Підставою конуса є. Конус. Основні поняття. Площа поверхні конуса. Утворює в похилому конусі

Назад вперед

Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила ця робота, будь ласка, завантажте повну версію.

Цілі уроку:

• Освітня: запровадити поняття конуса, його елементів; розглянути побудову прямого конуса; розглянути знаходження повної поверхні конуса; формувати вміння розв'язувати задачі знаходження елементів конуса.
• Розвиваюча: розвивати грамотну математичну мову, логічне мислення
• Виховна: виховувати пізнавальну активність, культуру спілкування, культуру діалогу.

Форма уроку:урок формування нових знань та умінь.

Форма навчальної діяльності:колективна форма роботи.

Методи, що використовуються на уроці:пояснювально-ілюстративний, продуктивний.

Дидактичний матеріал:зошит, підручник, ручка, олівець, лінійка, дошка, крейда та кольорові крейди, проектор та презентація «Конус. Основні поняття. Площа поверхні конуса».

План уроку:

1. Організаційний момент (1 хв).
2. Підготовчий етап (мотивація) (5 хв).
3. Вивчення нового матеріалу (15 хв).
4. Розв'язання задач на знаходження елементів конуса (15 хв).
5. Підбиття підсумків уроку (2 хв).
6. Завдання додому (2 хв).

ХІД УРОКУ

1. Організаційний момент

Ціль: підготувати до засвоєння нового матеріалу.

2. Підготовчий етап

Форма: усна робота.

Ціль: знайомство з новим тілом обертання.

Конус у перекладі з грецької “konos” означає “соснова шишка”.

Трапляються тіла у формі конуса. Їх можна розглянути в різних предметах, починаючи зі звичайного морозива і закінчуючи технікою, так само в дитячих іграшках (пірамідка, хлопавка та ін), в природі (ялина, гори, вулкани, смерчі).

(Використовуються Слайди 1-7)

Діяльність вчителя	Діяльність учня
3. Пояснення нового матеріалу Мета: запровадити нові поняття та властивості конуса.
1. Конус може бути отриманий обертанням прямокутного трикутника навколо одного з його катетів. (Слайд 8) Тепер розглянемо, як будується конус. Спочатку зображаємо коло з центром O та пряму OP, перпендикулярну до площини цього кола. Кожну точку кола з'єднаємо відрізком із точкою P (вчитель поетапно будує конус). Поверхня, утворена цими відрізками, називається конічною поверхнею, А самі відрізки - утворюючими конічної поверхні.	У зошитах будують конус.
(диктує визначення) (Слайд 9) Тіло, обмеженою конічною поверхнею та навколо з кордоном L, називається конусом.	Записують визначення.
Конічна поверхня називається бічною поверхнею конуса, а коло – основою конуса. Пряма OP, що проходить через центр основи та вершину, називається віссю конуса. Вісь конуса перпендикулярна площині основи. Відрізок OP називається висотою конуса. Точка P називається вершиною конуса, а що утворюють конічної поверхні – утворюючими конуса.	На кресленні підписують елементи конуса.
Назвіть два утворюючі конуси і порівняйте їх?	PA та PB, вони рівні.
Чому ті, що утворюють рівні?	Проекції похилих рівні як радіуси кола, отже, і самі утворюють рівні.
Запишіть у зошиті: властивості конуса:	(Слайд 10)
1. Усі утворюють конуса рівні. Назвіть кути нахилу, що утворюють до основи? Порівняйте їх. Чому доведіть це?	Кути: PСО, PDO. Вони рівні. Оскільки трикутник PAB – рівнобедрений.
2. Кути нахилу утворюють до основи рівні. Назвіть кути між віссю та утворюючими? Що можна сказати про ці кути?	СРО та DPO Вони рівні.
3. Кути між віссю та утворюючими рівні. Назвіть кути між віссю та основою? Чому рівні ці кути?	POC та POD. 90 про
4. Кути між віссю та основою прямі. Ми розглядатимемо лише прямий конус.
2. Розглянемо перетин конуса різними площинами. Що є січна площина, що проходить через вісь конуса?	Трикутник.
Який це трикутник?	Він рівнобедрений.
Чому?	Дві його сторони утворюють, а вони рівні.
Що є основою даного трикутника?	Діаметр основи конуса.
Такий переріз називається осьовим. (Слайд 11) Накресліть у зошитах і підпишіть цей переріз. Що є січна площина, перпендикулярна осі OP конуса?	Коло.
Де знаходиться центр цього кола?	На осі конуса.
Цей переріз називається круговим перерізом. (Сдайл 12) Накресліть у зошитах і підпишіть цей перетин. Існують і інші види перерізів конуса, які не є осьовими та не паралельні основі конуса. Розглянемо їх у прикладах. (Слайд 13)	Чортять у зошитах.
3. Тепер виведемо формулу повної поверхні конуса. (Слайд 14) Для цього бічну поверхню конуса, як і бічну поверхню циліндра, можна розгорнути на площину, розрізавши її однією з утворюючих.
Що є розгорткою бічної поверхні конуса? (чортить на дошці)	Круговий сектор.
Що є радіусом цього сектора?	Утворюючи конуса.
А чи довжина дуги сектора?	Довжина кола.
За площу бічної поверхні конуса приймається площа її розгортки. (Слайд 15)	, де - градусний захід дуги.
Чому дорівнює площа кругового сектора?
Отже, чому дорівнює площа бічної поверхні конуса? Виразимо через і. (Слайд 16) Чому дорівнює довжина дуги?
З іншого боку ця ж дуга є довжиною кола основи конуса. Чому вона дорівнює?
Підставляючи формулу бічної поверхні конуса отримаємо, . Площею повної поверхні конуса називається сума площ бічної поверхні та основи. . Запишіть ці формули.	Записують: , .h	(Слайд 21) L = 5

6. Домашнє завдання.П.55, 56 № 548(б), 549(б). (Слайд 22)

Конічною поверхнеюназивається поверхня, утворена усіма прямими, що проходять через кожну точку даної кривої і точку поза кривою (рис.32).

Ця крива називається спрямовуючою , Прямі - утворюючими , крапка - вершиною конічної поверхні.

Прямою круговою конічною поверхнеюназивається поверхня, утворена всіма прямими, що проходять через кожну точку даного кола і точку на прямій, яка перпендикулярна площині кола і проходить через її центр. Надалі цю поверхню коротко називатимемо конічною поверхнею (Рис.33).

Конусом (прямим круговим конусом ) називається геометричне тіло, обмежене конічною поверхнею і площиною, яка паралельна площині напрямного кола (рис.34).

Мал. 32 Мал. 33 Мал. 34

Конус можна розглядати як тіло, отримане при обертанні прямокутного трикутника навколо осі, що містить один із катетів трикутника.

Коло, що обмежує конус, називається його основою . Вершина конічної поверхні називається вершиною конус. Відрізок, що з'єднує вершину конуса із центром його основи, називається заввишки конус. Відрізки, що утворюють конічну поверхню, називаються утворюючими конус. Ос'ю конуса називається пряма, що проходить через вершину конуса та центр його основи. Осьовим перетином називається переріз, що проходить через вісь конуса. Розгорткою бічної поверхні конуса називається сектор, радіус якого дорівнює довжині утворює конуса, а довжина дуги сектора дорівнює довжині кола основи конуса.

Для конуса вірні формули:

де R– радіус основи;

H- Висота;

l- Довжина утворює;

S осн– площа основи;

S бік

S повний

V- Об'єм конуса.

Усіченим конусомназивається частина конуса, укладена між основою та січною площиною, паралельною основі конуса (рис.35).

Усічений конус можна розглядати як тіло, отримане при обертанні прямокутної трапеції навколо осі, що містить бічну сторону трапеції, перпендикулярну основ.

Два кола, що обмежують конус, називаються його підставами . Висотою усіченого конуса називається відстань між його основами. Відрізки, що утворюють конічну поверхню усіченого конуса, називаються утворюючими . Пряма, що проходить через центри основ, називається віссю зрізаного конуса. Осьовим перетином називається переріз, що проходить через вісь усіченого конуса.

Для усіченого конуса вірні формули:

(8)

де R– радіус нижньої основи;

r– радіус верхньої основи;

H- Висота, l - Довжина утворює;

S бік- Площа бічної поверхні;

S повний- Площа повної поверхні;

V- Об'єм зрізаного конуса.

приклад 1.Перетин конуса паралельне основі ділить висоту щодо 1:3, рахуючи від вершини. Знайти площу бічної поверхні зрізаного конуса, якщо радіус основи і висота конуса дорівнюють 9 см і 12 см.

Рішення.Зробимо рисунок (рис. 36).

Для обчислення площі бічної поверхні зрізаного конуса використовуємо формулу (8). Знайдемо радіуси основ Про 1 Аі Про 1 Ві утворює АВ.

Розглянемо такі трикутники SO 2 Bі SO 1 A, коефіцієнт подібності , тоді

Звідси

Бо те

Площа бічної поверхні усіченого конуса дорівнює:

Відповідь: .

Приклад2.Чверть кола радіусу згорнута у конічну поверхню. Знайти радіус основи та висоту конуса.

Рішення.Чверть кола є розгорткою бічної поверхні конуса. Позначимо r- Радіус його заснування, H –висота. Площа бічної поверхні обчислимо за такою формулою: . Вона дорівнює площі чверті кола: . Отримаємо рівняння з двома невідомими rі l(Утворююча конуса). В даному випадку утворююча дорівнює радіусу чверті кола R, Отже, отримаємо наступне рівняння: , Звідки Знаючи радіус основи і утворює, знайдемо висоту конуса:

Відповідь: 2 см, .

приклад 3.Прямокутна трапеція з гострим кутом 45 О, меншою основою 3см і похилою бічною стороною рівною, обертається навколо бічної сторони перпендикулярної основ. Знайти об'єм отриманого тіла обертання.

Рішення.Зробимо рисунок (рис. 37).

В результаті обертання отримаємо зрізаний конус, щоб знайти його об'єм обчислимо радіус більшої основи та висоту. У трапеції O 1 O 2 ABпроведемо AC^O 1 B. Маємо: отже, цей трикутник рівнобедрений AC=BC=3 див.

Відповідь:

приклад 4.Трикутник зі сторонами 13 см, 37 см і 40 см обертається навколо зовнішньої осі, яка паралельна більшій стороні і знаходиться від неї на відстані 3 см (Вісь розташована в площині трикутника). Знайти площу поверхні отриманого тіла обертання.

Рішення . Зробимо рисунок (рис. 38).

Поверхня отриманого тіла обертання складається з бічних поверхонь двох усічених конусів та бічної поверхні циліндра. Для того щоб обчислити ці площі необхідно знати радіуси основ конусів та циліндра ( BEі OC), що утворюють конусів ( BCі AC) та висоту циліндра ( AB). Невідомою є тільки CO. це відстань від боку трикутника до осі обертання. Знайдемо DC. Площа трикутника ABC з одного боку дорівнює добутку половини сторони AB на висоту, проведену до неї DC, з іншого боку, знаючи всі сторони трикутника, його площу обчислимо за формулою Герона.

Візьмемо довільний конус і проведемо площу, що сить, перпендикулярну до його осі (рис. 72). Ця площина перетинається з конусом по колу та розбиває конус на дві частини. Одна з частин є конусом, а інша називається усіченим конусом. Основа вихідного конуса та коло, отримане в перерізі цього конуса площиною, називаються підставами зрізаного конуса, а відрізок, що з'єднує їх центри - висотою усіченого конуса.

Частина конічної поверхні, що обмежує зрізаний конус, називається його бічною поверхнею, А відрізки утворюють конічної поверхні, укладені між основами, називаються утворюють усічений конус. Усі утворюють зрізаного конуса рівні один одному.

Усічений конус може бути отриманий обертанням прямокутної трапеції навколо її бічної сторони, перпендикулярної до основ. На малюнку зображено усічений конус, одержаний обертанням прямокутної трапеції АВСO навколо сторони СO, перпендикулярної до основ АO та ВС (рис. 73). При цьому бічна поверхня утворюється обертанням бічної сторони АВ, а основи зрізаного конуса - обертанням підстав СВ і ОА трапеції.

Мал. 73 Мал.74

Знайдемо формулу площі бічної поверхні зрізаного конуса, знаючи радіуси r, r 1 основ і утворює зрізаного конуса l (рис. 74).

Площа бічної поверхні зрізаного конуса, це різниця площ великого конуса і маленького, утвореного перетином.

Площа повної поверхні усіченого конуса дорівнює сумі площі бічної поверхні, площі нижньої основи та площі верхньої основи

) - тіло в евклідовому просторі, отримане об'єднанням всіх променів, що виходять з однієї точки ( вершиниконуса) та проходять через плоску поверхню. Іноді конусом називають частину такого тіла, що має обмежений об'єм та отриману об'єднанням усіх відрізків, що з'єднують вершину та точки плоскої поверхні (останню в такому випадку називають основоюконуса, а конус називають що спираєтьсяна цю підставу). Якщо основа конуса є багатокутником, такий конус є пірамідою.

Енциклопедичний YouTube

1 / 4

✪ Як зробити конус із паперу.

• Субтитри

Пов'язані визначення

• Відрізок, що з'єднує вершину та межу основи, називається утворює конуса.
• Об'єднання утворюють конуса називається утворює(або бічний) поверхнею конуса. Утворююча поверхня конуса є конічною поверхнею.
• Відрізок, опущений перпендикулярно з вершини на площину основи (а також довжина такого відрізка), називається висотою конуса.
• Кут розчину конуса- Кут між двома протилежними утворюючими (кут при вершині конуса, всередині конуса).
• Якщо основа конуса має центр симетрії (наприклад, є колом або еліпсом) і ортогональна проекція вершини конуса на площину основи збігається з цим центром, то конус називається прямим. При цьому пряма, що з'єднує вершину та центр основи, називається віссю конуса.
• Косий (похилий) конус - конус, у якого ортогональна проекція вершини на основу не збігається з його центром симетрії.
• Круговий конус- Конус, основа якого є колом.
• Прямий круговий конус(часто його називають просто конусом) можна отримати обертанням прямокутного трикутника навколо прямої, що містить катет (ця пряма є вісь конуса).
• Конус, що спирається на еліпс, параболу або гіперболу, називають відповідно еліптичним, параболічнимі гіперболічним конусом(Останні два мають нескінченний обсяг).
• Частина конуса, що лежить між основою і площиною, паралельною основі і між вершиною і основою, називається усіченим конусом, або конічним шаром.

Властивості

• Якщо площа основи кінцева, то об'єм конуса також кінцевий і дорівнює третині висоти на площу основи.

де S- площа основи, H- Висота. Таким чином, всі конуси, що спираються на дану основу (кінцевої площі) і мають вершину, що знаходиться на даній площині, паралельній основі, мають рівний обсяг, оскільки їх висоти рівні.

• Центр тяжкості будь-якого конуса з кінцевим об'ємом лежить на чверті висоти від основи.
• Тілесний кут при вершині прямого кругового конуса дорівнює

• Площа бічної поверхні такого конуса дорівнює

а повна площа поверхні (тобто сума площ бічної поверхні та основи)

• Об'єм кругового (не обов'язково прямого) конуса дорівнює

• Для усіченого конуса (не обов'язково прямого та кругового) обсяг дорівнює:

де S 1 і S 2 - площі відповідно верхньої (ближньої до вершини) і нижньої основ, hі H- відстані від площини відповідно верхньої та нижньої основи до вершини.

• Перетин площини з прямим круговим конусом є одним із конічних січень (у невироджених випадках - еліпсом, параболою або гіперболою, залежно від положення сіючої площини).

Рівняння конуса

Рівняння, що задають бічну поверхню прямого кругового конуса з кутом розчину 2Θ вершиною на початку координат і віссю, що збігається з віссю Oz :

• У сферичній  системі координат з координатами ( r, φ, θ) :

• У циліндричній системі координат з координатами ( r, φ, z) :

• У декартовій, системі, координат з координатами (x, y, z) :

де константи a, звизначаються пропорцією c / a = cos ⁡ Θ / sin ⁡ Θ . (\displaystyle c/a=\cos \Theta /\sin \Theta .)Звідси видно, що бічна поверхня прямого кругового конуса є поверхнею другого порядку (вона носить назву конічна поверхня). У загальному вигляді конічна поверхня другого порядку спирається на еліпс; у відповідній декартовій координатній системі (осі Охі Оупаралельні осям еліпса, вершина конуса збігається з початком координат, центр еліпса лежить на осі Oz) її рівняння має вигляд

причому a/cі b/cрівні півосям еліпса. У найбільш загальному випадку, коли конус спирається на довільну плоску поверхню, можна показати, що рівняння бічної поверхні конуса (з вершиною початку координат) задається рівнянням f (x, y, z) = 0, (\displaystyle f(x, y, z) = 0,)де функція f (x, y, z) (\displaystyle f(x, y, z))є однорідною, тобто задовольняє умові f (α x , α y , α z) = α n f (x , y , z) ,z))для будь-якого дійсного числа?

Розгортка

Прямий круговий конус як тіло обертання утворений прямокутним трикутником, що обертається навколо одного з катетів, де h- Висота конуса від центру основи до вершини - є катетом прямокутного трикутника, навколо якого відбувається обертання. Другий катет прямокутного трикутника r- Радіус в основі конуса. Гіпотенузою прямокутного трикутника є l- Утворює конуса.

У створенні розгортки конуса можуть використовуватися лише дві величини rі l. Радіус основи rвизначає в розгортці коло підстави конуса, а сектор бічної поверхні конуса визначає утворює бічній поверхні lє радіусом сектора бічної поверхні. Кут сектора φ (\displaystyle \varphi)у розгортці бічної поверхні конуса визначається за формулою:

Мал. 1. Предмети з життя, що мають форму зрізаного конуса

Як ви вважаєте, звідки в геометрії беруться нові фігури? Все дуже просто: людина в житті стикається зі схожими об'єктами і вигадує, як би їх назвати. Розглянемо тумбу, на якій сидять леви в цирку, шматок моркви, який виходить, коли ми нарізали тільки частину її, вулкан, що діє, і, наприклад, світло від ліхтарика (див. рис. 1).

Мал. 2. Геометричні фігури

Ми бачимо, що всі ці фігури схожої форми – і знизу, і зверху вони обмежені колами, але вони звужуються догори (див. рис. 2).

Мал. 3. Відсікання верхньої частини конуса

Це схоже на конус. Тільки не вистачає верхівки. Подумки уявімо, що ми беремо конус і відсікаємо від нього верхню частину одним помахом гострого меча (див. рис. 3).

Мал. 4. Усічений конус

Виходить саме наша фігура, називається вона усічений конус (див. рис. 4).

Мал. 5. Перетин, паралельний підставі конуса

Нехай дано конус. Проведемо площину, паралельну площині основи цього конуса і конус, що перетинає (див. рис. 5).

Вона розіб'є конус на два тіла: одне з них – конус меншого розміру, а друге і називається усіченим конусом (див. рис. 6).

Мал. 6. Отримані тіла при паралельному перерізі

Таким чином, усічений конус - це частина конуса, укладена між його основою та паралельною основою площиною. Як і у випадку з конусом, усічений конус може мати в основі коло - у цьому випадку його називають круговим. Якщо вихідний конус був прямим, те й усічений конус називають прямим. Як і у випадку з конусами, ми розглядатимемо виключно прямі кругові усічені конуси, якщо спеціально не зазначено, що йдеться про непрямий усічений конус або в його підставах не кола.

Мал. 7. Обертання прямокутної трапеції

Наша глобальна тема – тіла обертання. Усічений конус - не виняток! Згадаймо, що з отримання конуса ми розглядали прямокутний трикутник і обертали навколо катета? Якщо отриманий конус перетнути площиною, паралельною до основи, то від трикутника залишиться прямокутна трапеція. Її обертання навколо меншого боку і дасть нам усічений конус. Зауважимо знову, що мова, зрозуміло, йдеться лише про прямий круговий конус (див. рис. 7).

Мал. 8. Підстави усіченого конуса

Зробимо кілька зауважень. Основу повного конуса і коло, що утворюється в перерізі конуса площиною, називають основами усіченого конуса (нижнім і верхнім) (див. рис. 8).

Мал. 9. Утворені зрізаного конуса

Відрізки утворюють повного конуса, укладені між основами зрізаного конуса, називають утворюючими зрізаного конуса. Так як всі утворюють вихідного конуса рівні і всі утворюють відсічений конус рівні, то і утворюють усіченого конуса рівні (не плутати відсічений і усічений!). Звідси й випливає рівнобедреність трапеції осьового перерізу (див. рис. 9).

Відрізок осі обертання, укладений усередині зрізаного конуса, називають віссю зрізаного конуса. Цей відрізок, зрозуміло, поєднує центри його основ (див. рис. 10).

Мал. 10. Вісь усіченого конуса

Висота зрізаного конуса - це перпендикуляр, проведений з точки однієї з основ до іншої основи. Найчастіше, як висота зрізаного конуса розглядають його вісь.

Мал. 11. Осьовий переріз усіченого конуса

Осьовий переріз зрізаного конуса - це перетин, що проходить через його вісь. Воно має вигляд трапеції, трохи згодом ми доведемо її рівнобедреність (див. рис. 11).

Мал. 12. Конус із введеними позначеннями

Знайдемо площу бічної поверхні усіченого конуса. Нехай основи зрізаного конуса мають радіуси і , а твірна дорівнює (див. рис. 12).

Мал. 13. Позначення утворює відсіченого конуса

Знайдемо площу бічної поверхні усіченого конуса як різницю площ бічних поверхонь вихідного конуса та відсіченого. Для цього позначимо через утворюючу відсіченого конуса (див. рис. 13).

Тоді шукана.

Мал. 14. Подібні трикутники

Залишилося висловити.

Зауважимо, що з подоби трикутників, звідки (див. рис. 14).

Можна було б висловити, розділивши на різницю радіусів, але нам це не потрібно, адже в шуканому виразі якраз фігурує твір. Підставивши замість нього, маємо: .

Нескладно тепер отримати формулу для площі повної поверхні. Для цього достатньо додати площі двох кіл підстав: .

Мал. 15. Ілюстрація до завдання

Нехай усічений конус отриманий обертанням прямокутної трапеції навколо її висоти. Середня лінія трапеції дорівнює, а велика бічна сторони - (див. рис. 15). Знайти площу бічної поверхні отриманого зрізаного конуса.

Рішення

За формулою ми знаємо, що .

Утворюючий конус буде велика сторона вихідної трапеції, тобто Радіуси конуса - це підстави трапеції. Знайти їх ми можемо. Але нам і не треба: потрібна лише їхня сума, а сума підстав трапеції вдвічі більша за її середню лінію, тобто вона дорівнює . Тоді.

Зверніть увагу, що коли ми говорили про конус, ми проводили паралелі між ним і пірамідою - формули були аналогічними. Так само і тут, адже усічений конус дуже схожий на усічену піраміду, так що формули для площ бічної та повної поверхонь усіченого конуса та піраміди (а скоро будуть і формули для об'єму) аналогічні.

Мал. 1. Ілюстрація до завдання

Радіуси підстав усіченого конуса рівні і, а твірна дорівнює. Знайти висоту зрізаного конуса і площу його осьового перерізу (див. рис. 1).