Một điểm đối xứng với một điểm so với mặt phẳng thẳng. Các bài toán đơn giản nhất về đường thẳng trên mặt phẳng. Sự sắp xếp lẫn nhau của các đoạn thẳng. Góc giữa các đường thẳng. Cách tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

Một đường thẳng trong không gian luôn có thể được xác định là giao tuyến của hai mặt phẳng không song song. Nếu phương trình của một mặt phẳng, phương trình của mặt phẳng thứ hai thì phương trình của đường thẳng được cho ở dạng

ở đây không thẳng hàng
... Các phương trình này được gọi là phương trình tổng quát thẳng trong không gian.

Phương trình chính tắc của đường thẳng

Bất kỳ vectơ khác không nằm trên một đường thẳng cho trước hoặc song song với nó được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng này.

Nếu điểm được biết
đường thẳng và vectơ hướng của nó
thì phương trình chính tắc của đường thẳng có dạng:

. (9)

Phương trình tham số của một đường thẳng

Lập phương trình chính tắc của đường thẳng

.

Do đó, chúng ta thu được phương trình tham số của đường thẳng:

(10)

Các phương trình này rất hữu ích để tìm giao điểm của một đường thẳng và một mặt phẳng.

Phương trình của một đường thẳng đi qua hai điểm
và
giống như:

.

Góc giữa các đường thẳng

Góc giữa các đường thẳng

và

bằng góc giữa các vectơ chỉ phương của chúng. Do đó, nó có thể được tính bằng công thức (4):

Điều kiện để các đường thẳng song song:

.

Điều kiện vuông góc của mặt phẳng:

Khoảng cách của một điểm từ một đường thẳng

NS điểm được đưa ra
và thẳng

.

Từ phương trình chính tắc của đường thẳng, điểm
thuộc đường thẳng và vectơ chỉ phương của nó
... Khi đó khoảng cách của điểm
từ một đường thẳng bằng chiều cao của hình bình hành dựng trên vectơ và
... Kể từ đây,

.

Điều kiện giao nhau giữa dòng

Hai đường thẳng không song song

,

cắt nhau nếu và chỉ khi

.

Sự sắp xếp tương hỗ của một đường thẳng và một mặt phẳng.

Cho một đường thẳng đã cho
và máy bay. Mũi tiêm giữa chúng có thể được tìm thấy bằng công thức

.

Bài toán 73. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng

(11)

Dung dịch... Để viết được phương trình chính tắc của đường thẳng (9), cần biết điểm nào thuộc đường thẳng và vectơ chỉ phương của đường thẳng.

Tìm vectơ song song với đường thẳng đã cho. Vì nó phải vuông góc với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đã cho, tức là

,
, sau đó

.

Từ phương trình tổng quát của đường thẳng, chúng ta có
,
... sau đó

.

Kể từ thời điểm
bất kỳ điểm nào của một đường thẳng, thì tọa độ của nó phải thỏa mãn các phương trình của một đường thẳng và một trong số chúng có thể được xác định, ví dụ,
, hai tọa độ khác được tìm thấy từ hệ thống (11):

Kể từ đây,
.

Do đó, phương trình chính tắc của dòng mong muốn có dạng:

hoặc
.

Bài toán 74.

và
.

Dung dịch. Tọa độ của điểm được biết từ phương trình chính tắc của đường thẳng đầu tiên
thuộc đường thẳng và tọa độ của vectơ chỉ phương.
... Tọa độ của điểm cũng được biết đến từ phương trình chính tắc của đường thẳng thứ hai
và tọa độ của vectơ hướng
.

Khoảng cách giữa các đường thẳng song song bằng khoảng cách của một điểm
từ đường thẳng thứ hai. Khoảng cách này được tính theo công thức

.

Tìm tọa độ của vectơ
.

Chúng tôi tính toán sản phẩm chéo
:

.

Bài toán 75. Tìm điểm điểm đối xứng
tương đối thẳng

.

Dung dịch... Ta viết phương trình mặt phẳng vuông góc với đường thẳng đã cho và đi qua điểm ... Như vectơ pháp tuyến của nó bạn có thể lấy vectơ chỉ đạo của một đường thẳng. sau đó
... Kể từ đây,

Tìm một điểm
giao điểm của đường thẳng này và mặt phẳng P. Để làm điều này, chúng ta viết ra phương trình tham số của đường thẳng, sử dụng công thức (10), chúng ta thu được

Kể từ đây,
.

Để cho được
điểm đối xứng với điểm
so với một đường thẳng cho trước. Sau đó, điểm
điểm giữa
... Để tìm tọa độ của một điểm chúng tôi sử dụng các công thức cho tọa độ của trung điểm của đoạn:

,
,
.

Vì thế,
.

Bài toán 76. Viết phương trình mặt phẳng đi qua đường thẳng
và

a) thông qua điểm
;

b) vuông góc với mặt phẳng.

Dung dịch. Hãy để chúng tôi viết ra các phương trình tổng quát của dòng này. Để làm điều này, hãy xem xét hai điểm bằng nhau:

Điều này có nghĩa là mặt phẳng mong muốn thuộc một nhóm các mặt phẳng có máy phát điện và phương trình của nó có thể được viết dưới dạng (8):

sự kiếm tìm
và từ điều kiện máy bay đi qua điểm
do đó, tọa độ của nó phải thỏa mãn phương trình của mặt phẳng. Thay thế tọa độ của điểm
thành phương trình của chùm mặt phẳng:

Giá trị tìm thấy
thay thế trong phương trình (12). chúng ta nhận được phương trình của mặt phẳng mong muốn:

b) Tìm
và từ điều kiện là mặt phẳng mong muốn phải vuông góc với mặt phẳng. Vectơ pháp tuyến của một mặt phẳng đã cho
, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng mong muốn (xem phương trình của bó mặt phẳng (12).

Hai vectơ vuông góc với nhau nếu và chỉ khi tích chấm của chúng bằng không. Kể từ đây,

Thay thế giá trị tìm thấy
thành phương trình của chùm mặt phẳng (12). Chúng tôi nhận được phương trình của mặt phẳng mong muốn:

Nhiệm vụ cho giải pháp độc lập

Bài toán 77.Đưa phương trình đường thẳng về dạng chính tắc:

1)
2)

Bài toán 78. Viết phương trình tham số của đường thẳng
, nếu như:

1)
,
; 2)
,
.

Nhiệm vụ 79... Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm
vuông góc với thẳng

Bài toán 80. Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm
vuông góc với mặt phẳng.

Bài toán 81. Tìm góc giữa các đường thẳng:

1)
và
;

2)
và

Bài toán 82. Chứng minh tính song song của các đường thẳng:

và
.

Bài toán 83. Chứng minh tính vuông góc của các đường:

và

Bài toán 84. Tính khoảng cách điểm
từ đường thẳng:

1)
; 2)
.

Bài toán 85. Tính khoảng cách giữa các đường thẳng song song:

và
.

Nhiệm vụ 86... Trong phương trình của đường thẳng
xác định tham số sao cho đường thẳng này giao với đường thẳng và tìm giao điểm của chúng.

Nhiệm vụ 87... Thể hiện thẳng
song song với mặt phẳng
và thẳng
nằm trong mặt phẳng này.

Bài tập 88... Tìm điểm điểm đối xứng liên quan đến máy bay
, nếu như:

1)
, ;

2)
, ;.

Bài toán 89. Viết phương trình của đường trung trực thả từ điểm
trên một đường thẳng
.

Bài tập 90... Tìm điểm điểm đối xứng
tương đối thẳng
.

NASA sẽ khởi động một chuyến thám hiểm sao Hỏa vào tháng 7 năm 2020. Tàu vũ trụ sẽ đưa đến sao Hỏa một tàu sân bay điện tử với tên của tất cả các thành viên đã đăng ký trong đoàn thám hiểm.

Nếu bài đăng này giải quyết được vấn đề của bạn hoặc bạn chỉ thích nó, hãy chia sẻ liên kết đến nó với bạn bè của bạn trên mạng xã hội.

Một trong những biến thể mã này phải được sao chép và dán vào mã của trang web của bạn, tốt nhất là giữa các thẻ và hoặc ngay sau thẻ ... Theo tùy chọn đầu tiên, MathJax tải nhanh hơn và làm chậm trang ít hơn. Nhưng tùy chọn thứ hai sẽ tự động theo dõi và tải các phiên bản MathJax mới nhất. Nếu bạn chèn mã đầu tiên, thì nó sẽ cần được cập nhật định kỳ. Nếu bạn chèn mã thứ hai, các trang sẽ tải chậm hơn, nhưng bạn sẽ không cần phải liên tục theo dõi các bản cập nhật của MathJax.

Cách dễ nhất để kết nối MathJax là trong Blogger hoặc WordPress: trong bảng điều khiển của trang web của bạn, thêm tiện ích con được thiết kế để chèn mã JavaScript của bên thứ ba, sao chép phiên bản đầu tiên hoặc thứ hai của mã tải được trình bày ở trên vào đó và đặt tiện ích con gần hơn phần đầu của mẫu (nhân tiện, điều này không cần thiết vì tập lệnh MathJax được tải không đồng bộ). Đó là tất cả. Bây giờ, hãy tìm hiểu cú pháp đánh dấu MathML, LaTeX và ASCIIMathML và bạn đã sẵn sàng để nhúng các công thức toán học vào các trang web của trang web của mình.

Một đêm giao thừa nữa ... thời tiết băng giá và những bông tuyết trên khung cửa sổ ... Tất cả những điều này đã thôi thúc tôi viết lại về ... Fractals, và những gì Wolfram Alpha biết về nó. Có một bài báo thú vị về điều này, trong đó có các ví dụ về cấu trúc fractal hai chiều. Ở đây chúng ta sẽ xem xét các ví dụ phức tạp hơn về Fractal 3D.

Fractal có thể được hình dung (được mô tả) như một hình hoặc phần thân hình học (nghĩa là cả hai đều là một tập hợp, trong trường hợp này là một tập hợp các điểm), các chi tiết của chúng có hình dạng giống như hình ban đầu. Tức là nó là một cấu trúc tự tương tự, khi xem xét các chi tiết có phóng đại, chúng ta sẽ thấy hình dạng giống như khi không phóng đại. Trong khi đối với một hình dạng hình học thông thường (không phải là Fractal), khi phóng to, chúng ta sẽ thấy những chi tiết có hình dạng đơn giản hơn hình dạng ban đầu. Ví dụ: ở độ phóng đại đủ cao, một phần của hình elip trông giống như một đoạn thẳng. Điều này không xảy ra với các Fractal: ở bất kỳ mức tăng nào của chúng, chúng ta sẽ lại thấy cùng một hình dạng phức tạp, sẽ lặp đi lặp lại với mỗi lần tăng.

Benoit Mandelbrot, người sáng lập ra khoa học về Fractal, đã viết trong bài báo của mình về Fractals và Nghệ thuật cho Khoa học: “Fractal là những hình dạng hình học có độ phức tạp về chi tiết như ở dạng chung. Một phần của Fractal sẽ được phóng to bằng toàn bộ, nó sẽ giống như một tổng thể, hoặc chính xác, hoặc có thể có một chút biến dạng. "

Oh-oh-oh-oh-oh ... và tin, nếu bạn tự đọc câu đó =) Nhưng sau đó thư giãn sẽ giúp ích, đặc biệt là hôm nay mua phụ kiện phù hợp. Vì vậy, chúng ta sẽ tiếp tục phần đầu tiên, tôi hy vọng, vào cuối bài viết, tôi sẽ duy trì một tâm trí vui vẻ.

Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Trường hợp khán giả hát theo điệp khúc. Hai đường thẳng có thể:

1) trận đấu;

2) song song:;

3) hoặc cắt nhau tại một điểm duy nhất:.

Trợ giúp cho người giả : hãy nhớ ký hiệu toán học Giao lộ, anh ấy sẽ gặp nhau rất thường xuyên. Bản ghi chỉ ra rằng đường thẳng giao với đường thẳng tại một điểm.

Làm thế nào để xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng?

Hãy bắt đầu với trường hợp đầu tiên:

Hai đường thẳng trùng nhau khi và chỉ khi các hệ số tương ứng của chúng tỉ lệ thuận với nhau, nghĩa là, có một số lượng "lambdas" như vậy mà các

Xét các đoạn thẳng và lập ba phương trình từ các hệ số tương ứng:. Do đó, từ mỗi phương trình, các đường thẳng này trùng nhau.

Thật vậy, nếu tất cả các hệ số của phương trình nhân với -1 (thay đổi dấu hiệu) và tất cả các hệ số của phương trình giảm đi 2, bạn nhận được phương trình tương tự:.

Trường hợp thứ hai, khi các đường thẳng song song:

Hai đường thẳng song song nếu và chỉ khi hệ số của chúng đối với các biến tỷ lệ: , nhưng.

Ví dụ, hãy xem xét hai dòng. Chúng tôi kiểm tra tỷ lệ của các hệ số tương ứng cho các biến:

Tuy nhiên, nó là khá rõ ràng rằng.

Và trường hợp thứ ba, khi các đường cắt nhau:

Hai đường thẳng cắt nhau nếu và chỉ khi hệ số của chúng đối với các biến KHÔNG tỷ lệ với nhau nghĩa là KHÔNG có một giá trị lambda nào mà các giá trị bằng nhau được đáp ứng

Vì vậy, đối với các đoạn thẳng, chúng ta sẽ lập hệ thống:

Từ phương trình đầu tiên, nó theo sau đó, và từ phương trình thứ hai :, do đó, hệ thống không nhất quán (không có giải pháp). Như vậy, hệ số của các biến không tỷ lệ thuận với nhau.

Kết luận: các đường cắt nhau

Trong các bài toán thực tế, bạn có thể sử dụng sơ đồ giải pháp vừa xem xét. Nhân tiện, nó rất giống với thuật toán kiểm tra độ thẳng hàng của vectơ mà chúng ta đã xem xét trong bài học Khái niệm về sự phụ thuộc tuyến tính (không) của vectơ. Cơ sở của vectơ ... Nhưng có một bao bì văn minh hơn:

ví dụ 1

Tìm vị trí tương đối của các đường thẳng:

Dung dịch dựa trên việc nghiên cứu vectơ chỉ phương của đường thẳng:

a) Từ đẳng thức ta tìm được vectơ chỉ phương của các đường thẳng: .

, do đó các vectơ không thẳng hàng và các đường thẳng cắt nhau.

Để đề phòng, tôi sẽ đặt một viên đá có con trỏ ở ngã tư đường:

Những người còn lại nhảy qua hòn đá và đi tiếp, đến thẳng Kashchey the Immortal =)

b) Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng:

Các đường có vectơ cùng hướng, có nghĩa là chúng song song hoặc trùng nhau. Ở đây cũng không cần đếm yếu tố quyết định.

Rõ ràng, các hệ số cho ẩn số là tỷ lệ thuận, trong khi.

Hãy cùng chúng tôi tìm hiểu xem đẳng thức có đúng không:

Vì vậy,

c) Tìm vectơ chỉ phương của các đường thẳng:

Hãy tính định thức bao gồm tọa độ của các vectơ này:
do đó các vectơ hướng thẳng hàng. Các đường thẳng song song hoặc trùng nhau.

Hệ số tỷ lệ "lambda" dễ dàng nhìn thấy trực tiếp từ tỷ lệ của các vectơ hướng thẳng hàng. Tuy nhiên, nó cũng có thể được tìm thấy thông qua các hệ số của chính các phương trình: .

Bây giờ chúng ta hãy tìm hiểu xem đẳng thức là đúng. Cả hai điều khoản miễn phí đều bằng 0, vì vậy:

Giá trị kết quả thỏa mãn phương trình này (bất kỳ số nào thường thỏa mãn nó).

Do đó, các dòng trùng khớp.

Bài giải:

Rất nhanh chóng, bạn sẽ học (hoặc thậm chí đã học) cách giải quyết vấn đề được coi là bằng miệng theo nghĩa đen chỉ trong vài giây. Về vấn đề này, tôi thấy không có lý do gì để đưa ra bất cứ điều gì cho một giải pháp độc lập, tốt hơn là nên đặt một viên gạch quan trọng khác trong nền tảng hình học:

Làm thế nào để dựng một đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước?

Vì sự thiếu hiểu biết của nhiệm vụ đơn giản này, Nightingale the Robber đã trừng phạt nghiêm khắc.

Ví dụ 2

Đường thẳng được cho bởi phương trình. Lập phương trình đường thẳng song song đi qua một điểm.

Dung dịch: Hãy biểu thị thư trực tiếp chưa biết. Điều kiện nói gì về cô ấy? Đường thẳng đi qua điểm. Và nếu các đường thẳng song song thì rõ ràng vectơ chỉ phương của đường thẳng "tse" cũng thích hợp để dựng đường thẳng "de".

Chúng tôi lấy ra véc tơ chỉ phương từ phương trình:

Bài giải:

Hình dạng của ví dụ trông đơn giản:

Xác minh phân tích bao gồm các bước sau:

1) Chúng tôi kiểm tra xem các đường thẳng có véc tơ chỉ phương giống nhau hay không (nếu phương trình của đường thẳng không được đơn giản hóa một cách hợp lý, thì các véc tơ sẽ thẳng hàng).

2) Kiểm tra xem điểm có thỏa mãn phương trình thu được không.

Việc xem xét phân tích trong hầu hết các trường hợp đều dễ dàng thực hiện bằng miệng. Nhìn vào hai phương trình, nhiều bạn sẽ nhanh chóng hình dung ra độ song song của các đường thẳng mà không cần hình vẽ.

Ví dụ cho giải pháp tự làm hôm nay sẽ mang tính sáng tạo. Bởi vì bạn vẫn phải cạnh tranh với Baba Yaga, và cô ấy, bạn biết đấy, là một người yêu thích tất cả các loại câu đố.

Ví dụ 3

Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm song song với đường thẳng nếu

Có một giải pháp hợp lý và không hợp lý cho lắm. Cách ngắn nhất là ở cuối bài.

Chúng tôi đã làm việc một chút với các đường thẳng song song và sẽ quay lại chúng sau. Trường hợp các đường thẳng trùng nhau ít được quan tâm, vì vậy hãy xem xét một vấn đề mà bạn đã biết rõ từ chương trình học ở trường:

Làm thế nào để tìm được giao điểm của hai đường thẳng?

Nếu thẳng cắt nhau tại một điểm, thì tọa độ của nó là nghiệm hệ phương trình tuyến tính

Làm thế nào để tìm giao điểm của các đường? Giải quyết hệ thống.

Rất nhiều cho bạn ý nghĩa hình học của một hệ hai phương trình tuyến tính với hai ẩn số Là hai đường thẳng cắt nhau (thường gặp nhất) trên một mặt phẳng.

Ví dụ 4

Tìm giao điểm của các đường

Dung dịch: Có hai cách giải quyết - đồ họa và phân tích.

Cách đồ họa là chỉ cần vẽ các đường dữ liệu và tìm ra điểm giao nhau trực tiếp từ hình vẽ:

Đây là quan điểm của chúng tôi:. Để kiểm tra, bạn nên thay thế tọa độ của nó trong mỗi phương trình của đường thẳng, chúng phải phù hợp với cả ở đó và ở đó. Nói cách khác, tọa độ của một điểm là nghiệm của hệ. Về cơ bản, chúng tôi đã xem xét một cách đồ họa để giải quyết hệ phương trình tuyến tính với hai phương trình, hai ẩn số.

Phương pháp đồ họa, tất nhiên, không phải là xấu, nhưng có những nhược điểm đáng chú ý. Không, vấn đề không phải là học sinh lớp bảy quyết định như vậy, vấn đề là sẽ mất thời gian để có được một bức vẽ CHÍNH XÁC và CHÍNH XÁC. Ngoài ra, một số đoạn thẳng không dễ dựng như vậy và bản thân giao điểm có thể nằm ở đâu đó trong vương quốc thứ ba mươi bên ngoài trang vở.

Do đó, việc tìm kiếm giao điểm bằng phương pháp phân tích sẽ thích hợp hơn. Hãy giải quyết hệ thống:

Để giải hệ thống, phương pháp cộng từng số hạng của phương trình đã được sử dụng. Để xây dựng các kỹ năng liên quan, hãy truy cập bài học Làm thế nào để giải một hệ thống phương trình?

Bài giải:

Kiểm tra là tầm thường - tọa độ của giao điểm phải thỏa mãn mọi phương trình trong hệ thống.

Ví dụ 5

Tìm giao điểm của các đường nếu chúng cắt nhau.

Đây là một ví dụ cho giải pháp tự làm. Nó là thuận tiện để chia nhiệm vụ thành nhiều giai đoạn. Việc phân tích tình trạng bệnh cho thấy điều gì cần thiết:
1) Lập phương trình của đường thẳng.
2) Lập phương trình của đường thẳng.
3) Tìm vị trí tương đối của các đường thẳng.
4) Nếu các đường thẳng cắt nhau thì tìm giao điểm.

Sự phát triển của một thuật toán của các hành động là điển hình cho nhiều bài toán hình học, và tôi sẽ nhiều lần tập trung vào vấn đề này.

Giải pháp đầy đủ và câu trả lời ở cuối hướng dẫn:

Một đôi giày vẫn chưa bị mòn, khi chúng ta đến phần thứ hai của bài học:

Các đường thẳng vuông góc. Khoảng cách từ điểm đến dòng.
Góc giữa các đường thẳng

Hãy bắt đầu với một nhiệm vụ điển hình và rất quan trọng. Trong phần đầu tiên, chúng ta đã học cách dựng một đường thẳng song song với đường thẳng này, và bây giờ cái chòi trên chân gà sẽ quay 90 độ:

Làm thế nào để dựng một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước?

Ví dụ 6

Đường thẳng được cho bởi phương trình. Lập phương trình đường trung trực qua một điểm.

Dung dịch: Theo điều kiện nó được biết rằng. Sẽ rất hay nếu bạn tìm được vectơ chỉ phương của đường thẳng. Vì các đường thẳng vuông góc nên mẹo rất đơn giản:

Từ phương trình "loại bỏ" vectơ pháp tuyến:, sẽ là vectơ chỉ phương của đường thẳng.

Chúng ta hãy lập phương trình của một đường thẳng bởi một điểm và một vectơ chỉ phương:

Bài giải:

Hãy mở rộng bản phác thảo hình học:

Hừm ... Bầu trời cam, biển cam, lạc đà cam.

Xác minh phân tích của giải pháp:

1) Lấy ra các vectơ chỉ phương từ các phương trình và với sự giúp đỡ sản phẩm chấm của các vectơ chúng ta đi đến kết luận rằng các đường thẳng thực sự vuông góc:.

Nhân tiện, bạn có thể sử dụng các vectơ bình thường, nó thậm chí còn dễ dàng hơn.

2) Kiểm tra xem điểm có thỏa mãn phương trình thu được không .

Việc kiểm tra, một lần nữa, rất dễ thực hiện bằng lời nói.

Ví dụ 7

Tìm giao điểm của các đường vuông góc nếu biết phương trình và chỉ.

Đây là một ví dụ cho giải pháp tự làm. Có một số hành động trong nhiệm vụ, vì vậy sẽ thuận tiện để rút ra giải pháp từng điểm.

Cuộc hành trình thú vị của chúng tôi vẫn tiếp tục:

Khoảng cách từ điểm đến dòng

Trước mắt chúng ta là một dải sông thẳng tắp và nhiệm vụ của chúng ta là đạt được nó bằng con đường ngắn nhất. Không có chướng ngại vật và con đường tối ưu nhất sẽ là chuyển động dọc theo đường vuông góc. Tức là khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng là độ dài của đường vuông góc.

Khoảng cách trong hình học theo truyền thống được biểu thị bằng chữ cái Hy Lạp "ro", ví dụ: - khoảng cách từ điểm "em" đến đường thẳng "de".

Khoảng cách từ điểm đến dòng được thể hiện bằng công thức

Ví dụ 8

Tìm khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Dung dịch: tất cả những gì cần thiết là thay thế cẩn thận các số vào công thức và thực hiện các phép tính:

Bài giải:

Hãy thực hiện bản vẽ:

Khoảng cách từ điểm đến đoạn thẳng tìm được chính xác bằng độ dài của đoạn thẳng màu đỏ. Nếu bạn vẽ một bản vẽ trên giấy ca rô theo tỷ lệ 1 đơn vị. = 1 cm (2 ô) thì đo được khoảng cách bằng thước thường.

Hãy xem xét một nhiệm vụ khác cho cùng một bản thiết kế:

Nhiệm vụ là tìm tọa độ của một điểm đối xứng với một điểm đối với một đường thẳng ... Tôi đề xuất tự thực hiện các hành động, nhưng tôi sẽ phác thảo thuật toán giải với kết quả trung gian:

1) Tìm đường thẳng vuông góc với đường thẳng.

2) Tìm giao điểm của các đường thẳng: .

Cả hai hành động được đề cập chi tiết trong bài học này.

3) Điểm là trung điểm của đoạn thẳng. Chúng ta biết tọa độ của điểm giữa và điểm cuối. Qua công thức tọa độ trung điểm của đoạn thẳng chúng ta tìm thấy.

Sẽ không thừa nếu kiểm tra rằng khoảng cách cũng là 2,2 đơn vị.

Khó khăn ở đây có thể nảy sinh trong tính toán, nhưng trong tháp, một máy tính vi mô sẽ giúp ích rất nhiều, cho phép bạn đếm các phân số thông thường. Nhiều lần được tư vấn, sẽ tư vấn và một lần nữa.

Làm thế nào để tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song?

Ví dụ 9

Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

Đây là một ví dụ khác cho một giải pháp độc lập. Hãy để tôi gợi ý cho bạn một chút: có vô số cách để giải quyết nó. Sẽ thảo luận ở cuối bài học, nhưng tốt hơn hết hãy thử tự đoán xem, tôi nghĩ bạn đã phân tán sự khéo léo của mình khá tốt.

Góc giữa hai đường thẳng

Mọi góc độ đều là một điểm nhấn:


Trong hình học, góc giữa hai đường thẳng được coi là góc NHỎ NHẤT, từ đó nó tự động theo đó không thể là góc tù. Trong hình vẽ, góc được chỉ ra bởi vòng cung màu đỏ không được tính là góc giữa các đường thẳng cắt nhau. Và người hàng xóm "xanh" của anh ta được coi là như vậy, hoặc định hướng đối lập Góc "đỏ thẫm".

Nếu các đường thẳng vuông góc với nhau thì có thể lấy góc bất kỳ trong 4 góc làm góc giữa chúng.

Các góc khác nhau như thế nào? Sự định hướng. Đầu tiên, hướng của góc "cuộn" về cơ bản là quan trọng. Thứ hai, một góc định hướng âm được viết với một dấu trừ, ví dụ, nếu.

Tại sao tôi nói với bạn điều này? Có vẻ như khái niệm thông thường về một góc có thể được sử dụng. Thực tế là trong các công thức mà chúng ta sẽ tìm các góc, bạn có thể dễ dàng nhận được kết quả âm, và điều này không làm bạn ngạc nhiên. Một góc có dấu trừ không tệ hơn và có một ý nghĩa hình học rất cụ thể. Trong hình vẽ, đối với một góc âm, hãy đảm bảo chỉ định hướng của nó bằng một mũi tên (theo chiều kim đồng hồ).

Làm thế nào để tìm góc giữa hai đường thẳng? Có hai công thức làm việc:

Ví dụ 10

Tìm góc giữa các đường thẳng

Dung dịch và Phương pháp một

Xét hai đường thẳng cho bởi phương trình ở dạng tổng quát:

Nếu thẳng không vuông góc, sau đó định hướng góc giữa chúng có thể được tính bằng công thức:

Chúng ta hãy chú ý đến mẫu số - đây chính xác là sản phẩm vô hướng vectơ chỉ phương của đường thẳng:

Nếu, mẫu số của công thức biến mất, và các vectơ sẽ trực giao và các đường thẳng vuông góc. Đó là lý do tại sao một bảo lưu đã được đưa ra về tính không vuông góc của các đường thẳng trong công thức.

Dựa trên những điều trên, có thể thuận tiện để sắp xếp một giải pháp theo hai bước:

1) Tính tích vô hướng của vectơ chỉ phương của đường thẳng:
, do đó các đường thẳng không vuông góc.

2) Góc giữa các đường thẳng được tìm theo công thức:

Sử dụng hàm nghịch đảo, có thể dễ dàng tìm thấy góc của chính nó. Trong trường hợp này, chúng tôi sử dụng độ lẻ của arctangent (xem. Đồ thị và tính chất của các hàm cơ bản ):

Bài giải:

Trong câu trả lời, chúng tôi chỉ ra giá trị chính xác, cũng như giá trị gần đúng (tốt nhất là cả độ và radian), được tính bằng máy tính.

Chà, trừ, vậy trừ đi, không sao đâu. Đây là một minh họa hình học:

Không có gì đáng ngạc nhiên khi góc quay lại có hướng âm, bởi vì trong câu lệnh bài toán, số đầu tiên là một đường thẳng và sự "xoắn" của góc bắt đầu với nó.

Nếu bạn thực sự muốn nhận được một góc dương, bạn cần phải hoán đổi các đoạn thẳng, tức là, lấy các hệ số từ phương trình thứ hai , và các hệ số được lấy từ phương trình đầu tiên. Tóm lại, bạn cần bắt đầu bằng một đường thẳng .