Phương trình đường thẳng trên mặt phẳng. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cho trước

Cho đường thẳng đi qua các điểm M 1 (x 1; y 1) và M 2 (x 2; y 2). Phương trình đường thẳng đi qua điểm M 1 có dạng y-y 1 = k (x - x 1), (10.6)

Ở đâu k - hệ số vẫn chưa biết.

Vì đường thẳng đi qua điểm M 2 (x 2 y 2) nên tọa độ của điểm này phải thỏa mãn phương trình (10.6): y 2 -y 1 = k (x2 - x1).

Từ đây chúng ta tìm thấy Thay thế giá trị tìm thấy k vào phương trình (10.6), ta thu được phương trình đường thẳng đi qua các điểm M 1 và M 2:

Giả sử trong phương trình này x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Nếu x 1 = x 2 thì đường thẳng đi qua các điểm M 1 (x 1,y I) và M 2 (x 2,y 2) song song với trục tọa độ. phương trình của nó là x = x 1 .

Nếu y 2 = y I thì phương trình đường thẳng viết được là y = y 1, đường thẳng M 1 M 2 song song với trục hoành.

Phương trình của một đường trong đoạn

Giả sử đường thẳng cắt trục Ox tại điểm M 1 (a;0), và trục Oy tại điểm M 2 (0;b). Phương trình sẽ có dạng:
những thứ kia.
. Phương trình này được gọi là phương trình đường thẳng trong các đoạn thẳng vì các số a và b chỉ ra những đoạn đường thẳng cắt trên trục tọa độ.

Phương trình đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một vectơ cho trước

Hãy tìm phương trình đường thẳng đi qua một điểm Mo (x O; y o) vuông góc với một vectơ khác 0 n = (A; B).

Lấy một điểm M(x; y) tùy ý trên đường thẳng và xét vectơ M 0 M (x - x 0; y - y o) (xem Hình 1). Vì các vectơ n và M o M vuông góc nên tích vô hướng của chúng bằng 0: nghĩa là

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Phương trình (10.8) được gọi là phương trình đường thẳng đi qua một điểm cho trước vuông góc với một vectơ cho trước .

Vector n= (A; B), vuông góc với đường thẳng, gọi là pháp tuyến vectơ pháp tuyến của đường này .

Phương trình (10.8) có thể được viết lại thành À + Wu + C = 0 , (10.9)

trong đó A và B là tọa độ của vectơ pháp tuyến, C = -Ax o - Vu o là số hạng tự do. Phương trình (10.9) là phương trình tổng quát của đường thẳng(xem hình 2).

Hình 1 Hình 2

Phương trình chính tắc của đường thẳng

,

Ở đâu
- tọa độ của điểm mà đường thẳng đi qua, và
- vectơ chỉ phương.

Đường cong bậc hai Vòng tròn

Đường tròn là tập hợp tất cả các điểm trên mặt phẳng cách đều một điểm cho trước, gọi là tâm.

Phương trình chính tắc của đường tròn bán kính R tập trung tại một điểm
:

Cụ thể, nếu tâm cọc trùng với gốc tọa độ thì phương trình sẽ có dạng:

hình elip

Hình elip là tập hợp các điểm trên mặt phẳng, tổng khoảng cách từ mỗi điểm đó đến hai điểm cho trước Và , được gọi là tiêu điểm, là một đại lượng không đổi
, lớn hơn khoảng cách giữa các tiêu điểm
.

Phương trình chính tắc của một elip có tiêu điểm nằm trên trục Ox và gốc tọa độ ở giữa các tiêu điểm có dạng
G de Một chiều dài trục bán lớn; b – chiều dài của trục bán phụ (Hình 2).

Tính chất của đường thẳng trong hình học Euclide.

Có thể vẽ được vô số đường thẳng đi qua một điểm bất kỳ.

Qua hai điểm không trùng nhau có thể vẽ được một đường thẳng.

Hai đường thẳng phân kỳ trong mặt phẳng cắt nhau tại một điểm hoặc

song song (tiếp theo từ trước).

Trong không gian ba chiều có ba lựa chọn vị trí tương đối hai đường thẳng:

• các đường giao nhau;

• các đường thẳng song song;

• đường thẳng cắt nhau.

Thẳng đường kẻ— đường cong đại số bậc nhất: một đường thẳng trong hệ tọa độ Descartes

được cho trên mặt phẳng bởi phương trình bậc một (phương trình tuyến tính).

Phương trình tổng quát của đường thẳng.

Sự định nghĩa. Bất kỳ đường thẳng nào trên mặt phẳng đều có thể được xác định bằng phương trình bậc nhất

Rìu + Wu + C = 0,

và hằng số A, B không bằng 0 cùng một lúc. Phương trình bậc nhất này được gọi là tổng quan

phương trình của một đường thẳng. Tùy thuộc vào giá trị của hằng số A, B Và VỚI Có thể xảy ra các trường hợp đặc biệt sau:

. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- đường thẳng đi qua gốc tọa độ

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (Bởi + C = 0)- Đường thẳng song song với trục Ồ

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- Đường thẳng song song với trục OU

. B = C = 0, A ≠0- đường thẳng trùng với trục OU

. A = C = 0, B ≠0- đường thẳng trùng với trục Ồ

Phương trình đường thẳng có thể được biểu diễn dưới dạng dưới nhiều hình thức khác nhau tùy thuộc vào bất kỳ

điều kiện ban đầu.

Phương trình đường thẳng đi từ một điểm và một vectơ pháp tuyến.

Sự định nghĩa. Trong hệ tọa độ hình chữ nhật Descartes, một vectơ có các thành phần (A, B)

vuông góc với đường thẳng cho bởi phương trình

Rìu + Wu + C = 0.

Ví dụ. Tìm phương trình đường thẳng đi qua một điểm A(1, 2) vuông góc với vectơ (3, -1).

Giải pháp. Với A = 3 và B = -1, hãy lập phương trình đường thẳng: 3x - y + C = 0. Tìm hệ số C

Hãy thay tọa độ của điểm A đã cho vào biểu thức thu được: 3 - 2 + C = 0, do đó

C = -1. Tổng: phương trình cần tìm: 3x - y - 1 = 0.

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm.

Cho hai điểm trong không gian M 1 (x 1 , y 1 , z 1) Và M2(x2,y2,z2), Sau đó phương trình của một đường thẳng,

đi qua các điểm sau:

Nếu bất kỳ mẫu số nào bằng 0 thì tử số tương ứng phải bằng 0. TRÊN

mặt phẳng thì phương trình đường thẳng viết trên được đơn giản hóa:

Nếu như x 1 ≠ x 2 Và x = x 1, Nếu như x 1 = x 2 .

Phân số = k gọi điện dốc thẳng.

Ví dụ. Tìm phương trình đường thẳng đi qua các điểm A(1, 2) và B(3, 4).

Giải pháp. Áp dụng công thức viết ở trên, ta có:

Phương trình đường thẳng sử dụng điểm và hệ số góc.

Nếu phương trình tổng quát của đường thẳng Rìu + Wu + C = 0 dẫn đến:

và chỉ định , thì phương trình thu được được gọi là

phương trình đường thẳng có độ dốc k.

Phương trình đường thẳng đi từ một điểm và một vectơ chỉ phương.

Bằng cách tương tự với điểm xét phương trình đường thẳng đi qua vectơ pháp tuyến, em có thể nhập bài toán

đường thẳng đi qua một điểm và vectơ chỉ hướng của đường thẳng đó.

Sự định nghĩa. Mọi vectơ khác 0 (α 1 , α 2), các thành phần của nó thỏa mãn điều kiện

Aα 1 + Ba2 = 0 gọi điện vectơ chỉ hướng của đường thẳng.

Rìu + Wu + C = 0.

Ví dụ. Tìm phương trình đường thẳng có vectơ chỉ phương (1, -1) và đi qua điểm A(1, 2).

Giải pháp. Chúng ta sẽ tìm phương trình của đường mong muốn ở dạng: Ax + By + C = 0. Theo định nghĩa,

các hệ số phải thỏa mãn các điều kiện sau:

1 * A + (-1) * B = 0, tức là A = B.

Khi đó phương trình đường thẳng có dạng: Ax + Ay + C = 0, hoặc x + y + C / A = 0.

Tại x = 1, y = 2 chúng tôi nhận được C/A = -3, I E. phương trình cần thiết:

x + y - 3 = 0

Phương trình đường thẳng trong các đoạn thẳng.

Nếu trong phương trình tổng quát của đường thẳng Ах + Ву + С = 0 С≠0, thì chia cho -С, ta được:

hoặc ở đâu

Ý nghĩa hình học của các hệ số là hệ số a là tọa độ giao điểm

thẳng với trục Ồ, MỘT b- Tọa độ giao điểm của đường thẳng với trục OU.

Ví dụ. Phương trình tổng quát của đường thẳng được cho x - y + 1 = 0. Tìm phương trình của đường thẳng này trong các đoạn.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Phương trình bình thường của một dòng.

Nếu cả hai vế của phương trình Rìu + Wu + C = 0 chia cho số được gọi là

yếu tố bình thường hóa, sau đó chúng tôi nhận được

xcosφ + ysinφ - p = 0 -phương trình chuẩn của đường thẳng.

Dấu ± của hệ số chuẩn hóa phải được chọn sao cho μ*C< 0.

R- độ dài đường vuông góc hạ từ gốc tọa độ đến đường thẳng,

MỘT φ - góc tạo bởi đường vuông góc này với chiều dương của trục Ồ.

Ví dụ. Phương trình tổng quát của đường thẳng đã cho 12x - 5y - 65 = 0. Bắt buộc phải viết Nhiều loại khác nhau phương trình

đường thẳng này.

Phương trình của đường này trong các đoạn:

Phương trình của đường này với độ dốc: (chia cho 5)

Phương trình của một đường thẳng:

cos φ = 12/13; tội lỗi φ= -5/13; p = 5.

Cần lưu ý rằng không phải mọi đường thẳng đều có thể được biểu diễn bằng phương trình thành các đoạn, ví dụ: đường thẳng,

song song với trục hoặc đi qua gốc tọa độ.

Góc giữa các đường thẳng trên mặt phẳng.

Sự định nghĩa. Nếu hai dòng được đưa ra y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, Cái đó góc nhọn giữa những dòng này

sẽ được định nghĩa là

Hai đường thẳng song song nếu k 1 = k 2. Hai đường thẳng vuông góc

Nếu như k 1 = -1/ k 2 .

Định lý.

Trực tiếp Rìu + Wu + C = 0 Và A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 song song khi các hệ số tỷ lệ thuận

A 1 = λA, B 1 = λB. Nếu cũng С 1 = λС, thì các đường thẳng trùng nhau. Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng

được coi là nghiệm của hệ phương trình của các đường thẳng này.

Phương trình của một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

Sự định nghĩa. Đường thẳng đi qua một điểm M 1 (x 1, y 1) và vuông góc với đường thẳng y = kx + b

được biểu diễn bằng phương trình:

Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng.

Định lý. Nếu được cho một điểm M(x 0, y 0), thì khoảng cách đến đường thẳng Rìu + Wu + C = 0định nghĩa là:

Bằng chứng. Hãy để điểm M 1 (x 1, y 1)- đáy của đường vuông góc rơi khỏi một điểm Mđể cho

trực tiếp. Khi đó khoảng cách giữa các điểm M Và M 1:

(1)

tọa độ x 1 Và lúc 1 có thể tìm được nghiệm của hệ phương trình:

Phương trình thứ hai của hệ là phương trình đường thẳng đi qua điểm M 0 vuông góc với nhau

đường thẳng đã cho. Nếu biến đổi phương trình thứ nhất của hệ về dạng:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

thì giải ra ta được:

Thay các biểu thức này vào phương trình (1), chúng ta tìm thấy:

Định lý đã được chứng minh.

Bài báo trình bày cách rút ra phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cho trước trong hệ tọa độ chữ nhật nằm trên một mặt phẳng. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cho trước trong hệ tọa độ chữ nhật. Chúng tôi sẽ trình bày và giải quyết rõ ràng một số ví dụ liên quan đến tài liệu được đề cập.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Trước khi lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cho trước, cần chú ý một số tính chất. Có một tiên đề nói rằng qua hai điểm phân kỳ trên một mặt phẳng có thể vẽ được một đường thẳng và chỉ có một. Nói cách khác, hai điểm cho trước trên mặt phẳng được xác định bởi một đường thẳng đi qua hai điểm đó.

Nếu mặt phẳng được xác định bởi hệ tọa độ hình chữ nhật Oxy thì bất kỳ đường thẳng nào mô tả trong đó sẽ tương ứng với phương trình của đường thẳng trên mặt phẳng. Ngoài ra còn có mối liên hệ với vectơ chỉ hướng của đường thẳng, dữ liệu này đủ để lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cho trước.

Hãy xem một ví dụ về giải quyết một vấn đề tương tự. Cần lập phương trình đường thẳng a đi qua hai điểm phân kỳ M 1 (x 1, y 1) và M 2 (x 2, y 2), nằm trong hệ tọa độ Descartes.

Trong phương trình chính tắc của đường thẳng trên mặt phẳng có dạng x - x 1 a x = y - y 1 a y, hệ tọa độ chữ nhật O x y được xác định bằng đường thẳng cắt nó tại một điểm có tọa độ M 1 (x 1, y 1) với vectơ dẫn hướng a → = (a x , a y) .

Cần lập phương trình chính tắc của đường thẳng a đi qua hai điểm có tọa độ M 1 (x 1, y 1) và M 2 (x 2, y 2).

Đường thẳng a có vectơ chỉ phương M 1 M 2 → có tọa độ (x 2 - x 1, y 2 - y 1), vì nó cắt các điểm M 1 và M 2. Chúng tôi đã thu được các dữ liệu cần thiết để biến đổi phương trình chính tắc với tọa độ của vectơ chỉ phương M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) và tọa độ các điểm M 1 nằm trên chúng (x 1, y 1) và M 2 (x 2 , y 2) . Ta thu được phương trình có dạng x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 hoặc x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1.

Hãy xem xét hình dưới đây.

Sau khi tính toán, ta viết phương trình tham số của đường thẳng trên mặt phẳng đi qua hai điểm có tọa độ M 1 (x 1, y 1) và M 2 (x 2, y 2). Ta thu được phương trình có dạng x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ hoặc x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ .

Chúng ta hãy xem xét kỹ hơn việc giải quyết một số ví dụ.

ví dụ 1

Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cho trước có tọa độ M 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6.

Giải pháp

Phương trình chính tắc của đường thẳng cắt nhau tại hai điểm có tọa độ x 1, y 1 và x 2, y 2 có dạng x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Theo điều kiện của bài toán, ta có x 1 = - 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = - 1 6. Cần thay các giá trị số vào phương trình x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Từ đây ta suy ra rằng phương trình chính tắc có dạng x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

Đáp án: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

Nếu bạn cần giải một bài toán bằng một loại phương trình khác, thì trước tiên bạn có thể chuyển sang phương trình chính tắc, vì việc chuyển từ phương trình này sang phương trình khác sẽ dễ dàng hơn.

Ví dụ 2

Lập phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua các điểm có tọa độ M 1 (1, 1) và M 2 (4, 2) trong hệ tọa độ O x y.

Giải pháp

Đầu tiên, bạn cần viết phương trình chính tắc của một đường thẳng đi qua hai điểm cho trước. Chúng ta nhận được một phương trình có dạng x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .

Hãy đưa phương trình chính tắc về dạng mong muốn, sau đó chúng ta nhận được:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

Trả lời: x - 3 y + 2 = 0 .

Ví dụ về những nhiệm vụ như vậy đã được thảo luận trong sách giáo khoa ở trường trong các bài học đại số. Nhiệm vụ của trường khác ở chỗ phương trình đường thẳng có hệ số góc đã biết có dạng y = k x + b. Nếu cần tìm giá trị hệ số góc k và số b để phương trình y = k x + b xác định đường thẳng trong hệ O xy đi qua các điểm M 1 (x 1, y 1) và M 2 ( x 2, y 2) , trong đó x 1 ≠ x 2. Khi x 1 = x 2 , khi đó hệ số góc lấy giá trị vô cùng và đường thẳng M 1 M 2 được xác định bởi phương trình tổng quát không đầy đủ dạng x - x 1 = 0 .

Bởi vì các điểm M 1 Và M 2 thẳng hàng thì tọa độ của chúng thỏa mãn phương trình y 1 = k x 1 + b và y 2 = k x 2 + b. Cần giải hệ phương trình y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b cho k và b.

Để làm điều này, chúng ta tìm k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 hoặc k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .

Với các giá trị k và b này, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cho trước trở thành y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 hoặc y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Không thể nhớ được một số lượng lớn công thức như vậy cùng một lúc. Để làm được điều này, cần tăng số lần lặp lại khi giải bài toán.

Ví dụ 3

Viết phương trình đường thẳng có hệ số góc đi qua các điểm có tọa độ M 2 (2, 1) và y = k x + b.

Giải pháp

Để giải bài toán, ta sử dụng công thức có hệ số góc dạng y = k x + b. Các hệ số k và b phải lấy giá trị sao cho phương trình này tương ứng với một đường thẳng đi qua hai điểm có tọa độ M 1 (- 7, - 5) và M 2 (2, 1).

Điểm M 1 Và M 2 nằm trên một đường thẳng thì tọa độ của chúng phải làm cho phương trình y = k x + b là đẳng thức đúng. Từ đó chúng ta thu được - 5 = k · (- 7) + b và 1 = k · 2 + b. Hãy kết hợp phương trình vào hệ thống - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b và giải.

Khi thay thế chúng tôi nhận được điều đó

5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Bây giờ các giá trị k = 2 3 và b = - 1 3 được thế vào phương trình y = k x + b. Ta thấy phương trình cần tìm đi qua các điểm đã cho sẽ là phương trình có dạng y = 2 3 x - 1 3 .

Phương pháp giải pháp này xác định trước chi tiêu số lượng lớn thời gian. Có một cách để giải quyết vấn đề theo đúng hai bước.

Viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua M 2 (2, 1) và M 1 (- 7, - 5), có dạng x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5 ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang phương trình độ dốc. Ta có: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · (x + 7) = 9 · (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3.

Trả lời: y = 2 3 x - 1 3 .

Nếu ở không gian ba chiều tồn tại hệ tọa độ chữ nhật O x y z với hai điểm không trùng nhau có tọa độ M 1 (x 1, y 1, z 1) và M 2 (x 2, y 2, z 2), đường thẳng M 1 M 2 đi qua chúng thì cần thu được phương trình của đường thẳng này.

Chúng ta có các phương trình chính tắc có dạng x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z và các phương trình tham số có dạng x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ có khả năng xác định một đường thẳng trong hệ tọa độ O x y z, đi qua các điểm có tọa độ (x 1, y 1, z 1) với vectơ chỉ phương a → = (a x, a y, a z).

Thẳng M 1 M 2 có vectơ chỉ phương có dạng M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1), trong đó đường thẳng đi qua điểm M 1 (x 1, y 1, z 1) và M 2 (x 2 , y 2 , z 2), do đó phương trình chính tắc có thể có dạng x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 hoặc x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1, lần lượt tham số x = x 1 + (x 2 - x 1 ) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ hoặc x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ z = z 2 + (z 2 - z 1) · λ .

Xét hình vẽ thể hiện 2 điểm cho trước trong không gian và phương trình của một đường thẳng.

Ví dụ 4

Viết phương trình đường thẳng xác định trong hệ tọa độ chữ nhật O x y z của không gian ba chiều, đi qua hai điểm cho trước có tọa độ M 1 (2, - 3, 0) và M 2 (1, - 3, - 5).

Giải pháp

Cần phải tìm phương trình chính tắc. Vì chúng ta đang nói về không gian ba chiều, điều đó có nghĩa là khi một đường thẳng đi qua các điểm cho trước, phương trình chính tắc mong muốn sẽ có dạng x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .

Theo điều kiện ta có x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. Theo đó các phương trình cần thiết sẽ được viết như sau:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Đáp án: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

Nếu bạn thấy văn bản có lỗi, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl+Enter

Phương trình đường thẳng đi qua một điểm cho trước tại theo hướng này. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cho trước. Góc giữa hai đường thẳng. Điều kiện song song và vuông góc của hai đường thẳng. Xác định giao điểm của hai đường thẳng

1. Phương trình đường thẳng đi qua một điểm cho trước MỘT(x 1 , y 1) theo một hướng nhất định, được xác định bởi độ dốc k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Phương trình này xác định một bút chì gồm các đường đi qua một điểm MỘT(x 1 , y 1), được gọi là tâm chùm tia.

2. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm: MỘT(x 1 , y 1) và B(x 2 , y 2), viết như thế này:

Hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm cho trước được xác định theo công thức

3. Góc giữa các đường thẳng MỘT Và B là góc mà đường thẳng thứ nhất phải quay MỘT quanh giao điểm của các đường này ngược chiều kim đồng hồ cho đến khi trùng với đường thứ hai B. Nếu hai đường thẳng được cho bởi phương trình có hệ số góc

y = k 1 x + B 1 ,

Các phương trình chính tắc của một đường thẳng trong không gian là các phương trình xác định một đường thẳng đi qua một điểm cho trước thẳng hàng với vectơ chỉ phương.

Cho một điểm và một vectơ chỉ phương. Một điểm tùy ý nằm trên một đường thẳng tôi chỉ khi các vectơ và thẳng hàng, tức là điều kiện được thỏa mãn đối với chúng:

.

Các phương trình trên là phương trình chính tắc của đường thẳng.

số tôi , N Và P là hình chiếu của vectơ chỉ phương lên các trục tọa độ. Vì vectơ khác 0 nên mọi số tôi , N Và P không thể đồng thời bằng 0. Nhưng một hoặc hai trong số chúng có thể bằng không. Ví dụ, trong hình học giải tích, mục sau được cho phép:

,

điều đó có nghĩa là hình chiếu của vectơ lên ​​trục Ôi Và Ozđều bằng không. Do đó, cả vectơ và đường thẳng xác định bởi phương trình chính tắc đều vuông góc với các trục Ôi Và Oz, tức là máy bay yOz .

Ví dụ 1. Viết phương trình đường thẳng trong không gian vuông góc với một mặt phẳng và đi qua giao điểm của mặt phẳng này với trục Oz .

Giải pháp. Hãy tìm giao điểm của mặt phẳng này với trục Oz. Vì điểm bất kỳ nằm trên trục Oz, có tọa độ , khi đó, giả sử trong phương trình đã cho của mặt phẳng x = y = 0, ta được 4 z- 8 = 0 hoặc z= 2 . Do đó, giao điểm của mặt phẳng này với trục Oz có tọa độ (0; 0; 2). Vì đường thẳng mong muốn vuông góc với mặt phẳng nên nó song song với vectơ pháp tuyến của nó. Do đó, vectơ chỉ hướng của đường thẳng có thể là vectơ pháp tuyến mặt phẳng đã cho.

Bây giờ hãy viết các phương trình cần thiết của đường thẳng đi qua một điểm MỘT= (0; 0; 2) theo hướng của vectơ:

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cho trước

Một đường thẳng có thể được xác định bởi hai điểm nằm trên đó Và Trong trường hợp này, vectơ chỉ hướng của đường thẳng có thể là vectơ . Khi đó các phương trình chính tắc của đường thẳng có dạng

.

Các phương trình trên xác định đường thẳng đi qua hai điểm cho trước.

Ví dụ 2. Viết phương trình đường thẳng trong không gian đi qua các điểm và .

Giải pháp. Hãy viết các phương trình cần thiết của đường thẳng theo dạng đã cho ở trên trong tài liệu tham khảo lý thuyết:

.

Vì , thì đường thẳng mong muốn vuông góc với trục Ôi .

Thẳng như giao tuyến của các mặt phẳng

Một đường thẳng trong không gian có thể được định nghĩa là đường giao nhau của hai mặt phẳng không song song và, tức là, là một tập hợp các điểm thỏa mãn hệ hai phương trình tuyến tính

Các phương trình của hệ còn gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng trong không gian.

Ví dụ 3. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng trong không gian cho bởi phương trình tổng quát

Giải pháp. Để viết phương trình chính tắc của một đường thẳng hay tương tự như phương trình của một đường thẳng đi qua hai điểm cho trước, bạn cần tìm tọa độ của hai điểm bất kỳ trên đường thẳng đó. Chúng có thể là giao điểm của một đường thẳng với hai mặt phẳng tọa độ bất kỳ, chẳng hạn yOz Và xOz .

Giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng yOz có một cơ bụng x= 0 . Do đó, giả sử trong hệ phương trình này x= 0, ta được hệ hai biến:

Quyết định của cô y = 2 , z= 6 cùng với x= 0 xác định một điểm MỘT(0; 2; 6) dòng mong muốn. Khi đó giả sử trong hệ phương trình đã cho y= 0, ta được hệ

Quyết định của cô x = -2 , z= 0 cùng với y= 0 xác định một điểm B(-2; 0; 0) giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng xOz .

Bây giờ hãy viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm MỘT(0; 2; 6) và B (-2; 0; 0) :

,

hoặc sau khi chia mẫu số cho -2:

,