Tính diện tích các hình bằng ví dụ về tích phân. Tích phân. Tính diện tích bằng tích phân. Tìm lý do “bên ngoài” không cho phép tính diện tích hình

Bằng cách sử dụng tích phân xác định, bạn có thể tính diện tích của các hình phẳng, vì nhiệm vụ này luôn liên quan đến việc tính diện tích của các hình thang cong.

Diện tích của bất kỳ hình nào trong hệ tọa độ hình chữ nhật có thể bao gồm các diện tích của hình thang cong liền kề với trục Ồ hoặc tới trục OU.

Thật thuận tiện khi giải các bài toán tính diện tích các hình phẳng bằng sơ đồ sau:

1. Theo điều kiện của bài toán, hãy vẽ sơ đồ

2. Trình bày diện tích cần tìm dưới dạng tổng hoặc hiệu diện tích các hình thang cong. Từ điều kiện của bài toán và hình vẽ xác định giới hạn tích phân cho từng thành phần của hình thang cong.

3. Viết từng hàm dưới dạng y = f(x).

4. Tính diện tích của mỗi hình thang cong và diện tích của hình mong muốn.

Hãy xem xét một số tùy chọn để sắp xếp các số liệu.

1). Hãy trên đoạn [ Một; b] chức năng f(x) nhận các giá trị không âm. Khi đó đồ thị của hàm y = f(x) nằm phía trên trục Ồ.

S=

2). Hãy trên đoạn [ Một; b] hàm liên tục không dương f(x). Khi đó đồ thị của hàm y = f(x) nằm dưới trục Ồ:

Diện tích của hình như vậy được tính theo công thức: S = -

Diện tích của hình như vậy được tính theo công thức: S=

4). Hãy trên đoạn [ Một; b] chức năng f(x) nhận cả giá trị dương và giá trị âm. Khi đó đoạn [ Một; b] phải được chia thành các phần mà hàm số không đổi dấu, sau đó sử dụng các công thức trên để tính diện tích tương ứng với các phần đó và cộng các diện tích tìm được.

S 1 = S 2 = - S f = S 1 + S 2

Lớp học: 11

Trình bày cho bài học

Quay lại phía trước

Chú ý! Bản xem trước trang chiếu chỉ nhằm mục đích cung cấp thông tin và có thể không thể hiện tất cả các tính năng của bản trình bày. Nếu bạn quan tâm đến tác phẩm này, vui lòng tải xuống phiên bản đầy đủ.

Mục tiêu bài học: rút ra công thức tính diện tích các hình phẳng bằng tích phân xác định; phát triển kỹ năng tính diện tích các hình phẳng bằng tích phân xác định; lặp lại đã biết và cung cấp thông tin mới từ lịch sử của phép tính tích phân; luyện thi; tiếp tục nỗ lực phát triển sự chú ý, lời nói, tư duy logic và độ chính xác trong văn bản; nâng cao văn hóa đồ họa; tiếp tục phát triển khả năng sáng tạo của học sinh; tăng hứng thú học toán;

Thiết bị: máy chiếu, màn hình, thuyết trình đa phương tiện theo chủ đề, được phát triển trên môi trường Power Point.

Trong các lớp học

I. Thời điểm tổ chức, thông điệp về chủ đề và mục đích của bài học.

II. Kiểm tra bài tập về nhà.

Kiểm tra bài tập bổ sung (giáo viên trình bày lời giải trên hình vẽ đã chuẩn bị trước đó, lời giải ở mặt sau bảng):

Tính diện tích hình giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y = 1+ 3cos(x/2), x = -π/2, x = 3π/2, y = 0

III. Cập nhật kiến ​​thức cơ bản.

1. Công việc truyền miệng(Slide 3-4)

1. Sử dụng tích phân, hãy biểu thị diện tích của các hình được hiển thị trong hình:
2. Tính tích phân:

2. Một chút lịch sử. ( Trang trình bày 5-9)

Một đoạn trong dự án máy tính của học sinh về chủ đề “Từ lịch sử của phép tính tích phân”.

1 sinh viên

tích phân- một trong những khái niệm quan trọng nhất của toán học, nảy sinh liên quan đến nhu cầu, một mặt, tìm các hàm theo đạo hàm của chúng, mặt khác, để đo diện tích, thể tích, độ dài của cung, công của các lực trên một khoảng thời gian nhất định, v.v.

Bản thân từ tích phân được phát minh bởi J. Bernoulli(1690). Nó xuất phát từ tiếng Latin số nguyên, dịch là đưa về trạng thái trước đó, khôi phục.

Các thuật ngữ khác liên quan đến phép tính tích phân mà bạn có thể biết đã xuất hiện muộn hơn nhiều. Tên thật hàm phản đạo hàm thay thế một cái trước đó "hàm nguyên thủy", được giới thiệu bởi Joseph Louis Lagrange(1797). từ Latinh nguyên thuỷđược dịch là "ban đầu".

Sự xuất hiện của các bài toán tích phân gắn liền với việc tìm diện tích và thể tích. Một số bài toán thuộc loại này đã được các nhà toán học Hy Lạp cổ đại giải quyết. Phương pháp tính tích phân đầu tiên được biết đến là phương pháp rút gọn Eudoxus ( khoảng 370 TCN BC), người đã cố gắng tìm diện tích và thể tích bằng cách chia chúng thành vô số phần mà diện tích hoặc thể tích đã biết. Phương pháp này được Archimedes tiếp thu và phát triển, đồng thời được sử dụng để tính diện tích parabol và xấp xỉ diện tích hình tròn.

Tuy nhiên, Archimedes chưa xác định được nội dung chung của các kỹ thuật tích phân và các khái niệm về tích phân, càng không tạo ra được thuật toán cho phép tính tích phân.

Các tác phẩm của Archimedes, được viết lần đầu tiên vào năm 1544, là một trong những điểm khởi đầu quan trọng nhất cho sự phát triển của phép tính tích phân.

2 sinh viên

Khái niệm tích phân liên quan trực tiếp đến phép tính tích phân, một nhánh của toán học nghiên cứu về tích phân, tính chất và phương pháp tính của chúng.

Chúng ta đã tiến gần hơn và chính xác hơn tới khái niệm tích phân Isaac Newton. Ông là người đầu tiên xây dựng phép tính vi phân và tích phân và gọi nó là “Phương pháp thông lượng…” (1670-1671, xuất bản 1736). Newton đặt tên cho các biến trôi chảy(giá trị hiện tại, từ vĩ độ. fluo-dòng chảy). Tốc độ thay đổi trôi chảy Newton – dòng chảy, và những thay đổi vô cùng nhỏ của thông lượng cần thiết để tính thông lượng là " khoảnh khắc"(Leibniz gọi chúng là vi phân). Do đó, Newton đã dựa trên các khái niệm về thông lượng (đạo hàm) và lưu biến (phản đạo hàm hoặc tích phân không xác định).

Điều này ngay lập tức giúp nó có thể giải quyết được nhiều vấn đề toán học và vật lý.

Đồng thời với Newton, một nhà khoa học xuất sắc khác cũng có ý tưởng tương tự - Gottfried Wilhelm Leibniz.

Suy ngẫm về các vấn đề triết học và toán học, Leibniz tin chắc rằng toán học có thể là phương tiện đáng tin cậy nhất để tìm kiếm và tìm ra chân lý trong khoa học. Dấu tích phân (∫) lần đầu tiên được Leibniz sử dụng vào cuối thế kỷ 17. Biểu tượng này được hình thành từ chữ S - chữ viết tắt của từ Latin. tổng kết(Tổng).

Newton và Leibniz đã phát triển hai cách giải thích khái niệm tích phân xác định thông thường.

Newton giải thích tích phân xác định là hiệu giữa các giá trị tương ứng của hàm nguyên hàm:

,
Ở đâu F`(x)=f(x).

Đối với Leibniz, tích phân xác định là tổng của tất cả các vi phân vô cùng nhỏ.

Công thức mà Newton và Leibniz phát hiện độc lập với nhau được gọi là Công thức Newton–Leibniz.

Như vậy, khái niệm tích phân đã gắn liền với tên tuổi của các nhà khoa học nổi tiếng: Newton, Leibniz, Bernoulli, những người đặt nền móng cho giải tích toán học hiện đại.

IV. Giải thích về vật liệu mới.

Sử dụng tích phân, bạn có thể tính diện tích không chỉ của các hình thang cong mà còn của các hình phẳng thuộc loại phức tạp hơn.

Hãy để hình P giới hạn ở đường thẳng X = Một, x = b và đồ thị hàm số y = f(x) Và y = g(x) và trên đoạn [ Một;b] bất đẳng thức đúng g(x)f(x).

Để tính diện tích của một hình, chúng ta sẽ suy luận như sau. Hãy thực hiện chuyển đổi song song của hình P TRÊN tôiđơn vị lên để hình P hóa ra nằm trong mặt phẳng tọa độ phía trên trục hoành.

Bây giờ nó bị giới hạn trên và dưới bởi đồ thị hàm số y = f(x)+tôi Và

y = g(x)+tôi và cả hai hàm đều liên tục và không âm trên khoảng [ Một;b].

Chúng tôi biểu thị con số kết quả A B C D. Diện tích của nó có thể được tìm thấy bằng hiệu giữa diện tích của các hình:

S ABCD = S aDCb – S aABb = =
=

Vậy diện tích hình S giới hạn bởi đường thẳng X = Một, x = b và đồ thị hàm số y = f(x) Và y = g(x), liên tục trên khoảng [ Một;b] và những thứ dành cho tất cả mọi người X từ đoạn [ Một;b] bất đẳng thức đúng g(x)f(x), được tính theo công thức

Ví dụ.(Slide 11) Tính diện tích hình được giới hạn bởi các đường thẳng y = x, y = 5 – x, x = 1, x = 2.

Từ các công thức tính diện tích của hình này, hãy chọn công thức phù hợp với một trong sáu hình vẽ. (Trang trình bày 14)

Nhiệm vụ 3.(Slide 15) Tính diện tích hình giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = 0,5x 2+ 2, tiếp xúc với đồ thị này tại điểm hoành độ X= -2 và thẳng X = 0.

1. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 0,5x 2+ 2 ở abscissa X = -2:

y = f(x 0) + f"(x 0)(x – x 0)
f(-2) = 0,5∙(-2) 2 + 2 = 4
f"(x) = (0,5x 2 + 2)"= x
f"(-2) = -2
y = 4 – 2(x + 2)
y = -2x

2. Hãy xây dựng đồ thị hàm số.

3. Tìm diện tích của hình ABC.

VI. Tóm tắt.

• công thức tính diện tích hình phẳng;
• viết công thức tính diện tích các hình phẳng sử dụng tích phân xác định;
• lặp lại phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số và giải phương trình bằng mô đun;
• chấm điểm học sinh.

VII. Bài tập về nhà.

1. đoạn 4 trang 228-230;
2. Số 1025 (c, d), Số 1037 (c, d), Số 1038 (c, d)

sách giáo khoa: A. G. Mordkovich “Đại số và nguyên tắc giải tích 10–11”

Trên thực tế, để tính diện tích của một hình, bạn không cần nhiều kiến ​​thức về tích phân bất định và xác định. Nhiệm vụ “tính diện tích bằng tích phân xác định” luôn liên quan đến việc xây dựng một hình vẽ, nên kiến ​​thức và kỹ năng vẽ của bạn sẽ là vấn đề cấp bách hơn rất nhiều. Về vấn đề này, sẽ rất hữu ích nếu bạn làm mới trí nhớ của mình về đồ thị của các hàm cơ bản cơ bản và ít nhất có thể xây dựng một đường thẳng và hyperbol.

Hình thang cong là một hình phẳng giới hạn bởi một trục, các đường thẳng và đồ thị của hàm số liên tục trên một đoạn không đổi dấu trên khoảng này. Hãy để hình này được xác định không ít hơn trục x:

Sau đó diện tích của hình thang cong bằng số tích phân xác định. Bất kỳ tích phân xác định nào (tồn tại) đều có ý nghĩa hình học rất tốt.

Theo quan điểm của hình học, tích phân xác định là DIỆN TÍCH.

Đó là, một tích phân nhất định (nếu nó tồn tại) về mặt hình học tương ứng với diện tích của một hình nhất định. Ví dụ, hãy xem xét tích phân xác định. Tích phân xác định một đường cong trên mặt phẳng nằm phía trên trục (ai muốn có thể vẽ) và bản thân tích phân xác định bằng diện tích của hình thang cong tương ứng.

ví dụ 1

Đây là một tuyên bố nhiệm vụ điển hình. Điểm đầu tiên và quan trọng nhất của quyết định là việc xây dựng bản vẽ. Hơn nữa, bản vẽ phải được xây dựng PHẢI.

Khi xây dựng một bản vẽ, tôi khuyên bạn nên thực hiện theo thứ tự sau: lúc đầu tốt hơn là xây dựng tất cả các đường thẳng (nếu chúng tồn tại) và chỉ Sau đó- parabol, hyperbol, đồ thị hàm số khác. Sẽ có lợi hơn khi xây dựng đồ thị hàm số từng điểm.

Trong vấn đề này, giải pháp có thể trông như thế này.
Hãy vẽ hình (lưu ý rằng phương trình xác định trục):

Trên đoạn thẳng, đồ thị của hàm số nằm phía trên trục, Đó là lý do tại sao:

Trả lời:

Sau khi hoàn thành nhiệm vụ, việc nhìn vào bức vẽ và tìm hiểu xem câu trả lời có đúng hay không luôn rất hữu ích. Trong trường hợp này, “bằng mắt” chúng ta đếm số ô trong bản vẽ - à, sẽ có khoảng 9 ô, điều đó có vẻ đúng. Hoàn toàn rõ ràng rằng nếu chúng ta nhận được câu trả lời: 20 đơn vị vuông, thì rõ ràng đã xảy ra sai sót ở đâu đó - 20 ô rõ ràng không vừa với hình được đề cập, nhiều nhất là một tá. Nếu câu trả lời là phủ định thì bài toán cũng được giải sai.

Ví dụ 3

Tính diện tích hình giới hạn bởi các đường thẳng và trục tọa độ.

Giải pháp: Hãy vẽ một bức tranh:

Nếu một hình thang cong nằm dưới trục(hoặc ít nhất không cao hơn trục đã cho), thì diện tích của nó có thể được tìm thấy bằng công thức:

Trong trường hợp này:

Chú ý! Không nên nhầm lẫn hai loại nhiệm vụ này:

1) Nếu bạn được yêu cầu giải một tích phân xác định đơn giản mà không có bất kỳ ý nghĩa hình học nào, thì nó có thể là số âm.

2) Nếu bạn được yêu cầu tìm diện tích của một hình bằng tích phân xác định thì diện tích đó luôn dương! Đó là lý do tại sao điểm trừ xuất hiện trong công thức vừa thảo luận.

Trong thực tế, hình thường nằm ở cả nửa mặt phẳng trên và nửa dưới, và do đó, từ những bài toán đơn giản nhất ở trường, chúng ta chuyển sang những ví dụ có ý nghĩa hơn.

Ví dụ 4

Tìm diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng , .

Giải pháp: Đầu tiên bạn cần hoàn thành bản vẽ. Nói chung, khi dựng hình trong bài toán diện tích, chúng ta quan tâm nhất đến giao điểm của các đường thẳng. Hãy tìm giao điểm của parabol và đường thẳng. Điều này có thể được thực hiện theo hai cách. Phương pháp đầu tiên là phân tích. Chúng ta giải phương trình:

Điều này có nghĩa là giới hạn tích phân dưới là , giới hạn tích phân trên là .

Nếu có thể, tốt hơn hết là không nên sử dụng phương pháp này..

Sẽ có lợi hơn nhiều và nhanh hơn khi xây dựng từng đường nét một và các giới hạn của sự tích hợp “tự mình trở nên rõ ràng”. Tuy nhiên, phương pháp phân tích để tìm giới hạn đôi khi vẫn phải được sử dụng nếu, ví dụ, đồ thị đủ lớn hoặc việc xây dựng chi tiết không bộc lộ các giới hạn của tích phân (chúng có thể là phân số hoặc vô tỷ). Và chúng tôi cũng sẽ xem xét một ví dụ như vậy.

Hãy quay lại nhiệm vụ của chúng ta: sẽ hợp lý hơn nếu trước tiên xây dựng một đường thẳng và sau đó là một parabol. Hãy thực hiện bản vẽ:

Và bây giờ là công thức làm việc: Nếu có một hàm liên tục nào đó trên đoạn lớn hơn hoặc bằng một số hàm liên tục , thì diện tích của hình được giới hạn bởi đồ thị của các hàm này và các đường thẳng , , có thể được tìm thấy bằng công thức:

Ở đây bạn không còn cần phải suy nghĩ về vị trí của hình - phía trên trục hay bên dưới trục, và nói một cách đại khái, điều quan trọng là biểu đồ nào CAO HƠN(so với biểu đồ khác), và cái nào ở DƯỚI.

Trong ví dụ đang xem xét, rõ ràng là trên đoạn parabol nằm phía trên đường thẳng và do đó cần phải trừ đi

Giải pháp hoàn chỉnh có thể trông như thế này:

Hình mong muốn được giới hạn bởi một parabol ở trên và một đường thẳng ở dưới.
Trên đoạn thẳng theo công thức tương ứng:

Trả lời:

Ví dụ 4

Tính diện tích hình được giới hạn bởi các đường thẳng , , , .

Giải pháp: Đầu tiên chúng ta hãy vẽ một bức tranh:

Hình có diện tích cần tìm được tô màu xanh lam(xem kỹ tình trạng - con số bị giới hạn như thế nào!). Nhưng trong thực tế, do không chú ý nên thường xuyên xảy ra “trục trặc” khiến bạn cần tìm diện tích của hình được tô xanh!

Ví dụ này cũng hữu ích ở chỗ nó tính diện tích của một hình bằng cách sử dụng hai tích phân xác định.

Thật sự:

1) Trên đoạn thẳng phía trên trục có đồ thị đường thẳng;

2) Trên đoạn thẳng phía trên trục có đồ thị của một hyperbol.

Rõ ràng là các khu vực có thể (và nên) được thêm vào, do đó:

Tính diện tích của một hình- Đây có lẽ là một trong những bài toán khó nhất của lý thuyết diện tích. Trong hình học ở trường, các em được dạy cách tìm diện tích của các hình hình học cơ bản, chẳng hạn như hình tam giác, hình thoi, hình chữ nhật, hình thang, hình tròn, v.v. Tuy nhiên, bạn thường phải tính diện tích của những hình phức tạp hơn. Khi giải những bài toán như vậy, việc sử dụng phép tính tích phân sẽ rất thuận tiện.

Sự định nghĩa.

Đường cong hình thang gọi một số hình G giới hạn bởi các đường thẳng y = f(x), y = 0, x = a và x = b, và hàm f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và không đổi dấu trên đó (Hình 1). Diện tích của hình thang cong có thể được ký hiệu là S(G).

Tích phân xác định ʃ a b f(x)dx của hàm f(x), liên tục và không âm trên khoảng [a; b], và là diện tích hình thang cong tương ứng.

Nghĩa là, để tìm diện tích hình G giới hạn bởi các đường thẳng y = f(x), y = 0, x = a và x = b thì cần tính tích phân xác định ʃ a b f(x)dx .

Như vậy, S(G) = ʃ a b f(x)dx.

Nếu hàm y = f(x) không dương trên [a; b], thì có thể tính diện tích hình thang cong bằng công thức S(G) = -ʃ a b f(x)dx.

Ví dụ 1.

Tính diện tích hình giới hạn bởi các đường thẳng y = x 3; y = 1; x = 2.

Giải pháp.

Các dòng đã cho tạo thành hình ABC, được thể hiện bằng cách gạch theo cơm. 2.

Diện tích yêu cầu bằng hiệu giữa diện tích của hình thang DACE cong và DABE hình vuông.

Sử dụng công thức S = ʃ a b f(x)dx = S(b) – S(a), chúng ta tìm được giới hạn của tích phân. Để làm điều này, chúng ta giải hệ hai phương trình:

(y = x 3,
(y = 1.

Do đó, ta có x 1 = 1 – giới hạn dưới và x = 2 – giới hạn trên.

Vì vậy, S = S DACE – S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx – 1 = x 4 /4| 1 2 – 1 = (16 – 1)/4 – 1 = 11/4 (đơn vị vuông).

Đáp số: 11/4 m2. các đơn vị

Ví dụ 2.

Tính diện tích hình giới hạn bởi các đường thẳng y = √x; y = 2; x = 9.

Giải pháp.

Các đường thẳng đã cho tạo thành hình ABC, được giới hạn ở trên bởi đồ thị của hàm số

y = √x, và bên dưới là đồ thị của hàm y = 2. Hình thu được được thể hiện bằng cách tô đậm trong cơm. 3.

Diện tích cần tìm là S = ʃ a b (√x – 2). Hãy tìm giới hạn tích phân: b = 9, để tìm a ta giải hệ hai phương trình:

(y = √x,
(y = 2.

Vì vậy, chúng ta có x = 4 = a - đây là giới hạn dưới.

Vì vậy, S = ∫ 4 9 (√x – 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x| 4 9 – 2х| 4 9 = (18 – 16/3) – (18 – 8) = 2 2/3 (đơn vị vuông).

Đáp án: S = 2 2/3 mét vuông. các đơn vị

Ví dụ 3.

Tính diện tích hình giới hạn bởi các đường thẳng y = x 3 – 4x; y = 0; x ≥ 0.

Giải pháp.

Hãy vẽ đồ thị hàm số y = x 3 – 4x với x ≥ 0. Để làm điều này, hãy tìm đạo hàm y’:

y’ = 3x 2 – 4, y’ = 0 tại x = ±2/√3 ≈ 1.1 – điểm tới hạn.

Nếu chúng ta vẽ các điểm tới hạn trên trục số và sắp xếp các dấu của đạo hàm, chúng ta thấy rằng hàm số giảm từ 0 xuống 2/√3 và tăng từ 2/√3 lên cộng vô cùng. Khi đó x = 2/√3 là điểm cực tiểu, giá trị cực tiểu của hàm số y min = -16/(3√3) ≈ -3.

Hãy xác định giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ:

nếu x = 0 thì y = 0, nghĩa là A(0; 0) là giao điểm với trục Oy;

nếu y = 0 thì x 3 – 4x = 0 hoặc x(x 2 – 4) = 0, hoặc x(x – 2)(x + 2) = 0, do đó x 1 = 0, x 2 = 2, x 3 = -2 (không phù hợp vì x ≥ 0).

Điểm A(0; 0) và B(2; 0) là giao điểm của đồ thị với trục Ox.

Các đường đã cho tạo thành hình OAB, được thể hiện bằng cách tô đậm trong cơm. 4.

Vì hàm số y = x 3 – 4x nhận giá trị âm trên (0; 2), nên

S = |ʃ 0 2 (x 3 – 4x)dx|.

Ta có: ʃ 0 2 (x 3 – 4х)dx =(x 4 /4 – 4х 2 /2)| 0 2 = -4, do đó S = 4 mét vuông. các đơn vị

Đáp án: S = 4 mét vuông. các đơn vị

Ví dụ 4.

Tìm diện tích hình được giới hạn bởi parabol y = 2x 2 – 2x + 1, các đường thẳng x = 0, y = 0 và tiếp tuyến của parabol này tại điểm có hoành độ x 0 = 2.

Giải pháp.

Đầu tiên, hãy lập phương trình tiếp tuyến của parabol y = 2x 2 – 2x + 1 tại điểm có hoành độ x₀ = 2.

Vì đạo hàm y' = 4x – 2 nên với x 0 = 2 ta có k = y'(2) = 6.

Hãy tìm tọa độ của điểm tiếp tuyến: y 0 = 2 2 2 – 2 2 + 1 = 5.

Do đó, phương trình tiếp tuyến có dạng: y – 5 = 6(x ​​​​- 2) hoặc y = 6x – 7.

Hãy xây dựng một hình được giới hạn bởi các đường:

y = 2x2 – 2x + 1, y = 0, x = 0, y = 6x – 7.

Г у = 2х 2 – 2х + 1 – parabol. Giao điểm với các trục tọa độ: A(0; 1) – với trục Oy; với trục Ox - không có điểm giao nhau, bởi vì phương trình 2x 2 – 2x + 1 = 0 vô nghiệm (D< 0). Найдем вершину параболы:

xb = 2/4 = 1/2;

y b = 1/2, tức là đỉnh của điểm parabol B có tọa độ B(1/2; 1/2).

Vì vậy, hình cần xác định diện tích được thể hiện bằng cách tô đậm trên cơm. 5.

Ta có: S O A B D = S OABC – S ADBC.

Tìm tọa độ điểm D theo điều kiện:

6x – 7 = 0, tức là x = 7/6, có nghĩa là DC = 2 – 7/6 = 5/6.

Chúng ta tìm diện tích tam giác DBC bằng công thức S ADBC ​​​​= 1/2 · DC · BC. Như vậy,

S ADBC ​​​​= 1/2 · 5/6 · 5 = 25/12 mét vuông các đơn vị

S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 – 2x + 1)dx = (2x 3 /3 – 2x 2 /2 + x)| 0 2 = 10/3 (đơn vị vuông).

Cuối cùng chúng ta nhận được: S O A B D = S OABC – S ADBC ​​​​= 10/3 – 25/12 = 5/4 = 1 1/4 (đơn vị vuông).

Trả lời: S = 1 1/4 mét vuông. các đơn vị

Chúng tôi đã xem xét các ví dụ tìm diện tích của các hình được giới hạn bởi các đường đã cho. Để giải thành công những bài toán như vậy, bạn cần có khả năng xây dựng đường thẳng và đồ thị hàm số trên mặt phẳng, tìm giao điểm của các đường thẳng, áp dụng công thức tính diện tích, từ đó hàm ý khả năng tính một số tích phân nhất định.

trang web, khi sao chép toàn bộ hoặc một phần tài liệu đều phải có liên kết tới nguồn.

26. Tính diện tích hình phẳng bằng tích phân xác định

Định nghĩa 1.Đường cong hình thang, được tạo bởi đồ thị của hàm không âm f trên một đoạn, hình được giới hạn bởi một đoạn được gọi là
trục x, đoạn thẳng
,
và đồ thị của hàm số
TRÊN
.

1. Hãy chia đoạn
điểm thành các đoạn một phần.

2. Trong mỗi phân khúc
(Ở đâu k=1,2,...,N) chọn một điểm tùy ý .

3. Tính diện tích hình chữ nhật có đáy là các đoạn thẳng
trục x và chiều cao có độ dài
. Khi đó diện tích của hình bậc thang được tạo bởi các hình chữ nhật này bằng
.

Lưu ý rằng chiều dài của các đoạn một phần càng ngắn thì hình bậc càng gần vị trí với hình thang cong đã cho. Vì vậy, việc đưa ra định nghĩa sau đây là điều đương nhiên.

Định nghĩa 2.Diện tích hình thang cong,được tạo bởi đồ thị của hàm không âm f trên phân khúc
, được gọi là giới hạn (vì độ dài của tất cả các đoạn một phần có xu hướng bằng 0) của diện tích các hình bậc thang nếu:

1) giới hạn này tồn tại và hữu hạn;

2) không phụ thuộc vào cách chia đoạn
thành từng phần;

3) không phụ thuộc vào việc chọn điểm
.

Định lý 1.Nếu chức năng
liên tục và không âm trên khoảng
, thì đường cong hình thangF,hàm được tạo bởi đồ thịfTRÊN
, có diện tích được tính theo công thức
.

Sử dụng tích phân xác định, bạn có thể tính diện tích của các hình phẳng và các hình phức tạp hơn.

Nếu như f Và g- liên tục và không âm trên đoạn
chức năng cho mọi người x từ phân khúc
bất bình đẳng giữ
, thì diện tích của hình F, giới hạn bởi đường thẳng
,
và đồ thị hàm số
,
, được tính theo công thức
.

Bình luận. Nếu ta loại bỏ điều kiện không âm của hàm số f Và g, công thức cuối cùng vẫn đúng.

Chuyên đề 9. Phương trình vi phân

27. Khái niệm phương trình vi phân. Giải pháp chung và giải pháp cụ thể. Vấn đề Cauchy. Bài toán xây dựng mô hình toán học của quá trình nhân khẩu học

Lý thuyết về phương trình vi phân phát sinh vào cuối thế kỷ 17 dưới ảnh hưởng của nhu cầu của cơ học và các ngành khoa học tự nhiên khác, về cơ bản đồng thời với phép tính tích phân và vi phân.

Định nghĩa 1.N-thứ tự là một phương trình có dạng trong đó
- chức năng chưa biết.

Định nghĩa 2. Chức năng
được gọi là nghiệm của phương trình vi phân trên khoảng TÔI, nếu khi thay thế hàm này và các đạo hàm của nó, phương trình vi phân trở thành một đẳng thức.

Giải phương trình vi phân- là tìm ra mọi giải pháp của nó.

Định nghĩa 3.Đồ thị nghiệm của phương trình vi phân được gọi là đường cong tích phân phương trình vi phân.

Định nghĩa 4.Phương trình vi phân thường 1-thứ tự gọi là phương trình có dạng
.

Định nghĩa 5. Phương trình của dạng
gọi điện phương trình vi phân 1-thứ tự,giải quyết liên quan đến đạo hàm.

Theo quy luật, bất kỳ phương trình vi phân nào cũng có vô số nghiệm. Để chọn bất kỳ một giải pháp nào trong tổng số tất cả các giải pháp, phải áp dụng các điều kiện bổ sung.

Định nghĩa 6.Điều kiện loại
chồng lên nghiệm của phương trình vi phân bậc 1 được gọi là điều kiện ban đầu, hoặc tình trạng Cauchy.

Về mặt hình học, điều này có nghĩa là đường cong tích phân tương ứng đi qua điểm
.

Định nghĩa 7.Giải pháp chung phương trình vi phân bậc 1
trên một khu vực bằng phẳng Dđược gọi là họ hàm một tham số
, thỏa mãn điều kiện:

1) cho bất cứ ai
chức năng
là nghiệm của phương trình;

2) cho mỗi điểm
có một giá trị tham số như vậy
, hàm số tương ứng
là nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện ban đầu
.

Định nghĩa 8. Lời giải thu được từ lời giải tổng quát cho một giá trị nhất định của tham số được gọi là giải pháp riêng phương trình vi phân.

Định nghĩa 9.Bằng quyết định đặc biệt Phương trình vi phân là bất kỳ nghiệm nào không thể thu được từ nghiệm tổng quát với bất kỳ giá trị nào của tham số.

Giải phương trình vi phân là một bài toán rất khó, nói chung, bậc của phương trình càng cao thì việc chỉ ra cách giải phương trình càng khó. Ngay cả đối với các phương trình vi phân bậc nhất, có thể chỉ ra các phương pháp tìm nghiệm tổng quát chỉ trong một số ít trường hợp đặc biệt. Hơn nữa, trong những trường hợp này, nghiệm mong muốn không phải lúc nào cũng là một hàm cơ bản.

Một trong những vấn đề chính của lý thuyết phương trình vi phân, được nghiên cứu đầu tiên bởi O. Cauchy, là tìm ra nghiệm của phương trình vi phân thỏa mãn các điều kiện ban đầu cho trước.

Ví dụ, có phải luôn luôn có nghiệm cho phương trình vi phân
, thỏa mãn điều kiện ban đầu
, và liệu nó có phải là duy nhất không? Nói chung, câu trả lời là không. Thật vậy, phương trình
, vế phải của nó liên tục trên toàn mặt phẳng, có nghiệm y= 0 và y=(x+C) 3 ,CR . Do đó, qua một điểm bất kỳ trên trục O Xđi qua hai đường cong tích phân.

Vì vậy, chức năng phải đáp ứng một số yêu cầu. Định lý sau đây chứa một trong các biến thể của điều kiện đủ cho sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân
, thỏa mãn điều kiện ban đầu
.