Differentiaaliyhtälöt verkossa. Differentiaaliyhtälöt

Ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälöt. Ratkaisuesimerkkejä.
Differentiaaliyhtälöt erotettavilla muuttujilla

Differentiaaliyhtälöt (DE). Nämä kaksi sanaa yleensä pelottavat keskimääräistä maallikkoa. Differentiaaliyhtälöt näyttävät olevan jotain törkeää ja vaikeaa hallita monille opiskelijoille. Uuuuuu… differentiaaliyhtälöt, miten selviäisin tästä kaikesta?!

Tällainen mielipide ja asenne on pohjimmiltaan väärä, koska itse asiassa DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT OVAT YKSINKERTAISTA JA JOPA HAUSKAA. Mitä sinun tulee tietää ja osata ratkaista differentiaaliyhtälöitä? Jotta voit opiskella diffuureja onnistuneesti, sinun on oltava hyvä integroimaan ja erottautumaan. Mitä paremmin aiheita tutkitaan Yhden muuttujan funktion derivaatta Ja Epämääräinen integraali, sitä helpompi on ymmärtää differentiaaliyhtälöitä. Sanon enemmän, jos sinulla on enemmän tai vähemmän kunnolliset integraatiotaidot, niin aihe on käytännössä hallittu! Mitä enemmän integraaleja erilaisia tyyppejä tiedät kuinka päättää - sen parempi. Miksi? Sinun täytyy integroida paljon. Ja erottaa. Myös suosittelen lämpimästi oppia löytämään.

95 %:ssa tapauksista sisään valvoa työtä ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälöitä on 3 tyyppiä: erotettavat yhtälöt, jota käsittelemme tällä oppitunnilla; homogeeniset yhtälöt Ja lineaariset epähomogeeniset yhtälöt. Aloittelijoille, jotka opiskelevat diffuusoreita, suosittelen lukemaan oppitunnit tässä järjestyksessä, ja kahden ensimmäisen artikkelin opiskelun jälkeen ei ole haittaa lujittaa taitojasi lisätyöpajassa - yhtälöt, jotka pelkistyvät homogeenisiksi.

On olemassa vielä harvinaisempia differentiaaliyhtälöiden tyyppejä: yhtälöt kokonaisdifferentiaaleissa, Bernoullin yhtälöt ja jotkut muut. Kahdesta viimeisestä tyypistä tärkeimmät ovat kokonaisdifferentiaalien yhtälöt, koska tämän DE:n lisäksi katson uutta materiaalia – osittainen integrointi.

Jos sinulla on vain päivä tai kaksi jäljellä, Tuo erittäin nopeaan valmistukseen On blitz-kurssi pdf-muodossa.

Joten, maamerkit on asetettu - mennään:

Muistetaan ensin tavalliset algebralliset yhtälöt. Ne sisältävät muuttujia ja numeroita. Yksinkertaisin esimerkki: . Mitä tarkoittaa tavallisen yhtälön ratkaiseminen? Tämä tarkoittaa löytää joukko numeroita jotka täyttävät tämän yhtälön. On helppo nähdä, että lasten yhtälöllä on yksi juuri: . Tehdään huvin vuoksi tarkistus, korvaa löydetty juuri yhtälöimme:

- saadaan oikea yhtäläisyys, mikä tarkoittaa, että ratkaisu löytyy oikein.

Diffuusit on järjestetty pitkälti samalla tavalla!

Differentiaaliyhtälö ensimmäinen tilaus yleisesti sisältää:
1) riippumaton muuttuja ;
2) riippuva muuttuja (funktio);
3) funktion ensimmäinen derivaatta: .

Joissakin ensimmäisen asteen yhtälöissä ei välttämättä ole "x" tai (ja) "y", mutta tämä ei ole välttämätöntä - tärkeä niin että DU:ssa oli ensimmäinen johdannainen ja ei ollut korkeamman asteen johdannaiset - jne.

Mitä tarkoittaa ? Differentiaaliyhtälön ratkaiseminen tarkoittaa löytämistä joukko kaikkia toimintoja jotka täyttävät tämän yhtälön. Tällaisella funktiojoukolla on usein muoto ( on mielivaltainen vakio), jota kutsutaan differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu.

Esimerkki 1

Ratkaise differentiaaliyhtälö

Täydet ammukset. Mistä aloittaa ratkaisu?

Ensinnäkin sinun on kirjoitettava johdannainen uudelleen hieman eri muodossa. Muistamme hankalan merkinnän, jota monet teistä luultavasti pitivät naurettavana ja tarpeettomana. Se on se, joka hallitsee diffuusereita!

Toisessa vaiheessa katsotaan, onko se mahdollista jakaa muuttujat? Mitä muuttujien erottaminen tarkoittaa? Karkeasti sanottuna, vasemmalla puolella meidän täytyy lähteä vain "pelejä", A oikealla puolella järjestää vain x:t. Muuttujien erottelu suoritetaan "koulu"-manipulaatioiden avulla: sulut, termien siirto osasta osaan etumerkin muutoksella, tekijöiden siirto osasta osaan suhteellisuussäännön mukaisesti jne.

Erot ja ovat täydellisiä kertojia ja aktiivisia osallistujia vihollisuuksiin. Tässä esimerkissä muuttujat erotetaan helposti kääntökertoimilla suhteellisuussäännön mukaisesti:

Muuttujat erotetaan toisistaan. Vasemmalla - vain "Peli", oikealla - vain "X".

Seuraava vaihe - differentiaaliyhtälön integrointi. Se on yksinkertaista, ripustamme integraalit molempiin osiin:

Integraalit on tietysti otettava. Tässä tapauksessa ne ovat taulukkomuotoisia:

Kuten muistamme, jokaiselle antijohdannaiselle on määritetty vakio. Tässä on kaksi integraalia, mutta vakion kirjoittaminen riittää kerran (koska vakio + vakio on silti sama kuin toinen vakio). Useimmissa tapauksissa se on sijoitettu oikealle puolelle.

Tarkkaan ottaen, kun integraalit on otettu, differentiaaliyhtälön katsotaan olevan ratkaistu. Ainoa asia on, että meidän "y" ei ilmaista "x":n kautta, eli ratkaisu esitetään implisiittisessä muodossa. Differentiaaliyhtälön implisiittistä ratkaisua kutsutaan differentiaaliyhtälön yleinen integraali. Eli on yleinen integraali.

Vastaus tässä muodossa on varsin hyväksyttävä, mutta onko olemassa parempaa vaihtoehtoa? Yritetään saada yhteinen päätös.

Ole kiltti, muista ensimmäinen tekniikka, se on hyvin yleinen ja sitä käytetään usein käytännön tehtävissä: jos logaritmi ilmestyy oikealle puolelle integroinnin jälkeen, niin monissa tapauksissa (mutta ei suinkaan aina!) on suositeltavaa kirjoittaa myös vakio logaritmin alle.

Tuo on, SIJASTA pöytäkirjat yleensä kirjoitetaan .

Miksi tätä tarvitaan? Ja jotta "y" olisi helpompi ilmaista. Käytämme logaritmien ominaisuutta . Tässä tapauksessa:

Nyt logaritmit ja moduulit voidaan poistaa:

Toiminto esitetään selkeästi. Tämä on yleinen ratkaisu.

Vastaus: yhteinen päätös: .

Vastaukset moniin differentiaaliyhtälöihin on melko helppo tarkistaa. Meidän tapauksessamme tämä tehdään yksinkertaisesti, otamme löydetyn ratkaisun ja erottelemme sen:

Sitten korvaamme derivaatan alkuperäiseen yhtälöön:

- saadaan oikea yhtälö, mikä tarkoittaa, että yleinen ratkaisu täyttää yhtälön , joka oli tarkistettava.

Vakion antaminen erilaisia merkityksiä, voit saada äärettömän monta yksityisiä päätöksiä differentiaaliyhtälö. On selvää, että jokin funktioista , jne. täyttää differentiaaliyhtälön.

Joskus yleistä ratkaisua kutsutaan toimintoperhe. SISÄÄN tämä esimerkki yhteinen päätös on lineaaristen funktioiden perhe, tai pikemminkin suorien suhteellisuussuhteiden perhe.

Ensimmäisen esimerkin yksityiskohtaisen keskustelun jälkeen on tarkoituksenmukaista vastata muutamaan naiiviin kysymykseen differentiaaliyhtälöistä:

1)Tässä esimerkissä onnistuimme erottamaan muuttujat. Onko tämä aina mahdollista? Ei ei aina. Ja vielä useammin muuttujia ei voida erottaa. Esimerkiksi sisään homogeeniset ensimmäisen kertaluvun yhtälöt on vaihdettava ensin. Muissa yhtälötyypeissä, esimerkiksi ensimmäisen kertaluvun lineaarisessa epähomogeenisessa yhtälössä, sinun on käytettävä erilaisia temppuja ja menetelmiä yleisen ratkaisun löytämiseksi. Erottuvat muuttujayhtälöt, joita tarkastelemme ensimmäisessä oppitunnissa, ovat − yksinkertaisin tyyppi differentiaaliyhtälöt.

2) Onko aina mahdollista integroida differentiaaliyhtälö? Ei ei aina. On erittäin helppoa keksiä "upea" yhtälö, jota ei voida integroida, lisäksi on integraaleja, joita ei voida ottaa. Mutta tällaiset DE: t voidaan ratkaista suunnilleen erityisillä menetelmillä. D'Alembert ja Cauchy takaavat... ...ugh, lurkmore. Luin juuri nyt paljon, melkein lisäsin "toisesta maailmasta".

3) Tässä esimerkissä olemme saaneet ratkaisun yleisen integraalin muodossa . Onko yleisestä integraalista aina mahdollista löytää yleinen ratkaisu, eli ilmaista "y" eksplisiittisessä muodossa? Ei ei aina. Esimerkiksi: . No, miten voin ilmaista "y" täällä?! Tällaisissa tapauksissa vastaus tulee kirjoittaa yleisenä integraalina. Lisäksi joskus löytyy yleinen ratkaisu, mutta se on kirjoitettu niin hankalasti ja kömpelösti, että on parempi jättää vastaus yleisen integraalin muotoon

4) ...ehkä riittää toistaiseksi. Ensimmäisessä esimerkissä tapasimme Toinen tärkeä pointti , mutta jotta "nukkeja" ei peittäisi lumivyöryllä uusi tieto Jätän sen seuraavalle tunnille.

Älkäämme pitäkö kiirettä. Toinen yksinkertainen kaukosäädin ja toinen tyypillinen ratkaisu:

Esimerkki 2

Etsi differentiaaliyhtälön ratkaisu, joka täyttää alkuehdon

Ratkaisu: sen ehdon mukaan, mikä se on löydettävä yksityinen ratkaisu DE, joka täyttää tietyn alkuehdon. Tällaista kyseenalaistamista kutsutaan myös Cauchy ongelma.

Ensin löydämme yleisen ratkaisun. Yhtälössä ei ole x-muuttujaa, mutta tämän ei pitäisi olla noloa, pääasia, että sillä on ensimmäinen derivaatta.

Kirjoitamme derivaatan uudelleen sisään haluttu muoto:

Ilmeisesti muuttujat voidaan jakaa, pojat vasemmalle, tytöt oikealle:

Integroimme yhtälön:

Yleinen integraali saadaan. Piirsin tähän vakion korostustähdellä, tosiasia on, että se muuttuu pian toiseksi vakioksi.

Nyt yritämme muuntaa yleisen integraalin yleiseksi ratkaisuksi (ilmaista "y" eksplisiittisesti). Muistamme vanhan, hyvän koulun: . Tässä tapauksessa:

Indikaattorin vakio näyttää jotenkin ei kosherilta, joten se lasketaan yleensä taivaasta maan päälle. Yksityiskohtaisesti se tapahtuu näin. Käyttämällä asteiden ominaisuutta kirjoitamme funktion uudelleen seuraavasti:

Jos on vakio, niin on myös jokin vakio, määritä se uudelleen kirjaimella:

Muista, että vakion "purku" on toinen tekniikka, jota käytetään usein differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa.

Joten yleinen ratkaisu on: Hieno eksponentiaalisten funktioiden perhe.

Viimeisessä vaiheessa sinun on löydettävä tietty ratkaisu, joka täyttää annetun alkuehdon . Se on myös yksinkertainen.

Mikä on tehtävä? Pitää noutaa sellaisia vakion arvo ehdon täyttämiseksi.

Voit järjestää sen eri tavoin, mutta ehkä ymmärrettävin on tällainen. Yleisessä ratkaisussa "x":n sijasta korvataan nolla ja "y":n sijaan kaksi:

Tuo on,

Vakiomuotoiluversio:

Korvaamme nyt vakion löydetyn arvon yleiseen ratkaisuun:
– Tämä on se ratkaisu, jota tarvitsemme.

Vastaus: yksityinen ratkaisu:

Tehdään tarkistus. Tietyn ratkaisun varmentamiseen kuuluu kaksi vaihetta:

Ensin on tarkistettava, täyttääkö löydetty tietty ratkaisu todella alkuehtoa? "x":n sijasta korvaamme nollan ja katsomme mitä tapahtuu:
- kyllä, todellakin, kakkonen saatiin, mikä tarkoittaa, että alkuehto täyttyy.

Toinen vaihe on jo tuttu. Otamme tuloksena olevan tietyn ratkaisun ja löydämme johdannaisen:

Korvaa alkuperäisessä yhtälössä:

- oikea tasa-arvo saavutetaan.

Johtopäätös: tietty ratkaisu löytyy oikein.

Jatketaan merkityksellisempiin esimerkkeihin.

Esimerkki 3

Ratkaise differentiaaliyhtälö

Ratkaisu: Kirjoitamme johdannaisen uudelleen tarvitsemassamme muodossa:

Arvioimassa, voidaanko muuttujat erottaa? Voi. Siirrämme toisen termin oikealle merkin muutoksella:

Ja käännämme tekijät suhteellisuussäännön mukaan:

Muuttujat erotetaan toisistaan, integroidaan molemmat osat:

Minun täytyy varoittaa sinua, tuomiopäivä on tulossa. Jos et ole oppinut hyvin määrittelemättömät integraalit, ratkaisi muutamia esimerkkejä, niin ei ole minne mennä - sinun on hallittava ne nyt.

Vasemman puolen integraali on helppo löytää, kotangentin integraalilla käsittelemme oppitunnilla tarkasteltuamme standarditekniikkaa Trigonometristen funktioiden integrointi viime vuonna:

Oikealla puolella on logaritmi, ja ensimmäisen teknisen suositukseni mukaan myös vakio tulee kirjoittaa logaritmin alle.

Nyt yritämme yksinkertaistaa yleistä integraalia. Koska meillä on vain logaritmeja, on täysin mahdollista (ja välttämätöntä) päästä eroon niistä. Käyttämällä tunnetut ominaisuudet"pakkaa" maksimaalisesti logaritmit. Kirjoitan hyvin yksityiskohtaisesti:

Pakkaus on valmis olemaan barbaarisesti repeytynyt:

Onko mahdollista ilmaista "y"? Voi. Molemmat osat on oltava neliömäisiä.

Mutta sinun ei tarvitse.

Kolmas tekninen vinkki: jos yleisen ratkaisun saamiseksi sinun on nostettava tehoon tai juurtuttava, niin Useimmissa tapauksissa sinun tulee pidättäytyä näistä toimista ja jättää vastaus yleisen integraalin muodossa. Tosiasia on, että yleinen ratkaisu näyttää aivan kamalalta - suurilla juurilla, kylteillä ja muulla roskalla.

Siksi kirjoitamme vastauksen yleisenä integraalina. Hyvänä muotona pidetään sen esittämistä muodossa, eli oikealle puolelle, jos mahdollista, jätä vain vakio. Tätä ei ole pakko tehdä, mutta aina kannattaa miellyttää professoria ;-)

Vastaus: yleinen integraali:

! Huomautus: minkä tahansa yhtälön yleinen integraali voidaan kirjoittaa useammalla kuin yhdellä tavalla. Jos tuloksesi ei siis osunut yhteen aiemmin tunnetun vastauksen kanssa, tämä ei tarkoita, että ratkaisit yhtälön väärin.

Myös yleinen integraali tarkistetaan melko helposti, pääasia, että löytyy implisiittisesti määritellyn funktion derivaatta. Erotetaan vastaus:

Kerromme molemmat termit:

Ja jaamme näin:

Alkuperäinen differentiaaliyhtälö saatiin tarkasti, mikä tarkoittaa, että yleinen integraali löytyi oikein.

Esimerkki 4

Etsi differentiaaliyhtälön ratkaisu, joka täyttää alkuehdon. Suorita tarkistus.

Tämä on esimerkki itsenäinen ratkaisu.

Muistutan, että algoritmi koostuu kahdesta vaiheesta:
1) yleisen ratkaisun löytäminen;
2) tarvittavan ratkaisun löytäminen.

Tarkastus suoritetaan myös kahdessa vaiheessa (katso esimerkki esimerkissä 2), tarvitset:
1) varmista, että löydetty ratkaisu täyttää alkuperäisen ehdon;
2) tarkista, että tietty ratkaisu yleensä täyttää differentiaaliyhtälön.

Koko ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

Esimerkki 5

Etsi differentiaaliyhtälön tietty ratkaisu , joka täyttää alkuperäisen ehdon. Suorita tarkistus.

Ratkaisu: Ensin löydetään yleinen ratkaisu, joka sisältää jo valmiit differentiaalit ja , mikä tarkoittaa, että ratkaisu on yksinkertaistettu. Erottelevat muuttujat:

Integroimme yhtälön:

Vasemmanpuoleinen integraali on taulukkomuotoinen, oikeanpuoleinen integraali otetaan menetelmä, jolla funktio summataan differentiaalin merkin alla:

Yleinen integraali on saatu, onko mahdollista ilmaista yleisratkaisu onnistuneesti? Voi. Riputamme logaritmit molemmille puolille. Koska ne ovat positiivisia, modulo-merkit ovat tarpeettomia:

(Toivottavasti kaikki ymmärtävät muutoksen, sellaiset asiat pitäisi jo tietää)

Joten yleinen ratkaisu on:

Etsitään tietty ratkaisu, joka vastaa annettua alkuehtoa .
Yleisessä ratkaisussa korvataan "x":n sijaan nolla ja "y":n sijaan kahden logaritmi:

Tutumpi muotoilu:

Korvaamme vakion löydetyn arvon yleiseen ratkaisuun.

Vastaus: yksityinen ratkaisu:

Tarkista: Tarkista ensin, täyttyykö alkuehto:
- kaikki on hyvin.

Tarkastetaan nyt, täyttääkö löydetty tietty ratkaisu ollenkaan differentiaaliyhtälöä. Löydämme johdannaisen:

Katsotaanpa alkuperäistä yhtälöä: – se esitetään differentiaaleissa. On kaksi tapaa tarkistaa. On mahdollista ilmaista differentiaali löydetystä johdannaisesta:

Korvaamme löydetyn tietyn ratkaisun ja tuloksena olevan differentiaalin alkuperäiseen yhtälöön :

Käytämme logaritmisen perusidentiteettiä:

Saadaan oikea yhtäläisyys, mikä tarkoittaa, että tietty ratkaisu löytyy oikein.

Toinen tapa tarkistaa on peilattu ja tutumpi: yhtälöstä ilmaise johdannainen, tätä varten jaamme kaikki palat seuraavasti:

Ja muunnetussa DE:ssä korvaamme saadun tietyn ratkaisun ja löydetyn derivaatan . Yksinkertaistusten tuloksena tulisi myös saavuttaa oikea tasa-arvo.

Esimerkki 6

Ratkaise differentiaaliyhtälö. Ilmaise vastaus yleisenä integraalina.

Tämä on esimerkki itseratkaisusta, kokonaisratkaisusta ja vastauksesta oppitunnin lopussa.

Mitä vaikeuksia odottaa erotettavien muuttujien differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa?

1) Ei ole aina selvää (etenkään teekannulle), että muuttujat voidaan erottaa toisistaan. Harkitse ehdollista esimerkkiä: . Tässä sinun on poistettava tekijät suluista: ja erotettava juuret:. Miten tästä eteenpäin, on selvää.

2) Itse integraation vaikeudet. Integraalit eivät usein synny yksinkertaisimmin, ja jos löytämisen taidoissa on puutteita epämääräinen integraali, silloin se on vaikeaa monien diffuusorien kanssa. Lisäksi kokoelmien ja käsikirjojen kääntäjät ovat suosittuja logiikalla "koska differentiaaliyhtälö on yksinkertainen, niin ainakin integraalit ovat monimutkaisempia".

3) Muunnokset vakiolla. Kuten kaikki ovat huomanneet, differentiaaliyhtälöiden vakio voidaan käsitellä melko vapaasti, ja jotkut muunnokset eivät aina ole aloittelijalle selviä. Katsotaanpa toista hypoteettista esimerkkiä: . Siinä on suositeltavaa kertoa kaikki ehdot kahdella: . Tuloksena oleva vakio on myös jonkinlainen vakio, jota voidaan merkitä seuraavasti: . Kyllä, ja koska oikealla puolella on logaritmi, on suositeltavaa kirjoittaa vakio toiseksi vakioksi: .

Ongelmana on, että he eivät usein välitä indeksien kanssa ja käyttävät samaa kirjainta. Tämän seurauksena päätöspöytäkirja on seuraavanlainen:

Mitä harhaoppia? Tässä ovat virheet! Tarkkaan ottaen kyllä. Sisällön kannalta virheitä ei kuitenkaan ole, koska muuttujavakion muunnoksen tuloksena saadaan silti muuttuva vakio.

Tai toinen esimerkki, oletetaan, että yhtälön ratkaisemisen aikana saadaan yleinen integraali. Tämä vastaus näyttää rumalta, joten on suositeltavaa vaihtaa kunkin termin etumerkki: . Muodollisesti on taas virhe - oikealla, se pitäisi kirjoittaa . Mutta epävirallisesti vihjataan, että "miinus ce" on edelleen vakio ( joka yhtä hyvin saa mitä tahansa arvoa!), joten "miinuksen" lisääminen ei ole järkevää ja voit käyttää samaa kirjainta.

Yritän välttää huolimatonta lähestymistapaa ja laitan silti eri indeksit vakioille niitä muunnettaessa.

Esimerkki 7

Ratkaise differentiaaliyhtälö. Suorita tarkistus.

Ratkaisu: Tämä yhtälö sallii muuttujien erottamisen. Erottelevat muuttujat:

Integroimme:

Vakiota ei tarvitse määritellä logaritmin alle, koska siitä ei seuraa mitään hyvää.

Vastaus: yleinen integraali:

Tarkista: Erota vastaus (implisiittinen funktio):

Pääsemme eroon murtoluvuista, tätä varten kerromme molemmat termit:

Alkuperäinen differentiaaliyhtälö on saatu, mikä tarkoittaa, että yleinen integraali on löydetty oikein.

Esimerkki 8

Etsi DE:n erityinen ratkaisu.
,

Tämä on tee-se-itse-esimerkki. Ainoa vihje on, että tästä saat yleisen integraalin, ja oikeammin sinun täytyy keksiä ei tiettyä ratkaisua, vaan yksityinen integraali. Koko ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

Sovellus

Differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen verkossa sivustolla, jotta opiskelijat voivat vahvistaa opiskeluaan materiaalia. Ja harjoittele käytännön taitojasi. Differentiaaliyhtälöt verkossa. Difuras verkossa, online-matemaattinen ratkaisu. Askel askeleelta ratkaisu matemaattisia tehtäviä verkossa. Differentiaaliyhtälön järjestys tai aste on siihen sisältyvien derivaattojen korkein kertaluku. Differentiaaliyhtälöt verkossa. Differentiaaliyhtälön ratkaisuprosessia kutsutaan integraatioksi. Differentiaaliyhtälön integrointiongelma katsotaan ratkaistuksi, jos tuntematon funktio voidaan kvadratuuria, riippumatta siitä, ilmaistaanko tuloksena oleva integraali lopullisessa muodossa tunnetuilla funktioilla vai ei. Differentiaaliyhtälöiden askel askeleelta ratkaisu verkossa. Kaikki differentiaaliyhtälöt voidaan jakaa tavallisiin differentiaaliyhtälöihin (ODE), jotka sisältävät vain yhden argumentin funktiot (ja niiden derivaatat), ja osittaisiin differentiaaliyhtälöihin (PDE), joissa syötefunktiot riippuvat monista muuttujista. Differentiaaliyhtälöt verkossa. On myös olemassa stokastisia differentiaaliyhtälöitä (SDE), jotka sisältävät satunnaisia prosesseja. Differentiaaliyhtälöiden askel askeleelta ratkaisu verkossa. Riippuen derivaattojen, funktioiden, riippumattomien muuttujien yhdistelmistä, differentiaaliyhtälöt jaetaan lineaarisiin ja epälineaarisiin, vakio- tai muuttujakertoimiin, homogeenisiin tai epähomogeenisiin. Sovellusten tärkeyden vuoksi kvasilineaariset (lineaariset korkeampiin derivaattaisiin nähden) osittaisdifferentiaaliyhtälöt erotetaan omassa luokassa. Differentiaaliyhtälöiden ratkaisut jaetaan yleisiin ja erityisiin ratkaisuihin. Differentiaaliyhtälöt verkossa. Yleisiä ratkaisuja ovat epävarmat vakiot ja osittaisdifferentiaaliyhtälöille - riippumattomien muuttujien mielivaltaiset funktiot, joita voidaan jalostaa lisäintegrointiehdoista (tavallisten differentiaaliyhtälöiden alkuehdot, osittaisdifferentiaaliyhtälöiden alku- ja reunaehdot). Differentiaaliyhtälöiden askel askeleelta ratkaisu verkossa. Kun näiden vakio- ja epämääräisten funktioiden muoto on määritetty, ratkaisuista tulee erityisiä. Ratkaisujen etsiminen tavallisiin differentiaaliyhtälöihin johti erikoisfunktioiden luokan perustamiseen - funktioihin, joita usein kohdataan sovelluksissa, joita ei ilmaista tunnetuilla perusfunktioilla. Differentiaaliyhtälöt verkossa. Niiden ominaisuuksia tutkittiin yksityiskohtaisesti, arvotaulukot koottiin, keskinäiset yhteydet määritettiin jne. Luettelolukujen joukkoa voidaan tutkia. Paras vastaus annettuun ongelmaan. Kuinka löytää ensimmäisessä approksimaatiossa lähtevä vektori differentiaaliyhtälöiden konvergenssialueelle selvittämättä löydettyä ylärajaa. Valinta on ilmeinen matemaattisten funktioiden kasvattamiseksi. Tutkimustason yläpuolella on progressiivinen menetelmä. Tasautuakseen ongelman alkutilaan differentiaalin ratkaisu auttaa löytämään yksiarvoisen valitun arvon. Voi olla, että hän voi määrittää tuntemattoman välittömästi. Kuten edellisessä esimerkissä ratkaisun määrittämiseksi kohteelle matemaattinen ongelma, lineaariset differentiaaliyhtälöt ovat vastaus tiettyyn tehtävään määritetyn aikakehyksen sisällä. Opintomenettelyn ylläpitoa ei ole paikallisesti määritelty. Se tulee olemaan niin, että jokaiselle opiskelijalle on oma esimerkki ja differentiaaliyhtälöiden ratkaisun määrittää vastuullisen suorittajan tehtäväksi määrätty henkilö vähintään kahdesta arvosta. Ota tietyn segmentin yleisen arvon funktio ja varoita, millä akselilla on rako. Tutkittuaan differentiaaliyhtälöitä verkossa on mahdollista osoittaa yksiselitteisesti, kuinka tärkeä tulos on, jos sellainen annetaan lähtöehdoista. Alueen leikkaaminen pois funktiomäärittelystä on mahdotonta, koska tehtävämäärittelyä ei ole paikallisesti. Yhtälöjärjestelmästä löydettynä vastaus sisältää muuttujan, joka voidaan laskea yleisessä mielessä, mutta on luonnollisesti mahdollista ratkaista differentiaaliyhtälö verkossa ilman tätä toimenpidettä mainitun ehdon määrittämiseksi. Lähellä segmentin intervallia näkyy, kuinka differentiaaliyhtälöiden ratkaisu verkossa pystyy viemään tutkimuksen tulosta positiiviseen suuntaan opiskelijoiden tiedon katkaisuhetkellä. Yleisesti hyväksytty lähestymistapa liiketoimintaan ei aina saavuta parasta. 2x-tasolla voidaan hyödyllisesti tarkastella kaikkia tarvittavia luonnollisia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä, mutta kyky laskea numeerinen arvo johtaa tiedon lisääntymiseen. Minkä tahansa matematiikan tekniikan mukaan on olemassa differentiaaliyhtälöitä, jotka esitetään olennaisesti erilaisina lausekkeina, kuten homogeenisina tai kompleksisina. Kulutuksen jälkeen yleinen analyysi funktiota tutkittaessa käy selväksi, että differentiaalin päätös mahdollisuuksien joukkona edustaa selvää virhettä arvoissa. Totuus siinä on abskissaviivojen yläpuolella olevassa tilassa. Jossain monimutkaisen funktion alueella, jossain vaiheessa sen määritelmää, lineaariset differentiaaliyhtälöt pystyvät esittämään vastauksen analyyttinen muoto. eli sisään yleisnäkymä olemuksena. Mikään ei muutu muuttujaa vaihdettaessa. Vastausta on kuitenkin tarkasteltava erityisen kiinnostuneena. Itse asiassa laskin muuttaa lopulta suhdetta, eli halutun ratkaisun sisällä näkyy kuinka differentiaaliyhtälöiden ratkaisu on verrannollinen globaaliin arvoon. Joissakin tapauksissa joukkovirhevaroitus on väistämätön. Differentiaaliyhtälöiden online-toteutus yleinen idea tehtävästä, mutta lopulta se on annettava mahdollisimman pian positiivisia puolia vektorituote. Matematiikassa lukuteorian virhetapaukset eivät ole harvinaisia. Pitää ehdottomasti tarkistaa. Luonnollisesti on parempi antaa tämä oikeus alansa ammattilaisille, ja juuri he auttavat ratkaisemaan differentiaaliyhtälön verkossa, koska heidän kokemuksensa on valtava ja positiivinen. Kuvien pintojen ja alueen ero on sellainen, että näkeminen ei ole differentiaaliyhtälöiden online-ratkaisu, vaan ei-leikkaavien kohteiden joukko on sellainen, että viiva on yhdensuuntainen akselin kanssa. Tämän seurauksena voit saada kaksi kertaa enemmän arvoja. Implisiittisenä käsityksemme muodollisen merkinnän oikeellisuudesta tarjoaa lineaarisia differentiaaliyhtälöitä sekä katselualueella että suhteessa tuloksen laadun tahalliseen yliarviointiin. Katsauksessa julkaistaan useita kertoja keskustelu kaikkia opiskelijoita kiinnostavasta aiheesta. Koko luentokurssin opiskelun ajan hiomme omaamme tarkka huomio differentiaaliyhtälöistä ja niihin liittyvistä tieteenaloista, jos tämä ei ole ristiriidassa totuuden kanssa. Monet vaiheet voidaan välttää matkan alussa. Jos differentiaaliratkaisu on opiskelijoille vielä pohjimmiltaan uutta, niin vanhaa ei unohdeta ollenkaan, vaan se etenee suurella kehitysvauhdilla tulevaisuuteen. Aluksi matematiikan ongelman ehdot poikkeavat toisistaan, mutta tämä on osoitettu oikealla olevassa kappaleessa. Määritelmän määritellyn ajan umpeutumisen jälkeen ei ole poissuljettu mahdollisuutta suhteellisesta riippuvaisesta lopputuloksesta vektorin eri liiketasoilla. Tällainen yksinkertainen tapaus korjataan samalla tavalla kuin lineaariset differentiaaliyhtälöt kuvataan laskimella yleisessä muodossa, joten se on nopeampi eikä laskelmien poikkeama johda virheelliseen mielipiteeseen. Vain viisi teorian mukaan nimettyä tapausta voi työntää tapahtuman rajoja. Differentiaaliyhtälöiden ratkaisumme auttaa sinua laskemaan manuaalisesti arvon numeroina jo hajotuksen ensimmäisissä vaiheissa toimintotilaa. Oikeissa paikoissa on välttämätöntä edustaa neljän viivan kosketuskohta yleinen merkitys. Mutta jos sinun täytyy pakottaa tehtävä pois, on helppo rinnastaa monimutkaisuus. Lähtötiedot riittävät viereisen haaran suunnitteluun ja online-differentiaaliyhtälöt näyttävät vasemmalle kohdistetuilta ja yksipuolinen pinta on suunnattu vektoriroottoria kohti. Ylärajan yläpuolella numeeriset arvot ovat mahdollisia ilmoitetun ehdon ylittävät. On mahdollista ottaa huomioon matemaattinen kaava ja ratkaista differentiaaliyhtälö verkossa kolmen tuntemattoman osuuden yleisarvon vuoksi. Paikallinen laskentatapa hyväksytään. Koordinaatisto on suorakaiteen muotoinen tason suhteellisessa liikkeessä. Differentiaaliyhtälöiden yleinen online-ratkaisu mahdollistaa yksiselitteisen johtopäätöksen laskennallisen pyyhkäisyn puolesta matriisimääritelmien läpi koko suoralla, joka sijaitsee eksplisiittisesti määritellyn funktion graafin yläpuolella. Ratkaisu näkyy läpi, jos käytät liikevektoria kolmen pallonpuoliskon kosketuspisteeseen. Sylinteri saadaan kiertämällä suorakulmiota sivun ympäri ja lineaariset differentiaaliyhtälöt voivat näyttää pisteen liikkeen suunnan sen liikelain annettujen lausekkeiden mukaisesti. Lähtötiedot ovat oikein ja matematiikan ongelma on vaihdettavissa yhdellä yksinkertaisella ehdolla. Kuitenkin olosuhteista johtuen, ottaen huomioon asettelualiongelman monimutkaisuus, differentiaaliyhtälöt yksinkertaistavat laskettujen numeeristen avaruuksien prosessia kolmiulotteisen avaruuden tasolla. On helppo todistaa toisin, mutta se on mahdollista välttää, kuten yllä olevassa esimerkissä. Korkeammassa matematiikassa tarjotaan seuraavat seikat: kun ongelma pelkistetään yksinkertaistettuun muotoon, siihen tulee ulottaa opiskelijoiden suurin mahdollinen panostus. Toistensa päälle asetetut viivat putoavat siirtymään. Pro-differentiaaliratkaisu palauttaa edelleen mainitun menetelmän edut kaarevalla viivalla. Jos et aluksi tunnista sitä, mitä tarvitset, matemaattinen kaava tekee lausekkeelle uuden arvon. Tavoitteena on optimaalinen lähestymistapa professorin asettamien tehtävien ratkaisemiseen. Sinun ei pitäisi olettaa, että lineaariset differentiaaliyhtälöt yksinkertaistetussa muodossa ylittävät odotetun tuloksen. Asetamme kolme vektoria äärellisen koostumuksen pinnalle. ortogonaaliset toisiinsa nähden. Lasketaan tuote. Suoritetaan lisäys lisää symbolit ja kirjoita kaikki funktion muuttujat tuloksena olevasta lausekkeesta. On olemassa suhde. Useat laskennan loppua edeltävät toiminnot eivät anna yksiselitteistä vastausta differentiaaliyhtälöiden ratkaisuun heti, vaan vasta kun varattu aika on kulunut y-akselilla. Epäjatkuvuuspisteen vasemmalle puolelle, funktiosta implisiittisesti annettuna, piirretään akseli, joka on kohtisuora parhaaseen kasvavaan vektoriin ja sijoitetaan online-differentiaaliyhtälöt matemaattisen objektin alarajan pienimpään raja-arvoon. Lisätään ylimääräinen argumentti funktion taukoalueelle. Kaarevan viivan pisteiden oikealla puolella kirjoittamamme kaavat yhteiseksi nimittäjäksi vähentämiseksi auttavat ratkaisemaan differentiaaliyhtälön verkossa. Ainoa oikea lähestymistapa on se, joka valaisee ratkaisemattomia ongelmia teoriasta käytäntöön, yleensä yksiselitteisesti. Annettujen pisteiden koordinaattien suuntaiset viivat eivät ole koskaan sulkeneet neliön ääriasemaa, mutta differentiaaliyhtälöiden online-ratkaisu auttaa sekä opiskelijoita että meitä ja vasta-alkajia tällä alalla opiskelemaan matematiikkaa. Puhumme mahdollisuudesta korvata arvoargumentti yhden kentän kaikkiin merkittäviin aliriveihin. Periaatteessa, kuten voisi odottaa, lineaariset differentiaaliyhtälömme ovat jotain eristettyä yhdestä pelkistetyn merkityksen käsitteestä. Opiskelijoiden auttamiseksi yksi parhaista vastaavista palveluista on laskin. Käy läpi kaikki kurssit ja valitse itsellesi sopivin.

Muista ongelma, jonka kohtasimme etsiessämme tarkkoja integraaleja:

tai dy = f(x)dx. Hänen ratkaisunsa:

ja se tiivistyy laskemiseen epämääräinen integraali. Käytännössä vaikeampi tehtävä on yleisempi: funktion löytäminen y, jos tiedetään, että se täyttää muodon suhteen

Tämä relaatio liittyy riippumattomaan muuttujaan x, tuntematon toiminto y ja sen johdannaiset järjestyksen mukaan n mukaan lukien, kutsutaan .

Differentiaaliyhtälö sisältää funktion, joka on yhden tai toisen asteen derivaattojen (tai differentiaalien) merkin alla. Korkeimman järjestystä kutsutaan järjestyksessä (9.1) .

Differentiaaliyhtälöt:

- ensimmäinen tilaus

toinen tilaus,

- viides tilaus jne.

Funktiota, joka täyttää tietyn differentiaaliyhtälön, kutsutaan sen ratkaisuksi , tai integraali . Sen ratkaiseminen tarkoittaa kaikkien sen ratkaisujen löytämistä. Jos haluttu toiminto y onnistui saamaan kaavan, joka antaa kaikki ratkaisut, niin sanomme, että olemme löytäneet sen yleisen ratkaisun , tai yleinen integraali .

Yhteinen päätös sisältää n mielivaltaisia vakioita ja näyttää siltä

Jos saadaan relaatio, joka liittyy x, y Ja n mielivaltaisia vakioita muodossa, jota ei sallita suhteessa y -

silloin tällaista suhdetta kutsutaan yhtälön (9.1) yleiseksi integraaliksi.

Cauchy ongelma

Jokainen erityinen ratkaisu eli jokaista tiettyä funktiota, joka täyttää tietyn differentiaaliyhtälön ja joka ei riipu mielivaltaisista vakioista, kutsutaan tietyksi ratkaisuksi , tai yksityinen integraali. Tiettyjen ratkaisujen (integraalien) saamiseksi yleisistä on tarpeen liittää vakioihin tietyt numeeriset arvot.

Tietyn ratkaisun kuvaajaa kutsutaan integraalikäyräksi. Yleinen ratkaisu, joka sisältää kaikki yksittäiset ratkaisut, on integraalikäyrien perhe. Ensimmäisen kertaluvun yhtälössä tämä perhe riippuu yhdestä mielivaltaisesta vakiosta; yhtälölle n tilaus - alkaen n mielivaltaisia vakioita.

Cauchyn ongelma on löytää tietty ratkaisu yhtälöön n järjestyksessä, tyydyttävä n alkuolosuhteet:

jotka määrittävät n vakiota с 1 , с 2 ,..., c n.

1. kertaluvun differentiaaliyhtälöt

1. asteen differentiaaliyhtälöllä on derivaatan suhteen ratkaisematon muoto

tai suhteellisesti sallittua

Esimerkki 3.46. Etsi yhtälölle yleinen ratkaisu

Ratkaisu. Integroimalla saamme

jossa C on mielivaltainen vakio. Jos annamme C:lle tietyt numeeriset arvot, saamme tiettyjä ratkaisuja, esim.

Esimerkki 3.47. Harkitse kasvavaa pankkiin talletettua rahamäärää 100 r:n kertymän mukaisesti korkokorkoa vuodessa. Olkoon Yo alkuperäinen rahasumma ja Yx voimassaolon päättymisen jälkeen x vuotta. Kun korko lasketaan kerran vuodessa, saamme

jossa x = 0, 1, 2, 3,.... Kun korko lasketaan kahdesti vuodessa, saadaan

jossa x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... Korkoa laskettaessa n kerran vuodessa ja jos x ottaa peräkkäin arvot 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., sitten

Merkitse 1/n = h , niin edellinen yhtälö näyttää tältä:

Rajoittamattomalla suurennuksella n(at ) rajassa tulemme rahamäärän kasvattamiseen jatkuvalla korkokertymällä:

Näin ollen voidaan nähdä, että jatkuvalla muutoksella x rahan tarjonnan muutoslaki ilmaistaan ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälöllä. missä Y x on tuntematon funktio, x- itsenäinen muuttuja, r- vakio. Ratkaisemme tämän yhtälön, tätä varten kirjoitamme sen uudelleen seuraavasti:

missä , tai , jossa P on e C .

Alkuehdoista Y(0) = Yo saadaan P: Yo = Pe o , josta Yo = P. Ratkaisu näyttää siis tältä:

Mieti toista taloudellista ongelmaa. Makrotaloudellisia malleja kuvataan myös 1. kertaluvun lineaarisilla differentiaaliyhtälöillä, jotka kuvaavat tulon tai tuotoksen Y muutosta ajan funktiona.

Esimerkki 3.48. Kasvakoon kansantulo Y sen kokoon suhteutettuna:

ja olkoon, julkisten menojen alijäämä on suoraan verrannollinen tuloihin Y suhteellisuuskertoimella q. Menojen alijäämä johtaa valtionvelan kasvuun D:

Alkuehdot Y = Yo ja D = Do, kun t = 0. Ensimmäisestä yhtälöstä Y= Yoe kt . Korvaamalla Y saadaan dD/dt = qYoe kt . Yleisellä ratkaisulla on muoto
D = (q/ k) Yoe kt +С, missä С = const, joka määritetään alkuehdoista. Korvaamalla alkuehdot, saadaan Do = (q/k)Yo + C. Joten lopuksi,

D = Do +(q/k)Yo (e kt -1),

Tämä osoittaa, että valtionvelka kasvaa samaa suhteellista vauhtia k, joka on kansantulo.

Harkitse yksinkertaisimpia differentiaaliyhtälöitä n järjestyksessä, nämä ovat muodon yhtälöitä

Sen yleinen ratkaisu voidaan saada käyttämällä n integraation aikoja.

Esimerkki 3.49. Tarkastellaan esimerkkiä y """ = cos x.

Ratkaisu. Integrointi, löydämme

Yleisellä ratkaisulla on muoto

Lineaariset differentiaaliyhtälöt

Taloustieteessä niistä on paljon hyötyä, harkitse tällaisten yhtälöiden ratkaisua. Jos (9.1):llä on muoto:

silloin sitä kutsutaan lineaariseksi, missä po(x), p1(x),..., pn(x), f(x) on annettu funktioita. Jos f(x) = 0, niin (9.2) kutsutaan homogeeniseksi, muuten sitä kutsutaan epähomogeeniseksi. Yhtälön (9.2) yleinen ratkaisu on yhtä suuri kuin minkä tahansa sen yksittäisen ratkaisun summa y(x) ja sitä vastaavan homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu:

Jos kertoimet p o (x), p 1 (x),..., p n (x) ovat vakioita, niin (9.2)

(9.4) kutsutaan lineaariseksi differentiaaliyhtälöksi, jolla on vakiokertoimet n .

Kohdalle (9.4) se on muodossa:

Voimme asettaa ilman yleisyyden menetystä p o = 1 ja kirjoittaa (9.5) muotoon

Etsimme ratkaisua (9.6) muodossa y = e kx , jossa k on vakio. Meillä on: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx . Korvaa saadut lausekkeet lausekkeella (9.6), saamme:

(9.7) on algebrallinen yhtälö, sen tuntematon on k, sitä kutsutaan ominaispiirteeksi. Ominaisuusyhtälöllä on aste n Ja n juuret, joiden joukossa voi olla sekä useita että monimutkaisia. Olkoon k 1 , k 2 ,..., k n siis todellinen ja erillinen ovat erityisiä ratkaisuja (9.7), kun taas yleiset

Tarkastellaan toisen asteen lineaarista homogeenista differentiaaliyhtälöä vakiokertoimilla:

Sen tunnusomaisella yhtälöllä on muoto

(9.9)

sen diskriminantti D = p 2 - 4q, riippuen D:n merkistä, kolme tapausta on mahdollista.

1. Jos D>0, niin juuret k 1 ja k 2 (9.9) ovat todellisia ja erilaisia, ja yleisratkaisulla on muoto:

Ratkaisu. Ominaisuusyhtälö: k 2 + 9 = 0, jolloin k = ± 3i, a = 0, b = 3, yleinen ratkaisu on:

y = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x.

Toisen asteen lineaarisilla differentiaaliyhtälöillä tutkitaan verkkomaista taloudellista mallia tavaravarastoilla, jossa hinnan P muutosnopeus riippuu varaston koosta (ks. kappale 10). Jos kysyntä ja tarjonta ovat lineaarisia hinnan funktioita, eli

a - on vakio, joka määrittää reaktionopeuden, jolloin hinnanmuutosprosessi kuvataan differentiaaliyhtälöllä:

Tietylle ratkaisulle voit ottaa vakion

jolla on tasapainohinnan merkitys. Poikkeama täyttää homogeenisen yhtälön

(9.10)

Ominaisuusyhtälö on seuraava:

Siinä tapauksessa termi on positiivinen. Merkitse . Karakteriyhtälön k 1,2 = ± i w juuret, joten yleisratkaisu (9.10) on muotoa:

missä C ja mielivaltaiset vakiot, ne määritetään alkuehdoista. Olemme saaneet hinnan muutoksen lain ajassa:

Syötä differentiaaliyhtälösi, heittomerkkiä "" käytetään syöttämään derivaatta, paina lähetä ja hanki ratkaisu

Tavallinen differentiaaliyhtälö jota kutsutaan yhtälöksi, joka yhdistää riippumattoman muuttujan, tämän muuttujan tuntemattoman funktion ja sen eri asteiset derivaatat (tai differentiaalit).

Differentiaaliyhtälön järjestys on sen sisältämän suurimman johdannaisen järjestys.

Tavallisten yhtälöiden lisäksi tutkitaan myös osittaisdifferentiaaliyhtälöitä. Nämä ovat riippumattomiin muuttujiin liittyviä yhtälöitä, näiden muuttujien tuntematon funktio ja sen osittaiset derivaatat samoihin muuttujiin nähden. Mutta harkitsemme vain tavallisia differentiaaliyhtälöitä ja siksi jätämme pois sanan "tavallinen" lyhyyden vuoksi.

Esimerkkejä differentiaaliyhtälöistä:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Yhtälö (1) on neljättä kertaluokkaa, yhtälö (2) on kolmannen kertaluokkaa, yhtälöt (3) ja (4) ovat toista kertaluokkaa, yhtälö (5) on ensimmäistä kertaluokkaa.

Differentiaaliyhtälö n järjestyksen ei tarvitse eksplisiittisesti sisältää funktiota, kaikki sen derivaatat ensimmäisestä n kertaluku ja riippumaton muuttuja. Se ei saa eksplisiittisesti sisältää joidenkin järjestysten johdannaisia, funktiota tai riippumatonta muuttujaa.

Esimerkiksi yhtälössä (1) ei selvästikään ole kolmannen ja toisen asteen derivaattoja eikä funktioita; yhtälössä (2) - toisen asteen derivaatta ja funktio; yhtälössä (4) - riippumaton muuttuja; yhtälössä (5) - funktiot. Vain yhtälö (3) sisältää eksplisiittisesti kaikki derivaatat, funktion ja riippumattoman muuttujan.

Ratkaisemalla differentiaaliyhtälön mitä tahansa funktiota kutsutaan y = f(x), joka korvataan yhtälöllä, se muuttuu identiteetiksi.

Differentiaaliyhtälön ratkaisun löytämisprosessia kutsutaan sen prosessiksi liittäminen.

Esimerkki 1 Etsi ratkaisu differentiaaliyhtälöön.

Ratkaisu. Kirjoitamme tämän yhtälön muodossa . Ratkaisu on löytää funktio sen derivaatan perusteella. Alkuperäinen funktio, kuten integraalilaskennasta tiedetään, on antiderivaata ts.

Sitä se on annetun differentiaaliyhtälön ratkaisu . muuttumassa siinä C, saamme erilaisia ratkaisuja. Havaitsimme, että ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälölle on ääretön määrä ratkaisuja.

Differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu n kertaluku on sen ratkaisu ilmaistuna eksplisiittisesti tuntemattoman funktion suhteen ja sisältäen n riippumattomia mielivaltaisia vakioita, ts.

Differentiaaliyhtälön ratkaisu esimerkissä 1 on yleinen.

Differentiaaliyhtälön osaratkaisu sen ratkaisua kutsutaan, jossa tietyt numeeriset arvot annetaan mielivaltaisille vakioille.

Esimerkki 2 Etsi differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu ja erityinen ratkaisu .

Ratkaisu. Integroimme yhtälön molemmat osat niin monta kertaa, että differentiaaliyhtälön järjestys on yhtä suuri.

Tuloksena saimme yleisen ratkaisun -

annettu kolmannen asteen differentiaaliyhtälö.

Etsitään nyt erityinen ratkaisu määritetyissä olosuhteissa. Tätä varten korvaamme niiden arvot mielivaltaisten kertoimien sijasta ja saamme

Jos differentiaaliyhtälön lisäksi alkuehto annetaan muodossa , niin tällainen ongelma on ns. Cauchy ongelma . Arvot ja korvataan yhtälön yleisratkaisulla ja löydetään mielivaltaisen vakion arvo C, ja sitten erityinen yhtälön ratkaisu löydetylle arvolle C. Tämä on ratkaisu Cauchyn ongelmaan.

Esimerkki 3 Ratkaise Cauchyn tehtävä differentiaaliyhtälölle esimerkistä 1 ehdolla .

Ratkaisu. Korvaamme yleiseen ratkaisuun lähtöehdon arvot y = 3, x= 1. Saamme

Kirjoitamme Cauchyn ongelman ratkaisun annetulle ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälölle:

Differentiaaliyhtälöiden, jopa yksinkertaisimpien, ratkaiseminen vaatii hyviä taitoja integroida ja ottaa derivaatat mukaan lukien monimutkaiset funktiot. Tämä voidaan nähdä seuraavassa esimerkissä.

Esimerkki 4 Etsi differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu.

Ratkaisu. Yhtälö on kirjoitettu sellaiseen muotoon, että molemmat puolet voidaan integroida välittömästi.

Käytämme integrointimenetelmää muuttamalla muuttujaa (substituutio). Anna sitten.

Pakollinen ottamaan dx ja nyt - huomio - teemme sen monimutkaisen funktion eriyttämissääntöjen mukaisesti, koska x ja siellä on monimutkainen funktio ("omena" - uute neliöjuuri tai, mikä on sama, nostaminen "yhden sekunnin" potenssiin ja "jauheliha" on juuri juuren alla oleva ilmaus):

Löydämme integraalin:

Palataan muuttujaan x, saamme:

Tämä on tämän ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu.

Differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa ei vaadita vain korkeamman matematiikan edellisten osien taitoja, vaan myös taitoja alkeis- eli koulumatematiikasta. Kuten jo mainittiin, minkä tahansa asteen differentiaaliyhtälössä ei välttämättä ole riippumatonta muuttujaa, eli muuttujaa x. Koulupenkistä saatava tieto mittasuhteista, jota ei ole unohdettu (mutta kenellä tahansa on), auttaa ratkaisemaan tämän ongelman. Tämä on seuraava esimerkki.

Joko jo ratkaistu derivaatan suhteen tai ne voidaan ratkaista johdannaisen suhteen .

Tyypin differentiaaliyhtälöiden yleinen ratkaisu välille X, joka on annettu, voidaan löytää ottamalla tämän yhtälön kummankin puolen integraali.

Saada .

Jos tarkastelemme epämääräisen integraalin ominaisuuksia, löydämme halutun yleisratkaisun:

y = F(x) + C,

Missä F(x)- yksi toiminnon antijohdannaisista f(x) välissä X, A KANSSA on mielivaltainen vakio.

Huomaa, että useimmissa tehtävissä väli Xälä ilmoita. Tämä tarkoittaa, että ratkaisu on löydettävä kaikille. x, jolle ja haluttu toiminto y, ja alkuperäinen yhtälö on järkevä.

Jos haluat laskea tietyn differentiaaliyhtälön ratkaisun, joka täyttää alkuehdon y(x0) = y0, sitten yleisen integraalin laskemisen jälkeen y = F(x) + C, on silti tarpeen määrittää vakion arvo C=C0 käyttämällä alkuehtoa. Eli vakio C=C0 määritetään yhtälöstä F(x 0) + C = y 0, ja haluttu erityinen differentiaaliyhtälön ratkaisu on muotoa:

y = F(x) + C0.

Harkitse esimerkkiä:

Etsi differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu, tarkista tuloksen oikeellisuus. Etsitään tälle yhtälölle erityinen ratkaisu, joka täyttäisi alkuehdon .

Ratkaisu:

Kun olemme integroineet annetun differentiaaliyhtälön, saamme:

Otamme tämän integraalin osien integrointimenetelmällä:

Että., on differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu.

Tarkistamme, että tulos on oikea. Tätä varten korvaamme löytämämme ratkaisun annettuun yhtälöön:

Eli klo alkuperäinen yhtälö muuttuu identiteetiksi:

siksi differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu määritettiin oikein.

Löysimme ratkaisun on differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu argumentin jokaiselle todelliselle arvolle x.

On vielä laskettava tietty ODE:n ratkaisu, joka täyttäisi alkuehdon. Toisin sanoen on tarpeen laskea vakion arvo KANSSA, jossa yhtäläisyys on totta:

Sitten vaihtamalla C = 2 ODE:n yleisratkaisuun saamme differentiaaliyhtälön erityisen ratkaisun, joka täyttää alkuehdon:

Tavallinen differentiaaliyhtälö voidaan ratkaista derivaatan suhteen jakamalla yhtälön 2 osaa arvolla f(x). Tämä muunnos on vastaava, jos f(x) ei mene nollaan millään x differentiaaliyhtälön integrointivälistä X.

Tilanteet ovat todennäköisiä, kun joillekin argumentin arvoille x ∈ X toimintoja f(x) Ja g(x) käännä nollaan samaan aikaan. Samanlaisia arvoja varten x differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on mikä tahansa funktio y, joka on määritelty niissä, koska .

Jos joillekin argumentin arvoille x ∈ X ehto täyttyy, mikä tarkoittaa, että tässä tapauksessa ODE:llä ei ole ratkaisuja.

Kaikille muille x intervallista X differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu määritetään muunnetusta yhtälöstä.

Katsotaanpa esimerkkejä:

Esimerkki 1

Etsitään ODE:n yleinen ratkaisu: .

Ratkaisu.

Peruselementaaristen funktioiden ominaisuuksista on selvää, että luonnollinen logaritmifunktio on määritelty argumentin ei-negatiivisille arvoille, joten lausekkeen verkkoalue log(x+3) on väliaika x > -3 . Siksi annettu differentiaaliyhtälö on järkevä x > -3 . Näillä argumentin arvoilla lauseke x + 3 ei katoa, joten ODE voidaan ratkaista derivaatan suhteen jakamalla 2 osaa x + 3.

Saamme .

Seuraavaksi integroimme tuloksena olevan differentiaaliyhtälön, joka on ratkaistu derivaatan suhteen: . Ottaaksemme tämän integraalin, käytämme summaamista differentiaalin merkin alle.