Phương trình vi phân cấp một. Ví dụ giải pháp. Phương trình vi phân với biến tách được. Giải phương trình vi phân trực tuyến
6.1. CÁC KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH NGHĨA CƠ BẢN
Khi giải quyết các vấn đề khác nhau của toán học và vật lý, sinh học và y học, thường không thể thiết lập ngay sự phụ thuộc hàm dưới dạng một công thức liên kết các biến mô tả quá trình đang nghiên cứu. Thông thường, người ta phải sử dụng các phương trình chứa, ngoài biến độc lập và hàm chưa biết, còn có các đạo hàm của nó.
Sự định nghĩa. Một phương trình liên quan đến một biến độc lập, một hàm chưa biết và các đạo hàm của nó theo các bậc khác nhau được gọi là vi phân.
Hàm chưa biết thường được ký hiệu y(x) hoặc đơn giản y, và các dẫn xuất của nó là y", y" vân vân.
Các ký hiệu khác cũng có thể, ví dụ: nếu y= x(t), sau đó x"(t), x""(t) là các dẫn xuất của nó, và t là một biến độc lập.
Sự định nghĩa. Nếu hàm phụ thuộc vào một biến, thì phương trình vi phân được gọi là bình thường. Hình thức chung phương trình vi phân thường:
hoặc
Chức năng F Và f có thể không chứa một số đối số, nhưng để các phương trình vi phân, sự hiện diện của đạo hàm là điều cần thiết.
Sự định nghĩa.Bậc của phương trình vi phân là bậc của đạo hàm cao nhất chứa trong nó.
Ví dụ, x 2 y"- y= 0, y" + sin x= 0 là các phương trình bậc nhất và y"+ 2 y"+ 5 y= x là phương trình bậc hai.
Khi giải các phương trình vi phân, phép toán tích phân được sử dụng, có liên quan đến sự xuất hiện của một hằng số tùy ý. Nếu hành động tích hợp được áp dụng N lần, sau đó, rõ ràng, giải pháp sẽ chứa N hằng số tùy ý.
6.2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẬC NHẤT
Hình thức chung phương trình vi phân bậc nhấtđược xác định bởi biểu thức
Phương trình có thể không chứa rõ ràng x Và y, nhưng nhất thiết phải chứa y".
Nếu phương trình có thể được viết là
sau đó chúng ta nhận được một phương trình vi phân bậc nhất được giải đối với đạo hàm.
Sự định nghĩa. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp một (6.3) (hoặc (6.4)) là tập nghiệm 
, Ở đâu VỚI là một hằng số tùy ý.
Đồ thị để giải một phương trình vi phân được gọi là đường cong tích phân.
Cho một hằng số tùy ý VỚI các giá trị khác nhau, có thể thu được các giải pháp cụ thể. Trên bề mặt xOy nghiệm chung là một họ các đường cong tích phân tương ứng với từng nghiệm cụ thể.
Nếu bạn đặt một điểm A(x0, y0), qua đó đường cong tích phân phải đi qua, theo quy luật, từ tập hợp các hàm 
một có thể được chọn ra - một giải pháp cụ thể.
Sự định nghĩa.quyết định riêng tư của một phương trình vi phân là nghiệm của nó không chứa các hằng số tùy ý.
Nếu như 
là nghiệm tổng quát thì từ điều kiện
bạn có thể tìm thấy một vĩnh viễn VỚI.Điều kiện được gọi là điều kiện ban đầu.
Bài toán tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân (6.3) hoặc (6.4) thỏa mãn điều kiện ban đầu 
Tại 
gọi điện bài toán Cauchy. Có phải vấn đề này luôn luôn có một giải pháp? Câu trả lời nằm trong định lý sau.
định lý Cauchy(định lý về sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm). Cho vào phương trình vi phân y"= f(x, y) chức năng f(x, y) và cô ấy
đạo hàm riêng 
được xác định và liên tục trong một số
khu vực D, chứa một dấu chấm 
Sau đó trong khu vực Đ. tồn tại
nghiệm duy nhất của phương trình thỏa mãn điều kiện ban đầu 
Tại 
Định lý Cauchy phát biểu rằng trong những điều kiện nhất định tồn tại một đường cong tích phân duy nhất y= f(x),đi qua một điểm 
Những điểm không thỏa mãn điều kiện của định lý
Mèo được gọi là đặc biệt. Phá vỡ tại những điểm này f(x, y) hoặc.
Một số đường cong tích phân đi qua một điểm kỳ dị hoặc không có.
Sự định nghĩa. Nếu nghiệm (6.3), (6.4) có dạng f(x, y, c)= 0 không được phép đối với y, thì nó được gọi là tích phân chung phương trình vi phân.
Định lý Cauchy chỉ đảm bảo rằng tồn tại nghiệm. Vì không có một phương pháp duy nhất để tìm nghiệm nên chúng ta sẽ chỉ xem xét một số loại phương trình vi phân cấp một có thể tích phân trong hình vuông.
Sự định nghĩa. Phương trình vi phân được gọi là có thể tích hợp trong cầu phương, nếu việc tìm kiếm giải pháp của nó bị giảm xuống thành tích hợp các chức năng.
6.2.1. Phương trình vi phân bậc nhất với các biến tách được
Sự định nghĩa. Phương trình vi phân cấp một được gọi là phương trình với các biến có thể tách rời,
Vế phải của phương trình (6.5) là tích của hai hàm, mỗi hàm chỉ phụ thuộc vào một biến.
Ví dụ, phương trình 
là một phương trình với tách
truyền biến 
và phương trình 
không thể biểu diễn dưới dạng (6.5).
Cho rằng 
, chúng tôi viết lại (6.5) là 
Từ phương trình này, chúng ta thu được một phương trình vi phân với các biến riêng biệt, trong đó các vi phân chứa các hàm chỉ phụ thuộc vào biến tương ứng:
Tích phân theo số hạng, ta có
trong đó C= C 2 - C 1 là hằng số tùy ý. Biểu thức (6.6) là tích phân tổng quát của phương trình (6.5).
Chia cả hai phần của phương trình (6.5) cho , chúng ta có thể mất các nghiệm mà tại đó, 
Thật vậy, nếu 
Tại 
Cái đó 
hiển nhiên là một nghiệm của phương trình (6.5).
ví dụ 1 Tìm nghiệm của phương trình thỏa mãn
tình trạng: y= 6 tại x= 2 (y(2) = 6).
Giải pháp. Hãy thay thế Tại" sau đó 
. Nhân cả hai vế với
dx, vì trong hội nhập hơn nữa, không thể rời khỏi dxở mẫu số:
rồi chia cả hai phần cho 
chúng ta có được phương trình,
mà có thể được tích hợp. Chúng tôi tích hợp: 
Sau đó 
; thế, chúng tôi nhận được y = C . (x + 1) - ob-
giải pháp.
Dựa trên dữ liệu ban đầu, chúng tôi xác định một hằng số tùy ý bằng cách thay thế chúng vào giải pháp chung
Cuối cùng chúng tôi nhận được y= 2(x + 1) là nghiệm riêng. Hãy xem xét thêm một số ví dụ về việc giải phương trình với các biến tách rời.
ví dụ 2 Tìm nghiệm của phương trình 
Giải pháp. Cho rằng 
, chúng tôi nhận được 
.
Tích hợp cả hai vế của phương trình, ta có
Ở đâu 
ví dụ 3 Tìm nghiệm của phương trình Giải pháp. Chúng tôi chia cả hai phần của phương trình cho các thừa số phụ thuộc vào một biến không trùng với biến dưới dấu vi phân, nghĩa là, bởi 
và hòa nhập. Sau đó, chúng tôi nhận được
và cuối cùng
Ví dụ 4 Tìm nghiệm của phương trình
Giải pháp. Biết những gì chúng ta sẽ nhận được. Phần-
biến lim. Sau đó 
Tích hợp, chúng tôi nhận được
Bình luận. Trong ví dụ 1 và 2, chức năng mong muốn y thể hiện một cách tường minh (giải pháp chung). Trong ví dụ 3 và 4 - ẩn (tích phân tổng quát). Trong tương lai, hình thức của quyết định sẽ không được chỉ định.
Ví dụ 5 Tìm nghiệm của phương trình Giải pháp.
Ví dụ 6 Tìm nghiệm của phương trình 
thỏa mãn
tình trạng y(e)= 1.
Giải pháp. Ta viết phương trình dưới dạng 
Nhân cả hai vế của phương trình với dx và tiếp tục, chúng tôi nhận được
Tích phân cả hai vế của phương trình (tích phân ở vế phải được lấy từng phần), ta được 
Nhưng với điều kiện y= 1 tại x= e. Sau đó
Thay thế các giá trị tìm thấy VỚI thành một giải pháp chung:
Biểu thức kết quả được gọi là nghiệm riêng của phương trình vi phân.
6.2.2. đồng nhất phương trình vi phânđơn đặt hàng đầu tiên
Sự định nghĩa. Phương trình vi phân cấp một được gọi là đồng nhất nếu nó có thể được đại diện như
Chúng tôi trình bày thuật toán giải phương trình thuần nhất.
1. Thay vào đó y giới thiệu một chức năng mới Sau đó 
và do đó 
2. Về chức năng bạn phương trình (6.7) có dạng
tức là, sự thay thế làm giảm phương trình thuần nhất thành một phương trình với các biến có thể tách rời.
3. Giải phương trình (6.8), trước tiên ta tìm u, rồi y= ừ.
ví dụ 1 giải phương trình 
Giải pháp. Ta viết phương trình dưới dạng
Chúng tôi thay thế: 
Sau đó 
Hãy thay thế 
Nhân với dx: 
chia cho x và hơn thế nữa 
Sau đó
Tích hợp cả hai phần của phương trình đối với các biến tương ứng, chúng ta có
hoặc, quay lại các biến cũ, cuối cùng chúng ta nhận được
ví dụ 2giải phương trình 
Giải pháp.Cho phép 
Sau đó
Chia cả hai vế của phương trình cho x2: 
Hãy mở ngoặc và sắp xếp lại các điều khoản:
Chuyển sang các biến cũ, chúng tôi đi đến kết quả cuối cùng:
ví dụ 3Tìm nghiệm của phương trình 
cho rằng
Giải pháp.Thực hiện thay thế tiêu chuẩn 
chúng tôi nhận được
hoặc 
hoặc
Vậy nghiệm riêng có dạng 
Ví dụ 4 Tìm nghiệm của phương trình
Giải pháp.
Ví dụ 5Tìm nghiệm của phương trình 
Giải pháp.
làm việc độc lập
Tìm nghiệm của phương trình vi phân với các biến tách rời (1-9).
Tìm nghiệm của phương trình vi phân thuần nhất (9-18).
6.2.3. Một số ứng dụng của phương trình vi phân cấp một
Vấn đề phân rã phóng xạ
Tốc độ phân rã của Ra (radium) tại mỗi thời điểm tỷ lệ thuận với khối lượng khả dụng của nó. Tìm quy luật phân rã phóng xạ của Ra nếu biết rằng tại thời điểm ban đầu có Ra và chu kì bán rã của Ra là 1590 năm.
Giải pháp.Đặt tại thời điểm khối lượng Ra là x= x(t) và 
Khi đó tốc độ phân rã của Ra là
Theo nhiệm vụ 
Ở đâu k
Tách các biến trong phương trình cuối cùng và tích hợp, chúng tôi nhận được
Ở đâu 
Để xác định C chúng tôi sử dụng điều kiện ban đầu: 
.
Sau đó 
và do đó, 
yếu tố tỷ lệ kđược xác định từ điều kiện bổ sung:
Chúng ta có
Từ đây 
và công thức mong muốn
Vấn đề tốc độ sinh sản của vi khuẩn
Tốc độ sinh sản của vi khuẩn tỷ lệ thuận với số lượng của chúng. Lúc đầu có 100 con vi khuẩn. Trong vòng 3 giờ, số lượng của họ tăng gấp đôi. Tìm sự phụ thuộc của số lượng vi khuẩn vào thời gian. Hỏi sau 9 giờ số lượng vi khuẩn sẽ tăng lên bao nhiêu lần?
Giải pháp. Cho phép x- số lượng vi khuẩn tại thời điểm này t. Sau đó, tùy theo điều kiện, 
Ở đâu k- hệ số tỷ lệ.
Từ đây 
Được biết từ điều kiện 
. Có nghĩa,
Từ điều kiện bổ sung 
. Sau đó
Chức năng yêu cầu: 
Vì vậy, tại t= 9 x= 800, tức là trong vòng 9 giờ số lượng vi khuẩn tăng gấp 8 lần.
Nhiệm vụ tăng lượng enzym
Trong quá trình nuôi cấy men bia, tốc độ tăng trưởng của enzyme hoạt động tỷ lệ thuận với lượng ban đầu của nó. x. Lượng enzym ban đầu Một tăng gấp đôi trong vòng một giờ. Tìm sự phụ thuộc
x(t).
Giải pháp. Theo điều kiện, phương trình vi phân của quá trình có dạng 
từ đây
Nhưng 
. Có nghĩa, C= Một và sau đó 
Người ta cũng biết rằng 
Kể từ đây,
6.3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẬC HAI
6.3.1. Các khái niệm cơ bản
Sự định nghĩa.phương trình vi phân cấp haiđược gọi là quan hệ kết nối biến độc lập, hàm mong muốn và đạo hàm cấp một và cấp hai của nó.
Trong trường hợp đặc biệt, x có thể vắng mặt trong phương trình, Tại hoặc y". Tuy nhiên phương trình bậc 2 nhất thiết phải chứa y". Trong trường hợp tổng quát, phương trình vi phân cấp hai được viết dưới dạng:
hoặc, nếu có thể, ở dạng cho phép đối với đạo hàm cấp hai:
Giống như phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai có thể có nghiệm chung và nghiệm riêng. Giải pháp chung trông giống như:
Tìm giải pháp riêng
trong điều kiện ban đầu - đã cho
số) được gọi là bài toán Cauchy. Về mặt hình học, điều này có nghĩa là cần phải tìm đường cong tích phân Tại= y(x),đi qua một điểm cho trước 
và có một tiếp tuyến tại điểm này, đó là về
dĩa có hướng trục dương Con bò đực góc đã cho. đ. 
(Hình 6.1). Bài toán Cauchy có nghiệm duy nhất nếu vế phải của phương trình (6.10) 
không chuẩn bị
không liên tục và có đạo hàm riêng liên tục đối với u, u" trong một số lân cận của điểm xuất phát
Để tìm hằng số 
bao gồm trong một giải pháp cụ thể, nó là cần thiết để cho phép hệ thống
Cơm. 6.1.đường cong tích phân
Các máy tính trực tuyến cho phép bạn giải các phương trình vi phân trực tuyến. Chỉ cần nhập phương trình của bạn vào trường thích hợp, biểu thị "đạo hàm của hàm" bằng dấu nháy đơn và nhấp vào nút "giải phương trình". Và hệ thống được triển khai trên cơ sở trang web phổ biến WolframAlpha sẽ cung cấp chi tiết giải phương trình vi phân hoàn toàn miễn phí. Bạn cũng có thể đặt bài toán Cauchy sao cho từ tập hợp toàn bộ phương pháp khả thi chọn một thương số ứng với điều kiện ban đầu cho trước. Bài toán Cauchy được nhập vào một trường riêng.
phương trình vi phân
Theo mặc định, trong phương trình, hàm y là một chức năng của một biến x. Tuy nhiên, bạn có thể đặt ký hiệu biến của riêng mình, ví dụ: nếu bạn viết y(t) trong một phương trình, máy tính sẽ tự động nhận ra điều đó y là một chức năng của một biến t. Với máy tính bạn có thể giải phương trình vi phân của bất kỳ loại và độ phức tạp nào: đồng nhất và không đồng nhất, tuyến tính hoặc phi tuyến tính, bậc nhất hoặc bậc hai và bậc cao hơn, phương trình với các biến có thể tách rời hoặc không thể tách rời, v.v. Giải pháp khác biệt phương trình được đưa ra trong hình thức phân tích, Nó có miêu tả cụ thể. Phương trình vi phân rất phổ biến trong vật lý và toán học. Không có tính toán của họ, không thể giải quyết nhiều vấn đề (đặc biệt là trong vật lý toán học).
Một trong những bước giải phương trình vi phân là tích phân hàm. Có các phương pháp tiêu chuẩn để giải phương trình vi phân. Cần đưa các phương trình về dạng với các biến tách rời y và x và tích phân riêng các hàm tách rời. Để làm điều này, đôi khi bạn cần thực hiện một sự thay thế nhất định.
Hoặc đã được giải đối với đạo hàm hoặc chúng có thể được giải đối với đạo hàm 
.
Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân loại trên khoảng X, đã cho, có thể tìm được bằng cách lấy tích phân cả hai vế của đẳng thức này.
Lấy 
.
Nhìn vào các thuộc tính không xác định, không thể thiếu, sau đó chúng tôi tìm thấy giải pháp chung mong muốn:
y = F(x) + C,
Ở đâu F(x)- một trong những nguyên hàm của hàm f(x)ở giữa X, MỘT VỚI là một hằng số tùy ý.
Xin lưu ý rằng trong hầu hết các nhiệm vụ, khoảng thời gian X không chỉ ra. Điều này có nghĩa là một giải pháp phải được tìm ra cho tất cả mọi người. x, mà và chức năng mong muốn y, và phương trình ban đầu có ý nghĩa.
Nếu bạn cần tính nghiệm cụ thể của phương trình vi phân thỏa mãn điều kiện ban đầu y(x0) = y0, thì sau khi tính tích phân chung y = F(x) + C, vẫn cần xác định giá trị của hằng số C=C0 sử dụng điều kiện ban đầu. Tức là một hằng số C=C0 xác định từ phương trình F(x 0) + C = y 0, và nghiệm cụ thể mong muốn của phương trình vi phân sẽ có dạng:
y = F(x) + C0.
Hãy xem xét một ví dụ:
Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân, kiểm tra tính đúng đắn của kết quả. Hãy tìm nghiệm cụ thể của phương trình này thỏa mãn điều kiện ban đầu .
Giải pháp:
Sau khi tích phân phương trình vi phân đã cho, ta được:
.
Ta lấy tích phân này bằng phương pháp tích phân từng phần:
Cái đó., 
là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân.
Hãy kiểm tra để đảm bảo kết quả là chính xác. Để làm điều này, chúng tôi thay thế giải pháp mà chúng tôi tìm thấy vào phương trình đã cho:
.
Đó là, tại 
phương trình ban đầu biến thành một danh tính:
do đó nghiệm tổng quát của phương trình vi phân đã được xác định đúng.
Giải pháp mà chúng tôi tìm thấy là giải pháp chung của phương trình vi phân cho mỗi giá trị thực của đối số x.
Nó vẫn còn để tính toán một giải pháp cụ thể của ODE sẽ đáp ứng điều kiện ban đầu. Nói cách khác, cần phải tính giá trị của hằng số VỚI, tại đó đẳng thức sẽ đúng:
.
.
Sau đó, thay thế C = 2 vào nghiệm chung của phương trình ODE, ta được nghiệm riêng của phương trình vi phân thỏa mãn điều kiện ban đầu:
.
Phương trình vi phân thường 
có thể được giải đối với đạo hàm bằng cách chia 2 phần của phương trình cho f(x). Phép biến đổi này sẽ tương đương nếu f(x) không đi đến không cho bất kỳ x từ khoảng tích phân của phương trình vi phân X.
Các tình huống có thể xảy ra khi, đối với một số giá trị của đối số x ∈ X chức năng f(x) Và g(x) chuyển sang số không cùng một lúc. Đối với các giá trị tương tự x nghiệm tổng quát của phương trình vi phân là một hàm bất kỳ y, được định nghĩa trong chúng, bởi vì .
Nếu đối với một số giá trị của đối số x ∈ Xđiều kiện được thỏa mãn, có nghĩa là trong trường hợp này ODE không có giải pháp.
Đối với tất cả những người khác x từ khoảng thời gian X nghiệm tổng quát của phương trình vi phân được xác định từ phương trình biến đổi.
Hãy xem xét các ví dụ:
ví dụ 1
Hãy để chúng tôi tìm giải pháp chung của ODE: 
.
Giải pháp.
Từ tính chất của các hàm cơ bản cơ bản, rõ ràng hàm logarit tự nhiên được xác định cho các giá trị không âm của đối số, do đó, miền xác định của biểu thức nhật ký(x+3) có một khoảng thời gian x > -3 . Do đó, phương trình vi phân đã cho có ý nghĩa đối với x > -3 . Với các giá trị này của đối số, biểu thức x + 3 không biến mất, vì vậy người ta có thể giải ODE đối với đạo hàm bằng cách chia 2 phần cho x + 3.
Chúng tôi nhận được 
.
Tiếp theo, chúng ta tích phân phương trình vi phân thu được, được giải theo đạo hàm: 
. Để lấy tích phân này, chúng ta sử dụng phương pháp cộng dưới dấu của vi phân.
I. Phương trình vi phân thường
1.1. Các khái niệm và định nghĩa cơ bản
Một phương trình vi phân là một phương trình liên quan đến một biến độc lập x, chức năng mong muốn y và các đạo hàm hoặc vi phân của nó.
Một cách tượng trưng, phương trình vi phân được viết như sau:
F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y(n))=0
Một phương trình vi phân được gọi là bình thường nếu hàm mong muốn phụ thuộc vào một biến độc lập.
Bằng cách giải phương trình vi phânđược gọi là hàm biến phương trình này thành đẳng thức.
Bậc của phương trình vi phân là bậc của đạo hàm cao nhất trong phương trình này
Ví dụ.
1. Xét phương trình vi phân cấp một
Nghiệm của phương trình này là hàm y = 5 ln x. Thật vậy, bằng cách thay thế y" vào phương trình, chúng ta nhận được - một danh tính.
Và điều này có nghĩa là hàm y = 5 ln x– là nghiệm của phương trình vi phân này.
2. Xét phương trình vi phân cấp 2 y" - 5y" + 6y = 0. Các chức năng là giải pháp cho phương trình này.
Thật sự, .
Thay các biểu thức này vào phương trình, ta được: , - đẳng thức.
Và điều này có nghĩa là hàm là nghiệm của phương trình vi phân này.
Tích phân phương trình vi phân là quá trình tìm nghiệm của phương trình vi phân.
Nghiệm tổng quát của phương trình vi phânđược gọi là một chức năng của hình thức 
, bao gồm nhiều hằng số tùy ý độc lập như bậc của phương trình.
Giải pháp một phần của phương trình vi phânđược gọi là nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát đối với các giá trị số khác nhau của hằng số tùy ý. Các giá trị của các hằng số tùy ý được tìm thấy tại các giá trị ban đầu nhất định của đối số và hàm.
Đồ thị nghiệm riêng của phương trình vi phân được gọi là đường cong tích phân.
ví dụ
1. Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân cấp một
xdx + ydy = 0, Nếu như y= 4 tại x = 3.
Giải pháp. Tích phân cả hai vế của phương trình, ta được
Bình luận. Một hằng số C tùy ý thu được do tích hợp có thể được biểu diễn dưới bất kỳ dạng nào thuận tiện cho các phép biến đổi tiếp theo. Trong trường hợp này, có tính đến phương trình chính tắc của đường tròn, sẽ thuận tiện khi biểu diễn một hằng số С tùy ý ở dạng .
là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân.
Một giải pháp cụ thể của một phương trình thỏa mãn các điều kiện ban đầu y = 4 tại x = 3 được tìm từ tổng quát bằng cách thay điều kiện ban đầu vào nghiệm tổng quát: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.
Thay C=5 vào nghiệm chung ta được x2+y2 = 5 2 .
Đây là nghiệm riêng của phương trình vi phân thu được từ nghiệm tổng quát với điều kiện ban đầu cho trước.
2. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
Giải pháp của phương trình này là bất kỳ hàm nào có dạng , trong đó C là một hằng số tùy ý. Thật vậy, thay thế vào các phương trình, chúng tôi có được: , .
Do đó, phương trình vi phân này có vô số nghiệm, vì với các giá trị khác nhau của hằng số C, đẳng thức xác định giải pháp khác nhau phương trình.
Ví dụ, bằng cách thay thế trực tiếp, người ta có thể xác minh rằng các chức năng 
là nghiệm của phương trình .
Một vấn đề trong đó nó được yêu cầu để tìm một giải pháp cụ thể cho phương trình y" = f(x, y) thỏa mãn điều kiện ban đầu y(x0) = y0, được gọi là bài toán Cauchy.
giải phương trình y" = f(x, y), thỏa mãn điều kiện ban đầu, y(x0) = y0, được gọi là nghiệm của bài toán Cauchy.
Lời giải của bài toán Cauchy có ý nghĩa hình học đơn giản. Thật vậy, theo các định nghĩa này, để giải bài toán Cauchy y" = f(x, y) cho rằng y(x0) = y0, nghĩa là tìm đường cong tích phân của phương trình y" = f(x, y)đi qua một điểm cho trước M0 (x0,y 0).
II. phương trình vi phân bậc nhất
2.1. Các khái niệm cơ bản
Phương trình vi phân cấp một là phương trình có dạng F(x,y,y") = 0.
Phương trình vi phân cấp một bao gồm đạo hàm cấp một và không bao gồm đạo hàm cấp cao.
phương trình y" = f(x, y)được gọi là phương trình bậc nhất được giải theo đạo hàm.
Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp một là một hàm có dạng , chứa một hằng số tùy ý.
Ví dụ. Xét một phương trình vi phân bậc nhất.
Giải pháp cho phương trình này là hàm .
Thật vậy, thay thế trong phương trình này với giá trị của nó, chúng ta có được
đó là 3x=3x
Do đó, hàm số là nghiệm tổng quát của phương trình với hằng số C bất kỳ.
Tìm nghiệm riêng của phương trình này thỏa mãn điều kiện ban đầu y(1)=1 Thay thế các điều kiện ban đầu x=1, y=1 vào nghiệm tổng quát của phương trình , ta thu được từ đó C=0.
Do đó, chúng tôi thu được một giải pháp cụ thể từ giải pháp chung bằng cách thay thế vào phương trình này, giá trị kết quả C=0 là một quyết định riêng tư.
2.2. Phương trình vi phân với các biến tách được
Một phương trình vi phân với các biến tách được là một phương trình có dạng: y"=f(x)g(y) hoặc thông qua sự khác biệt, trong đó f(x) Và g(y)được đưa ra các chức năng.
Cho những người y, mà , phương trình y"=f(x)g(y) tương đương với phương trình 
trong đó biến y chỉ xuất hiện ở bên trái và biến x chỉ xuất hiện ở bên phải. Họ nói, "trong phương trình y"=f(x)g(y tách các biến.
Loại phương trình được gọi là phương trình biến phân ly.
Sau khi tích hợp cả hai phần của phương trình Qua x, chúng tôi nhận được G(y) = F(x) + C là nghiệm tổng quát của phương trình, trong đó G(y) Và F(x) lần lượt là một số nguyên hàm của các hàm và f(x), C Hằng số tùy ý.
Thuật toán giải phương trình vi phân cấp một với các biến tách được
ví dụ 1
giải phương trình y" = xy
Giải pháp. Đạo hàm của một hàm y" thay bằng
chúng tôi tách các biến
Hãy tích hợp cả hai phần của đẳng thức:
ví dụ 2
2yy" = 1- 3x 2, Nếu như y 0 = 3 Tại x0 = 1
Đây là một phương trình biến riêng biệt. Hãy biểu diễn nó dưới dạng vi phân. Để làm điều này, chúng tôi viết lại phương trình này ở dạng 
Từ đây 
Tích hợp cả hai phần của đẳng thức cuối cùng, chúng tôi tìm thấy
Thay thế các giá trị ban đầu x 0 = 1, y 0 = 3 tìm thấy VỚI 9=1-1+C, I E. C=9.
Do đó, tích phân từng phần mong muốn sẽ là 
hoặc 
ví dụ 3
Viết phương trình đường cong đi qua một điểm M(2;-3) và có tiếp tuyến với hệ số góc
Giải pháp. theo điều kiện
Đây là một phương trình biến có thể tách rời. Chia các biến, chúng tôi nhận được: 
Tích hợp cả hai phần của phương trình, chúng tôi nhận được: 
Sử dụng các điều kiện ban đầu, x=2 Và y=-3 tìm thấy C:
Do đó, phương trình mong muốn có dạng 
2.3. Phương trình vi phân tuyến tính cấp một
Phương trình vi phân tuyến tính cấp một là phương trình có dạng y" = f(x)y + g(x)
Ở đâu f(x) Và g(x)- một số hàm đã cho.
Nếu như g(x)=0 khi đó phương trình vi phân tuyến tính được gọi là thuần nhất và có dạng: y" = f(x)y
Nếu thì phương trình y" = f(x)y + g(x) gọi là không đồng nhất.
Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất y" = f(x)yđược cho bởi công thức: trong đó VỚI là một hằng số tùy ý.
Đặc biệt, nếu C \u003d 0, thì giải pháp là y=0 Nếu phương trình thuần nhất tuyến tính có dạng y" = kỞ đâu k là hằng số nào đó thì nghiệm tổng quát của nó có dạng: .
Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất y" = f(x)y + g(x)được cho bởi công thức 
,
những thứ kia. bằng tổng nghiệm chung của phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng và nghiệm riêng của phương trình này.
Đối với phương trình không thuần nhất tuyến tính có dạng y" = kx + b,
Ở đâu k Và b- một số số và nghiệm cụ thể sẽ là một hàm hằng . Do đó nghiệm tổng quát có dạng .
Ví dụ. giải phương trình y" + 2y +3 = 0
Giải pháp. Ta biểu diễn phương trình dưới dạng y" = -2y - 3Ở đâu k=-2, b=-3 Các giải pháp chung được đưa ra bởi công thức.
Do đó, trong đó C là một hằng số tùy ý.
2.4. Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp một bằng phương pháp Bernoulli
Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính cấp một y" = f(x)y + g(x) giảm để giải hai phương trình vi phân với các biến được phân tách bằng cách thay thế y=uv, Ở đâu bạn Và v- chức năng chưa biết từ x. Phương pháp giải này được gọi là phương pháp Bernoulli.
Thuật toán giải phương trình vi phân tuyến tính cấp một
y" = f(x)y + g(x)
1. Nhập một sự thay thế y=uv.
2. Phân biệt đẳng thức này y"=u"v + uv"
3. Thay thế y Và y" vào phương trình này: u"v + uv" =f(x)uv + g(x) hoặc u"v + uv" + f(x)uv = g(x).
4. Nhóm các số hạng của phương trình sao cho bạnđưa nó ra khỏi ngoặc:
5. Từ dấu ngoặc, cho nó bằng 0, tìm hàm
Đây là một phương trình tách được: 
Chia các biến và nhận được: 
Ở đâu 
.
.
6. Thay thế giá trị nhận được v vào phương trình (từ mục 4):
và tìm hàm Đây là một phương trình tách được:
7. Viết lời giải tổng quát dưới dạng: 
, I E. .
ví dụ 1
Tìm một giải pháp cụ thể cho phương trình y" = -2y +3 = 0 Nếu như y=1 Tại x=0
Giải pháp. Hãy giải quyết nó bằng sự thay thế y=uv,.y"=u"v + uv"
thay thế y Và y" vào phương trình này, chúng ta nhận được
Nhóm các thuật ngữ thứ hai và thứ ba ở phía bên trái của phương trình, chúng tôi đưa ra các yếu tố chung bạn ngoài ngoặc
Chúng tôi đánh đồng biểu thức trong ngoặc bằng 0 và sau khi giải phương trình kết quả, chúng tôi tìm thấy hàm v = v(x)
Chúng tôi có một phương trình với các biến riêng biệt. Chúng tôi tích hợp cả hai phần của phương trình này: Tìm hàm v:
Thay thế giá trị kết quả v vào phương trình Ta được:
Đây là một phương trình biến riêng biệt. Chúng tôi tích hợp cả hai phần của phương trình: 
Hãy tìm hàm u = u(x,c) 
Hãy tìm một giải pháp chung: 
Hãy tìm nghiệm riêng của phương trình thỏa mãn điều kiện ban đầu y=1 Tại x=0:
III. Phương trình vi phân bậc cao
3.1. Các khái niệm và định nghĩa cơ bản
Phương trình vi phân cấp hai là phương trình chứa đạo hàm không lớn hơn cấp hai. Trong trường hợp tổng quát, phương trình vi phân cấp hai được viết dưới dạng: F(x,y,y",y") = 0
Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp hai là một hàm có dạng , bao gồm hai hằng số tùy ý C1 Và C2.
Nghiệm riêng của phương trình vi phân cấp 2 là nghiệm thu được từ nghiệm chung đối với một số giá trị của hằng số tùy ý C1 Và C2.
3.2. Phương trình vi phân thuần nhất tuyến tính cấp hai với tỷ lệ không đổi.
Phương trình vi phân thuần nhất tuyến tính cấp 2 với hệ số không đổiđược gọi là phương trình có dạng y" + py" + qy = 0, Ở đâu P Và q là các giá trị không đổi.
Thuật toán giải phương trình vi phân thuần nhất cấp 2 với hệ số hằng
1. Viết phương trình vi phân dưới dạng: y" + py" + qy = 0.
2. Lập phương trình đặc trưng của nó, kí hiệu y" bởi vì r2, y" bởi vì r, y trong 1: r2 + pr +q = 0
Nhớ lại vấn đề mà chúng ta gặp phải khi tìm tích phân xác định:
hoặc dy = f(x)dx. Giải pháp của cô:
và nó quy về phép tính tích phân không xác định. Trong thực tế, một nhiệm vụ khó hơn phổ biến hơn: tìm một hàm y, nếu biết rằng nó thỏa mãn một quan hệ có dạng
Mối quan hệ này liên quan đến biến độc lập x, hàm chưa biết y và các dẫn xuất của nó theo thứ tự N bao gồm, được gọi là .
Một phương trình vi phân bao gồm một hàm dưới dấu của các đạo hàm (hoặc vi phân) của thứ tự này hay thứ tự khác. Bậc cao nhất được gọi là bậc (9.1) .
Phương trình vi phân:
- đơn hàng đầu tiên
thứ tự thứ hai,
- thứ năm, v.v.
Một hàm thỏa mãn một phương trình vi phân đã cho được gọi là nghiệm của nó , hoặc tích phân . Để giải quyết nó có nghĩa là tìm tất cả các giải pháp của nó. Nếu cho chức năng mong muốn y thành công trong việc có được một công thức đưa ra tất cả các giải pháp, sau đó chúng tôi nói rằng chúng tôi đã tìm thấy giải pháp chung của nó , hoặc tích phân tổng quát .
quyết định chung
chứa N hằng số tùy ý 
và trông giống như
Nếu một mối quan hệ thu được có liên quan x, y Và N hằng số tùy ý, ở dạng không được phép đối với y -
thì quan hệ như vậy được gọi là tích phân tổng quát của phương trình (9.1).
bài toán Cauchy
Mỗi giải pháp cụ thể, tức là mỗi hàm cụ thể thỏa mãn một phương trình vi phân cho trước và không phụ thuộc vào các hằng số tùy ý được gọi là một nghiệm cụ thể , hoặc tích phân riêng. Để có được các giải pháp cụ thể (tích phân) từ các giải pháp chung, cần phải đính kèm các giá trị số cụ thể cho các hằng số.
Đồ thị của nghiệm cụ thể được gọi là đường cong tích phân. Nghiệm tổng quát chứa tất cả nghiệm riêng là một họ các đường cong tích phân. Đối với phương trình bậc nhất, họ này phụ thuộc vào một hằng số tùy ý; đối với phương trình N thứ tự - từ N hằng số tùy ý.
Bài toán Cauchy là tìm nghiệm riêng của phương trình N thứ tự, đáp ứng Nđiều kiện ban đầu:
xác định n hằng số с 1 , с 2 ,..., c n.
phương trình vi phân cấp 1
Đối với một ẩn số đối với đạo hàm, phương trình vi phân cấp 1 có dạng
hoặc cho phép tương đối
Ví dụ 3.46. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình
Giải pháp. Tích hợp, chúng tôi nhận được
trong đó C là một hằng số tùy ý. Nếu chúng tôi cung cấp cho C các giá trị số cụ thể, thì chúng tôi sẽ nhận được các giải pháp cụ thể, ví dụ:
Ví dụ 3.47. Hãy xem xét một lượng tiền gửi vào ngân hàng ngày càng tăng, tùy thuộc vào khoản tích lũy 100 r lãi kép mỗi năm. Gọi Yo là số tiền ban đầu và Yx sau khi hết hạn x năm. Khi tiền lãi được tính mỗi năm một lần, chúng tôi nhận được
trong đó x = 0, 1, 2, 3, .... Khi tiền lãi được tính hai lần một năm, chúng tôi nhận được
trong đó x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... Khi tính lãi N mỗi năm một lần và nếu x nhận lần lượt các giá trị 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., sau đó
Biểu thị 1/n = h , thì đẳng thức trước đó sẽ như sau:
Với độ phóng đại không giới hạn N(Tại 
) trong giới hạn, chúng ta đến với quá trình tăng số tiền với lãi suất tích lũy liên tục:
Như vậy, có thể thấy rằng với sự thay đổi liên tục x quy luật thay đổi cung tiền được biểu diễn bằng phương trình vi phân bậc 1. Trong đó Y x là hàm chưa biết, x- biến độc lập, r- không thay đổi. Chúng tôi giải phương trình này, vì điều này chúng tôi viết lại nó như sau:
Ở đâu 
, hoặc 
, trong đó P là viết tắt của e C .
Từ các điều kiện ban đầu Y(0) = Yo , chúng tôi tìm thấy P: Yo = Pe o , do đó, Yo = P. Do đó, giải pháp có dạng:
Hãy xem xét bài toán kinh tế thứ hai. Các mô hình kinh tế vĩ mô cũng được mô tả bằng các phương trình vi phân tuyến tính bậc 1, mô tả sự thay đổi trong thu nhập hoặc sản lượng Y dưới dạng một hàm của thời gian.
Ví dụ 3.48. Giả sử thu nhập quốc dân Y tăng với tốc độ tỷ lệ thuận với giá trị của nó:
và giả sử, thâm hụt trong chi tiêu chính phủ tỷ lệ thuận với thu nhập Y với hệ số tỷ lệ thuận q. Thâm hụt chi tiêu dẫn đến tăng nợ quốc gia D:
Điều kiện ban đầu Y = Yo và D = Do tại t = 0. Từ phương trình đầu tiên Y= Yoe kt . Thay Y ta được dD/dt = qYoe kt . Giải pháp chung có dạng
D = (q/ k) Yoe kt +С, trong đó С = const, được xác định từ các điều kiện ban đầu. Thay các điều kiện ban đầu, chúng ta có Do = (q/k)Yo + C. Vì vậy, cuối cùng,
D = Do +(q/k)Yo (e kt -1),
điều này cho thấy nợ quốc gia đang tăng với tốc độ tương đối như nhau k, là thu nhập quốc dân.
Xét các phương trình vi phân đơn giản nhất N theo thứ tự, đây là những phương trình có dạng
Giải pháp chung của nó có thể thu được bằng cách sử dụng N thời hội nhập.
Ví dụ 3.49. Xét ví dụ y """ = cos x.
Giải pháp. Tích hợp, chúng tôi tìm thấy
Giải pháp chung có dạng
phương trình vi phân tuyến tính
Trong kinh tế học, chúng được sử dụng rất nhiều, hãy xem xét nghiệm của các phương trình như vậy. Nếu (9.1) có dạng:
thì nó được gọi là tuyến tính, trong đó po(x), p1(x),..., pn(x), f(x) là các hàm đã cho. Nếu f(x) = 0 thì (9.2) gọi là đồng nhất, ngược lại gọi là không thuần nhất. Nghiệm tổng quát của phương trình (9.2) bằng tổng các nghiệm riêng của nó y(x) và nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng với nó:
Nếu các hệ số p o (x), p 1 (x),..., p n (x) là các hằng số thì (9.2)
(9.4) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính với các hệ số bậc không đổi N .
Đối với (9.4) nó có dạng:
Ta có thể đặt không mất tính tổng quát p o = 1 và viết (9.5) dưới dạng
Chúng ta sẽ tìm nghiệm (9.6) ở dạng y = e kx , với k là hằng số. Chúng ta có: ; y" = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y(n) = kne kx . Thay các biểu thức thu được vào (9.6), ta được:
(9.7) là một phương trình đại số, ẩn số của nó là k, nó được gọi là đặc trưng. Phương trình đặc trưng có bậc N Và N rễ, trong đó có thể có cả nhiều và phức tạp. Cho k 1 , k 2 ,..., k n là số thực và khả vi thì 
là nghiệm riêng (9.7), còn nghiệm chung
Xét một phương trình vi phân thuần nhất tuyến tính cấp hai với các hệ số không đổi:
Phương trình đặc trưng của nó có dạng
(9.9)
biệt thức của nó D = p 2 - 4q, tùy thuộc vào dấu của D, có thể xảy ra ba trường hợp.
1. Nếu D>0 thì nghiệm k 1 và k 2 (9,9) là thực và khác nhau, nghiệm tổng quát có dạng:
Giải pháp. Phương trình đặc trưng: k 2 + 9 = 0, do k = ± 3i, a = 0, b = 3, nghiệm tổng quát là:
y = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x.
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai được sử dụng để nghiên cứu mô hình kinh tế giống như trang web với dự trữ hàng hóa, trong đó tốc độ thay đổi của giá P phụ thuộc vào quy mô của dự trữ (xem đoạn 10). Nếu cung và cầu là các hàm tuyến tính của giá, nghĩa là,
a - là hằng số xác định tốc độ phản ứng, khi đó quá trình biến đổi giá được mô tả bằng phương trình vi phân:
Đối với một giải pháp cụ thể, bạn có thể lấy một hằng số
nghĩa là giá cân bằng. độ lệch 
thỏa mãn phương trình thuần nhất
(9.10)
Phương trình đặc trưng sẽ như sau:
Trong trường hợp, hạn là dương. Chứng tỏ 
. Nghiệm của phương trình đặc trưng k 1,2 = ± i w nên nghiệm tổng quát (9.10) có dạng:
trong đó C và các hằng số tùy ý, chúng được xác định từ các điều kiện ban đầu. Ta đã thu được quy luật giá cả thay đổi theo thời gian:
