Làm thế nào để tìm được một hình vuông hoàn hảo Tích phân một số phân số. Phương pháp và kỹ thuật giải quyết. Phương pháp cộng dấu vi phân cho phân số đơn giản

Sự định nghĩa

Các biểu thức có dạng 2 x 2 + 3 x + 5 được gọi là tam thức bậc hai. Nói chung, tam thức bình phương là một biểu thức có dạng a x 2 + b x + c, trong đó a, b, c a, b, c là các số tùy ý và a ≠ 0.

Xét tam thức bậc hai x 2 - 4 x + 5. Hãy viết nó dưới dạng này: x 2 - 2 · 2 · x + 5. Hãy cộng 2 2 vào biểu thức này và trừ 2 2, chúng ta được: x 2 - 2 · 2 · x + 2 2 - 2 2 + 5. Lưu ý rằng x 2 - 2 2 x + 2 2 = (x - 2) 2, vì vậy x 2 - 4 x + 5 = (x - 2) 2 - 4 + 5 = (x - 2) 2 + 1 . Sự biến đổi mà chúng tôi thực hiện được gọi là “tách một hình vuông hoàn hảo khỏi một tam thức bậc hai”.

Xác định bình phương hoàn hảo từ tam thức bậc hai 9 x 2 + 3 x + 1.

Lưu ý rằng 9 x 2 = (3 x) 2 , `3x=2*1/2*3x`. Khi đó `9x^2+3x+1=(3x)^2+2*1/2*3x+1`. Cộng và trừ `(1/2)^2` vào biểu thức thu được, chúng ta nhận được

`((3x)^2+2*1/2*3x+(1/2)^2)+1-(1/2)^2=(3x+1/2)^2+3/4`.

Chúng ta sẽ chỉ ra cách sử dụng phương pháp tách một hình vuông hoàn hảo khỏi tam thức bậc hai để phân tích một tam thức bình phương thành nhân tử.

Phân tích nhân tử của tam thức bậc hai 4 x 2 - 12 x + 5.

Chúng ta chọn bình phương hoàn hảo từ tam thức bậc hai: 2 x 2 - 2 · 2 x · 3 + 3 2 - 3 2 + 5 = 2 x - 3 2 - 4 = (2 x - 3) 2 - 2 2. Bây giờ ta áp dụng công thức a 2 - b 2 = (a - b) (a + b) , ta được: (2 x - 3 - 2) (2 x - 3 + 2) = (2 x - 5) (2 x - 1 ) .

Phân tích nhân tử của tam thức bậc hai - 9 x 2 + 12 x + 5.

9 x 2 + 12 x + 5 = - 9 x 2 - 12 x + 5. Bây giờ chúng ta nhận thấy rằng 9 x 2 = 3 x 2, - 12 x = - 2 3 x 2.

Chúng ta thêm số hạng 2 2 vào biểu thức 9 x 2 - 12 x, chúng ta nhận được:

3 x 2 - 2 3 x 2 + 2 2 - 2 2 + 5 = - 3 x - 2 2 - 4 + 5 = 3 x - 2 2 + 4 + 5 = - 3 x - 2 2 + 9 = 3 2 - 3 x - 2 2 .

Áp dụng công thức tính hiệu bình phương ta có:

9 x 2 + 12 x + 5 = 3 - 3 x - 2 3 + (3 x - 2) = (5 - 3 x) (3 x + 1) .

Phân tích nhân tử của tam thức bậc hai 3 x 2 - 14 x - 5 .

Chúng ta không thể biểu diễn biểu thức 3 x 2 dưới dạng bình phương của một biểu thức nào đó, vì chúng ta chưa học điều này ở trường. Bạn sẽ tìm hiểu điều này sau và trong Nhiệm vụ số 4 chúng ta sẽ nghiên cứu căn bậc hai. Hãy chỉ ra cách bạn có thể phân tích một tam thức bậc hai đã cho:

`3x^2-14x-5=3(x^2-14/3 x-5/3)=3(x^2-2*7/3 x+(7/3)^2-(7/3) ^2-5/3)=`

`=3((x-7/3)^2-49/9-5/3)=3((x-7/3)^2-64/9)=3((x-7/3)^ 2-8/3)^2)=`

`=3(x-7/3-8/3)(x-7/3+8/3)=3(x-5)(x+1/3)=(x-5)(3x+1) `.

Chúng tôi sẽ chỉ cho bạn cách sử dụng phương pháp bình phương hoàn hảo để tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của tam thức bậc hai.
Xét tam thức bậc hai x 2 - x + 3. Chọn một hình vuông hoàn chỉnh:

`(x)^2-2*x*1/2+(1/2)^2-(1/2)^2+3=(x-1/2)^2+11/4`. Lưu ý rằng khi `x=1/2` giá trị của tam thức bậc hai là `11/4` và khi `x!=1/2` một số dương được thêm vào giá trị của `11/4`, vì vậy chúng ta nhận được một số lớn hơn `11/ 4`. Do đó, giá trị nhỏ nhất của tam thức bậc hai là `11/4` và nó đạt được khi `x=1/2`.

Tìm giá trị lớn nhất của tam thức bậc hai - 16 2 + 8 x + 6.

Chúng ta chọn một hình vuông hoàn hảo từ một tam thức bậc hai: - 16 x 2 + 8 x + 6 = - 4 x 2 - 2 4 x 1 + 1 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 + 7 .

Khi `x=1/4` giá trị của tam thức bậc hai là 7 và khi `x!=1/4` một số dương bị trừ khỏi số 7, nghĩa là chúng ta nhận được một số nhỏ hơn 7. Vậy số 7 là giá trị cao nhất tam thức bậc hai, và nó thu được khi `x=1/4`.

Phân tích tử số và mẫu số của phân số `(x^2+2x-15)/(x^2-6x+9)` và rút gọn phân số.

Lưu ý rằng mẫu số của phân số x 2 - 6 x + 9 = x - 3 2. Hãy phân tích tử số của phân số bằng phương pháp tách một bình phương hoàn chỉnh khỏi một tam thức bình phương. x 2 + 2 x - 15 = x 2 + 2 x 1 + 1 - 1 - 15 = x + 1 2 - 16 = x + 1 2 - 4 2 = = (x + 1 + 4) (x + 1 - 4 ) = (x + 5) (x - 3) .

Phân số này được rút gọn thành dạng `((x+5)(x-3))/(x-3)^2` sau khi giảm đi (x - 3) chúng ta nhận được `(x+5)/(x-3 )`.

Phân tích đa thức x 4 - 13 x 2 + 36.

Chúng ta hãy áp dụng phương pháp cô lập một hình vuông hoàn chỉnh cho đa thức này. `x^4-13x^2+36=(x^2)^2-2*x^2*13/2+(13/2)^2-(13/2)^2+36=(x^ 2-13/2)^2-169/4+36=(x^2-13/2)^2-25/4=`

Trong bài học này, chúng ta sẽ nhớ lại tất cả các phương pháp phân tích nhân tử đa thức đã nghiên cứu trước đây và xem xét các ví dụ về ứng dụng của chúng, ngoài ra, chúng ta sẽ nghiên cứu phương pháp mới- phương pháp xác định một hình vuông hoàn chỉnh và học cách áp dụng nó vào việc giải các bài toán khác nhau.

Chủ thể:Phân tích đa thức thành nhân tử

Bài học:Phân tích đa thức. Phương pháp chọn một hình vuông hoàn chỉnh. Kết hợp các phương pháp

Chúng ta hãy nhớ lại các phương pháp cơ bản để phân tích một đa thức đã được nghiên cứu trước đó:

Phương pháp đưa một thừa số chung ra khỏi ngoặc, tức là một thừa số có mặt trong mọi số hạng của đa thức. Hãy xem một ví dụ:

Hãy nhớ lại rằng đơn thức là tích của lũy thừa và số. Trong ví dụ của chúng tôi, cả hai thuật ngữ đều có một số yếu tố chung, giống hệt nhau.

Vì vậy, hãy lấy hệ số chung ra khỏi ngoặc:

;

Hãy để chúng tôi nhắc bạn rằng bằng cách nhân hệ số được lấy ra bằng dấu ngoặc đơn, bạn có thể kiểm tra tính chính xác của hệ số được lấy ra.

Phương pháp phân nhóm. Không phải lúc nào cũng có thể rút ra thừa số chung của một đa thức. Trong trường hợp này, bạn cần chia các thành viên của nó thành các nhóm sao cho trong mỗi nhóm bạn có thể lấy ra một thừa số chung và cố gắng chia nhỏ nó ra sao cho sau khi lấy ra các thừa số trong các nhóm, một thừa số chung sẽ xuất hiện trong toàn bộ biểu thức và bạn có thể tiếp tục phân tách. Hãy xem một ví dụ:

Hãy nhóm số hạng đầu tiên với số hạng thứ tư, số hạng thứ hai với số hạng thứ năm và số hạng thứ ba với số hạng thứ sáu:

Hãy loại bỏ các yếu tố chung trong các nhóm:

Biểu thức bây giờ có một yếu tố chung. Hãy lấy nó ra:

Ứng dụng công thức nhân rút gọn. Hãy xem một ví dụ:

;

Hãy viết biểu thức một cách chi tiết:

Rõ ràng, chúng ta có trước mắt công thức tính hiệu bình phương, vì nó là tổng bình phương của hai biểu thức và tích kép của chúng bị trừ đi. Hãy sử dụng công thức:

Hôm nay chúng ta sẽ học một phương pháp khác - phương pháp chọn một hình vuông hoàn chỉnh. Nó dựa trên các công thức bình phương của tổng và bình phương của hiệu. Hãy nhắc nhở họ:

Công thức tính bình phương của tổng (chênh lệch);

Điểm đặc biệt của các công thức này là chúng chứa bình phương của hai biểu thức và tích kép của chúng. Hãy xem một ví dụ:

Hãy viết biểu thức:

Vì vậy, biểu thức đầu tiên là , và biểu thức thứ hai là .

Để tạo một công thức tính bình phương của một tổng hoặc hiệu, hai lần tích các biểu thức là không đủ. Nó cần được cộng và trừ:

Hãy hoàn thành bình phương của tổng:

Hãy biến đổi biểu thức kết quả:

Hãy áp dụng công thức tính hiệu bình phương, nhớ lại rằng hiệu bình phương của hai biểu thức là tích của và tổng của hiệu của chúng:

Vì thế, phương pháp này trước hết bao gồm ở chỗ cần xác định các biểu thức a và b nằm trong hình vuông, tức là xác định xem biểu thức nào nằm trong hình vuông. trong ví dụ này. Sau đó, bạn cần kiểm tra sự hiện diện của tích kép và nếu không có thì cộng và trừ nó, điều này sẽ không làm thay đổi ý nghĩa của ví dụ, nhưng đa thức có thể được phân tích thành nhân tử bằng cách sử dụng các công thức bình phương của tổng hoặc hiệu và hiệu của các bình phương, nếu có thể.

Hãy chuyển sang giải các ví dụ.

Ví dụ 1 - phân tích nhân tử:

Hãy tìm các biểu thức bình phương:

Hãy để chúng tôi viết ra sản phẩm kép của họ sẽ là gì:

Hãy cộng và trừ gấp đôi sản phẩm:

Hãy hoàn thành bình phương của tổng và cho kết quả tương tự:

Hãy viết nó bằng cách sử dụng công thức hiệu của bình phương:

Ví dụ 2 - giải phương trình:

;

Ở bên trái của phương trình là một tam thức. Bạn cần phải tính nó thành các yếu tố. Chúng tôi sử dụng công thức chênh lệch bình phương:

Ta có bình phương của biểu thức thứ nhất và tích kép, thiếu bình phương của biểu thức thứ hai, hãy cộng và trừ nó:

Hãy gấp một hình vuông hoàn chỉnh và đưa ra các số hạng tương tự:

Hãy áp dụng công thức hiệu bình phương:

Vậy ta có phương trình

Chúng ta biết rằng một tích bằng 0 chỉ khi có ít nhất một trong các thừa số bằng 0. Hãy tạo các phương trình sau dựa trên điều này:

Hãy giải phương trình đầu tiên:

Hãy giải phương trình thứ hai:

Trả lời: hoặc

;

Chúng ta tiến hành tương tự như ví dụ trước - chọn bình phương của hiệu.

Khả năng thực hiện thủ tục như vậy là vô cùng cần thiết trong nhiều chuyên đề toán học liên quan đến tam thức bậc haicây rìu 2 + bx + c . Phổ biến nhất:

1) Vẽ parabol y= cây rìu 2 + bx+ c;

2) Giải nhiều bài toán về tam thức bậc hai (phương trình bậc hai và bất phương trình, bài toán về tham số, v.v.);

3) Làm việc với một số hàm chứa tam thức bậc hai, cũng như làm việc với các đường cong bậc hai (dành cho học sinh).

Tóm lại là một điều hữu ích! Bạn đang hướng tới điểm A? Vậy thì hãy làm chủ nó!)

Việc cô lập bình phương hoàn hảo của một nhị thức trong một tam thức bình phương có ý nghĩa gì?

Nhiệm vụ này có nghĩa là tam thức bậc hai ban đầu phải được chuyển đổi sang dạng này:

Con số Một cái gì ở bên trái, cái gì ở bên phải - như nhau. Hệ số của x bình phương. Đó là lý do tại sao nó được chỉ định một lá thư. Nhân ở bên phải với bình phương trong ngoặc. Trong ngoặc chính là nhị thức được thảo luận trong chủ đề này. Tổng của X thuần và một số tôi. Vâng, xin hãy chú ý, chính xác tinh khiết X! Nó quan trọng.

Và đây là những lá thư tôi Và Nở bên phải - một số mới những con số. Điều gì sẽ xảy ra do sự biến đổi của chúng ta? Chúng có thể là dương, âm, nguyên, phân số - đủ thứ! Bạn sẽ thấy chính mình trong các ví dụ dưới đây. Những con số này phụ thuộc từ tỷ lệ cượcMột, bVàc. Họ có công thức chung đặc biệt của riêng họ. Khá cồng kềnh, với phân số. Vì vậy, tôi sẽ không đưa chúng ngay tại đây và bây giờ. Tại sao bộ óc thông minh của bạn lại cần thêm rác? Vâng, và nó không thú vị. Hãy làm việc sáng tạo.)

Bạn cần biết và hiểu những gì?

Trước hết, bạn cần phải biết nó bằng trái tim. Ít nhất hai trong số họ - bình phương của tổng Và chênh lệch bình phương.

Những người này:

Nếu không có vài công thức này, bạn sẽ không thể đi đâu cả. Không chỉ trong bài học này mà còn trong hầu hết các môn toán còn lại nói chung. Bạn có gợi ý không?)

Nhưng ở đây chỉ ghi nhớ các công thức một cách máy móc thôi là chưa đủ. Nó cũng cần phải được thực hiện thành thạo có thể áp dụng các công thức này. Và không quá trực tiếp, từ trái sang phải, mà ngược lại, từ phải qua trái. Những thứ kia. sử dụng tam thức bậc hai ban đầu, có thể giải mã bình phương của tổng/hiệu. Điều này có nghĩa là bạn sẽ dễ dàng, tự động nhận ra các đẳng thức như:

x 2 +4 x+4 = (x+2) 2

x 2 -10 x+25 = (x-5) 2

x 2 + x+0,25 = (x+0,5) 2

Nếu không có kỹ năng hữu ích này thì cũng không có cách nào... Vì vậy, nếu với những điều này những điều đơn giản vấn đề, sau đó đóng trang này. Còn quá sớm để bạn đến đây.) Đầu tiên, hãy truy cập vào liên kết ở trên. Cô ấy là dành cho bạn!

Ồ, bạn đã tham gia chủ đề này bao lâu rồi? Tuyệt vời! Sau đó đọc tiếp.)

Vì thế:

Làm thế nào để cô lập bình phương hoàn hảo của một nhị thức trong một tam thức bình phương?

Tất nhiên, hãy bắt đầu với một cái gì đó đơn giản.

Cấp độ 1. Hệ số tại x2 bằng 1

Đây là tình huống đơn giản nhất, đòi hỏi tối thiểu các phép biến đổi bổ sung.

Ví dụ, cho một tam thức bậc hai:

X 2 +4x+6

Bên ngoài, biểu thức rất giống với bình phương của tổng. Chúng ta biết rằng bình phương của tổng chứa các bình phương thuần túy của biểu thức thứ nhất và biểu thức thứ hai ( Một 2 Và b 2 ), cũng như tăng gấp đôi sản phẩm 2 bụng những biểu hiện tương tự.

Chà, chúng ta đã có bình phương của biểu thức đầu tiên ở dạng thuần túy. Cái này X 2 . Trên thực tế, đây chính xác là sự đơn giản của các ví dụ ở cấp độ này. Chúng ta cần lấy bình phương của biểu thức thứ hai b 2 . Những thứ kia. tìm thấy b. Và nó sẽ phục vụ như một đầu mối biểu thức với x mũ thứ nhất, I E. 4x. Rốt cuộc 4x có thể được biểu diễn dưới dạng gấp đôi sản phẩm X cho hai người. Như thế này:

4 x = 2 ́ x 2

Do đó, nếu 2 bụng=2·x·2 Và Một= x, Cái đó b=2 . Bạn có thể viết:

X 2 +4x+6 = x 2 +2 ́ x 2+2 2 ….

Vì thế chúng ta Tôi muốn. Nhưng! toán học Tôi muốn hành động của chúng ta nắm bắt được bản chất của cách diễn đạt ban đầu vẫn chưa thay đổi. Đó là cách nó được xây dựng. Chúng tôi đã thêm gấp đôi sản phẩm 2 2 , do đó thay đổi biểu thức ban đầu. Vì vậy, để không xúc phạm đến toán học, đây là điều quan trọng nhất 2 2 cần nó ngay lập tức mua mang về. Như thế này:

…= x 2 +2 ́ ·x·2+ 2 2 -2 2 ….

Gần như tất cả. Tất cả những gì còn lại là cộng 6, theo tam thức ban đầu. Sáu vẫn còn ở đây! Chúng tôi viết:

= X 2 +2 ́ x 2+2 2 - 2 2 +6 = …

Bây giờ ba thuật ngữ đầu tiên cho kết quả thuần túy (hoặc - đầy) nhị thức vuông x+2 . Hoặc (x+2) 2 . Đây là những gì chúng tôi đang cố gắng đạt được.) Tôi thậm chí sẽ không lười biếng và đặt dấu ngoặc đơn:

… = (x 2 +2 ́ x 2+2 2 ) - 2 2 +6 =…

Dấu ngoặc đơn không làm thay đổi bản chất của biểu thức, nhưng chúng chỉ rõ cái gì, như thế nào và tại sao. Vẫn là gấp ba số hạng này thành một hình vuông hoàn chỉnh theo công thức, đếm phần đuôi còn lại bằng số -2 2 +6 (đây sẽ là 2) và viết:

X 2 +4x+6 = (x+2) 2 +2

Tất cả. Chúng tôi được phân bổ dấu ngoặc vuông (x+2) 2 từ tam thức bậc hai ban đầu X 2 +4x+6. Biến nó thành một tổng nhị thức vuông hoàn hảo (x+2) 2 và một số hằng số (hai). Và bây giờ tôi sẽ viết ra toàn bộ chuỗi biến đổi của chúng ta dưới dạng thu gọn. Cho rõ ràng.

Và thế là xong.) Đó là toàn bộ nội dung của quy trình chọn một hình vuông hoàn chỉnh.

Nhân tiện, những con số ở đây bằng bao nhiêu? tôi Và N? Đúng. Mỗi trong số chúng bằng hai: tôi=2, N=2 . Đây là những gì đã xảy ra trong quá trình lựa chọn.

Một vi dụ khac:

Chọn bình phương hoàn hảo của nhị thức:

X 2 -6x+8

Và một lần nữa cái nhìn đầu tiên là về thuật ngữ X. Chúng ta biến 6x thành tích gấp đôi của x và ba. Trước khi nhân đôi có một điểm trừ. Vì vậy, hãy làm nổi bật chênh lệch bình phương. Chúng ta cộng (để có được một bình phương hoàn chỉnh) và trừ ngay (để bù) ba bình phương, tức là 9. Đừng quên số tám. Chúng tôi nhận được:

Đây tôi=-3 Và N=-1 . Cả hai đều tiêu cực.

Bạn có nắm được nguyên tắc không? Sau đó là lúc để làm chủ và thuật toán chung. Mọi thứ đều giống nhau, nhưng qua những lá thư. Vậy ta có tam thức bậc hai x 2 + bx+ c (Một=1) . Chúng ta đang làm gì:

bx b /2 :

b Với.

Nó có rõ ràng không? Hai ví dụ đầu tiên rất đơn giản với số nguyên. Để làm quen. Tệ hơn nữa khi các phân số xuất hiện trong quá trình chuyển đổi. Điều chính ở đây là không sợ hãi! Và để không sợ hãi, bạn cần phải biết tất cả các phép tính với phân số, vâng...) Nhưng đây là cấp độ năm cấp phải không? Hãy làm phức tạp nhiệm vụ.

Giả sử tam thức sau đây được cho:

X 2 +x+1

Làm thế nào để tổ chức bình phương của tổng trong tam thức này? Không có gì! Tương tự. Chúng tôi làm việc từng điểm một.

1. Chúng ta xét số hạng với X mũ thứ nhất ( bx) và biến nó thành gấp đôi tích của x bằngb /2 .

Thuật ngữ của chúng tôi với X chỉ đơn giản là X. Vậy thì sao? Làm sao chúng ta có thể biến một chữ X cô đơn thành sản phẩm đôi? Vâng, rất đơn giản! Trực tiếp theo hướng dẫn. Như thế này:

Con số b trong tam thức ban đầu có một. Đó là, b/2 hóa ra là phân số. Một nửa. 1/2. Được rồi. Không còn nhỏ nữa.)

2. Ta cộng vào tích kép rồi trừ ngay bình phương của số b/2. Thêm vào để hoàn thành hình vuông. Chúng tôi mang nó đi để bồi thường. Cuối cùng, chúng tôi thêm một thuật ngữ miễn phí Với.

Tiếp tục đi:

3. Ba số hạng đầu tiên được gấp lại thành bình phương của tổng/hiệu bằng cách sử dụng công thức thích hợp. Chúng tôi tính toán cẩn thận biểu thức còn lại bằng số.

Ba thuật ngữ đầu tiên được phân tách bằng dấu ngoặc. Tất nhiên, bạn không cần phải tách nó ra. Điều này được thực hiện hoàn toàn vì sự thuận tiện và rõ ràng trong quá trình chuyển đổi của chúng tôi. Bây giờ bạn có thể thấy rõ rằng bình phương đầy đủ của tổng nằm trong ngoặc (x+1/2) 2 . Và mọi thứ còn lại ngoài bình phương của tổng (nếu bạn tính) sẽ cho +3/4. Dòng kết thúc:

Trả lời:

Đây tôi=1/2 , MỘT N=3/4 . Các phân số. Xảy ra. Tôi có một tam thức như vậy...

Đây là công nghệ. Hiểu rồi? Tôi có thể chuyển nó sang cấp độ tiếp theo không?)

Mức 2. Hệ số x 2 không bằng 1 - phải làm sao?

Đây là trường hợp tổng quát hơn so với trường hợp a=1. Khối lượng tính toán tất nhiên sẽ tăng lên. Thật khó chịu, vâng... Nhưng quá trình quyết định chung nhìn chung vẫn giữ nguyên. Chỉ cần một bước mới được thêm vào nó. Điều này làm tôi hạnh phúc.)

Bây giờ, hãy xem xét một trường hợp vô hại, không có bất kỳ phân số hoặc cạm bẫy nào khác. Ví dụ:

2 x 2 -4 x+6

Có một điểm trừ ở giữa. Vì vậy, chúng ta sẽ khớp sự khác biệt vào hình vuông. Nhưng hệ số của x bình phương là hai. Làm việc dễ dàng hơn chỉ với một. Với X thuần túy. Phải làm gì? Hãy loại bỏ hai điều này ra khỏi phương trình! Để không can thiệp. Chúng tôi có quyền! Chúng tôi nhận được:

2(x 2 -2 x+3)

Như thế này. Bây giờ tam thức trong ngoặc đã có lau dọn X bình phương! Theo yêu cầu của thuật toán cấp 1. Và bây giờ bạn có thể làm việc với tam thức mới này theo sơ đồ cũ đã được chứng minh. Vì thế chúng ta hành động. Hãy viết nó ra một cách riêng biệt và biến đổi nó:

x 2 -2 x+3 = x 2 -2·x·1+1 2 -1 2 +3 = (x 2 -2·x·1+1 2 ) -1 2 +3 = (x-1) 2 +2

Một nửa trận chiến đã xong. Tất cả những gì còn lại là chèn biểu thức kết quả vào trong dấu ngoặc và mở rộng chúng trở lại. Nó sẽ bật ra:

2(x 2 -2 x+3) = 2((x-1) 2 +2) = 2(x-1) 2 +4

Sẵn sàng!

Trả lời:

2 x 2 -4 x+6 = 2( x -1) 2 +4

Hãy khắc phục nó trong đầu chúng ta:

Nếu hệ số của x bình phương không bằng 1 thì ta lấy hệ số này ra khỏi ngoặc. Với tam thức còn lại trong ngoặc, chúng ta làm việc theo thuật toán thông thường cho Một=1. Sau khi chọn hình vuông hoàn chỉnh trong đó, chúng tôi dán kết quả vào vị trí và mở lại dấu ngoặc bên ngoài.

Điều gì sẽ xảy ra nếu hệ số b và c không chia hết cho a? Đây là trường hợp phổ biến nhất và đồng thời là trường hợp xấu nhất. Vậy thì chỉ là phân số thôi, vâng... Chẳng làm được gì cả. Ví dụ:

3 x 2 +2 x-5

Mọi thứ đều giống nhau, chúng tôi đặt ba cái đó ra khỏi ngoặc và nhận được:

Thật không may, cả hai và năm đều không chia hết hoàn toàn cho ba, nên các hệ số của tam thức mới (rút gọn) là phân số. Không sao đâu. Chúng tôi làm việc trực tiếp với phân số: hai biến một phần ba của X thành nhân đôi tích của x bởi một thứ ba, cộng bình phương của một phần ba (tức là 1/9), trừ nó, trừ 5/3...

Nói chung là bạn hiểu!

Quyết định những gì đang xảy ra. Kết quả sẽ là:

Và một cái cào khác. Nhiều học sinh dũng cảm giải quyết các số nguyên dương và thậm chí cả các hệ số phân số, nhưng lại mắc kẹt với các hệ số âm. Ví dụ:

- x 2 +2 x-3

Phải làm gì với điểm trừ trướcx 2 ? Trong công thức tính bình phương của tổng/hiệu, cần có mọi dấu cộng... Không cần bàn cãi! Tất cả đều giống nhau. Hãy loại bỏ điểm trừ này ra khỏi phương trình. Những thứ kia. trừ đi một. Như thế này:

- x 2 +2 x-3 = -(x 2 -2 x+3) = (-1)·(x 2 -2 x+3)

Và đó là tất cả. Và với tam thức trong ngoặc - một lần nữa dọc theo đường khía.

x 2 -2 x+3 = (x 2 -2 x+1) -1+3 = (x-1) 2 +2

Tổng cộng, có tính đến điểm trừ:

- x 2 +2 x-3 = -((x-1) 2 +2) = -(x-1) 2 -2

Đó là tất cả. Cái gì? Bạn không biết cách bỏ dấu trừ trong ngoặc? À, đây là câu hỏi dành cho đại số lớp 7 cơ bản, không phải dành cho tam thức bậc hai...

Hãy nhớ: làm việc với hệ số âm MỘT về cơ bản không khác gì làm việc với sự tích cực. Chúng tôi loại bỏ tiêu cực MỘT ngoài dấu ngoặc, và sau đó - theo tất cả các quy tắc.

Tại sao bạn cần có khả năng chọn một hình vuông hoàn chỉnh?

Điều hữu ích đầu tiên là vẽ parabol một cách nhanh chóng và không có lỗi!

Ví dụ: nhiệm vụ này:

Vẽ đồ thị hàm số:y=- x 2 +2 x+3

Chúng ta sẽ làm gì? Xây dựng theo điểm? Tất nhiên là có thể. Bước nhỏ trên con đường dài. Khá ngu ngốc và không thú vị ...

Trước hết tôi xin nhắc các bạn rằng khi xây dựng bất kì parabolas, chúng tôi luôn đưa ra cho cô ấy một bộ câu hỏi tiêu chuẩn. Có hai trong số họ. Cụ thể là:

1) Các nhánh của parabol hướng về đâu?

2) Đỉnh ở điểm nào?

Mọi thứ đều rõ ràng về hướng của cành ngay từ biểu thức ban đầu. Các chi nhánh sẽ được chỉ đạo xuống, vì hệ số trướcx 2 - tiêu cực. Trừ đi một. Dấu trừ trước hình vuông x Luôn luôn lật parabol.

Nhưng với vị trí của đỉnh núi thì mọi chuyện không quá rõ ràng. Tất nhiên, có một công thức chung để tính hoành độ của nó thông qua các hệ số Một Và b.

Cái này:

Nhưng không phải ai cũng nhớ công thức này, ồ, không phải tất cả mọi người... Và 50% những người nhớ được sẽ bất ngờ và nhầm lẫn trong những phép tính tầm thường (thường là khi đếm một trò chơi). Thật đáng xấu hổ phải không?)

Bây giờ bạn sẽ học cách tìm tọa độ đỉnh của bất kỳ parabol nào trong tâm trí tôi trong một phút! Cả X và Y. Trong một cú trượt ngã và không có bất kỳ công thức nào. Làm sao? Bằng cách chọn một hình vuông hoàn chỉnh!

Vì vậy, hãy cô lập hình vuông hoàn hảo trong biểu thức của chúng ta. Chúng tôi nhận được:

y=-x 2 +2 x+3 = -(x-1) 2 +4

Ai thông thạo thông tin chung về chức năng và nắm vững chủ đề tốt" chuyển đổi đồ thị hàm số ", anh ấy sẽ dễ dàng hiểu rằng parabol mong muốn của chúng ta có được từ một parabol thông thường y= x 2 sử dụng ba phép biến đổi. Cái này:

1) Thay đổi hướng của các nhánh.

Điều này được biểu thị bằng dấu trừ trước hình vuông trong ngoặc ( một=-1). Đã từng là y= x 2 , nó đã trở thành y=- x 2 .

Chuyển đổi: f ( x ) -> - f ( x ) .

2) Chuyển song song một parabol y=- x 2 X qua PHẢI 1 đơn vị.

Đây là cách chúng ta có được biểu đồ trung gian y=-(x-1 ) 2 .

Chuyển đổi: - f ( x ) -> - f ( x + tôi ) (m=-1).

Tại sao dịch chuyển sang phải mà không sang trái, mặc dù có dấu trừ trong ngoặc? Đây là lý thuyết về biến đổi đồ thị. Đây là một chủ đề riêng biệt.

Và cuối cùng,

3) Chuyển song song parabol y=-( x -1) 2 tăng thêm 4 đơn vị.

Đây là cách chúng ta có được parabol cuối cùng y= -(x-1) 2 +4 .

Chuyển đổi: - f ( x + tôi ) -> - f ( x + tôi )+ N (n=+4)

Bây giờ chúng ta nhìn vào chuỗi biến đổi của mình và nhận ra: đỉnh của parabol di chuyển ở đâu?y=x 2 ? Đó là tại điểm (0; 0), sau lần biến đổi đầu tiên, đỉnh không di chuyển đi đâu cả (parabol chỉ đơn giản là quay lại), sau lần thứ hai nó di chuyển dọc theo X +1 và sau lần thứ ba - dọc theo Y bởi +4. Tổng cộng, top đạt vị trí (1; 4) . Đó là toàn bộ bí mật!

Hình ảnh sẽ như sau:

Thực ra, chính vì lý do này mà tôi đã tập trung sự chú ý của bạn vào những con số. tôi Và N, là kết quả của quá trình cô lập một hình vuông hoàn chỉnh. Không thể đoán được tại sao? Đúng. Vấn đề là điểm có tọa độ (- tôi ; N ) - luôn luôn như vậy đỉnh của parabol y = Một ( x + tôi ) 2 + N . Chỉ cần nhìn vào các số trong tam thức được chuyển đổi và trong tâm trí tôi Chúng tôi đưa ra câu trả lời đúng về đỉnh ở đâu. Thật tiện lợi phải không?)

Vẽ parabol là lần đầu tiên thứ hữu ích. Hãy chuyển sang thứ hai.

Điều hữu ích thứ hai là giải phương trình bậc hai và bất đẳng thức.

Vâng vâng! Việc chọn một hình vuông hoàn chỉnh trong nhiều trường hợp hóa ra là nhanh hơn và hiệu quả hơn nhiều phương pháp truyền thống để giải quyết các nhiệm vụ như vậy. Bạn có nghi ngờ gì không? Vui lòng! Đây là một nhiệm vụ dành cho bạn:

Giải bất đẳng thức:

x 2 +4 x+5 > 0

Đã học? Đúng! Nó cổ điển bất đẳng thức bậc hai . Tất cả những bất đẳng thức như vậy được giải quyết bằng thuật toán tiêu chuẩn. Đối với điều này chúng ta cần:

1) Lập phương trình từ bất đẳng thức chế độ xem chuẩn và giải quyết nó, tìm ra gốc rễ.

2) Vẽ trục X và đánh dấu nghiệm của phương trình bằng các dấu chấm.

3) Vẽ sơ đồ parabol bằng cách sử dụng biểu thức ban đầu.

4) Xác định các vùng +/- trong hình. Chọn các diện tích cần thiết dựa trên bất đẳng thức ban đầu và viết ra đáp án.

Trên thực tế, toàn bộ quá trình này thật khó chịu, vâng...) Và hơn nữa, nó không phải lúc nào cũng cứu bạn khỏi những sai lầm trong tình huống không chuẩn như ví dụ này. Chúng ta thử mẫu trước nhé?

Vì vậy, hãy làm điểm một. Ta lập phương trình từ bất đẳng thức:

x 2 +4 x+5 = 0

Phương trình bậc hai chuẩn, không có thủ thuật. Hãy quyết định! Chúng tôi tính toán sự phân biệt:

D = b 2 -4 AC = 4 2 - 4∙1∙5 = -4

Đó là nó! Nhưng sự phân biệt đối xử là tiêu cực! Phương trình không có gốc! Và không có gì để vẽ trên trục... Phải làm gì?

Ở đây một số người có thể kết luận rằng bất đẳng thức ban đầu cũng không có giải pháp. Đây là một quan niệm sai lầm chết người, vâng... Nhưng bằng cách chọn một hình vuông hoàn chỉnh, câu trả lời đúng cho bất đẳng thức này có thể được đưa ra trong nửa phút! Bạn có nghi ngờ gì không? Vâng, bạn có thể tính thời gian.

Vì vậy, chúng tôi chọn hình vuông hoàn hảo trong biểu thức của chúng tôi. Chúng tôi nhận được:

x 2 +4 x+5 = (x+2) 2 +1

Bất đẳng thức ban đầu bắt đầu có dạng như sau:

(x+2) 2 +1 > 0

Và bây giờ, không cần giải quyết hay biến đổi gì thêm, chúng ta chỉ cần bật logic cơ bản lên và suy nghĩ: if với bình phương của một biểu thức nào đó (giá trị rõ ràng là không tiêu cực!) thêm một số nữa thì cuối cùng chúng ta sẽ được số nào?Đúng! Nghiêm túc tích cực!

Bây giờ hãy xem xét sự bất bình đẳng:

(x+2) 2 +1 > 0

Dịch một bản ghi từ ngôn ngữ toán học sang tiếng Nga: tại mức x đúng tích cực biểu hiện sẽ nghiêm ngặt hơn số không? Bạn không đoán được sao? Đúng! Bất cứ gì!

Đây là câu trả lời của bạn: x - bất kỳ số nào.

Bây giờ hãy quay lại thuật toán. Tuy nhiên, hiểu bản chất và ghi nhớ cơ học đơn giản là hai việc khác nhau.)

Bản chất của thuật toán là chúng ta tạo một parabol từ vế trái của bất đẳng thức chuẩn và xem nó ở đâu trên trục X và đâu ở dưới. Những thứ kia. đâu là giá trị dương của vế trái, đâu là giá trị âm.

Nếu chúng ta biến vế trái thành parabol:

y =x 2 +4 x+5

Và hãy vẽ đồ thị của nó, chúng ta sẽ thấy điều đó tất cả toàn bộ parabol vượt qua trục X. Hình ảnh sẽ trông như thế này:

Parabol bị cong, vâng... Đó là lý do tại sao nó có sơ đồ. Nhưng đồng thời, mọi thứ chúng ta cần đều hiển thị trong hình. Parabol không có điểm giao nhau với trục X và không có giá trị 0 cho trò chơi. VÀ giá trị âm, tất nhiên là không. Điều này được thể hiện bằng cách tô bóng toàn bộ trục X. Nhân tiện, tôi mô tả trục Y và tọa độ của đỉnh ở đây là có lý do. So sánh tọa độ đỉnh của parabol (-2; 1) và biểu thức đã biến đổi của chúng ta!

y =x 2 +4 x+5 = ( x +2) 2 +1

Và bạn thích nó như thế nào? Đúng! Trong trường hợp của chúng ta tôi=2 Và N=1 . Do đó, đỉnh parabol có tọa độ: (- tôi; N) = (-2; 1) . Mọi thứ đều hợp lý.)

Một nhiệm vụ khác:

Giải phương trình:

x 2 +4 x+3 = 0

Phương trình bậc hai đơn giản. Bạn có thể giải quyết nó theo cách cũ. Có thể thông qua. Như bạn ước. Toán học không bận tâm.)

Hãy lấy gốc rễ: x 1 =-3 x 2 =-1

Và nếu chúng ta không nhớ cách này hay cách khác để làm điều đó? Chà, bạn sẽ gặp rắc rối, theo cách tốt, nhưng... Vậy thôi, tôi sẽ cứu bạn! Tôi sẽ chỉ cho bạn cách giải một số phương trình bậc hai chỉ bằng các phương pháp lớp bảy. Lại chọn một hình vuông hoàn chỉnh!)

x 2 +4 x+3 = (x+2) 2 -1

Bây giờ hãy viết biểu thức kết quả là... sự khác biệt của hình vuông! Vâng, vâng, có một học sinh lớp bảy:

Một 2 -b 2 = (a-b)(a+b)

Trong vai trò MỘT dấu ngoặc nhô ra(x+2) , và trong vai trò b- một. Chúng tôi nhận được:

(x+2) 2 -1 = (x+2) 2 -1 2 = ((x+2)-1)((x+2)+1) = (x+1)(x+3)

Chúng tôi chèn phần mở rộng này vào phương trình thay vì tam thức bậc hai:

(x+1)(x+3)=0

Vẫn còn phải nhận ra rằng tích của các thừa số bằng 0 khi đó và chỉ khi đó, khi bất kỳ trong số chúng bằng không. Vì vậy, chúng tôi đánh đồng (trong tâm trí của chúng tôi!) mỗi dấu ngoặc bằng 0.

Chúng tôi nhận được: x 1 =-3 x 2 =-1

Đó là tất cả. Hai gốc giống nhau. Thật là một thủ thuật khéo léo. Ngoài sự phân biệt đối xử.)

Nhân tiện, về phân biệt và công thức tổng quát của nghiệm của phương trình bậc hai:

Trong bài học của tôi, phần dẫn xuất của công thức rườm rà này đã bị lược bỏ. Như không cần thiết. Nhưng đây là nơi dành cho anh ấy.) Bạn có muốn biết làm thế nào không? công thức này hóa ra? Biểu thức cho sự phân biệt đối xử đến từ đâu và tại sao chính xác?b 2 -4ac, chứ không phải cách nào khác? Tuy nhiên, sự hiểu biết đầy đủ về bản chất của những gì đang xảy ra sẽ hữu ích hơn nhiều so với việc viết nguệch ngoạc đủ loại chữ cái và ký hiệu, phải không?)

Điều hữu ích thứ ba là việc rút ra công thức nghiệm của phương trình bậc hai.

Chúng ta đi đây! Ta lấy tam thức bậc hai trong nhìn chung cây rìu 2 + bx+ c Và… Hãy bắt đầu chọn một hình vuông hoàn chỉnh! Vâng, thẳng qua những lá thư!Đã có số học, bây giờ là đại số.) Đầu tiên, như thường lệ, chúng ta lấy chữ cái ra Một ngoài ngoặc và chia tất cả các hệ số khác cho Một:

Như thế này. Đây là một sự chuyển đổi hoàn toàn hợp pháp: MỘT không bằng 0, và bạn có thể chia cho nó. Và với dấu ngoặc, chúng ta lại làm việc theo thuật toán thông thường: từ số hạng có X, chúng ta nhân đôi tích, cộng/trừ bình phương của số thứ hai...

Mọi thứ đều giống nhau, nhưng có chữ cái.) Hãy cố gắng tự mình hoàn thành nó! Khỏe mạnh!)

Sau tất cả các biến đổi, bạn sẽ nhận được điều này:

Và tại sao chúng ta cần xây dựng những đống như vậy từ một tam thức vô hại - bạn hỏi? Không vấn đề gì, bây giờ nó sẽ rất thú vị! Và bây giờ, chúng ta đã biết vấn đề, hãy đánh đồng điều này về không:

Chúng tôi giải như một phương trình thông thường, chúng tôi làm việc theo tất cả các quy tắc, chỉ bằng chữ cái. Hãy làm những điều cơ bản:

1) Di chuyển phần lớn hơn sang bên phải. Khi chuyển ta đổi dấu cộng thành dấu trừ. Để không vẽ dấu trừ trước chính phân số, tôi chỉ cần thay đổi tất cả các dấu trong tử số. Ở bên trái tử số có4ac-b 2 , và sau khi chuyển nó sẽ trở thành -( 4ac-b 2 ) , I E. b 2 -4 AC. Một cái gì đó quen thuộc, bạn có nghĩ vậy không? Đúng! Kẻ phân biệt đối xử, hắn là nhất...) Nó sẽ như thế này:

2) Xóa hình vuông trong ngoặc khỏi hệ số. Chia cả hai bên cho " MỘT". Bên trái, trước dấu ngoặc là chữ cái MỘT biến mất, và bên phải đi vào mẫu số của phân số lớn, biến nó thành 4 Một 2 .

Hóa ra sự bình đẳng này:

Nó không thành công với bạn à? Vậy thì chủ đề "" là dành cho bạn. Đến đó ngay lập tức!

Bước tiếp theo trích xuất gốc. Chúng ta quan tâm đến X, phải không? Và chữ X nằm dưới hình vuông... Tất nhiên, chúng tôi trích xuất nó theo quy tắc trích xuất căn. Sau khi giải nén bạn sẽ nhận được điều này:

Bên trái là bình phương của tổng biến mất và những gì còn lại chỉ đơn giản là số tiền này. Đó là những gì được yêu cầu.) Nhưng bên phải xuất hiện cộng/trừ. Đối với cú đánh mạnh mẽ của chúng tôi, mặc dù có vẻ ngoài đáng sợ, nhưng chỉ là một số con số. Một phân số. Tỷ lệ phụ thuộc Một, b, c. Trong trường hợp này, căn của tử số của phân số này được trích xuất không đẹp mắt, có sự khác biệt giữa hai biểu thức. Và đây là gốc của mẫu số 4 Một 2 Nó hoạt động khá tốt! Nó sẽ dễ dàng 2 Một.

Một câu hỏi “khó nhằn” cần đặt ra: liệu tôi có quyền trích xuất gốc từ biểu thức không 4 Một2, trả lời chỉ 2a thôi à? Xét cho cùng, quy tắc trích xuất căn bậc hai bắt buộc phải đặt một dấu hiệu mô-đun, tức là.2|a| !

Hãy nghĩ xem tại sao tôi lại bỏ qua dấu môđun. Rất hữu ích. Gợi ý: câu trả lời nằm ở dấu hiệu cộng/trừ trước phân số.)

Chỉ còn lại những chuyện vặt vãnh. Chúng tôi cung cấp một chữ X rõ ràng ở bên trái. Để làm điều này, di chuyển phần nhỏ sang bên phải. Với sự thay đổi dấu hiệu, hạt tiêu trong suốt. Hãy để tôi nhắc bạn rằng dấu trong phân số có thể được thay đổi ở bất cứ đâu và bằng bất kỳ cách nào. Chúng ta muốn thay đổi nó ở phía trước phân số, chúng ta muốn nó ở mẫu số, chúng ta muốn nó ở tử số. Tôi sẽ thay đổi dấu hiệu trong tử số. Đã từng là + b, nó đã trở thành – b. Tôi hy vọng không có phản đối?) Sau khi chuyển nó sẽ như thế này:

Chúng ta cộng hai phân số có cùng mẫu số và nhận được (cuối cùng!):

Tốt? Tôi có thể nói gì? Ồ!)

Điều hữu ích thứ tư - lưu ý dành cho sinh viên!

Và bây giờ chúng ta hãy chuyển từ trường phổ thông sang trường đại học một cách suôn sẻ. Bạn sẽ không tin đâu, nhưng việc cô lập một hình vuông hoàn chỉnh trong toán học cao cấp cũng là điều cần thiết!

Ví dụ: nhiệm vụ này:

Tìm tích phân không xác định:

Bắt đầu từ đâu? Ứng dụng trực tiếp không hoạt động. Chỉ chọn một hình vuông hoàn chỉnh để lưu, vâng...)

Bất cứ ai không biết cách chọn một hình vuông hoàn chỉnh sẽ mãi mãi bị mắc kẹt trong ví dụ đơn giản này. Và ai biết cách phân bổ và nhận:

x 2 +4 x+8 = (x+2) 2 +4

Và bây giờ tích phân (dành cho những người đã biết) được lấy bằng một tay trái!

Tuyệt vời phải không? Và đây không chỉ là tích phân! Tôi đã im lặng về hình học giải tích, với nó đường cong bậc hai – hình elip, hyperbol, parabol và hình tròn.

Ví dụ:

Xác định loại đường cong được cho bởi phương trình:

x 2 + y 2 -6 x-8 y+16 = 0

Nếu không có khả năng tách một hình vuông hoàn chỉnh thì bài toán không thể giải được, vâng... Nhưng ví dụ này không thể đơn giản hơn! Tất nhiên là đối với những người biết.

Chúng tôi nhóm các thuật ngữ với X và Y thành các nhóm và chọn các ô vuông hoàn chỉnh cho mỗi biến. Nó sẽ bật ra:

(x 2 -6x) + (y 2 -8 y) = -16

(x 2 -6x+9)-9 + (y 2 -8 y+16)-16 = -16

(x-3) 2 + (y-4) 2 = 9

(x-3) 2 + (y-4) 2 = 3 2

Vậy nó thế nào? Bạn có tìm ra nó là loại động vật gì không?) Tất nhiên rồi! Đường tròn bán kính ba có tâm tại điểm (3; 4).

Và thế là xong.) Một điều hữu ích là chọn một hình vuông hoàn chỉnh!)

Như tôi đã lưu ý, trong phép tính tích phân không có công thức thuận tiện để tích phân một phân số. Và do đó, có một xu hướng đáng buồn: phân số càng phức tạp thì càng khó tìm được tích phân của nó. Về vấn đề này, bạn phải sử dụng nhiều thủ thuật khác nhau mà bây giờ tôi sẽ kể cho bạn nghe. Những độc giả đã chuẩn bị sẵn sàng có thể tận dụng ngay mục lục:

• Phương pháp cộng dấu vi phân cho phân số đơn giản

Phương pháp chuyển đổi tử số nhân tạo

ví dụ 1

Nhân tiện, tích phân đang xét cũng có thể được giải bằng cách đổi phương thức biến, ký hiệu là , nhưng việc viết lời giải sẽ lâu hơn nhiều.

Ví dụ 2

Tìm thấy không xác định, không thể thiếu. Thực hiện kiểm tra.

Đây là một ví dụ cho quyết định độc lập. Cần lưu ý rằng phương pháp thay thế biến sẽ không còn hoạt động ở đây nữa.

Chú ý, quan trọng! Ví dụ số 1, 2 là điển hình và xảy ra thường xuyên. Đặc biệt, những tích phân như vậy thường phát sinh trong quá trình giải các tích phân khác, đặc biệt là khi lấy tích phân các hàm vô tỷ (gốc).

Kỹ thuật được xem xét cũng hoạt động trong trường hợp nếu bậc cao nhất của tử số lớn hơn bậc cao nhất của mẫu số.

Ví dụ 3

Tìm tích phân không xác định. Thực hiện kiểm tra.

Chúng ta bắt đầu chọn tử số.

Thuật toán chọn tử số giống như sau:

1) Trong tử số tôi cần sắp xếp , nhưng có . Phải làm gì? Tôi đặt nó trong ngoặc và nhân với: .

2) Bây giờ tôi thử mở các dấu ngoặc này, điều gì xảy ra? . Hmm... thế thì tốt hơn, nhưng ban đầu không có số 2 trong tử số. Phải làm gì? Bạn cần nhân với:

3) Tôi mở ngoặc lại: . Và đây là thành công đầu tiên! Hóa ra vừa phải! Nhưng vấn đề là một thuật ngữ bổ sung đã xuất hiện. Phải làm gì? Để ngăn biểu thức thay đổi, tôi phải thêm biểu thức tương tự vào công trình của mình:
. Cuộc sống đã trở nên dễ dàng hơn. Có thể sắp xếp lại tử số được không?

4) Có thể. Hãy thử: . Mở ngoặc của số hạng thứ hai:
. Xin lỗi, nhưng ở bước trước tôi thực sự đã có , không phải . Phải làm gì? Bạn cần nhân số hạng thứ hai với:

5) Một lần nữa, để kiểm tra, tôi mở ngoặc ở số hạng thứ hai:
. Bây giờ thì bình thường: bắt nguồn từ cách xây dựng cuối cùng của điểm 3! Nhưng một lần nữa lại có một chữ “nhưng” nhỏ, một thuật ngữ bổ sung đã xuất hiện, nghĩa là tôi phải thêm vào cách diễn đạt của mình:

Nếu mọi thứ được thực hiện chính xác thì khi mở tất cả các dấu ngoặc, chúng ta sẽ nhận được tử số ban đầu của số nguyên. Chung ta kiểm tra:
Mui xe.

Như vậy:

Sẵn sàng. Trong học kỳ trước, tôi đã sử dụng phương pháp gộp một hàm dưới một vi phân.

Nếu chúng ta tìm đạo hàm của đáp án và quy giản biểu thức về mẫu số chung thì chúng ta sẽ thu được chính xác hàm tích phân ban đầu. Phương pháp phân rã được xem xét thành tổng không gì khác hơn là hành động ngược lại để đưa một biểu thức về mẫu số chung.

Thuật toán chọn tử số trong các ví dụ như vậy được thực hiện tốt nhất ở dạng bản nháp. Với một số kỹ năng, nó sẽ hoạt động về mặt tinh thần. Tôi nhớ một trường hợp phá kỷ lục khi tôi đang thực hiện phép chọn lũy thừa thứ 11 và việc khai triển tử số chiếm gần hai dòng của Verd.

Ví dụ 4

Tìm tích phân không xác định. Thực hiện kiểm tra.

Đây là ví dụ để bạn tự giải quyết.

Phương pháp cộng dấu vi phân cho phân số đơn giản

Chúng ta hãy chuyển sang xem xét loại phân số tiếp theo.
, , , (các hệ số và không bằng 0).

Trên thực tế, một số trường hợp arcsine và arctangent đã được đề cập trong bài. Phương pháp đổi biến trong tích phân không xác định. Những ví dụ như vậy được giải bằng cách gộp hàm dưới dấu vi phân và tích phân sâu hơn bằng cách sử dụng bảng. Dưới đây là những ví dụ điển hình hơn với logarit dài và cao:

Ví dụ 5

Ví dụ 6

Ở đây nên lấy một bảng tích phân và xem những công thức và Làm sao sự biến đổi diễn ra. Ghi chú, như thế nào và tại sao Các hình vuông trong các ví dụ này được đánh dấu. Cụ thể, trong Ví dụ 6 trước tiên chúng ta cần biểu diễn mẫu số dưới dạng , sau đó đưa nó về dưới dấu vi phân. Và tất cả điều này cần phải được thực hiện để sử dụng công thức dạng bảng tiêu chuẩn .

Tại sao phải xem, hãy thử tự mình giải các ví dụ số 7, 8, đặc biệt vì chúng khá ngắn:

Ví dụ 7

Ví dụ 8

Tìm tích phân không xác định:

Nếu bạn cũng có thể kiểm tra được những ví dụ này thì thật đáng tôn trọng - kỹ năng phân biệt của bạn rất xuất sắc.

Phương pháp lựa chọn hình vuông đầy đủ

Tích phân có dạng (các hệ số và không bằng 0) được giải phương pháp trích xuất bình phương hoàn chỉnh, đã xuất hiện trong bài học Các phép biến đổi hình học của đồ thị.

Trên thực tế, những tích phân như vậy rút gọn thành một trong bốn tích phân bảng mà chúng ta vừa xét. Và điều này đạt được bằng cách sử dụng các công thức nhân viết tắt quen thuộc:

Các công thức được áp dụng chính xác theo hướng này, nghĩa là ý tưởng của phương pháp là sắp xếp một cách giả tạo các biểu thức theo mẫu số, sau đó chuyển đổi chúng thành một trong hai mẫu số.

Ví dụ 9

Tìm tích phân không xác định

Cái này ví dụ đơn giản nhất, trong đó với số hạng – hệ số đơn vị(và không phải một số số hoặc dấu trừ).

Hãy nhìn vào mẫu số, ở đây toàn bộ vấn đề rõ ràng là do ngẫu nhiên. Hãy bắt đầu chuyển đổi mẫu số:

Rõ ràng, bạn cần cộng 4. Và để biểu thức không thay đổi, hãy trừ bốn như vậy:

Bây giờ bạn có thể áp dụng công thức:

Sau khi chuyển đổi hoàn tất LUÔN LUÔN Nên thực hiện thao tác ngược lại: mọi thứ đều ổn, không có sai sót.

Làm sạch Ví dụ được đề cập sẽ trông giống như thế này:

Sẵn sàng. Gộp hàm phức “tự do” dưới dấu vi phân: về nguyên tắc, có thể bỏ qua

Ví dụ 10

Tìm tích phân không xác định:

Đây là ví dụ để các bạn tự giải, đáp án ở cuối bài

Ví dụ 11

Tìm tích phân không xác định:

Phải làm gì khi có điểm trừ phía trước? Trong trường hợp này, chúng ta cần bỏ dấu trừ ra khỏi ngoặc và sắp xếp các số hạng theo thứ tự chúng ta cần: . Không thay đổi(“hai” trong trường hợp này) đừng chạm vào!

Bây giờ chúng tôi thêm một trong ngoặc đơn. Phân tích biểu thức, chúng tôi đi đến kết luận rằng chúng tôi cần thêm một biểu thức bên ngoài dấu ngoặc:

Ở đây chúng ta có được công thức, áp dụng:

LUÔN LUÔN Chúng tôi kiểm tra dự thảo:
, đó là những gì cần phải được kiểm tra.

Ví dụ rõ ràng trông giống như thế này:

Làm cho nhiệm vụ trở nên khó khăn hơn

Ví dụ 12

Tìm tích phân không xác định:

Ở đây thuật ngữ này không còn là hệ số đơn vị nữa mà là “năm”.

(1) Nếu có hằng số tại thì ta bỏ ngay nó ra khỏi ngoặc.

(2) Nói chung, tốt hơn hết là di chuyển hằng số này ra ngoài tích phân để nó không gây cản trở.

(3) Rõ ràng, mọi thứ sẽ tuân theo công thức. Chúng ta cần hiểu thuật ngữ đó là lấy “hai”

(4) Vâng, . Điều này có nghĩa là chúng ta cộng vào biểu thức và trừ đi cùng một phân số.

(5) Bây giờ hãy chọn một hình vuông hoàn chỉnh. Trong trường hợp tổng quát, chúng ta cũng cần tính , nhưng ở đây chúng ta có công thức tính logarit dài , và việc thực hiện hành động đó chẳng có ý nghĩa gì; lý do sẽ trở nên rõ ràng bên dưới.

(6) Thật ra ta có thể áp dụng công thức , chỉ thay vì “X” chúng ta có , điều này không phủ nhận tính đúng đắn của tích phân bảng. Nói đúng ra, một bước đã bị bỏ lỡ - trước khi lấy tích phân, hàm số lẽ ra phải được gộp dưới dấu vi phân: , nhưng, như tôi đã lưu ý nhiều lần, điều này thường bị bỏ qua.

(7) Trong câu trả lời ở phần gốc, nên mở rộng tất cả các dấu ngoặc trở lại:

Khó? Đây không phải là phần khó nhất của phép tính tích phân. Mặc dù vậy, các ví dụ đang được xem xét không quá phức tạp vì chúng đòi hỏi kỹ thuật tính toán tốt.

Ví dụ 13

Tìm tích phân không xác định:

Đây là ví dụ để bạn tự giải quyết. Đáp án có ở cuối bài học.

Có các tích phân có gốc ở mẫu số, khi sử dụng phép thay thế sẽ được rút gọn thành tích phân thuộc loại đang xem xét; bạn có thể đọc về chúng trong bài viết tích phân phức, nhưng nó được thiết kế dành cho những học sinh có sự chuẩn bị kỹ lưỡng.

Cộng tử số dưới dấu vi phân

Đây là phần cuối cùng của bài học, tuy nhiên, tích phân loại này khá phổ biến! Nếu bạn mệt mỏi, có lẽ ngày mai nên đọc sách thì tốt hơn? ;)

Các tích phân mà chúng ta sẽ xem xét tương tự như các tích phân của đoạn trước, chúng có dạng: hoặc (các hệ số , và không bằng 0).

Tức là bây giờ chúng ta có hàm tuyến tính ở tử số. Làm thế nào để giải quyết tích phân như vậy?