Selitys neliöjuuria sisältävien lausekkeiden muuntamisaiheesta. Juurien ominaisuuksien käyttäminen muuntaessaan irrationaalisia lausekkeita, esimerkkejä, ratkaisuja. Vii. Testin kirjoittaminen

§ 1 Neliöjuuren erotusoperaation sisältävien lausekkeiden muuntaminen

Palautetaan mieleen neliöjuurien ominaisuudet: jos a, b ovat ei-negatiivisia lukuja a, b ≥ 0, niin seuraavat yhtälöt ovat tosia:

Näiden kaavojen avulla voit suorittaa erilaisia ​​muunnoksia lausekkeista, jotka sisältävät neliöjuuren erotuksen, mutta sillä ehdolla, että näiden lausekkeiden muuttujat ottavat vain ei-negatiivisia arvoja. Kun olet tehnyt tämän oletuksen, harkitse muutamia esimerkkejä.

Esimerkki 1: Yksinkertaista lauseke:

Koska lauseke sisältää murtoluvun, käytämme toista ominaisuutta sen muuntamiseen:

Kolmannella ominaisuudella muutettiin nimittäjä:

Tämän seurauksena alkuperäinen lauseke saa muotoa:

Esimerkki 2: Vähennä kerroin neliöjuuren merkistä:

Ratkaiseessa A-kirjaimen alla olevaa esimerkkiä käytämme neliöjuuren ensimmäistä ja kolmatta ominaisuutta:

Vastaavasti muunnetaan tehtävässä B-kirjaimen alla esitetty lauseke:

Esimerkki 3: Kerroin neliöjuuressa for

Juurimerkin huomioimiseksi käytämme kolmatta ominaisuutta oikealta vasemmalle:

Ratkaistaan ​​useita neliöjuuren erotusoperaation sisältävien lausekkeiden muuntamisongelmia käyttämällä lyhennetyn kertolaskukaavoja. Ensin muistellaan ja kirjoitetaan ne ylös:

(a + b) 2 = a2 + 2ab + b2

(a - b) 2 = a2 - 2ab + b2

a2 - b2 = (a + b) (a - b)

a3 - b3 = (a-b) (a2 + ab + b2)

a3 + a3 = (a + b) (a2 - ab + b2)

Esimerkki 4: Yksinkertaista lauseke:

Ongelman ratkaisemiseksi esitetään numero kolme kolmen neliön neliöjuurena:

ja nimittäjässä käytämme kaavaa neliöiden erolle, niin saamme:

Esimerkki 5: Yksinkertaista lauseke:

Ratkaisemiseksi harkitse ensin lauseketta:

Olettaen että

sitten

käyttämällä kuutioiden summakaavaa

Saamme

Tehdään sopiva vaihto.

Toiseksi, jakooperaatiosta (a - b), siirrymme käänteisluvulla kertomiseen:

Kolmanneksi pienennämme suluissa olevaa ensimmäistä murtolukua lausekkeella:

ja sitten suoritamme kertolaskutoiminnon.

Oletetaan:

neliöiden erotuksen kaavalla saadaan:

Ensimmäisen murtoluvun osoittajassa oleva lauseke erotuksen neliön kaavan mukaan voidaan kirjoittaa:

Tehdään sopivat vaihdot. Ensimmäisen murto-osan osoittajassa ja nimittäjässä on yhteinen tekijä, joten pelkistyksen jälkeen lopuksi jää vain lisätä samoilla nimittäjillä olevat jakeet.

Jos algebrallisen murtoluvun nimittäjä sisältää neliöjuuren merkin, niin nimittäjän sanotaan sisältävän irrationaalisuutta. Lausekkeen muuntamista sellaiseen muotoon, että murto-osan nimittäjässä ei ole neliöjuuren merkkejä, kutsutaan irrationaalisuudesta vapautumiseksi nimittäjässä.

§ 2 Algoritmi irrationaalisuudesta murto-osan nimittäjässä vapauttamiseksi

1. Laske murto-osan nimittäjä;

2. Jos nimittäjä on:

Jos nimittäjä on:

tai sisältää tämän tyyppisen kertoimen, niin murto-osan osoittaja ja nimittäjä tulee kertoa vastaavasti:

3. Muunna murtoluvun osoittaja ja nimittäjä, jos mahdollista, ja pienennä sitten saatua murtolukua. Ilmaisuja kuten:

Pohditaan, kuinka päästä eroon irrationaalisuudesta nimittäjässä esimerkkien avulla:

A) Muunnamme lausekkeen:

Käytetään algoritmia eroon irrationaalisuudesta murtoluvun nimittäjässä: kerrotaan:

osoittaja ja nimittäjä. Saamme:

B) Muunnamme lausekkeen:

Tässä esimerkissä murtoluvun osoittaja ja nimittäjä kerrotaan konjugaattilausekkeella:

Olemme siis analysoineet useita esimerkkejä neliöjuuria sisältävien lausekkeiden yksinkertaistamiseksi.

Luettelo käytetystä kirjallisuudesta:

1. Mordkovich A.G. "Algebra" luokka 8. Klo 14 Osa 1 Oppikirja oppilaitoksille / A.G. Mordkovich. - 9. painos, Rev. - M .: Mnemosina, 2007 .-- 215s.: Ill.
2. Mordkovich A.G. "Algebra" luokka 8. Klo 14 Osa 2 Ongelmakirja oppilaitoksille / A.G. Mordkovich, T.N. Mishustina, E.E. Tulchinskaya. - 8. painos, - M .: Mnemosina, 2006 .-- 239s.
3. Algebra. 8. luokka. Testipaperit oppilaitosten opiskelijoille L.A. Aleksandrov, toim. A.G. Mordkovich, 2. painos, Poistettu. - M .: Mnemosina, 2009 .-- 40s.
4. Algebra. 8. luokka. Itsenäinen työ oppilaitosten opiskelijoille: oppikirjaan A.G. Mordkovich, L.A. Aleksandrov, toim. A.G. Mordkovich. 9. painos, Poistettu. - M .: Mnemosina, 2013 .-- 112s.

Algebra. 8. luokka

Opettaja: Kuleshova Tatjana Nikolaevna

Aihe: Neliöjuuria sisältävien lausekkeiden muuntaminen

Oppitunnin tyyppi: tiedon yleistäminen ja systematisointi

Oppitunnin tarkoitus: opiskelijoiden taitojen muodostuminen neliöjuuria sisältävien lausekkeiden muuntamiseen

Tehtävät:

Koulutuksellinen:tuntea aritmeettisen neliöjuuren ominaisuudet; oppia muuntamaan neliöjuuria sisältäviä lausekkeita, kuten poistamaan tekijän juurimerkin alta, lisäämään tekijän juurimerkkiin ja vapauttamaan irrationaalisuudesta murto-osan nimittäjässä;

Kehitetään: kehittää kognitiivisia ja luovia kykyjä, ajattelua, havainnointia, kekseliäisyyttä ja itsenäisen toiminnan taitoja; kiinnostuksen herättäminen matematiikkaa kohtaan;

Koulutuksellinen: kykyä työskennellä ryhmässä (ryhmässä), halu opiskella aktiivisesti kiinnostuneena; työn selkeys ja organisointi; mahdollistaa jokaisen opiskelijan menestymisen;

Laitteet: Koulutarvikkeet, liitutaulu, liitu, oppikirja, monisteet.

Tuntisuunnitelma

1. Ajan järjestäminen
2. Tavoitteiden asettaminen
3. Toisto
4. Itsenäinen työ
5. Sanelu
6. Testata
7. Oppikirjatyötä
8. Kotitehtävien tiedotus
9. Oppitunnin yhteenveto. Heijastus

Edistyminen

1. Ajan järjestäminen

Oppitunnin motivaatio

"Sulje silmäsi, istu mukavasti. Kuvittele jotain sinulle erittäin miellyttävää. Tunnet olosi mukavaksi, mukavaksi. Ympärilläsi on monia ystäviä. Niiden joukossa on luonnollisia lukuja, jotka ovat meille hyvin tuttuja. Ystävämme joukko kasvaa ja joukkoon on liittynyt murto-osa. Mutta negatiiviset luvut ilmestyivät. Ja nyt kohtaat rationaalisia ja irrationaalisia lukuja. Aika kuluu ja me opimme tuntemaan sinut uusilla luvuilla, ja niin kauan kuin maailmassa on matematiikkaa, nämä luvut ovat äärettömiä."

"Tieto on vain tietoa, kun se on hankittu oman ajatuksen ponnisteluilla, ei muistilla." N. Tolstoi.-Nämä L. N. Tolstoin sanat ovat tärkeitä ja merkityksellisiä matematiikan tutkimuksessa, koska matematiikka on yksi harvoista tieteistä, joita sinun on jatkuvasti pohdittava. Tehtäväsi on näyttää tietosi ja taitosi suullisen työn, testauksen, taulun ääressä työskentelyn aikana.

Jokaisella teistä on arviointilomake pöydällä, jokaisen suoritetun tehtävän jälkeen emme unohda antaa arvosanoja ja oppitunnin lopussa laittaa lopullinen arvosana.

1. Tavoitteiden asettaminen

Ratkaise anagrammi (ryhmätyö)

TIETOJA - ZO - RA - EDELLINEN - VA MUUNNOS

NIY - RA - SAMA - SINÄ ILMOITUKSET

SHIH - DER - ZHA - SISÄLLÄ

ROT - KV - NYE - HELVETTIAUKI

EI - CO - R ROOTS

Ratkaistuaan anagrammin opiskelijat määrittävät oppitunnin aiheen.

Mitä luulet meidän tekevän oppitunnilla?

Muotoillaan yhdessä oppitunnimme tarkoitus.

1. Aiemmin opitun materiaalin toisto

A 1) Sanallinen laskenta:

Teorian testaus: Yhdistä viiva määritelmän sopiviin osiin.

pisteet -2 pistettä

2). Täydellinen hyväksyntä.

a) Ei-negatiivisten tekijöiden tuotteen juuri onnäiden tekijöiden juurten tuote.(pisteet -2 pistettä)

b) Mitä tahansa ääretöntä ei-jaksollista desimaalilukua kutsutaanirrationaalinen luku.(pisteet -2 pistettä)

c) Murtoluvun juuri, jonka osoittaja on ei-negatiivinen luku ja nimittäjä on positiivinen, onosoittajan juuri jaettuna nimittäjän juurilla. ( pisteet -2 pistettä)

3) Varmista vaatimustenmukaisuus (2 pistettä)

C. 3 opiskelijaa saa neliöjuuria sisältävät lausekkeet muunnosalgoritmin mukaisesti. Tehtävä: kuvata, piirtää, kirjoittaa, näyttää jne. ja suojaa (kaiutin).

3) Pura juuri

1. Kerroin murtoluvun nimittäjä.
2. Jos nimittäjä ontai sisältää tekijän, niin osoittaja ja nimittäjä tulee kertoa tai osoitteessa .
3. Muunna murto-osan osoittaja ja nimittäjä, jos mahdollista, ja pienennä sitten saatua murtolukua.

1. Itsenäinen työ

Ota tekijä pois juurimerkin alta:

(2 pistettä)

3)

Yksinkertaista lauseke (4 pistettä)

1. Testaa kannettavalla tietokoneella (pisteet asetetaan automaattisesti)

1) 6 =

a B C D) .

2) 5 =

3) 3 =

a B C D) .

1. Sanelu:

Jokaisesta oikein suoritetusta tehtävästä 0,5 pistettä.

1. Työskentele oppikirjan parissa - työskentele taululla: jokainen opiskelija saa tietyn esimerkin, päättää vuorostaan ​​​​taulusta, kirjoita kaikki muistikirjaan. (1 piste)
2. Kotitehtävien tiedot
3. Yhteenveto oppitunnista. Heijastus

Arviointi

Arviointipaperi. Nimi ja oppilas ____________________________ Arvosana _____

Pisteiden muuntaminen arvosanaksi

25 pistettä tai enemmän - arvosana "5"

24-18 pistettä - pisteet "4"

17-9 pistettä - pisteet "3"

0 - 8 pistettä - pisteet "2"

Kaikkien oppitunnin töiden arvioimiseksi käytetään "Pisteiden siirto arvosanaan" - arviointilomakkeen takana.

Täytä tuloskortti. Oppituntien arvosanat.

Haluan lopettaa oppitunninsuuren matemaatikon Sophia Kovalevskajan runo.

Jos elämässä olet edes hetken

Tunsin totuuden sydämessäni

Jos valonsäde läpi pimeyden ja epäilyksen

Polkusi loisti kirkkaan säteilyn:

Mikä olisi päätöksessäsi ennallaan

Rock ei ole nimittänyt sinua edelle,

Muisto tästä pyhästä hetkestä

Pidä se ikuisesti, kuin pyhäkkö rinnassasi.

Pilvet kerääntyvät ristiriitaiseksi joukoksi,

Taivas peitetään mustalla sumulla

Selkeällä päättäväisyydellä, rauhallisella uskolla

Tapaa myrsky ja kohtaa ukkosmyrsky.

Tämä runo ilmaisee tiedon halun, kyvyn voittaa kaikki matkalla kohtaamat esteet. Kuinka voitimme tänään esteitä? Mitä teimme tunnilla?

- Tänään olemme toistaneet aritmeettisen neliöjuuren määritelmän ja ominaisuudet; kertoimen ottaminen juurimerkin yli, kertoimen syöttäminen juurimerkin alle, lyhennetyt kertolaskukaavat; tutustui ja lujitti joitain menetelmiä neliöjuuria sisältävien lausekkeiden muuntamiseen.

Kaikki työskentelivät hedelmällisesti, aktiivisesti ja kollektiivisesti oppitunnin aikana.

Oppitunti on ohi. Kiitos kaikille oppitunnista!

Syötä kerroin juurimerkin alle:

1) 6 =

a B C D) .

2) 5 =

3) 3 =

a B C D) .

F.I.-testi ____________________

Syötä kerroin juurimerkin alle:

1) 6 =

a B C D) .

2) 5 =

3) 3 =

a B C) - =

a B C D) .

2) 5 =

3) 3 =

a B C) - =

a B C D) .

2) 5 =

3) 3 =

a B C) - =

a B C D) .

2) 5 =

3) 3 =

a B C D) .

Algoritmi tekijän poistamiseksi juurimerkistä

1) Esitämme radikaalilausekkeen sellaisten tekijöiden tulon muodossa, joista yhdestä voitaisiin erottaa neliöjuuri.

2) Käytä tuotteen juurilausetta.

3) Pura juuri

Algoritmi tekijän lisäämiseksi juurimerkin alle

1) Esitämme tulon aritmeettisen neliöjuuren muodossa.

2) Muunna neliöjuurien tulo radikaalilausekkeiden tulon neliöjuureksi.

3) Suorita kertolasku juurimerkin alla.

Algoritmi irrationaalisuudesta vapauttamiseksi murtoluvun nimittäjässä:

1) Kerroin murtoluvun nimittäjä.

AVOIN ETÄTUNNIT

aiheesta: "Neliöjuuria sisältävien lausekkeiden muuntaminen."

Matematiikan opettaja - Vetohina Antonina Sergeevna

Työpaikka : OGKOU "Sisäoppilaitos № 88 "Hymy" Uljanovsk, Uljanovsk

alueella

Asia: algebra

Luokka: 8

Perusopetusohjelma: « Algebra luokka 8" : Oppikirja oppilaitoksille. Yu.N. Makarychev, N.G.

Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorov. - M .: Koulutus, 2011

TDC:

Koulutuksellinen:

jatka taitojen rakentamista:

tekijän ottaminen radikaalin merkin ulkopuolelle;

tekijän lisääminen radikaalin merkin alle;

tekijöiden lisääminen;

fraktioiden vähentäminen;

opeta opiskelija soveltamaan alkutietoa: ominaisuudet juuri.

Kehittyy : jatka kehitystä:

käytännön taidot ja kyvyt;

oikeat matemaattiset puhetaidot;

opiskelijan kognitiivinen toiminta;

opiskelijan loogista ajattelua tehtävissä laskettaessa.

Koulutuksellinen: jatka muodostamista:

kommunikaatiokulttuuri ja kysymyksiin vastaamisen kulttuuri;

henkisen työn kulttuuri;

muodostaa positiivinen asenne aiheeseen, kiinnostus tietoa kohtaan.

Oppitunnin tyyppi: yhdistetty.

Opetusmenetelmät : visuaalinen-verbaalinen, lisääntymiskyky.

Kognitiivisen toiminnan organisoinnin muodot oppitunnilla : itsenäistä ja yksilöllistä työtä.

Oppitunnin laitteet, suunnittelu ja tekniset varusteet:

i-koulun sivuston materiaalit « Algebra - II (luokka 8) » ( http://iclass.home-edu.ru );

sivuston materiaalit "YaKlass" ( http://www.yaklass.ru );

tietokone, multimediaprojektori.

TUNTISUUNNITELMA

1. Ajan järjestäminen.

2. Tiedon päivitys.

3. Fyysistä koulutusta silmille.

4. Uuden materiaalin oppiminen.

5. Fyysinen koulutus.

6. Hankitun tiedon lujittaminen. Käytännön työ.

7. Heijastus.Yhteenveto oppitunnista.

8. Kotitehtävät.

TUNNIN RAKENNE JA PROSESSI

Ennen oppitunnin alkua opiskelija "Kirjaudu sisään" sivustolle i -koulut kirjautumalla sisään ja mene kurssille « Algebra - II (luokka 8) » .

Sitten hän avautuu ohjelmoida Skype osallistua oppitunnille.

Tämän artikkelin materiaalia tulee pitää osana aihetta irrationaalisten ilmaisujen muuntamisesta. Tässä käytämme esimerkkejä analysoidaksemme kaikkia hienouksia ja vivahteita (joita on monia), jotka syntyvät suoritettaessa muunnoksia juurien ominaisuuksien perusteella.

Sivulla navigointi.

Muista juurien ominaisuudet

Heti kun aiomme käsitellä lausekkeiden muuntamista juurien ominaisuuksien avulla, ei ole haittaa muistaa tärkeimmät, tai vielä paremmin, kirjoittaa ne paperille ja asettaa ne eteen.

Ensin tutkitaan neliöjuuria ja niiden seuraavia ominaisuuksia (a, b, a 1, a 2, ..., a k ovat reaalilukuja):

Ja myöhemmin juuren käsitettä laajennetaan, n:nnen juuren määritelmä otetaan käyttöön ja sellaiset ominaisuudet otetaan huomioon (a, b, a 1, a 2, ..., ak ovat reaalilukuja, m, n , n 1, n 2, ... , nk ovat luonnollisia lukuja):

Lausekkeiden muuntaminen juurimerkkien alla olevilla numeroilla

Kuten tavallista, he oppivat ensin työskentelemään numeeristen lausekkeiden kanssa ja vasta sen jälkeen siirtyvät muuttujalausekkeisiin. Teemme samoin ja käsittelemme ensin irrationaalisten lausekkeiden muuntamista, jotka sisältävät vain numeerisia lausekkeita juurien merkkien alla, ja jo seuraavassa kappaleessa esittelemme muuttujia juurien merkkien alle.

Kuinka tätä voidaan käyttää lausekkeiden muuntamiseen? Se on hyvin yksinkertaista: voimme esimerkiksi korvata irrationaalisen lausekkeen lausekkeella tai päinvastoin. Eli jos muunnettava lauseke sisältää lausekkeen, joka vastaa lausekkeen muotoa minkä tahansa lueteltujen juurien ominaisuuksien vasemmalla (oikealla) puolella, se voidaan korvata vastaavalla lausekkeella oikealta (vasemmalta) puolella. Tämä on lausekkeiden muunnos juurien ominaisuuksien avulla.

Tässä on lisää esimerkkejä.

Yksinkertaistetaan ilmaisua ... Numerot 3, 5 ja 7 ovat positiivisia, joten voimme turvallisesti soveltaa juurien ominaisuuksia. Täällä voit toimia eri tavoin. Esimerkiksi ominaisuuteen perustuva juuri voidaan esittää muodossa ja juuri ominaisuutta k = 3 käyttämällä - kuinka tällä lähestymistavalla ratkaisu näyttää tältä:

Olisi voinut toimia toisin, korvaamalla ja edelleen, tässä tapauksessa ratkaisu näyttäisi tältä:

Muut ratkaisut ovat mahdollisia, esimerkiksi tämä:

Katsotaanpa vielä yhden esimerkin ratkaisua. Muunnetaan lauseke. Katsottuaan juurien ominaisuuksien luetteloa, valitsemme siitä ominaisuudet, joita tarvitsemme esimerkin ratkaisemiseksi, on selvää, että kaksi niistä on hyödyllisiä tässä ja jotka pätevät mille tahansa a:lle. Meillä on:

Vaihtoehtoisesti alun perin oli mahdollista muuntaa lausekkeita juurimerkkien alla käyttämällä

ja käytä sitten juurien ominaisuuksia

Tähän asti olemme muuntaneet lausekkeita, jotka sisältävät vain neliöjuuria. On aika työskennellä juurien kanssa, joilla on erilaiset indikaattorit.

Esimerkki.

Muunna irrationaalinen lauseke .

Ratkaisu.

Omaisuuden mukaan annetun tuotteen ensimmäinen tekijä voidaan korvata numerolla −2:

Mene eteenpäin. Toinen tekijä ominaisuuden perusteella voidaan esittää muodossa, eikä ole haittaa korvata 81 kolminkertaisella potenssilla, koska jäljellä olevissa tekijöissä juurien merkkien alla numero 3 ilmestyy:

Murto-osan juuri on tarkoituksenmukaista korvata lomakkeen juurien suhteella, jota voidaan muuntaa edelleen: ... Meillä on

Tuloksena oleva lauseke kakkostoimintojen suorittamisen jälkeen saa muodon , ja jäljellä on muuntaa juurten tuote.

Juurituotteiden muuntamiseksi ne vähennetään yleensä yhdeksi indikaattoriksi, jolle on suositeltavaa ottaa indikaattorit kaikista juurista. Meidän tapauksessamme LCM (12, 6, 12) = 12, ja vain juuri on vähennettävä tähän indikaattoriin, koska kahdella muulla juurilla on jo tämä indikaattori. Tämän tehtävän hoitaminen mahdollistaa tasa-arvon, jota sovelletaan oikealta vasemmalle. Niin ... Kun tämä tulos otetaan huomioon, meillä on

Nyt juurien tulo voidaan korvata tuotteen juurella ja loput, jo ilmeiset, muunnokset voidaan suorittaa:

Tehdään lyhyt ratkaisu:

Vastaus:

.

Korostamme erikseen, että juurien ominaisuuksien soveltamiseksi on otettava huomioon juurten alla oleville numeroille asetetut rajoitukset (a≥0 jne.). Niiden huomiotta jättäminen voi aiheuttaa vääriä tuloksia. Tiedämme esimerkiksi, että ominaisuus pätee ei-negatiiviselle a:lle. Sen perusteella voimme turvallisesti mennä esimerkiksi alkaen toistaan, koska 8 on positiivinen luku. Mutta jos otamme esimerkiksi negatiivisen luvun merkityksellisen juuren ja korvaamme sen yllä olevan ominaisuuden perusteella, korvaamme itse asiassa −2 2:lla. Todellakin, a. Toisin sanoen negatiiviselle a:lle yhtäläisyys voi olla väärä, kuten myös juurten muut ominaisuudet voivat olla vääriä ottamatta huomioon niille asetettuja ehtoja.

Mutta se, mitä edellisessä kappaleessa sanottiin, ei tarkoita ollenkaan sitä, että lausekkeita, joissa on negatiiviset luvut juuren etumerkkien alla, ei voida muuttaa juurien ominaisuuksilla. Ne on vain "valmistettava" ensin soveltamalla toimintasääntöjä numeroiden kanssa tai käyttämällä negatiivisen luvun parittoman juuren määritelmää, joka vastaa yhtäläisyyttä. , jossa −a on negatiivinen luku (kun taas a on positiivinen). Et voi esimerkiksi korvata välittömästi luvulla, koska −2 ja −3 ovat negatiivisia lukuja, mutta sen avulla voimme siirtyä juuresta ja sitten soveltaa tuotteen juuren ominaisuutta: ... Ja yhdessä aiemmista esimerkeistä ei tarvinnut mennä kahdeksastoista asteen juuresta juureen. ja niin .

Joten, jotta voit muuntaa lausekkeita juurien ominaisuuksien avulla, sinun on

• valitse sopiva kiinteistö luettelosta,
• varmista, että juuren alla olevat luvut täyttävät valitun ominaisuuden ehdot (muuten sinun on suoritettava alustavat muunnokset),
• ja suorittaa aiottu muunnos.

Lausekkeiden muuntaminen juurimerkkien alla olevilla muuttujilla

Jos haluat muuttaa irrationaalisia lausekkeita, jotka sisältävät paitsi numeroita myös juurimerkin alla olevia muuttujia, tämän artikkelin ensimmäisessä kappaleessa lueteltujen juurien ominaisuuksia on sovellettava huolellisesti. Tämä johtuu pääasiassa ehdoista, jotka kaavoihin osallistuvien numeroiden on täytettävä. Esimerkiksi kaavan perusteella lauseke voidaan korvata lausekkeella vain niille x:n arvoille, jotka täyttävät ehdot x≥0 ja x + 1≥0, koska määritetty kaava on määritetty arvoille a≥0 ja b ≥0.

Miksi on vaarallista jättää nämä ehdot huomiotta? Seuraava esimerkki havainnollistaa vastausta tähän kysymykseen. Oletetaan, että meidän on laskettava lausekkeen arvo kohdassa x = −2. Jos korvaamme välittömästi luvun −2 muuttujan x sijaan, saamme tarvitsemamme arvon ... Ja nyt kuvitellaan, että jostain syystä muunnosimme annetun lausekkeen muotoon, ja vasta sen jälkeen päätimme laskea arvon. Korvaa x -2 ja saavuta lauseke jossa ei ole järkeä.

Katsotaanpa, mitä tapahtuu muuttujan x kelvollisten arvojen (ADV) alueelle siirtyessämme lausekkeesta lausekkeeseen. Emme maininneet ODZ:tä sattumalta, koska se on vakava työkalu tehtyjen muunnosten hyväksyttävyyden valvomiseksi ja ODZ:n muuttaminen lausekkeen muuntamisen jälkeen pitäisi ainakin olla varoittava. Määritetyille lausekkeille ODZ:n löytäminen ei ole vaikeaa. ODV:n ilmaisemiseksi määritetään epäyhtälöstä x · (x + 1) ≥0, sen ratkaisu antaa numeerisen joukon (−∞, −1] ∪∪)