोर्ड, चाक, पाठ्यपुस्तक, हैंडआउट्स।

पाठ योजना

1. आयोजन का समय
2. लक्ष्य की स्थापना
3. दुहराव
4. स्वतंत्र काम
5. श्रुतलेख
6. परीक्षण
7. पाठ्यपुस्तक कार्य
8. होमवर्क ब्रीफिंग
9. सबक सारांश। प्रतिबिंब

प्रगति

1. आयोजन का समय

सबक प्रेरणा

"आंखें बंद करो, आराम से बैठो। कल्पना कीजिए कि कुछ आपको बहुत भाता है। आप अच्छा, सहज महसूस करते हैं। आपके आसपास बहुत सारे दोस्त हैं। उनमें से प्राकृतिक संख्याएँ हैं जिनसे हम बहुत परिचित हैं। हमारे दोस्तों की रैंक बढ़ रही है और भिन्नात्मक संख्याएं उनके साथ जुड़ गई हैं। लेकिन नकारात्मक संख्या सामने आई। और अब आप परिमेय और अपरिमेय संख्याओं से मिलने जा रहे हैं। समय बीत जाएगा, और हम आपको नए नंबरों से जान पाएंगे, और जब तक दुनिया में गणित है, ये संख्याएं अनंत हैं। ”

"ज्ञान ही ज्ञान है जब वह अपने स्वयं के विचारों के प्रयासों से प्राप्त होता है, न कि स्मृति से।" एन टॉल्स्टॉय।- एल एन टॉल्स्टॉय के ये शब्द गणित के अध्ययन में महत्वपूर्ण और प्रासंगिक हैं, क्योंकि गणित उन कुछ विज्ञानों में से एक है जहां आपको लगातार प्रतिबिंबित करने की आवश्यकता होती है। आपका कार्य ब्लैकबोर्ड पर मौखिक कार्य, परीक्षण, कार्य की प्रक्रिया में अपना ज्ञान और कौशल दिखाना है।

आप में से प्रत्येक के पास टेबल पर एक मूल्यांकन पत्रक है, प्रत्येक पूर्ण असाइनमेंट के बाद, हम अंक देना नहीं भूलते हैं, और पाठ के अंत में, अंतिम ग्रेड डालते हैं।

1. लक्ष्य की स्थापना

विपर्यय हल करें (समूह कार्य)

के बारे में - ज़ो - आरए - पिछला - वीए रूपांतरण

एनआईवाई - आरए - वही - आप अभिव्यक्तियां

शिह - डेर - झा - युक्त के साथ

चूहा - केवी - एनवाईई - हेल स्क्वायर

NO - CO - R रूट्स

विपर्यय को हल करने के बाद, छात्र पाठ का विषय निर्धारित करते हैं।

आपको क्या लगता है कि हम पाठ में क्या करेंगे?

आइए हम एक साथ अपने पाठ का उद्देश्य तैयार करें।

1. पहले सीखी गई सामग्री की पुनरावृत्ति

ए 1) मौखिक गिनती:

सिद्धांत का परीक्षण: परिभाषा के उपयुक्त भागों के लिए एक रेखा कनेक्ट करें।

स्कोर -2 अंक

2))। पूर्ण स्वीकृति।

ए) गैर-ऋणात्मक कारकों के उत्पाद की जड़ हैइन कारकों की जड़ों का उत्पाद।(स्कोर -2 अंक)

b) किसी भी अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंश को कहा जाता हैएक अपरिमेय संख्या।(स्कोर -2 अंक)

सी) एक अंश की जड़, जिसका अंश एक गैर-ऋणात्मक संख्या है, और हर सकारात्मक है, हैहर के मूल से विभाजित अंश का मूल। (स्कोर -2 अंक)

3) अनुपालन स्थापित करें (2 अंक)

C. 3 विद्यार्थी रूपांतरण एल्गोरिथम के अनुसार वर्गमूल वाले व्यंजक प्राप्त करते हैं। असाइनमेंट: चित्रित करना, आकर्षित करना, लिखना, दिखाना आदि। और रक्षा (वक्ता)।

3) जड़ निकालें

1. भिन्न के हर का गुणनखंड करें।
2. यदि हर हैया एक कारक शामिल है, तो अंश और हर को गुणा किया जाना चाहिए या कि ।
3. भिन्न के अंश और हर को परिवर्तित करें, यदि संभव हो तो परिणामी भिन्न को कम करें।

1. स्वतंत्र काम

मूल चिह्न के नीचे से गुणनखंड को बाहर निकालें:

(2 अंक)

3)

व्यंजक को सरल कीजिए (4 अंक)

1. लैपटॉप पर टेस्ट करें (स्कोर अपने आप सेट हो जाता है)

1) 6 =

ऐ बी सी डी) ।

2) 5 =

3) 3 =

ऐ बी सी डी) ।

1. श्रुतलेख:

प्रत्येक सही ढंग से पूर्ण किए गए कार्य के लिए 0.5 अंक।

1. पाठ्यपुस्तक पर काम करें - ब्लैकबोर्ड पर काम करें: प्रत्येक छात्र को एक विशिष्ट उदाहरण मिलता है, बदले में ब्लैकबोर्ड पर निर्णय लें, सब कुछ एक नोटबुक में लिखें। (1 अंक)
2. होमवर्क की जानकारी
3. पाठ को सारांशित करना। प्रतिबिंब

मूल्यांकन

मूल्यांकन पत्र। नाम और छात्र _______________________ ग्रेड _____

अंक को ग्रेड में बदलना

25 अंक या अधिक - ग्रेड "5"

24 - 18 अंक - स्कोर "4"

17 - 9 अंक - स्कोर "3"

0 - 8 अंक - स्कोर "2"

एक पाठ के लिए सभी कार्यों का मूल्यांकन करने के लिए, "अंकों का ग्रेड में स्थानांतरण" का उपयोग किया जाता है - मूल्यांकन पत्रक के पीछे।

स्कोरकार्ड पूरा करें। सबक ग्रेड।

मैं पाठ समाप्त करना चाहता हूँमहान गणितज्ञ सोफिया कोवालेवस्काया की एक कविता।

अगर जिंदगी में तुम एक पल के लिए भी हो

मैंने अपने दिल में सच्चाई महसूस की

अंधेरे और संदेह के माध्यम से प्रकाश की एक किरण अगर

आपका पथ उज्ज्वल चमक से जगमगा उठा:

आपके निर्णय में क्या अपरिवर्तित रहेगा

रॉक ने आपको आगे नियुक्त नहीं किया है,

इस पवित्र क्षण की स्मृति

इसे हमेशा के लिए अपने सीने में एक तीर्थ की तरह रखें।

बादल भारी मात्रा में एकत्रित होंगे,

आसमान काली धुंध से ढका रहेगा

स्पष्ट निश्चय के साथ, शांत विश्वास के साथ

तूफान से मिलो और आंधी का सामना करो।

यह कविता ज्ञान की इच्छा, रास्ते में आने वाली सभी बाधाओं को दूर करने की क्षमता व्यक्त करती है। आज हमने बाधाओं को कैसे दूर किया? हमने पाठ में क्या किया?

- आज हमने अंकगणित वर्गमूल की परिभाषा और गुणों को दोहराया है; मूल चिह्न से परे एक गुणनखंड लेना, मूल चिह्न के अंतर्गत गुणनखंड दर्ज करना, संक्षिप्त गुणन सूत्र; वर्गमूल वाले व्यंजकों को परिवर्तित करने की कुछ विधियों से परिचित और समेकित हुए।

पाठ के दौरान सभी ने फलदायी, सक्रिय और सामूहिक रूप से काम किया।

सबक खत्म हो गया है। सबक के लिए आप सभी का धन्यवाद!

मूल चिह्न के तहत गुणक दर्ज करें:

1) 6 =

ऐ बी सी डी) ।

2) 5 =

3) 3 =

ऐ बी सी डी) ।

एफ.आई. परीक्षण ____________________

मूल चिह्न के तहत गुणक दर्ज करें:

1) 6 =

ऐ बी सी डी) ।

2) 5 =

3) 3 =

ए बी सी) - =

ऐ बी सी डी) ।

2) 5 =

3) 3 =

ए बी सी) - =

ऐ बी सी डी) ।

2) 5 =

3) 3 =

ए बी सी) - =

ऐ बी सी डी) ।

2) 5 =

3) 3 =

ऐ बी सी डी) ।

मूल चिह्न से गुणनखंड को हटाने के लिए एल्गोरिथम

1) हम ऐसे कारकों के उत्पाद के रूप में कट्टरपंथी अभिव्यक्ति का प्रतिनिधित्व करते हैं जो एक से वर्गमूल निकाल सकते हैं।

2) उत्पाद मूल प्रमेय लागू करें।

3) जड़ निकालें

मूल चिह्न के तहत एक कारक को पेश करने के लिए एल्गोरिदम

1) हम गुणनफल को अंकगणितीय वर्गमूल के रूप में निरूपित करते हैं।

2) वर्गमूल के गुणनफल को मूलांक के गुणनफल के वर्गमूल में बदलें।

3) मूल चिह्न के नीचे गुणन करें।

भिन्न के हर में अपरिमेयता से मुक्त होने के लिए एल्गोरिदम:

1) भिन्न के हर का गुणनखंड करें।

ओपन डिस्टेंस लेसन

विषय पर: "वर्गमूल वाले भावों को परिवर्तित करना।"

गणित शिक्षक - Vetohina Antonina Sergeevna

काम की जगह : OGKOU "बोर्डिंग स्कूल 88 "मुस्कान" उल्यानोव्स्क, उल्यानोव्सकी

क्षेत्र

मद: बीजगणित

कक्षा: 8

बुनियादी ट्यूटोरियल: « बीजगणित ग्रेड 8 " : शिक्षण संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक। यू.एन. मकारिचेव, एन.जी.

मिंड्युक, के.आई. नेशकोव, एस.बी. सुवोरोव। - एम।: शिक्षा, 2011

टीडीसी:

शैक्षिक:

निर्माण कौशल जारी रखें:

कट्टरपंथी संकेत से परे एक कारक लेना;

कट्टरपंथी संकेत के तहत एक कारक का परिचय;

गुणनखंडन;

अंशों की कमी;

छात्र को प्रारंभिक ज्ञान लागू करना सिखाएं: गुणजड़।

विकसित होना : विकास जारी रखें:

व्यावहारिक कौशल और क्षमताएं;

सही गणितीय भाषण कौशल;

छात्र की संज्ञानात्मक गतिविधि;

असाइनमेंट में गणना करते समय एक छात्र की तार्किक सोच।

शैक्षिक: बनाना जारी रखें:

संचार की संस्कृति और सवालों के जवाब देने की संस्कृति;

मानसिक कार्य की संस्कृति;

विषय के प्रति सकारात्मक दृष्टिकोण बनाने के लिए, ज्ञान में रुचि।

पाठ प्रकार: संयुक्त।

शिक्षण विधियों : दृश्य-मौखिक, प्रजनन।

पाठ में संज्ञानात्मक गतिविधि के आयोजन के रूप : स्वतंत्र और व्यक्तिगत कार्य।

पाठ के उपकरण, डिजाइन और तकनीकी उपकरण:

आई-स्कूल साइट सामग्री « बीजगणित - II (ग्रेड 8) » ( http://iclass.home-edu.ru );

साइट सामग्री "याक्लास" ( http://www.yaklass.ru );

कंप्यूटर, मल्टीमीडिया प्रोजेक्टर।

पाठ योजना

1. आयोजन का समय।

2. ज्ञान अद्यतन।

3. आंखों के लिए शारीरिक शिक्षा.

4. नई सामग्री सीखना।

5. शारीरिक प्रशिक्षण.

6. अर्जित ज्ञान का समेकन। व्यावहारिक कार्य।

7. प्रतिबिंब।पाठ को सारांशित करना।

8. गृहकार्य।

पाठ की संरचना और प्रक्रिया

पाठ की शुरुआत से पहले, छात्र साइट पर "लॉगिन" करें मैं -आपके उपयोगकर्ता नाम के तहत स्कूल और पाठ्यक्रम पर जाएं « बीजगणित - II (ग्रेड 8) » .

फिर वह खुलता है कार्यक्रम स्काइप पाठ में भाग लेने के लिए।

इस लेख की सामग्री को अपरिमेय भावों को बदलने के विषय के हिस्से के रूप में माना जाना चाहिए। यहां हम उन सभी सूक्ष्मताओं और बारीकियों का विश्लेषण करने के लिए उदाहरणों का उपयोग करेंगे (जिनमें से कई हैं) जो जड़ों के गुणों के आधार पर परिवर्तन करते समय उत्पन्न होती हैं।

पृष्ठ नेविगेशन।

जड़ों के गुणों को याद करें

जैसे ही हम जड़ों के गुणों का उपयोग करके भावों के परिवर्तन से निपटने जा रहे हैं, मुख्य को याद करने में कोई दिक्कत नहीं होती है, या इससे भी बेहतर, उन्हें कागज पर लिखकर हमारे सामने रखें।

सबसे पहले, हम वर्गमूल और उनके निम्नलिखित गुणों का अध्ययन करते हैं (a, b, a 1, a 2, ..., a k वास्तविक संख्याएँ हैं):

और बाद में, रूट की अवधारणा का विस्तार किया जाता है, n-वें रूट की परिभाषा पेश की जाती है, और ऐसे गुणों पर विचार किया जाता है (ए, बी, ए 1, ए 2, ..., एके वास्तविक संख्याएं हैं, एम, एन , n 1, n 2, ..., nk प्राकृत संख्याएँ हैं):

मूल चिह्नों के अंतर्गत संख्याओं के साथ व्यंजकों को रूपांतरित करें

हमेशा की तरह, वे पहले संख्यात्मक अभिव्यक्तियों के साथ काम करना सीखते हैं, और उसके बाद ही वेरिएबल वाले व्यंजकों पर आगे बढ़ते हैं। हम वही करेंगे, और पहले हम जड़ों के संकेतों के तहत केवल संख्यात्मक अभिव्यक्तियों वाले अपरिमेय अभिव्यक्तियों के परिवर्तन से निपटेंगे, और पहले से ही अगले पैराग्राफ में हम जड़ों के संकेतों के तहत चर का परिचय देंगे।

अभिव्यक्तियों को बदलने के लिए इसका उपयोग कैसे किया जा सकता है? यह बहुत आसान है: उदाहरण के लिए, हम एक अपरिमेय व्यंजक को व्यंजक या इसके विपरीत से बदल सकते हैं। अर्थात्, यदि परिवर्तित किए जा रहे व्यंजक में ऐसा व्यंजक है जो जड़ों के किसी भी सूचीबद्ध गुण के बाएँ (दाएँ) पक्ष से व्यंजक के रूप से मेल खाता है, तो इसे दाएँ (बाएँ) से संगत व्यंजक से बदला जा सकता है। पक्ष। यह जड़ों के गुणों का उपयोग करके भावों का परिवर्तन है।

यहां कुछ और उदाहरण दिए गए हैं।

आइए अभिव्यक्ति को सरल करें ... संख्या 3, 5 और 7 धनात्मक हैं, इसलिए हम जड़ों के गुणों को सुरक्षित रूप से लागू कर सकते हैं। यहां आप विभिन्न तरीकों से कार्य कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, किसी गुण पर आधारित रूट को इस रूप में दर्शाया जा सकता है, और k = 3 वाले गुण का उपयोग करने वाला रूट - कैसे, इस दृष्टिकोण के साथ, समाधान इस तरह दिखेगा:

इस मामले में समाधान इस तरह दिखेगा:

अन्य समाधान संभव हैं, उदाहरण के लिए, यह:

आइए एक और उदाहरण के समाधान को देखें। आइए अभिव्यक्ति को रूपांतरित करें। जड़ों के गुणों की सूची को देखने के बाद, हम इसमें से उन गुणों का चयन करते हैं जिन्हें हमें उदाहरण को हल करने की आवश्यकता होती है, यह स्पष्ट है कि उनमें से दो यहां उपयोगी हैं और, जो किसी के लिए मान्य हैं। हमारे पास है:

वैकल्पिक रूप से, पहले तो का उपयोग करके मूल चिह्नों के तहत भावों को परिवर्तित करना संभव था

और फिर जड़ों के गुणों को लागू करें

इस बिंदु तक, हमने ऐसे व्यंजकों को रूपांतरित किया है जिनमें केवल वर्गमूल होते हैं। यह उन जड़ों के साथ काम करने का समय है जिनके अलग-अलग संकेतक हैं।

उदाहरण।

एक अपरिमेय व्यंजक को रूपांतरित करें .

समाधान।

संपत्ति से दिए गए उत्पाद के पहले गुणनखंड को संख्या -2 से बदला जा सकता है:

आगे बढ़ो। संपत्ति के आधार पर दूसरा कारक के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है, और यह 81 को ट्रिपल की चौगुनी शक्ति के साथ बदलने के लिए चोट नहीं पहुंचाएगा, क्योंकि जड़ों के संकेतों के तहत शेष कारकों में, संख्या 3 दिखाई देती है:

भिन्न के मूल को रूप की जड़ों के संबंध से प्रतिस्थापित करना समीचीन है, जिसे और रूपांतरित किया जा सकता है: ... हमारे पास है

दो के साथ क्रिया करने के बाद परिणामी अभिव्यक्ति रूप लेगी , और यह जड़ों के उत्पाद को बदलने के लिए बनी हुई है।

जड़ों के उत्पादों को बदलने के लिए, उन्हें आमतौर पर एक संकेतक तक कम कर दिया जाता है, जिसके लिए सभी जड़ों के संकेतक लेने की सलाह दी जाती है। हमारे मामले में, एलसीएम (12, 6, 12) = 12, और केवल जड़ को इस सूचक तक कम करना होगा, क्योंकि अन्य दो जड़ों में पहले से ही यह संकेतक है। इस कार्य से निपटने के लिए समानता की अनुमति देता है, जिसे दाएं से बाएं लागू किया जाता है। इसलिए ... इस परिणाम को ध्यान में रखते हुए, हमारे पास है

अब जड़ों के उत्पाद को उत्पाद की जड़ से बदला जा सकता है और बाकी, पहले से ही स्पष्ट, परिवर्तन किए जा सकते हैं:

आइए एक संक्षिप्त समाधान तैयार करें:

उत्तर:

.

अलग से, हम इस बात पर जोर देते हैं कि जड़ों के गुणों को लागू करने के लिए, जड़ों के संकेतों (a≥0, आदि) के तहत संख्याओं पर लगाए गए प्रतिबंधों को ध्यान में रखना आवश्यक है। उनकी उपेक्षा करने से गलत परिणाम भड़क सकते हैं। उदाहरण के लिए, हम जानते हैं कि संपत्ति गैर-ऋणात्मक a के लिए है। इसके आधार पर, हम सुरक्षित रूप से जा सकते हैं, उदाहरण के लिए, से, क्योंकि 8 एक सकारात्मक संख्या है। लेकिन अगर हम एक ऋणात्मक संख्या का एक सार्थक मूल लेते हैं, उदाहरण के लिए, और, उपरोक्त संपत्ति के आधार पर, इसे इसके साथ प्रतिस्थापित करते हैं, तो हम वास्तव में -2 को 2 से बदल देते हैं। दरअसल, ए. अर्थात्, ऋणात्मक a के लिए, समानता गलत हो सकती है, जैसे जड़ों के अन्य गुण उनके लिए निर्धारित शर्तों को ध्यान में रखे बिना गलत हो सकते हैं।

लेकिन पिछले पैराग्राफ में जो कहा गया था उसका मतलब यह बिल्कुल नहीं है कि जड़ों के संकेतों के तहत नकारात्मक संख्याओं वाले व्यंजकों को जड़ों के गुणों का उपयोग करके परिवर्तित नहीं किया जा सकता है। उन्हें संख्याओं के साथ क्रिया के नियमों को लागू करके या एक ऋणात्मक संख्या की विषम जड़ की परिभाषा का उपयोग करके पहले "तैयार" होने की आवश्यकता है, जो समानता से मेल खाती है , जहां −a एक ऋणात्मक संख्या है (जबकि a धनात्मक है)। उदाहरण के लिए, आप तुरंत इसके साथ प्रतिस्थापित नहीं कर सकते, क्योंकि −2 और −3 ऋणात्मक संख्याएं हैं, लेकिन यह हमें रूट से लेकर उत्पाद तक रूट की संपत्ति को लागू करने की अनुमति देता है: ... और पिछले उदाहरणों में से एक में, जड़ से जड़ तक अठारहवीं डिग्री तक जाना आवश्यक नहीं था। इसलिए .

इसलिए, मूल के गुणों का उपयोग करके व्यंजकों को रूपांतरित करने के लिए, आपको चाहिए

• सूची से उपयुक्त संपत्ति का चयन करें,
• सुनिश्चित करें कि रूट के नीचे की संख्या चयनित संपत्ति के लिए शर्तों को पूरा करती है (अन्यथा, आपको प्रारंभिक रूपांतरण करने की आवश्यकता है),
• और इच्छित परिवर्तन को पूरा करें।

रूट संकेतों के तहत चर के साथ अभिव्यक्ति को बदलना

अपरिमेय भावों को बदलने के लिए जिसमें न केवल संख्याएँ हैं, बल्कि मूल चिह्न के तहत चर भी हैं, इस लेख के पहले पैराग्राफ में सूचीबद्ध जड़ों के गुणों को ध्यान से लागू किया जाना चाहिए। यह मुख्य रूप से उन शर्तों के कारण है जो फ़ार्मुलों में भाग लेने वाले नंबरों को संतुष्ट करना चाहिए। उदाहरण के लिए, सूत्र के आधार पर, व्यंजक को केवल x के उन मानों के लिए व्यंजक द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है जो x≥0 और x + 1≥0 की शर्तों को पूरा करते हैं, क्योंकि निर्दिष्ट सूत्र a≥0 और b के लिए निर्दिष्ट है 0.

इन स्थितियों को नज़रअंदाज़ करना खतरनाक क्यों है? निम्नलिखित उदाहरण इस प्रश्न का उत्तर दिखाता है। मान लें कि हमें x = −2 पर व्यंजक के मान की गणना करने की आवश्यकता है। यदि हम तुरंत चर x के बजाय संख्या -2 को प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें वह मान प्राप्त होता है जिसकी हमें आवश्यकता होती है ... और अब आइए कल्पना करें कि हमने किसी कारण से दिए गए अभिव्यक्ति को रूप में परिवर्तित कर दिया, और उसके बाद ही हमने मूल्य की गणना करने का निर्णय लिया। −2 को x के स्थान पर रखें और व्यंजक पर पहुंचें जिसका कोई मतलब नहीं है।

आइए देखें कि जब हम व्यंजक से व्यंजक की ओर बढ़ते हैं तो चर x के मान्य मानों (ADV) की सीमा का क्या होता है। हमने संयोग से ODZ का उल्लेख नहीं किया, क्योंकि यह किए गए परिवर्तनों की स्वीकार्यता को नियंत्रित करने के लिए एक गंभीर उपकरण है, और अभिव्यक्ति को बदलने के बाद ODZ को बदलना कम से कम सतर्क होना चाहिए। निर्दिष्ट भावों के लिए ODZ खोजना कठिन नहीं है। ODV को व्यक्त करने के लिए असमानता x · (x + 1) ≥0 से निर्धारित किया जाता है, इसका समाधान संख्यात्मक सेट (−∞, −1] ) देता है।