Случайные величины. Непрерывные случайные величины Математическое ожидание и его свойства

«Основы математической статистики» - Числовое значение величины – кол-во успехов в серии испытаний. Некоторые определения. Основы теории проверки статистических гипотез. Ошибки при проверке статистических гипотез. В серии из n испытаний должно одновременно произойти k успехов и n-k - «неуспехов». Какова вероятность из выбранной наугад корзины выбрать белый шар?

«Основные статистические характеристики» - Медиана. Мода ряда. Размах ряда. Размах. Медиана ряда. Среднее арифметическое ряда чисел. Петроний. Найдите среднее арифметическое. Школьные тетради. Основные статистические характеристики. Статистика.

«Статистическое исследование» - Впервые термин «статистика» мы находим в художественной литературе. Относительная частота события. Размах – это разность наибольшего и наименьшего значений ряда данных. Статистика - это прежде всего способ мышления. Гипотеза. Основные статистические характеристики. Нужна ли тебе помощь при выполнении домашнего задания по математике.

«Теория вероятности и статистика» - Теорема Чебышева. Случайная величина. Проверка гипотезы о числовом значении вероятности. Поток событий. Многомерная случайная величина. Относительная частота. Зависимые случайные величины. Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента. Статистический смысл математического ожидания. Случайный эксперимент.

«Элементы математической статистики» - Детали изготавливаются на разных станках. Доверительный интервал для неизвестной дисперсии. Статистические оценки. Интервальные оценки. Способы отбора. Генеральная совокупность. Корреляционный момент. Проверка статистических гипотез. Расчет доверительных интервалов при неизвестной дисперсии. Сравнение двух дисперсий.

«Вероятность и математическая статистика» - Описательная статистика. Белые и красные розы. Урезанное среднее. Оцените возможность наступления событий. Диаграммы рассеивания. Изображения диаграмм. Рассмотрим события. Шифр для сейфа. Плюшка. Точность полученных значений. Комбинаторные задачи. В алфавите племени Уауа имеются только две буквы. Отметки по математике.

Всего в теме 17 презентаций

Методическая разработка представляет собой презентацию в электронном виде.

Данная методическая разработка содержит 26 слайдов с кратким содержанием теоретического материала к разделу Случайные величины. Теоретический материал включает в себя понятие случайной величины и логически верно разделен на две части: дискретная случайная величина и непрерывная случайная величина. Тема ДСВ включает понятие ДСВ и способы задания, числовые характеристики ДСВ(математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, начальные и центральные моменты, мода, медиана). Приведены основные свойства числовых характеристик ДСВ и связь между ними. В теме НСВ аналогичным образом отраженны вышеуказанные понятия, определены функции распределения СВ и плотности распределения НСВ, указана связь между ними, а также представлены основные виды распределения СВ: равномерное и нормальное распределения.

обобщающем уроке по данной теме.

Данная разработка применима:

• при изучении раздела Случайные величины с демонстрацией отдельных слайдов для эффективного усвоения нового материала путем зрительного восприятия,
• при актуализации опорных знаний учащихся
• при подготовке учащихся к итоговой аттестации по дисциплине.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Содержание Случайные величины Дискретная случайная величина (ДСВ) Закон распределения СВ Числовые характеристики ДСВ Теоретические моменты ДСВ Система двух ДСВ Числовые характеристики системы двух ДСВ Непрерывная СВ Функция распределения НСВ Функция плотности распределения НСВ Числовые характеристики НСВ Кривая распределения СВХ Мода Медиана Равномерное распределение плотности Нормальный закон распределения. Функция Лапласа

Случайные величины Случайной величиной (СВ) называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем заранее до опыта неизвестно, какое именно. Делятся на два типа: дискретные СВ (ДСВ) и непрерывные СВ (НСВ)

Дискретная случайная величина (ДСВ) ДСВ – такая величина,число возможных испытаний которой либо конечно, либо бесконечное множество, но обязательно счетное. Например, частота попаданий при 3 выстрелах – X x 1 =0, x 2 =1, x 3 =2, x 4 =3 ДСВ будет полностью описана с вероятностной точки зрения, если будет указано, какую вероятность имеет каждое из событий.

Законом распределения СВ называется соотношение, устанавливающее связь между возможным значением СВ и соответствующими вероятностями. Формы задания закона распределения: Таблица Закон распределения СВ X x 1 x 2 … x n P i p 1 p 2 … p n

2. Многоугольник распределения Закон распределения ДСВ P i X i x 1 x 2 x 3 x 4 p 1 p 2 p 3 p 4 Многоугольник распределения Сумма ординат многоугольника распределения, представляющая собой сумму вероятностей всех возможных значений СВ всегда равна 1

Числовые хар-ки ДСВ Математическое ожидание – сумма произведений значений СВ на их вероятности. Математическое ожидание является хар-кой среднего значения случайной величины

Числовые хар-ки ДСВ Свойства математического ожидания:

Числовые хар-ки ДСВ 2. Дисперсией ДСВХ называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от математического ожидания. Дисперсия характеризует меру рассеяния значений СВ от математического ожидания При решении задач дисперсию удобно вычислять по формуле: - Среднеквадратичное отклонение

Числовые хар-ки ДСВ Свойства дисперсии:

Теоретические моменты ДСВ Начальным моментом порядка k СВХ называют математическое отношение Х k Центральным моментом порядка k СВХ называют математическое ожидание величины

Система двух ДСВ Систему двух СВ (Х Y) можно изображать случайной точкой на плоскости. Событие, состоящее в попадании случайной точки (Х Y) в область D обозначают (X,Y) ∩D Закон распределения системы двух ДСВ можно задать таблицей

Система двух ДСВ Таблица, задающая закон распределения системы двух ДСВ Y X y 1 y 2 y 3 … y n x 1 p 11 p 12 p 13 … p 1n x 2 p 21 p 22 p 23 … p 2n x 3 p 31 p 32 p 33 … p 3n … … … … … … x m p m1 p m2 p m3 … p mn

Числовые хар-ки системы двух ДСВ Математическое ожидание и дисперсия системы двух ДСВ по определению При решении задач удобно применять формулу

Непрерывная СВ НСВ называется такая величина, возможные значения которой непрерывно заполняют некоторый интервал (конечный или бесконечный). Число всех возможных значений НСВ бесконечно. Пример: Случайное отклонение по дальности точки падения снаряда от цели.

Функция распределения НСВ Функцией распределения называют F(x) , определяющую для каждого значения x вероятность того, что СВХ примет значение, меньшее х, т.е. согласно определению F(x)=P(X

Функция распределения НСВ Свойства функции распределения: если, то следствие: Если все возможные значения x СВХ принадлежат интервалу (a;b) , то при a=b F(x)=0 Следствие: 1. 2. 3. Функция распределения непрерывна слева

Функция плотности распределения НСВ Функцией плотности распределения вероятностей называют первую производную от функции F(x) f(x)=F`(x). f(x) называют дифференциальной функцией. Вероятность того, что НСВХ примет значения, принадлежащие интервалу (a;b) вычисляемые по формуле Зная плотность распределения, можно найти функцию распределения Свойства: , в частности, если все возможные значения СВ принадлежат (a;b) , то 1. 2.

Числовые хар-ки НСВ Математическое ожидание НСВХ, все возможные значения которой принадлежат интервалу (a;b) , определяется равенством: Дисперсия НСВХ, все возможные значения которой принадлежат интервалу (a;b) , определяется равенством: При решении задач применима формула:

Числовые хар-ки НСВ Среднеквадратичное отклонение определяется так же, как и для ДСВ: Начальный момент k -ого порядка НСВ определяется равенством:

Числовые хар-ки НСВ Центральный момент k- ого порядка НСВХ, все возможные значения которой принадлежат интервалу (a:b) , определяется равенством:

Числовые хар-ки НСВ Если все возможные значения НСВХ принадлежат всей числовой оси ОХ, то во всех вышеуказанных формулах определенный интеграл заменяется несобственным интегралом с бесконечными нижним и верхним пределами

Кривая распределения СВХ Y X М 0 a b График функции f(x) называется кривой распределения кривая распределения Геометрически вероятность попадания СВХ в промежуток (a;b) равна площади соответствующей криволинейной трапеции, ограниченной кривой распределения осью ОХ и прямыми x=a и x=b

Мода Модой ДСВХ называется ее наиболее вероятное значение. Модой НСВХ называется такое ее значение M 0 , при котором плотность распределения максимальная. Для нахождения моды НСВ необходимо найти максимум функции с помощью первой или второй производной. M 0 =2 , т.к. 0.1 0.3 Геометрически мода является абсциссой той точки кривой или полигона распределения, ордината которой максимальна X 1 2 3 P 0.1 0.6 0.3 Y X М 0 a b

Медиана Медианой НСВХ называется такое ее значение М е, для которого одинаково вероятно, окажется ли случайная величина больше или меньше М е, т.е. P(x М е)=0.5 Ордината, проведенная к точке с абсциссой, равной М е, делит пополам площадь, ограниченную кривой или полигоном распределения. Если прямая x=a является осью симметрии кривой распределения y=f(x) , то М 0 =М е = М(Х)= a

Равномерное распределение плотности Равномерным называется распределение таких СВ, все значения которых лежат на некотором отрезке (a;b) и имеют постоянную плотность вероятности на этом отрезке Y X a b h Математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратичное отклонение равномерно распределенной СВ:

Нормальный закон распределения. Функция Лапласа Нормальный закон распределения характеризуется плотностью Кривая распределения симметрична относительно прямой x=a . Максимальная ордината при x=a равна Y X x=a Кривая Гаусса, нормальная кривая Ось абсцисс является асимптотой кривой y=f(x) Ф (x) - Функция Лапласа

Слайд 1

Описание слайда:

Слайд 2

Описание слайда:

Слайд 3

Описание слайда:

Слайд 4

Описание слайда:

Слайд 5

Описание слайда:

Предположим, что производится n независимых испытаний, в результате каждого из которых может наступить или не наступить событие A. Пусть вероятность наступления события A при каждом испытании равна p. Рассмотрим случайную величину - число наступлений события A при n независимых испытаниях. Область изменения состоит из всех целых чисел от 0 до n включительно. Закон распределения вероятностей р(m) определяется формулой Бернулли (13"): Предположим, что производится n независимых испытаний, в результате каждого из которых может наступить или не наступить событие A. Пусть вероятность наступления события A при каждом испытании равна p. Рассмотрим случайную величину - число наступлений события A при n независимых испытаниях. Область изменения состоит из всех целых чисел от 0 до n включительно. Закон распределения вероятностей р(m) определяется формулой Бернулли (13"):

Слайд 6

Описание слайда:

Слайд 7

Описание слайда:

Слайд 8

Вероятности p(xi) вычислены по формуле Бернулли при n=10. Для x>6 они практически равны нулю. График функции p(x) изображен на рис. 3. Вероятности p(xi) вычислены по формуле Бернулли при n=10. Для x>6 они практически равны нулю. График функции p(x) изображен на рис. 3.

Дискретные случайные величины Случайные величины, принимающие только отделенные друг от друга значения, которые заранее можно перечислить Примеры: - число выпадений орла при трех бросках монеты; - число попаданий в мишень при 10 выстрелах; - число вызовов, поступивших на станцию скорой помощи за сутки.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Закон распределения случайной величины может задаваться в виде: таблицы графика формулы (аналитически).

Расчет вероятности реализации определенных значений случайного числа Число выпадений орла равно 0 – события: РР – вероятность 0,5 *0,5 =0, 25 Число выпадений орла равно 1 – события: Р0 или ОР – вероятность 0,5 *0,5 + 0,5*0,5 = 0,5 Число выпадений орла равно 2 – события: 00 – вероятность 0,5 *0,5 = 0,25 Сумма вероятностей: 0,25 + 0,50 + 0,25 = 1

Вычисление значений ряда распределений случайного числа Задача. Стрелок производит 3 выстрела по мишени. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,4.За каждое попадание стрелку начисляется 5 очков. Построить ряд распределения числа выбитых очков. Вероятность событий: биномиальное распределение Обозначение события: попал – 1, не попал - 0 Полная группа событий: 000, 100, 010, 001, 110, 101, 011, 111 k = 0, 1, 2, 3

Ряд распределения случайного числа выбитых очков события число очков вероятность события0,2160,4320,2880,064

Операции сложения и умножения случайных величин Суммой двух случайных величин X и Y называется случайная величина, которая получается в результате сложения всех значений случайной величины X и всех значений случайной величины Y, соответствующие вероятности перемножаются X01 p0,20,70,1 Y123 p0,30,50,2

Операции сложения случайных величин Z = = =2 0+1 =1 0+2 =2 0+3 =3 1+1 =2 1+2 =3 1+3 =4 p 0,060,10,040,210,350,140,030,050,02 Z01234 p0,060,310,420,190,02

Операции умножения случайных величин Произведением двух случайных величин X и Y называется случайная величина, которая получается в результате перемножения всех значений случайной величины X и всех значений случайной величины Y, соответствующие вероятности перемножаются X01 p0,20,70,1 Y123 p0,30,50,2

Свойства функции распределения F(X) 0 F(x) 1 F(X)- неубывающая функция Вероятность попадания случайной величины X в интервал (a,b) равна разности значений функции распределения в правом и левом концах интервала: P(a X

Основные характеристики дискретных случайных величин Математическое ожидание (среднее значение) случайной величины равно сумме произведений значений, принимаемых этой величиной, на соответствующие им вероятности: М(x)=x 1 Р 1 + x 2 Р x n P n =

Xixi PiPi x i P i (x i – M) 2 (x i – M) 2 P i 2 0,1 0,2 (2-3,6) 2 = 2,560,256 30,30,9 (3-3,6) 2 = 0,360,108 40,52 (4-3,6) 2 = 0,160,08 50,10,50,5 (5-3,6) 2 = 1,960,196 ПРИМЕР: Рассчитать основные числовые характеристики для числа заказов препарата, поступивших за 1 час M(x)=3,6 D(x)=0,64
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА: Основная литература: Ганичева А.В., Козлов В.П. Математика для психологов. М.: Аспект-пресс, 2005, с Павлушков И.В. Основы высшей математики и математической статистики. М., ГЭОТАР-Медиа, Журбенко Л. Математика в примерах и задачах. М.: Инфра-М, Учебно–методические пособия: Шапиро Л.А., Шилина Н.Г. Руководство к практическим занятиям по медицинской и биологической статистике Красноярск: ООО «Поликом». – 2003.

Случайными величинами называются величины, которые в результате опыта принимают те или иные значения, причем неизвестно заранее, какие именно.

Обозначают: X,Y,Z

Примером случайной величины может служить:

1) Х – число очков, появляющееся при бросании игральной кости

2) У – число выстрелов до первого попадания в цель

3) Рост человека, курс доллара, выигрыш игрока и т.д.

Случайная величина, принимающая счетное множество значений называется дискретной.

Если множество значений с.в. Несчетно, то такая величина называется непрерывной.

Случайной величиной Х называется числовая функция, определенная на пространстве элементарных событийΩ, которая каждому элементарному событию W ставит в соответствие число Х(w), т.е. Х=Х(w),W

Пример : Опыт состоит в бросании монеты 2 раза. На пространстве элементарных событий Ω{W1 ,W2 ,W3 ,W4 } где W1 =ГГ, W2 =ГР, W3 =РГ, W4 =РР. Можно рассмотреть с.в. Х – число появления герба. Х является функцией от

элементарного события W2 : X(W1 )=2, X(W2 )=1, X(W3 )=1, X(W4 )=0 X – дискретная с.в. Со значениями X1 =0, X2 =1, X3 =2.

Для полного описания случайной величины недостаточно лишь знания ее возможных значений. Необходимо еще знать вероятности этих значений

ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНОЙ

СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Пусть Х – дискретная с.в., которая принимает значения х1 ,

х2 …хn ..

С некоторой вероятностью Pi =P{X=xi }, i=1,2,3…n…, определяющей вероятность того, что в результате опыта с.в. Х примет значение xi

Такую таблицу называют рядом распределения

Так как события {X=x },{X=x }… несовместны и образуют

1 p i 1 2

полную группу, то i сумма1 их вероятностей равна

Отложить возможные значения случайной величины, а на оси ординат – вероятности этих значений.

Ломаную, соединяющую точки (Х1 , Р1 ), (Х2 ,Р2 ),… называют

многоугольником распределения.

Случайная величина Х дискретна, если конечное или счетное множество Х1 , Х2 ,…,Xn ,… таких, что P{X=xi } = pi > 0

(i=1,2,…) и p1 +p2 +p3 +… =1

Пример: В урне 8 шаров из которых 5 белых, остальные – черные. Из нее вынимают наудачу 3 шара. Найти закон распределения числа белых шаров в выборке.

Решение: Возможные значения с.в. Х – число белых шаров в выборке есть x1 =0, x2 =1, x3 =2, x4 =3.

Функция распределения и ее свойства. Функция распределения дискретной случайной величины.

Универсальным способом задания закона распределения вероятностей, пригодным как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин, является ее функция распределения.

Функцию F(x) называют интегральной функцией распределения.

Геометрически равенство (1) можно истолковать так: F(x) есть вероятность того, что с.в. Х примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х, т.е. случайная точка Х попадет в интервал (∞,х)

5) F(x) непрерывна слева т.е. Lim F(x)=F(x0 )

x x0

С помощью функции распределения можно вычислить

Равенство (4) непосредственно вытекает из определения

6) Если всеx возможныеa значенияx b случайной величины Х

принадлежат интервалу (a,b), то для ее функции распределения F(x)=0 при, F(x)=1 при

Плотность распределения и ее свойства

Важнейшей характеристикой непрерывной случайной величины является плотность распределения вероятностей.

Случайная величина Х называется непрерывной, если ее

функция распределения непрерывна и дифференцируема всюду, кроме отдельных точек.

Плотностью распределения вероятностей непрерывной с.в. Х называется производная ее функции распределения. Обозначается f(x) F /

представляет собой среднюю вероятность, которая приходится на единицу длины участка , т.е. среднюю плотность распределения вероятности. Тогда

Т.е. плотность вероятности определяется как функция f(x), удовлетворяющая условиюP { x X x x } f (x ) dx

Выражение f(x)dx называется элементом вероятности.

Свойства плотности распределения:

1) f(x) неотрицательна, т.е. f (x ) 0