Je diferencijalna jednadžba prvog reda. Diferencijalne jednadžbe online

Sadržaj članka

DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE. Mnogi fizikalni zakoni, koji podliježu određenim pojavama, zapisani su u obliku matematičke jednadžbe koja izražava određeni odnos između nekih veličina. Često govorimo o odnosu između vrijednosti koje se mijenjaju tijekom vremena, na primjer, učinkovitost motora, mjerena udaljenosti koju automobil može prijeći s jednom litrom goriva, ovisi o brzini automobila. Odgovarajuća jednadžba sadrži jednu ili više funkcija i njihove derivacije i naziva se diferencijalna jednadžba. (Stopa promjene udaljenosti tijekom vremena određena je brzinom; prema tome, brzina je derivat udaljenosti; slično tome, ubrzanje je derivat brzine, jer ubrzanje postavlja stopu promjene brzine kroz vrijeme.) Velika važnost, koje diferencijalne jednadžbe imaju za matematiku, a posebno za njezine primjene, objašnjavaju se činjenicom da proučavanje mnogih fizičkih i tehnički zadaci. Diferencijalne jednadžbe imaju značajnu ulogu u drugim znanostima, poput biologije, ekonomije i elektrotehnike; zapravo nastaju gdje god postoji potreba za kvantitativnim (numeričkim) opisom pojava (čim svijet mijenja se tijekom vremena, a uvjeti se mijenjaju s jednog mjesta na drugo).

Primjeri.

Sljedeći primjeri pružaju bolje razumijevanje načina na koji se različiti problemi formuliraju u smislu diferencijalnih jednadžbi.

1) Zakon raspada nekih radioaktivnih tvari je da je brzina raspada proporcionalna raspoloživoj količini te tvari. Ako a x je količina materije u određenom trenutku vremena t, onda se ovaj zakon može napisati na sljedeći način:

gdje dx/dt je stopa raspadanja, i k je neka pozitivna konstanta koja karakterizira datu tvar. (Znak minus na desnoj strani to označava x smanjuje se s vremenom; znak plus, koji se uvijek podrazumijeva kada znak nije eksplicitno naveden, značio bi to x povećava se tijekom vremena.)

2) Spremnik na početku sadrži 10 kg soli otopljene u 100 m 3 vode. Ako a čista voda ulijeva u spremnik brzinom od 1 m 3 u minuti i ravnomjerno se miješa s otopinom, a dobivena otopina istječe iz spremnika istom brzinom, koliko će onda soli biti u spremniku u bilo kojem sljedećem trenutku? Ako a x- količina soli (u kg) u spremniku u tom trenutku t, zatim u bilo koje vrijeme t 1 m 3 otopine u posudi sadrži x/100 kg soli; pa se količina soli brzinom smanjuje x/100 kg/min, odn

3) Pustite masu na tijelo m ovješena o kraj opruge, povratna sila djeluje proporcionalno količini napetosti u opruzi. Neka x- iznos odstupanja tijela od ravnotežnog položaja. Zatim, prema drugom Newtonovom zakonu, koji kaže da je ubrzanje (druga derivacija od x u vremenu, označeno d 2 x/dt 2) u odnosu na snagu:

Desna strana je s predznakom minus jer povratna sila smanjuje istezanje opruge.

4) Zakon o hlađenju tijela kaže da se količina topline u tijelu smanjuje proporcionalno razlici tjelesnih temperatura i okoliš. Ako se šalica kave zagrijana na temperaturu od 90 °C nalazi u prostoriji čija je temperatura 20 °C, tada

gdje T– temperatura kave u to vrijeme t.

5) Ministar vanjskih poslova države Blefuscu tvrdi da program naoružanja koji je prihvatio Liliput prisiljava njegovu zemlju da što više poveća vojne izdatke. Slične izjave daje i ministar vanjskih poslova Liliputa. Rezultirajuća situacija (u najjednostavnijoj interpretaciji) može se točno opisati s dvije diferencijalne jednadžbe. Neka x i g- troškovi naoružavanja Lilliputa i Blefuscua. Uz pretpostavku da Lilliputia povećava svoju potrošnju na naoružanje po stopi proporcionalnoj stopi povećanja Blefuscuove potrošnje na naoružanje, i obrnuto, dobivamo:

gdje su članovi sjekira i - po opišite vojnu potrošnju svake zemlje, k i l su pozitivne konstante. (Ovaj problem prvi je ovako formulirao 1939. L. Richardson.)

Nakon što je problem napisan jezikom diferencijalnih jednadžbi, treba ih pokušati riješiti, tj. pronaći veličine čije su brzine promjene uključene u jednadžbe. Ponekad se rješenja nalaze u obliku eksplicitnih formula, ali češće se mogu prikazati samo u približnom obliku ili o njima dobiti kvalitativne informacije. Često je teško ustanoviti postoji li rješenje, a kamoli ga pronaći. Važan dio teorije diferencijalnih jednadžbi su takozvani "teoremi postojanja", koji dokazuju postojanje rješenja za jednu ili drugu vrstu diferencijalnih jednadžbi.

Izvorna matematička formulacija fizičkog problema obično sadrži pojednostavljujuće pretpostavke; kriterij njihove razumnosti može biti stupanj usklađenosti matematičkog rješenja s dostupnim opažanjima.

Rješenja diferencijalnih jednadžbi.

Diferencijalna jednadžba, na primjer dy/dx = x/g, ne zadovoljava broj, već funkciju, u ovom konkretnom slučaju takvu da njezin graf u bilo kojoj točki, na primjer, u točki s koordinatama (2,3), ima tangentu s nagibom jednakim omjeru koordinata ( u našem primjeru 2/3). To je lako provjeriti ako se konstruira veliki broj točaka i od svake se odvoji kratki segment s odgovarajućim nagibom. Rješenje će biti funkcija čiji graf dodiruje svaku svoju točku na odgovarajućem segmentu. Ako ima dovoljno točaka i segmenata, tada možemo približno ocrtati tijek krivulja odlučivanja (na slici 1. prikazane su tri takve krivulje). Postoji točno jedna krivulja rješenja koja prolazi kroz svaku točku s g br. 0. Svako pojedinačno rješenje naziva se posebnim rješenjem diferencijalne jednadžbe; ako je moguće pronaći formulu koja sadrži sva partikularna rješenja (s mogućim izuzetkom nekoliko posebnih), tada kažemo da je dobiveno opće rješenje. Posebno rješenje je jedna funkcija, dok je opće rješenje njihova cijela obitelj. Riješiti diferencijalnu jednadžbu znači pronaći njezino posebno ili opće rješenje. U našem primjeru opće rješenje ima oblik g 2 – x 2 = c, gdje c- bilo koji broj; partikularno rješenje koje prolazi točkom (1,1) ima oblik g = x a dobiva se kada c= 0; partikularno rješenje koje prolazi kroz točku (2.1) ima oblik g 2 – x 2 = 3. Uvjet koji zahtijeva da krivulja rješenja prolazi, na primjer, kroz točku (2,1), naziva se početni uvjet (jer određuje početnu točku na krivulji rješenja).

Može se pokazati da u primjeru (1) opće rješenje ima oblik x = ce –kt, gdje c- konstanta koja se može odrediti, na primjer, označavanjem količine tvari na t= 0. Jednadžba iz primjera (2) je poseban slučaj jednadžbe iz primjera (1), koja odgovara k= 1/100. Početno stanje x= 10 at t= 0 daje određeno rješenje x = 10e –t/100 . Jednadžba iz primjera (4) ima opće rješenje T = 70 + ce –kt a posebno rješenje 70 + 130 – kt; za određivanje vrijednosti k, potrebni su dodatni podaci.

Diferencijalna jednadžba dy/dx = x/g naziva se jednadžba prvog reda, budući da sadrži prvu derivaciju (uobičajeno je da se red najveće derivacije koja je u njoj uključena smatra poretkom diferencijalne jednadžbe). Za većinu (iako ne sve) diferencijalnih jednadžbi prve vrste koje se pojavljuju u praksi, samo jedna krivulja rješenja prolazi kroz svaku točku.

Postoji nekoliko važnih tipova diferencijalnih jednadžbi prvog reda koje se mogu riješiti u obliku formula koje sadrže samo elementarne funkcije - potencije, eksponente, logaritme, sinuse i kosinuse itd. Ove jednadžbe uključuju sljedeće.

Jednadžbe sa separabilnim varijablama.

Jednadžbe oblika dy/dx = f(x)/g(g) može se riješiti zapisivanjem u diferencijale g(g)dy = f(x)dx i integrirajući oba dijela. U najgorem slučaju, rješenje se može prikazati kao integrali poznatih funkcija. Na primjer, u slučaju jednadžbe dy/dx = x/g imamo f(x) = x, g(g) = g. Upisivanjem u obrazac ydy = xdx i integrirajući, dobivamo g 2 = x 2 + c. Jednadžbe sa separabilnim varijablama uključuju jednadžbe iz primjera (1), (2), (4) (mogu se riješiti gore opisanom metodom).

Jednadžbe u totalnim diferencijalima.

Ako diferencijalna jednadžba ima oblik dy/dx = M(x,g)/N(x,g), gdje M i N su dvije zadane funkcije, može se predstaviti kao M(x,g)dx – N(x,g)dy= 0. Ako je lijeva strana diferencijal neke funkcije F(x,g), tada se diferencijalna jednadžba može napisati kao dF(x,g) = 0, što je ekvivalentno jednadžbi F(x,g) = konst. Dakle, krivulje jednadžba-rješenje su "linije konstantnih razina" funkcije ili mjesto točaka koje zadovoljavaju jednadžbe F(x,g) = c. Jednadžba ydy = xdx(Sl. 1) - sa separabilnim varijablama, a isto je - u ukupnim diferencijalima: da bismo potvrdili potonje, pišemo to u obliku ydy – xdx= 0, tj. d(g 2 – x 2) = 0. Funkcija F(x,g) u ovom slučaju je jednako (1/2)( g 2 – x 2); neke od njegovih linija konstantne razine prikazane su na sl. jedan.

Linearne jednadžbe.

Linearne jednadžbe su jednadžbe "prvog stupnja" - nepoznata funkcija i njezine derivacije uključene su u takve jednadžbe samo u prvom stupnju. Dakle, linearna diferencijalna jednadžba prvog reda ima oblik dy/dx + str(x) = q(x), gdje str(x) i q(x) su funkcije koje ovise samo o x. Njegovo rješenje se uvijek može napisati pomoću integrala poznatih funkcija. Mnoge druge vrste diferencijalnih jednadžbi prvog reda rješavaju se posebnim tehnikama.

Jednadžbe viših redova.

Mnoge od diferencijalnih jednadžbi s kojima fizičari imaju posla su jednadžbe drugog reda (tj. jednadžbe koje sadrže druge derivacije). Takva je, na primjer, jednostavna harmonijska jednadžba gibanja iz primjera (3), doktor medicine 2 x/dt 2 = –kx. Općenito govoreći, očekivalo bi se da jednadžba drugog reda ima određena rješenja koja zadovoljavaju dva uvjeta; na primjer, može se zahtijevati da krivulja rješenja prolazi dana točka u ovaj smjer. U slučajevima kada diferencijalna jednadžba sadrži neki parametar (broj čija vrijednost ovisi o okolnostima), rješenja traženog tipa postoje samo za određene vrijednosti tog parametra. Na primjer, razmotrite jednadžbu doktor medicine 2 x/dt 2 = –kx i to zahtijevamo g(0) = g(1) = 0. Funkcija gê 0 je sigurno rješenje, ali ako je višekratnik cijelog broja str, tj. k = m 2 n 2 str 2, gdje n je cijeli broj i zapravo samo u ovom slučaju postoje druga rješenja, naime: g= grijeh npx. Vrijednosti parametara za koje jednadžba ima posebna rješenja nazivaju se karakteristične ili svojstvene vrijednosti; igraju važnu ulogu u mnogim zadacima.

Jednadžba jednostavnog harmonijskog gibanja primjer je važne klase jednadžbi, naime linearnih diferencijalnih jednadžbi s konstantnim koeficijentima. Općenitiji primjer (također drugog reda) je jednadžba

gdje a i b zadane su konstante, f(x) je dana funkcija. Takve se jednadžbe mogu riješiti različiti putevi, na primjer, koristeći integralnu Laplaceovu transformaciju. Isto se može reći i za linearne jednadžbe viših redova s ​​konstantnim koeficijentima. Linearne jednadžbe s promjenjivim koeficijentima također imaju značajnu ulogu.

Nelinearne diferencijalne jednadžbe.

Jednadžbe koje sadrže nepoznate funkcije i njihove derivacije veće od prve ili na neki složeniji način nazivaju se nelinearnim. NA posljednjih godina dobivaju sve više pažnje. Stvar je u tome da su fizikalne jednadžbe obično linearne samo u prvoj aproksimaciji; daljnje i preciznije istraživanje, u pravilu, zahtijeva korištenje nelinearnih jednadžbi. Osim toga, mnogi problemi su inherentno nelinearni. Budući da su rješenja nelinearnih jednadžbi često vrlo složena i teška za predočenje jednostavne formule, značajan dio moderna teorija posvećena je kvalitativnoj analizi njihova ponašanja, tj. razvoj metoda koje omogućuju da se, bez rješavanja jednadžbi, kaže nešto značajno o prirodi rješenja u cjelini: na primjer, da su sva ograničena, da imaju periodički karakter, ili da na određeni način ovise o koeficijenti.

Približna rješenja diferencijalnih jednadžbi mogu se naći numerički, ali za to je potrebno dosta vremena. Pojavom brzih računala ovo vrijeme je znatno smanjeno, što je otvorilo nove mogućnosti za numeričko rješavanje mnogih problema koji prije nisu bili podložni takvom rješenju.

Teoremi egzistencije.

Teorem postojanja je teorem koji tvrdi da pod određenim uvjetima zadana diferencijalna jednadžba ima rješenje. Postoje diferencijalne jednadžbe koje nemaju rješenja ili imaju više rješenja od očekivanog. Svrha teorema o postojanju je uvjeriti nas da data jednadžba ima rješenje, a najčešće da ima točno jedno rješenje tražene vrste. Na primjer, jednadžba s kojom smo se već susreli dy/dx = –2g ima točno jedno rješenje koje prolazi kroz svaku točku ravnine ( x,g), a budući da smo već pronašli jedno takvo rješenje, u potpunosti smo riješili ovu jednadžbu. S druge strane, jednadžba ( dy/dx) 2 = 1 – g 2 ima mnogo rješenja. Među njima su izravni g = 1, g= –1 i krivulje g= grijeh( x + c). Rješenje se može sastojati od nekoliko segmenata ovih ravnih linija i krivulja, koje prelaze jedna u drugu na dodirnim točkama (slika 2).

Parcijalne diferencijalne jednadžbe.

Obična diferencijalna jednadžba je izjava o izvodu nepoznate funkcije jedne varijable. Parcijalna diferencijalna jednadžba sadrži funkciju dviju ili više varijabli i derivacije te funkcije u najmanje dvije različite varijable.

U fizici, primjeri takvih jednadžbi su Laplaceova jednadžba

X , g) unutar kruga ako su vrijednosti u dati su u svakoj točki granične kružnice. Budući da su problemi s više od jedne varijable u fizici pravilo, a ne iznimka, lako je zamisliti koliko je širok predmet teorije parcijalnih diferencijalnih jednadžbi.

Bilješke s predavanja na

diferencijalne jednadžbe

Diferencijalne jednadžbe

Uvod

Pri proučavanju nekih pojava često se javlja situacija da se proces ne može opisati pomoću jednadžbe y=f(x) ili F(x;y)=0. Osim varijable x i nepoznate funkcije, jednadžba uključuje i derivaciju te funkcije.

Definicija: Poziva se jednadžba koja povezuje varijablu x, nepoznatu funkciju y(x) i njezine derivacije diferencijalna jednadžba. NA opći pogled diferencijalna jednadžba izgleda ovako:

F(x;y(x); ;;...;y(n))=0

Definicija: Red diferencijalne jednadžbe je red njezine najveće derivacije.

-diferencijalna jednadžba 1. reda

– diferencijalna jednadžba 3. reda

Definicija: Rješenje diferencijalne jednadžbe je funkcija koja, kada se supstituira u jednadžbu, pretvara je u identitet.

Diferencijalne jednadžbe 1. reda

Definicija: Vrsta jednadžbe =f(x;y) ili F(x;y; )=0naziva se diferencijalna jednadžba 1. reda.

Definicija: Opće rješenje diferencijalne jednadžbe 1. reda je funkcija y=γ(x;c), gdje je (s –const), koja kada se supstituira u jednadžbu, pretvara je u identitet. Geometrijski na ravnini, opće rješenje odgovara obitelji integralnih krivulja ovisno o parametru c.

Definicija: Integralna krivulja koja prolazi točkom u ravnini s koordinatama (x 0; y 0) odgovara određenom rješenju diferencijalne jednadžbe koje zadovoljava početni uvjet:

Teorem o postojanju jedinstvenosti rješenja diferencijalne jednadžbe 1. reda

Zadana je diferencijalna jednadžba 1. reda
a funkcija f(x; y) je kontinuirana zajedno s parcijalnim izvodnicama u nekom području D ravnine XOY, zatim kroz točku M 0 (x 0; y 0) D prolazi jedinu krivulju koja odgovara određenom rješenju diferencijalne jednadžbe koja odgovara početnom uvjetu y(x 0)=y 0

Kroz točku ravnine sa zadanim koordinatama prolazi 1 integralna krivulja.

Ako opće rješenje diferencijalne jednadžbe 1. reda nije moguće dobiti u eksplicitnom obliku, tj.
, tada se može dobiti implicitno:

F(x; y; c) =0 – implicitni oblik

Opće rješenje u ovom obliku naziva se zajednički integral diferencijalna jednadžba.

U odnosu na diferencijalnu jednadžbu 1. reda postavljaju se 2 zadatka:

1) Pronađite opće rješenje (opći integral)

2) Naći partikularno rješenje (parcijalni integral) koje zadovoljava zadani početni uvjet. Ovaj problem se naziva Cauchyjev problem za diferencijalnu jednadžbu.

Diferencijalne jednadžbe sa separabilnim varijablama

Jednadžbe oblika:
naziva se diferencijalna jednadžba sa separabilnim varijablama.

Zamjena

pomnožiti s dx

odvajamo varijable

podijeliti po

Napomena: Potrebno je razmotriti poseban slučaj kada

varijable su odvojene

integriramo oba dijela jednadžbe

- zajednička odluka

Diferencijalna jednadžba s odvojivim varijablama može se napisati kao:

pojedinačni slučaj
!

Integriramo oba dijela jednadžbe:

1)

2)
rano Pojmovi:

Homogene diferencijalne jednadžbe 1. reda

Definicija: Funkcija
naziva se homogena reda n ako

Primjer: - homogena funkcija reda n=2

Definicija: Homogena funkcija reda 0 naziva se homogena.

Definicija: Diferencijalna jednadžba
naziva se homogenim ako
- homogena funkcija, tj.

Stoga se homogena diferencijalna jednadžba može napisati kao:

Zamjenom , gdje je t funkcija varijable x, homogena diferencijalna jednadžba se svodi na jednadžbu sa separabilnim varijablama.

- zamijenite u jednadžbu

Varijable su odvojene, integriramo oba dijela jednadžbe

Napravimo obrnutu zamjenu zamjenom , dobivamo opće rješenje u implicitnom obliku.

Homogena diferencijalna jednadžba može se napisati u diferencijalnom obliku.

M(x;y)dx+N(x;y)dy=0, gdje su M(x;y) i N(x;y) homogene funkcije istog reda.

Podijeli s dx i izrazi

1)

Prisjetimo se problema s kojim smo se suočili pri pronalaženju određenih integrala:

odnosno dy = f(x)dx. Njeno rješenje:

a svodi se na kalkuliranje neodređeni integral. U praksi je češći teži zadatak: pronaći funkciju g, ako se zna da zadovoljava relaciju oblika

Ova relacija povezuje nezavisnu varijablu x, nepoznata funkcija g i njegovih izvedenica do reda n uključivo, nazivaju se .

Diferencijalna jednadžba uključuje funkciju pod predznakom derivacija (ili diferencijala) jednog ili drugog reda. Red najviših naziva se red (9.1) .

Diferencijalne jednadžbe:

- prva narudžba

druga narudžba,

- peti red itd.

Funkcija koja zadovoljava zadanu diferencijalnu jednadžbu naziva se njezino rješenje , odnosno integralni . Riješiti ga znači pronaći sva njegova rješenja. Ako za željenu funkciju g uspjeli dobiti formulu koja daje sva rješenja, onda kažemo da smo pronašli njezino opće rješenje , ili opći integral .

Zajednička odluka sadrži n proizvoljne konstante i izgleda kao

Ako se dobije relacija koja se odnosi x, y i n proizvoljne konstante, u nedopuštenom obliku s obzirom na g -

onda se takva relacija naziva općim integralom jednadžbe (9.1).

Cauchyjev problem

Svaki specifično rješenje, tj. svaka specifična funkcija koja zadovoljava zadanu diferencijalnu jednadžbu i ne ovisi o proizvoljnim konstantama naziva se posebnim rješenjem , ili privatni integral. Za dobivanje partikularnih rješenja (integrala) iz općih, potrebno je konstantama pridružiti određene numeričke vrijednosti.

Graf određenog rješenja naziva se integralna krivulja. Opće rješenje, koje sadrži sva partikularna rješenja, je familija integralnih krivulja. Za jednadžbu prvog reda ova obitelj ovisi o jednoj proizvoljnoj konstanti; za jednadžbu n red - od n proizvoljne konstante.

Cauchyjev problem je pronaći određeno rješenje jednadžbe n reda, zadovoljavajuće n početni uvjeti:

koji određuju n konstanti s 1 , s 2 ,..., c n.

Diferencijalne jednadžbe 1. reda

Za nerazriješenu u odnosu na derivaciju diferencijalna jednadžba 1. reda ima oblik

ili za dopušteno relativno

Primjer 3.46. Pronađite opće rješenje jednadžbe

Riješenje. Integracijom, dobivamo

gdje je C proizvoljna konstanta. Ako C-u damo specifične numeričke vrijednosti, tada dobivamo određena rješenja, na primjer,

Primjer 3.47. Razmotrite sve veći iznos novca položen u banci, podložan obračunu od 100 r složene kamate godišnje. Neka Yo bude početni iznos novca, a Yx nakon isteka x godine. Kada se kamata obračunava jednom godišnje, dobijemo

gdje je x = 0, 1, 2, 3,.... Kada se kamata obračunava dva puta godišnje, dobivamo

gdje je x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... Prilikom izračunavanja kamata n jednom godišnje i ako x uzima uzastopno vrijednosti 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., zatim

Označimo 1/n = h, tada će prethodna jednakost izgledati ovako:

S neograničenim povećanjem n(na ) u limitu dolazimo do procesa povećanja iznosa novca uz kontinuirani obračun kamata:

Tako se vidi da uz kontinuiranu promjenu x zakon promjene novčane mase izražava se diferencijalnom jednadžbom 1. reda. Gdje je Y x nepoznata funkcija, x- neovisna varijabla, r- konstantno. Rješavamo ovu jednadžbu, za to je prepisujemo na sljedeći način:

gdje , ili , gdje P predstavlja e C .

Iz početnih uvjeta Y(0) = Yo nalazimo P: Yo = Pe o, odakle je Yo = P. Stoga rješenje izgleda ovako:

Razmotrimo drugi ekonomski problem. Makroekonomski modeli također se opisuju linearnim diferencijalnim jednadžbama 1. reda, opisujući promjenu dohotka ili outputa Y kao funkciju vremena.

Primjer 3.48. Neka nacionalni dohodak Y raste po stopi proporcionalnoj njegovoj vrijednosti:

i neka je deficit državne potrošnje izravno proporcionalan dohotku Y uz koeficijent proporcionalnosti q. Manjak potrošnje dovodi do povećanja državnog duga D:

Početni uvjeti Y = Yo i D = Do pri t = 0. Iz prve jednadžbe Y= Yoe kt . Zamjenom Y dobivamo dD/dt = qYoe kt . Opće rješenje ima oblik
D = (q/ k) Yoe kt +S, gdje je S = const, koja se određuje iz početnih uvjeta. Zamjenom početnih uvjeta dobivamo Do = (q/k)Yo + C. Dakle, konačno,

D = Do +(q/k)Yo (e kt -1),

to pokazuje da nacionalni dug raste istom relativnom stopom k, što je nacionalni dohodak.

Razmotrimo najjednostavnije diferencijalne jednadžbe n reda, to su jednadžbe oblika

Njegovo opće rješenje može se dobiti pomoću n vremena integracije.

Primjer 3.49. Razmotrimo primjer y """ = cos x.

Riješenje. Integrirajući, nalazimo

Opće rješenje ima oblik

Linearne diferencijalne jednadžbe

U ekonomiji su od velike koristi, razmotrite rješenje takvih jednadžbi. Ako (9.1) ima oblik:

tada se zove linearna, gdje su po(x), p1(x),..., pn(x), f(x) zadane funkcije. Ako je f(x) = 0, tada se (9.2) naziva homogenim, a u protivnom nehomogenim. Opće rješenje jednadžbe (9.2) jednako je zbroju bilo kojeg od njezinih posebnih rješenja y(x) i njemu odgovarajuće opće rješenje homogene jednadžbe:

Ako su koeficijenti p o (x), p 1 (x),..., p n (x) konstante, tada je (9.2)

(9.4) naziva se linearna diferencijalna jednadžba s konstantnim koeficijentima reda n .

Za (9.4) ima oblik:

Bez gubitka općenitosti možemo postaviti p o = 1 i (9.5) napisati u obliku

Rješenje (9.6) ćemo tražiti u obliku y = e kx , gdje je k konstanta. Imamo: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx . Dobivene izraze zamijenimo u (9.6) imat ćemo:

(9.7) je algebarska jednadžba, njena nepoznanica je k, naziva se karakterističnim. Karakteristična jednadžba ima stupanj n i n korijeni, među kojima mogu biti i višestruki i složeni. Neka su k 1 , k 2 ,..., k n tada realni i različiti su partikularna rješenja (9.7), dok su opća

Razmotrimo linearnu homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim koeficijentima:

Njegova karakteristična jednadžba ima oblik

(9.9)

njegov diskriminant D = p 2 - 4q, ovisno o predznaku D moguća su tri slučaja.

1. Ako je D>0, tada su korijeni k 1 i k 2 (9.9) realni i različiti, a opće rješenje ima oblik:

Riješenje. Karakteristična jednadžba: k 2 + 9 = 0, odakle je k = ± 3i, a = 0, b = 3, opće rješenje je:

y = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x.

Linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda koriste se za proučavanje ekonomskog modela poput mreže sa zalihama robe, gdje stopa promjene cijene P ovisi o veličini zaliha (vidi paragraf 10). Ako su ponuda i potražnja linearne funkcije cijene, tj.

a - je konstanta koja određuje brzinu reakcije, tada se proces promjene cijene opisuje diferencijalnom jednadžbom:

Za određeno rješenje možete uzeti konstantu

koja ima značenje ravnotežne cijene. Odstupanje zadovoljava homogenu jednadžbu

(9.10)

Karakteristična jednadžba bit će sljedeća:

U slučaju, pojam je pozitivan. Označiti . Korijeni karakteristične jednadžbe k 1,2 = ± i w, pa opće rješenje (9.10) ima oblik:

gdje su C i proizvoljne konstante, one se određuju iz početnih uvjeta. Dobili smo zakon promjene cijene u vremenu:

The online kalkulator omogućuje online rješavanje diferencijalnih jednadžbi. Dovoljno je unijeti svoju jednadžbu u odgovarajuće polje, apostrofom označiti "derivaciju funkcije" i kliknuti na gumb "riješi jednadžbu", a sustav implementiran na temelju popularne web stranice WolframAlpha dati će detaljan rješenje diferencijalne jednadžbe potpuno besplatno. Također možete postaviti Cauchyjev problem tako da iz cijelog skupa moguća rješenja odabrati kvocijent koji odgovara zadanim početnim uvjetima. U posebno polje upisuje se Cauchyjev problem.

Diferencijalna jednadžba

Prema zadanim postavkama, u jednadžbi, funkcija g je funkcija varijable x. Međutim, možete postaviti vlastitu notaciju varijable, ako napišete, na primjer, y(t) u jednadžbi, kalkulator će to automatski prepoznati g je funkcija varijable t. S kalkulatorom možete rješavati diferencijalne jednadžbe bilo koje složenosti i vrste: homogene i nehomogene, linearne ili nelinearne, prvog reda ili drugog i višeg reda, jednadžbe sa separabilnim ili nerazdvojivim varijablama itd. Rješenje dif. jednadžbe su date u analitički oblik, Ima Detaljan opis. Diferencijalne jednadžbe vrlo su česte u fizici i matematici. Bez njihova proračuna nemoguće je riješiti mnoge probleme (osobito u matematičkoj fizici).

Jedan od koraka u rješavanju diferencijalnih jednadžbi je integracija funkcija. Postoje standardne metode za rješavanje diferencijalnih jednadžbi. Jednadžbe je potrebno dovesti u oblik sa separabilnim varijablama y i x te posebno integrirati razdvojene funkcije. Da biste to učinili, ponekad morate izvršiti određenu zamjenu.

Diferencijalna jednadžba (DE) je jednadžba,
gdje su nezavisne varijable, y je funkcija i parcijalne su derivacije.

Obična diferencijalna jednadžba je diferencijalna jednadžba koja ima samo jednu nezavisnu varijablu, .

Parcijalna diferencijalna jednadžba je diferencijalna jednadžba koja ima dvije ili više neovisnih varijabli.

Riječi "obične" i "parcijalne derivacije" mogu se izostaviti ako je jasno koja se jednadžba razmatra. U nastavku se razmatraju obične diferencijalne jednadžbe.

Red diferencijalne jednadžbe je red najveće derivacije.

Evo primjera jednadžbe prvog reda:

Evo primjera jednadžbe četvrtog reda:

Ponekad se diferencijalna jednadžba prvog reda piše u terminima diferencijala:

U ovom slučaju varijable x i y su jednake. To jest, nezavisna varijabla može biti x ili y. U prvom slučaju, y je funkcija od x. U drugom slučaju, x je funkcija od y. Ako je potrebno, ovu jednadžbu možemo dovesti u oblik u koji derivacija y′ ​​ulazi eksplicitno.
Dijeleći ovu jednadžbu s dx, dobivamo:
.
Od i , Slijedi da
.

Rješenje diferencijalnih jednadžbi

Derivacije elementarnih funkcija izražavaju se pomoću elementarnih funkcija. Integrali elementarnih funkcija često se ne izražavaju kroz elementarne funkcije. S diferencijalnim jednadžbama situacija je još gora. Kao rezultat rješenja možete dobiti:

• eksplicitna ovisnost funkcije o varijabli;

  Rješavanje diferencijalne jednadžbe je funkcija y = u (x), koji je definiran, je n puta diferencijabilan, i .

• implicitna ovisnost u obliku jednadžbe tipa Φ (x, y) = 0 ili sustavi jednadžbi;

  Integral diferencijalne jednadžbe je rješenje diferencijalne jednadžbe koja ima implicitni oblik.

• ovisnost izražena kroz elementarne funkcije i integrale od njih;

  Rješenje diferencijalne jednadžbe u kvadraturama - to je pronalaženje rješenja u obliku kombinacije elementarnih funkcija i njihovih integrala.

• rješenje se možda neće izraziti elementarnim funkcijama.

Kako se rješavanje diferencijalnih jednadžbi svodi na izračun integrala, rješenje uključuje skup konstanti C 1 , C 2 , C 3 , ... C n . Broj konstanti jednak je redu jednadžbe. Parcijalni integral diferencijalne jednadžbe je opći integral za zadane vrijednosti konstanti C 1 , C 2 , C 3 , ... , C n .

Reference:
V.V. Stepanov, Tečaj diferencijalnih jednadžbi, LKI, 2015.
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Zbirka zadataka iz više matematike, Lan, 2003.