Luyện thi Thống nhất môn toán (cấp độ hồ sơ): bài tập, lời giải và giải thích. Kỳ thi Thống nhất Toán học (cơ bản)

Kỳ thi thống nhất môn Toán cấp độ hồ sơ

Công việc bao gồm 19 nhiệm vụ.
Phần 1:
8 câu trả lời ngắn ở mức độ khó cơ bản.
Phần 2:
4 nhiệm vụ trả lời ngắn
7 task có đáp án chi tiết cấp độ cao nỗi khó khăn.

Thời gian chạy - 3 giờ 55 phút.

Ví dụ về các nhiệm vụ kiểm tra của Nhà nước thống nhất

Giải quyết các bài kiểm tra thống nhất của Nhà nước trong môn toán.

Để tự giải quyết:

1 kilowatt giờ điện có giá 1 rúp 80 kopecks.
Đồng hồ điện hiển thị 12.625 kilowatt giờ vào ngày 1 tháng 11 và 12.802 kilowatt giờ vào ngày 1 tháng 12.
Tôi phải trả bao nhiêu tiền điện cho tháng 11?
Đưa ra câu trả lời của bạn bằng rúp.

Vấn đề với giải pháp:

Cho hình chóp tam giác đều ABCS có đáy ABC, đã biết các cạnh sau: AB = 5 căn của 3, SC = 13.

Giải pháp:

4. Vì hình chóp đều nên điểm H là giao điểm của các đường cao/trung tuyến/phân giác của tam giác ABC và do đó chia AD theo tỷ lệ 2:1 (AH = 2 AD).

5. Tìm SH từ tam giác vuông ASH. AH = AD 2/3 = 5, AS = 13, theo định lý Pythagore SH = sqrt(13 2 -5 2) = 12.

EP = SH/2 = 6;
DP = AD 2/3 = 5;

Góc EDP = arctan(6/5)

Trả lời: arctg(6/5)

Bạn có biết gì không?

Các nghiên cứu trong phòng thí nghiệm đã chỉ ra rằng ong có thể chọn con đường tối ưu. Sau khi bản địa hóa, được đặt trong Những nơi khác nhau Con ong bay quanh những bông hoa và quay trở lại sao cho con đường cuối cùng trở thành con đường ngắn nhất. Do đó, những con côn trùng này đối phó một cách hiệu quả với “vấn đề nhân viên bán hàng du lịch” cổ điển của khoa học máy tính, mà các máy tính hiện đại, tùy thuộc vào số điểm, có thể mất hơn một ngày để giải quyết.

Nếu bạn nhân tuổi của mình với 7 rồi nhân với 1443, kết quả sẽ là tuổi của bạn được viết ba lần liên tiếp.

Chúng tôi tin số âm một điều gì đó tự nhiên, nhưng điều này không phải lúc nào cũng đúng. Số âm lần đầu tiên được hợp pháp hóa ở Trung Quốc vào thế kỷ thứ 3, nhưng chỉ được sử dụng trong những trường hợp đặc biệt, vì nhìn chung chúng được coi là vô nghĩa. Một thời gian sau, số âm bắt đầu được sử dụng ở Ấn Độ để biểu thị các khoản nợ, nhưng ở phương Tây, chúng không có nguồn gốc - Diophantus nổi tiếng của Alexandria cho rằng phương trình 4x+20=0 là vô lý.

Nhà toán học người Mỹ George Dantzig, khi đang là sinh viên tốt nghiệp tại trường đại học, đã đến lớp muộn một ngày và nhầm các phương trình viết trên bảng đen với bài tập về nhà. Đối với anh ấy có vẻ khó khăn hơn bình thường, nhưng sau vài ngày anh ấy đã có thể hoàn thành nó. Hóa ra ông đã giải được hai bài toán “không thể giải được” trong thống kê mà nhiều nhà khoa học đang phải đau đầu giải quyết.

Trong tài liệu toán học Nga, số 0 không phải là số tự nhiên, còn ở phương Tây thì ngược lại, nó thuộc tập hợp số tự nhiên.

Được sử dụng bởi chúng tôi hệ thống thập phân Các con số phát sinh do một người có 10 ngón tay trên tay. Khả năng đếm trừu tượng chưa xuất hiện ở con người ngay lập tức và việc sử dụng ngón tay để đếm hóa ra lại thuận tiện nhất. Nền văn minh Maya và, độc lập với họ, người Chukchi trong lịch sử đã sử dụng hệ thống số hai mươi chữ số, sử dụng các ngón tay không chỉ trên bàn tay mà còn trên các ngón chân. Hệ thống thập lục phân và lục thập phân phổ biến ở Sumer và Babylon cổ đại cũng dựa trên việc sử dụng bàn tay: các đốt ngón tay còn lại của lòng bàn tay, số lượng là 12, được đếm bằng ngón cái.

Một người bạn nhờ Einstein gọi cho cô nhưng cảnh báo rằng số điện thoại của cô rất khó nhớ: - 24-361. Bạn có nhớ? Lặp lại! Ngạc nhiên, Einstein trả lời: “Tất nhiên là tôi nhớ!” Hai chục và 19 bình phương.

Số tối đa có thể viết bằng chữ số La Mã mà không vi phạm quy tắc Shvartsman (quy tắc viết chữ số La Mã) là 3999 (MMMCMXCIX) - bạn không thể viết nhiều hơn ba chữ số liên tiếp.

Có rất nhiều câu chuyện ngụ ngôn về việc một người mời người khác trả công cho mình theo cách sau: trên ô đầu tiên của bàn cờ, anh ta sẽ đặt một hạt gạo, vào ô thứ hai - hai, v.v.: trên mỗi ô tiếp theo gấp đôi so với lần trước. Kết quả là người trả tiền theo cách này chắc chắn sẽ phá sản. Điều này không có gì đáng ngạc nhiên: người ta ước tính rằng Tổng khối lượng gạo sẽ lên tới hơn 460 tỷ tấn.

Đề thi Thống nhất 2019 môn toán 14 có lời giải

Phiên bản demo của Đề thi Thống nhất năm 2019 môn toán

Đề thi Thống nhất môn Toán 2019 ở dạng pdf Cấp độ cơ bản | Cấp độ hồ sơ

Bài tập chuẩn bị cho Kỳ thi Thống nhất môn toán: trình độ cơ bản và chuyên ngành có đáp án và lời giải.

Đề thi Thống nhất 2019 môn toán 14

Đề thi Thống nhất 2019 môn toán cấp độ bài 14 có lời giải

Quyết định:

Cạnh của hình lập phương bằng căn bậc 6.
Tìm khoảng cách giữa đường chéo của hình lập phương và đường chéo của bất kỳ mặt nào của nó.

Đề thi Thống nhất 2019 môn toán 14

Cho hình chóp tam giác đều ABCS có đáy ABC, đã biết các cạnh sau: AB = 5 căn của 3, SC = 13.
Tìm góc tạo bởi mặt phẳng đáy và đường thẳng đi qua trung điểm của các cạnh AS và BC.

Giải pháp:

1. Vì SABC là hình chóp đều nên ABC là tam giác đều, các mặt còn lại là tam giác cân bằng nhau.
Nghĩa là, tất cả các cạnh của đáy bằng 5 sqrt(3) và tất cả các cạnh bên bằng 13.

2. Gọi D là trung điểm BC, E là trung điểm AS, SH là chiều cao giảm dần từ điểm S xuống đáy hình chóp, EP là chiều cao giảm dần từ điểm E xuống đáy hình chóp.

3. Tìm AD từ tam giác vuông CAD bằng định lý Pythagore. Hóa ra 15/2 = 7,5.

4. Vì hình chóp đều nên điểm H là giao điểm của các đường cao/trung tuyến/phân giác của tam giác ABC và do đó chia AD theo tỷ lệ 2:1 (AH=2 AD).

5. Tìm SH từ tam giác vuông ASH. AH=AD 2/3 = 5, AS = 13, theo định lý Pythagore SH = sqrt(13 2 -5 2) = 12.

6. Hai tam giác AEP và ASH đều vuông góc và có chung một góc A nên bằng nhau. Theo điều kiện, AE = AS/2, nghĩa là AP = AH/2 và EP = SH/2.

7. Vẫn còn phải xét tam giác vuông EDP (chúng ta chỉ quan tâm đến góc EDP).
EP = SH/2 = 6;
DP = AD 2/3 = 5;

Tiếp tuyến góc EDP = EP/DP = 6/5,
Góc EDP = arctan(6/5)

Trong nhiệm vụ 14 của Kỳ thi Thống nhất Toán học, học sinh tốt nghiệp tham gia kỳ thi cần giải một bài toán về hình học lập thể. Đó là lý do tại sao mỗi học sinh phải học cách giải những vấn đề như vậy nếu muốn đạt điểm cao trong kỳ thi. Bài viết này trình bày phân tích về hai loại nhiệm vụ 14 trong Kỳ thi Thống nhất môn Toán năm 2016 (cấp độ hồ sơ) của một gia sư toán ở Mátxcơva.

Một video phân tích về nhiệm vụ này có sẵn:

Bản vẽ cho nhiệm vụ sẽ trông như thế này:

a) Vì nó thẳng MN song song với đường thẳng D.A., thuộc về mặt phẳng DAS, sau đó thẳng MN song song với mặt phẳng DAS. Do đó, giao tuyến của mặt phẳng DAS và các phần KMN sẽ song song với đường thẳng MN. Hãy để nó là một dòng KL. Sau đó KMNL- phần được yêu cầu

Chứng minh mặt phẳng cắt song song với mặt phẳng SBC. Thẳng BC song song với đường thẳng MN, vì tứ giác MNCB là hình chữ nhật (bạn tự chứng minh). Bây giờ hãy chứng minh sự đồng dạng của các tam giác AKM Và A.S.B.. AC.- đường chéo của hình vuông. Theo định lý Pytago cho tam giác ADC chúng ta tìm thấy:

AH. là một nửa đường chéo của hình vuông, do đó . Sau đó, từ định lý Pythagore cho tam giác vuông, chúng ta tìm thấy:

Khi đó các mối quan hệ sau giữ nguyên:

Hoá ra các cạnh tạo thành góc A trong tam giác AKM Và A.S.B., tỷ lệ thuận. Do đó, các hình tam giác đều giống nhau. Điều này hàm ý sự bằng nhau của các góc, đặc biệt là sự bằng nhau của các góc AMK Và ABS. Vì các góc này tương ứng với đường thẳng K.M., S.B. và cát tuyến M.B., Cái đó K.M. song song S.B..

Vì vậy, chúng ta có hai đường thẳng giao nhau của cùng một mặt phẳng ( K.M. Và N.M.) lần lượt song song với hai đường thẳng cắt nhau của một mặt phẳng khác ( S.B. Và BC). Vì vậy, các máy bay MNK Và SBC song song.

b) Vì hai mặt phẳng song song nên khoảng cách từ điểm K lên máy bay SBC bằng khoảng cách từ điểm S lên máy bay KMN. Chúng tôi đang tìm kiếm khoảng cách này. Từ điểm S hạ thấp đường vuông góc SPđến một đường thẳng D.A.. Máy bay SPH cắt mặt phẳng cắt theo một đường thẳng HOẶC. Khoảng cách cần tìm là độ dài đường vuông góc tính từ điểm Sđến một đường thẳng HOẶC.

Thật sự, KL vuông góc với mặt phẳng O.S.R., vì nó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng này ( HOẶC Và hệ điều hành). Độ vuông góc HOẶC Và KL suy ra định lý ba đường vuông góc. Kể từ đây, KL vuông góc với chiều cao của tam giác ORS, bị kéo sang một bên HOẶC. Nghĩa là độ cao này vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng KMN, và do đó vuông góc với mặt phẳng này.

Tìm các cạnh của một tam giác SOR. bên S.R. sử dụng định lý Pytago để tìm tam giác vuông RSH: . Chiều dài SP sử dụng định lý Pytago để tìm tam giác vuông P.S.H.: . Hình tam giác SOK Và SPA giống nhau (hãy tự chứng minh) với hệ số tương tự. Sau đó và. Từ một tam giác vuông SPH chúng ta tìm thấy . Từ định lý cosin cho tam giác por chúng tôi tìm thấy điều đó Vì vậy, chúng tôi đã tìm thấy tất cả các cạnh của tam giác SOR.

Từ định lý cosin cho tam giác SOR chúng ta tìm thấy , thì từ đồng nhất thức lượng giác chính chúng ta tìm thấy . Khi đó diện tích của tam giác O.S.R. bằng:

Mặt khác, diện tích này bằng , Ở đâu h- chiều cao yêu cầu. Chúng ta tìm thấy nó từ đâu?

Các mặt phẳng đáy của lăng kính song song với nhau nên mặt cắt sẽ cắt các mặt phẳng này theo đường thẳng L.S. Và DK, cũng song song. Cho phép B 1 M- chiều cao của hình tam giác MỘT 1 B 1 C 1, một LÀ- chiều cao của hình tam giác ABC. Khi đó bản vẽ sẽ trông như thế này:

Từ một tam giác vuông B 1 MMỘT 1 được tìm thấy bằng định lý Pythagore . Từ một tam giác vuông B 1 QSđược tìm thấy bởi định lý Pythagore. Sau đó . Ngoài ra (nửa chiều cao LÀ tam giác đều ABC). Hình tam giác MQT Và PTB giống nhau ở hai góc (góc PTB Và MTQ bằng các góc thẳng đứng TPB Và MQT bằng nhau khi nằm ngang với các đường thẳng song song MQ, P.B. và cát tuyến PQ). Hệ số tương đồng của chúng là .

Tiếp theo từ tam giác vuông M.B.E. chúng ta tìm thấy . Sử dụng sự tương tự đã được chứng minh, chúng tôi tìm thấy . Tương tự như vậy, . Kể từ đây, .

Người ta tin rằng nhiệm vụ về phép đo lập thể trong Kỳ thi Tiểu bang Thống nhất môn toán chỉ dành cho những học sinh xuất sắc. Việc giải quyết nó đòi hỏi những tài năng đặc biệt và “tư duy không gian” bí ẩn, điều mà chỉ một số ít người may mắn có được ngay từ khi sinh ra.

Có phải vậy không?

May mắn thay, mọi thứ đơn giản hơn nhiều. Cái được gọi một cách đẹp đẽ là “tư duy không gian” thường có nghĩa là kiến thức cơ bản về hình học lập thể và khả năng vẽ hình.

Đầu tiên, bạn cần có kiến thức về các công thức lập thể. Các bảng “Khối đa diện” và “Vật thể quay” của chúng tôi chứa tất cả các công thức tính thể tích và diện tích bề mặt của các vật thể ba chiều.

Thứ hai, tự tin giải các bài toán hình học trình bày ở phần 1 (12 bài đầu). Các vấn đề về Kỳ thi Thống nhất). Đây là cả hai vấn đề phẳng và lập thể.

Và quan trọng nhất, để giải bài 14 bạn sẽ cần đến những tiên đề và định lý cơ bản của phép đo lập thể. Tốt nhất là bạn nên mua sách giáo khoa hình học lớp 10-11 (tác giả - A.V. Pogorelov hoặc L.S. Atanasyan) và trả lời các câu hỏi, danh sách các câu hỏi được đưa ra dưới đây. Viết các định nghĩa và phát biểu của các định lý vào sổ tay của bạn. Thực hiện các bản vẽ. Hãy cố gắng tự mình chứng minh các định lý.

Trong khi thực hiện nhiệm vụ này, hãy tự hình dung chúng khác nhau như thế nào định nghĩa và ký hiệu. Ví dụ, có một định nghĩa về sự song song của một đường thẳng và một mặt phẳng - và một dấu hiệu về sự song song của một đường thẳng và một mặt phẳng. sự khác biệt giữa chúng là gì?

Sẽ rất tốt nếu bạn tự làm bài và so sánh với đáp án. Tất cả các câu trả lời có thể được tìm thấy trên trang web của chúng tôi, trong phần này.

chương trình lập thể.

Một mặt phẳng trong không gian. Hoàn thành câu: Một mặt phẳng có thể được vẽ qua...
(Đưa ra bốn câu trả lời có thể.)
Vị trí của các mặt phẳng trong không gian Hoàn thành câu: Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng...
Sự song song của đường thẳng và mặt phẳng. Định nghĩa và ký hiệu.
Phép chiếu xiên và phép chiếu xiên là gì. Vẽ.
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Độ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng. Định nghĩa và ký hiệu.
Vượt qua các đường thẳng. Góc giữa các đường cắt nhau. Khoảng cách giữa các đường giao nhau.
Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng song song với nó.
Sự song song của các mặt phẳng. Định nghĩa và ký hiệu.
Độ vuông góc của các mặt phẳng. Định nghĩa và ký hiệu.
Hoàn thành câu: a) Giao tuyến của hai mặt phẳng song song với mặt phẳng thứ ba...
b) Các đoạn thẳng song song nằm giữa các mặt phẳng song song...

Ở đây có một ít quy tắc đơn giảnđể giải các bài toán về hình học:

Có hai cách chính để giải các bài toán lập thể trong kỳ thi Thống nhất môn toán. Đầu tiên là cổ điển: ứng dụng thực tế của các định nghĩa, định lý và đặc điểm, danh sách được đưa ra ở trên. Thứ hai -

Tất cả các cạnh của một hình chóp tam giác đều SBCD với đầu Sđều bằng 9.

Căn cứ ồđộ cao VÌ THẾ SS 1 , M- giữa xương sườn S.B., dấu chấm L nằm trên rìa đĩa CD Vì thế C.L. : LD = 7: 2.

SBCD máy bay S 1 L.M.- hình thang cân.

Giải pháp.

a) Vẽ đường trung tuyến S 1 M Tam giác SS 1 B, cắt đường thẳng BB 1 cũng là đường trung bình của tam giác SS 1 B và căn cứ BCD, Ở điểm T. Sau đó VT : TV 1 = 4: 5.

chấm L, lần lượt, chia đoạn B 1 D trong một mối quan hệ D.L. : LB 1 = 4:5, vì LD : L.C.= 2: 7 và đoạn BB 1 - đường trung tuyến của tam giác BCD.

Do đó cạnh của mặt cắt đi qua các điểm L Và T, song song với cạnh BD căn cứ BCD. Hãy để nó thẳng thắn LT thánh giá BC tại điểm P.

Chúng ta hãy đi qua điểm Mđường giữa trong tam giác SBD hãy để cô ấy băng qua một bên SD tại điểm K. Sau đó PMKL- phần mong muốn, và B.P. = D.L. Và B.M. = KD. Từ sự bằng nhau của các tam giác BMP Và DKL chúng tôi nhận được nghị sĩ = KL, nghĩa là PMKL- hình thang cân.

b) Cơ sở lớn hơn P.L. hình thang bằng 7 vì tam giác LPC Chính xác. Cơ sở thứ hai MK bằng 4,5 vì MK- đường trung bình của tam giác đều SBD. Do đó, đường trung bình của hình thang bằng

Vasily Mông 09.03.2016 14:53

tại sao trong câu 1 của lời giải BT: TB1 = 4:5 thì tính chất này là gì? "vì BB1 cũng là đường trung bình của tam giác SS1B." không có tài sản như vậy

Schg Wrbutr 21.04.2017 19:58

Nói cho tôi biết, bạn lấy tỷ lệ 4:5 từ đâu? Bạn có thể giải thích tính chất này của số trung vị không?

Alexander Ivanov

Các đường trung tuyến của một tam giác được chia cho điểm giao nhau theo tỷ lệ 2:1

Trong một kim tự tháp tam giác đều SABC phía cơ sở AB bằng 12 và cạnh bên SA bằng 8. Điểm M Và N- giữa sườn SA Và S.B. tương ứng. Mặt phẳng α chứa đường thẳng MN và vuông góc với mặt phẳng đáy của kim tự tháp.

a) Chứng minh mặt phẳng α chia đường trung tuyến C.E. bazơ theo tỉ lệ 5:1, tính từ điểm C.

b) Tìm thể tích của hình chóp có đỉnh là điểm C, và đáy là một phần của kim tự tháp SABC mặt phẳng α.

Giải pháp.

a) Đáy của hình chóp tam giác đều có một tam giác đều. Chiếu chiều cao S kim tự tháp trên cơ sở cho một điểm ồ, nằm ở giao điểm của các đường trung tuyến. Vì vậy, điểm ồ chia số trung vị theo tỷ lệ 2:1, nghĩa là

Hãy xem xét chiều cao S.E. Tam giác SAB. chấm F 1 là ở giữa của nó. Do đó, hình chiếu của nó lên đường trung tuyến C.E. chia một đoạn O.E. Trong một nửa. Lần lượt, đoạn này sau đó

Kết quả là chúng ta thấy rằng điểm F chia trung vị C.E. theo tỷ lệ 5:1, bắt đầu từ điểm C. Q.E.D.

b) Tìm chiều cao của hình chóp mong muốn SE sử dụng định lý Pytago để tìm tam giác vuông TCN:

Hãy tính diện tích đáy của hình chóp (diện tích hình thang MNZK). Một đoạn thẳng là một đoạn thẳng (vì đây là đường trung bình của tam giác) ABS), chiều cao của hình thang Tìm chiều cao VÌ THẾ từ một tam giác vuông SOC:

Diện tích của hình thang (đáy của kim tự tháp) là

Chúng tôi tìm thấy khối lượng của kim tự tháp bằng công thức

Trả lời: b)

Nguồn: Tài liệu chuyên gia thi Thống nhất 2016

Trong kim tự tháp SABCđáy là một hình tam giác đều ABC với điểm bên ồ- đáy của chiều cao của kim tự tháp được vẽ từ đỉnh S.

a) Chứng minh rằng điểm ồ nằm ngoài tam giác ABC.

b) Tìm thể tích của hình chóp tứ giác SABCO.

Giải pháp.

a) Vì SA = S.C., dấu chấm S nằm trong mặt phẳng vuông góc với đoạn AC. và đi qua giữa của nó M. Kể từ đây, ồ nằm trên một đường thẳng B.M.. Chúng ta hãy biểu thị chiều cao của kim tự tháp là x, rồi Do đó, và Hơn nữa, do đó điểm ồ nằm ngoài tam giác. Hơn nữa, kể từ khi A.O. BO, cô ấy nằm tiếp tục B.M. mỗi điểm M.

b) Từ một tam giác SMA hãy tìm Bây giờ, từ hình tam giác SMO chúng ta tìm thấy Sau đó từ tam giác BOS chúng ta có

Trả lời:

Trong một hình chóp tứ giác đều SABCD với đầu S cạnh của đế là 8. Điểm L- giữa xương sườn S.C.. Tiếp tuyến của góc giữa các đường thẳng B.L. Và SA bằng

a) Hãy để ồ- trung tâm của đáy kim tự tháp. Chứng minh rằng đường thẳng B.O. Và L.O. vuông góc.

b) Tìm diện tích bề mặt của kim tự tháp.

Giải pháp.

a) Vì đường trung bình của tam giác, nhưng theo định lý ba đường vuông góc thì hình chiếu lên mặt phẳng đáy của hình chóp là đường thẳng, nghĩa là

b) Đặt Then , Ngoài ra, , từ đó Chiều cao của mặt bên của kim tự tháp và diện tích bề mặt của kim tự tháp

Đáp số: 192.

Nguồn: Các bài kiểm tra điển hình trong toán học, do I. V. Yashchenko biên soạn năm 2016

Tất cả các cạnh của một hình chóp tứ giác đều SABCD với đầu Sđều bằng 6. Chiều cao đáy VÌ THẾ của kim tự tháp này là trung điểm của đoạn SS 1 , M- giữa xương sườn BẰNG, dấu chấm L nằm trên rìa BC Vì thế B.L. : L.C. = 1: 2.

a) Chứng minh rằng tiết diện của hình chóp SABCD máy bay S 1 L.M.- hình thang cân.

b) Tính độ dài đường trung bình của hình thang này.

Giải pháp.

Thẳng S 1 M vượt qua trung tuyến A.O. Tam giác ABD tại điểm T Vì thế TẠI : ĐẾN= 2:1 vì T- Giao điểm các đường trung tuyến của tam giác SAS 1 và ồ- giao điểm của các đường chéo của đáy A B C D, kể từ kim tự tháp SABCD Chính xác.

Kể từ đây, TẠI : TC= 1:2. Điểm L chia một đoạn BC trong một mối quan hệ B.L. : L.C.= 1:2, do đó hình tam giác ACB Và TCL tương tự với hệ số tương tự k = AC. : TC = BC : C.L.= 3:2 vì chúng có một góc chung với đỉnh C và các bữa tiệc AC. Và BC trong một hình tam giác ABC tỉ lệ với các cạnh TC Và L.C. Tam giác TCL, bao quanh cùng một góc. Điều này có nghĩa là cạnh của mặt cắt đi qua các điểm L Và T, song song với cạnh AB cơ sở của kim tự tháp SABCD QUẢNG CÁO tại điểm P.

Cạnh của phần đi qua điểm M trên máy bay SAB, song song với đường thẳng AB, kể từ khi máy bay S 1 L.M. cắt mặt phẳng SAB và đi qua đường thẳng P.L., song song với mặt phẳng SAB. Hãy để cạnh này của phần giao nhau với cạnh S.B. tại điểm K. Sau đó phần PMKL- là hình thang cân vì AP = B.L. Và LÀ. = B.K..

Cơ sở lớn hơn LP hình thang là 6, vì A B C D- quảng trường. Cơ sở thứ hai MK hình thang bằng 3, vì MK- đường giữa của tam giác SAB. Điều này có nghĩa là đường trung bình của hình thang bằng

Trả lời: b) 4.5.

Trong một kim tự tháp hình tam giác A B C D góc nhị diện ở các cạnh QUẢNG CÁO Và BCđều bình đẳng. AB = BD = DC = AC. = 5.

a) Chứng minh rằng QUẢNG CÁO = BC.

b) Tìm thể tích của hình chóp nếu các góc nhị diện ở QUẢNG CÁO Và BC bằng 60°.

Giải pháp.

Tam giác BAC- cân. Hãy thực hiện LÀ. ⊥ BC. M- ở giữa BC, Sau đó DM ⊥ BC, vì tam giác BDC cân. ∠ AMD BC. Tương tự ∠ BNC= φ - góc tuyến tính của góc nhị diện ở cạnh QUẢNG CÁO. Δ ABC = Δ DBC thì ở ba phía MA = MD Và

Tương tự với Δ XẤU = Δ CAD Và N.B. = NC, MỘT

Hình tam giác ANM Và BMN nói chung là bằng nhau MN và góc nhọn α thì MỘT = B.M.. Nhưng do đó QUẢNG CÁO = BC.

b) Theo điều kiện φ = 60° thì tam giác AMDđều. Cho phép QUẢNG CÁO = LÀ. = MD = BC = Một, thì Trong tam giác A.M.B. chúng tôi có ở đâu và

Trả lời:

Nguồn: Nhiệm vụ 14 (C2) Kỳ thi Thống nhất toàn bang 2016, Kỳ thi thống nhất môn Toán - 2016. Đợt sớm, ngày dự bị, lựa chọn của A. Larin (phần C).

Trong một đáy của một hình trụ tròn bên phải có chiều cao bằng 12 và bán kính đáy bằng 6, kẻ một dây cung AB, bằng bán kính của đáy và ở đáy còn lại, đường kính được vẽ đĩa CD, vuông góc AB. Phần đã thi công ABNM, đi qua đường thẳng AB vuông góc với một đường thẳng đĩa CD vậy đó chính là vấn đề C và tâm của đáy hình trụ nơi vẽ đường kính đĩa CD, nằm ở một bên của phần.

a) Chứng minh rằng các đường chéo của phần này bằng nhau.

b) Tìm thể tích của kim tự tháp CABN.

Giải pháp.

a) Để dựng một mặt cắt, hãy bỏ qua các đường vuông góc LÀ. Và BN tới đáy thứ hai của hình trụ. Phân đoạn LÀ. Và BN song song và bằng nhau, nghĩa là ABNM- hình bình hành. Vì thẳng LÀ. Và BN vuông góc với các đáy của hình trụ và đặc biệt với đường thẳng AB, hình bình hành ABNM là một hình chữ nhật. Các đường chéo của hình chữ nhật bằng nhau, đây là điều cần chứng minh.

b) Diện tích hình chữ nhật ABNM bằng với đoạn Ồ bằng chiều cao CH kim tự tháp CABN bằng Do đó, thể tích của kim tự tháp CABN bằng

Trả lời: b)

Trong lăng kính tam giác đều ABCA 1 B 1 C 1 tất cả các cạnh đều bằng 6. Trên các cạnh A.A. 1 và CCĐã đánh dấu 1 điểm M Và N tương ứng, và LÀ. = 2, CN = 1.

a) Chứng minh rằng mặt phẳng MNB 1 chia lăng kính thành hai khối đa diện có thể tích bằng nhau.

b) Tìm thể tích của tứ diện MNBB 1 .

Giải pháp.

Diện tích đáy của lăng kính bằng và thể tích của lăng kính bằng

Trong một kim tự tháp tứ giác B 1 MỘT 1 C 1 N.M. MỘT 1 B 1 C 1, hạ xuống một bên MỘT 1 C 1 và bằng Base MỘT 1 C 1 N.M. kim tự tháp B 1 MỘT 1 C 1 N.M. là một hình thang có diện tích 27. Điều này có nghĩa là thể tích của hình chóp là B 1 MỘT 1 C 1 N.M. bằng nhau, tức là bằng một nửa thể tích của lăng kính. Vì vậy thể tích của khối đa diện B 1 MỘT 1 C 1 N.M. Và ABCMB 1 Nđều bình đẳng.

b) Trong hình chóp tứ giác BACNM chiều cao trùng với chiều cao của đáy lăng kính ABC, hạ xuống một bên AC., và bằng đáy của kim tự tháp BACNM là một hình thang có diện tích là 9. Thể tích của hình chóp BACNM bằng

đa diện ABCMB 1 N gồm có hai phần: BACNM Và MNBB 1 . Điều này có nghĩa là thể tích của tứ diện là MNBB 1 bằng

Trả lời:

Nguồn: Nhiệm vụ 14 (C2) Kỳ thi Thống nhất 2016, Kỳ thi Thống nhất - 2016. Đợt đầu. Phương án 201. Miền Nam

Alexander Ivanov

Chiều cao trong tam giác đều cạnh 6

Có một lăng trụ tam giác đều ABCA 1 B 1 C 1 với cạnh đáy 12 và chiều cao 3. Điểm K- ở giữa BC, dấu chấm L nằm ở bên cạnh MỘT 1 B 1 vậy đó TRONG 1 L= 5. Điểm M- ở giữa MỘT 1 C 1 .

Qua dấu chấm K Và L một mặt phẳng được vẽ sao cho nó song song với một đường thẳng AC..

a) Chứng minh mặt phẳng trên vuông góc với đường thẳng M.B..

b) Tìm thể tích của hình chóp có đỉnh tại điểm TRONG và đáy của nó là một phần của lăng trụ theo mặt phẳng.

Giải pháp.

a) Đánh dấu các điểm và các cạnh tương ứng sao cho mặt phẳng là mặt phẳng

Rõ ràng, vì hình chiếu lên mặt phẳng là chiều cao của tam giác nên nó vuông góc, và do đó Theo định lý ba đường vuông góc

Bây giờ chúng ta xét phép chiếu của một điểm lên một mặt phẳng. Vì hình chiếu lên mặt phẳng này là trung điểm của cạnh nên bây giờ chúng ta chứng minh rằng đường thẳng đó vuông góc. Sau đó, theo định lý ba đường vuông góc, ta chứng minh rằng , và sau đó

Ta biểu thị bằng giao điểm của các đoạn thẳng và , bằng và hình chiếu của các điểm và lên đường thẳng Khi đó

Vì vậy, các tiếp tuyến của các góc này nghịch đảo nhau nên các góc cộng lại bằng 90° và góc = 180° - 90° = 90°, đây là điều cần chứng minh.

b) Hiển nhiên vì đây là tam giác đều.

Trả lời:

Nguồn: Kỳ thi Thống nhất - 2016. Đợt chính 06.06.2016. Trung tâm

Chiều dài đường chéo của khối ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 bằng 3. Trên tia MỘT 1 Cđiểm được đánh dấu P Vì thế MỘT 1 P = 4.

a) Chứng minh rằng PBDC 1 - tứ diện đều.

b) Tìm độ dài của đoạn AP.

Giải pháp.

a) Hãy giới thiệu hệ tọa độ như hình vẽ. Vì cạnh của hình lập phương ở gốc nhỏ hơn đường chéo của nó nên cạnh của hình lập phương đó bằng Sau đó các điểm B, D, C 1 có tọa độ tương ứng.

Bởi vì Pđang tiếp tục MỘT 1 C, đoạn đường MỘT 1 P có thể coi là đường chéo của hình lập phương có cạnh. P có tọa độ

Hãy tìm khoảng cách từ Pđến điểm D 1 , B Và C 1:

Phân đoạn C 1 B, D.B. Và DC 1 - do đó, các đường chéo của các mặt của khối lập phương, theo định lý Pythagore. Khi đó, tất cả các cạnh của khối tứ diện DBC 1 P bằng nhau nên đúng.

b) Tọa độ điểm MỘT: Khoảng cách từ điểm Pđến điểm MỘT bằng

Trả lời:

Hãy đưa ra một giải pháp khác.

a) Đường chéo của hình lập phương lớn hơn cạnh của nó: Do đó,

Lưu ý rằng vì các đường chéo của hình vuông có cạnh AB. Khi đó tam giác BC 1 D- Chính xác.

Hãy Bởi Vì A B C D- ta có hình vuông:

Vì cả hai đều nằm ngang và dọc nên ta có: ở hai góc thì

Lưu ý rằng tam giác là góc vuông thì ở đâu

Trong một hình tam giác OMC chúng ta có: kể từ - đúng. Khi đó, theo định lý nghịch đảo với định lý Pythagore, Δ OMC− hình chữ nhật, ∠ M= 90°.