Thuyết minh chuyên đề chuyển đổi biểu thức có chứa căn bậc hai. Sử dụng các tính chất của căn khi biến đổi biểu thức vô tỉ, nêu ví dụ, cách giải. Vii. Viết một bài kiểm tra

§ 1 Chuyển đổi các biểu thức có chứa phép toán rút ra căn bậc hai

Hãy nhớ lại các tính chất của căn bậc hai: nếu a, b là các số không âm a, b ≥ 0 thì các giá trị bằng nhau sau đây là đúng:

Sử dụng các công thức này, bạn có thể thực hiện các phép biến đổi khác nhau của các biểu thức có chứa phép toán khai thác căn bậc hai, nhưng với điều kiện là các biến của các biểu thức này chỉ nhận các giá trị không âm. Sau khi đưa ra giả định này, hãy xem xét một vài ví dụ.

Ví dụ 1: Đơn giản hóa biểu thức:

Vì biểu thức chứa một phân số, chúng tôi sẽ sử dụng thuộc tính thứ hai để biến đổi nó:

Thuộc tính thứ ba được sử dụng để biến đổi mẫu số:

Kết quả là, biểu thức ban đầu có dạng:

Ví dụ 2: Trừ một thừa số khỏi dấu căn bậc hai:

Khi giải ví dụ dưới chữ A, chúng ta sẽ sử dụng tính chất thứ nhất và thứ ba của căn bậc hai:

Tương tự, chúng ta biến đổi biểu thức được trình bày trong task dưới chữ B:

Ví dụ 3: Thừa số trong căn bậc hai cho

Để tính trong dấu gốc, chúng tôi sử dụng thuộc tính thứ ba từ phải sang trái:

Hãy giải một số bài toán về biến đổi biểu thức có chứa phép tính rút căn bậc hai, sử dụng các công thức của phép nhân rút gọn. Đầu tiên, hãy ghi nhớ và viết chúng ra:

(a + b) 2 = a2 + 2ab + b2

(a - b) 2 = a2 - 2ab + b2

a2 - b2 = (a + b) (a - b)

a3 - b3 = (a-b) (a2 + ab + b2)

a3 + a3 = (a + b) (a2 - ab + b2)

Ví dụ 4: Đơn giản hóa biểu thức:

Để giải quyết vấn đề, hãy biểu diễn số ba dưới dạng căn bậc hai của ba bình phương:

và ở mẫu số, chúng tôi sử dụng công thức cho sự khác biệt của các bình phương, sau đó chúng tôi nhận được:

Ví dụ 5: Đơn giản hóa biểu thức:

Để giải quyết, trước tiên, hãy xem xét biểu thức:

Giả sử rằng

sau đó

sử dụng công thức tổng các khối

Chúng tôi nhận được

Hãy thực hiện thay thế thích hợp.

Thứ hai, từ phép toán chia cho (a - b), chúng ta chuyển sang phép toán nhân với nghịch đảo:

Thứ ba, chúng ta sẽ giảm phân số đầu tiên trong ngoặc bằng biểu thức:

và sau đó chúng ta sẽ thực hiện phép nhân.

Giả sử:

sử dụng công thức cho sự khác biệt của các hình vuông, chúng tôi nhận được:

Biểu thức ở tử số của phân số đầu tiên theo công thức bình phương của hiệu có thể được viết:

Hãy thực hiện các thay thế thích hợp. Có một thừa số chung ở tử số và mẫu số của phân số đầu tiên, do đó, sau khi rút gọn, kết luận là chỉ cộng các phân số có cùng mẫu số.

Nếu mẫu số của một phân số đại số chứa dấu căn bậc hai, thì mẫu số được cho là chứa vô tỉ. Phép biến đổi một biểu thức về dạng sao cho không có dấu căn bậc hai ở mẫu số của phân số được gọi là sự giải thoát khỏi tính vô tỉ ở mẫu số.

§ 2 Thuật toán giải phóng tính vô tỉ ở mẫu số của một phân số

1. Quy đồng mẫu số của phân số;

2. Nếu mẫu số là:

Nếu mẫu số là:

hoặc chứa một thừa số thuộc loại này, thì tử số và mẫu số của phân số phải được nhân tương ứng với:

3. Chuyển tử số và mẫu số của phân số, nếu có thể, sau đó rút gọn phân số thu được. Các biểu hiện như:

Hãy xem xét làm thế nào để loại bỏ sự bất hợp lý trong mẫu số bằng cách sử dụng các ví dụ:

A) Ta biến đổi biểu thức:

Hãy sử dụng thuật toán để loại bỏ tính vô tỉ ở mẫu số của phân số: nhân với:

tử số và mẫu số. Chúng tôi nhận được:

B) Ta biến đổi biểu thức:

Trong ví dụ này, tử số và mẫu số của phân số được nhân với biểu thức liên hợp:

Vì vậy, chúng tôi đã phân tích một số ví dụ để đơn giản hóa các biểu thức có chứa căn bậc hai.

Danh sách các tài liệu đã sử dụng:

1. Mordkovich A.G. "Đại số" lớp 8. Vào lúc 2 giờ chiều Phần 1 Sách giáo khoa dành cho các cơ sở giáo dục / A.G. Mordkovich. - Xuất bản lần thứ 9, Rev. - M .: Mnemosina, 2007 .-- 215p: Ill.
2. Mordkovich A.G. "Đại số" lớp 8. Vào lúc 2 giờ chiều Phần 2 Cuốn sách vấn đề cho các tổ chức giáo dục / A.G. Mordkovich, T.N. Mishustina, E.E. Tulchinskaya. - Xuất bản lần thứ 8, - M .: Mnemosina, 2006. - 239p.
3. Đại số học. lớp 8. Giấy kiểm tra của học sinh cơ sở giáo dục L.A. Alexandrov, ed. A.G. Mordkovich xuất bản lần thứ 2, đã xóa. - M .: Mnemosina, 2009. - 40s.
4. Đại số học. lớp 8. Làm việc độc lập cho sinh viên của các cơ sở giáo dục: đến sách giáo khoa của A.G. Mordkovich, L.A. Alexandrov, ed. A.G. Mordkovich. Lần xuất bản thứ 9, đã xóa. - M .: Mnemosina, 2013. - 112 giây.

Đại số học. lớp 8

Giáo viên: Kuleshova Tatiana Nikolaevna

Chủ đề: Chuyển đổi biểu thức có chứa gốc hình vuông

Loại bài học: khái quát hóa và hệ thống hóa kiến ​​thức

Mục đích của bài học: hình thành ở học sinh kĩ năng biến đổi biểu thức có chứa căn bậc hai.

Nhiệm vụ:

Giáo dục:biết các tính chất của căn bậc hai số học; học cách biến đổi các biểu thức có chứa căn bậc hai, chẳng hạn như loại bỏ một thừa số từ dưới dấu căn, thêm một thừa số vào dấu căn và giải phóng khỏi tính vô tỉ ở mẫu số của một phân số;

Đang phát triển: phát triển khả năng nhận thức và sáng tạo, tư duy, óc quan sát, sự khéo léo và kỹ năng hoạt động độc lập; khơi dậy niềm yêu thích đối với toán học;

Giáo dục: khả năng làm việc theo nhóm (nhóm), ham học hỏi tích cực có hứng thú; rõ ràng và tổ chức trong công việc; để giúp mỗi học sinh đạt được thành công;

Trang thiết bị: Đồ dùng học tập, bảng đen, phấn, sách giáo khoa, tài liệu phát tay.

Kế hoạch bài học

1. Tổ chức thời gian
2. Thiết lập mục tiêu
3. Sự lặp lại
4. Làm việc độc lập
5. Chính tả
6. Thử nghiệm
7. Sách giáo khoa bài tập
8. Tóm tắt bài tập về nhà
9. Tom tăt bai học. Sự phản xạ

Tiến triển

1. Tổ chức thời gian

Động lực bài học

“Nhắm mắt lại, ngồi thoải mái. Hãy tưởng tượng một cái gì đó rất đẹp lòng bạn. Bạn cảm thấy tốt, thoải mái. Có rất nhiều bạn bè xung quanh bạn. Trong số đó có những số tự nhiên mà chúng ta rất quen thuộc. Hàng ngũ bạn bè của chúng ta đang tăng lên và số lượng nhỏ đã tham gia cùng họ. Nhưng những con số âm đã xuất hiện. Và bây giờ bạn sẽ gặp những con số hữu tỉ và vô tỉ. Thời gian sẽ trôi qua, và chúng tôi sẽ làm quen với bạn với những con số mới, và chừng nào còn toán học trên thế giới, thì những con số này là vô hạn. "

“Kiến thức chỉ là kiến ​​thức khi nó có được bằng nỗ lực tư duy của bản thân, chứ không phải bằng trí nhớ”. N. Tolstoy.-Những lời này của L. N. Tolstoy rất quan trọng và có liên quan trong việc nghiên cứu toán học, bởi vì toán học là một trong số ít khoa học mà bạn cần phải thường xuyên suy ngẫm. Nhiệm vụ của bạn là thể hiện kiến ​​thức và kỹ năng của mình trong quá trình làm việc bằng miệng, kiểm tra, làm việc tại bảng đen.

Mỗi bạn có một phiếu đánh giá trên bàn, sau mỗi bài làm xong chúng tôi không quên cho điểm, cuối bài ghi điểm tổng kết.

1. Thiết lập mục tiêu

Giải quyết đảo ngữ (Làm việc nhóm)

GIỚI THIỆU - ZO - RA - TRƯỚC - CHUYỂN ĐỔI VA

NIY - RA - CÙNG - BẠN THỂ HIỆN

SHIH - DER - ZHA - CÓ CHỨA

RAT - KV - NYE - HELL SQUARE

KHÔNG - CO - R ROOTS

Giải xong phép đảo ngữ, học sinh xác định được chủ đề của bài.

Bạn nghĩ chúng ta sẽ làm gì trong bài học?

Chúng ta hãy cùng nhau hình thành mục đích của bài học.

1. Lặp lại các tài liệu đã học trước đó

A 1) Đếm bằng lời nói:

Kiểm tra lý thuyết: Nối một dòng với các phần thích hợp của định nghĩa.

ghi -2 điểm

2). Hoàn thành phê duyệt.

a) Tích số của các yếu tố không âm làsản phẩm của gốc rễ của những yếu tố này.(điểm -2 điểm)

b) Mọi phân số thập phân vô hạn tuần hoàn không tuần hoàn được gọi làmột số vô tỉ.(điểm -2 điểm)

c) Căn của một phân số, tử số của nó là một số không âm và mẫu số là số dương, làcăn của tử số chia cho căn của mẫu số. (điểm -2 điểm)

3) Thiết lập sự tuân thủ (2 điểm)

C. 3 học sinh nhận biểu thức chứa căn bậc hai theo thuật toán biến đổi. Nhiệm vụ: khắc họa, vẽ, viết, hiển thị, v.v. và bảo vệ (loa).

3) Giải nén gốc

1. Quy đồng mẫu số của một phân số.
2. Nếu mẫu số làhoặc chứa một yếu tố, thì tử số và mẫu số phải được nhân với hoặc tại .
3. Chuyển tử số và mẫu số của phân số, nếu có thể, sau đó rút gọn phân số thu được.

1. Làm việc độc lập

Lấy thừa số ra khỏi dấu hiệu gốc:

(2 điểm)

3)

Đơn giản hóa biểu thức (4 điểm)

1. Kiểm tra trên máy tính xách tay (điểm được đặt tự động)

1) 6 =

A B C D) .

2) 5 =

3) 3 =

A B C D) .

1. Chính tả:

Mỗi nhiệm vụ hoàn thành đúng được 0,5 điểm.

1. Làm việc trên sách giáo khoa - làm việc trên bảng đen: mỗi học sinh nhận được một ví dụ cụ thể, lần lượt quyết định trên bảng đen, ghi mọi thứ vào vở. (1 điểm)
2. Thông tin bài tập về nhà
3. Tổng kết bài học. Sự phản xạ

Đánh giá

Phiếu đánh giá. Tên và học sinh _______________________ Lớp _____

Quy đổi điểm thành điểm

25 điểm trở lên - điểm "5"

24 - 18 điểm - điểm "4"

17 - 9 điểm - điểm "3"

0 - 8 điểm - điểm "2"

Để đánh giá tất cả các công việc của một bài học, "Chuyển điểm cho điểm" được sử dụng - ở mặt sau của phiếu đánh giá.

Hoàn thành phiếu ghi điểm. Điểm bài học.

Tôi muốn hoàn thành bài họcmột bài thơ của nhà toán học vĩ đại Sophia Kovalevskaya.

Nếu trong cuộc sống, bạn dù chỉ trong một khoảnh khắc

Tôi cảm thấy sự thật trong trái tim mình

Nếu một tia sáng xuyên qua bóng tối và nghi ngờ

Con đường của bạn bừng sáng với ánh hào quang rực rỡ:

Quyết định của bạn sẽ không thay đổi

Rock đã không bổ nhiệm bạn trước,

Ký ức về khoảnh khắc thiêng liêng này

Giữ nó mãi mãi, như một ngôi đền trong lồng ngực của bạn.

Những đám mây sẽ tụ lại thành một khối lớn trái ngược nhau,

Bầu trời sẽ bị bao phủ bởi mây mù đen

Với quyết tâm rõ ràng, với niềm tin bình tĩnh

Gặp bão phải đối mặt với giông tố.

Bài thơ này thể hiện khát vọng hiểu biết, khả năng vượt qua tất cả những trở ngại gặp phải trên đường đi. Ngày hôm nay chúng ta đã vượt qua những trở ngại như thế nào? Chúng ta đã làm gì trong bài học?

- Hôm nay chúng ta cùng nhắc lại định nghĩa và các tính chất của căn bậc hai số học; lấy thừa số ngoài dấu căn, nhập thừa số dưới dấu căn, các công thức nhân viết tắt; đã làm quen và củng cố một số phương pháp biến đổi biểu thức chứa căn bậc hai.

Tất cả đều làm việc hiệu quả, tích cực và tập thể trong giờ học.

Bài học đã kết thúc. Cảm ơn tất cả các bạn về bài học!

Nhập hệ số dưới dấu căn:

1) 6 =

A B C D) .

2) 5 =

3) 3 =

A B C D) .

Kiểm tra F.I. ____________________

Nhập hệ số dưới dấu căn:

1) 6 =

A B C D) .

2) 5 =

3) 3 =

a B C) - =

A B C D) .

2) 5 =

3) 3 =

a B C) - =

A B C D) .

2) 5 =

3) 3 =

a B C) - =

A B C D) .

2) 5 =

3) 3 =

A B C D) .

Thuật toán loại bỏ thừa số khỏi dấu căn

1) Chúng tôi biểu diễn biểu thức căn dưới dạng tích của các thừa số sao cho từ một nhân tố có thể rút ra căn bậc hai.

2) Áp dụng định lý tích số.

3) Giải nén gốc

Thuật toán đưa vào một thừa số dưới dấu căn

1) Chúng tôi biểu diễn tích dưới dạng một căn bậc hai số học.

2) Chuyển tích của căn bậc hai thành căn bậc hai của tích của biểu thức căn.

3) Thực hiện phép nhân dưới dấu căn.

Thuật toán giải phóng tính vô tỉ ở mẫu số của phân số:

1) Quy đồng mẫu số của phân số.

MỞ BÀI KHOẢNG CÁCH

về chủ đề: "Chuyển đổi biểu thức có chứa căn bậc hai."

Giáo viên dạy toán - Vetohina Antonina Sergeevna

Nơi làm việc : OGKOU "Trường nội trú № 88 "Nụ cười" Ulyanovsk, Ulyanovsk

khu vực

Bài báo: đại số học

Lớp: 8

Hướng dẫn cơ bản: « Đại số lớp 8 " : Sách giáo khoa dành cho các cơ sở giáo dục. Yu.N. Makarychev, N.G.

Mindyuk, K.I. Neshkov, S. B. Suvorov. - M .: Giáo dục, 2011

TDC:

Giáo dục:

tiếp tục xây dựng các kỹ năng:

lấy một yếu tố ngoài dấu căn;

giới thiệu một yếu tố dưới dấu hiệu cấp tiến;

thừa số hóa;

giảm phân số;

dạy học sinh áp dụng những kiến ​​thức ban đầu: nguồn gốc.

Đang phát triển : tiếp tục phát triển:

kỹ năng và năng lực thực hành;

kỹ năng phát biểu đúng toán học;

hoạt động nhận thức của học sinh;

tư duy logic của học sinh khi tính toán trong bài tập.

Giáo dục: tiếp tục hình thành:

văn hóa giao tiếp và văn hóa trả lời chất vấn;

văn hóa làm việc trí óc;

hình thành thái độ tích cực yêu thích môn học, ham thích kiến ​​thức.

Loại bài học: kết hợp.

Phương pháp giảng dạy : trực quan bằng lời nói, sinh sản.

Các hình thức tổ chức hoạt động nhận thức trong bài : làm việc độc lập và cá nhân.

Thiết bị, đồ dùng kỹ thuật của bài dạy:

tài liệu trang web i-school « Đại số - II (lớp 8) » ( http://iclass.home-edu.ru );

vật liệu trang web "YaKlass" ( http://www.yaklass.ru );

máy tính, máy chiếu đa phương tiện.

KẾ HOẠCH BÀI HỌC

1. Tổ chức thời gian.

2. Cập nhật kiến ​​thức.

3. Giáo dục thể chất cho mắt.

4. Học tài liệu mới.

5. Rèn luyện thân thể.

6. Củng cố các kiến ​​thức đã học. Công việc thực tế.

7. Sự phản xạ.Tổng kết bài học.

8. Bài tập về nhà.

CẤU TRÚC VÀ TIẾN TRÌNH BÀI HỌC

Trước khi bắt đầu bài học, học sinh "Đăng nhập" vào trang tôi -trường học theo thông tin đăng nhập của bạn và tham gia khóa học « Đại số - II (lớp 8) » .

Sau đó, anh ấy mở chương trình Ứng dụng trò chuyện để tham gia vào bài học.

Tài liệu trong bài này nên được coi là một phần của chuyên đề biến đổi biểu thức vô tỉ. Ở đây chúng tôi sẽ sử dụng các ví dụ để phân tích tất cả các tinh tế và sắc thái (trong số đó có rất nhiều) nảy sinh khi thực hiện các phép biến đổi dựa trên các thuộc tính của các gốc.

Điều hướng trang.

Nhắc lại các tính chất của rễ

Ngay sau khi chúng ta giải quyết việc chuyển đổi các biểu thức bằng cách sử dụng các thuộc tính của các gốc, sẽ không có hại gì khi nhớ những cái chính, hoặc tốt hơn, hãy viết chúng ra giấy và đặt chúng trước mặt chúng ta.

Đầu tiên, chúng ta nghiên cứu các căn bậc hai và các tính chất sau của chúng (a, b, a 1, a 2, ..., a k là các số thực):

Và sau này, khái niệm căn được mở rộng, định nghĩa căn bậc n được đưa ra, và các tính chất đó được coi là (a, b, a 1, a 2, ..., ak là các số thực, m, n , n 1, n 2, ..., nk là các số tự nhiên):

Chuyển đổi biểu thức bằng số dưới dấu hiệu gốc

Như thường lệ, trước tiên họ học cách làm việc với các biểu thức số và chỉ sau đó chuyển sang các biểu thức có biến. Chúng ta cũng sẽ làm như vậy, và đầu tiên chúng ta sẽ giải quyết việc biến đổi các biểu thức vô tỉ chỉ chứa các biểu thức số dưới dấu của căn, và ở phần tiếp theo, chúng ta sẽ giới thiệu các biến dưới dấu của căn.

Làm thế nào điều này có thể được sử dụng để biến đổi các biểu thức? Nó rất đơn giản: ví dụ, chúng ta có thể thay thế một biểu thức không hợp lý bằng một biểu thức hoặc ngược lại. Nghĩa là, nếu biểu thức đang được chuyển đổi có chứa một biểu thức phù hợp với dạng của biểu thức từ phía bên trái (bên phải) của bất kỳ thuộc tính nào được liệt kê của các gốc, thì nó có thể được thay thế bằng biểu thức tương ứng từ bên phải (trái) bên. Đây là phép biến đổi các biểu thức bằng cách sử dụng các thuộc tính của các gốc.

Dưới đây là một số ví dụ.

Hãy đơn giản hóa biểu thức ... Các số 3, 5 và 7 là số dương nên chúng ta có thể yên tâm áp dụng các tính chất của rễ. Ở đây bạn có thể hành động theo nhiều cách khác nhau. Ví dụ: một gốc dựa trên một thuộc tính có thể được biểu diễn dưới dạng và một gốc sử dụng một thuộc tính với k = 3 - làm thế nào, với cách tiếp cận này, giải pháp sẽ giống như sau:

Người ta có thể đã hành động khác, thay thế bằng, và xa hơn nữa, trong trường hợp này, giải pháp sẽ trông như thế này:

Các giải pháp khác có thể thực hiện được, chẳng hạn như sau:

Hãy xem giải pháp của một ví dụ nữa. Hãy biến đổi biểu thức. Sau khi xem danh sách các thuộc tính của rễ, chúng tôi chọn từ đó các thuộc tính mà chúng tôi cần để giải ví dụ, rõ ràng là hai trong số chúng hữu ích ở đây và hợp lệ cho bất kỳ a. Chúng ta có:

Ngoài ra, lúc đầu, có thể chuyển đổi các biểu thức dưới các dấu hiệu của rễ bằng cách sử dụng

và sau đó áp dụng các thuộc tính của rễ

Cho đến thời điểm này, chúng ta đã biến đổi các biểu thức chỉ chứa căn bậc hai. Đã đến lúc làm việc với các gốc có các chỉ số khác nhau.

Thí dụ.

Chuyển đổi một biểu thức không hợp lý .

Dung dịch.

Bằng tài sản thừa số đầu tiên của sản phẩm đã cho có thể được thay thế bằng số −2:

Tiến lên. Yếu tố thứ hai do tài sản có thể được biểu diễn bằng, và sẽ không có hại gì nếu thay thế 81 bằng một lũy thừa gấp bốn của bộ ba, vì trong các yếu tố còn lại dưới dấu hiệu của căn, số 3 xuất hiện:

Việc thay thế gốc của phân số bằng mối quan hệ của các gốc của mẫu, có thể được biến đổi thêm: ... Chúng ta có

Biểu thức kết quả sau khi thực hiện các hành động với twos sẽ có dạng , và nó vẫn để biến đổi sản phẩm của rễ.

Để biến đổi các sản phẩm của rễ, chúng thường được giảm xuống một chỉ số, vì vậy nên lấy các chỉ số của tất cả các rễ. Trong trường hợp của chúng tôi, LCM (12, 6, 12) = 12, và chỉ gốc sẽ phải giảm xuống chỉ số này, vì hai gốc khác đã có chỉ số này. Để đối phó với nhiệm vụ này, cho phép bình đẳng, được áp dụng từ phải sang trái. Vì thế ... Tính đến kết quả này, chúng tôi có

Bây giờ sản phẩm của rễ có thể được thay thế bằng gốc của sản phẩm và phần còn lại, đã hiển nhiên, có thể thực hiện các phép biến đổi:

Hãy rút ra một giải pháp ngắn gọn:

Bài giải:

.

Một cách riêng biệt, chúng tôi nhấn mạnh rằng để áp dụng các thuộc tính của các gốc, cần phải tính đến các hạn chế đặt ra đối với các số dưới các dấu của các gốc (a≥0, v.v.). Bỏ qua chúng có thể dẫn đến kết quả không chính xác. Ví dụ, chúng ta biết rằng thuộc tính giữ cho a không âm. Dựa vào đó, chúng ta có thể đi từ từ đến một cách an toàn, vì 8 là một số dương. Nhưng nếu chúng ta lấy một gốc có nghĩa của một số âm chẳng hạn, và dựa trên thuộc tính trên, thay nó bằng, thì chúng ta thực sự thay thế −2 bằng 2. Thật vậy, a. Nghĩa là, đối với âm a, đẳng thức có thể sai, cũng như các thuộc tính khác của gốc có thể sai nếu không tính đến các điều kiện quy định cho chúng.

Nhưng những gì đã nói trong đoạn trước hoàn toàn không có nghĩa là các biểu thức có số âm dưới các dấu của căn không thể được biến đổi bằng cách sử dụng các thuộc tính của căn. Các em chỉ cần “chuẩn bị” trước bằng cách áp dụng các quy tắc tác động với số hoặc sử dụng định nghĩa căn lẻ của số âm, tương ứng với đẳng thức. , trong đó −a là một số âm (trong khi a là số dương). Ví dụ: bạn không thể thay thế ngay lập tức bằng, vì −2 và −3 là các số âm, nhưng nó cho phép chúng ta đi từ gốc đến, sau đó áp dụng thuộc tính của gốc từ tích: ... Và trong một trong những ví dụ trước, không nhất thiết phải đi từ gốc đến gốc của độ mười tám. và vì thế .

Vì vậy, để biến đổi các biểu thức bằng cách sử dụng các thuộc tính của các gốc, bạn cần

• chọn một thuộc tính phù hợp từ danh sách,
• đảm bảo rằng các số dưới gốc thỏa mãn các điều kiện cho thuộc tính đã chọn (nếu không, bạn cần thực hiện chuyển đổi sơ bộ),
• và thực hiện chuyển đổi dự định.

Biến đổi biểu thức với các biến dưới dấu hiệu gốc

Để biến đổi các biểu thức vô tỉ không chỉ chứa các số mà cả các biến dưới dấu căn, các tính chất của căn được liệt kê trong đoạn đầu của bài viết này phải được áp dụng một cách cẩn thận. Điều này chủ yếu là do các điều kiện mà các số tham gia vào công thức phải thỏa mãn. Ví dụ, dựa trên công thức, biểu thức có thể được thay thế bằng một biểu thức chỉ cho những giá trị của x thỏa mãn các điều kiện x≥0 và x + 1≥0, vì công thức xác định được chỉ định cho a≥0 và b ≥0.

Tại sao lại nguy hiểm khi bỏ qua những điều kiện này? Ví dụ sau minh họa câu trả lời cho câu hỏi này. Giả sử chúng ta cần tính giá trị của biểu thức tại x = −2. Nếu chúng ta ngay lập tức thay số −2 thay vì biến x, thì chúng ta nhận được giá trị mà chúng ta cần ... Và bây giờ hãy tưởng tượng rằng chúng tôi, vì một lý do nào đó, đã chuyển đổi biểu thức đã cho thành dạng, và chỉ sau đó chúng tôi quyết định tính toán giá trị. Thay thế −2 cho x và đến biểu thức điều đó không có ý nghĩa.

Hãy xem điều gì sẽ xảy ra với phạm vi giá trị hợp lệ (ADV) của biến x khi chúng ta chuyển từ biểu thức này sang biểu thức khác. Chúng tôi đã không đề cập đến ODZ một cách tình cờ, vì nó là một công cụ nghiêm túc để kiểm soát khả năng chấp nhận của các phép biến đổi được thực hiện và việc thay đổi ODZ sau khi biến đổi biểu thức ít nhất cũng phải cảnh báo. Không khó để tìm ODZ cho các biểu thức được chỉ định. Để biểu diễn ODV được xác định từ bất đẳng thức x · (x + 1) ≥0, nghiệm của nó cho tập số (−∞, −1] ∪∪)