Aritmetička progresija formule an. Algebarska progresija

Prilikom proučavanja algebre u općeobrazovna škola(9. razred) jedan od važne teme je proučavanje numeričkih nizova, koji uključuju progresije - geometrijske i aritmetičke. U ovom ćemo članku razmotriti aritmetičku progresiju i primjere s rješenjima.

Što je aritmetička progresija?

Da bismo to razumjeli, potrebno je dati definiciju progresije koja se razmatra, kao i dati osnovne formule koje će se dalje koristiti u rješavanju problema.

Poznato je da je u nekoj algebarskoj progresiji 1. član jednak 6, a 7. član jednak 18. Potrebno je pronaći razliku i taj niz vratiti na 7. član.

Upotrijebimo formulu za određivanje nepoznatog člana: a n = (n - 1) * d + a 1 . U njega zamijenimo poznate podatke iz uvjeta, odnosno brojeve a 1 i a 7, imamo: 18 \u003d 6 + 6 * d. Iz ovog izraza lako možete izračunati razliku: d = (18 - 6) / 6 = 2. Time je prvi dio zadatka riješen.

Da biste vratili niz na 7. član, trebali biste koristiti definiciju algebarske progresije, to jest, a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d itd. Kao rezultat, vraćamo cijeli niz: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 i 7 = 18.

Primjer #3: napredovanje

Zakomplicirajmo stanje problema još više. Sada morate odgovoriti na pitanje kako pronaći aritmetičku progresiju. Možemo navesti sljedeći primjer: dana su dva broja, npr. 4 i 5. Potrebno je napraviti algebarsku progresiju tako da između njih stanu još tri člana.

Prije nego što počnete rješavati ovaj problem, potrebno je razumjeti koje će mjesto dati brojevi zauzeti u budućoj progresiji. Budući da će između njih biti još tri člana, zatim 1 \u003d -4 i 5 \u003d 5. Nakon što smo to utvrdili, prelazimo na zadatak koji je sličan prethodnom. Opet, za n-ti izraz koristimo formulu, dobivamo: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Od: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2,25. Ovdje razlika nije cjelobrojna vrijednost, već je to racionalan broj, tako da formule za algebarsku progresiju ostaju iste.

Dodajmo sada pronađenu razliku 1 i vratimo nedostajuće članove progresije. Dobivamo: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u003d 5, koji se poklapao s uvjetom problema.

Primjer #4: Prvi član progresije

Nastavimo s primjerima aritmetička progresija s rješenjem. U svim prethodnim zadacima bio je poznat prvi broj algebarske progresije. Sada razmotrite problem drugačijeg tipa: neka su dana dva broja, gdje je 15 = 50 i 43 = 37. Potrebno je pronaći od kojeg broja počinje ovaj niz.

Formule koje su do sada korištene pretpostavljaju poznavanje a 1 i d. Ništa se ne zna o ovim brojevima u uvjetu zadatka. Ipak, ispišimo izraze za svaki pojam o kojem imamo informacije: a 15 = a 1 + 14 * d i a 43 = a 1 + 42 * d. Dobili smo dvije jednadžbe u kojima su 2 nepoznate veličine (a 1 i d). To znači da se problem svodi na rješavanje sustava linearnih jednadžbi.

Navedeni sustav je najlakše riješiti ako u svakoj jednadžbi izrazite 1, a zatim usporedite dobivene izraze. Prva jednadžba: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; druga jednadžba: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Izjednačavajući ove izraze, dobivamo: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, odakle razlika d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (dana su samo 3 decimalna mjesta).

Znajući d, možete koristiti bilo koji od 2 gornja izraza za 1. Na primjer, prvo: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.

Ako postoje dvojbe oko rezultata, možete ga provjeriti, npr. odrediti 43. član progresije koji je naveden u uvjetu. Dobivamo: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. Mala pogreška je zbog činjenice da je u izračunima korišteno zaokruživanje na tisućinke.

Primjer #5: Zbroj

Sada pogledajmo neke primjere s rješenjima za zbroj aritmetičke progresije.

Neka je zadana numerička progresija sljedećeg oblika: 1, 2, 3, 4, ...,. Kako izračunati zbroj 100 ovih brojeva?

Zahvaljujući razvoju računalne tehnologije ovaj se problem može riješiti, odnosno redom zbrajati sve brojeve, što će računalo učiniti čim osoba pritisne tipku Enter. Međutim, problem se može riješiti mentalno ako obratite pozornost da je prikazani niz brojeva algebarska progresija, a njegova razlika je 1. Primjenom formule za zbroj dobivamo: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Zanimljivo je napomenuti da se ovaj problem naziva "Gaussov", budući da ga je početkom 18. stoljeća slavni Nijemac, još u dobi od samo 10 godina, uspio riješiti u svom umu u nekoliko sekundi. Dječak nije znao formulu za zbroj algebarske progresije, ali je primijetio da ako zbrojite parove brojeva koji se nalaze na rubovima niza, uvijek ćete dobiti isti rezultat, odnosno 1 + 100 = 2 + 99. = 3 + 98 = ..., a budući da će ti zbrojevi biti točno 50 (100 / 2), onda je za točan odgovor dovoljno pomnožiti 50 sa 101.

Primjer #6: zbroj članova od n do m

Još tipičan primjer zbroj aritmetičke progresije je sljedeći: za dan niz brojeva: 3, 7, 11, 15, ..., trebate pronaći koliki će biti zbroj njegovih članova od 8 do 14.

Problem se rješava na dva načina. Prvi od njih uključuje pronalaženje nepoznatih pojmova od 8 do 14, a zatim njihovo uzastopno zbrajanje. Budući da ima malo pojmova, ova metoda nije dovoljno naporna. Ipak, predlaže se riješiti ovaj problem drugom metodom, koja je univerzalnija.

Ideja je dobiti formulu za zbroj algebarske progresije između članova m i n, gdje su n > m cijeli brojevi. Za oba slučaja pišemo dva izraza za zbroj:

S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Budući da je n > m, očito je da zbroj 2 uključuje prvi. Posljednji zaključak znači da ako uzmemo razliku između tih zbrojeva, i dodamo joj član a m (u slučaju uzimanja razlike, ona se oduzima od zbroja S n), tada dobivamo potreban odgovor na zadatak. Imamo: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). U ovaj izraz potrebno je zamijeniti formule za n i a m. Tada dobivamo: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Dobivena formula je donekle glomazna, međutim zbroj S mn ovisi samo o n, m, a 1 i d. U našem slučaju a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Zamjenom ovih brojeva dobivamo: S mn = 301.

Kao što je vidljivo iz gornjih rješenja, svi zadaci temelje se na poznavanju izraza za n-ti član i formule za zbroj skupa prvih članova. Prije nego počnete rješavati bilo koji od ovih problema, preporuča se pažljivo pročitati uvjet, jasno razumjeti što želite pronaći i tek onda nastaviti s rješavanjem.

Još jedan savjet je da težite jednostavnosti, odnosno ako možete odgovoriti na pitanje bez korištenja složenih matematičkih izračuna, onda trebate učiniti upravo to, jer je u tom slučaju vjerojatnost pogreške manja. Na primjer, u primjeru aritmetičke progresije s rješenjem br. 6, moglo bi se zaustaviti na formuli S mn \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, i podijeliti zajednički zadatak u zasebne podprobleme (u ovom slučaju prvo pronađite pojmove a n i a m).

Ako postoje sumnje u dobiveni rezultat, preporuča se provjeriti ga, kao što je učinjeno u nekim od navedenih primjera. Kako pronaći aritmetičku progresiju, saznali smo. Nakon što to shvatite, nije tako teško.

Važne bilješke!
1. Ako umjesto formula vidite abrakadabru, očistite predmemoriju. Ovdje je napisano kako to učiniti u svom pregledniku:
2. Prije nego što počnete čitati članak, najviše obratite pozornost na naš navigator koristan izvor za

Numerički niz

Dakle, sjednimo i počnimo pisati neke brojeve. Na primjer:
Možete pisati bilo koje brojeve, a može ih biti koliko god želite (u našem slučaju njih). Koliko god brojeva napisali, uvijek možemo reći koji je od njih prvi, koji drugi i tako do posljednjeg, odnosno možemo ih numerirati. Ovo je primjer niza brojeva:

Numerički niz
Na primjer, za naš niz:

Dodijeljeni broj specifičan je samo za jedan redni broj. Drugim riječima, u nizu nema tri druga broja. Drugi broj (kao i -ti broj) uvijek je isti.
Broj s brojem naziva se -ti član niza.

Cijeli niz obično nazivamo nekim slovom (na primjer,), a svaki član ovog niza - istim slovom s indeksom jednakim broju ovog člana: .

U našem slučaju:

Recimo da imamo numerički niz u kojem je razlika između susjednih brojeva ista i jednaka.
Na primjer:

itd.
Takav numerički niz naziva se aritmetička progresija.
Pojam "progresija" uveo je rimski autor Boetije još u 6. stoljeću i shvaćao ga je u širem smislu kao beskonačni numerički niz. Naziv "aritmetika" prenesen je iz teorije kontinuiranih proporcija, kojom su se bavili stari Grci.

Ovo je numerički niz, čiji je svaki član jednak prethodnom, zbrojen s istim brojem. Taj se broj naziva razlika aritmetičke progresije i označava.

Pokušajte odrediti koji nizovi brojeva su aritmetička progresija, a koji nisu:

a)
b)
c)
d)

kužiš Usporedite naše odgovore:
Je aritmetička progresija - b, c.
Nije aritmetička progresija - a, d.

Vratimo se na zadanu progresiju () i pokušajmo pronaći vrijednost njenog th člana. postoji dva način da ga nađete.

1. Metoda

Prethodnoj vrijednosti broja progresije možemo dodavati dok ne dođemo do th člana progresije. Dobro je što nemamo puno za rezimirati - samo tri vrijednosti:

Dakle, -ti član opisane aritmetičke progresije jednak je.

2. Metoda

Što ako trebamo pronaći vrijednost th člana progresije? Zbrajanje bi nam oduzelo više od jednog sata, a nije činjenica da ne bismo pogriješili prilikom zbrajanja brojeva.
Naravno, matematičari su smislili način na koji prethodnoj vrijednosti ne morate dodavati razliku aritmetičke progresije. Pažljivo pogledajte nacrtanu sliku ... Sigurno ste već uočili određeni obrazac, naime:

Na primjer, pogledajmo što čini vrijednost -tog člana ove aritmetičke progresije:

Drugim riječima:

Pokušajte na taj način samostalno pronaći vrijednost člana ove aritmetičke progresije.

Proračunato? Usporedite svoje unose s odgovorom:

Obratite pažnju da ste dobili potpuno isti broj kao u prethodnoj metodi, kada smo prethodnoj vrijednosti sukcesivno dodavali članove aritmetičke progresije.
Pokušajmo "depersonalizirati" ovu formulu- dovedimo ga u opći oblik i dobijemo:

Jednadžba aritmetičke progresije.

Aritmetičke progresije rastu ili opadaju.

Povećavajući se- progresije u kojima je svaka sljedeća vrijednost članova veća od prethodne.
Na primjer:

Silazni- progresije u kojima je svaka sljedeća vrijednost članova manja od prethodne.
Na primjer:

Izvedena formula koristi se u izračunu članova u rastućim i opadajućim članovima aritmetičke progresije.
Provjerimo to u praksi.
Dana nam je aritmetička progresija koja se sastoji od sljedeće brojeve: Provjerimo koliki će biti -ti broj ove aritmetičke progresije ako pri izračunavanju koristimo našu formulu:

Od tad:

Stoga smo se uvjerili da formula djeluje i u opadajućoj i u rastućoj aritmetičkoj progresiji.
Pokušajte sami pronaći -ti i -ti član ove aritmetičke progresije.

Usporedimo rezultate:

Svojstvo aritmetičke progresije

Zakomplicirajmo zadatak - izvodimo svojstvo aritmetičke progresije.
Pretpostavimo da nam je dan sljedeći uvjet:
- aritmetička progresija, pronađite vrijednost.
Lako je, kažete, i počnete brojati po formuli koju već znate:

Neka, a, tada:

Apsolutno u pravu. Ispada da prvo pronađemo, zatim ga dodamo prvom broju i dobijemo ono što tražimo. Ako je progresija predstavljena malim vrijednostima, onda tu nema ništa komplicirano, ali što ako su nam u uvjetu dati brojevi? Slažem se, postoji mogućnost pogreške u izračunima.
Sada razmislite je li moguće riješiti ovaj problem u jednom koraku pomoću bilo koje formule? Naravno, da, i sada ćemo to pokušati iznijeti.

Označimo željeni član aritmetičke progresije kao, znamo formulu za njegovo pronalaženje - to je ista formula koju smo izveli na početku:
, zatim:

prethodni član progresije je:
sljedeći član progresije je:

Zbrojimo prethodne i sljedeće članove progresije:

Ispada da je zbroj prethodnog i sljedećeg člana progresije dvostruko veći od vrijednosti člana progresije koji se nalazi između njih. Drugim riječima, da bismo pronašli vrijednost člana progresije s poznatim prethodnim i sukcesivnim vrijednostima, potrebno ih je zbrojiti i podijeliti s.

Tako je, dobili smo isti broj. Popravimo gradivo. Vrijednost za progresiju izračunajte sami, jer to uopće nije teško.

Dobro napravljeno! Znate gotovo sve o napredovanju! Ostalo je otkriti samo jednu formulu, koju je, prema legendi, jedan od najvećih matematičara svih vremena, "kralj matematičara" - Karl Gauss, lako izveo za sebe ...

Kada je Carl Gauss imao 9 godina, učiteljica, zauzeta provjeravanjem radova učenika iz drugih razreda, pitala je u razredu sljedeći zadatak: "Izbrojte zbroj svega prirodni brojevi od do (prema drugim izvorima do) uključivo. Kakvo je bilo iznenađenje učitelja kada je jedan od njegovih učenika (bio je to Karl Gauss) nakon minute dao točan odgovor na zadatak, dok je većina školskih kolega drznika nakon dugih izračuna dobila pogrešan rezultat ...

Mladi Carl Gauss primijetio je obrazac koji možete lako uočiti.
Recimo da imamo aritmetičku progresiju koja se sastoji od -ti članova: Moramo pronaći zbroj zadanih članova aritmetičke progresije. Naravno, možemo ručno zbrojiti sve vrijednosti, ali što ako trebamo pronaći zbroj njegovih članova u zadatku, kao što je Gauss tražio?

Oslikajmo napredak koji nam je dan. Pažljivo promatrajte označene brojeve i pokušajte s njima izvesti različite matematičke operacije.

Probala? Što ste primijetili? Ispravno! Njihovi zbrojevi su jednaki

Sada odgovorite, koliko će takvih parova biti u progresiji koja nam je dana? Naravno, točno polovica svih brojeva, tj.
Na temelju činjenice da je zbroj dva člana aritmetičke progresije jednak, a sličnih jednakih parova, dobivamo da je ukupni zbroj jednak:
.
Stoga će formula za zbroj prvih članova bilo koje aritmetičke progresije biti:

U nekim problemima ne znamo th član, ali znamo razliku progresije. Pokušajte u formulu zbroja zamijeniti formulu th člana.
Što si dobio?

Dobro napravljeno! Vratimo se sada na problem koji je dobio Carl Gauss: izračunajte sami koliki je zbroj brojeva koji počinju od -tog i zbroj brojeva koji počinju od -tog.

Koliko ste dobili?
Gauss je pokazao da je zbroj članova jednak, a zbroj članova. Jeste li tako odlučili?

Naime, formulu za zbroj članova aritmetičke progresije dokazao je još starogrčki znanstvenik Diofant još u 3. stoljeću, a kroz to vrijeme dosjetljivi ljudi su se na sav glas služili svojstvima aritmetičke progresije.
Na primjer, zamislite Drevni Egipt i najveće gradilište tog vremena – gradnja piramide... Na slici je prikazana jedna njezina strana.

Gdje je tu progresija kažete? Pažljivo pogledajte i pronađite uzorak u broju blokova pijeska u svakom redu zida piramide.

Zašto ne aritmetička progresija? Izbrojite koliko je blokova potrebno za izgradnju jednog zida ako su blok opeke postavljene u bazu. Nadam se da nećete brojati pomicanjem prsta po monitoru, sjećate li se zadnje formule i svega što smo rekli o aritmetičkoj progresiji?

U ovom slučaju, napredak izgleda ovako:
Razlika aritmetičke progresije.
Broj članova aritmetičke progresije.
Zamijenimo naše podatke u posljednje formule (brojimo blokove na 2 načina).

Metoda 1.

Metoda 2.

A sada možete izračunati i na monitoru: usporedite dobivene vrijednosti s brojem blokova koji se nalaze u našoj piramidi. Je li se slagalo? Bravo, savladali ste zbroj th članova aritmetičke progresije.
Naravno, ne možete izgraditi piramidu od blokova u bazi, ali od? Pokušajte izračunati koliko je opeka od pijeska potrebno za izgradnju zida s ovim uvjetom.
Jeste li uspjeli?
Točan odgovor je blokovi:

Vježbati

Zadaci:

Maša se sprema za ljeto. Svakog dana povećava broj čučnjeva za. Koliko će puta Maša čučnuti u tjednima ako je radila čučnjeve na prvom treningu.
Koliki je zbroj svih neparnih brojeva sadržanih u.
Drvosječe pri pohranjivanju trupaca slažu ih tako da svaki gornji sloj sadrži jednu kladu manje od prethodnog. Koliko je trupaca u jednom zidu, ako je osnova zidanja trupci.

odgovori:

Definirajmo parametre aritmetičke progresije. U ovom slučaju
(tjedni = dani).
Odgovor: Za dva tjedna Maša bi trebala čučati jednom dnevno.
Prvi neparan broj, posljednji broj.
Razlika aritmetičke progresije.
Broj neparnih brojeva u - pola, međutim, tu činjenicu provjerite pomoću formule za pronalaženje -tog člana aritmetičke progresije:
Brojevi sadrže neparne brojeve.
Zamjenjujemo dostupne podatke u formulu:
Odgovor: Zbroj svih neparnih brojeva sadržanih u jednak je.
Prisjetite se problema o piramidama. Za naš slučaj, a , budući da je svaki gornji sloj smanjen za jedan dnevnik, postoji samo hrpa slojeva, tj.
Zamijenite podatke u formuli:
Odgovor: U zidanju su balvani.

Sumirati

- numerički niz u kojem je razlika između susjednih brojeva jednaka i jednaka. Povećava se i smanjuje.
Pronalaženje formulečlan aritmetičke progresije zapisuje se formulom - , gdje je broj brojeva u progresiji.
Svojstvo članova aritmetičke progresije- - gdje - broj brojeva u progresiji.
Zbroj članova aritmetičke progresije može se pronaći na dva načina:

, gdje je broj vrijednosti.

ARITMETIČKA PROGRESIJA. PROSJEČNA RAZINA

Numerički niz

Sjednimo i počnimo pisati neke brojeve. Na primjer:

Možete pisati bilo koje brojeve, a može ih biti koliko god želite. Ali uvijek se može reći koji je od njih prvi, koji je drugi i tako dalje, odnosno možemo ih numerirati. Ovo je primjer niza brojeva.

Numerički niz je skup brojeva od kojih se svakom može dodijeliti jedinstveni broj.

Drugim riječima, svakom broju može se pridružiti određeni prirodni broj, i to samo jedan. I nećemo ovaj broj dodijeliti nijednom drugom broju iz ovog skupa.

Broj s brojem naziva se -ti član niza.

Cijeli niz obično nazivamo nekim slovom (na primjer,), a svaki član ovog niza - istim slovom s indeksom jednakim broju ovog člana: .

Vrlo je zgodno ako se -ti član niza može dati nekom formulom. Na primjer, formula

postavlja slijed:

A formula je sljedeći niz:

Na primjer, aritmetička progresija je niz (prvi član je ovdje jednak, a razlika). Ili (, razlika).

formula n-tog člana

Rekurentnom nazivamo formulu u kojoj, da biste saznali -ti član, morate znati prethodni ili nekoliko prethodnih:

Da bismo pronašli, na primjer, ti član progresije pomoću takve formule, moramo izračunati prethodnih devet. Na primjer, neka. Zatim:

E, sad je jasno koja je formula?

U svakom retku zbrajamo, pomnožimo s nekim brojem. Za što? Vrlo jednostavno: ovo je broj trenutnog člana minus:

Sad je mnogo ugodnije, zar ne? Provjeravamo:

Odlučite sami:

U aritmetičkoj progresiji pronađite formulu za n-ti član i pronađite stoti član.

Riješenje:

Prvi član je jednak. I koja je razlika? I evo što:

(uostalom, zove se razlika jer je jednaka razlici uzastopnih članova progresije).

Dakle, formula je:

Tada je stoti član:

Koliki je zbroj svih prirodnih brojeva od do?

Prema legendi, veliki matematičar Carl Gauss, kao 9-godišnji dječak, izračunao je ovaj iznos u nekoliko minuta. Uočio je da je zbroj prvog i zadnjeg broja jednak, zbroj drugog i pretposljednjeg jednak, zbroj trećeg i 3. od kraja isti itd. Koliko je takvih parova? Tako je, točno polovica svih brojeva, tj. Tako,

Opća formula za zbroj prvih članova bilo koje aritmetičke progresije bit će:

Primjer:
Nađi zbroj svih dvoznamenkastih višekratnika.

Riješenje:

Prvi takav broj je ovaj. Svaki sljedeći dobiva se dodavanjem broja prethodnom. Dakle, brojevi koji nas zanimaju tvore aritmetičku progresiju s prvim članom i razlikom.

Formula za th član za ovu progresiju je:

Koliko je članova u progresiji ako svi moraju biti dvoznamenkasti?

Vrlo jednostavno: .

Posljednji član progresije bit će jednak. Zatim zbroj:

Odgovor: .

Sada odlučite sami:

Svaki dan sportaš pretrči 1 m više nego prethodnog dana. Koliko će kilometara pretrčati u tjednima ako je prvi dan pretrčao km m?
Biciklist svaki dan prijeđe više milja od prethodnog. Prvog dana prešao je km. Koliko dana mora voziti da prijeđe kilometar? Koliko će kilometara prijeći zadnjeg dana putovanja?
Cijena hladnjaka u trgovini se svake godine snižava za isti iznos. Odredite koliko je cijena hladnjaka padala svake godine ako je, stavljen na prodaju za rublje, šest godina kasnije prodan za rublje.

odgovori:

Ovdje je najvažnije prepoznati aritmetičku progresiju i odrediti njezine parametre. U ovom slučaju (tjedni = dani). Morate odrediti zbroj prvih članova ove progresije:
.
Odgovor:
Ovdje je dano:, potrebno je pronaći.
Očito, trebate koristiti istu formulu zbroja kao u prethodnom problemu:
.
Zamijenite vrijednosti:
Root očito ne odgovara, pa odgovor.
Izračunajmo prijeđenu udaljenost tijekom prošlog dana pomoću formule -tog člana:
(km).
Odgovor:
Dano: . Pronaći: .
Ne postaje lakše:
(trljati).
Odgovor:

ARITMETIČKA PROGRESIJA. UKRATKO O GLAVNOM

Ovo je numerički niz u kojem je razlika između susjednih brojeva jednaka i jednaka.

Aritmetička progresija je rastuća () i opadajuća ().

Na primjer:

Formula za pronalaženje n-tog člana aritmetičke progresije

je zapisan kao formula, gdje je broj brojeva u progresiji.

Svojstvo članova aritmetičke progresije

Olakšava pronalaženje člana progresije ako su njegovi susjedni članovi poznati - gdje je broj brojeva u progresiji.

Zbroj članova aritmetičke progresije

Postoje dva načina da se pronađe zbroj:

Gdje je broj vrijednosti.

Pa tema je gotova. Ako čitate ove retke, onda ste jako cool.

Jer samo 5% ljudi je u stanju svladati nešto samostalno. A ako ste pročitali do kraja, onda ste u onih 5%!

Sada ono najvažnije.

Shvatili ste teoriju o ovoj temi. I, ponavljam, to je ... to je jednostavno super! Već si bolji od velike većine svojih vršnjaka.

Problem je što to možda neće biti dovoljno...

Za što?

Za uspješna isporuka Jedinstveni državni ispit, za upis u institut na proračun i, ŠTO JE NAJVAŽNIJE, za život.

Neću vas uvjeravati ni u što, samo ću reći jedno...

Ljudi koji su primili dobro obrazovanje, zarađuju mnogo više od onih koji ga nisu primili. Ovo je statistika.

Ali to nije glavna stvar.

Glavno da su SRETNIJI (postoje takve studije). Možda zato što se mnogo toga otvara pred njima. više mogućnosti i život postaje svjetliji? ne znam...

Ali razmislite sami...

Što je potrebno da budete bolji od drugih na ispitu i na kraju ... sretniji?

PUNITE SVOJU RUKU, RJEŠAVAJUĆI ZADATKE NA OVU TEMU.

Na ispitu vas neće pitati teorija.

Trebat će vam rješavati probleme na vrijeme.

A, ako ih niste riješili (PUNO!), sigurno ćete negdje napraviti glupu pogrešku ili je jednostavno nećete napraviti na vrijeme.

To je kao u sportu - trebaš ponoviti puno puta da bi sigurno pobijedio.

Pronađite kolekciju gdje god želite obavezno s rješenjima detaljna analiza i odluči, odluči, odluči!

Možete koristiti naše zadatke (nije nužno) i svakako ih preporučamo.

Kako biste dobili ruku uz pomoć naših zadataka, morate pomoći produžiti vijek trajanja udžbenika YouClever koji upravo čitate.

Kako? Postoje dvije mogućnosti:

Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u ovom članku -
Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u svih 99 članaka vodiča - Kupite udžbenik - 499 rubalja

Da, imamo 99 takvih članaka u udžbeniku i pristup za sve zadatke i sve skriveni tekstovi mogu se odmah otvoriti.

Pristup svim skrivenim zadacima omogućen je tijekom cijelog životnog vijeka stranice.

U zaključku...

Ako vam se ne sviđaju naši zadaci, pronađite druge. Samo nemojte stati s teorijom.

“Razumijem” i “Znam riješiti” potpuno su različite vještine. Trebate oboje.

Pronađite probleme i riješite ih!

Što glavna točka formule?

Ova formula vam omogućuje da pronađete bilo koji NJEGOVIM BROJEM" n" .

Naravno, morate znati prvi pojam a 1 i razlika u progresiji d, pa, bez ovih parametara ne možete zapisati određeni napredak.

Nije dovoljno zapamtiti (ili prevariti) ovu formulu. Potrebno je usvojiti njegovu bit i primijeniti formulu u raznim problemima. Da, i ne zaboravite u pravo vrijeme, da ...) Kako ne zaboraviti- Ne znam. Ali kako zapamtiti Ako treba, dat ću vam savjet. Za one koji savladaju lekciju do kraja.)

Dakle, pozabavimo se formulom n-tog člana aritmetičke progresije.

Što je uopće formula - zamišljamo.) Što je aritmetička progresija, broj člana, razlika progresije - jasno je rečeno u prethodnoj lekciji. Baci oko ako nisi čitao. Tamo je sve jednostavno. Ostaje shvatiti što n-ti pojam.

napredovanje u opći pogled može se napisati kao niz brojeva:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....

a 1- označava prvi član aritmetičke progresije, a 3- treći član a 4- četvrti, i tako dalje. Ako nas zanima peti mandat, recimo da radimo sa a 5, ako je sto dvadeseti - od a 120.

Kako općenito definirati bilo kojičlan aritmetičke progresije, s bilo koji broj? Jako jednostavno! Kao ovo:

a n

To je ono što je n-ti član aritmetičke progresije. Pod slovom n kriju se odjednom svi brojevi članova: 1, 2, 3, 4 i tako dalje.

I što nam takav rekord daje? Zamislite, umjesto broja napisali su slovo...

Ova nam notacija daje moćan alat za rad s aritmetičkim progresijama. Koristeći notni zapis a n, možemo brzo pronaći bilo kojičlan bilo koji aritmetička progresija. I hrpa zadataka za rješavanje u progresiji. Vidjet ćete dalje.

U formuli n-tog člana aritmetičke progresije:

a n = a 1 + (n-1)d

a 1- prvi član aritmetičke progresije;

n- broj člana.

Formula povezuje ključne parametre bilo koje progresije: a n ; a 1; d i n. Oko ovih parametara sve se zagonetke vrte u progresiji.

Formula n-tog člana također se može koristiti za pisanje određene progresije. Na primjer, u problemu se može reći da je progresija dana uvjetom:

a n = 5 + (n-1) 2.

Takav problem može čak i zbuniti ... Nema serije, nema razlike ... Ali, uspoređujući stanje s formulom, lako je shvatiti da u ovoj progresiji a 1 \u003d 5 i d \u003d 2.

A može biti još ljući!) Ako uzmemo isti uvjet: a n = 5 + (n-1) 2, da, otvorite zagrade i navedite slične? Dobivamo novu formulu:

an = 3 + 2n.

to Samo ne općenito, već za određeni napredak. Tu leži zamka. Neki ljudi misle da je prvi član trojka. Iako je u stvarnosti prvi član pet ... Malo niže ćemo raditi s tako modificiranom formulom.

U zadacima za napredovanje postoji još jedna oznaka - a n+1. Ovo je, pogađate, "n plus prvi" član progresije. Njegovo značenje je jednostavno i bezopasno.) Ovo je član progresije čiji je broj za jedan veći od broja n. Na primjer, ako u nekom problemu uzmemo za a n peti mandat, dakle a n+1 bit će šesti član. itd.

Najčešće oznaka a n+1 javlja se u rekurzivnim formulama. Ne bojte se ove strašne riječi!) Ovo je samo način izražavanja člana aritmetičke progresije kroz prethodni. Pretpostavimo da nam je dana aritmetička progresija u ovom obliku, koristeći rekurentnu formulu:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

Četvrti - kroz treći, peti - kroz četvrti, i tako dalje. I kako odmah brojati, recimo dvadeseti pojam, a 20? Ali nema šanse!) Dok se 19. mandat ne zna, 20. se ne može računati. U ovom je temeljna razlika rekurentna formula iz formule n-tog člana. Rekurzivno radi samo kroz prethodničlan, a formula n-tog člana - kroz prvi i dopušta odmah pronaći bilo kojeg člana prema njegovom broju. Ne računajući cijeli niz brojeva po redu.

U aritmetičkoj progresiji, rekurzivna formula se lako može pretvoriti u regularnu. Prebrojite par uzastopnih članova, izračunajte razliku d, pronađite, ako je potrebno, prvi član a 1, napišite formulu u uobičajenom obliku i radite s njom. U GIA se takvi zadaci često nalaze.

Primjena formule n-tog člana aritmetičke progresije.

Prvo, pogledajmo izravnu primjenu formule. Na kraju prethodne lekcije pojavio se problem:

S obzirom na aritmetičku progresiju (a n). Pronađite 121 ako je a 1 =3 i d=1/6.

Ovaj se problem može riješiti bez ikakvih formula, jednostavno na temelju značenja aritmetičke progresije. Dodajte, da dodajte ... Sat ili dva.)

A prema formuli, rješenje će trajati manje od minute. Možete tempirati.) Mi odlučujemo.

Uvjeti daju sve podatke za korištenje formule: a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6. Ostaje za vidjeti što n. Nema problema! Moramo pronaći a 121. Ovdje pišemo:

Molim obratite pozornost! Umjesto indeksa n pojavio se konkretan broj: 121. Što je sasvim logično.) Zanima nas član aritmetičke progresije. broj sto dvadeset jedan. Ovo će biti naše n. Ovo je značenje n= 121 zamijenit ćemo dalje u formulu, u zagradi. Zamijenite sve brojeve u formuli i izračunajte:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

To je sve. Jednako tako brzo bi se mogao pronaći petsto deseti član, a tisuću i treći bilo koji. Umjesto toga stavljamo nželjeni broj u indeksu slova " a" i u zagradi, i smatramo.

Dopustite mi da vas podsjetim na bit: ova formula vam omogućuje da pronađete bilo kojičlan aritmetičke progresije NJEGOVIM BROJEM" n" .

Riješimo problem pametnije. Recimo da imamo sljedeći problem:

Nađite prvi član aritmetičke progresije (a n) ako je a 17 =-2; d=-0,5.

Ako budete imali poteškoća, predložit ću vam prvi korak. Zapiši formulu za n-ti član aritmetičke progresije! Da da. Napišite rukom, izravno u svoju bilježnicu:

a n = a 1 + (n-1)d

I sada, gledajući slova formule, razumijemo koje podatke imamo, a što nedostaje? Dostupno d=-0,5, postoji sedamnaesti član ... Sve? Ako mislite da je to sve, onda ne možete riješiti problem, da ...

Imamo i broj n! U stanju a 17 =-2 skriven dvije mogućnosti. To je i vrijednost sedamnaestog člana (-2) i njegov broj (17). Oni. n=17. Ta "sitnica" često promakne pokraj glave, a bez nje, (bez "sitnice", ne glave!) problem se ne može riješiti. Iako ... i bez glave.)

Sada možemo samo glupo zamijeniti naše podatke u formulu:

a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

O da, a 17 znamo da je -2. U redu, stavimo to u:

-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

To je, u biti, sve. Preostaje izraziti prvi član aritmetičke progresije iz formule i izračunati. Dobijate odgovor: a 1 = 6.

Takva tehnika - pisanje formule i jednostavna zamjena poznatih podataka - puno pomaže u jednostavnim zadacima. Pa, morate, naravno, moći izraziti varijablu iz formule, ali što učiniti!? Bez ove vještine matematika se uopće ne može proučavati ...

Još jedan popularan problem:

Odredite razliku aritmetičke progresije (a n) ako je a 1 =2; a 15 =12.

Što radimo? Iznenadit ćete se, mi pišemo formulu!)

a n = a 1 + (n-1)d

Razmotrite ono što znamo: a 1 =2; a 15 =12; i (poseban naglasak!) n=15. Slobodno zamijenite u formuli:

12=2 + (15-1)d

Idemo računati.)

12=2 + 14d

d=10/14 = 5/7

Ovo je točan odgovor.

Dakle, zadaci a n, a 1 i d odlučio. Ostaje naučiti kako pronaći broj:

Broj 99 je član aritmetičke progresije (a n), gdje je a 1 =12; d=3. Pronađite broj ovog člana.

Zamijenimo poznate količine u formulu n-tog člana:

a n = 12 + (n-1) 3

Ovdje su na prvi pogled nepoznate dvije veličine: a n i n. Ali a n je neki član progresije s brojem n... A ovaj član progresije znamo! 99 je. Ne znamo njegov broj. n, pa treba pronaći i ovaj broj. Zamijenite progresivni član 99 u formulu:

99 = 12 + (n-1) 3

Izražavamo iz formule n, mi mislimo. Dobijamo odgovor: n=30.

A sada problem na istu temu, ali kreativniji):

Odredite hoće li broj 117 biti član aritmetičke progresije (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Napišimo formulu ponovno. Što, nema parametara? Hm... Zašto nam trebaju oči?) Vidimo li prvi član progresije? Mi vidimo. Ovo je -3,6. Možete slobodno napisati: a 1 \u003d -3,6. Razlika d može se odrediti iz serije? Lako je ako znate koja je razlika aritmetičke progresije:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Da, napravili smo najjednostavniju stvar. Ostaje još da se pozabavimo nepoznatim brojem n a nerazumljivi broj 117. U prethodnom zadatku barem se znalo da je zadan član progresije. Ali kod nas to ni ne znamo... Kako biti!? Pa kako biti, kako biti... Uključi Kreativne vještine!)

Mi pretpostaviti da je 117 ipak član naše progresije. S nepoznatim brojem n. I, baš kao u prethodnom zadatku, pokušajmo pronaći ovaj broj. Oni. pišemo formulu (da-da!)) i zamjenjujemo naše brojeve:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Opet izražavamo iz formulen, računamo i dobivamo:

Ups! Broj je ispao razlomak! Sto jedan i pol. I razlomačke brojeve u progresijama ne može biti. Kakav zaključak izvlačimo? Da! Broj 117 niječlan naše progresije. Nalazi se negdje između 101. i 102. člana. Ako se broj pokazao prirodnim, tj. pozitivan cijeli broj, tada bi broj bio član progresije s pronađenim brojem. A u našem slučaju, odgovor na problem će biti: Ne.

Na temelju zadatka prava verzija GIA:

Aritmetička progresija dana je uvjetom:

a n \u003d -4 + 6,8n

Pronađite prvi i deseti član progresije.

Ovdje je progresija postavljena na neobičan način. Neka vrsta formule ... Događa se.) Međutim, ova formula (kao što sam gore napisao) - također formula n-tog člana aritmetičke progresije! Ona također dopušta pronađite bilo koji član progresije po njegovom broju.

Tražimo prvog člana. Onaj koji misli. da je prvi član minus četiri, fatalno je pogrešno!) Jer je formula u zadatku modificirana. Prvi član aritmetičke progresije u njemu skriven. Ništa, sad ćemo to pronaći.)

Kao iu prethodnim zadacima, vršimo zamjenu n=1 u ovu formulu:

a 1 \u003d -4 + 6,8 1 \u003d 2,8

Ovdje! Prvi član je 2,8, a ne -4!

Slično, tražimo deseti član:

a 10 \u003d -4 + 6,8 10 \u003d 64

To je sve.

A sada, za one koji su pročitali do ovih redaka, obećani bonus.)

Pretpostavimo da ste u teškoj borbenoj situaciji GIA ili Jedinstvenog državnog ispita zaboravili korisnu formulu n-tog člana aritmetičke progresije. Nešto mi pada na pamet, ali nekako nesigurno... Da li n tamo, ili n+1, ili n-1... Kako biti!?

Smiriti! Ovu je formulu lako izvesti. Nije baš strogo, ali sigurno i prava odluka dosta je!) Za zaključak je dovoljno sjetiti se elementarnog značenja aritmetičke progresije i imati par minuta vremena. Samo trebate nacrtati sliku. Radi jasnoće.

Nacrtamo numeričku os i na njoj označimo prvu. drugi, treći itd. članova. I primijetite razliku d između članova. Kao ovo:

Gledamo sliku i razmišljamo: čemu je jednak drugi član? Drugi jedan d:

a 2 =a 1 + 1 d

Što je treći pojam? Treći pojam je prvi pojam plus dva d.

a 3 =a 1 + 2 d

shvaćate li Ne stavljam neke riječi podebljane uzalud. U redu, još jedan korak.)

Što je četvrti pojam? Četvrta pojam je prvi pojam plus tri d.

a 4 =a 1 + 3 d

Vrijeme je da shvatimo da broj praznina, tj. d, stalno jedan manje od broja člana kojeg tražite n. Odnosno do broja n, broj praznina bit će n-1. Dakle, formula će biti (bez opcija!):

a n = a 1 + (n-1)d

Općenito, vizualne slike su od velike pomoći u rješavanju mnogih problema u matematici. Ne zanemarujte slike. Ali ako je teško nacrtati sliku, onda ... samo formula!) Osim toga, formula n-tog člana omogućuje vam da povežete cijeli moćni arsenal matematike s rješenjem - jednadžbe, nejednadžbe, sustavi itd. Ne možete staviti sliku u jednadžbu...

Zadaci za samostalno rješavanje.

Za zagrijavanje:

1. U aritmetičkoj progresiji (a n) a 2 =3; a 5 \u003d 5.1. Pronađite 3.

Savjet: prema slici, problem se rješava za 20 sekundi ... Prema formuli, ispada teže. Ali za svladavanje formule to je korisnije.) U odjeljku 555 ovaj je problem riješen i slikom i formulom. Osjeti razliku!)

I ovo više nije zagrijavanje.)

2. U aritmetičkoj progresiji (a n) a 85 \u003d 19,1; a 236 =49, 3. Nađi a 3 .

Što, nevoljkost crtanja slike?) Ipak! Bolje je u formuli, da ...

3. Aritmetička progresija dana je uvjetom:a 1 \u003d -5,5; a n+1 = a n +0,5. Pronađite stotinu dvadeset peti član ove progresije.

U ovom se zadatku napredovanje daje na ponavljajući način. Ali računajući do stotinu dvadeset i petog člana... Ne može svatko učiniti takav podvig.) Ali formula n-tog člana je u moći svakoga!

4. S obzirom na aritmetičku progresiju (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Odredite broj najmanjeg pozitivnog člana progresije.

5. Prema uvjetu zadatka 4. pronađite zbroj najmanjeg pozitivnog i najvećeg negativnog člana progresije.

6. Umnožak petog i dvanaestog člana rastuće aritmetičke progresije je -2,5, a zbroj trećeg i jedanaestog člana je nula. Pronađite 14.

Nije najlakši zadatak, da ...) Ovdje metoda "na prstima" neće raditi. Morate pisati formule i rješavati jednadžbe.

Odgovori (u neredu):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Dogodilo se? Lijepo je!)

Ne ide sve? Događa se. Usput, u posljednjem zadatku postoji jedna suptilna točka. Bit će potrebna pažnja pri čitanju problema. I logika.

O rješenju svih ovih problema detaljno se govori u odjeljku 555. I element fantazije za četvrti, i suptilni trenutak za šesti, i opći pristupi za rješavanje bilo kojeg problema za formulu n-tog člana - sve je naslikano. Preporučam.

Ako vam se sviđa ova stranica...

Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učenje - sa zanimanjem!)

možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.

Ili je aritmetika vrsta uređenog numeričkog niza čija se svojstva proučavaju školski tečaj algebra. Ovaj članak detaljno raspravlja o tome kako pronaći zbroj aritmetičke progresije.

Što je ovo napredovanje?

Prije nego što pređemo na razmatranje pitanja (kako pronaći zbroj aritmetičke progresije), vrijedi razumjeti o čemu će se raspravljati.

Svaki niz realnih brojeva koji se dobije dodavanjem (oduzimanjem) neke vrijednosti od svakog prethodnog broja naziva se algebarskom (aritmetičkom) progresijom. Ova definicija, prevedena na jezik matematike, ima oblik:

Ovdje je i redni broj elementa niza a i . Dakle, znajući samo jedan početni broj, možete lako vratiti cijelu seriju. Parametar d u formuli naziva se razlika progresije.

Lako se može pokazati da za razmatrani niz brojeva vrijedi sljedeća jednakost:

a n \u003d a 1 + d * (n - 1).

To jest, da biste pronašli vrijednost n-tog elementa po redu, dodajte razliku d prvom elementu a 1 n-1 puta.

Koliki je zbroj aritmetičke progresije: formula

Prije davanja formule za navedeni iznos, vrijedi razmotriti jednostavan poseban slučaj. S obzirom na progresiju prirodnih brojeva od 1 do 10, trebate pronaći njihov zbroj. Budući da ima malo članova u progresiji (10), moguće je problem riješiti direktno, odnosno zbrojiti sve elemente redom.

S 10 \u003d 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 \u003d 55.

Vrijedno je razmotriti jedno zanimljiva stvar: budući da se svaki član razlikuje od sljedećeg za istu vrijednost d \u003d 1, tada će parno zbrajanje prvog s desetim, drugog s devetim i tako dalje dati isti rezultat. Stvarno:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Kao što vidite, postoji samo 5 ovih zbrojeva, odnosno točno dva puta manje od broja elemenata u nizu. Zatim množenjem broja zbrojeva (5) s rezultatom svakog zbroja (11) doći ćete do rezultata dobivenog u prvom primjeru.

Ako generaliziramo ove argumente, možemo napisati sljedeći izraz:

S n \u003d n * (a 1 + a n) / 2.

Ovaj izraz pokazuje da uopće nije potrebno zbrajati sve elemente u nizu, dovoljno je znati vrijednost prvog a 1 i posljednjeg a n , a također ukupni broj pojmovi n.

Vjeruje se da je Gauss prvi put pomislio na ovu jednakost kada je tražio rješenje problema koji mu je postavio njegov učitelj: zbrojiti prvih 100 cijelih brojeva.

Zbroj elemenata od m do n: formula

Formula navedena u prethodnom odlomku odgovara na pitanje kako pronaći zbroj aritmetičke progresije (prvih elemenata), no često je u zadacima potrebno zbrojiti niz brojeva u sredini progresije. Kako to učiniti?

Na ovo pitanje najlakše ćemo odgovoriti na sljedećem primjeru: neka je potrebno pronaći zbroj članova od m-tog do n-tog. Da bismo riješili problem, zadani segment od m do n progresije treba predstaviti kao novi niz brojeva. U takvim reprezentacija m-thčlan a m će biti prvi, a a n će biti označen brojem n-(m-1). U ovom slučaju, primjenom standardne formule za zbroj, dobit će se sljedeći izraz:

S m n \u003d (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Primjer korištenja formula

Znajući kako pronaći zbroj aritmetičke progresije, vrijedi razmotriti jednostavan primjer korištenja gornjih formula.

Ispod je numerički niz, trebali biste pronaći zbroj njegovih članova, počevši od 5. do 12.:

Zadani brojevi pokazuju da je razlika d jednaka 3. Pomoću izraza za n-ti element možete pronaći vrijednosti 5. i 12. člana progresije. Ispada:

a 5 \u003d a 1 + d * 4 \u003d -4 + 3 * 4 \u003d 8;
a 12 \u003d a 1 + d * 11 \u003d -4 + 3 * 11 \u003d 29.

Znajući vrijednosti brojeva na krajevima algebarske progresije koja se razmatra, a također znajući koje brojeve u nizu zauzimaju, možete koristiti formulu za zbroj dobiven u prethodnom odlomku. Dobiti:

S 5 12 \u003d (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 \u003d 148.

Vrijedno je napomenuti da se ova vrijednost može dobiti na drugačiji način: prvo, pronađite zbroj prvih 12 elemenata pomoću standardne formule, zatim izračunajte zbroj prva 4 elementa koristeći istu formulu, a zatim oduzmite drugi od prvog zbroja .