Kosini x -yhtälö on yhtä suuri kuin a. Trigonometriset yhtälöt - kaavat, ratkaisut, esimerkit. Faktorisointi

Voit tilata yksityiskohtaisen ratkaisun ongelmaasi!!!

Yhtälöä, joka sisältää tuntemattoman trigonometrisen funktion merkin alla (`sin x, cos x, tan x` tai` ctg x`), kutsutaan trigonometriseksi yhtälöksi, ja tarkastelemme niiden kaavoja tarkemmin.

Yksinkertaisimpia yhtälöitä kutsutaan nimellä "sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a", missä" x" on löydettävä kulma, "a" on mikä tahansa luku. Kirjataan ylös kunkin niistä juurikaavat.

1. Yhtälö "sin x = a".

Kohdalle `| a |> 1` ei ole ratkaisuja.

Kohdalle `| a | \ leq 1`:llä on ääretön määrä ratkaisuja.

Juurikaava: `x = (- 1) ^ n arcsin a + \ pi n, n \ in Z'

2. Yhtälö cos x = a

`| a |> 1` - kuten sinin tapauksessa, sillä ei ole ratkaisuja reaalilukujen joukossa.

Kohdalle `| a | \ leq 1`:llä on ääretön määrä ratkaisuja.

Juurikaava: `x = \ pm arccos a + 2 \ pi n, n \ in Z`

Erikoistapaukset sinille ja kosinille kaavioissa.

3. Yhtälö tg x = a

Siinä on ääretön määrä ratkaisuja mille tahansa "a":n arvoille.

Juurikaava: "x = arctan a + \ pi n, n \ in Z".

4. Yhtälö ctg x = a

Siinä on myös ääretön määrä ratkaisuja mille tahansa "a":n arvoille.

Juurikaava: `x = arcctg a + \ pi n, n \ in Z'

Kaavat trigonometristen yhtälöiden juurille taulukossa

Sinille:
Kosinille:
Tangentille ja kotangentille:
Kaavat käänteisiä trigonometrisia funktioita sisältävien yhtälöiden ratkaisemiseksi:

Trigonometristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät

Minkä tahansa trigonometrisen yhtälön ratkaisu koostuu kahdesta vaiheesta:

• käyttämällä muuntaa se yksinkertaisimmaksi;
• ratkaise tuloksena oleva yksinkertaisin yhtälö käyttämällä yllä olevia kirjoitettuja juurikaavoja ja taulukoita.

Katsotaanpa esimerkkejä tärkeimmistä ratkaisumenetelmistä.

Algebrallinen menetelmä.

Tässä menetelmässä muuttujien korvaaminen ja korvaaminen tasa-arvoksi tehdään.

Esimerkki. Ratkaise yhtälö: "2cos ^ 2 (x + \ frac \ pi 6) -3sin (\ frac \ pi 3 - x) + 1 = 0"

`2cos ^ 2 (x + \ frac \ pi 6) -3cos (x + \ frac \ pi 6) + 1 = 0,

teemme muutoksen: "cos (x + \ frac \ pi 6) = y", sitten" 2y ^ 2-3y + 1 = 0",

löydämme juuret: `y_1 = 1, y_2 = 1/2`, josta seuraa kaksi tapausta:

1.` cos (x + \ frac \ pi 6) = 1`, `x + \ frac \ pi 6 = 2 \ pi n`,` x_1 = - \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`.

2.` cos (x + \ frac \ pi 6) = 1/2`, `x + \ frac \ pi 6 = \ pm arccos 1/2 + 2 \ pi n`,` x_2 = \ pm \ frac \ pi 3- \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`.

Vastaus: `x_1 = - \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`,` x_2 = \ pm \ frac \ pi 3- \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`.

Faktorisointi.

Esimerkki. Ratkaise yhtälö: "sin x + cos x = 1".

Ratkaisu. Siirrä kaikki yhtälön ehdot vasemmalle: `sin x + cos x-1 = 0`. Vasemman puolen käyttäminen, muuntaminen ja kertominen:

"sin x - 2sin ^ 2 x / 2 = 0",

"2sin x / 2 cos x / 2-2sin ^ 2 x / 2 = 0",

"2sin x / 2 (cos x / 2-sin x / 2) = 0",

1. "sin x / 2 = 0", "x / 2 = \ pi n", "x_1 = 2 \ pi n".
2. "cos x / 2-sin x / 2 = 0", "tg x / 2 = 1", "x / 2 = arctan 1+ \ pi n", "x / 2 = \ pi / 4 + \ pi n" , "x_2 = \ pi / 2 + 2 \ pi n".

Vastaus: `x_1 = 2 \ pi n`, ` x_2 = \ pi / 2 + 2 \ pi n`.

Pelkistys homogeeniseksi yhtälöksi

Ensin sinun on tuotava tämä trigonometrinen yhtälö johonkin kahdesta tyypistä:

"a sin x + b cos x = 0" (ensimmäisen asteen homogeeninen yhtälö) tai" a sin ^ 2 x + b sin x cos x + c cos ^ 2 x = 0" (toisen asteen homogeeninen yhtälö).

Jaa sitten molemmat osat arvolla "cos x \ ne 0" - ensimmäisessä tapauksessa ja "cos ^ 2 x \ ne 0" - toisessa tapauksessa. Saamme yhtälöt `tg x`:` a tg x + b = 0` ja `a tg ^ 2 x + b tg x + c = 0`, jotka on ratkaistava tunnetuilla menetelmillä.

Esimerkki. Ratkaise yhtälö: `2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x = 1`.

Ratkaisu. Kirjoita oikea puoli uudelleen muotoon `1 = sin ^ 2 x + cos ^ 2 x`:

`2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x =` `sin ^ 2 x + cos ^ 2 x`,

`2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x -` `sin ^ 2 x - cos ^ 2 x = 0`

"sin ^ 2 x + sin x cos x - 2 cos ^ 2 x = 0".

Tämä on toisen asteen homogeeninen trigonometrinen yhtälö, jaamme sen vasemman ja oikean puolen `cos ^ 2 x \ ne 0`, saamme:

`\ frac (sin ^ 2 x) (cos ^ 2 x) + \ frac (sin x cos x) (cos ^ 2 x) - \ frac (2 cos ^ 2 x) (cos ^ 2 x) = 0`

"tg ^ 2 x + tg x - 2 = 0". Otamme käyttöön korvaavan `tg x = t`, tuloksena` t ^ 2 + t - 2 = 0`. Tämän yhtälön juuret ovat "t_1 = -2" ja "t_2 = 1". Sitten:

1. "tg x = -2", "x_1 = arctg (-2) + \ pi n", "n \ in Z"
2. "tg x = 1", "x = arctan 1+ \ pi n", "x_2 = \ pi / 4 + \ pi n", " n \ in Z".

Vastaus. `x_1 = arctg (-2) + \ pi n`,` n \ in Z`, `x_2 = \ pi / 4 + \ pi n`,` n \ in Z'.

Mene puolikulmaan

Esimerkki. Ratkaise yhtälö: "11 sin x - 2 cos x = 10".

Ratkaisu. Käytä kaksoiskulmakaavoja tuloksena: `22 sin (x / 2) cos (x / 2) -`` 2 cos ^ 2 x / 2 + 2 sin ^ 2 x / 2 =` `10 sin ^ 2 x / 2 +10 cos ^ 2 x / 2`

"4 tg ^ 2 x / 2 - 11 tg x / 2 + 6 = 0"

Yllä olevaa algebrallista menetelmää käyttämällä saamme:

1. "tg x / 2 = 2", "x_1 = 2 arctan 2 + 2 \ pi n", "n \ in Z",
2. "tg x / 2 = 3 / 4", "x_2 = arctan 3/4 + 2 \ pi n", "n \ in Z".

Vastaus. `x_1 = 2 arctan 2 + 2 \ pi n, n \ in Z`,` x_2 = arctan 3/4 + 2 \ pi n`, `n \ in Z'.

Ota käyttöön apukulma

Trigonometrisessa yhtälössä `a sin x + b cos x = c`, jossa a, b, c ovat kertoimia ja x on muuttuja, jaamme molemmat puolet arvolla` sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) `:

`\ frac a (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) sin x +` `\ frac b (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) cos x = '' \ frac c (sqrt (a ^ 2) + b ^ 2)) `.

Vasemmalla puolella olevilla kertoimilla on sinin ja kosinin ominaisuudet, eli niiden neliöiden summa on yhtä suuri kuin 1 ja niiden absoluuttiset arvot eivät ole suurempia kuin 1. Merkitään ne seuraavasti: `\ frac a (sqrt ( a ^ 2 + b ^ 2)) = cos \ varphi` , `\ frac b (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) = sin \ varphi`,` \ frac c (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) = C`, sitten:

`cos \ varphi sin x + sin \ varphi cos x = C`.

Tarkastellaanpa tarkemmin seuraavaa esimerkkiä:

Esimerkki. Ratkaise yhtälö: `3 sin x + 4 cos x = 2`.

Ratkaisu. Jaa tasa-arvon molemmat puolet `sqrt:llä (3 ^ 2 + 4 ^ 2)`, saamme:

`\ frac (3 sin x) (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) +` `\ frac (4 cos x) (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) = '' \ frac 2 (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) `

"3/5 sin x + 4/5 cos x = 2/5".

Merkitään `3/5 = cos \ varphi`, ` 4/5 = sin \ varphi`. Koska `sin \ varphi> 0`,` cos \ varphi> 0`, otamme apukulmaksi `\ varphi = arcsin 4 / 5`. Sitten kirjoitamme yhtäläisyytemme muodossa:

`cos \ varphi sin x + sin \ varphi cos x = 2/5`

Käyttämällä kaavaa sinin kulmien summalle, kirjoitamme yhtäläisyytemme seuraavassa muodossa:

"sin (x + \ varphi) = 2/5",

`x + \ varphi = (- 1) ^ n arcsin 2/5 + \ pi n`,` n \ in Z',

`x = (- 1) ^ n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5 + \ pi n`,` n \ in Z'.

Vastaus. `x = (- 1) ^ n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5 + \ pi n`,` n \ in Z'.

Murto-rationaaliset trigonometriset yhtälöt

Nämä ovat yhtälöitä murtolukujen kanssa, joiden osoittajissa ja nimittäjissä on trigonometriset funktiot.

Esimerkki. Ratkaise yhtälö. \ frac (sin x) (1 + cos x) = 1-cos x.

Ratkaisu. Kerro ja jaa yhtälön oikea puoli luvulla "(1 + cos x)". Tuloksena saamme:

`\ frac (sin x) (1 + cos x) = '' \ frac ((1-cos x) (1 + cos x)) (1 + cos x)"

`\ frac (sin x) (1 + cos x) =` `\ frac (1-cos ^ 2 x) (1 + cos x)`

`\ frac (sin x) (1 + cos x) =` `\ frac (sin ^ 2 x) (1 + cos x)`

`\ frac (sin x) (1 + cos x) -`` \ frac (sin ^ 2 x) (1 + cos x) = 0`

"\ frac (sin x-sin ^ 2 x) (1 + cos x) = 0".

Ottaen huomioon, että nimittäjä ei voi olla yhtä suuri kuin nolla, saadaan `1 + cos x \ ne 0`,` cos x \ ne -1`, `x \ ne \ pi + 2 \ pi n, n \ in Z`.

Yhdistä murtoluvun osoittaja nollaan: "sin x-sin ^ 2 x = 0", sin x (1-sin x) = 0". Sitten sin x = 0 tai 1-sin x = 0.

1. "sin x = 0", "x = \ pi n", "n \ in Z".
2. "1-sin x = 0", sin x = -1, "x = \ pi / 2 + 2 \ pi n, n \ in Z".

Ottaen huomioon, että "x \ ne \ pi + 2 \ pi n, n \ in Z", ratkaisut ovat" x = 2 \ pi n, n \ in Z" ja "x = \ pi / 2 + 2 \ pi n". , "n \ in Z".

Vastaus. `x = 2 \ pi n`,` n \ in Z, `x = \ pi / 2 + 2 \ pi n`, ` n \ in Z.

Trigonometriaa ja erityisesti trigonometrisiä yhtälöitä käytetään melkein kaikilla geometrian, fysiikan ja tekniikan aloilla. Opiskelu alkaa luokalla 10, tentissä on ehdottomasti tehtäviä, joten yritä muistaa kaikki trigonometristen yhtälöiden kaavat - niistä on varmasti hyötyä!

Sinun ei kuitenkaan tarvitse edes opetella niitä ulkoa, tärkeintä on ymmärtää niiden olemus ja osata päätellä ne. Se ei ole niin vaikeaa kuin miltä se kuulostaa. Katso itse katsomalla video.

Yksinkertaisimmat trigonometriset yhtälöt ratkaistaan ​​yleensä kaavoilla. Haluan muistuttaa, että seuraavia trigonometrisiä yhtälöitä kutsutaan yksinkertaisimmiksi:

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

x on löydettävä kulma,
a - mikä tahansa numero.

Ja tässä ovat kaavat, joilla voit heti kirjoittaa näiden yksinkertaisimpien yhtälöiden ratkaisut muistiin.

Sinille:

Kosinille:

х = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

Tangentille:

x = arctan a + π n, n ∈ Z

Kotangentille:

x = arcctg a + π n, n ∈ Z

Itse asiassa tämä on yksinkertaisimpien trigonometristen yhtälöiden ratkaisemisen teoreettinen osa. Lisäksi kaikki!) Ei mitään. Virheiden määrä tässä aiheessa on kuitenkin yksinkertaisesti liian suuri. Varsinkin jos esimerkki poikkeaa hieman mallista. Miksi?

Kyllä, koska monet ihmiset kirjoittavat näitä kirjeitä, ei ymmärrä niiden merkitystä ollenkaan! Varovasti hän kirjoittaa muistiin, tapahtuipa jotain kuinka tahansa...) Tämä on käsiteltävä. Trigonometria ihmisille tai ihminen sittenkin trigonometrialle!?)

Selvitetäänkö se?

Yksi kulma on yhtä suuri kuin arccos a, toinen: -arccos a.

Ja se tulee aina toimimaan niin. Mille tahansa a.

Jos et usko minua, vie hiiri kuvan päälle tai napauta kuvaa tabletilla.) Muutin numeroa a joillekin negatiivisille. Joka tapauksessa, meillä on yksi kulma arccos a, toinen: -arccos a.

Siksi vastaus voidaan aina kirjoittaa kahden juurisarjan muodossa:

x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z

Yhdistämme nämä kaksi sarjaa yhdeksi:

x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

Ja siinä kaikki. Sain yleiskaavan yksinkertaisimman trigonometrisen yhtälön ratkaisemiseksi kosinilla.

Jos ymmärrät, että tämä ei ole jonkinlaista supertieteellistä viisautta, vaan vain lyhennetty merkintä kahdesta vastaussarjasta, sinä ja tehtävä "C" olette olkapäällä. Epäyhtälöillä, juurien valinnalla tietystä intervallista... Siellä vastaus plus/miinus ei rullaa. Ja jos käsittelet vastausta asiallisesti ja jaat sen kahdeksi erilliseksi vastaukseksi, kaikki on ratkaistu.) Itse asiassa ymmärrämme tämän. Mitä, miten ja missä.

Yksinkertaisimmassa trigonometrisessa yhtälössä

sinx = a

saadaan myös kaksi sarjaa juuria. On aina. Ja nämä kaksi sarjaa voidaan myös äänittää yksi linja. Vain tämä rivi on ovelampi:

х = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z

Mutta olemus pysyy samana. Matemaatikot yksinkertaisesti rakensivat kaavan tehdäkseen yhden sarjan juurisarjan tietueen kahden sijaan. Ja siinä se!

Tarkastetaanko matemaatikot? Ja sitten ei koskaan tiedä...)

Edellisellä oppitunnilla analysoitiin yksityiskohtaisesti trigonometrisen yhtälön ratkaisu (ilman kaavoja) sinillä:

Vastaus tuotti kaksi sarjaa juuria:

x 1 = π / 6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π / 6 + 2π n, n ∈ Z

Jos ratkaisemme saman yhtälön kaavalla, saamme vastauksen:

x = (-1) n arcsin 0,5 + π n, n ∈ Z

Itse asiassa tämä on keskeneräinen vastaus.) Opiskelijan on tiedettävä se arcsin 0,5 = π / 6. Täydellinen vastaus olisi:

x = (-1) n π / 6+ π n, n ∈ Z

Tämä herättää mielenkiintoisen kysymyksen. Vastaa kautta x 1; x 2 (se on oikea vastaus!) ja yksinäisyyden kautta X (ja tämä on oikea vastaus!) - sama asia vai ei? Selvitämme nyt.)

Korvaa vastauksena x 1 merkitys n = 0; yksi; 2; ja niin edelleen, laskemme, saamme sarjan juuria:

x 1 = π/6; 13π / 6; 25π / 6 jne.

Samalla korvauksella vastauksessa x 2 , saamme:

x2 = 5π/6; 17π / 6; 29π / 6 jne.

Nyt korvaamme arvot n (0; 1; 2; 3; 4 ...) yksinäisen yleiseen kaavaan X ... Eli nostetaan miinus yksi nollaan, sitten ensimmäiseen, toiseen jne. Ja tietysti korvaamme 0:lla toisessa termissä; yksi; 2 3; 4 jne. Ja laskemme. Saamme sarjan:

x = π/6; 5π / 6; 13π / 6; 17π / 6; 25π / 6 jne.

Siinä on kaikki mitä näet.) Yleinen kaava antaa meille täsmälleen samat tulokset, kuin kaksi vastausta erikseen. Vain kaikki kerralla, järjestyksessä. Älä anna matemaatikoiden pettää.)

Kaavat trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseksi tangentin ja kotangentin kanssa voidaan myös tarkistaa. Mutta emme tee.) Ne ovat niin yksinkertaisia.

Olen kuvaillut kaiken tämän korvaamisen ja todentamisen tarkoituksella. Tässä on tärkeää ymmärtää yksi yksinkertainen asia: perustrigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseen on kaavoja, vain lyhyt muistiinpano vastauksista. Tämän lyhyyden vuoksi minun piti lisätä plus/miinus kosiniratkaisuun ja (-1) n siniratkaisuun.

Nämä lisäykset eivät millään tavalla häiritse tehtäviä, joissa sinun tarvitsee vain kirjoittaa vastaus alkeisyhtälöön. Mutta jos sinun on ratkaistava epätasa-arvo tai sitten sinun on tehtävä jotain vastauksella: valitse juuret väliltä, ​​tarkista ODZ jne., nämä lisäykset voivat helposti häiritä ihmistä.

Ja mitä tehdä? Kyllä, joko kirjoita vastaus ylös kahdessa sarjassa tai ratkaise yhtälö / epäyhtälö trigonometristä ympyrää pitkin. Sitten nämä lisäkkeet katoavat ja elämästä tulee helpompaa.)

Voimme tiivistää.

Yksinkertaisimpien trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseen on valmiita vastauskaavoja. Neljä kappaletta. Niiden avulla voidaan välittömästi tallentaa yhtälön ratkaisu. Esimerkiksi sinun on ratkaistava yhtälöt:

sinx = 0,3

Helppo: х = (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z

cosx = 0,2

Ei ongelmaa: х = ± kaaret 0,2 + 2π n, n ∈ Z

tgx = 1,2

Helposti: x = arctaani 1,2 + π n, n ∈ Z

ctgx = 3,7

Yksi jäljellä: x = arcctg3,7 + π n, n ∈ Z

cos x = 1,8

Jos sinä loistat tiedosta, kirjoitat vastauksen välittömästi:

x = ± kaaret 1,8 + 2π n, n ∈ Z

silloin sinä loistat jo, tämä ... tuo ... lätäköstä.) Oikea vastaus: ei ratkaisuja. Ymmärrätkö miksi? Lue mikä arckosiini on. Lisäksi, jos sinin, kosinin, tangentin, kotangentin taulukkoarvot ovat alkuperäisen yhtälön oikealla puolella, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 jne. - vastaus holvien läpi jää kesken. Kaaret on muutettava radiaaneiksi.

Ja jos törmäät eriarvoisuuteen kuten

niin vastaus on:

х πn, n ∈ Z

on harvinainen hölynpöly, kyllä ​​...) Tässä on tarpeen päättää trigonometrisesta ympyrästä. Mitä teemme kyseisessä aiheessa.

Niille, jotka ovat sankarillisesti lukeneet nämä rivit. En voi muuta kuin arvostaa titaanisia ponnistelujasi. sinulle bonus.)

Bonus:

Kun kirjoitat kaavoja hälyttävässä taisteluympäristössä, jopa akateemisesti paatuneet nörtit ovat usein hämmentyneitä siitä, missä πn, Ja missä 2π n. Tässä on yksinkertainen temppu. Sisään kaikista arvoiset kaavat πn. Paitsi ainoa kaava, jossa on käänteiskosini. Se seisoo siellä 2πn. Kaksi pien. Avainsana - kaksi. Sama kaava sisältää kaksi merkki alussa. Plussaa ja miinusta. Siellä sun täällä - kaksi.

Jos siis kirjoitit kaksi merkki käänteisen kosinin edessä, on helpompi muistaa, mitä lopussa on kaksi pien. Ja jopa päinvastoin tapahtuu. Ohita mies -merkki ± , menee loppuun, kirjoittaa sen oikein kaksi pien, ja se tulee järkiinsä. Jotain edellä kaksi merkki! Henkilö palaa alkuun, mutta hän korjaa virheen! Kuten tämä.)

Jos pidät tästä sivustosta...

Muuten, minulla on sinulle pari mielenkiintoista sivustoa.)

Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Välitön validointitestaus. Oppiminen - mielenkiinnolla!)

voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.

Zakharova Ludmila Vladimirovna
MBOU "Secondary School No. 59" Barnaulissa
matematiikan opettaja [sähköposti suojattu]

№1 Yksinkertaisimmat trigonometriset yhtälöt

Kohde: 1. Johda kaavat muodon yksinkertaisimpien trigonometristen yhtälöiden ratkaisuille sinx = a, cosx = a, tgx = a, ctgx = a;

2. Opi ratkaisemaan yksinkertaisimmat trigonometriset yhtälöt kaavojen avulla.

Laitteet: 1) Taulukot trigonometristen funktioiden y = kaavioilla sinx, y = cosx, y = tgx, y = ctgx; 2) Käänteisten trigonometristen funktioiden arvojen taulukko; 3) Yhteenvetotaulukko kaavoista yksinkertaisimpien trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseksi.

Luentotuntisuunnitelma:

1 Kaavojen johtaminen yhtälön juurille

a) sinx = a,

b) cosx = a,

c) tgx = a,

d) ctgx = a.

2 ... Suullinen frontaalityö saatujen kaavojen vahvistamiseksi.

3 ... Kirjallinen työ opiskelun aineiston vahvistamiseksi

Algebrassa, geometriassa, fysiikassa ja muissa oppiaineissa kohtaamme erilaisia ​​ongelmia, joiden ratkaiseminen liittyy yhtälöiden ratkaisuun. Olemme tutkineet trigonometristen funktioiden ominaisuuksia, joten on luonnollista kääntyä yhtälöiden puoleen, joissa tuntematon on funktioiden merkin alla

Määritelmä: Muodon yhtälöt sinx = a , cosx= a , tgx= a , ctgx= a kutsutaan yksinkertaisimmiksi trigonometrisiksi yhtälöiksi.

On erittäin tärkeää oppia ratkaisemaan yksinkertaisimmat trigonometriset yhtälöt, koska kaikki menetelmät ja tekniikat minkä tahansa trigonometrisen yhtälön ratkaisemiseksi on pelkistää ne yksinkertaisimpiin.

Aloitetaan johtamalla kaavoja, jotka "aktiivisesti" toimivat trigonometristen yhtälöiden ratkaisemisessa.

1. Yhtälöt muotoa sinx = a.

Ratkaistaan ​​yhtälö sinx = a graafisesti. Tätä varten piirretään yhteen koordinaattijärjestelmään funktioiden y = sinx ja y = kuvaajat a.

1) Jos a> 1 ja a synti x = a ei ole ratkaisuja, koska suoralla ja sinusoidilla ei ole yhteisiä pisteitä.

2) Jos -1a a ylittää sinusoidin äärettömän monta kertaa. Tämä tarkoittaa, että yhtälö sinx = a on äärettömän monta ratkaisua.

Koska sinijakso on 2 , sitten yhtälön ratkaisemiseksi sinx = a riittää, että löytää kaikki ratkaisut mille tahansa segmentille, jonka pituus on 2.

Ratkaisemalla yhtälö [- / 2; / 2] arsinin x = määritelmän mukaan arcsin a, ja kohdassa x = -arcsin a... Kun otetaan huomioon funktion y = sinx jaksollisuus, saadaan seuraavat lausekkeet

x = -arcsin a+ 2n, n Z.

Molemmat ratkaisusarjat voidaan yhdistää

X = (-1) n arcsin a+ n, nZ.

Seuraavissa kolmessa tapauksessa he eivät halua käyttää yleistä kaavaa, vaan yksinkertaisempia suhteita:

Jos a= -1, sitten sin x = -1, x = - / 2 + 2n

Jos a= 1, sitten sin x = 1, x = / 2 + 2n

Jos a = 0, sitten sin x = 0. x = n,

Esimerkki: Ratkaise yhtälö sinx = 1/2.

Laaditaan kaavat ratkaisuille x = arcsin 1/2 + 2n

X = - arcsin a + 2n

Lasketaan arvo arcsin1/2. Korvaa löydetty arvo ratkaisukaavat

x = 5/6 + 2 n

tai yleisellä kaavalla

X = (-1) n arcsin 1/2 + n,

X = (-1) n / 6 + n,

2. Muodon yhtälöt cosx = a.

Ratkaistaan ​​yhtälö cosx = a myös graafisesti piirtämällä funktioiden y = cosx ja y = graafit a.

1) Jos 1, niin yhtälö cosx = a ei ole ratkaisuja, koska kaavioilla ei ole yhteisiä pisteitä.

2) Jos -1 a cosx = a on ääretön määrä ratkaisuja.

Löydämme kaikki ratkaisut cosx = a pituudella 2, koska kosinin jakso on 2.

Arkosiinin määritelmän mukaisessa yhtälön ratkaisussa on x = arcos a. Kun otetaan huomioon kosinifunktion pariteetti, yhtälön [-; 0] ratkaisu on x = -arcos a.

Siten yhtälön ratkaisut cosx = a x = + arcos a+ 2 n,

Kolmessa tapauksessa emme käytä yleistä kaavaa, vaan yksinkertaisempia suhteita:

Jos a= -1, sitten cosx = -1, x = - / 2 + 2n

Jos a= 1, sitten cosx = 1, x = 2n,

Jos a = 0, niin cosx = 0. x = / 2 + n

Esimerkki: Ratkaise yhtälö cos x = 1/2,

Laaditaan kaavat ratkaisuille x = kaaret 1/2 + 2n

Lasketaan arvo arccos 1/2.

Korvaa löydetty arvo ratkaisukaavat

X = + /3+ 2n, nZ.

Muodon yhtälöt tgx = a.

Koska tangentin jakso on yhtä suuri, niin yhtälön kaikkien ratkaisujen löytämiseksi tgx = a, riittää löytää kaikki ratkaisut millä tahansa pituudella. Arktangentin määritelmän mukaan yhtälön (- / 2; / 2) ratkaisu on arktaani a. Kun otetaan huomioon funktion jakso, kaikki yhtälön ratkaisut voidaan kirjoittaa muotoon

x = arctg a+ n, nZ.

Esimerkki: Ratkaise yhtälö tg x = 3/3

Tehdään kaava x = ratkaisemiseksi arctan 3/3 + n, nZ.

Laskemme arktangentin arvon arctan 3/3 = / 6 siis

X = /6 + n, nZ.

Kaavan johtaminen yhtälön ratkaisemiseksi Kanssa tgx= a voidaan tarjota opiskelijoille.

Esimerkki.

Ratkaise yhtälö ctg x = 1.

x = arcсtg 1 + n, nZ,

X = /4 + n, nZ.

Tutkitun materiaalin tuloksena opiskelijat voivat täyttää taulukon:

"Trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen."

yhtälö

Harjoituksia opitun materiaalin lujittamiseksi.

(Suullisesti) Mikä kirjoitetuista yhtälöistä voidaan ratkaista kaavoilla:

a) x = (-1) n arcsin a+ n, nZ;

b) x = + arcos + 2 n?

cos x = 2/2, tg x = 1, sin x = 1/3, ctg x = 3/3, sin x = -1/2, cos x = 2/3, sin x = 3, cos x = 2 ...

Millä listatuista yhtälöistä ei ole ratkaisuja?

Ratkaise yhtälöt:

a) sin x = 0; e) sin x = 2/2; h) sin x = 2;

b) cos x = 2/2; f) cos x = -1/2; i) cos x = 1;

d) tg x = 3; g) ctg x = -1; j) tg x = 1/3.

3. Ratkaise yhtälöt:

a) sin 3x = 0; e) 2cos x = 1;

b) cos x/2 = 1/2; f) 3 tan 3x = 1;

d) sin x/4 = 1; g) 2cos (2x + / 5) = 3.

Näitä yhtälöitä ratkaistaessa on hyödyllistä kirjoittaa muistiin muodon yhtälöiden ratkaisemisen säännöt synti v x = a, ja Kanssa synti v x = a, | a|1.

Synti v x = a, | a | 1.

v x = (-1) n arcsin a+ n, nZ,

x = (-1) n 1 / v arcsin a+ n / v, nZ.

Yhteenveto oppitunnin tuloksista:

Tänään oppitunnilla olemme johtaneet kaavoja yksinkertaisimpien trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseksi.

Purettu esimerkkejä yksinkertaisimpien trigonometristen yhtälöiden ratkaisemisesta.

Täytimme taulukon, jota käytämme yhtälöiden ratkaisemiseen.

Kotitehtävät.

№2 Trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen

Kohde: Tutkia menetelmiä trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseksi: 1) pelkistävissä neliöllisiksi 2) pelkistävissä homogeenisiksi trigonometrisiksi yhtälöiksi.

Kehittää opiskelijoiden havainnointitaitoja erilaisten trigonometristen yhtälöiden ratkaisumenetelmien käytössä.

Etutyötä opiskelijoiden kanssa.

Mitkä ovat trigonometristen yhtälöiden juurten kaavat cos x = a, sin x = a, tgx = a, ctg x = a.

Ratkaise yhtälöt (suullisesti):

cos x = -1, sin x = 0, tgx = 0, ctg x = 1, cos x = 1,5, sin x = 0.

Etsi virheet ja mieti virheiden syitä.

cos x = 1/2, x = + / 6 + 2k, k Z.

sin x = 3/2, x = / 3 + k, kZ.

tgx = / 4, x = 1 + k, kZ.

2. Uuden materiaalin oppiminen.

Tämä oppitunti kattaa joitain yleisimmistä menetelmistä trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseksi.

Trigonometriset yhtälöt pelkistetty neliöllisiksi.

Tämä luokka voi sisältää yhtälöitä, jotka sisältävät yhden funktion (sini tai kosini) tai kaksi yhden argumentin funktiota, mutta yksi niistä pelkistetään toiseksi käyttämällä trigonometrisiä perusidentiteettejä.

Esimerkiksi jos cosх sisältyy yhtälöön parillisina potenssiin, niin korvaamme sen 1- sin 2 x, jos sin 2 x, niin korvaamme sen 1-cos 2 x:llä.

Esimerkki.

Ratkaise yhtälö: 8 sin 2 x - 6sin x -5 = 0.

Ratkaisu: Merkitsemme sin x = t, sitten 8t 2 - 6t - 5 = 0,

D = 196,

T1 = -1/2, t2 = -5/4.

Suoritetaan käänteinen muutos ja ratkaistaan ​​seuraavat yhtälöt.

X = (-1) k + 1/6 + k, kZ.

Koska -5/4> 1, yhtälöllä ei ole juuria.

Vastaus: x = (- 1) k + 1/6 + k, kZ.

Vahvistavien harjoitusten ratkaisu.

Ratkaise yhtälö:

1) 2sin 2 x + 3cos x = 0;

2) 5sin 2 x + 6cos x -6 = 0;

3) 2sin 2 x + 3cos 2 x = -2sin x;

4) 3 tg 2 x +2 tgx-1 = 0.

Homogeeniset trigonometriset yhtälöt.

Määritelmä: 1) Muodon yhtälöa sinx + b cosx= 0, (a = 0, b = 0) kutsutaan ensimmäisen asteen homogeeniseksi yhtälöksi sin x:n ja cos x:n suhteen.

Tämä yhtälö ratkaistaan ​​jakamalla sen molemmat osat cosx 0. Tulos on yhtälö atgx + b = 0.

2) Muodon yhtälöa synti 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x =0 kutsutaan toisen asteen homogeeniseksi yhtälöksi, jossa a, b, c ovat mitä tahansa lukuja.

Jos a = 0, yhtälö ratkaistaan ​​jakamalla molemmat osat arvolla cos 2 x 0. Tuloksena saadaan yhtälö atg 2 x + btgx + c = 0.

Kommentti: Muodon yhtälöa synti mx + b cos mx=0 tai

a synti 2 mx + b synti mx cos mx + c cos 2 mx =0 ovat myös homogeenisia. Niiden ratkaisemiseksi yhtälön molemmat puolet jaetaan cos:lla mx=0 tai cos 2 mx=0

3) Eri yhtälöt voidaan pelkistää homogeenisiksi yhtälöiksi, jotka eivät alun perin ole sellaisia. Esimerkiksi,synti 2 mx + b synti mx cos mx + c cos 2 mx = d, ja a sinx + b cosx= d. Näiden yhtälöiden ratkaisemiseksi sinun on kerrottava oikea puoli "Trigonometrinen yksikkö" nuo. päällä synti 2 x + cos 2 x ja suorittaa matemaattisia muunnoksia.

Harjoituksia opitun materiaalin vahvistamiseksi:

1) 2sin x-3cos x = 0; 5) 4 sin 2 x - sin2x = 3;

2) sin 2x + cos2x = 0; 6) 3 sin 2 x + sinx cosx = 2 cos 2 x;

3) sin x + 3cos x = 0; 7) 3 sin 2 x- sinx cosx = 2;

4) sin 2 x -3 sinx cosx +2 cos 2 x = 0

3. Yhteenveto oppitunnin tuloksista. Kotitehtävät.

Tällä oppitunnilla voit ryhmän valmiudesta riippuen harkita muodon yhtälöiden ratkaisemista a sin mx + b cos mx = c, missä a, b, c eivät ole yhtä aikaa nolla.

Vahvistavat harjoitukset:

1,3sin x + cos x = 2;

2,3sin 2x + cos 2x = 2;

3.sin x / 3 + cos x / 3 = 1;

4,12 sin x +5 cos x + 13 = 0.

№ 3 Trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen

Kohde: 1) Tutkia menetelmää trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseksi tekijöiden avulla; oppia ratkaisemaan trigonometrisiä yhtälöitä käyttämällä erilaisia ​​trigonometrisiä kaavoja;

2) Tarkista: opiskelijoiden tieto kaavoista yksinkertaisimpien trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseksi; kyky ratkaista yksinkertaisimmat trigonometriset yhtälöt.

Tuntisuunnitelma:

Kotitehtävien tarkistus.

Matemaattinen sanelu.

Uuden materiaalin oppiminen.

Itsenäinen työ.

Yhteenveto oppitunnin tuloksista. Kotitehtävät.

Oppitunnin kulku:

Kotitehtävien tarkistus (trigonometristen yhtälöiden ratkaisu kirjoitetaan lyhyesti taululle).

Matemaattinen sanelu.

KOHDASSA 1

1. Mitä yhtälöitä kutsutaan yksinkertaisimmiksi trigonometrisiksi yhtälöiksi?

2. Mikä on muodon yhtälön nimia sinx + b cosx = 0? Ilmoita tapa ratkaista se.

3.Kirjoita yhtälön juurten kaava tgx = a(ctg x = a).

4. Kirjoita muistiin muodon yhtälöiden juurten kaavat cosx = a, missä a=1, a=0, a=-1.

5. Kirjoita muistiin yhtälön juurien yleinen kaava sin x = a, | a|

6. Miten muotoyhtälöt ovata cosx = b, | b|

IN 2

1. Kirjoita muistiin yhtälöiden juurten kaavat cosx = a,| a|

2. Kirjoita muistiin yhtälön juurien yleinen kaava

= a, | a|

3. Mitkä ovat muodon yhtälöiden nimet sin x = a, tgx = a, sin x = a?

4. Kirjoita muistiin yhtälön juurten kaavat sin x = a, jos a=1, a=0, a=-1.

5.Kuinka ovat muodon yhtälöt synti a x = b, | b|

6. Mitä yhtälöitä kutsutaan toisen asteen homogeenisiksi yhtälöiksi? Miten ne ratkaistaan?

Uuden materiaalin oppiminen.

Factoring menetelmä.

Yksi yleisimmin käytetyistä menetelmistä trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseksi on faktorointimenetelmä.

Jos yhtälö f (x) = 0 voidaan esittää f 1 (x) f 2 (x) = 0, niin tehtävä pelkistetään kahden yhtälön f 1 (x) = 0, f 2 (x) = 0 ratkaisemiseksi. .

(Oppilaiden kanssa on hyödyllistä muistaa sääntö " Tekijöiden tulo on nolla, jos ainakin yksi tekijöistä on nolla, kun taas muut ovat järkeviä»)

Tutkitun aineiston konsolidointi vaihtelevan monimutkaisuuden yhtälöiden ratkaisun avulla.

(sin x-1/2) (sin x + 1) = 0; 2) (cosx- 2/2) (sin x + 2/2) = 0; (itse)

3) sin 2 x + sin x cosx = 0; 4) sin 2 x - sin x = 0;

5) sin 2x - cosx = 0; 6) 4 cos 2 x -1 = 0; (kahdella tavalla)

7) cosx + cos3x = 0; 8) sin 3x = sin 17x;

9) sin x + sin 2x + sin 3x = 0; 10) cos3x cos5x

11) sin x cos5x = sin 9x cos3x sin 2x sin 2x

12) 3 cosx sin x + cos 2 x = 0 (itse)

13) 2 cos 2 x - sin (x- / 2) + tgx tg (x + / 2) = 0.

Itsenäinen työ.

Vaihtoehto-1 Vaihtoehto-2

1) 6 sin 2 x + 5sin x -1 = 0; 1) 3 cos 2 x + 2 cosx -5 = 0;

2) sin 2x - cos2x = 0; 2) 3 cos x / 2 - sin x / 2 = 0;

3) 5 sin 2 x + sin x cosx -2 cos 2 x = 2; 3) 4sin 2 x- sin x cosx + 7cos 2 x = 5;

4) sin x + sin5x = sin3x + sin7x; 4) sin x-sin 2x + sin 3x-sin 4x = 0;

5) sin x + cosx = 1. 5) sin x + cosx = 2.

8. Oppitunnin yhteenveto. Kotitehtävät.