Методи підтвердження тотожностей. Тотожність. Способи доказу тотожностей Що означає довести тотожність приклад

Що таке тотожність? і як його довести? і отримав найкращу відповідь

Відповідь від Ёветлана Безруких[активний]

Способи доказування тотожності:

Отже, перетворюємо:

-36=-36.
Тотожність доведена!

Відповідь від На Кічак[активний]
Ти розумниця! Не знаєш, що таке тотожність? Тобі на алгебру у 7 клас. Тотожність-ствердження вимагає доказ. А довести легко спростити.

Відповідь від Вулия Фролова[гуру]
Тотожність - рівність, яка виконується за будь-яких значень змінної.
х у квадраті +8х-5х-40-х у квадраті +х - 4х + 4= - 36
-36=-36

Відповідь від Андрій Шадров[Новичок]
Тотожність - це рівняння, яке задовольняється тотожно, тобто справедливо для будь-яких допустимих значень змінних, що входять до нього. Довести тотожність - означає встановити, що з усіх допустимих значеннях змінних його ліва і права частина рівні.
Способи доказування тотожності:
1. Виконують перетворення лівої частини та отримують у результаті праву частину.
2. Виконують перетворення правої частини й у результаті отримують ліву часть.
3. Окремо перетворять праву і ліву частини і одержують і в першому і в другому випадку один і той же вираз.
4. Складають різницю лівої та правої частини і в результаті її перетворень отримують нуль.
Оскільки ми не можемо перетворити праву частину, отже, ми будемо перетворювати ліву. (Т. до. я не можу написати число, зведене в другий ступінь, наприклад число-x у квадраті, я писатиму так: x помножене на х, скорочено х розумн. на х)
Отже, перетворюємо:
х розумн. на х + 8х - 5х - 40 - х розумн. на х + х - 4х + 4 = -36,
(Ми багато цифр можемо взаємно знищити! Це ікси в квадратних ступенях, тому що один з них позитивний, інший негативний, і подібні числа - 8х; -5х; х; -4х. Тому що 8х - 5х + х - 4х = 0) .
У результаті, у нас вийшло -40+4=-36.
Виконавши нескладну математичну операцію 4-40 ми отримаємо -36.
-36=-36.
Тотожність доведена!

Відповідь від Олександр Чернишов[Новичок]
ааааа

Доказ тотожностей. У математиці існує безліч понять. Одна з них тотожність.

Тотожністю називають рівність, яка виконується за всіх значень змінних, що до нього входять.

Деякі тотожності ми вже знаємо. Наприклад, всі формули скороченого множення є тотожності.

Довести тотожність- це означає встановити, що для будь-якого допустимого значення змінні його ліва частина дорівнює правій частині.

У алгебрі є кілька різних способів доказу тотожностей.

Способи доказу тотожностей

лівої частини тотожності.Якщо у результаті отримаємо праву частину, тотожність вважається доведеним.
Виконати рівносильні перетворення правої частини тотожності.Якщо у результаті отримаємо ліву частину, тоді тотожність вважається доведеною.
Виконати рівносильні перетворення лівої та правої частини тотожності.Якщо в результаті отримаємо однаковий результат, тотожність вважається доведеною.
З правої частини тотожності віднімаємо ліву частину.
З лівої частини тотожності віднімають праву частину.Виробляємо над різницею рівносильні перетворення. І якщо в результаті отримуємо нуль, то тотожність вважається доведеною.

Слід також пам'ятати, що тотожність справедлива лише допустимих значень змінних.

Як бачите способів, досить багато. Який спосіб вибрати в даному конкретному випадку залежить від тотожності, яку вам необхідно довести. У міру того, як ви доводитимете різні тотожності, прийде і досвід у виборі способу доказу.

Розглянемо кілька простих прикладів

приклад 1.

Доведіть тотожність x*(a+b) + a*(b-x) = b*(a+x).

Рішення.

Так як у правій частині невеликий вираз, спробуємо перетворити ліву частину рівності.

Маємо,

x*(a+b) + a*(b-x) = x*a+x*b+a*b - a*x.

Наведемо подібні доданки та винесемо загальний множник за дужку.

x * a + x * b + a * b - a * x = x * b + a * b = b * (a + x).

Отримали що ліва частина після перетворень стала такою самою як і права частина. Отже, ця рівність є тотожністю.

приклад 2.

Доведіть тотожність a^2 + 7*a + 10 = (a+5)*(a+2).

Рішення.

У цьому прикладі можна надійти в такий спосіб. Розкриємо дужки у правій частині рівності.

Отримаємо,

(a+5)*(a+2) = (a^2) +5*a +2*a +10= a^2+7*a+10.

Бачимо, що після перетворень права частина рівності стала такою ж як і ліва частина рівності. Отже, ця рівність є тотожністю.

Навчальна мета:

повторити визначення рівняння, тотожності;

навчитися розрізняти поняття рівняння та тотожності;

виявити способи доказу тотожностей;

повторити способи приведення одночлена до стандартного вигляду, додавання багаточленів, множення одночлена на багаточлен при доказі тотожностей.

Розвиваюча мета:

розвивати грамотну математичну мову учнів (збагачувати та ускладнювати словниковий запас при використанні спеціальних математичних термінів),

розвивати мислення: вміння порівнювати, аналізувати, проводити аналогії, прогнозувати, робити висновки (у разі вибору способів доказу тотожностей);

розвивати навчально-пізнавальну компетенцію учнів.

Виховна мета:

розвивати вміння працювати у групі, координувати свою діяльність із іншими учасниками навчального процесу;

виховувати толерантність.

Тип уроку: комплексне застосування знань.

Етапи уроку: підготовчий, застосування знань, результат.

Кордон знання - незнання:

можуть застосовувати операції приведення одночлена до стандартного виду;

додавання багаточленів, множення багаточлена на багаточлен.

Розрізняти поняття рівняння та тотожності;

здійснювати доказ тотожностей;

раціонально вибирати та застосовувати способи доказу тотожностей.

Фронтальна робота

Словесний

Наочний

Застосування знань (забезпечення засвоєння нових знань та способів дій на рівні застосування у зміненій навчальній ситуації)

На основі перетворень лівої та правої частини даного

математичної рівності, виявити способи доказу тотожностей;

Виявити раціональний спосіб із запропонованих та відпрацювати підбір раціонального рішення за заданою умовою тотожностей

Групова робота

Самостійна робота

Пошуковий

Практичний

Підсумок (аналіз та оцінка успішності досягнення мети)

Підбиття підсумків роботи на уроці шляхом виконання індивідуальної роботи, де пропонується вибрати з представлених рівностей тотожність і довести його будь-яким із запропонованих способів (бажано раціональним);

Потім учні проводять самооцінку своєї роботи на уроці за заданими (від початку заняття) критеріями

Фронтальна

Словесний

Конспект уроку (коротко):

1. Етап (підготовчий)

Розгляньте математичний запис: (фронтальна робота)

Учні 7 класу, зазвичай, вважають, що це рівняння, і, вирішуючи його, отримують лінійне рівняння виду: 0 x = 0, правильне за будь-яких x.

Потім, вчитель показує роботу іншого класу, і діти стикаються з протиріччям – роботах іншого класу, учні доводять, що це тотожність.

Висновок: слід звернути увагу на той факт, що одна і та ж рівність може розглядатися як тотожність і як рівняння. Це залежить від умови до заданої роботи: якщо потрібно встановити за якого значення змінної має місце рівність, то це- Рівняння. А якщо потрібно довести, що рівність має місце за будь-яких змінних змін -тотожність.

2. Етап (застосування)

Виявлення способів доказу тотожностей: (групова робота)

Записано вираз:

Практичне завдання у групах щодо виявлення способів доказу тотожностей:

Дотримуйтесь правил роботи у групах (вони надруковані на табличках, виставлених учителем на робочих місцях учнів)

На ватмані, у спільній праці, виконайте деякі перетворення за певною технологією, вказаною у завданні групі і доведіть, що заданий вираз не залежить від значень змінних, а отже, є тотожністю;

Виступіть з роз'ясненнями виконаної роботи і зробіть висновок: який метод доказу тотожностей;

Завдання 1 групі:

Перенесіть праву частину рівності до лівої. Доведіть, що цей вираз не залежить від значення змінних.

Завдання 2 групі:

Перетворіть ліву частину рівності. Доведіть, що вона дорівнює правій, а отже цей вираз не залежить від значення змінних.

Завдання 3 групі:

Перетворіть одночасно ліву та праву частини рівності. Доведіть, що ця рівність не залежить від значення змінних.

При розгляді виконаної роботи хлопців за доказом тотожності, зручно результати застосованих способів зображати у вигляді схем на окремих аркушах паперу, з покажчиком номера, що згодом, використовувати ці схеми як цьому, а й інших уроках алгебри.

3. Етап (підсумок)

а) Тотожності для вибору раціонального рішення: (фронтальна робота)

ЛЕКЦІЯ №3 Доказ тотожностей

Мета: 1. Повторити визначення тотожності та тотожно рівних виразів.

2.Ввести поняття тотожного перетворення виразів.

3. Множення багаточлена на багаточлен.

4. Розкладання многочлена на множники способом угруповання.

Нехай кожен день і щогодини

Нам нове добуде,

Нехай добрим буде розум у нас,

А серце буде розумним!

У математиці існує безліч понять. Одна з них тотожність.

Тотожністю називають рівність, яка виконується за всіх значень змінних, що до нього входять.Деякі тотожності ми вже знаємо.

Наприклад, усі формули скороченого множенняє тотожності.

Формули скороченого множення

1. (a ± b)2 = a 2 ± 2 ab + b 2,

2. (a ± b)3 = a 3±3 a 2b + 3ab 2 ± b 3,

3. a 2 - b 2 = (a - b)(a + b),

4. a 3 ± b 3 = (a ± b)(a 2 ab + b 2).

Довести тотожність- Це означає встановити, що для будь-якого допустимого значення змінні його ліва частина дорівнює правій частині.

У алгебрі є кілька різних способів доказу тотожностей.

Способи доказу тотожностей

лівої частини тотожності.

правої частини тотожності.

лівої та правої частини тотожності.

З правої частини тотожності віднімаємо ліву частину.

З лівої частини тотожності віднімають праву частину.

Слід також пам'ятати, що тотожність справедлива лише допустимих значень змінних.

Тотожність - це рівняння, яке задовольняється тотожно, тобто справедливо для будь-яких допустимих значень змінних, що входять до нього. Довести тотожність - означає встановити, що з усіх допустимих значеннях змінних його ліва і права частини рівні.
Способи доведення тотожності:
1. Виконують перетворення лівої частини та отримують у результаті праву частину.
2. Виконують перетворення правої частини й у результаті отримують ліву часть.
3. Окремо перетворять праву і ліву частини і отримують і в першому і в другому випадку один і той же вираз.
4. Складають різницю лівої та правої частини та в результаті її перетворень отримують нуль.
Розглянемо кілька простих прикладів

приклад 1.Доведіть тотожність x·(a+b) + a·(b-x) = b·(a+x).

Рішення.

Так як у правій частині невеликий вираз, спробуємо перетворити ліву частину рівності.

x·(a+b) + a·(b-x) = x·a +x·b + a·b – a·x.

Наведемо подібні доданки та винесемо загальний множник за дужку.

x a + x b + a b - a x = x b + a b = b (a + x).

приклад 2.Доведіть тотожність: a² + 7 ·a + 10 = (a+5) · (a+2).

Рішення:

У цьому прикладі можна надійти в такий спосіб. Розкриємо дужки у правій частині рівності.

(a+5)·(a+2) = (a²) + 5·a +2·a +10 = a²+7·a + 10.

« Заміну одного виразу іншим, тотожно рівним йому, називають тотожним перетворенням виразу»

З'ясувати, яка рівність є тотожністю:

1. - (а - в) = - а - в;

2. 2 · (х + 4) = 2х - 4;

3. (х - 5) · (-3) = - 3х + 15.

4. рху (- р2 х2 у) = - р3 х3 у3.

«Щоб довести, що деяка рівність є тотожністю, або, як кажуть інакше, щоб довести тотожність, використовують тотожні перетворення виразів»

Рівність вірна за будь-яких значень змінних, називають тотожністю.Щоб довести, що деяка рівність є тотожністю, або, як кажуть інакше, щоб довести тотожністьвикористовують тотожні перетворення виразів.
Доведемо тотожність:
xy - 3y - 5x + 16 = (x - 3)(y - 5) + 1 Перетворимо ліву частину цієї рівності:
xy - 3y - 5x + 16 = (xy - 3y) + (- 5x + 15) +1 = y(x - 3) - 5(x -3) +1 = (y - 5)(x - 3) + 1 В результаті тотожного перетвореннялівої частини многочлена ми отримали його праву частину і тим самим довели, що ця рівність є тотожністю.
Для докази тотожностіперетворять його ліву частину на праву або його праву частину на ліву, або показують, що ліва і права частини вихідної рівності тотожно дорівнюють одному й тому ж виразу.

Множення багаточлена на багаточлен

Помножимо багаточлен a + bна багаточлен c + d. Складемо твір цих багаточленів:
(a+b)(c+d).
Позначимо двочлен a + bбуквою xі перетворимо отриманий твір за правилом множення одночлена на многочлен:
(a+b)(c+d) = x(c+d) = xc + xd.
На вираз xc+xd.підставимо замість xбагаточлен a+bі знову скористаємося правилом множення одночлена на багаточлен:
xc + xd = (a + b) c + (a + b) d = ac + bc + ad + bd.
Отже: (a+b)(c+d) = ac + bc + ad + bd.
Твір багаточленів a + bі c + dми представили у вигляді багаточлена ac + bc + ad + bd. Цей багаточлен є сумою всіх одночленів, що виходять при множенні кожного члена багаточлена. a + bна кожен член багаточлена c + d.
Висновок: добуток будь-яких двох багаточленів можна подати у вигляді багаточлена.
Правило: щоб помножити багаточлен на багаточлен, потрібно кожен член одного багаточлена помножити на кожен член іншого багаточлена та отримані твори скласти.
Зауважимо, що при множенні багаточлена, що містить mчленів на багаточлен, що містить nчленів у творі до приведення подібних членів має вийти mnчленів. Цим можна скористатися контролю.

Розкладання многочлена на множники способом угруповання:

Раніше ми познайомилися з розкладанням багаточлена на множники шляхом винесення загального множника за дужки. Іноді вдається розкласти багаточлен на множники, використовуючи інший спосіб - угруповання його членів.
Розкладемо на множники багаточлен
ab - 2b + 3a - 6 Згрупуємо його так, щоб доданки в кожній групі мали спільний множник і винесемо цей множник за дужки:
ab - 2b + 3a - 6 = (ab - 2b) + (3a - 6) = b(a - 2) + 3(a - 2) Кожен доданок виразу має загальний множник (a - 2). Винесемо цей спільний множник за дужки:
b(a - 2) + 3(a - 2) = (b +3)(a - 2) У результаті ми розклали вихідний многочлен на множники:
ab - 2b + 3a - 6 = (b +3)(a - 2) Спосіб, який ми застосували для розкладання многочлена на множники називають способом угруповання.
Розкладання багаточлена ab - 2b + 3a - 6на множники можна виконати, групуючи його члени інакше:
ab - 2b + 3a - 6 = (ab + 3a) + (- 2b - 6) = a(b + 3) -2(b + 3) = (a - 2)(b + 3)

Повторити:

1. Методи підтвердження тотожностей.

2. Що називають тотожним перетворенням виразу.

3. Множення багаточлена на багаточлен.

4. Розкладання многочлена на множники способом угруповання