Вычислить площадь криволинейной трапеции ограниченной графиками функций. Площадь криволинейной трапеции численно равна определенному интегралу. Определенный интеграл. Как вычислить площадь фигуры
В разделе 4.3 уже отмечалось, что определенный интеграл () от
неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции = (), прямыми = , = и= 0.
Пример 4.24. Вычислить площадь фигуры, заключенной между осью и синусоидой = sin , (рисунок 4.6 ).
sin = − cos 0 |
= −(cos − cos 0) = 2. |
|||
Если фигура не является криволинейной трапецией, то ее площадь стараются представить в виде суммы или разности площадей фигур, являющихся криволинейными трапециями. В частности, справедлива теорема.
Теорема 4.13. Если фигура ограничена снизу и сверху графиками непрерывных функций = 1 (), = 2 () (не обязательно неотрицательных, (рисунок 4.7 ), то ее площадь можно найти по формуле
2 () − 1 () .
Пример 4.25. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой = 4 и прямыми = и = 4.
y = f2 (x) |
|||||||||||
y = f1 (x) |
|||||||||||
Рисунок 4.6 |
Рисунок 4.7 |
||||||||||
Решение. Построим |
плоскости |
(рисунок 4.8 ). Очевидно, |
|||||||||
1 () = 4 , 2 () = , |
|||||||||||
= ∫ |
2 − 4 ln |
2 = 8 − 4 ln 4 − (2 − 4 ln 2) = 2(3 − 2 ln 2). |
|||||||||
Часть I. Теория
Глава 4. Теория интегрирования 4.4. Приложения интеграла. Несобственные интегралы
Рисунок 4.8 |
4.4.2. Длина дуги кривой
Вычисление длин кривых также приводит к интегралам. Пусть функция= () непрерывна на отрезке [ ; ] и дифференцируема на интервале (;). Ее график представляет некоторую кривую, (; ()), (; ()) (рисунок 4.9 ). Кривую разобьем точками 0 = , 1 , 2 , . . . , = напроизвольных частей. Соединим две соседние точки −1 и хордами,= 1, 2, . . . , . Получим -звенную ломаную, вписанную в кривую. Пусть
есть длина хорды −1 , = 1, 2, . . . , = max16 6 . Длина ломаной будет выражаться формулой
Естественно определить длину кривой как предельное значение длин ломаных, когда → 0, т.е.
Пусть есть абсциссы точек, = 1, 2, . . . , |
||||||||
< < . . . < = . |
||||||||
Тогда координаты точек есть (; ()), и, пользуясь формулой для расстояния между двумя точками , найдем
C n−1 |
|||
C k 1C k |
|||
Следовательно, есть интегральная сумма для функции √ 1 + (′ ())2 на отрезке [ ; ]. Тогда на основании равенств (4.31) имеем:
= ∫ |
|||||||
1 + (′ ())2 |
|||||||
Пример 4.26. Найти длину графика = 2 |
между = 0 и = 3. |
||||||
Решение. Построим график указанной функции (рисунок 4.10 ).
y = 2 |
√x 3 |
|
Рисунок 4.10
По формуле (4.33) находим: |
|||||||||||||||||||
= ∫ 3 |
= ∫ 3 √ |
= ∫ 3 √ |
|||||||||||||||||
1 + (2 1 )2 |
|||||||||||||||||||
1 + (′ ())2 |
|||||||||||||||||||
(+ 1)2 |
3 (+ 1)2 0 = 3 (8 − 1) = 3 . |
||||||||||||||||||
У этого термина существуют и другие значения, см. Трапеция (значения). Трапеция (от др. греч. τραπέζιον «столик»; … Википедия
I Площадь одна из основных величин, связанных с геометрическими фигурами. В простейших случаях измеряется числом заполняющих плоскую фигуру единичных квадратов, т. е. квадратов со стороной, равной единице длины. Вычисление П.… …
Методы получения численных решений различных задач путём графических построений. Г. в. (графическое умножение, графическое решение уравнений, графическое интегрирование и т. д.) представляют систему построений, повторяющих или заменяющих… … Большая советская энциклопедия
Площадь, одна из основных величин, связанных с геометрическими фигурами. В простейших случаях измеряется числом заполняющих плоскую фигуру единичных квадратов, т. е. квадратов со стороной, равной единице длины. Вычисление П. было уже в древности… … Большая советская энциклопедия
Теорема Грина устанавливает связь между криволинейным интегралом по замкнутому контуру C и двойным интегралом по области D, ограниченной этим контуром. Фактически, эта теорема является частным случаем более общей теоремы Стокса. Теорема названа в … Википедия
Переходим к рассмотрению приложений интегрального исчисления. На этом уроке мы разберем типовую и наиболее распространенную задачу вычисления площади плоской фигуры с помощью определенного интеграла . Наконец-то все ищущие смысл в высшей математике – да найдут его. Мало ли. Придется вот в жизни приближать дачный участок элементарными функциями и находить его площадь с помощью определенного интеграла.
Для успешного освоения материала, необходимо:
1) Разбираться в неопределенном интеграле хотя бы на среднем уровне. Таким образом, чайникам для начала следует ознакомиться с уроком Не.
2) Уметь применять формулу Ньютона-Лейбница и вычислять определенный интеграл. Наладить теплые дружеские отношения с определенными интегралами можно на странице Определенный интеграл. Примеры решений . Задание «вычислить площадь с помощью определенного интеграла» всегда предполагает построение чертежа , поэтому актуальным вопросом будут также ваши знания и навыки построения чертежей. Как минимум, надо уметь строить прямую, параболу и гиперболу.
Начнем с криволинейной трапеции. Криволинейной трапеция - это плоская фигура, ограниченная графиком некоторой функции y = f (x ), осью OX и линиями x = a ; x = b .
Площадь криволинейной трапеции численно равна определенному интегралу
У любого определенного интеграла (который существует) есть очень хороший геометрический смысл. На уроке Определенный интеграл. Примеры решений мы говорили, что определенный интеграл – это число. А сейчас пришла пора констатировать еще один полезный факт. С точки зрения геометрии определенный интеграл – это ПЛОЩАДЬ . То есть, определенному интегралу (если он существует) геометрически соответствует площадь некоторой фигуры . Рассмотрим определенный интеграл
Подынтегральная функция
задает на плоскости кривую (её при желании можно начертить), а сам определенный интеграл численно равен площади соответствующей криволинейной трапеции.
Пример 1
, , , .
Это типовая формулировка задания. Важнейший момент решения – построение чертежа . Причем, чертеж необходимо построить ПРАВИЛЬНО .
При построении чертежа я рекомендую следующий порядок: сначала лучше построить все прямые (если они есть) и только потом – параболы, гиперболы, графики других функций. С техникой поточечного построения можно ознакомиться в справочном материале Графики и свойства элементарных функций . Там же можно найти очень полезный применительно к нашему уроку материал – как быстро построить параболу.
В данной задаче решение может выглядеть так.
Выполним чертеж (обратите внимание, что уравнение y = 0 задает ось OX ):
Штриховать криволинейную трапецию не будем, здесь очевидно, о какой площади идет речь. Решение продолжается так:
На отрезке [-2; 1] график функции y = x 2 + 2 расположен над осью OX , поэтому:
Ответ: .
У кого возникли трудности с вычислением определенного интеграла и применением формулы Ньютона-Лейбница
,
обратитесь к лекции Определенный интеграл. Примеры решений . После того, как задание выполнено, всегда полезно взглянуть на чертеж и прикинуть, реальный ли получился ответ. В данном случае «на глазок» подсчитываем количество клеточек в чертеже – ну, примерно 9 наберётся, похоже на правду. Совершенно понятно, что если бы у нас получился, скажем, ответ: 20 квадратных единиц, то, очевидно, что где-то допущена ошибка – в рассматриваемую фигуру 20 клеточек явно не вмещается, от силы десяток. Если ответ получился отрицательным, то задание тоже решено некорректно.
Пример 2
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями xy = 4, x = 2, x = 4 и осью OX .
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.
Что делать, если криволинейная трапеция расположена под осью OX ?
Пример 3
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = e - x , x = 1 и координатными осями.
Решение: Выполним чертеж:
Если криволинейная трапеция полностью расположена под осью OX , то её площадь можно найти по формуле:
В данном случае:
.
Внимание! Не следует путать два типа задач:
1) Если Вам предложено решить просто определенный интеграл без всякого геометрического смысла, то он может быть отрицательным.
2) Если Вам предложено найти площадь фигуры с помощью определенного интеграла, то площадь всегда положительна! Именно поэтому в только что рассмотренной формуле фигурирует минус.
На практике чаще всего фигура расположена и в верхней и в нижней полуплоскости, а поэтому, от простейших школьных задачек переходим к более содержательным примерам.
Пример 4
Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями y = 2x – x 2 , y = -x .
Решение: Сначала нужно выполнить чертеж. При построении чертежа в задачах на площадь нас больше всего интересуют точки пересечения линий. Найдем точки пересечения параболы y = 2x – x 2 и прямой y = -x . Это можно сделать двумя способами. Первый способ – аналитический. Решаем уравнение:
Значит, нижний предел интегрирования a = 0, верхний предел интегрирования b = 3. Часто выгоднее и быстрее построить линии поточечно, при этом пределы интегрирования выясняются как бы «сами собой». Тем не менее, аналитический способ нахождения пределов все-таки приходится иногда применять, если, например, график достаточно большой, или поточенное построение не выявило пределов интегрирования (они могут быть дробными или иррациональными). Возвращаемся к нашей задаче: рациональнее сначала построить прямую и только потом параболу. Выполним чертеж:
Повторимся, что при поточечном построении пределы интегрирования чаще всего выясняются «автоматоматически».
А теперь рабочая формула:
Если на отрезке [a ; b ] некоторая непрерывная функция f (x ) больше либо равна некоторой непрерывной функции g (x ), то площадь соответствующей фигуры можно найти по формуле:
Здесь уже не надо думать, где расположена фигура – над осью или под осью, а важно, какой график ВЫШЕ (относительно другого графика), а какой – НИЖЕ .
В рассматриваемом примере очевидно, что на отрезке парабола располагается выше прямой, а поэтому из 2x – x 2 необходимо вычесть –x .
Завершение решения может выглядеть так:
Искомая фигура ограничена параболой y = 2x – x 2 сверху и прямой y = -x снизу.
На отрезке 2x – x 2 ≥ -x . По соответствующей формуле:
Ответ: .
На самом деле, школьная формула для площади криволинейной трапеции в нижней полуплоскости (см. пример №3) – частный случай формулы
.
Поскольку ось OX задается уравнением y = 0, а график функции g (x ) расположен ниже оси OX , то
.
А сейчас пара примеров для самостоятельного решения
Пример 5
Пример 6
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
В ходе решения задач на вычисление площади с помощью определенного интеграла иногда случается забавный казус. Чертеж выполнен правильно, расчеты – правильно, но, по невнимательности,… найдена площадь не той фигуры.
Пример 7
Сначала выполним чертеж:
Фигура, площадь которой нам нужно найти, заштрихована синим цветом (внимательно смотрите на условие – чем ограничена фигура!). Но на практике, по невнимательности, нередко решают, что нужно найти площадь фигуры, которая заштрихована зеленым цветом!
Этот пример еще и полезен тем, что в нём площадь фигуры считается с помощью двух определенных интегралов. Действительно:
1) На отрезке [-1; 1] над осью OX расположен график прямой y = x +1;
2) На отрезке над осью OX расположен график гиперболы y = (2/x ).
Совершенно очевидно, что площади можно (и нужно) приплюсовать, поэтому:
Ответ:
Пример 8
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
Представим уравнения в «школьном» виде
и выполним поточечный чертеж:
Из чертежа видно, что верхний предел у нас «хороший»: b = 1.
Но чему равен нижний предел?! Понятно, что это не целое число, но какое?
Может быть, a =(-1/3)? Но где гарантия, что чертеж выполнен с идеальной точностью, вполне может оказаться что a =(-1/4). А если мы вообще неправильно построили график?
В таких случаях приходиться тратить дополнительное время и уточнять пределы интегрирования аналитически.
Найдем точки пересечения графиков
Для этого решаем уравнение:
.
Следовательно, a =(-1/3).
Дальнейшее решение тривиально. Главное, не запутаться в подстановках и знаках. Вычисления здесь не самые простые. На отрезке
, ,
по соответствующей формуле:
Ответ:
В заключение урока, рассмотрим два задания сложнее.
Пример 9
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
Решение: Изобразим данную фигуру на чертеже.
Для поточечного построения чертежа необходимо знать внешний вид синусоиды. Вообще, полезно знать графики всех элементарных функций, а также некоторые значения синуса. Их можно найти в таблице значений тригонометрических функций . В ряде случаев (например, в этом) допускается построение схематического чертежа, на котором принципиально правильно должны быть отображены графики и пределы интегрирования.
С пределами интегрирования здесь проблем нет, они следуют прямо из условия:
– «икс» изменяется от нуля до «пи». Оформляем дальнейшее решение:
На отрезке график функции y = sin 3 x расположен над осью OX , поэтому:
(1) Как интегрируются синусы и косинусы в нечетных степенях, можно посмотреть на уроке Интегралы от тригонометрических функций . Отщипываем один синус.
(2) Используем основное тригонометрическое тождество в виде
(3) Проведем замену переменной t = cos x , тогда: расположен над осью , поэтому:
.
.
Примечание: обратите внимание, как берется интеграл от тангенса в кубе, здесь использовано следствие основного тригонометрического тождества
.
Пусть функция неотрицательна и непрерывна на отрезке . Тогда, согласно геометрическому смыслу определенного интеграла, площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком этой функции, снизу – осью , слева и справа – прямыми и (см. рис. 2) вычисляется по формуле
Пример 9. Найти площадь фигуры, ограниченной линией и осью .
Решение . Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз. Построим ее (рис. 3). Чтобы определить пределы интегрирования, найдем точки пересечения линии (параболы) с осью (прямой ). Для этого решаем систему уравнений
Получаем: , откуда , ; следовательно, , .
Рис. 3
Площадь фигуры находим по формуле (5):
Если функция неположительна и непрерывна на отрезке , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной снизу графиком данной функции, сверху – осью , слева и справа – прямыми и , вычисляется по формуле
. (6)
В случае, если функция непрерывна на отрезке и меняет знак в конечном числе точек, то площадь заштрихованной фигуры (рис. 4) равна алгебраической сумме соответствующих определенных интегралов:
Рис. 4
Пример 10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью и графиком функции при .
Рис. 5
Решение . Сделаем чертеж (рис. 5). Искомая площадь представляет собой сумму площадей и . Найдем каждую из этих площадей. Вначале определим пределы интегрирования, решив систему Получим , . Следовательно:
;
.
Таким образом, площадь заштрихованной фигуры равна
(кв. ед.).
Рис. 6
Пусть, наконец, криволинейная трапеция ограничена сверху и снизу графиками непрерывных на отрезке функций и ,
а слева и справа – прямыми и (рис. 6). Тогда ее площадь вычисляется по формуле
. (8)
Пример 11. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями и .
Решение. Данная фигура изображена на рис. 7. Площадь ее вычислим по формуле (8). Решая систему уравнений находим , ; следовательно, , . На отрезке имеем: . Значит, в формуле (8) в качестве возьмем x , а в качестве – . Получим:
(кв. ед.).
Более сложные задачи на вычисление площадей решают путем разбиения фигуры на непересекающиеся части и вычисления площади всей фигуры как суммы площадей этих частей.
Рис. 7
Пример 12. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , , .
Решение . Сделаем чертеж (рис. 8). Данную фигуру можно рассматривать как криволинейную трапецию, ограниченную снизу осью , слева и справа – прямыми и , сверху – графиками функций и . Так как фигура ограничена сверху графиками двух функций, то для вычисления ее площади разобьем данную фигуру прямой на две части (1 – это абсцисса точки пересечения линий и ). Площадь каждой из этих частей находим по формуле (4):
(кв. ед.); (кв. ед.). Следовательно:
(кв. ед.).
Рис. 8
|
Рис. 9
В заключение отметим, что если криволинейная трапеция ограничена прямыми и , осью и непрерывной на кривой (рис. 9), то ее площадь находится по формуле
Объем тела вращения
Пусть криволинейная трапеция, ограниченная графиком непрерывной на отрезке функции , осью , прямыми и , вращается вокруг оси (рис. 10). Тогда объем полученного тела вращения вычисляется по формуле
. (9)
Пример 13. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной гиперболой , прямыми , и осью .
Решение . Сделаем чертеж (рис. 11).
Из условия задачи следует, что , . По формуле (9) получаем
.
Рис. 10
Рис. 11
Объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной прямыми у = с и у = d , осью Оу и графиком непрерывной на отрезке функции (рис. 12), определяется по формуле
. (10)
|
Рис. 12
Пример 14 . Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной линиями х 2 = 4у , у = 4, х = 0 (рис. 13).
Решение . В соответствии с условием задачи находим пределы интегрирования: , . По формуле (10) получаем:
Рис. 13
Длина дуги плоской кривой
Пусть кривая , заданная уравнением , где , лежит в плоскости (рис. 14).
Рис. 14
Определение. Под длиной дуги понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной стремится к бесконечности, а длина наибольшего звена стремится к нулю.
Если функция и ее производная непрерывны на отрезке , то длина дуги кривой вычисляется по формуле
. (11)
Пример 15 . Вычислить длину дуги кривой , заключенной между точками, для которых .
Решение . Из условия задачи имеем . По формуле (11) получаем:
.
4. Несобственные интегралы
с бесконечными пределами интегрирования
При введении понятия определённого интеграла предполага-лось, что выполняются следующие два условия:
а) пределы интегрирования а и являются конечными;
б) подынтегральная функция ограничена на отрезке .
Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то интеграл называется несобственным .
Рассмотрим вначале несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.
Определение. Пусть функция определена и непрерывна на промежутке , тогда и неограниченной справа (рис. 15).
Если несобственный интеграл сходится, то эта площадь является конечной; если несобственный интеграл расходится, то эта площадь бесконечна.
Рис. 15
Аналогично определяется несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом интегрирования:
. (13)
Этот интеграл сходится, если предел в правой части равенства (13) существует и конечен; в противном случае интеграл называется расходящимся.
Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами интегрирования определяется следующим образом:
, (14)
где с – любая точка интервала . Интеграл сходится только в том случае, когда сходятся оба интеграла в правой части равенства (14).
;г) = [выделим в знаменателе полный квадрат: ] = [замена:
] =
Значит, несобственный интеграл сходится и его значение равно .