Phương trình vi phân trực tuyến. phương trình vi phân

Phương trình vi phân bậc nhất. Ví dụ về các giải pháp.
Phương trình vi phân có biến tách được

Phương trình vi phân (DE). Hai từ này thường khiến người bình thường khiếp sợ. Phương trình vi phân dường như là một thứ gì đó quá khó và khó nắm vững đối với nhiều học sinh. Uuuuu... phương trình vi phân, làm sao tôi có thể sống sót qua tất cả những điều này?!

Ý kiến ​​và thái độ này về cơ bản là sai lầm, bởi vì trên thực tế PHƯƠNG PHÁP KHÁC BIỆT - ĐƠN GIẢN VÀ THẬM CHÍ VUI VẺ. Bạn cần biết và có thể làm gì để học cách giải phương trình vi phân? Để nghiên cứu thành công sự khuếch tán, bạn phải giỏi tích hợp và phân biệt. Các chủ đề được nghiên cứu càng tốt Đạo hàm của hàm một biến Và Không xác định, không thể thiếu, thì việc hiểu các phương trình vi phân sẽ càng dễ dàng hơn. Mình sẽ nói thêm, nếu bạn ít nhiều có kỹ năng tích hợp khá thì chủ đề đó gần như đã nắm vững rồi! Càng nhiều tích phân nhiều loại khác nhau bạn biết cách quyết định - càng nhiều càng tốt. Tại sao? Bạn sẽ phải hòa nhập rất nhiều. Và phân biệt. Cũng rất khuyến khích học cách tìm.

Trong 95% trường hợp ở kiểm tra Có 3 loại phương trình vi phân bậc nhất: phương trình tách được mà chúng ta sẽ xem xét trong bài học này; phương trình đồng nhất Và phương trình tuyến tính không đồng nhất. Đối với những người bắt đầu nghiên cứu về máy khuếch tán, tôi khuyên bạn nên đọc các bài học theo đúng thứ tự này và sau khi nghiên cứu hai bài viết đầu tiên, sẽ không có hại gì nếu bạn củng cố kỹ năng của mình trong một buổi hội thảo bổ sung - phương trình giảm đến đồng nhất.

Thậm chí còn có những loại phương trình vi phân hiếm hơn: phương trình vi phân tổng, phương trình Bernoulli và một số phương trình khác. Điều quan trọng nhất trong hai loại cuối cùng là các phương trình vi phân tổng, vì ngoài phương trình vi phân này tôi còn xét vật liệu mới – tích hợp một phần.

Nếu bạn chỉ còn lại một hoặc hai ngày, Cái đó để chuẩn bị cực nhanh Có khóa học chớp nhoángở định dạng pdf.

Vì vậy, các mốc đã được thiết lập - hãy bắt đầu:

Đầu tiên, chúng ta hãy nhớ lại các phương trình đại số thông thường. Chúng chứa các biến và số. Ví dụ đơn giản nhất: . Việc giải một phương trình thông thường có ý nghĩa gì? Điều này có nghĩa là tìm bộ số, thỏa mãn phương trình này. Dễ dàng nhận thấy phương trình trẻ em có một nghiệm duy nhất: . Để giải trí, hãy kiểm tra và thay thế nghiệm tìm được vào phương trình của chúng ta:

– thu được đẳng thức đúng, nghĩa là nghiệm đã được tìm đúng.

Các bộ khuếch tán được thiết kế theo cách tương tự!

phương trình vi phân đơn hàng đầu tiên nói chung chứa:
1) biến độc lập;
2) biến phụ thuộc (hàm);
3) đạo hàm bậc nhất của hàm số: .

Trong một số phương trình bậc 1 có thể không có “x” và/hoặc “y”, nhưng điều này không đáng kể - quan trọngđi đến phòng điều khiển đã từng làđạo hàm bậc nhất, và đã không cóđạo hàm của bậc cao hơn – , v.v.

nghĩa là gì? Giải phương trình vi phân có nghĩa là tìm tập hợp tất cả các chức năng, thỏa mãn phương trình này. Tập hợp các hàm như vậy thường có dạng (- một hằng số tùy ý), được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân.

ví dụ 1

Giải phương trình vi phân

Đầy đủ đạn dược. Nơi để bắt đầu giải pháp?

Trước hết, bạn cần viết lại đạo hàm ở dạng hơi khác. Chúng tôi nhớ lại cách chỉ định rườm rà mà nhiều bạn có thể thấy vô lý và không cần thiết. Đây là những quy tắc trong máy khuếch tán!

Ở bước thứ hai, hãy xem liệu có thể thực hiện được không các biến riêng biệt? Việc tách các biến có ý nghĩa gì? Nói đại khái, ở bên trái chúng ta cần phải rời đi chỉ có "người Hy Lạp", MỘT phía bên phải tổ chức chỉ có "X". Việc chia biến được thực hiện bằng các thao tác “trường học”: đưa chúng ra khỏi ngoặc, chuyển các số hạng từ phần này sang phần khác bằng cách đổi dấu, chuyển các thừa số từ phần này sang phần khác theo quy tắc tỷ lệ, v.v.

Sự khác biệt và là số nhân đầy đủ và là người tham gia tích cực vào chiến sự. Trong ví dụ đang xem xét, các biến có thể dễ dàng được phân tách bằng cách tung các thừa số theo quy tắc tỷ lệ:

Các biến được tách ra. Ở bên trái chỉ có “Y”, ở bên phải – chỉ có “X”.

Giai đoạn tiếp theo - tích hợp phương trình vi phân. Rất đơn giản, chúng ta đặt tích phân ở cả hai vế:

Tất nhiên, chúng ta cần lấy tích phân. Trong trường hợp này chúng ở dạng bảng:

Như chúng ta nhớ, một hằng số được gán cho bất kỳ nguyên hàm nào. Ở đây có hai tích phân, nhưng chỉ cần viết hằng số một lần là đủ (vì hằng số + hằng số vẫn bằng hằng số khác). Trong hầu hết các trường hợp, nó được đặt ở phía bên phải.

Nói một cách chính xác, sau khi lấy tích phân, phương trình vi phân được coi là đã giải. Chỉ có điều chữ “y” của chúng ta không được thể hiện qua “x”, tức là lời giải được đưa ra một cách ngầm định hình thức. Lời giải của phương trình vi phân ở dạng ẩn được gọi là tích phân tổng quát của phương trình vi phân. Tức là đây là tích phân tổng quát.

Câu trả lời ở dạng này khá chấp nhận được, nhưng có lựa chọn nào tốt hơn không? Hãy cố gắng để có được quyết định chung.

Vui lòng, hãy nhớ kỹ thuật đầu tiên, nó rất thông dụng và thường được sử dụng trong các công việc thực tế: nếu logarit xuất hiện ở vế phải sau khi lấy tích phân, thì trong nhiều trường hợp (nhưng không phải luôn luôn!) bạn cũng nên viết hằng số dưới logarit.

Đó là, THAY VÌ các mục thường được viết .

Tại sao điều này là cần thiết? Và để dễ dàng thể hiện “trò chơi” hơn. Sử dụng tính chất của logarit . Trong trường hợp này:

Bây giờ logarit và mô-đun có thể được loại bỏ:

Chức năng được trình bày rõ ràng. Đây là giải pháp chung.

Trả lời: quyết định chung: .

Câu trả lời cho nhiều phương trình vi phân khá dễ kiểm tra. Trong trường hợp của chúng tôi, việc này được thực hiện khá đơn giản, chúng tôi lấy giải pháp tìm được và phân biệt nó:

Sau đó thay đạo hàm vào phương trình ban đầu:

– thu được đẳng thức đúng, nghĩa là nghiệm tổng quát thỏa mãn phương trình, đây là điều cần kiểm tra.

Cho một hằng số những nghĩa khác nhau, bạn có thể nhận được vô số giải pháp riêng phương trình vi phân. Rõ ràng là bất kỳ hàm số , , v.v. thỏa mãn phương trình vi phân.

Đôi khi giải pháp chung được gọi là họ chức năng. TRONG trong ví dụ này quyết định chung là một họ các hàm tuyến tính, hay chính xác hơn là một họ hàm tỷ lệ trực tiếp.

Sau khi xem xét kỹ lưỡng ví dụ đầu tiên, việc trả lời một số câu hỏi đơn giản về phương trình vi phân là phù hợp:

1)Trong ví dụ này, chúng tôi có thể tách các biến. Điều này có thể luôn luôn được thực hiện? Không, không phải lúc nào cũng vậy. Và thậm chí thường xuyên hơn, các biến không thể tách rời. Ví dụ, trong phương trình bậc nhất đồng nhất, trước tiên bạn phải thay thế nó. Trong các loại phương trình khác, chẳng hạn như trong phương trình tuyến tính không đồng nhất bậc nhất, bạn cần sử dụng nhiều kỹ thuật và phương pháp khác nhau để tìm ra nghiệm tổng quát. Các phương trình với các biến có thể tách rời mà chúng ta xem xét trong bài học đầu tiên - loại đơn giản nhất các phương trình vi phân.

2) Có phải luôn luôn có thể tích phân một phương trình vi phân? Không, không phải lúc nào cũng vậy. Rất dễ dàng đưa ra một phương trình “lạ mắt” không thể lấy tích phân, ngoài ra còn có những tích phân không thể lấy được. Nhưng những DE như vậy có thể được giải gần đúng bằng các phương pháp đặc biệt. D'Alembert và Cauchy đảm bảo... ...ugh, lurkmore. vừa mới đọc rất nhiều, tôi gần như đã thêm "từ thế giới khác."

3) Trong ví dụ này, chúng ta thu được nghiệm ở dạng tích phân tổng quát . Có phải luôn luôn có thể tìm được nghiệm tổng quát từ tích phân tổng quát, tức là biểu diễn chữ “y” một cách rõ ràng? Không, không phải lúc nào cũng vậy. Ví dụ: . Chà, làm sao bạn có thể diễn đạt “tiếng Hy Lạp” ở đây?! Trong những trường hợp như vậy, đáp án phải được viết dưới dạng tích phân tổng quát. Ngoài ra, đôi khi có thể tìm được lời giải tổng quát nhưng viết rườm rà, vụng về nên tốt nhất nên để đáp án dưới dạng tích phân tổng quát.

4) ...có lẽ bây giờ thế là đủ rồi. Trong ví dụ đầu tiên chúng ta gặp phải Một cái khác tâm điểm , nhưng để không che lấp những “hình nộm” bằng một trận tuyết lở thông tin mới, Tôi sẽ để nó cho đến bài học tiếp theo.

Chúng tôi sẽ không vội vàng. Một điều khiển từ xa đơn giản khác và một giải pháp điển hình khác:

Ví dụ 2

Tìm nghiệm cụ thể của phương trình vi phân thỏa mãn điều kiện ban đầu

Giải pháp: theo điều kiện cần tìm giải pháp riêng DE thỏa mãn điều kiện ban đầu cho trước. Cách đặt câu hỏi này còn được gọi là vấn đề Cauchy.

Đầu tiên chúng ta tìm một giải pháp chung. Không có biến “x” trong phương trình, nhưng điều này không nên nhầm lẫn, điều chính là nó có đạo hàm cấp một.

Chúng ta viết lại đạo hàm thành ở dạng đúng:

Rõ ràng, các biến có thể được tách ra, con trai ở bên trái, con gái ở bên phải:

Hãy tích hợp phương trình:

Tích phân tổng quát thu được. Ở đây tôi đã vẽ một hằng số có dấu hoa thị, thực tế là nó sẽ sớm biến thành một hằng số khác.

Bây giờ chúng ta cố gắng biến đổi tích phân tổng quát thành nghiệm tổng quát (biểu diễn rõ ràng chữ “y”). Hãy nhớ lại những điều tốt đẹp xưa ở trường: . Trong trường hợp này:

Hằng số trong chỉ báo có vẻ không hợp lý bằng cách nào đó, vì vậy nó thường được đưa xuống mặt đất. Cụ thể thì sự việc diễn ra như thế này. Sử dụng tính chất độ, chúng ta viết lại hàm như sau:

Nếu là một hằng số thì cũng là một hằng số nào đó, hãy ký hiệu lại nó bằng chữ cái:

Hãy nhớ “phá hủy” một hằng số là kỹ thuật thứ hai, thường được sử dụng khi giải phương trình vi phân.

Vì vậy, giải pháp chung là: . Đây là một họ hàm mũ đẹp.

Ở giai đoạn cuối, bạn cần tìm một giải pháp cụ thể thỏa mãn điều kiện ban đầu đã cho. Điều này cũng đơn giản.

Nhiệm vụ là gì? Cần phải nhặt như là giá trị của hằng số sao cho điều kiện được thỏa mãn.

Nó có thể được định dạng theo nhiều cách khác nhau, nhưng đây có lẽ sẽ là cách rõ ràng nhất. Trong giải pháp chung, thay vì “X”, chúng ta thay thế số 0 và thay vì “Y” chúng ta thay thế bằng hai:



Đó là,

Phiên bản thiết kế tiêu chuẩn:

Bây giờ chúng ta thay giá trị tìm được của hằng số vào nghiệm tổng quát:
– đây là giải pháp cụ thể mà chúng tôi cần.

Trả lời: giải pháp riêng:

Hãy kiểm tra. Kiểm tra một giải pháp riêng bao gồm hai giai đoạn:

Trước tiên, bạn cần kiểm tra xem giải pháp cụ thể được tìm thấy có thực sự thỏa mãn điều kiện ban đầu hay không? Thay vì chữ “X”, chúng ta thay thế số 0 và xem điều gì sẽ xảy ra:
- vâng, thực sự, hai đã được nhận, có nghĩa là điều kiện ban đầu được đáp ứng.

Giai đoạn thứ hai đã quen thuộc. Chúng tôi lấy giải pháp cụ thể thu được và tìm đạo hàm:

Chúng ta thay thế vào phương trình ban đầu:

- thu được đẳng thức đúng.

Kết luận: giải pháp cụ thể đã được tìm thấy chính xác.

Hãy chuyển sang những ví dụ có ý nghĩa hơn.

Ví dụ 3

Giải phương trình vi phân

Giải pháp: Chúng tôi viết lại đạo hàm ở dạng chúng tôi cần:

Chúng tôi đánh giá liệu có thể tách các biến? Có thể. Chúng ta chuyển số hạng thứ hai sang vế phải bằng cách đổi dấu:

Và ta chuyển số nhân theo quy luật tỉ lệ:

Các biến được tách ra, hãy tích hợp cả hai phần:

Tôi phải cảnh báo bạn, ngày phán xét đang đến gần. Nếu bạn chưa học tốt tích phân không xác định, đã giải được một vài ví dụ, sau đó không còn nơi nào để đi - bạn sẽ phải nắm vững chúng ngay bây giờ.

Tích phân của vế trái rất dễ tìm; chúng ta giải tích phân của cotang bằng kỹ thuật tiêu chuẩn mà chúng ta đã xem xét trong bài học Tích hợp các hàm lượng giác năm ngoái:

Ở phía bên phải, chúng ta có logarit, và theo khuyến nghị kỹ thuật đầu tiên của tôi, hằng số cũng phải được viết dưới logarit.

Bây giờ chúng ta cố gắng đơn giản hóa tích phân tổng quát. Vì chúng ta chỉ có logarit nên việc loại bỏ chúng là hoàn toàn có thể (và cần thiết). Bằng cách sử dụng tính chất đã biết Chúng tôi “đóng gói” logarit càng nhiều càng tốt. Tôi sẽ viết nó ra rất chi tiết:

Bao bì làm xong bị rách nát dã man:

Có thể diễn đạt “trò chơi” được không? Có thể. Cần phải vuông góc cả hai phần.

Nhưng bạn không cần phải làm điều này.

Mẹo kỹ thuật thứ ba: nếu để có được giải pháp tổng thể cần phải nâng lên sức mạnh hoặc bén rễ thì Trong hầu hết các trường hợp bạn nên hạn chế những hành động này và để lại đáp án dưới dạng tích phân tổng quát. Thực tế là giải pháp chung sẽ trông đơn giản khủng khiếp - với những bộ rễ lớn, những dấu hiệu và những thứ rác rưởi khác.

Do đó, chúng ta viết đáp án dưới dạng tích phân tổng quát. Nó được coi là một cách thực hành tốt để trình bày nó ở dạng , nghĩa là ở phía bên phải, nếu có thể, chỉ để lại một hằng số. Không nhất thiết phải làm như vậy nhưng luôn có lợi khi làm hài lòng giáo sư ;-)

Trả lời: tích phân tổng quát:

! Ghi chú: Tích phân tổng quát của bất kỳ phương trình nào cũng có thể được viết theo nhiều cách. Vì vậy, nếu kết quả của bạn không trùng với đáp án đã biết trước đó, điều này không có nghĩa là bạn đã giải sai phương trình.

Tích phân tổng quát cũng khá dễ kiểm tra, cái chính là có thể tìm được đạo hàm của một hàm được chỉ định ngầm định. Hãy phân biệt câu trả lời:

Chúng tôi nhân cả hai số hạng với:

Và chia cho:

Phương trình vi phân ban đầu đã thu được một cách chính xác, có nghĩa là tích phân tổng quát đã được tìm thấy một cách chính xác.

Ví dụ 4

Tìm nghiệm cụ thể của phương trình vi phân thỏa mãn điều kiện ban đầu. Thực hiện kiểm tra.

Đây là một ví dụ cho quyết định độc lập.

Hãy để tôi nhắc bạn rằng thuật toán bao gồm hai giai đoạn:
1) tìm giải pháp chung;
2) tìm giải pháp cụ thể cần thiết.

Việc kiểm tra cũng được thực hiện theo hai bước (xem mẫu ở Ví dụ số 2), bạn cần:
1) đảm bảo rằng giải pháp cụ thể được tìm thấy thỏa mãn điều kiện ban đầu;
2) kiểm tra xem một nghiệm cụ thể có thỏa mãn phương trình vi phân hay không.

Đáp án và đáp án đầy đủ ở cuối bài.

Ví dụ 5

Tìm nghiệm cụ thể của phương trình vi phân , thỏa mãn điều kiện ban đầu. Thực hiện kiểm tra.

Giải pháp:Đầu tiên, chúng ta hãy tìm một nghiệm tổng quát, phương trình này đã chứa sẵn vi phân và do đó, nghiệm được đơn giản hóa. Chúng tôi tách các biến:

Hãy tích hợp phương trình:

Tích phân bên trái là dạng bảng, tích phân bên phải được lấy phương pháp gộp hàm số dưới dấu vi phân:

Tích phân tổng quát đã thu được, liệu có thể biểu diễn thành công nghiệm tổng quát được không? Có thể. Chúng tôi treo logarit ở cả hai bên. Vì chúng dương nên dấu hiệu mô đun là không cần thiết:

(Mong mọi người hiểu sự chuyển hóa, những điều như vậy chắc hẳn đã biết rồi)

Vì vậy, giải pháp chung là:

Hãy tìm một giải pháp cụ thể tương ứng với điều kiện ban đầu đã cho.
Trong giải pháp tổng quát, thay vì “X”, chúng ta thay thế số 0 và thay vì “Y”, chúng ta thay thế logarit của hai:

Thiết kế quen thuộc hơn:

Chúng ta thay giá trị tìm được của hằng số vào nghiệm tổng quát.

Trả lời: giải pháp riêng:

Kiểm tra: Trước tiên, hãy kiểm tra xem điều kiện ban đầu có được đáp ứng hay không:
- Mọi thứ đều tốt.

Bây giờ hãy kiểm tra xem nghiệm cụ thể tìm được có thỏa mãn phương trình vi phân hay không. Tìm đạo hàm:

Chúng ta hãy nhìn vào phương trình ban đầu: – nó được trình bày dưới dạng vi phân. Có hai cách để kiểm tra. Có thể biểu diễn vi phân từ đạo hàm tìm được:

Chúng ta hãy thay thế nghiệm cụ thể tìm được và vi phân thu được vào phương trình ban đầu :

Chúng tôi sử dụng danh tính logarit cơ bản:

Đạt được đẳng thức chính xác, có nghĩa là giải pháp cụ thể đã được tìm thấy chính xác.

Phương pháp kiểm tra thứ hai được phản ánh và quen thuộc hơn: từ phương trình Hãy biểu thị đạo hàm, để làm điều này, chúng ta chia tất cả các phần cho:

Và vào DE đã biến đổi, chúng ta thay thế nghiệm từng phần thu được và đạo hàm tìm được. Do sự đơn giản hóa, cũng cần đạt được sự bình đẳng chính xác.

Ví dụ 6

Giải phương trình vi phân. Trình bày câu trả lời dưới dạng tích phân tổng quát.

Đây là ví dụ để các bạn tự giải, giải đầy đủ và đáp án cuối bài.

Những khó khăn nào đang chờ đợi khi giải phương trình vi phân với các biến tách được?

1) Không phải lúc nào cũng rõ ràng (đặc biệt đối với một “ấm trà”) rằng các biến số có thể được tách ra. Hãy xem xét một ví dụ có điều kiện: . Ở đây bạn cần lấy các thừa số ra khỏi ngoặc: và tách các gốc: . Rõ ràng phải làm gì tiếp theo.

2) Những khó khăn trong quá trình hội nhập. Tích phân thường không đơn giản nhất và nếu có sai sót trong kỹ năng tìm không xác định, không thể thiếu, thì sẽ khó khăn với nhiều bộ khuếch tán. Ngoài ra, logic “vì phương trình vi phân đơn giản nên ít nhất hãy để tích phân phức tạp hơn” rất phổ biến trong những người biên soạn các bộ sưu tập và sách hướng dẫn đào tạo.

3) Các phép biến đổi có hằng số. Như mọi người đã nhận thấy, hằng số trong các phương trình vi phân có thể được xử lý khá dễ dàng và một số phép biến đổi không phải lúc nào cũng rõ ràng đối với người mới bắt đầu. Hãy xem một ví dụ có điều kiện khác: . Nên nhân tất cả các số hạng với 2: . Hằng số kết quả cũng là một loại hằng số nào đó, có thể được biểu thị bằng: . Có, và vì có logarit ở vế phải nên nên viết lại hằng số dưới dạng một hằng số khác: .

Vấn đề là họ thường không bận tâm đến các chỉ mục và sử dụng cùng một chữ cái. Do đó, bản ghi quyết định có dạng sau:

Những loại dị giáo? Có những sai lầm ngay tại đó! Nói đúng ra thì có. Tuy nhiên, xét về mặt thực chất thì không có sai sót nào cả, vì khi biến đổi một hằng biến thì vẫn thu được một hằng biến.

Hoặc một ví dụ khác, giả sử rằng trong quá trình giải phương trình, thu được tích phân tổng quát. Câu trả lời này có vẻ xấu nên nên đổi dấu từng số hạng: . Về mặt hình thức, có một sai lầm khác ở đây - nó phải được viết ở bên phải. Nhưng một cách không chính thức thì người ta ngụ ý rằng “trừ ce” vẫn là một hằng số ( có thể dễ dàng mang bất kỳ ý nghĩa nào!), vì vậy việc đặt dấu “trừ” không có ý nghĩa gì và bạn có thể sử dụng cùng một chữ cái.

Tôi sẽ cố gắng tránh cách tiếp cận bất cẩn và vẫn gán các chỉ số khác nhau cho các hằng số khi chuyển đổi chúng.

Ví dụ 7

Giải phương trình vi phân. Thực hiện kiểm tra.

Giải pháp: Phương trình này cho phép tách các biến. Chúng tôi tách các biến:

Hãy tích hợp:

Không cần thiết phải định nghĩa hằng số ở đây là logarit, vì việc này sẽ không có ích gì.

Trả lời: tích phân tổng quát:

Kiểm tra: Phân biệt câu trả lời (hàm ẩn):

Chúng ta loại bỏ các phân số bằng cách nhân cả hai số hạng với:

Phương trình vi phân ban đầu đã thu được, có nghĩa là tích phân tổng quát đã được tìm thấy một cách chính xác.

Ví dụ 8

Tìm một giải pháp cụ thể của DE.
,

Đây là ví dụ để bạn tự giải quyết. Gợi ý duy nhất là ở đây bạn sẽ nhận được tích phân tổng quát, và nói chính xác hơn, bạn cần cố gắng tìm ra không phải một nghiệm cụ thể mà là tích phân một phần. Đáp án và đáp án đầy đủ ở cuối bài.

Chúng ta hãy nhớ lại nhiệm vụ mà chúng ta phải đối mặt khi tìm tích phân xác định:

hoặc dy = f(x)dx. Giải pháp của cô ấy:

và nó phụ thuộc vào việc tính toán không xác định, không thể thiếu. Trong thực tế, một nhiệm vụ phức tạp hơn thường gặp hơn: tìm hàm y, nếu biết rằng nó thỏa mãn quan hệ có dạng

Mối quan hệ này liên quan đến biến độc lập x, hàm số chưa biết y và các dẫn xuất của nó theo thứ tự N bao gồm, được gọi là .

Một phương trình vi phân bao gồm một hàm dưới dấu của đạo hàm (hoặc vi phân) của bậc này hay bậc khác. Bậc cao nhất được gọi là bậc (9.1) .

Phương trình vi phân:

- đơn hàng đầu tiên,

Lệnh thứ hai

- thứ tự thứ năm, v.v.

Hàm số thỏa mãn một phương trình vi phân đã cho được gọi là nghiệm của nó , hoặc tích phân . Giải quyết nó có nghĩa là tìm ra tất cả các giải pháp của nó. Nếu cho chức năng cần thiết y thu được một công thức cho mọi nghiệm thì ta nói rằng ta đã tìm được nghiệm tổng quát của nó , hoặc tích phân tổng quát .

Quyết định chung chứa N hằng số tùy ý và trông giống như

Nếu có được một mối quan hệ có liên quan x, y Và N các hằng số tùy ý, ở dạng không được phép đối với y -

thì hệ thức như vậy được gọi là tích phân tổng quát của phương trình (9.1).

vấn đề Cauchy

Mỗi giải pháp cụ thể, tức là mỗi hàm cụ thể thỏa mãn một phương trình vi phân đã cho và không phụ thuộc vào các hằng số tùy ý được gọi là một nghiệm cụ thể , hoặc tích phân từng phần. Để thu được nghiệm cụ thể (tích phân) từ nghiệm tổng quát, các hằng số phải có giá trị số cụ thể.

Đồ thị của một nghiệm cụ thể được gọi là đường cong tích phân. Lời giải tổng quát, chứa tất cả các lời giải từng phần, là một họ các đường cong tích phân. Đối với phương trình bậc nhất, họ này phụ thuộc vào một hằng số tùy ý, vì phương trình N-thứ tự - từ N hằng số tùy ý.

Bài toán Cauchy là tìm nghiệm cụ thể của phương trình N-thứ tự, thỏa mãn Nđiều kiện ban đầu:

từ đó xác định được n hằng số c 1, c 2,..., c n.

phương trình vi phân bậc 1

Đối với phương trình vi phân bậc 1 không giải được theo đạo hàm, nó có dạng

hoặc cho phép tương đối

Ví dụ 3.46. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình

Giải pháp. Tích hợp, chúng tôi nhận được

trong đó C là hằng số tùy ý. Nếu chúng ta gán các giá trị số cụ thể cho C, chúng ta sẽ thu được các nghiệm cụ thể, ví dụ:

Ví dụ 3.47. Hãy xem xét số tiền gửi vào ngân hàng ngày càng tăng với số tiền tích lũy là 100 r. lãi kép mỗi năm. Gọi Yo là số tiền ban đầu và Yx - ở cuối x năm. Nếu tiền lãi được tính mỗi năm một lần, chúng ta nhận được

trong đó x = 0, 1, 2, 3,.... Khi tính lãi 2 lần/năm, ta được

trong đó x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... Khi tính lãi N mỗi năm một lần và nếu x lấy các giá trị tuần tự 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., thì

Chỉ định 1/n = h, thì đẳng thức trước đó sẽ có dạng:

Với độ phóng đại không giới hạn N(Tại ) trong giới hạn, chúng ta đi đến quá trình tăng số tiền với lãi suất tích lũy liên tục:

Như vậy rõ ràng là với sự thay đổi liên tục x quy luật thay đổi cung tiền được thể hiện bằng phương trình vi phân bậc 1. Trong đó Y x là hàm chưa biết, x- biến độc lập, r- không thay đổi. Hãy giải phương trình này, để làm điều này chúng ta viết lại nó như sau:

Ở đâu , hoặc , trong đó P ký hiệu e C .

Từ điều kiện ban đầu Y(0) = Yo, ta tìm được P: Yo = Pe o, từ đó Yo = P. Do đó, nghiệm có dạng:

Hãy xem xét vấn đề kinh tế thứ hai. Các mô hình kinh tế vĩ mô cũng được mô tả bằng các phương trình vi phân tuyến tính bậc 1, mô tả những thay đổi về thu nhập hoặc sản lượng Y là hàm số của thời gian.

Ví dụ 3.48. Giả sử thu nhập quốc dân Y tăng tỷ lệ thuận với giá trị của nó:

và đặt thâm hụt trong chi tiêu chính phủ tỷ lệ thuận với thu nhập Y với hệ số tỷ lệ q. Thâm hụt chi tiêu dẫn đến tăng nợ quốc gia D:

Điều kiện ban đầu Y = Yo và D = Do tại t = 0. Từ phương trình đầu tiên Y= Yoe kt. Thay Y ta được dD/dt = qYoe kt . Giải pháp tổng quát có dạng
D = (q/ k) Yoe kt +С, trong đó С = const, được xác định từ các điều kiện ban đầu. Thay các điều kiện ban đầu, ta được Do = (q/ k)Yo + C. Vì vậy, cuối cùng,

D = Do +(q/ k)Yo (e kt -1),

điều này cho thấy nợ quốc gia đang tăng với tốc độ tương đối k, bằng với thu nhập quốc dân.

Chúng ta hãy xem xét các phương trình vi phân đơn giản nhất N thứ tự, đây là các phương trình có dạng

Giải pháp chung của nó có thể thu được bằng cách sử dụng N lần tích hợp.

Ví dụ 3.49. Xét ví dụ y """ = cos x.

Giải pháp. Tích hợp, chúng tôi tìm thấy

Giải pháp tổng quát có dạng

Phương trình vi phân tuyến tính

Chúng được sử dụng rộng rãi trong kinh tế; hãy xem xét việc giải các phương trình như vậy. Nếu (9.1) có dạng:

thì nó được gọi là tuyến tính, trong đó рo(x), р1(x),..., рn(x), f(x) là các hàm đã cho. Nếu f(x) = 0 thì (9.2) được gọi là đồng nhất, ngược lại nó được gọi là không đồng nhất. Nghiệm tổng quát của phương trình (9.2) bằng tổng của bất kỳ nghiệm cụ thể nào của nó y(x) và nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng với nó:

Nếu các hệ số р o (x), р 1 (x),..., р n (x) không đổi thì (9.2)

(9.4) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính với hệ số bậc không đổi N .

Cho (9.4) có dạng:

Không mất tính tổng quát, ta có thể đặt p o = 1 và viết (9.5) dưới dạng

Chúng ta sẽ tìm nghiệm (9.6) có dạng y = e kx, trong đó k là hằng số. Chúng ta có: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx . Thay các biểu thức thu được vào (9.6), ta sẽ có:

(9.7) là một phương trình đại số, ẩn số của nó là k, nó được gọi là đặc tính. Phương trình đặc trưng có bậc N Và N gốc, trong đó có thể có nhiều gốc và phức tạp. Cho k 1 , k 2 ,..., k n là số thực và phân biệt thì - giải pháp cụ thể (9.7) và giải pháp chung

Hãy xem xét một phương trình vi phân bậc hai đồng nhất tuyến tính với các hệ số không đổi:

Phương trình đặc trưng của nó có dạng

(9.9)

biệt thức của nó D = p 2 - 4q, tùy theo dấu của D có thể xảy ra ba trường hợp.

1. Nếu D>0 thì nghiệm k 1 và k 2 (9.9) là số thực và khác nhau và nghiệm tổng quát có dạng:

Giải pháp. Phương trình đặc trưng: k 2 + 9 = 0, do đó k = ± 3i, a = 0, b = 3 thì nghiệm tổng quát có dạng:

y = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x.

Các phương trình vi phân tuyến tính bậc 2 được sử dụng khi nghiên cứu mô hình kinh tế kiểu web với hàng tồn kho, trong đó tốc độ thay đổi của giá P phụ thuộc vào quy mô của hàng tồn kho (xem đoạn 10). Nếu cung và cầu là các hàm tuyến tính của giá, nghĩa là

a là hằng số xác định tốc độ phản ứng, khi đó quá trình thay đổi giá được mô tả bằng phương trình vi phân:

Đối với một giải pháp cụ thể, chúng ta có thể lấy một hằng số

giá cân bằng có ý nghĩa. Độ lệch thỏa mãn phương trình thuần nhất

(9.10)

Phương trình đặc tính sẽ như sau:

Trong trường hợp thuật ngữ này là tích cực. Hãy biểu thị . Các nghiệm của phương trình đặc tính k 1,2 = ± i w, do đó nghiệm tổng quát (9.10) có dạng:

trong đó C là các hằng số tùy ý, chúng được xác định từ các điều kiện ban đầu. Ta thu được quy luật giá thay đổi theo thời gian:

Phương trình vi phân thường là một phương trình liên quan đến một biến độc lập, một hàm chưa biết của biến này và các đạo hàm (hoặc vi phân) của nó theo các bậc khác nhau.

Thứ tự của phương trình vi phân được gọi là bậc của đạo hàm cao nhất chứa trong nó.

Ngoài những phương trình thông thường, các phương trình vi phân từng phần cũng được nghiên cứu. Đây là các phương trình liên hệ các biến độc lập, một hàm chưa biết của các biến này và đạo hàm riêng của nó đối với cùng các biến. Nhưng chúng ta sẽ chỉ xem xét phương trình vi phân thường và do đó, để ngắn gọn, chúng tôi sẽ lược bỏ từ “thông thường”.

Ví dụ về phương trình vi phân:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Phương trình (1) là bậc bốn, phương trình (2) là bậc ba, phương trình (3) và (4) là bậc hai, phương trình (5) là bậc một.

phương trình vi phân N bậc thứ không nhất thiết phải chứa một hàm rõ ràng, tất cả các đạo hàm của nó từ bậc một đến bậc N-thứ tự và biến độc lập. Nó có thể không chứa rõ ràng các dẫn xuất của một số đơn đặt hàng nhất định, một hàm hoặc một biến độc lập.

Ví dụ, trong phương trình (1) rõ ràng không có đạo hàm bậc ba và bậc hai, cũng như hàm số; trong phương trình (2) - đạo hàm bậc hai và hàm số; trong phương trình (4) - biến độc lập; trong phương trình (5) - hàm số. Chỉ phương trình (3) chứa rõ ràng tất cả các đạo hàm, hàm và biến độc lập.

Giải phương trình vi phân mọi chức năng được gọi y = f(x), khi được thay thế vào phương trình, nó trở thành một đẳng thức.

Quá trình tìm nghiệm của phương trình vi phân được gọi là hội nhập.

Ví dụ 1. Tìm nghiệm của phương trình vi phân.

Giải pháp. Hãy viết phương trình này dưới dạng . Giải pháp là tìm hàm từ đạo hàm của nó. Hàm ban đầu, như được biết đến từ phép tính tích phân, là một nguyên hàm của, tức là

Đó là những gì nó là giải phương trình vi phân này . Thay đổi trong đó C, chúng ta sẽ thu được các giải pháp khác nhau. Chúng tôi phát hiện ra rằng có vô số nghiệm cho phương trình vi phân bậc một.

Giải tổng quát của phương trình vi phân N bậc thứ là nghiệm của nó, được biểu diễn rõ ràng đối với hàm chưa biết và chứa N hằng số tùy ý độc lập, tức là

Lời giải của phương trình vi phân ở Ví dụ 1 có tính chất tổng quát.

Giải từng phần của phương trình vi phân một giải pháp trong đó các hằng số tùy ý được đưa ra các giá trị số cụ thể được gọi.

Ví dụ 2. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân và nghiệm riêng của phương trình .

Giải pháp. Hãy tích phân cả hai vế của phương trình một số lần bằng bậc của phương trình vi phân.

,

.

Kết quả là chúng tôi đã nhận được một giải pháp chung -

của một phương trình vi phân bậc ba đã cho.

Bây giờ chúng ta hãy tìm một giải pháp cụ thể trong các điều kiện đã chỉ định. Để làm điều này, hãy thay thế các giá trị của chúng thay vì các hệ số tùy ý và nhận được

.

Nếu, ngoài phương trình vi phân, điều kiện ban đầu được cho ở dạng , thì bài toán đó được gọi là vấn đề Cauchy . Thay các giá trị vào nghiệm tổng quát của phương trình và tìm giá trị của hằng số tùy ý C, và sau đó là nghiệm cụ thể của phương trình cho giá trị tìm được C. Đây chính là lời giải của bài toán Cauchy.

Ví dụ 3. Giải bài toán Cauchy cho phương trình vi phân từ ví dụ 1 đến .

Giải pháp. Ta thay các giá trị từ điều kiện ban đầu vào nghiệm tổng quát y = 3, x= 1. Chúng tôi nhận được

Chúng ta viết ra nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình vi phân bậc nhất này:

Việc giải các phương trình vi phân, ngay cả những phương trình đơn giản nhất, đòi hỏi kỹ năng tích phân và đạo hàm tốt, bao gồm cả các hàm phức tạp. Điều này có thể được nhìn thấy trong ví dụ sau.

Ví dụ 4. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân.

Giải pháp. Phương trình được viết dưới dạng sao cho bạn có thể lấy tích phân cả hai vế ngay lập tức.

.

Ta áp dụng phương pháp tích phân bằng cách đổi biến (thay thế). Vậy thì cứ để vậy đi.

Bắt buộc phải lấy dx và bây giờ - chú ý - chúng ta thực hiện điều này theo quy tắc đạo hàm của hàm phức, vì x và có một hàm phức tạp ("apple" - giải nén căn bậc hai hoặc, điều tương tự là gì - nâng lên lũy thừa “một nửa” và “thịt băm” chính là cách diễn đạt dưới gốc):

Ta tìm tích phân:

Trở lại biến x, chúng tôi nhận được:

.

Đây là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân bậc một này.

Khi giải phương trình vi phân, không chỉ cần có các kỹ năng từ các phần trước của toán cao cấp mà còn cả các kỹ năng từ cấp tiểu học, tức là toán học ở trường. Như đã đề cập, trong một phương trình vi phân cấp bất kỳ có thể không có một biến độc lập, tức là một biến x. Kiến thức về tỷ lệ ở trường không bị quên (tuy nhiên, tùy thuộc vào ai) ở trường sẽ giúp giải quyết vấn đề này. Đây là ví dụ tiếp theo.

Hoặc đã được giải theo đạo hàm hoặc có thể giải được theo đạo hàm .

Giải tổng quát các loại phương trình vi phân trên khoảng X, đã cho, có thể tìm được bằng cách lấy tích phân cả hai vế của đẳng thức này.

Chúng tôi nhận được .

Nếu xét tính chất của tích phân không xác định, chúng ta sẽ tìm được nghiệm tổng quát mong muốn:

y = F(x) + C,

Ở đâu F(x)- một trong những hàm nguyên thủy f(x)ở giữa X, MỘT VỚI- Hằng số tùy ý.

Xin lưu ý rằng trong hầu hết các bài toán, khoảng X không chỉ ra. Điều này có nghĩa là phải tìm ra giải pháp cho tất cả mọi người. x, cho chức năng nào và mong muốn y, và phương trình ban đầu có ý nghĩa.

Nếu bạn cần tính một nghiệm cụ thể của phương trình vi phân thỏa mãn điều kiện ban đầu y(x 0) = y 0, thì sau khi tính tích phân tổng quát y = F(x) + C, vẫn cần xác định giá trị của hằng số C = C 0, sử dụng điều kiện ban đầu. Tức là một hằng số C = C 0 xác định từ phương trình F(x 0) + C = y 0 và nghiệm từng phần mong muốn của phương trình vi phân sẽ có dạng:

y = F(x) + C 0.

Hãy xem một ví dụ:

Chúng ta hãy tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân và kiểm tra tính đúng đắn của kết quả. Chúng ta hãy tìm một giải pháp cụ thể cho phương trình này thỏa mãn điều kiện ban đầu.

Giải pháp:

Sau khi tích phân phương trình vi phân đã cho, chúng ta nhận được:

.

Hãy lấy tích phân này bằng phương pháp tích phân từng phần:

Cái đó., là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân.

Để đảm bảo kết quả là chính xác, chúng ta hãy kiểm tra. Để làm điều này, chúng tôi thay thế giải pháp chúng tôi tìm thấy vào phương trình đã cho:

.

Đó là khi phương trình ban đầu biến thành một đẳng thức:

do đó, nghiệm tổng quát của phương trình vi phân đã được xác định chính xác.

Lời giải chúng tôi tìm được là lời giải tổng quát của phương trình vi phân cho mọi giá trị thực của đối số x.

Vẫn còn phải tính toán một giải pháp cụ thể cho ODE thỏa mãn điều kiện ban đầu. Nói cách khác, cần phải tính giá trị của hằng số VỚI, tại đó đẳng thức sẽ đúng:

.

.

Sau đó, thay thế C = 2 vào nghiệm tổng quát của ODE, ta thu được nghiệm riêng của phương trình vi phân thỏa mãn điều kiện ban đầu:

.

Phương trình vi phân thường có thể giải đạo hàm bằng cách chia 2 vế của phương trình cho f(x). Phép biến đổi này sẽ tương đương nếu f(x) không chuyển sang 0 trong bất kỳ trường hợp nào x từ khoảng tích phân của phương trình vi phân X.

Có những tình huống có thể xảy ra khi, đối với một số giá trị của đối số x ∈ X chức năng f(x) Và g(x)đồng thời trở thành số không. Đối với các giá trị tương tự x nghiệm tổng quát của phương trình vi phân là hàm bất kỳ y, được định nghĩa trong chúng, bởi vì .

Nếu đối với một số giá trị đối số x ∈ Xđiều kiện được thỏa mãn, nghĩa là trong trường hợp này ODE không có nghiệm.

Dành cho những người khác x từ khoảng thời gian X nghiệm tổng quát của phương trình vi phân được xác định từ phương trình đã biến đổi.

Hãy xem xét các ví dụ:

Ví dụ 1.

Hãy tìm một giải pháp chung cho ODE: .

Giải pháp.

Từ các tính chất của các hàm cơ bản cơ bản, rõ ràng hàm logarit tự nhiên được xác định cho các giá trị không âm của đối số, do đó miền định nghĩa của biểu thức ln(x+3) có một khoảng thời gian x > -3 . Điều này có nghĩa là phương trình vi phân đã cho có ý nghĩa đối với x > -3 . Đối với các giá trị đối số này, biểu thức x+3 không biến mất nên bạn có thể giải ODE cho đạo hàm bằng cách chia 2 phần cho x + 3.

Chúng tôi nhận được .

Tiếp theo, chúng ta tích phân phương trình vi phân thu được, được giải theo đạo hàm: . Để lấy tích phân này, chúng ta sử dụng phương pháp cộng nó dưới dấu vi phân.