У кінцевій арифметичній прогресії. Арифметична прогресія на прикладах

Наприклад, послідовність (2); \ (5 \); \ (8 \); \ (11 \); \(14\)... є арифметичною прогресією, тому що кожен наступний елемент відрізняється від попереднього на три (може бути отриманий з попереднього додаванням трійки):

У цій прогресії різниця (d) позитивна (рівна (3)), і тому кожен наступний член більший за попередній. Такі прогресії називаються зростаючими.

Однак (d) може бути і негативним числом. Наприклад, в арифметичній прогресії \(16\); \ (10 ​​\); \ (4 \); \(-2\); \ (-8 \) ... Різниця прогресії \ (d \) дорівнює мінус шести.

І в цьому випадку кожен наступний елемент буде меншим, ніж попередній. Ці прогресії називаються спадаючими.

Позначення арифметичної прогресії

Прогресію позначають маленькою латинською літерою.

Числа, що утворюють прогресію, називають її членами(або елементами).

Їх позначають тією ж літерою як і арифметичну прогресію, але з числовим індексом, рівним номеру елемента по порядку.

Наприклад, арифметична прогресія (a_n = \ left \ (2; 5; 8; 11; 14 ... \ right \) \) складається з елементів \ (a_1 = 2 \); \ (a_2 = 5 \); \ (a_3 = 8 \) і так далі.

Іншими словами, для прогресії (a_n = \ left \ (2; 5; 8; 11; 14 ... \ right \) \)

Розв'язання задач на арифметичну прогресію

У принципі, викладеної вище інформації вже достатньо, щоб вирішувати практично будь-яке завдання на арифметичну прогресію (у тому числі з тих, що пропонують на ОДЕ).

Приклад (ОДЕ). Арифметична прогресіязадана умовами (b_1 = 7; d = 4). Знайдіть (b_5).
Рішення:

Відповідь: \ (b_5 = 23 \)

Приклад (ОДЕ). Дано перші три члени арифметичної прогресії: \(62; 49; 36…\) Знайдіть значення першого негативного члена цієї прогресії.
Рішення:

Відповідь: \(-3\)

Приклад (ОДЕ). Дано кілька елементів арифметичної прогресії, що йдуть поспіль: \(…5; x; 10; 12,5...\) Знайдіть значення елемента, позначеного буквою \(x\).
Рішення:

Відповідь: \(7,5\).

Приклад (ОДЕ). Арифметична прогресія задана наступними умовами: \ (a_1 = -11 \); \(a_(n+1)=a_n+5\) Знайдіть суму перших шести членів цієї прогресії.
Рішення:

Відповідь: \ (S_6 = 9 \).

Приклад (ОДЕ). В арифметичній прогресії \(a_(12)=23\); \ (a_ (16) = 51 \). Знайдіть різницю цієї прогресії.
Рішення:

Відповідь: \ (d = 7 \).

Важливі формули арифметичної прогресії

Як бачите, багато завдань з арифметичної прогресії можна вирішувати, просто зрозумівши головне – те, що арифметична прогресія є ланцюжок чисел, і кожен наступний елемент у цьому ланцюжку виходить додаванням до попереднього одного і того ж числа (різниці прогресії).

Однак часом трапляються ситуації, коли вирішувати «в лоб» дуже незручно. Наприклад, уявіть, що в першому прикладі нам потрібно знайти не п'ятий елемент \(b_5\), а триста вісімдесят шостий \(b_(386)\). Це що ж, нам (385) разів додавати четвірку? Або уявіть, що у передостанньому прикладі треба знайти суму перших сімдесяти трьох елементів. Вважати замучаєшся ...

Тому в таких випадках «у лоб» не вирішують, а використовують спеціальні формули, виведені для арифметичної прогресії. І головні їх це формула енного члена прогресії і формула суми (n) перших членів.

Формула \(n\)-го члена: \(a_n=a_1+(n-1)d\), де \(a_1\) - перший член прогресії;
\ (n \) - Номер шуканого елемента;
\(a_n\) - член прогресії з номером \(n\).

Ця формула дозволяє нам швидко знайти хоч триста, хоч мільйонний елемент, знаючи лише перший і різницю прогресії.

приклад. Арифметична прогресія задана умовами: (b_1=-159); (d = 8,2). Знайдіть \(b_(246)\).
Рішення:

Відповідь: \ (b_ (246) = 1850).

Формула суми n перших членів: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), де

\(a_n\) – останній підсумований член;

Приклад (ОДЕ). Арифметична прогресія задана умовами (a_n = 3,4n-0,6 \). Знайдіть суму перших (25) членів цієї прогресії.
Рішення:

Відповідь: \ (S_ (25) = 1090 \).

Для суми перших членів можна отримати ще одну формулу: потрібно просто в (S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25\ ) замість \(a_n\) підставити формулу для нього \(a_n=a_1+(n-1)d\). Отримаємо:

Формула суми n перших членів: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), де

\ (S_n \) - Шукана сума \ (n \) перших елементів;
\(a_1\) – перший сумований член;
(d) - різниця прогресії;
\(n\) – кількість елементів у сумі.

приклад. Знайдіть суму перших (33)-їх членів арифметичної прогресії: (17); \ (15,5 \); \ (14 \) ...
Рішення:

Відповідь: \ (S_ (33) = -231 \).

Більш складні завдання на арифметичну прогресію

Тепер у вас є вся необхідна інформаціядля вирішення практично будь-якого завдання на арифметичну прогресію. Завершимо тему розглядом завдань, у яких треба не просто застосовувати формули, але й трохи думати (в математиці це корисно ☺)

Приклад (ОДЕ). Знайдіть суму всіх негативних членів прогресії: (-19,3); \ (-19 \); \ (-18,7 \) ...
Рішення:

Відповідь: \ (S_ (65) = -630,5 \).

Приклад (ОДЕ). Арифметична прогресія задана умовами: (a_1=-33); \(a_(n+1)=a_n+4\). Знайдіть суму від \(26\)-го до \(42\) елемента включно.
Рішення:

Відповідь: (S = 1683).

Для арифметичної прогресії існує ще кілька формул, які ми не розглядали в цій статті через їхню малу практичну корисність. Однак ви легко можете знайти їх .

Важливі зауваження!
1. Якщо замість формул ти бачиш абракадабру, почисти кеш. Як це зробити у твоєму браузері написано тут:
2. Перш ніж почнеш читати статтю, зверни увагу на наш навігатор по самих корисним ресурсудля

Числова послідовність

Отже, сядемо і почнемо писати якісь числа. Наприклад:
Писати можна будь-які числа, і може бути скільки завгодно (у разі їх). Скільки б чисел ми не написали, ми завжди можемо сказати, яке з них перше, яке друге і так далі до останнього, тобто можемо їх пронумерувати. Це і є приклад числової послідовності:

Числова послідовність
Наприклад, для нашої послідовності:

Присвоєний номер характерний лише однієї числа послідовності. Іншими словами, у послідовності немає трьох других чисел. Друге число (як і число) завжди одне.
Число з номером називається членом послідовності.

Всю послідовність ми зазвичай називаємо якоюсь літерою (наприклад,), і кожен член цієї послідовності - тією ж літерою з індексом, що дорівнює номеру цього члена: .

У нашому випадку:

Припустимо, у нас є числова послідовність, у якій різниця між сусідніми числами однакова і дорівнює.
Наприклад:

і т.д.
Така числова послідовність називається арифметичною прогресією.
Термін «прогресія» було запроваджено римським автором Боецієм ще шостому столітті і розумівся у ширшому значенні, як нескінченна числова послідовність. Назва «арифметична» було перенесено з теорії безперервних пропорцій, якими займалися давні греки.

Це числова послідовність, кожен член якої дорівнює попередньому, складеному з тим самим числом. Це число називається різницею арифметичної прогресії та позначається.

Спробуй визначити, які числові послідовності є арифметичною прогресією, а які:

a)
b)
c)
d)

Розібрався? Порівняємо наші відповіді:
Єарифметичною прогресією – b, c.
Не єарифметичною прогресією – a, d.

Повернемося до заданої прогресії () і спробуємо знайти значення її члена. Існує дваспособу його знаходження.

1. Спосіб

Ми можемо додавати до попереднього значення числа прогресії, поки не дійдемо до члена прогресії. Добре, що підсумувати нам залишилося небагато – лише три значення:

Отже, -ой член описаної арифметичної прогресії дорівнює.

2. Спосіб

А якщо нам потрібно було б знайти значення -го члена прогресії? Підсумовування зайняло б у нас не одну годину, і не факт, що ми не помилилися б при складанні чисел.
Зрозуміло, математики вигадали спосіб, у якому не потрібно додавати різницю арифметичної прогресії до попереднього значення. Придивись уважно до намальованого малюнка… Напевно, ти вже помітив якусь закономірність, а саме:

Наприклад, подивимося, з чого складається значення члена даної арифметичної прогресії:


Іншими словами:

Спробуй самостійно знайти у такий спосіб значення члена даної арифметичної прогресії.

Розрахував? Порівняй свої записи з відповіддю:

Зверніть увагу, що в тебе вийшло таке ж число, як і в попередньому способі, коли ми послідовно додавали до попереднього значення членів арифметичної прогресії.
Спробуємо «знеособити» цю формулу- Наведемо її в загальний вигляд і отримаємо:

Арифметичні прогресії бувають зростаючі, а бувають спадні.

Зростаючі- прогресії, у яких кожне наступне значення членів більше попереднього.
Наприклад:

Знижені- прогресії, у яких кожне наступне значення членів менше попереднього.
Наприклад:

Виведена формула застосовується для членів як у зростаючих, і у спадних членах арифметичної прогресії.
Перевіримо це практично.
Нам дана арифметична прогресія, що складається з наступних чисел: Перевіримо, яке вийде число даної арифметичної прогресії, якщо при його розрахунку використовувати нашу формулу:

Тому що:

Таким чином, ми переконалися, що формула діє як у спадній, так і в зростаючій арифметичній прогресії.
Спробуй самостійно знайти члени цієї арифметичної прогресії.

Порівняємо отримані результати:

Властивість арифметичної прогресії

Ускладнимо завдання - виведемо властивість арифметичної прогресії.
Припустимо, нам дано таку умову:
- арифметична прогресія, знайти значення.
Легко, скажеш ти і почнеш вважати за вже відомою тобі формулою:

Нехай, а тоді:

Абсолютно вірно. Виходить ми спочатку знаходимо, потім додаємо його до першого числа і отримуємо шукане. Якщо прогресія представлена ​​невеликими значеннями, то нічого складного в цьому немає, а якщо нам за умови дані числа? Погодься, є ймовірність помилитися у обчисленнях.
А тепер подумай, чи можна вирішити це завдання в одну дію з використанням будь-якої формули? Звичайно, так, і саме її ми спробуємо зараз вивести.

Позначимо шуканий член арифметичної прогресії як формула його знаходження нам відома - це та сама формула, виведена нами на початку:
тоді:

• попередній член прогресії це:
• наступний член прогресії це:

Підсумуємо попередній та наступний члени прогресії:

Виходить, що сума попереднього та наступного членів прогресії – це подвоєне значення члена прогресії, що перебуває між ними. Іншими словами, щоб знайти значення члена прогресії при відомих попередніх та послідовних значеннях, необхідно скласти їх та розділити на.

Все вірно, ми отримали це число. Закріпимо матеріал. Вважай значення для прогресії самостійно, адже це зовсім нескладно.

Молодець! Ти знаєш про прогрес майже всі! Залишилося дізнатися тільки одну формулу, яку за легендами легко вивів для себе один з найбільших математиків усіх часів, «король математиків» - Карл Гаус...

Коли Карлу Гауссу було 9 років, вчитель, зайнятий перевіркою робіт учнів інших класів, поставив на уроці наступне завдання: «Порахувати суму всіх натуральних чиселвід до (за іншими джерелами до) включно». Яке ж було здивування вчителя, коли один із його учнів (це і був Карл Гаусс) через хвилину дав правильну відповідь на поставлене завдання, при цьому більшість однокласників сміливця після довгих підрахунків отримали неправильний результат.

Юний Карл Гаусс помітив деяку закономірність, яку легко помітиш і ти.
Припустимо, у нас є арифметична прогресія, що складається з членів: Нам необхідно знайти суму даних членів арифметичної прогресії. Звичайно, ми можемо вручну підсумувати всі значення, але що робити, якщо в завданні потрібно буде знайти суму її членів, як це шукав Гаус?

Зобразимо задану нам прогресію. Придивись уважно до виділених чисел та спробуй зробити з ними різні математичні дії.


Спробував? Що ти помітив? Правильно! Їхні суми рівні

А тепер дай відповідь, скільки всього набереться таких пар у заданій нам прогресії? Звичайно, рівно половина всіх чисел, тобто.
Виходячи з того, що сума двох членів арифметичної прогресії дорівнює, а подібних рівних пар ми отримуємо, що загальна сума дорівнює:
.
Таким чином, формула для суми перших членів будь-якої арифметичної прогресії буде такою:

У деяких завданнях нам невідомий член, але відома різниця прогресії. Спробуй підставити формулу суми, формулу -го члена.
Що в тебе вийшло?

Молодець! Тепер повернемося до завдання, яке задали Карлу Гаусс: порахуй самостійно, чому дорівнює сума чисел, починаючи від -го, і сума чисел починаючи від -го.

Скільки у тебе вийшло?
Гаус вийшов, що сума членів дорівнює, а сума членів. Чи ти так вирішував?

Насправді формула суми членів арифметичної прогресії була доведена давньогрецьким вченим Діофантом ще в 3 столітті, та й протягом усього цього часу дотепні люди користувалися властивостями арифметичної прогресії.
Наприклад, уяви Стародавній Єгипеті наймасштабніше будівництво на той час - будівництво піраміди… На малюнку представлена ​​одна її сторона.

Де тут прогресія скажеш ти? Подивися уважно та знайди закономірність у кількості піщаних блоків у кожному ряді стіни піраміди.


Чим не арифметична прогресія? Порахуй, скільки всього блоків необхідно для будівництва однієї стіни, якщо в основу кладеться цегла. Сподіваюся, ти не вважатимеш, водячи пальцем по монітору, ти ж пам'ятаєш останню формулу і все, що ми говорили про арифметичну прогресію?

У разі прогресія виглядає так: .
Різниця арифметичної прогресії.
Кількість членів арифметичної прогресії.
Підставимо останні формули наші дані (порахуємо кількість блоків 2 способами).

Спосіб 1.

Спосіб 2.

А тепер можна і на моніторі порахувати: порівняй отримані значення з тією кількістю блоків, яка є в нашій піраміді. Зійшлося? Молодець, ти освоїв суму членів арифметичної прогресії.
Звичайно, з блоків у підставі піраміду не побудуєш, а от із? Спробуй розрахувати, скільки необхідно піщаної цегли, щоб побудувати стіну з такою умовою.
Впорався?
Вірна відповідь - блоків:

Тренування

Завдання:

1. Маша приходить у форму до літа. Щодня вона збільшує кількість присідань. Скільки разів присідатиме Маша через тижні, якщо на першому тренуванні вона зробила присідань.
2. Якою є сума всіх непарних чисел, що містяться в.
3. Лісоруби при зберіганні колод укладають їх таким чином, що кожен верхній шар містить одну колоду менше, ніж попередній. Скільки колод знаходиться в одній кладці, якщо основою кладки є колод.

Відповіді:

1. Визначимо параметри арифметичної прогресії. В даному випадку
   (Тижня = днів).

   Відповідь:Через два тижні Маша повинна присідати щодня.

2. Перше непарне число, останнє число.
   Різниця арифметичної прогресії.
   Кількість непарних чисел в - половина, проте, перевіримо цей факт, використовуючи формулу знаходження члена арифметичної прогресії:

   У числах справді міститься непарних чисел.
   Наявні дані підставимо у формулу:

   Відповідь:Сума всіх непарних чисел, що містяться, дорівнює.

3. Згадаймо завдання для піраміди. Для нашого випадку a , так як кожен верхній шар зменшується на одну колоду, то всього в купі шарів, тобто.
   Підставимо дані у формулу:

   Відповідь:У кладці знаходиться колод.

Підведемо підсумки

1. - Чисельна послідовність, в якій різниця між сусідніми числами однакова і дорівнює. Вона буває зростаючою та спадною.
2. Формула знаходження-го члена арифметичної прогресії записується формулою - , де - Число чисел в прогресії.
3. Властивість членів арифметичної прогресії- де - кількість чисел у прогресії.
4. Суму членів арифметичної прогресіїможна знайти двома способами:
   
   де - кількість значень.

АРИФМЕТИЧНА ПРОГРЕСІЯ. СЕРЕДНІЙ РІВЕНЬ

Числова послідовність

Давай сядемо і почнемо писати якісь числа. Наприклад:

Писати можна будь-які числа, і їх може бути скільки завгодно. Але завжди можна сказати, яке з них перше, яке друге і так далі, тобто, можемо їх пронумерувати. Це і є приклад числової послідовності.

Числова послідовність- це безліч чисел, кожному з яких можна надати унікальний номер.

Іншими словами, кожному числу можна поставити у відповідність якесь натуральне число, причому єдине. І цей номер ми не надамо більше жодному іншому числу з даної множини.

Число з номером називається членом послідовності.

Всю послідовність ми зазвичай називаємо якоюсь літерою (наприклад,), і кожен член цієї послідовності - тією ж літерою з індексом, що дорівнює номеру цього члена: .

Дуже зручно, якщо член послідовності можна задати який-небудь формулою. Наприклад, формула

задає послідовність:

А формула – таку послідовність:

Наприклад, арифметичною прогресією є послідовність (перший член тут дорівнює, а різниця). Або (, різниця).

Формула n-го члена

Рекурентною ми називаємо таку формулу, в якій щоб дізнатися член, потрібно знати попередній або кілька попередніх:

Щоб знайти за такою формулою, наприклад, член прогресії, нам доведеться обчислити попередні дев'ять. Наприклад, хай. Тоді:

Ну що, зрозуміло тепер якась формула?

У кожному рядку ми додаємо, помножене на якесь число. На яке? Дуже просто: це номер поточного члена мінус:

Тепер набагато зручніше, правда? Перевіряємо:

Виріши сам:

В арифметичній прогресії знайти формулу n-го члена та знайти сотий член.

Рішення:

Перший член дорівнює. А чому дорівнює різниця? А ось чому:

(Вона тому і називається різницею, що дорівнює різниці послідовних членів прогресії).

Отже, формула:

Тоді сотий член дорівнює:

Чому дорівнює сума всіх натуральних чисел від до?

За легендою великий математик Карл Гаусс, будучи 9-річним хлопчиком, порахував цю суму за кілька хвилин. Він зауважив, що сума першого та останнього числа дорівнює, сума другого та передостаннього – теж, сума третього та 3-го з кінця – теж, і так далі. Скільки всього набереться таких пар? Правильно, рівно половина кількості всіх чисел, тобто. Отже,

Загальна формула для суми перших членів будь-якої арифметичної прогресії буде такою:

Приклад:
Знайдіть суму всіх двоцифрових чисел, кратних.

Рішення:

Перше таке число – це. Кожне наступне виходить додаванням до попереднього числа. Таким чином, цікаві для нас числа утворюють арифметичну прогресію з першим членом і різницею.

Формула члена для цієї прогресії:

Скільки членів у прогресії, якщо всі вони мають бути двозначними?

Дуже легко: .

Останній член прогресії дорівнюватиме. Тоді сума:

Відповідь: .

Тепер виріши сам:

1. Щодня спортсмен пробігає на м більше, ніж у попередній день. Скільки всього кілометрів він пробіжить за тижні, якщо першого дня він пробіг км?
2. Велосипедист проїжджає щодня на км більше, ніж попереднього. Першого дня він проїхав км. Скільки днів йому треба їхати, щоб подолати кілометри? Скільки кілометрів він проїде за останній день шляху?
3. Ціна холодильника в магазині щорічно зменшується на ту саму суму. Визначте, на скільки щороку зменшувалася ціна холодильника, якщо виставлений на продаж за рублів через шість років був проданий за рублів.

Відповіді:

1. Тут найголовніше - розпізнати арифметичну прогресію та визначити її параметри. У цьому випадку (тижня = днів). Визначити потрібно суму перших членів цієї прогресії:
   .
   Відповідь:
2. Тут дано: треба знайти.
   Очевидно, потрібно використовувати ту саму формулу суми, що й у попередньому завданні:
   .
   Підставляємо значення:

   Корінь, очевидно, не підходить, отже, відповідь.
   Порахуємо шлях, пройдений за останній день за допомогою формули члена:
   (Км).
   Відповідь:

3. Дано: . Знайти: .
   Простіше не буває:
   (Руб).
   Відповідь:

АРИФМЕТИЧНА ПРОГРЕСІЯ. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

Це числова послідовність, у якій різниця між сусідніми числами однакова і дорівнює.

Арифметична прогресія буває зростаючою () та спадною ().

Наприклад:

Формула знаходження n-ого члена арифметичної прогресії

записується формулою, де - кількість чисел у прогресії.

Властивість членів арифметичної прогресії

Воно дозволяє легко знайти член прогресії, якщо відомі його сусідні члени – де – кількість чисел у прогресії.

Сума членів арифметичної прогресії

Існує два способи знаходження суми:

Де – кількість значень.

Де – кількість значень.

Ну ось, тема закінчена. Якщо ти читаєш ці рядки, значить ти дуже крутий.

Тому що лише 5% людей здатні освоїти щось самостійно. І якщо ти дочитав до кінця, то ти потрапив у ці 5%!

Тепер найголовніше.

Ти розібрався з теорією на цю тему. І, повторюся, це… це просто супер! Ти вже краще, ніж абсолютна більшість твоїх однолітків.

Проблема в тому, що цього не вистачить.

Для чого?

Для успішної здачіЄДІ, для вступу до інституту на бюджет і, найголовніше, для життя.

Я не буду тебе ні в чому переконувати, просто скажу одну річ…

Люди, які отримали хороша освіта, заробляють набагато більше, ніж ті, хто не отримав. Це – статистика.

Але й це – не головне.

Головне те, що вони БІЛЬШЕ ЩАСЛИВІ (є такі дослідження). Можливо тому, що перед ними відкривається набагато більше можливостейі життя стає яскравішим? Не знаю...

Але, думай сам...

Що потрібно, щоб бути, напевно, кращим за інших на ЄДІ і бути зрештою… більш щасливим?

Набити руку, вирішуючи завдання за цією темою.

На іспиті в тебе не питатимуть теорію.

Тобі треба буде вирішувати завдання на якийсь час.

І, якщо ти не вирішував їх (Багато!), ти обов'язково десь безглуздо помилишся або просто не встигнеш.

Це як у спорті – потрібно багато разів повторити, щоби виграти напевно.

Знайди де хочеш збірку, обов'язково з рішеннями, докладним розбором і вирішуй, вирішуй, вирішуй!

Можна скористатися нашими завданнями (не обов'язково), і ми їх, звичайно, рекомендуємо.

Для того, щоб набити руку за допомогою наших завдань, потрібно допомогти продовжити життя підручнику YouClever, який ти зараз читаєш.

Як? Є два варіанта:

1. Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у цій статті
2. Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у всіх 99 статтях підручника. Купити підручник - 499 руб

Так, у нас у підручнику 99 таких статей та доступ для всіх завдань та всіх прихованих текстіву них можна відкрити одразу.

Доступ до всіх прихованих завдань надається на весь час існування сайту.

І на закінчення...

Якщо наші завдання тобі не подобаються, то знайди інші. Тільки не зупиняйся на теорії.

"Зрозумів" і "Вмію вирішувати" - це зовсім різні навички. Тобі потрібні обидва.

Знайди завдання та вирішуй!

Перш ніж ми почнемо вирішувати завдання на арифметичну прогресіюРозглянемо, що таке числова послідовність, оскільки арифметична прогресія - це окремий випадок числової послідовності.

Числова послідовність - це числова множина, кожен елемент якої має свій порядковий номер. Елементи цієї множини називаються членами послідовності. Порядковий номер елемента послідовності позначається індексом:

Перший елемент послідовності;

П'ятий елемент послідовності;

- "енний" елемент послідовності, тобто. елемент, "стоячий у черзі" під номером n.

Між значенням елемента послідовності та його порядковим номером існує залежність. Отже ми можемо розглядати послідовність як функцію, аргументом якої є порядковий номер елемента послідовності. Тобто можна сказати, що послідовність – це функція від натурального аргументу:

Послідовність можна задати трьома способами:

1 . Послідовність можна поставити за допомогою таблиці.У цьому випадку ми просто задаємо значення кожного члена послідовності.

Наприклад, Хтось вирішив зайнятися особистим тайм-менеджментом, і для початку порахувати протягом тижня, скільки часу він проводить у ВКонтакті. Записуючи час у таблицю, він отримає послідовність, що складається із семи елементів:

У першому рядку таблиці вказано номер дня тижня, у другому – час у хвилинах. Ми бачимо, що в понеділок хтось провів ВКонтакте 125 хвилин, тобто в четвер - 248 хвилин, а тобто в п'ятницю всього 15 хвилин.

2 . Послідовність можна поставити за допомогою формули n-го члена.

І тут залежність значення елемента послідовності з його номера виражається безпосередньо як формули.

Наприклад, якщо , то

Щоб знайти значення елемента послідовності із заданим номером, ми номер елемента підставляємо формулу n-го члена.

Те саме ми робимо, якщо потрібно знайти значення функції, якщо відомо значення аргументу. Ми значення аргументу підставляємо замість рівняння функції:

Якщо, наприклад, , то

Ще раз зауважу, що у послідовності, на відміну довільної числової функції, аргументом може лише натуральне число.

3 . Послідовність можна встановити за допомогою формули, що виражає залежність значення члена послідовності з номером n від значення попередніх членів. У цьому випадку нам недостатньо знати лише номер члена послідовності, щоб знайти його значення. Нам потрібно встановити перший член або кілька перших членів послідовності.

Наприклад, розглянемо послідовність ,

Ми можемо знаходити значення членів послідовності один за іншим, починаючи з третього:

Тобто щоразу, щоб знайти значення n-го члена послідовності, ми повертаємося до двох попередніх. Такий спосіб завдання послідовності називається рекурентнимвід латинського слова recurro- Повертатися.

Тепер ми можемо надати визначення арифметичної прогресії. Арифметична прогресія - це простий окремий випадок числової послідовності.

Арифметичною прогресією називається числова послідовність, кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, складеному з одним і тим самим числом.

Число називається різницею арифметичної прогресії. Різниця арифметичної прогресії може бути позитивною, негативною або рівною нулю.

Якщо title="(!LANG:d>0"">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} зростаючою.

Наприклад, 2; 5; 8; 11;...

Якщо , то кожен член арифметичної прогресії менший за попередній, і прогресія є спадаючою.

Наприклад, 2; -1; -4; -7;...

Якщо , то всі члени прогресії дорівнюють одному й тому ж числу, і прогресія є стаціонарний.

Наприклад, 2;2;2;2;...

Основна властивість арифметичної прогресії:

Подивимося на малюнок.

Ми бачимо, що

, і в той же час

Склавши ці дві рівності, отримаємо:

.

Розділимо обидві частини рівності на 2:

Отже, кожен член арифметичної прогресії, починаючи з другого, дорівнює середньому арифметичному двох сусідніх:

Більше того, оскільки

, і в той же час

, то

, і, отже,

Кожен член арифметичної прогресії, починаючи з title="(!LANG:k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Формула го члена.

Ми бачимо, що для членів арифметичної прогресії виконуються співвідношення:

і нарешті,

Ми отримали формулу n-го члена.

ВАЖЛИВО!Будь-який член арифметичної прогресії можна виразити через і. Знаючи перший член і різницю арифметичної прогресії можна знайти її член.

Сума n членів арифметичної прогресії.

У довільній арифметичній прогресії суми членів, рівновіддалених від крайніх рівні між собою:

Розглянемо арифметичну прогресію, у якій n членів. Нехай сума n членів цієї прогресії дорівнює.

Розташуємо члени прогресії спочатку в порядку зростання номерів, а потім в порядку зменшення:

Складемо попарно:

Сума у ​​кожній дужці дорівнює , число пар дорівнює n.

Отримуємо:

Отже, суму n членів арифметичної прогресії можна знайти за формулами:

Розглянемо вирішення завдань на арифметичну прогресію.

1 . Послідовність задана формулою n-го члена: . Доведіть, що ця послідовність є арифметичною прогресією.

Доведемо, що різниця між двома сусідніми членами послідовності дорівнює одному й тому ж числу.

Ми отримали, що різниця двох сусідніх членів послідовності не залежить від їхнього номера і є константою. Отже, за визначенням, ця послідовність є арифметичною прогресією.

2 . Дана арифметична прогресія -31; -27;

а) Знайдіть 31 член прогресії.

б) Визначте, чи входить до цієї прогресії число 41.

а)Ми бачимо, що ;

Запишемо формулу n-го члена нашої прогресії.

У загальному випадку

У нашому випадку тому

Арифметична та геометрична прогресії

Теоретичні відомості

	Арифметична прогресія	Геометрична прогресія
Визначення	Арифметичною прогресією a nназивається послідовність, кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, складеному з одним і тим самим числом d (d- Різниця прогресій)	Геометричною прогресією b nназивається послідовність відмінних від нуля чисел, кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, помноженому на одне і те ж число q (q- знаменник прогресії)
Рекурентна формула	Для будь-якого натурального n a n + 1 = a n + d	Для будь-якого натурального n b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
Формула n-ого члена	a n = a 1 + d (n – 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0
Характеристична властивість
Сума n-перших членів

Приклади завдань із коментарями

Завдання 1

В арифметичній прогресії ( a n) a 1 = -6, a 2

За формулою n-ого члена:

a 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21 d

За умовою:

a 1= -6, отже a 22= -6 + 21 d.

Необхідно знайти різницю прогресій:

d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Відповідь: a 22 = -48.

Завдання 2

Знайдіть п'ятий член геометричної прогресії: -3; 6;....

1-й спосіб (за допомогою формули n-члена)

За формулою n-ого члена геометричної прогресії:

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Так як b 1 = -3,

2-й спосіб (за допомогою рекурентної формули)

Оскільки знаменник прогресії дорівнює -2 (q = -2), то:

b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Відповідь: b 5 = -48.

Завдання 3

В арифметичній прогресії ( a n ) a 74 = 34; a 76= 156. Знайдіть сімдесят п'ятий член цієї прогресії.

Для арифметичної прогресії характеристичне властивість має вигляд .

З цього випливає:

.

Підставимо дані у формулу:

Відповідь: 95.

Завдання 4

В арифметичній прогресії ( a n ) a n= 3n - 4. Знайдіть суму сімнадцяти перших членів.

Для знаходження суми n-перших членів арифметичної прогресії використовують дві формули:

.

Яку з них у цьому випадку зручніше застосовувати?

За умовою відома формула n-ого члена вихідної прогресії ( a n) a n= 3n - 4. Можна знайти відразу і a 1, і a 16без знаходження d. Тому скористаємося першою формулою.

Відповідь: 368.

Завдання 5

В арифметичній прогресії( a n) a 1 = -6; a 2= -8. Знайдіть двадцять другий член прогресії.

За формулою n-ого члена:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21d.

За умовою, якщо a 1= -6, то a 22= -6 + 21d. Необхідно знайти різницю прогресій:

d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Відповідь: a 22 = -48.

Завдання 6

Записано кілька послідовних членів геометричної прогресії:

Знайдіть член прогресії, позначений літерою x.

За рішенням скористаємося формулою n-го члена b n = b 1 ∙ q n - 1для геометричних прогресій. Перший член прогресії. Щоб знайти знаменник прогресії q необхідно взяти будь-який із цих членів прогресії та розділити на попередній. У нашому прикладі можна взяти та розділити на. Отримаємо, що q = 3. Замість n у формулу підставимо 3, оскільки необхідно знайти третій член заданої геометричної прогресії.

Підставивши знайдені значення формулу, отримаємо:

.

Відповідь: .

Завдання 7

З арифметичних прогресій, заданих формулою n-го члена, виберіть ту, для якої виконується умова a 27 > 9:

Оскільки задана умова має виконуватися для 27-го члена прогресії, підставимо 27 замість n у кожну з чотирьох прогресій. У 4-й прогресії отримаємо:

.

Відповідь: 4.

Завдання 8

В арифметичній прогресії a 1= 3, d = -1,5. Вкажіть найбільше значення n , для якого виконується нерівність a n > -6.

У чому головна сутьформули?

Ця формула дозволяє знайти будь-який ЗА ЙОГО НОМЕРЕ " n" .

Зрозуміло, треба знати ще перший член a 1і різниця прогресії d, Так без цих параметрів конкретну прогресію і не запишеш.

Завчити (або зашпаргалити) цю формулу мало. Потрібно засвоїти її суть і застосувати формулу в різних завданнях. Та ще й не забути в потрібний момент, так...) Як не забути- я не знаю. А от як згадати,при необхідності - точно підкажу. Тим, хто урок до кінця подужає.)

Отже, розберемося із формулою n-го члена арифметичної прогресії.

Що таке формула взагалі – ми собі уявляємо.) Що таке арифметична прогресія, номер члена, різниця прогресії – доступно викладено у попередньому уроці. Загляньте, до речі, як не читали. Там просто все. Залишилося розібратися, що таке n-й член.

Прогресію в загальному виглядіможна записати у вигляді ряду чисел:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....

a 1- Позначає перший член арифметичної прогресії, a 3- третій член, a 4- Четвертий, і так далі. Якщо нас цікавить п'ятий член, скажімо, ми працюємо з a 5, якщо сто двадцятий - з a 120.

А як позначити у загальному вигляді будь-якийчлен арифметичної прогресії, з будь-якимномером? Дуже просто! Ось так:

a n

Це і є n-й член арифметичної прогресії.Під літерою n ховаються відразу всі номери членів: 1, 2, 3, 4 тощо.

І що нам дає такий запис? Подумаєш, замість цифри букву записали...

Цей запис дає нам потужний інструмент для роботи з арифметичною прогресією. Використовуючи позначення a n, ми можемо швидко знайти будь-якийчлен будь-якийарифметичній прогресії. І ще купу завдань щодо прогресії вирішити. Самі далі побачите.

У формулі n-го члена арифметичної прогресії:

a 1- Перший член арифметичної прогресії;

n- Номер члена.

Формула пов'язує ключові параметри будь-якої прогресії: a n; a 1; dі n. Навколо цих властивостей і крутяться всі завдання з прогресії.

Формула n-го члена можна використовувати й у записи конкретної прогресії. Наприклад, завдання може бути сказано, що прогресія задана умовою:

a n = 5 + (n-1) ·2.

Таке завдання може і в глухий кут поставити ... Немає ні ряду, ні різниці ... Але, порівнюючи умову з формулою, легко збагнути, що в цій прогресії a 1 =5, а d=2.

А буває ще зліше!) Якщо взяти ту ж умову: a n = 5 + (n-1) · 2,та розкрити дужки та привести подібні? Отримаємо нову формулу:

a n = 3 + 2n.

Це Тільки не загальна, а для конкретної прогресії. Ось тут і ховається підводний камінь. Деякі думають, що перший член – це трійка. Хоча реально перший член - п'ятірка... Трохи нижче ми попрацюємо з такою формулою.

У завдання на прогресію зустрічається ще одне позначення - a n+1. Це, як ви здогадалися, "ен плюс перший" член прогресії. Сенс його простий і нешкідливий.) Це член прогресії, номер якого більший за номер n на одиницю. Наприклад, якщо в якомусь завданні ми беремо за a nп'ятий член, то a n+1буде шостим членом. І тому подібне.

Найчастіше позначення a n+1зустрічається у рекурентних формулах. Не лякайтеся цього страшного слова!) Це просто спосіб висловлювання члена арифметичної прогресії через попередній.Припустимо, нам дана арифметична прогресія ось у такому вигляді, за допомогою рекурентної формули:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

Четвертий – через третій, п'ятий – через четвертий, тощо. А як порахувати одразу, скажімо двадцятий член, a 20? А ніяк!) Поки 19-й член не дізнаємось, 20-й не порахувати. У цьому є принципова відмінністьрекурентної формули від формули n-го члена. Рекурентна працює тільки через попереднійчлен, а формула n-го члена – через першийі дозволяє відразузнаходити будь-який член за його номером. Не прораховуючи цілий ряд чисел по порядку.

В арифметичній прогресії рекурентну формулу легко перетворити на звичайну. Порахувати пару послідовних членів, обчислити різницю d,знайти, якщо треба, перший член a 1, Записати формулу у звичайному вигляді, та й працювати з нею. У ДПА подібні завдання часто зустрічаються.

Застосування формули n члена арифметичної прогресії.

Спочатку розглянемо пряме застосування формули. Наприкінці попереднього уроку було завдання:

Дана арифметична прогресія (a n). Знайти a 121 якщо a 1 =3, а d=1/6.

Це завдання можна без будь-яких формул вирішити, просто з сенсу арифметичної прогресії. Додавати, та додавати... Годинник-другий.)

А за формулою рішення займе менше хвилини. Можете засікати час.) Вирішуємо.

В умовах наведено всі дані для використання формули: a 1 =3, d=1/6.Залишається збагнути, чому одно n.Не питання! Нам треба знайти a 121. Ось і пишемо:

Прошу звернути увагу! Замість індексу nз'явилося конкретне число: 121. Що цілком логічно.) Нас цікавить член арифметичної прогресії номер сто двадцять один.Ось це і буде наше n.Саме це значення n= 121 ми і підставимо далі до формули, до дужок. Підставляємо всі числа у формулу та вважаємо:

a 121 = 3 + (121-1) · 1/6 = 3 +20 = 23

Ось і всі справи. Так само швидко можна було знайти і п'ятсот десятий член, і тисяча третій, кожен. Ставимо замість nпотрібний номер в індексі у літери " a"і в дужках, та й рахуємо.

Нагадаю суть: ця формула дозволяє знайти будь-якийчлен арифметичної прогресії ЗА ЙОГО НОМЕРЕ " n" .

Вирішимо завдання хитрішим. Нехай нам трапилося таке завдання:

Знайдіть перший член арифметичної прогресії (a n), якщо a 17 = -2; d=-0,5.

Якщо виникли труднощі, підкажу перший крок. Запишіть формулу n члена арифметичної прогресії!Так Так. Руками запишіть, прямо в зошиті:

А тепер, дивлячись на літери формули, розуміємо, які дані ми маємо, а чого не вистачає? Є d=-0,5,є сімнадцятий член ... Все? Якщо вважаєте, що все, то завдання не вирішите, так...

У нас ще є номер n! В умові a 17 =-2заховані два параметри.Це значення сімнадцятого члена (-2), та її номер (17). Тобто. n=17.Ця "дрібниця" часто проскакує повз голову, а без неї, (без "дрібниці", а не голови!) завдання не вирішити. Хоча... і без голови теж.)

Тепер можна просто тупо підставити наші дані у формулу:

a 17 = a 1 + (17-1) · (-0,5)

Ах да, a 17нам відомо, що це -2. Ну гаразд, підставимо:

-2 = a 1 + (17-1) · (-0,5)

Ось по суті, і все. Залишилося висловити перший член арифметичної прогресії з формули, та порахувати. Вийде відповідь: a 1 = 6.

Такий прийом – запис формули та проста підстановка відомих даних – чудово допомагає у простих завданнях. Ну, треба, звичайно, вміти висловлювати змінну з формули, а що робити! Без цього вміння математику можна взагалі не вивчати.

Ще одне популярне завдання:

Знайдіть різницю арифметичної прогресії (a n), якщо a 1 =2; a 15 = 12.

Що робимо? Ви здивуєтеся, пишемо формулу!)

Розуміємо, що нам відомо: a 1 = 2; a 15 = 12; та (спеціально виокремлю!) n=15. Сміливо підставляємо у формулу:

12 = 2 + (15-1) d

Вважаємо арифметику.)

12 = 2 + 14d

d=10/14 = 5/7

Це правильна відповідь.

Так, завдання на a n , a 1і dвирішили. Залишилося навчитися знаходити:

Число 99 є членом арифметичної прогресії (a n), де a 1 = 12; d=3. Знайти номер члена.

Підставляємо у формулу n-го члена відомі нам величини:

a n = 12 + (n-1) · 3

На перший погляд, тут дві невідомі величини: a n та n.Але a n- це якийсь член прогресії з номером n... І цей член прогресії ми знаємо! Це 99. Ми не знаємо його номер n,так цей номер і потрібно знайти. Підставляємо член прогресії 99 у формулу:

99 = 12 + (n-1) · 3

Висловлюємося з формули nвважаємо. Отримаємо відповідь: n=30.

А тепер завдання на ту саму тему, але більш творча):

Визначте, чи буде число 117 членом арифметичної прогресії (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Знову пишемо формулу. Що немає ніяких параметрів? Гм... А очі нам навіщо дано?) Перший член прогресії бачимо? Бачимо. Це –3,6. Можна сміливо записати: a 1 = -3,6.Різниця dможна з ряду визначити? Легко, якщо знаєте, що таке різницю арифметичної прогресії:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Так, найпростіше зробили. Залишилося розібратися з невідомим номером nі незрозумілим числом 117. У попередній задачі хоч було відомо, що дано саме член прогресії. А тут і того не знаємо... Як бути! Ну, як бути, як бути... Включити творчі здібності!)

Ми припустимо,що 117 - це все-таки член нашої прогресії. З невідомим номером n. І, як у попередній задачі, спробуємо знайти цей номер. Тобто. пишемо формулу (так-так!) і підставляємо наші числа:

117 = -3,6 + (n-1) · 1,2

Знову висловлюємося з формулиn, вважаємо та отримуємо:

Опаньки! Номер вийшов дробовий!Сто один із половиною. А дрібних номерів у прогресіях не буває.Який висновок зробимо? Так! Число 117 не єчленом нашої прогресії. Воно знаходиться десь між сто першим і сто другим членом. Якби номер вийшов натуральним, тобто. позитивним цілим, число було б членом прогресії зі знайденим номером. А в нашому випадку відповідь завдання буде: ні.

Завдання на основі реального варіантуДІА:

Арифметична прогресія задана умовою:

a n = -4 + 6,8 n

Знайти перший і десятий члени прогресії.

Тут прогресію задано не зовсім звичним чином. Формула якась... Буває.) Однак, ця формула (як я писав вище) - теж формула n-го члена арифметичної прогресії!Вона також дозволяє знайти будь-який член прогресії за його номером.

Шукаємо перший член. Той, хто думає. що перший член – мінус чотири, фатально помиляється!) Тому, що формула у завданні – видозмінена. Перший член арифметичної прогресії у ній захований.Нічого, зараз знайдемо.)

Так само, як і в попередніх завданнях, підставляємо n=1у цю формулу:

a 1 = -4 + 6,8 · 1 = 2,8

Ось! Перший член 2,8, а чи не -4!

Аналогічно шукаємо десятий член:

a 10 = -4 + 6,8 · 10 = 64

Ось і всі справи.

А тепер тим, хто дочитав до цих рядків, - обіцяний бонус.)

Припустимо, у складній бойовій обстановці ГІА або ЄДІ ви забули корисну формулу n-го члена арифметичної прогресії. Щось пригадується, але невпевнено якось... Чи то nтам, чи n+1, чи то n-1...Як бути!?

Спокій! Цю формулу легко вивести. Не дуже суворо, але для впевненості та правильного рішенняточно вистачить!) Для висновку досить пам'ятати елементарний зміст арифметичної прогресії і мати кілька хвилин. Потрібно просто намалювати картинку. Для наочності.

Малюємо числову вісь та відзначаємо на ній перший. другий, третій тощо. члени. І відзначаємо різницю dміж членами. Ось так:

Дивимося на картинку і розуміємо: чому дорівнює другий член? Другий одне d:

a 2 =a 1 + 1 ·d

Чому дорівнює третій член? Третійчлен дорівнює перший член плюс два d.

a 3 =a 1 + 2 ·d

Уловлюєте? Я не дарма деякі слова виділяю жирним шрифтом. Ну гаразд, ще один крок).

Чому дорівнює четвертий член? Четвертийчлен дорівнює перший член плюс три d.

a 4 =a 1 + 3 ·d

Час зрозуміти, що кількість проміжків, тобто. d, завжди один менше, ніж номер шуканого члена n. Тобто, до номера n, кількість проміжківбуде n-1.Отже, формула буде (без варіантів!):

Взагалі, наочні картинки дуже допомагають вирішувати багато завдань у математиці. Не нехтуйте картинками. Але якщо картинку намалювати важко, то... тільки формула!) Крім того, формула n-го члена дозволяє підключити до вирішення весь потужний арсенал математики - рівняння, нерівності, системи і т.д. Картинку в рівняння не вставиш...

Завдання для самостійного вирішення.

Для розминки:

1. В арифметичній прогресії (a n) a 2 = 3; a 5 =5,1. Знайти a 3 .

Підказка: за картинкою завдання вирішується секунд за 20... За формулою – складніше виходить. Але для освоєння формули - корисніше.) У Розділі 555 це завдання вирішено і з картинці, і за формулою. Відчуйте різницю!)

А це – вже не розминка.)

2. В арифметичній прогресії (a n) a 85 = 19,1; a 236 = 49, 3. Знайти a 3 .

Що, не хочеться малюнок малювати?) Ще б пак! Краще за формулою, так...

3. Арифметична прогресія задана умовою:a 1 =-5,5; an+1 = an+0,5. Знайдіть сто двадцять п'ятий член цієї прогресії.

У цьому вся завдання прогресія задана рекурентним способом. Але рахувати до сто двадцять п'ятого члена... Не всім такий подвиг під силу. Зате формула n-го члена під силу кожному!

4. Дана арифметична прогресія (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Знайти номер найменшого позитивного члена прогресії.

5. За умовою завдання 4 знайти суму найменшого позитивного та найбільшого негативного членів прогресії.

6. Добуток п'ятого та дванадцятого членів зростаючої арифметичної прогресії дорівнює -2,5, а сума третього та одинадцятого членів дорівнює нулю. Знайти a 14 .

Не найпростіше завдання, так ...) Тут спосіб "на пальцях" не прокотить. Прийде формули писати і рівняння розв'язувати.

Відповіді (безладно):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Вийшло? Це приємно!)

Чи не все виходить? Буває. До речі, в останньому завданні є один тонкий момент. Уважність під час читання завдання буде потрібна. І логіка.

Розв'язання цих завдань докладно розібрано у Розділі 555. І елемент фантазії для четвертої, і тонкий момент для шостий, і загальні підходи на вирішення будь-яких завдань на формулу n-го члена - все розписано. Рекомендую.

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.