Koonuse alus on Koonus. Põhimõisted. Koonuse pindala. Generaator kaldus koonuses

Tagasi ette

Tähelepanu! Slaidi eelvaade on ainult informatiivsel eesmärgil ja ei pruugi esindada esitluse kogu ulatust. Kui olete sellest tööst huvitatud, laadige alla täisversioon.

Tunni eesmärgid:

hariv: tutvustada koonuse mõistet, selle elemente; kaaluge parempoolse koonuse ehitamist; kaaluge koonuse kogu pinna leidmist; kujundada ülesannete lahendamise oskus koonuse elementide leidmiseks.
Hariduslik: arendada pädevat matemaatilist kõnet, loogilist mõtlemist.
Hariduslik: kasvatada tunnetuslikku tegevust, suhtlemiskultuuri, dialoogikultuuri.

Tunni vorm:õppetund uute teadmiste ja oskuste kujundamisel.

Õppetegevuse vorm: kollektiivne töövorm.

Tunnis kasutatud meetodid: selgitav ja näitlik, produktiivne.

Didaktiline materjal: märkmik, õpik, pliiats, pliiats, joonlaud, tahvel, kriit ja värvipliiatsid, projektor ja esitlus „Koonus. Põhimõisted. Koonuse pindala.

Tunniplaan:

Organisatsioonihetk (1 min).
Ettevalmistav etapp (motiveerimine) (5 min).
Uue materjali õppimine (15 min).
Ülesannete lahendamine koonuse elementide leidmiseks (15 min).
Tunni kokkuvõtte tegemine (2 min).
Kodutöö (2 min).

TUNNIDE AJAL

1. Organisatsioonimoment

Eesmärk: valmistuda uue materjali assimilatsiooniks.

2. Ettevalmistav etapp

Vorm: suuline töö.

Eesmärk: tutvustada uut revolutsiooni.

Koonus kreeka keeles tähendab "konos" "männikäbi".

Seal on kehad koonuse kujul. Neid võib näha erinevatel objektidel, alates tavalisest jäätisest kuni aparaatideni, aga ka laste mänguasjades (püramiid, kreeker jne), looduses (kuusk, mäed, vulkaanid, tornaadod).

(Kasutatakse slaide 1–7)

Õpetaja tegevus	Õpilaste tegevused
3. Uue materjali selgitus Eesmärk: tutvustada koonuse uusi mõisteid ja omadusi.
1. Koonuse saab, kui pöörata täisnurkne kolmnurk ümber selle ühe jala. (8. slaid) Nüüd kaaluge, kuidas koonus on ehitatud. Kõigepealt joonistame ringi keskpunktiga O ja sirge OP, mis on risti selle ringi tasapinnaga. Ühendame ringi iga punkti lõiguga punktiga P (õpetaja ehitab koonuse etappide kaupa). Nende segmentide moodustatud pinda nimetatakse kooniline pind ja segmendid ise moodustades koonilise pinna.	Märkmikesse on ehitatud koonus.
(dikteerib definitsiooni) (Slaid 9) Keha, mis on piiratud koonilise pinna ja ringiga, mille piir on L, nimetatakse koonus.	Kirjutage määratlus üles.
Koonilist pinda nimetatakse koonuse külgpind ja ring koonuse alus. Nimetatakse sirget OP, mis läbib aluse keskpunkti ja ülaosa koonuse telg. Koonuse telg on risti aluse tasapinnaga. Segmenti OP nimetatakse koonuse kõrgus. Punkti P nimetatakse koonuse ülaosa, ja koonilise pinna generaatorid on koonuse moodustamine.	Koonuse elemendid on joonisel allkirjastatud.
Mis on kaks koonuse generaatorit ja võrrelda neid?	PA ja PB on võrdsed.
Miks on generaatorid võrdsed?	Kaldkujuliste projektsioonid on võrdsed ringi raadiustega, mis tähendab, et generaatorid ise on võrdsed.
Kirjutage oma märkmikusse: koonuse omadused:	(10. slaid)
1. Kõik koonuse generaatorid on võrdsed. Millised on generaatorite kaldenurgad aluse suhtes? Võrrelge neid. Miks, tõesta seda?	Nurgad: PCO, KPN. Nad on võrdsed. Kuna kolmnurk PAB on võrdhaarne.
2. Generaatorite kaldenurgad aluse suhtes on võrdsed. Millised on telje ja generaatorite vahelised nurgad? Mida saab nende nurkade kohta öelda?	SRO ja andmekaitseametnik Nad on võrdsed.
3. Telje ja generaatorite vahelised nurgad on võrdsed. Millised on telje ja aluse vahelised nurgad? Mis need nurgad on?	POC ja POD. 90 umbes
4. Telje ja aluse vahelised nurgad on sirged. Vaatleme ainult sirget koonust.
2. Vaatleme koonuse lõiku erinevate tasandite järgi. Mis on koonuse telge läbiv lõiketasand?	Kolmnurk.
Mis see kolmnurk on?	Ta on võrdkülgne.
Miks?	Selle kaks külge on generaatorid ja need on võrdsed.
Mis on selle kolmnurga alus?	Koonuse aluse läbimõõt.
Sellist sektsiooni nimetatakse aksiaalseks. (Slaid 11) Joonistage vihikutesse ja allkirjastage see jaotis. Mis on lõiketasand, mis on risti koonuse teljega OP?	Ring.
Kus on selle ringi keskpunkt?	koonuse teljel.
Seda lõiku nimetatakse ringlõikeks. (Sdile 12) Joonistage märkmikutesse ja allkirjastage see jaotis. On ka teist tüüpi koonuse sektsioone, mis ei ole aksiaalsed ega ole paralleelsed koonuse põhjaga. Vaatame neid näidetega. (13. slaid)	Nad joonistavad vihikutesse.
3. Nüüd tuletame koonuse kogupinna valemi. (14. slaid) Selleks saab koonuse külgpinna ja ka silindri külgpinna tasapinnaks muuta, lõigates seda mööda ühte generaatoritest.
Milline on koonuse külgpinna areng? (joonistab tahvlile)	ringikujuline sektor.
Mis on selle sektori raadius?	Koonuse generaator.
Kuidas on lood sektori kaare pikkusega?	Ümbermõõt.
Selle arengupiirkonda peetakse koonuse külgpinna pindalaks. (15. slaid)	, kus on kaare kraadimõõt.
Mis on ringikujulise sektori pindala?
Mis on siis koonuse külgpinna pindala? Väljendage ja . (16. slaid) Mis on kaare pikkus?
Teisest küljest on see sama kaar koonuse aluse ümbermõõt. Millega see on võrdne?
Asendades valemiga koonuse külgpinna, saame, . Koonuse kogupindala on külgpinna ja aluse pindalade summa. . Kirjutage need valemid üles.	Kirjuta üles: .h	(Slaid 21) L = 5

6. Kodutöö. Punktid 55, 56, nr 548(b), 549(b). (Slaid 22)

Kitsenev pind nimetatakse pinda, mille moodustavad kõik antud kõvera iga punkti läbivad sirged ja kõverast väljas olev punkt (joonis 32).

Seda kõverat nimetatakse giid , otsene - genereerivad , punkt - tippkohtumisel kooniline pind.

Sirge ümmargune kitsenev pind nimetatakse pinda, mille moodustavad kõik antud ringi iga punkti läbivad sirged ja ringi tasapinnaga risti olev ja selle keskpunkti läbiv punkt sirgel. Järgnevalt nimetatakse seda pinda lühidalt kui kooniline pind (joon.33).

koonus (sirge ringikujuline koonus ) nimetatakse geomeetriliseks kehaks, mida piirab kooniline pind ja tasapind, mis on paralleelne juhtringi tasapinnaga (joonis 34).

Riis. 32 Joon. 33 Joon. 34

Koonust võib pidada kehaks, mis saadakse täisnurkse kolmnurga pööramisel ümber kolmnurga ühte jalga sisaldava telje.

Ringi, mis piirab koonust, nimetatakse alus . Koonilise pinna tippu nimetatakse tippkohtumisel koonus. Nimetatakse joonelõiku, mis ühendab koonuse ülaosa selle aluse keskpunktiga kõrgus koonus. Segmente, mis moodustavad koonilise pinna, nimetatakse genereerivad koonus. telg koonuse on sirgjoon, mis läbib koonuse tippu ja selle aluse keskpunkti. Aksiaalne sektsioon nimetatakse lõiku, mis läbib koonuse telge. Külgpinna areng Koonus on sektor, mille raadius on võrdne koonuse generaatori pikkusega ja sektori kaare pikkus on võrdne koonuse aluse ümbermõõduga.

Koonuse puhul kehtivad järgmised valemid:

Kus R on aluse raadius;

H- kõrgus;

l- generatriksi pikkus;

S peamine- aluspind;

S pool

S täis

V on koonuse maht.

kärbitud koonus nimetatakse koonuse osa, mis jääb aluse ja lõiketasandi vahele paralleelselt koonuse põhjaga (joon. 35).

Tüvikoonust võib pidada kehaks, mis on saadud ristkülikukujulise trapetsi pööramisel ümber trapetsi külgmist külge sisaldava telje, mis on risti alustega.

Kaht ringi, mis koonust piirasid, nimetatakse selleks põhjustel . Kõrgus kärbitud koonuse kaugus on selle aluste vaheline kaugus. Segmente, mis moodustavad kärbikoonuse koonilise pinna, nimetatakse genereerivad . Aluste keskpunkte läbivat sirget nimetatakse telg kärbitud koonus. Aksiaalne sektsioon nimetatakse kärbikoonuse telge läbivaks lõiguks.

Kärbitud koonuse puhul kehtivad järgmised valemid:

(8)

Kus R on alumise aluse raadius;

r on ülemise aluse raadius;

H on kõrgus, l on generatriksi pikkus;

S pool on külgpindala;

S täis on kogupindala;

V on kärbitud koonuse maht.

Näide 1 Alusega paralleelne koonuse lõik jagab kõrguse suhtega 1:3, lugedes ülevalt. Leidke tüvikoonuse külgpinna pindala, kui aluse raadius ja koonuse kõrgus on 9 cm ja 12 cm.

Lahendus. Teeme joonise (joon. 36).

Tüvikoonuse külgpinna pindala arvutamiseks kasutame valemit (8). Leidke aluste raadiused Umbes 1 A Ja Umbes 1 V ja genereerimine AB.

Mõelge sarnastele kolmnurkadele SO 2 B Ja SO 1 A, sarnasustegur , siis

Siit

Sellest ajast

Tüvikoonuse külgpinna pindala on võrdne:

Vastus: .

Näide2. Neljandik raadiusega ring on volditud koonusekujuliseks pinnaks. Leidke aluse raadius ja koonuse kõrgus.

Lahendus. Ringi neljakordne on koonuse külgpinna edasiarendus. Tähistage r on selle aluse raadius, H- kõrgus. Külgpind arvutatakse valemiga: . See on võrdne veerand ringi pindalaga: . Saame võrrandi kahe tundmatuga r Ja l(koonuse generaator). Sel juhul on generatrix võrdne veerand ringi raadiusega R, seega saame järgmise võrrandi: , kust Teades aluse ja generatriksi raadiust, leiame koonuse kõrguse:

Vastus: 2 cm,.

Näide 3 Ristkülikukujuline trapets, mille teravnurk on 45 O, väiksem alus 3 cm ja kaldkülg on võrdne , pöörleb ümber alustega risti oleva külje. Leia saadud pöördekeha ruumala.

Lahendus. Teeme joonise (joon. 37).

Pöörlemise tulemusena saame kärbikoonuse, mille ruumala leidmiseks arvutame välja suurema aluse raadiuse ja kõrguse. trapetsis O 1 O 2 AB me kulutame AC^O 1 B. Meil on: nii et see kolmnurk on võrdhaarne AC=eKr\u003d 3 cm.

Vastus:

Näide 4 Kolmnurk külgedega 13 cm, 37 cm ja 40 cm pöörleb ümber välistelje, mis on paralleelne suurema küljega ja asub sellest 3 cm kaugusel (telg asub kolmnurga tasapinnal). Leidke saadud pöördekeha pindala.

Lahendus . Teeme joonise (joon. 38).

Saadud pöördekeha pind koosneb kahe tüvikoonuse külgpindadest ja silindri külgpinnast. Nende pindalade arvutamiseks on vaja teada koonuste ja silindri aluste raadiusi ( OLE Ja OC) moodustades koonuseid ( eKr Ja AC) ja silindri kõrgus ( AB). Tundmatu on ainult CO. on kaugus kolmnurga külje ja pöörlemistelje vahel. Otsime üles DC. Kolmnurga ABC pindala ühel küljel on võrdne külje AB poole ja sellele tõmmatud kõrguse korrutisega DC, teisest küljest, teades kolmnurga kõiki külgi, arvutame selle pindala Heroni valemi abil.

Võtke suvaline koonus ja joonistage selle teljega risti lõiketasapind (joonis 72). See tasapind lõikub koonusega ringikujuliselt ja jagab koonuse kaheks osaks. Üks osadest on koonus ja teist nimetatakse kärbitud koonuseks. Nimetatakse algkoonuse alust ja selle koonuse lõigus tasapinnaga saadud ringjoont tüvikoonuse alused ja nende keskpunkte ühendav segment - kärbitud koonuse kõrgus.

Koonilise pinna osa, mis piirab tüvikoonust, nimetatakse selle osaks külgpind, ja aluste vahele suletud koonilise pinna generaatorite segmendid on nn. moodustades kärbitud koonuse. Kõik kärbikoonuse generaatorid on üksteisega võrdsed.

Kärbitud koonuse saab, kui pöörata ristkülikukujulist trapetsi ümber selle külje, mis on risti alustega. Joonisel on kujutatud tüvikoonust, mis on saadud ristkülikukujulise trapetsi ABCO pööramisel ümber külje CO, mis on risti alustega AO ja BC (joonis 73). Sel juhul moodustatakse külgpind külgmise külje AB pööramisega ja kärbikoonuse alused - trapetsi aluste CB ja OA pööramisega.

Riis. 73 Joon.74

Leiame tüvikoonuse külgpinna pindala valemi, teades aluste raadiusi r, r 1 ja tüvikoonuse generaatorit l (joonis 74).

Tüvikoonuse külgpinna pindala on vahe suure koonuse ja väikese koonuse pindalade vahel, mille moodustab sektsioon.

Tüvikoonuse kogupindala on võrdne külgpinna, alumise aluse pindala ja ülemise aluse pindala summaga

) - keha Eukleidilises ruumis, mis saadakse kõigi ühest punktist lähtuvate kiirte ühinemisel ( tipud koonus) ja läbides tasase pinna. Mõnikord nimetatakse koonust sellise keha osaks, millel on piiratud maht ja mis saadakse tasase pinna tippu ja punkte ühendavate segmentide liitmisel (viimast nimetatakse antud juhul nn. alus koonused ja koonust nimetatakse põhineb selle alusel). Kui koonuse alus on hulknurk, on selline koonus püramiid.

Entsüklopeediline YouTube

1 / 4

✪ Kuidas teha paberist koonust.

Subtiitrid

Seotud määratlused

Nimetatakse joonelõiku, mis ühendab tippu ja aluse piiri koonuse generatrix.
Koonuse generaatorite ühendust nimetatakse generatrix(või pool) koonuse pind. Koonuse generatriks on kooniline pind.
Tipust aluse tasapinnaga risti langenud lõiku (ja ka sellise lõigu pikkust) nimetatakse koonuse kõrgus.
Koonuse avanemisnurk- nurk kahe vastassuunalise generaatori vahel (nurk koonuse ülaosas, koonuse sees).
Kui koonuse põhjas on sümmeetriakese (näiteks see on ring või ellips) ja koonuse tipu ortogonaalne projektsioon aluse tasapinnale langeb selle keskpunktiga kokku, siis nimetatakse koonust nn. otsene. Nimetatakse joont, mis ühendab tipu ja aluse keskpunkti koonuse telg.
kaldus (kaldu) koonus - koonus, mille tipu ortogonaalprojektsioon alusele ei lange kokku selle sümmeetriakeskmega.
ringikujuline koonus Koonus, mille alus on ring.
Sirge ringikujuline koonus(mida sageli nimetatakse lihtsalt koonuseks) saab saada täisnurkse kolmnurga pööramisel ümber jalga sisaldava joone (see joon tähistab koonuse telge).
Ellipsil, paraboolil või hüperboolil põhinevat koonust nimetatakse vastavalt elliptilised, paraboolne Ja hüperboolne koonus(kahe viimase helitugevus on lõpmatu).
Nimetatakse koonuse seda osa, mis asub aluse ja alusega paralleelse tasandi vahel ning tipu ja aluse vahel kärbitud koonus, või kooniline kiht.

Omadused

Kui aluse pindala on lõplik, siis on ka koonuse ruumala lõplik ja võrdub ühe kolmandikuga aluse kõrguse ja pindala korrutisest.

V = 1 3 S H , (\kuvastiil V=(1 \üle 3)SH,)

Kus S- baaspindala H- kõrgus. Seega on kõigil koonustel, mis põhinevad antud alusel (piiratud pindalaga) ja mille tipp asub alusega paralleelsel tasapinnal, sama ruumala, kuna nende kõrgused on võrdsed.

Iga lõpliku ruumalaga koonuse raskuskese asub veerandi kõrgusel alusest.
Täisnurkse ringkoonuse tipu ruuminurk on võrdne

2 π (1 − cos ⁡ α 2) , (\displaystyle 2\pi \left(1-\cos (\alpha \over 2)\right),) kus α on koonuse avanemisnurk.

Sellise koonuse külgpind on võrdne

S = π Rl , (\displaystyle S=\pi Rl,)

ja kogupindala (st külgpinna ja aluse pindalade summa)

S = π R (l + R) , (\displaystyle S=\pi R(l+R),) Kus R- aluse raadius, l = R 2 + H 2 (\displaystyle l=(\sqrt (R^(2)+H^(2))))- generatriksi pikkus.

Ringikujulise (mitte tingimata sirge) koonuse ruumala on võrdne

V = 1 3 π R 2 H. (\displaystyle V=(1 \üle 3)\pi R^(2)H.)

Kärbitud koonuse (mitte tingimata sirge ja ringikujulise) puhul on maht:

V = 1 3 (H S 2 − h S 1) , (\kuvastiil V=(1 \üle 3)(HS_(2)-hS_(1)),)

kus S 1 ja S 2 on vastavalt ülemise (ülaosale kõige lähemal) ja alumise aluse alad, h Ja H- kaugused tasapinnast vastavalt ülemisest ja alumisest alusest tipuni.

Tasapinna ristumiskoht parempoolse ringkoonusega on üks koonuslõigetest (mittemandunud juhtudel ellips, parabool või hüperbool, olenevalt lõiketasandi asukohast).

Koonuse võrrand

Võrrandid, mis defineerivad täisnurkse koonuse külgpinna avanemisnurgaga 2Θ, tipu alguspunktis ja teljega ühtiva teljega Oz :

Sfäärilises koordinaatide süsteemis koordinaatidega ( r, φ, θ) :

θ = Θ . (\displaystyle \theta =\Theta .)

Silindrilises koordinaatide süsteemis koordinaatidega ( r, φ, z) :

z = r ⋅ ctg ⁡ Θ (\displaystyle z=r\cdot \operaatorinimi (ctg) \Theta ) või r = z tg ⁡ Θ . (\displaystyle r=z\cdot \operaatorinimi (tg) \Theta .)

Descartes'i koordinaatide süsteemis koos koordinaatidega (x, y, z) :

z = ± x 2 + y 2 ⋅ ctg ⁡ Θ . (\displaystyle z=\pm (\sqrt (x^(2)+y^(2)))\cdot \operaatorinimi (ctg) \Theta .) See võrrand kanoonilisel kujul on kirjutatud kui

kus on konstandid a, Koos määrab proportsioon c / a = cos ⁡ Θ / sin ⁡ Θ . (\displaystyle c/a=\cos \Theta /\sin \Theta .) See näitab, et parempoolse ringikujulise koonuse külgpind on teist järku pind (seda nimetatakse kooniline pind). Üldiselt toetub teist järku kooniline pind ellipsile; sobivas Descartes'i koordinaatsüsteemis (teljed Oh Ja OU paralleelselt ellipsi telgedega, koonuse tipp ühtib alguspunktiga, ellipsi kese asub teljel Oz) selle võrrandil on vorm

x 2 a 2 + y 2 b 2 − z 2 c 2 = 0, (\displaystyle (\frac (x^(2))(a^(2)))+(\frac (y^(2))( b^(2)))-(\frac (z^(2))(c^(2)))=0,)

ja a/c Ja b/c võrdne ellipsi pooltelgedega. Kõige üldisemal juhul, kui koonus toetub suvalisele tasasele pinnale, saab näidata, et koonuse külgpinna võrrand (mille tipp on alguspunktis) on antud võrrandiga f (x, y, z) = 0, (\displaystyle f(x,y,z)=0,) kus on funktsioon f (x, y, z) (\displaystyle f(x,y,z)) on homogeenne, st rahuldab tingimust f (α x , α y , α z) = α n f (x , y , z) (\displaystyle f(\alpha x,\alpha y,\alpha z)=\alpha ^(n)f(x,y ,z)) mis tahes reaalarvu α korral.

Skaneeri

Parempoolse ringikujulise koonuse kui pöördekeha moodustab ühe jala ümber pöörlev täisnurkne kolmnurk, kus h- koonuse kõrgus aluse keskpunktist tipuni - on täisnurkse kolmnurga jalg, mille ümber pöörlemine toimub. Täisnurkse kolmnurga teine jalg r on koonuse aluse raadius. Täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on l- koonuse generatrix.

Koonuse pühkimise loomisel saab kasutada ainult kahte väärtust r Ja l. Aluse raadius r määrab arenduses koonuse aluse ringi ja koonuse külgpinna sektor määrab külgpinna generatriksi l, mis on külgpinna sektori raadius. Sektori nurk φ (\displaystyle \varphi) koonuse külgpinna kujunemisel määratakse valemiga:

φ = 360° ( r/l) .

Riis. 1. Objektid elust, millel on tüvikoonuse kuju

Mis te arvate, kust tulevad geomeetrias uued kujundid? Kõik on väga lihtne: inimene puutub elus kokku sarnaste objektidega ja mõtleb välja, kuidas neid nimetada. Mõelge pjedestaalile, millel lõvid tsirkuses istuvad, porganditükki, mis saadakse, kui lõikame sellest ainult osa, aktiivset vulkaani ja näiteks taskulambi valgust (vt joonis 1).

Riis. 2. Geomeetrilised kujundid

Näeme, et kõik need figuurid on sarnase kujuga – nii alt kui ka ülalt on nad piiratud ringidega, kuid kitsenevad ülespoole (vt joonis 2).

Riis. 3. Koonuse tipu ära lõikamine

See näeb välja nagu koonus. Ainult tipp puudu. Kujutagem mõttes ette, et võtame koonuse ja lõikame sellest ühe terava mõõga hoobiga ära ülemise osa (vt joon. 3).

Riis. 4. Kärbitud koonus

Selgub, et just meie kujund, seda nimetatakse kärbikoonuks (vt joonis 4).

Riis. 5. Koonuse põhjaga paralleelne lõik

Olgu koonus antud. Joonistame selle koonuse aluse tasapinnaga paralleelse ja koonust lõikuva tasapinna (vt joon. 5).

See jagab koonuse kaheks kehaks: üks neist on väiksem koonus ja teist nimetatakse tüvikoonuseks (vt joonis 6).

Riis. 6. Saadud paralleellõikega kehad

Seega on tüvikoonus koonuse osa, mis on suletud selle aluse ja alusega paralleelse tasapinna vahele. Nagu koonuse puhul, võib ka tüvikoonuse põhjas olla ring – antud juhul nimetatakse seda ringikujuliseks. Kui algne koonus oli sirge, siis kärbitud koonust nimetatakse sirgeks. Nagu koonuste puhul, vaatleme ainult sirgeid ümmargusi tüvikoonuseid, välja arvatud juhul, kui on konkreetselt märgitud, et räägime kaudsest tüvikoonusest või selle põhjades pole ringe.

Riis. 7. Ristkülikukujulise trapetsi pööramine

Meie globaalne teema on revolutsiooni kehad. Kärbitud koonus pole erand! Tuletage meelde, et koonuse saamiseks kaalusime täisnurkset kolmnurka ja pöörasime selle ümber jala? Kui saadud koonust läbib alusega paralleelne tasapind, siis jääb kolmnurgast ristkülikukujuline trapets. Selle pöörlemine ümber väiksema külgmise külje annab meile kärbitud koonuse. Pange tähele veel kord, et loomulikult räägime ainult parempoolsest ringikujulisest koonusest (vt joonis 7).

Riis. 8. Tüvikoonuse alused

Teeme mõned märkused. Täiskoonuse alust ja koonuse lõikes tasapinnaga saadud ringjoont nimetatakse tüvikoonuse (alumine ja ülemine) alusteks (vt joon. 8).

Riis. 9. Tüvikoonuse generaatorid

Täieliku koonuse generaatorite segmente, mis on suletud tüvikoonuse aluste vahele, nimetatakse tüvikoonuse generaatoriteks. Kuna kõik algkoonuse generaatorid on võrdsed ja kõik kärbikoonuse generaatorid on võrdsed, siis on kärbikoonuse generaatorid võrdsed (ära aja segi kärbitud ja kärbitud!). Siit järgneb telglõike võrdhaarne trapets (vt joonis 9).

Tüvikoonuse sees olevat pöörlemistelje segmenti nimetatakse tüvikoonuse teljeks. See segment ühendab loomulikult selle aluste keskpunkte (vt joonis 10).

Riis. 10. Tüvikoonuse telg

Tüvikoonuse kõrgus on risti, mis on tõmmatud ühe aluse punktist teise aluse külge. Kõige sagedamini peetakse selle telge kärbitud koonuse kõrguseks.

Riis. 11. Tüvikoonuse telglõige

Tüvikoonuse telglõik on selle telge läbiv lõik. See näeb välja nagu trapets, veidi hiljem tõestame selle võrdhaarseid (vt joonis 11).

Riis. 12. Koonus sissetoodud tähistusega

Leidke kärbitud koonuse külgpinna pindala. Olgu kärbikoonuse aluste raadiused ja , ning generaator on võrdne (vt joonis 12).

Riis. 13. Tüvikoonuse generatriksi tähistus

Leiame tüvikoonuse külgpinna pindala esialgse ja kärbitud koonuse külgpindade pindalade erinevusena. Selleks tähistame kärbikoonuse generatriksiga (vt joon. 13).

Siis soovitud.

Riis. 14. Sarnased kolmnurgad

Jääb üle väljendada

Pange tähele, et kolmnurkade sarnasusest , kust (vt joonis 14).

Seda oleks võimalik väljendada raadiuste erinevusega jagades, kuid meil pole seda vaja, sest korrutis esineb soovitud avaldises. Asendades selle asemel, on meil lõpuks: .

Nüüd pole kogupinna valemit raske saada. Selleks lisage lihtsalt kahe põhiringi alad: .

Riis. 15. Probleemi illustratsioon

Olgu kärbitud koonus saada ristkülikukujulise trapetsi pööramisega ümber selle kõrguse. Trapetsi keskjoon on võrdne ja suur külgkülg on (vt joonis 15). Leidke saadud tüvikoonuse külgpinna pindala.

Lahendus

Valemist me teame seda .

Koonuse generatriks on algse trapetsi suur külg, see tähendab, et koonuse raadiused on trapetsi alused. Me ei leia neid. Kuid me ei vaja seda: vaja on ainult nende summat ja trapetsi aluste summa on kaks korda selle keskjoonest, see tähendab, et see on võrdne. Siis .

Pange tähele, et kui me rääkisime koonusest, siis tõmbasime selle ja püramiidi vahele paralleele – valemid olid sarnased. Siin on sama, kuna tüvikoonus on väga sarnane kärbitud püramiidiga, seega on tüvikoonuse ja püramiidi külg- ja täispindade pindalade valemid sarnased (ja varsti on ka ruumala valemid). .

Riis. 1. Probleemi illustratsioon

Kärbitud koonuse aluste raadiused on võrdsed ja ning generatriks on võrdne . Leidke kärbitud koonuse kõrgus ja selle telglõike pindala (vt joonis 1).