8 8 एक उचित भिन्न है। अंश, साधारण अंश, परिभाषाएँ, पदनाम, उदाहरण, भिन्न के साथ क्रियाएँ। मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न के रूप में कैसे निरूपित करें

उचित अंश

तिमाहियों

1. सुव्यवस्था। एतथा बीएक नियम है जो आपको उनके बीच तीन संबंधों में से एक और केवल एक को विशिष्ट रूप से पहचानने की अनुमति देता है: "< », « >' या '='। इस नियम को कहा जाता है आदेश देने का नियमऔर निम्नानुसार तैयार किया गया है: दो गैर-ऋणात्मक संख्याएं और दो पूर्णांकों के समान संबंध से संबंधित हैं और; दो गैर-सकारात्मक संख्याएं एतथा बीदो गैर-ऋणात्मक संख्याओं के समान संबंध से संबंधित हैं और; अगर अचानक एगैर-नकारात्मक, और बी- नकारात्मक, फिर ए > बी. शैली = "अधिकतम-चौड़ाई: 98%; ऊंचाई: ऑटो; चौड़ाई: ऑटो;" src="/Pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" बॉर्डर="0">

   

   भिन्नों का योग

2. जोड़ संचालन।किसी भी परिमेय संख्या के लिए एतथा बीएक तथाकथित है योग नियम सी. हालाँकि, संख्या ही सीबुलाया योगनंबर एतथा बीऔर निरूपित किया जाता है, और ऐसी संख्या ज्ञात करने की प्रक्रिया कहलाती है योग. योग नियम के निम्नलिखित रूप हैं: .
3. गुणन संचालन।किसी भी परिमेय संख्या के लिए एतथा बीएक तथाकथित है गुणन नियम, जो उन्हें कुछ परिमेय संख्या के साथ पत्राचार में रखता है सी. हालाँकि, संख्या ही सीबुलाया कामनंबर एतथा बीऔर निरूपित किया जाता है, और ऐसी संख्या ज्ञात करने की प्रक्रिया को भी कहा जाता है गुणा. गुणन नियम इस प्रकार है: .
4. आदेश संबंध की ट्रांजिटिविटी।परिमेय संख्याओं के किसी भी त्रिक के लिए ए , बीतथा सीअगर एकम बीतथा बीकम सी, फिर एकम सी, और अगर एबराबरी बीतथा बीबराबरी सी, फिर एबराबरी सी. 6435">जोड़ की क्रमपरिवर्तनीयता। तर्कसंगत पदों के स्थानों को बदलने से योग नहीं बदलता है।
5. जोड़ की साहचर्यता।जिस क्रम में तीन परिमेय संख्याओं को जोड़ा जाता है वह परिणाम को प्रभावित नहीं करता है।
6. शून्य की उपस्थिति।एक परिमेय संख्या 0 होती है जो योग करने पर अन्य सभी परिमेय संख्याओं को सुरक्षित रखती है।
7. विपरीत संख्याओं की उपस्थिति।किसी भी परिमेय संख्या की एक विपरीत परिमेय संख्या होती है, जिसका योग करने पर 0 प्राप्त होता है।
8. गुणन की क्रमपरिवर्तनशीलता।तर्कसंगत कारकों के स्थानों को बदलने से उत्पाद नहीं बदलता है।
9. गुणन की साहचर्यता।जिस क्रम में तीन परिमेय संख्याओं को गुणा किया जाता है, वह परिणाम को प्रभावित नहीं करता है।
10. एक इकाई की उपस्थिति।एक परिमेय संख्या 1 है जो गुणा करने पर हर दूसरी परिमेय संख्या को सुरक्षित रखती है।
11. पारस्परिक की उपस्थिति।किसी भी परिमेय संख्या में एक व्युत्क्रम परिमेय संख्या होती है, जिसे गुणा करने पर 1 प्राप्त होता है।
12. जोड़ के संबंध में गुणन का वितरण।गुणन संचालन वितरण कानून के माध्यम से जोड़ संचालन के अनुरूप है:
13. जोड़ के संचालन के साथ आदेश संबंध का संबंध।एक ही परिमेय संख्या को एक परिमेय असमानता के बाएँ और दाएँ पक्षों में जोड़ा जा सकता है। अधिकतम-चौड़ाई: 98% ऊंचाई: ऑटो; चौड़ाई: ऑटो;" src="/Pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" बॉर्डर="0">
14. आर्किमिडीज का स्वयंसिद्ध।परिमेय संख्या जो भी हो ए, आप इतनी इकाइयाँ ले सकते हैं कि उनका योग अधिक हो जाएगा ए. शैली = "अधिकतम-चौड़ाई: 98%; ऊंचाई: ऑटो; चौड़ाई: ऑटो;" src="/Pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" Border="0">

अतिरिक्त गुण

परिमेय संख्याओं में निहित अन्य सभी गुणों को मूल गुणों के रूप में अलग नहीं किया जाता है, क्योंकि, सामान्यतया, वे अब सीधे पूर्णांकों के गुणों पर आधारित नहीं होते हैं, बल्कि दिए गए मूल गुणों के आधार पर या सीधे परिभाषा द्वारा सिद्ध किए जा सकते हैं। कुछ गणितीय वस्तु। ऐसी बहुत सारी अतिरिक्त संपत्तियां हैं। उनमें से कुछ का ही उल्लेख करना यहाँ उचित प्रतीत होता है।

शैली = "अधिकतम-चौड़ाई: 98%; ऊंचाई: ऑटो; चौड़ाई: ऑटो;" src="/Pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" बॉर्डर="0">

गणनीयता सेट करें

परिमेय संख्याओं की संख्या

परिमेय संख्याओं की संख्या का अनुमान लगाने के लिए, आपको उनके समुच्चय की कार्डिनैलिटी ज्ञात करनी होगी। यह सिद्ध करना आसान है कि परिमेय संख्याओं का समुच्चय गणनीय है। ऐसा करने के लिए, यह एक एल्गोरिदम देने के लिए पर्याप्त है जो तर्कसंगत संख्याओं की गणना करता है, यानी, तर्कसंगत और प्राकृतिक संख्याओं के सेट के बीच एक विभाजन स्थापित करता है।

इन एल्गोरिदम में से सबसे सरल इस प्रकार है। प्रत्येक पर साधारण भिन्नों की एक अनंत तालिका संकलित की गई है मैंप्रत्येक में -वीं पंक्ति जेजिसका वां स्तंभ एक भिन्न है। निश्चितता के लिए, यह माना जाता है कि इस तालिका की पंक्तियों और स्तंभों को एक से गिना जाता है। तालिका कोशिकाओं को निरूपित किया जाता है, जहाँ मैं- तालिका की पंक्ति संख्या जिसमें सेल स्थित है, और जे- कॉलम नंबर।

परिणामी तालिका को निम्नलिखित औपचारिक एल्गोरिथम के अनुसार "साँप" द्वारा प्रबंधित किया जाता है।

इन नियमों को ऊपर से नीचे तक खोजा जाता है और पहले मैच के द्वारा अगली स्थिति का चयन किया जाता है।

इस तरह के बाईपास की प्रक्रिया में, प्रत्येक नई परिमेय संख्या अगली प्राकृतिक संख्या को सौंपी जाती है। यही है, अंश 1 / 1 को संख्या 1, अंश 2 / 1 - संख्या 2, आदि सौंपा गया है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि केवल इरेड्यूसबल अंश ही गिने जाते हैं। इरेड्यूसिबिलिटी का औपचारिक संकेत अंश के अंश और हर के सबसे बड़े सामान्य भाजक की एकता की समानता है।

इस एल्गोरिथम का अनुसरण करते हुए, कोई भी सभी सकारात्मक परिमेय संख्याओं की गणना कर सकता है। इसका अर्थ है कि धनात्मक परिमेय संख्याओं का समुच्चय गणनीय होता है। धनात्मक और ऋणात्मक परिमेय संख्याओं के समुच्चय के बीच केवल एक परिमेय संख्या को इसके विपरीत बताकर, एक आक्षेप स्थापित करना आसान है। वह। ऋणात्मक परिमेय संख्याओं का समुच्चय भी गणनीय होता है। उनका संघ गणनीय समुच्चयों के गुणधर्म से भी गणनीय होता है। परिमेय संख्याओं का समुच्चय एक परिमित समुच्चय के साथ गणनीय समुच्चय के मिलन के रूप में भी गणनीय होता है।

परिमेय संख्याओं के समुच्चय की गणनीयता के बारे में कथन कुछ विस्मयकारी हो सकता है, क्योंकि पहली नज़र में यह आभास हो जाता है कि यह प्राकृत संख्याओं के समुच्चय से बहुत बड़ा है। वास्तव में, यह मामला नहीं है, और सभी परिमेय संख्याओं की गणना करने के लिए पर्याप्त प्राकृतिक संख्याएँ हैं।

परिमेय संख्याओं की अपर्याप्तता

ऐसे त्रिभुज का कर्ण किसी परिमेय संख्या द्वारा व्यक्त नहीं किया जाता है

फॉर्म 1 की परिमेय संख्याएं / एनअत्याधिक एनमनमाने ढंग से छोटी मात्रा को मापा जा सकता है। यह तथ्य एक भ्रामक धारणा बनाता है कि परिमेय संख्याएँ किसी भी ज्यामितीय दूरियों को सामान्य रूप से माप सकती हैं। यह दिखाना आसान है कि यह सच नहीं है।

पाइथागोरस प्रमेय से यह ज्ञात होता है कि एक समकोण त्रिभुज के कर्ण को उसके पैरों के वर्गों के योग के वर्गमूल के रूप में व्यक्त किया जाता है। वह। एक इकाई पैर वाले एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के कर्ण की लंबाई बराबर होती है, अर्थात एक संख्या जिसका वर्ग 2 है।

यदि हम यह मान लें कि संख्या किसी परिमेय संख्या द्वारा निरूपित की जाती है, तो ऐसा पूर्णांक होता है एमऔर ऐसी प्राकृतिक संख्या एन, जो, इसके अलावा, भिन्न अपरिवर्तनीय है, अर्थात, संख्याएं एमतथा एनकोप्राइम हैं।

अंशगणित में, एक इकाई के एक या अधिक भागों (अंश) से युक्त संख्या। भिन्न परिमेय संख्याओं के क्षेत्र का हिस्सा हैं। भिन्नों को उनके लिखे जाने के तरीके के अनुसार 2 स्वरूपों में विभाजित किया गया है: साधारणदयालु और दशमलव .

भिन्न का अंश- लिए गए शेयरों की संख्या दिखाने वाली संख्या (अंश के शीर्ष पर स्थित - रेखा के ऊपर)। भिन्न भाजक- एक संख्या दिखाती है कि इकाई को कितने भागों में विभाजित किया गया है (रेखा के नीचे स्थित - निचले हिस्से में)। , बदले में, में विभाजित हैं: सहीतथा गलत, मिला हुआतथा कम्पोजिटमाप की इकाइयों से निकटता से संबंधित है। 1 मीटर में 100 सेमी होता है जिसका अर्थ है कि 1 मीटर 100 बराबर भागों में बांटा गया है। इस प्रकार, 1 सेमी = 1/100 मीटर (एक सेंटीमीटर एक मीटर के सौवें हिस्से के बराबर है)।

या 3/5 (तीन पाँचवाँ भाग), यहाँ 3 अंश है, 5 हर है। यदि अंश हर से छोटा है, तो भिन्न एक से छोटा है और कहलाता है सही:

यदि अंश हर के बराबर है, तो भिन्न एक के बराबर है। यदि अंश हर से बड़ा है, तो भिन्न एक से बड़ा है। दोनों ही स्थितियों में भिन्न कहलाती है गलत:

एक अनुचित अंश में निहित सबसे बड़े पूर्णांक को अलग करने के लिए, आपको अंश को हर से विभाजित करना होगा। यदि विभाजन शेषफल के बिना किया जाता है, तो लिया गया अनुचित अंश भागफल के बराबर होता है:

यदि विभाजन शेषफल के साथ किया जाता है, तो (अपूर्ण) भागफल वांछित पूर्णांक देता है, शेष भिन्नात्मक भाग का अंश बन जाता है; भिन्नात्मक भाग का हर समान रहता है।

वह संख्या जिसमें एक पूर्णांक और एक भिन्नात्मक भाग होता है, कहलाती है मिला हुआ. अंश मिश्रित संख्याशायद अनुचित अंश. फिर भिन्नात्मक भाग से सबसे बड़ा पूर्णांक निकालना और मिश्रित संख्या को इस प्रकार निरूपित करना संभव है कि भिन्नात्मक भाग एक उचित भिन्न बन जाए (या पूरी तरह से गायब हो जाए)।

कृपया मदद कीजिए। मुझे शब्दों में लिखना है: संपत्ति में 2700/137061 शेयर हैं ... मेरा संस्करण: दो हजार सात सौ एक सौ सैंतीस हजार साठ-पहले शेयर

क्या यह वाकई जरूरी है? तथ्य यह है कि शब्दों में जो लिखा है उसे समझना पूरी तरह से असंभव होगा ...

आप इसे इस तरह लिख सकते हैं: एक अंश, जिसके अंश में ऐसी और ऐसी, और हर में - ऐसी और ऐसी।

नमस्कार! क्या 1.5 अंक वाले शब्दों के संयोजन के बारे में कोई विशेष नियम है? यह डिजिटल रूप में है, "डेढ़" शब्द नहीं? पाठ गणितीय नहीं है, लेकिन किसी संख्या को किसी शब्द से बदलने की कोई संभावना नहीं है। उदाहरण के लिए: क्या कार्य को पूरा करने की समय सीमा 1.5 मिनट या 1.5 मिनट है? 1.5 साल या 1.5 साल बाद?

नियम यह है: एक मिश्रित संख्या के साथ, संज्ञा एक अंश द्वारा शासित होती है, पूर्णांक नहीं। बुध: 35.5 प्रतिशत(नहीं: ...प्रतिशत), 12.6 किलोमीटर(नहीं: ... किलोमीटर), 45.0 सेकंड. (रोसेन्थल डी। ई। स्पेलिंग एंड लिटरेरी एडिटिंग हैंडबुक। एम। 1999। 164, पी। 8।)

प्रश्नः शिशु मृत्यु दर 6.8 प्रति हजार जन्म थी। - यहां आपको /person/ (r.p.) लिखना होगा या आपको /person/ को छोड़ना होगा। एक व्यक्ति का आठवां हिस्सा, बेशक, भयानक लगता है, लेकिन यहां आंकड़े हैं, एक अंश को बदलने का कोई तरीका नहीं है

रूसी भाषा की संदर्भ सेवा का उत्तर

व्याकरण की दृष्टि से सही: 6.8 लोग।

नमस्कार! मुझे बताओ, कृपया, कैसे और क्यों अंश "1/130" लिखा है? धन्यवाद!

रूसी भाषा की संदर्भ सेवा का उत्तर

इसे शब्दों में कैसे लिखें? एक सौ तीस।

कृपया मुझे बताओ। विशेषणों और संज्ञाओं के साथ भिन्नात्मक संख्याओं को सहमत करने के लिए मुझे एक विस्तृत नियम कहां मिल सकता है (उदाहरण के लिए: एक वर्ग मीटर का 0.68 सौवां? वर्ग मीटर?)?

रूसी भाषा की संदर्भ सेवा का उत्तर

एक मिश्रित संख्या के साथ, संज्ञा एक अंश द्वारा शासित होती है, पूर्णांक नहीं। सही: 0.68 वर्ग मीटर.

प्रिय "डिप्लोमा", दो विकल्प "दो सौ साढ़े हजार" और "दो सौ साढ़े हजार" में से क्यों पहला विकल्प सही है (यह प्रश्न संख्या 285264 है), और विकल्पों में से " साढ़े पांच मीटर" और "साढ़े पांच मीटर" सही है 5.5 मीटर (प्रश्न संख्या 285260)। क्या आप कृपया समझा सकते हैं!

रूसी भाषा की संदर्भ सेवा का उत्तर

सही: दो सौ साढ़े हजार, साढ़े पांच मीटर।लेकिन अगर हम लिखने के लिए संख्यात्मक रूप का उपयोग करते हैं, जहां एक पूर्णांक और एक अंश है, सही ढंग से: 209.5 हजार, 5.5 मीटर।संज्ञा एक अंश द्वारा शासित है: दो सौ नौ अंक और एक हजार का पांच दसवां, एक मीटर का पांच और पांच दसवां।

सही तरीके से कैसे बोलें और लिखें: "दो सौ साढ़े हजार" या "दो सौ साढ़े हजार"? किस शब्द पर ध्यान देना है: मुख्य संख्या या उसका अंश?

रूसी भाषा की संदर्भ सेवा का उत्तर

सही: दो सौ साढ़े नौ हजार।

"दो सौ प्रतिशत आबादी" या प्रतिशत? और अधिक कठिन:
"दो सौ दशमलव तीन प्रतिशत आबादी" या प्रतिशत ए?
यानी सवाल यह है कि जननेंद्रिय मामला किस बिंदु से शुरू होता है? यदि "जनसंख्या" शब्द के लिए नहीं, तो सब कुछ स्पष्ट होगा, क्योंकि यह वह अंश है जो बाद की संज्ञा को नियंत्रित करता है। लेकिन यहाँ दो हैं। मुझे तो यही समझ नहीं आता।

रूसी भाषा की संदर्भ सेवा का उत्तर

नियम के अनुसार, कार्डिनल संख्या संज्ञा के मामले में सहमत होती है: जनसंख्या का दो सौ प्रतिशत।

भिन्नात्मक संख्याओं का उपयोग एकवचन संज्ञाओं के साथ किया जाता है: जनसंख्या के एक प्रतिशत का दो सौ तीन दसवां हिस्सा ((क्या?) प्रतिशत का तीन दसवां हिस्सा)।

आप अंश u के साथ वर्ष कैसे लिखते हैं? उदाहरण के लिए: बेरोजगारों की औसत आयु 35.1 या वर्ष थी?

रूसी भाषा की संदर्भ सेवा का उत्तर

दोनों विकल्प असफल हैं: वर्ष को दसवें में नहीं, बल्कि महीनों (35 वर्ष और इतने महीनों) में मापने की प्रथा है।

अच्छा दिन!
भिन्न 5/31010 को शब्दों में कैसे लिखें?
धन्यवाद!

रूसी भाषा की संदर्भ सेवा का उत्तर

शायद इस तरह: पांच इकतीस हजार दसवां।लेकिन क्यों? यह लेखक और पाठक दोनों के लिए एक बड़ी असुविधा है।

नमस्कार। उत्तर के लिए धन्यवाद! फिर भी, मैं आपके अंतिम प्रश्न के उत्तर को स्पष्ट करना चाहता हूं। आपने एक उत्तर भेजा है, जो मूल मामले में सही है:

Http://gramota.ru/spravka/buro/29_458084 प्रश्न संख्या 274637
नमस्कार। दोनों स्थितियों में कोष्ठक में सही है?
इस साल हम 3.5 हजार परिवारों को सपोर्ट करेंगे।
35 हजार (एएम) परिवारों द्वारा अपार्टमेंट उपलब्ध कराए गए थे।
पैटर्न्स
रूसी भाषा की संदर्भ सेवा का उत्तर
मूल मामले में सहीः साढ़े तीन हजार परिवार; तीन हजार पांच सौ परिवार; पैंतीस हजार परिवार।

लेकिन आपके इस उत्तर का क्या करें? कैसे भेद करें किस मामले में अंक "साढ़े तीन पांच दसवां हजार" पढ़ा जाना चाहिए और "साढ़े तीन हजार" कब पढ़ा जाना चाहिए? या यह यहाँ प्राथमिक महत्व का है, "हजारों किसका या वास्तव में" - लोग, इकाइयाँ, उपकरण, सेब?

http://www.gramota.ru/spravka/buro/29_386324
प्रश्न #256506
कुल 16.5 इकाइयों से कम किया गया था - "इकाइयों" की सही वर्तनी क्या है?
ल्योशा
रूसी भाषा की संदर्भ सेवा का उत्तर
सही: 16.5 इकाइयां। संज्ञा एक अंश द्वारा शासित होती है: एक इकाई का पांच दसवां हिस्सा।

रूसी भाषा की संदर्भ सेवा का उत्तर

व्याकरण इस बात पर निर्भर करता है कि वाक्य कैसे पढ़ा जाता है। इस मामले में यह बेहतर है: साढ़े तीन हजारया तीन हज़ार पाँच सौ(पढ़ने और समझने में मुश्किल: एक हजार का तीन और पांच दसवां हिस्सा)।

नमस्ते,
कृपया मुझे बताएं कि यौगिक संख्याओं को सही ढंग से कैसे कम किया जाए, साथ ही इस मामले में संज्ञा "शेयर" (या "शेयर", बहुवचन?)

"संपत्ति में अपार्टमेंट के 21/85 (इक्कीस अस्सी-पांचवें) शेयर शामिल हैं"

धन्यवाद!

रूसी भाषा की संदर्भ सेवा का उत्तर

सही: ... इक्कीस पचहत्तर.

भिन्न का अंश एक कार्डिनल संख्या है ( इक्कीस), और हर क्रमसूचक है ( 85 वें) शब्द साझा करनाएकवचन रूप में खड़ा है, क्योंकि यह एक अंक को संदर्भित करता है जो समाप्त होता है एक.

कृपया शंकाओं का तत्काल समाधान करें!
एक मिश्रित संख्या के साथ, संज्ञा को एक अंश द्वारा नियंत्रित किया जाता है, इसलिए संज्ञा को एकवचन में रखा जाता है, उदाहरण के लिए: 12.6 किलोमीटर, प्रतिशत, मीटर, आदि। लेकिन अन्य संज्ञाओं के बारे में क्या (उन लोगों के बारे में नहीं जो कुछ मापते हैं), उदाहरण के लिए: 9,882 विज़िट या विज़िट? या संज्ञा को हमेशा भिन्नात्मक अंक के साथ एकवचन में रखा जाता है?

रूसी भाषा की संदर्भ सेवा का उत्तर

हां, समान: 9, 882 (हजारवां) दौरा.

क्या "संपूर्ण" शब्द एक संज्ञा है या सिर्फ एक विशेषण है? उदाहरण के लिए: "एकल पूर्ण" - क्या संपूर्ण एक संज्ञा या विशेषण है?

रूसी भाषा की संदर्भ सेवा का उत्तर

आपके उदाहरण में, शब्द का प्रयोग संज्ञा के रूप में किया जाता है।

सीई लो,-बहुत खूब; सीएफ
1. चटाई।
एक अंश के बिना एक संख्या। एक अंश में से एक अंश घटाएं।
2.
कुछ एक, अविभाज्य। पार्क और स्थापत्य पहनावा एक सी बनाते हैं।पतला, एकल सी।इस प्रकरण को नाटक से हटाने से ग. का उल्लंघन होगा।संपूर्ण के लिए बलिदान विवरण।

कौन सा सही है: 5 1/2 मीटर या 5.5 मीटर? क्यों?

रूसी भाषा की संदर्भ सेवा का उत्तर

दूसरा डिज़ाइन विकल्प (दशमलव अंश के साथ) अधिक परिचित है (शायद अधिक ग्राफिकल सादगी के कारण)।

अनुदेश

कुछ साधारण भिन्नों का प्रतिनिधित्व करने वाले विशेष वर्णों को सम्मिलित करके सरलतम अंशों को मुद्रित किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, "सम्मिलित करें-प्रतीक" मेनू आइटम का चयन करें। दिखाई देने वाले वर्णों के एक सेट के साथ प्लेट में, वांछित अंश के चिह्न का चयन करें (यदि यह वहां है)। दुर्भाग्य से, उपलब्ध भिन्न प्रतीकों की सूची निम्नलिखित मानों के साथ मानक फोंट में बहुत सीमित है:?,?,?,?,?,?,?,?,?। तैयार भिन्नों का सेट "फ़ॉन्ट" फ़ील्ड में चयनित फ़ॉन्ट के आधार पर भिन्न हो सकता है। हालाँकि, यदि कोई विशेष फ़ॉन्ट भिन्नों का एक बड़ा चयन प्रदान करता है, तो इसका मतलब यह बिल्कुल भी नहीं है कि ये वर्ण दूसरे पर उसी तरह प्रदर्शित होंगे।

किसी भी साधारण को प्रिंट करने के लिए उसका अंश, फिर तिरछा चिन्ह (/) और उसके बाद भिन्न का हर टाइप करें। इस तरह के अंश को अधिक प्राकृतिक रूप देने के लिए, अंश का चयन करें, दायां माउस बटन दबाएं, ड्रॉप-डाउन संदर्भ मेनू में "फ़ॉन्ट" लाइन का चयन करें और "सुपरस्क्रिप्ट" शब्द के साथ बॉक्स को चेक करें। भिन्न के हर के साथ भी ऐसा ही करें। बस "सबस्क्रिप्ट" शब्द के सामने एक टिक लगाएं।

आप लंबवत ऑफसेट को मिलाकर और फ़ॉन्ट आकार को कम करके एक अंश मुद्रित कर सकते हैं। एक साधारण भिन्न के अंश और हर को एक स्लैश से अलग करते हुए टाइप करें। अब अंश का चयन करें और संदर्भ (या मुख्य) मेनू में "फ़ॉन्ट" आइटम का चयन करें। सेट एक से लगभग एक तिहाई छोटा फ़ॉन्ट आकार निर्दिष्ट करें (उदाहरण के लिए, 12 पीटी के बजाय 8 पीटी)। फिर "अंतराल" टैब पर जाएं और "ऑफ़सेट" लाइन में, "ऊपर" मान चुनें। ऑफ़सेट मान को डिफ़ॉल्ट पर छोड़ा जा सकता है। इसके बाद हर के साथ यही प्रक्रिया करें। केवल "ऑफ़सेट" को "डाउन" का चयन करने की आवश्यकता है।

यदि जटिल गणितीय अभिव्यक्तियों में भिन्न चिह्न (क्षैतिज बार) का उपयोग किया जाता है, तो सूत्र संपादक का उपयोग करके ऐसे बार (संपूर्ण अभिव्यक्ति की तरह) टाइप करना बेहतर होता है। ऐसा करने के लिए, क्रम में निम्न मेनू आइटम का चयन करें: "सम्मिलित करें - ऑब्जेक्ट - Microsoft समीकरण 3.0"। उसके बाद, गणितीय सूत्रों का संपादक शुरू हो जाएगा, जहां आप किसी भी अंश को प्रिंट कर सकते हैं। यदि ड्रॉप-डाउन मेनू में "Microsoft Equation 3.0" ऑब्जेक्ट प्रकट नहीं होता है, तो Word स्थापित होने पर यह विकल्प स्थापित नहीं किया गया था। ऐसा करने के लिए, समान संस्करण के Word के साथ एक डिस्क डालें और संस्थापन प्रोग्राम चलाएँ। Microsoft समीकरण 3.0 चेकबॉक्स को चेक करें और स्थापना के बाद यह सुविधा उपलब्ध हो जाएगी। Microsoft Word 2007 में, सूत्र संपादक पहले से ही टास्कबार में बनाया गया है।

आप Word में एक जटिल अंश को दूसरे तरीके से प्रिंट कर सकते हैं। क्रम में निम्नलिखित मदों का चयन करें: "इन्सर्ट - फील्ड - फॉर्मूला - ईक"। अब खुले हुए संपादक में भिन्न चिह्न का चयन करें।

आप एक विशेष "प्रतीकात्मक" सूत्र संपादक का उपयोग करके एक अंश मुद्रित कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, कुंजी संयोजन Ctrl + F9 दबाएं। फिर, दिखाई देने वाले घुंघराले ब्रेसिज़ के अंदर, टाइप करें: eq f(1;2) और F9 दबाएं। परिणाम एक सेकंड है, जो एक क्लासिक, "ऊर्ध्वाधर" रूप में दर्ज किया गया है। वांछित अंश प्राप्त करने के लिए, एक के बजाय अंश और दो के बजाय अंश के हर को प्रिंट करें। वैसे, परिणामी अंश को बाद में "सामान्य" सूत्र संपादक के साथ संपादित किया जा सकता है।

चरम मामलों में, भिन्न चिह्न (क्षैतिज रेखा) स्वयं द्वारा खींचा जा सकता है। ऐसा करने के लिए, ड्राइंग पैनल का विस्तार करें, लाइन टूल का चयन करें और एक उपयुक्त क्षैतिज रेखा बनाएं। परिणामी पंक्ति में अंश और हर को "संलग्न" करने के लिए, "पाठ रैपिंग" विकल्प की सेटिंग में, आपको "पाठ से पहले" या "पाठ के पीछे" का चयन करना होगा।

ध्यान दें

यदि आप एक विशेष फ़ील्ड: "साइन कोड" का उपयोग करते हैं, तो एक अंश दर्ज करना काफी तेज हो सकता है। उदाहरण के लिए, "एक आधा" प्राप्त करने के लिए, इस क्षेत्र में "00BD" (या "00bd") दर्ज करें।

उपयोगी सलाह

सभी विकल्प Word 2003 (XP) पर केंद्रित हैं। अन्य सभी संस्करण थोड़े अलग हैं।

स्रोत:

• भिन्न से भिन्न को कैसे कम करें
• घर पर शॉट बनाना

शायद प्रत्येक व्यक्ति, एक छात्र होने के नाते, अपने जीवन में कम से कम एक बार एक निबंध लिखा था। जो छात्र कलन से संबंधित विषयों पर सार लिखते हैं, उन्हें पाठ संपादक में सूत्रों और भिन्नात्मक संख्याओं को जोड़ने की समस्या का सामना करना पड़ता है। Microsoft Office सॉफ़्टवेयर पैकेज में "Microsoft Equation" नामक ऑब्जेक्ट हैं जो आपको किसी भी जटिलता की गणितीय अभिव्यक्ति की रचना करने की अनुमति देते हैं।

आपको चाहिये होगा

• माइक्रोसॉफ्ट ऑफिस वर्ड 2007 सॉफ्टवेयर।

अनुदेश

इन कार्रवाइयों के परिणामस्वरूप, अब उस दस्तावेज़ में एक स्थान जोड़ दिया गया है जिसे हम एक अतिरिक्त सूत्र बनाने के लिए संपादित कर रहे हैं।

मेन मेन्यू में आपके सामने "डिज़ाइनर" टैब खुल जाता है। "स्ट्रक्चर्स" समूह में, "फ्रैक्शन" आइटम पर क्लिक करें, जिसमें आपको "वर्टिकल सिंपल फ्रैक्शन" नाम के साथ ड्रॉप-डाउन सूची से वांछित आइटम का चयन करना होगा।

पिछले चरण को पूरा करने और एक सूत्र बनाने के लिए दस्तावेज़ में एक विशेष स्थान जोड़ने के बाद, ऊर्ध्वाधर अंश के लिए एक टेम्पलेट सम्मिलित करना संभव है। ऐसा करने के लिए, उस बॉक्स पर क्लिक करें जो भिन्न के अंश में है और उसमें वह व्यंजक जोड़ें जो आपके पहले भिन्न के अंश में है। इन सभी क्रियाओं के बाद भिन्न के हर में वाले बॉक्स पर क्लिक करें और उसमें वह व्यंजक जोड़ें जो पहले भिन्न के हर में हो।

दस्तावेज़ में सफलतापूर्वक जोड़ा गया पहला अंश बनाने के बाद, उसके दाईं ओर क्लिक करें और "+" चिह्न जोड़ें।

संबंधित वीडियो

अंश फ़ार्मुलों के तत्वों में से एक है, जिसके इनपुट के लिए वर्ड प्रोसेसर वर्ड में एक Microsoft समीकरण उपकरण है। इसके साथ, आप किसी भी जटिल गणितीय या भौतिक सूत्र, समीकरण और अन्य तत्वों को दर्ज कर सकते हैं जिनमें विशेष वर्ण शामिल हैं।

अनुदेश

Microsoft समीकरण उपकरण लॉन्च करने के लिए, आपको पते पर जाने की आवश्यकता है: "सम्मिलित करें" -> "ऑब्जेक्ट", खुलने वाले संवाद बॉक्स में, सूची से पहले टैब पर, Microsoft समीकरण का चयन करें और "ओके" पर क्लिक करें या डबल- चयनित आइटम पर क्लिक करें। संपादक को लॉन्च करने के बाद, आपके सामने एक टूलबार खुलेगा और एक इनपुट फ़ील्ड प्रदर्शित होगी: एक बिंदीदार में एक आयत। टूलबार को खंडों में विभाजित किया गया है, जिनमें से प्रत्येक में क्रिया संकेतों या अभिव्यक्तियों का एक सेट होता है। जब आप किसी एक अनुभाग पर क्लिक करते हैं, तो उसमें मौजूद टूल की सूची विस्तृत हो जाएगी। खुलने वाली सूची से, वांछित प्रतीक का चयन करें और उस पर क्लिक करें। एक बार चयनित होने पर, निर्दिष्ट वर्ण दस्तावेज़ में चयनित आयत में दिखाई देगा।

वह खंड जिसमें भिन्न लिखने के लिए तत्व होते हैं, टूलबार की दूसरी पंक्ति में स्थित होता है। जब आप अपना माउस कर्सर उसके ऊपर मँडराते हैं, तो आपको टूलटिप "फ्रैक्शन और रेडिकल पैटर्न" दिखाई देगा। एक बार किसी अनुभाग पर क्लिक करें और सूची का विस्तार करें। ड्रॉप-डाउन मेनू में क्षैतिज और स्लैश वाले भिन्नों के लिए टेम्पलेट हैं। दिखाई देने वाले विकल्पों में से, आप वह चुन सकते हैं जो आपके कार्य के अनुकूल हो। वांछित विकल्प पर क्लिक करें। क्लिक करने के बाद, दस्तावेज़ में खुलने वाले इनपुट फ़ील्ड में, एक अंश चिह्न और अंक और हर में प्रवेश करने के लिए स्थान, एक बिंदीदार रेखा द्वारा तैयार किए गए दिखाई देंगे। डिफॉल्ट कर्सर स्वचालित रूप से अंश में प्रवेश करने के लिए फ़ील्ड में रखा जाता है। अंकगणित दर्ज करें। संख्याओं के अलावा, आप गणितीय प्रतीकों, अक्षरों या क्रिया चिह्नों को भी दर्ज कर सकते हैं। उन्हें कीबोर्ड और Microsoft समीकरण टूलबार के संबंधित अनुभागों से दोनों में दर्ज किया जा सकता है। अंश जल के बाद, हर पर जाने के लिए TAB कुंजी दबाएं। आप हर में प्रवेश करने के लिए फ़ील्ड में माउस को क्लिक करके भी जा सकते हैं। फॉर्मूला लिखे जाने के बाद, माउस पॉइंटर के साथ दस्तावेज़ में कहीं भी क्लिक करें, टूलबार बंद हो जाएगा, और अंश इनपुट पूरा हो जाएगा। किसी भिन्न को संपादित करने के लिए, बाईं माउस बटन से उस पर डबल-क्लिक करें।

यदि, जब आप मेनू "सम्मिलित करें" -> "ऑब्जेक्ट" खोलते हैं, तो आपको सूची में Microsoft समीकरण उपकरण नहीं मिला, आपको इसे स्थापित करने की आवश्यकता है। संस्थापन डिस्क, डिस्क छवि, या Word वितरण फ़ाइल चलाएँ। दिखाई देने वाली इंस्टॉलर विंडो में, "घटक जोड़ें या निकालें" चुनें। अलग-अलग घटकों को जोड़ना या हटाना" और "अगला" पर क्लिक करें। अगली विंडो में, आइटम "उन्नत एप्लिकेशन सेटिंग्स" की जांच करें। अगला पर क्लिक करें। अगली विंडो में, सूची आइटम "कार्यालय उपकरण" ढूंढें और बाईं ओर धन चिह्न पर क्लिक करें। विस्तारित सूची में, हम "सूत्र संपादक" आइटम में रुचि रखते हैं। "सूत्र संपादक" के बगल में स्थित आइकन पर क्लिक करें और खुलने वाले मेनू में, "मेरे कंप्यूटर से चलाएँ" पर क्लिक करें। उसके बाद, "अपडेट" पर क्लिक करें और आवश्यक घटक स्थापित होने तक प्रतीक्षा करें।

भिन्नात्मक संख्याओं को लेखन के रूप के अनुसार दो समूहों में विभाजित किया जाता है, जिनमें से एक को "साधारण" भिन्न कहा जाता है, और दूसरे को "दशमलव" कहा जाता है। यदि पाठ दस्तावेज़ों में दशमलव अंश लिखने में कोई समस्या नहीं है, तो पाठ में "दो-कहानी" साधारण और मिश्रित अंश (सामान्य का एक विशेष मामला) रखने की प्रक्रिया थोड़ी अधिक जटिल है। यदि एक सामान्य स्लैश (/) अंश और हर को अलग करने के लिए पर्याप्त नहीं है, तो आप माइक्रोसॉफ्ट ऑफिस वर्ड वर्ड प्रोसेसर की क्षमताओं का सहारा ले सकते हैं।

अनुदेश

वर्ड प्रोसेसर मेनू के "इन्सर्ट" टैब पर जाएं और "सिंबल्स" कमांड ग्रुप में रखे गए "फॉर्मूला" बटन पर क्लिक करें। इस तथ्य पर ध्यान दें कि बटन पर क्लिक करना आवश्यक है, न कि इसके करीब (दाईं ओर) ड्रॉप-डाउन सूची के लेबल पर। इस तरह, "फॉर्मूला बिल्डर" लॉन्च किया जाता है और उसी नाम के साथ एक अतिरिक्त टैब मेनू में जोड़ा जाता है, जिस पर इस कंस्ट्रक्टर के नियंत्रण स्थित होते हैं। यदि आप फिर भी ड्रॉप-डाउन "फॉर्मूला" बटन खोलते हैं, तो आप सूची के निचले भाग में "नया फॉर्मूला डालें" लाइन का चयन करके कंस्ट्रक्टर को भी लॉन्च कर सकते हैं।

"फ्रैक्शन" बटन पर क्लिक करें - इसे "डिजाइनर" टैब पर "स्ट्रक्चर्स" नामक कमांड में पहले स्थान पर रखा गया है। यह क्रिया नौ सामान्य भिन्न वर्तनी की सूची लाती है। उनमें से कुछ में पहले से ही डिफ़ॉल्ट रूप से अंश और हर में सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले विशेष वर्ण हैं। वह विकल्प चुनें जो आपको सबसे अच्छा लगे, और Word इसे नए बनाए गए सूत्र फ़्रेम में रखेगा।

निर्मित भिन्न के अंश और हर को संपादित करें। तीन बिंदुओं वाला एक ऊर्ध्वाधर आयत आपके अंश वाले ऑब्जेक्ट के फ्रेम के ऊपरी बाएँ कोने से जुड़ता है - आप इस आयत पर ऑब्जेक्ट को खींचकर भिन्न को माउस से स्थानांतरित कर सकते हैं। यदि आप भिन्न को बदलना चाहते हैं, तो "सूत्र संपादक" चालू करने के लिए बस उस पर क्लिक करें।

कंप्यूटर द्वारा उपयोग की जाने वाली वर्ण एन्कोडिंग तालिकाओं में ऐसे संकेत होते हैं जो सरलतम अंशों का प्रतिनिधित्व करते हैं। उनमें से केवल तीन हैं, और आप इन प्रतीकों को उसी तरह सम्मिलित कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, एक कॉपीराइट चिह्न। पेस्ट करने के कई तरीके हैं, उनमें से सबसे सरल निम्नानुसार कार्यान्वित किया जाता है: वांछित वर्ण का कोड दर्ज करें और कुंजी संयोजन alt + x दबाएं। कोड 00BC का उपयोग करके, आप एक अंश लिख सकते हैं, कोड 00BD पाठ में भिन्न ½ डालता है, और 00BE - (कोड में सभी अक्षर लैटिन हैं)।

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अनुदेश

"सम्मिलित करें" मेनू आइटम पर एक बार क्लिक करें, फिर "प्रतीक" आइटम का चयन करें। यह पाठ में भिन्नों को सम्मिलित करने के सबसे आसान तरीकों में से एक है। इसमें निम्नलिखित शामिल हैं। तैयार प्रतीकों के सेट में भिन्न होते हैं। उनकी संख्या आमतौर पर छोटी होती है, लेकिन अगर आपको टेक्स्ट में 1/2 नहीं बल्कि 1/2 लिखना है, तो यह विकल्प आपके लिए सबसे इष्टतम होगा। इसके अलावा, भिन्न वर्णों की संख्या फ़ॉन्ट पर निर्भर हो सकती है। उदाहरण के लिए, टाइम्स न्यू रोमन फ़ॉन्ट के लिए, उसी एरियल की तुलना में थोड़ा कम अंश हैं। जब सरल अभिव्यक्तियों की बात आती है तो सबसे अच्छा विकल्प खोजने के लिए फोंट में बदलाव करें।

यह आलेख निम्न से संबंधित है सामान्य भिन्न. यहाँ हम पूर्ण के भिन्न की अवधारणा से परिचित होंगे, जो हमें एक साधारण भिन्न की परिभाषा की ओर ले जाएगी। इसके बाद, हम साधारण भिन्नों के लिए स्वीकृत अंकन पर ध्यान देंगे और भिन्नों के उदाहरण देंगे, जैसे भिन्न के अंश और हर के बारे में। उसके बाद, हम सही और गलत, सकारात्मक और नकारात्मक अंशों की परिभाषा देंगे, और निर्देशांक किरण पर भिन्नात्मक संख्याओं की स्थिति पर भी विचार करेंगे। अंत में, हम मुख्य क्रियाओं को भिन्नों के साथ सूचीबद्ध करते हैं।

पृष्ठ नेविगेशन।

पूरे के शेयर

पहले हम परिचय शेयर अवधारणा.

आइए मान लें कि हमारे पास कोई वस्तु है जो कई बिल्कुल समान (अर्थात, बराबर) भागों से बनी है। स्पष्टता के लिए, आप कल्पना कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, एक सेब को कई बराबर भागों में काटा जाता है, या एक नारंगी, जिसमें कई समान स्लाइस होते हैं। इन समान भागों में से प्रत्येक जो पूरी वस्तु का निर्माण करता है, कहलाता है कुल का हिस्साया केवल शेयरों.

ध्यान दें कि शेयर अलग हैं। आइए इसे समझाते हैं। मान लीजिए कि हमारे पास दो सेब हैं। आइए पहले सेब को दो बराबर भागों में काट लें, और दूसरे को 6 बराबर भागों में काट लें। यह स्पष्ट है कि पहले सेब का हिस्सा दूसरे सेब के हिस्से से अलग होगा।

संपूर्ण वस्तु बनाने वाले शेयरों की संख्या के आधार पर, इन शेयरों के अपने नाम होते हैं। आइए विश्लेषण करें नाम साझा करें. यदि वस्तु में दो भाग होते हैं, तो उनमें से कोई भी पूरी वस्तु का एक दूसरा भाग कहलाता है; यदि वस्तु में तीन भाग होते हैं, तो उनमें से किसी को एक तिहाई भाग कहा जाता है, और इसी तरह।

एक सेकंड बीट का है खास नाम - आधा. एक तिहाई कहा जाता है तीसरा, और एक चौगुनी - त्रिमास.

संक्षिप्तता के लिए, निम्नलिखित शेयर पदनाम. एक सेकंड शेयर को या 1/2, एक तिहाई शेयर - के रूप में या 1/3 के रूप में नामित किया गया है; एक चौथाई हिस्सा - लाइक या 1/4, इत्यादि। ध्यान दें कि एक क्षैतिज पट्टी के साथ अंकन अधिक बार उपयोग किया जाता है। सामग्री को समेकित करने के लिए, आइए एक और उदाहरण दें: प्रविष्टि पूरे के एक सौ साठ-सातवें हिस्से को दर्शाती है।

शेयर की अवधारणा स्वाभाविक रूप से वस्तुओं से लेकर परिमाण तक फैली हुई है। उदाहरण के लिए, लंबाई के उपायों में से एक मीटर है। मीटर से कम की लंबाई मापने के लिए, मीटर के अंशों का उपयोग किया जा सकता है। तो आप उपयोग कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, आधा मीटर या मीटर का दसवां या हज़ारवां हिस्सा। अन्य मात्राओं के शेयरों को इसी तरह लागू किया जाता है।

सामान्य भिन्न, परिभाषा और भिन्नों के उदाहरण

उपयोग किए जाने वाले शेयरों की संख्या का वर्णन करने के लिए सामान्य भिन्न. आइए एक उदाहरण दें जो हमें साधारण भिन्नों की परिभाषा तक पहुंचने की अनुमति देगा।

मान लीजिए कि एक संतरे में 12 भाग होते हैं। इस मामले में प्रत्येक हिस्सा पूरे संतरे के बारहवें हिस्से का प्रतिनिधित्व करता है, यानी। आइए दो बीट्स को , तीन बीट्स को , और इसी तरह, 12 बीट्स को के रूप में निरूपित करें। इनमें से प्रत्येक प्रविष्टि को साधारण भिन्न कहा जाता है।

अब चलिए एक जनरल देते हैं सामान्य अंशों की परिभाषा.

साधारण अंशों की आवाज की परिभाषा हमें लाने की अनुमति देती है सामान्य अंशों के उदाहरण: 5/10, 21/1, 9/4,। और ये रहे रिकॉर्ड साधारण भिन्नों की ध्वनि परिभाषा में फिट नहीं होते, अर्थात वे साधारण भिन्न नहीं हैं।

मीटर और विभाजक

सुविधा के लिए, हम साधारण भिन्नों में भेद करते हैं मीटर और विभाजक.

परिभाषा।

मीटरसाधारण भिन्न (m/n) एक प्राकृत संख्या m है।

परिभाषा।

भाजकसाधारण भिन्न (m/n) एक प्राकृत संख्या n है।

तो, अंश फ्रैक्शन बार (स्लैश के बाईं ओर) के ऊपर स्थित होता है, और हर फ्रैक्शन बार (स्लैश के दाईं ओर) के नीचे होता है। उदाहरण के लिए, आइए एक साधारण भिन्न 17/29 लें, इस भिन्न का अंश संख्या 17 है, और हर 29 संख्या है।

यह एक साधारण अंश के अंश और हर में निहित अर्थ पर चर्चा करने के लिए बनी हुई है। भिन्न का हर दिखाता है कि एक आइटम में कितने शेयर होते हैं, अंश, बदले में, ऐसे शेयरों की संख्या को इंगित करता है। उदाहरण के लिए, भिन्न 12/5 के हर 5 का अर्थ है कि एक वस्तु में पाँच भाग होते हैं, और अंश 12 का अर्थ है कि ऐसे 12 भाग लिए गए हैं।

भाजक के साथ भिन्न के रूप में प्राकृत संख्या 1

साधारण भिन्न का हर एक के बराबर हो सकता है। इस मामले में, हम मान सकते हैं कि वस्तु अविभाज्य है, दूसरे शब्दों में, यह कुछ संपूर्ण है। इस तरह के एक अंश का अंश इंगित करता है कि कितने पूरे आइटम लिए गए हैं। इस प्रकार, m/1 के रूप के एक साधारण अंश का एक प्राकृत संख्या m का अर्थ होता है। इस प्रकार हमने समानता m/1=m की पुष्टि की।

आइए अंतिम समानता को इस तरह फिर से लिखें: m=m/1 । यह समानता हमें किसी भी प्राकृत संख्या m को एक साधारण भिन्न के रूप में निरूपित करने की अनुमति देती है। उदाहरण के लिए, संख्या 4 भिन्न 4/1 है, और संख्या 103498 भिन्न 103498/1 है।

इसलिए, किसी भी प्राकृतिक संख्या m को एक साधारण भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है जिसका हर 1 m/1 है, और m/1 के रूप के किसी भी साधारण भिन्न को प्राकृतिक संख्या m से बदला जा सकता है।.

भाग चिन्ह के रूप में भिन्न बार

n शेयरों के रूप में मूल वस्तु का प्रतिनिधित्व n बराबर भागों में विभाजन से ज्यादा कुछ नहीं है। आइटम को n शेयरों में विभाजित करने के बाद, हम इसे n लोगों के बीच समान रूप से विभाजित कर सकते हैं - प्रत्येक को एक हिस्सा प्राप्त होगा।

यदि हमारे पास शुरू में m समान वस्तुएँ हैं, जिनमें से प्रत्येक को n शेयरों में विभाजित किया गया है, तो हम इन m वस्तुओं को n लोगों के बीच समान रूप से विभाजित कर सकते हैं, प्रत्येक व्यक्ति को m वस्तुओं में से प्रत्येक से एक हिस्सा दे सकते हैं। इस मामले में, प्रत्येक व्यक्ति के पास m शेयर 1/n होंगे, और m शेयर 1/n एक साधारण अंश m/n देता है। इस प्रकार, उभयनिष्ठ भिन्न m/n का उपयोग n व्यक्तियों के बीच m मदों के विभाजन को निरूपित करने के लिए किया जा सकता है।

तो हमें साधारण भिन्नों और विभाजन के बीच एक स्पष्ट संबंध मिला (प्राकृतिक संख्याओं के विभाजन का सामान्य विचार देखें)। यह संबंध इस प्रकार व्यक्त किया गया है: भिन्न के दंड को भाग चिन्ह के रूप में समझा जा सकता है, अर्थात् m/n=m:n.

एक साधारण भिन्न की सहायता से आप ऐसी दो प्राकृत संख्याओं को विभाजित करने का परिणाम लिख सकते हैं जिनका विभाजन किसी पूर्णांक से नहीं किया जाता है। उदाहरण के लिए, 5 सेबों को 8 लोगों से विभाजित करने के परिणाम को 5/8 के रूप में लिखा जा सकता है, यानी प्रत्येक को एक सेब का पांच आठवां हिस्सा मिलेगा: 5:8=5/8.

समान और असमान साधारण भिन्न, भिन्नों की तुलना

एक काफी स्वाभाविक क्रिया है सामान्य भिन्नों की तुलना, क्योंकि यह स्पष्ट है कि एक संतरे का 1/12 5/12 से भिन्न होता है, और एक सेब का 1/6 इस सेब के अन्य 1/6 के समान होता है।

दो साधारण भिन्नों की तुलना करने के परिणामस्वरूप, एक परिणाम प्राप्त होता है: भिन्न या तो बराबर होते हैं या बराबर नहीं होते हैं। पहले मामले में हमारे पास है समान उभयनिष्ठ भिन्न, और दूसरे में असमान सामान्य अंश. आइए समान और असमान साधारण भिन्नों की परिभाषा दें।

परिभाषा।

बराबरी का, यदि समानता a d=b c सत्य है।

परिभाषा।

दो उभयनिष्ठ भिन्न a/b और c/d बराबर नहीं, यदि समानता a d=b c संतुष्ट नहीं है।

यहाँ समान भिन्नों के कुछ उदाहरण दिए गए हैं। उदाहरण के लिए, सामान्य भिन्न 1/2 भिन्न 2/4 के बराबर है, क्योंकि 1 4=2 2 (यदि आवश्यक हो, तो प्राकृतिक संख्याओं के गुणन के नियम और उदाहरण देखें)। स्पष्टता के लिए, आप दो समान सेबों की कल्पना कर सकते हैं, पहला आधा में काटा जाता है, और दूसरा - 4 शेयरों में। जाहिर सी बात है कि एक सेब का दो-चौथाई हिस्सा 1/2 हिस्सा होता है। समान उभयनिष्ठ भिन्नों के अन्य उदाहरण भिन्न 4/7 और 36/63 और भिन्नों का युग्म 81/50 और 1620/1000 हैं।

और साधारण भिन्न 4/13 और 5/14 बराबर नहीं हैं, क्योंकि 4 14=56, और 13 5=65, यानी 4 14≠13 5. असमान उभयनिष्ठ भिन्नों का एक अन्य उदाहरण भिन्न 17/7 और 6/4 हैं।

यदि, दो साधारण भिन्नों की तुलना करने पर, यह पता चलता है कि वे समान नहीं हैं, तो आपको यह पता लगाने की आवश्यकता हो सकती है कि इनमें से कौन-सी साधारण भिन्न कमदूसरा, और जो अधिक. यह पता लगाने के लिए साधारण भिन्नों की तुलना करने के नियम का उपयोग किया जाता है, जिसका सार यह है कि तुलनात्मक भिन्नों को एक समान हर में लाया जाए और फिर अंशों की तुलना की जाए। इस विषय पर विस्तृत जानकारी लेख में अंशों की तुलना में एकत्र की गई है: नियम, उदाहरण, समाधान।

भिन्नात्मक संख्या

प्रत्येक अंश एक रिकॉर्ड है भिन्नात्मक संख्या. यही है, एक अंश एक भिन्नात्मक संख्या का सिर्फ एक "खोल" है, इसकी उपस्थिति, और संपूर्ण शब्दार्थ भार एक भिन्नात्मक संख्या में ठीक समाहित है। हालांकि, संक्षिप्तता और सुविधा के लिए, एक भिन्न और एक भिन्नात्मक संख्या की अवधारणा को जोड़ दिया जाता है और इसे केवल एक भिन्न कहा जाता है। यहां एक प्रसिद्ध कहावत को स्पष्ट करना उचित है: हम एक अंश कहते हैं - हमारा मतलब एक भिन्नात्मक संख्या है, हम एक भिन्नात्मक संख्या कहते हैं - हमारा मतलब एक अंश है।

निर्देशांक बीम पर भिन्न

साधारण भिन्नों से संबंधित सभी भिन्नात्मक संख्याओं का अपना विशिष्ट स्थान होता है, अर्थात निर्देशांक किरण के भिन्नों और बिंदुओं के बीच एक-से-एक पत्राचार होता है।

समन्वय किरण पर अंश m / n के अनुरूप बिंदु तक पहुंचने के लिए, मूल से m खंडों को सकारात्मक दिशा में स्थगित करना आवश्यक है, जिसकी लंबाई इकाई खंड का 1 / n अंश है। ऐसे खंड एक खंड को n बराबर भागों में विभाजित करके प्राप्त किए जा सकते हैं, जो हमेशा एक कंपास और शासक का उपयोग करके किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, आइए निर्देशांक किरण पर बिंदु M दिखाते हैं, जो भिन्न 14/10 के संगत है। बिंदु O पर समाप्त होने वाले खंड की लंबाई और उसके निकटतम बिंदु, एक छोटे डैश के साथ चिह्नित, इकाई खंड का 1/10 है। निर्देशांक 14/10 वाले बिंदु को ऐसे 14 खंडों द्वारा मूल बिंदु से हटा दिया जाता है।

समान भिन्न एक ही भिन्नात्मक संख्या के संगत होते हैं, अर्थात समान भिन्न निर्देशांक किरण पर एक ही बिंदु के निर्देशांक होते हैं। उदाहरण के लिए, एक बिंदु निर्देशांक किरण पर निर्देशांक 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 से मेल खाता है, क्योंकि सभी लिखित अंश समान हैं (यह आधे इकाई खंड की दूरी पर स्थित है, से स्थगित सकारात्मक दिशा में मूल)।

एक क्षैतिज और दायीं-निर्देशित निर्देशांक किरण पर, जिस बिंदु का निर्देशांक एक बड़ा अंश होता है, वह उस बिंदु के दाईं ओर स्थित होता है जिसका निर्देशांक एक छोटा अंश होता है। इसी तरह, छोटे निर्देशांक वाला बिंदु बड़े निर्देशांक वाले बिंदु के बाईं ओर स्थित होता है।

उचित और अनुचित भिन्न, परिभाषाएं, उदाहरण

साधारण भिन्नों में से हैं उचित और अनुचित अंश. इस विभाजन में मूल रूप से अंश और हर की तुलना होती है।

आइए उचित और अनुचित साधारण भिन्नों की परिभाषा दें।

परिभाषा।

उचित अंशएक साधारण भिन्न है, जिसका अंश हर से छोटा है, अर्थात यदि m

परिभाषा।

अनुचित अंशएक साधारण भिन्न है जिसमें अंश हर से बड़ा या उसके बराबर होता है, अर्थात यदि m≥n है, तो साधारण भिन्न अनुचित है।

यहाँ उचित भिन्नों के कुछ उदाहरण दिए गए हैं: 1/4 , , 32 765/909 003 । दरअसल, लिखित साधारण भिन्नों में से प्रत्येक में अंश हर से कम होता है (यदि आवश्यक हो, तो प्राकृतिक संख्याओं की तुलना लेख देखें), इसलिए वे परिभाषा के अनुसार सही हैं।

और यहाँ अनुचित भिन्नों के उदाहरण हैं: 9/9, 23/4,। दरअसल, लिखित साधारण भिन्नों में से पहले का अंश हर के बराबर होता है, और शेष भिन्नों में अंश हर से बड़ा होता है।

भिन्नों की एक के साथ तुलना करने के आधार पर उचित और अनुचित भिन्नों की परिभाषाएँ भी हैं।

परिभाषा।

सहीअगर यह एक से कम है।

परिभाषा।

उभयनिष्ठ भिन्न कहलाती है गलत, अगर यह या तो एक के बराबर है या 1 से बड़ा है।

अतः साधारण भिन्न 7/11 सही है, क्योंकि 7/11<1 , а обыкновенные дроби 14/3 и 27/27 – неправильные, так как 14/3>1 , और 27/27=1 ।

आइए इस बारे में सोचें कि भाजक से अधिक या उसके बराबर वाले साधारण अंश इस तरह के नाम के लायक कैसे हैं - "गलत"।

आइए एक उदाहरण के रूप में अनुचित भिन्न 9/9 को लें। इस भिन्न का अर्थ है कि किसी वस्तु के नौ भाग लिए जाते हैं, जिसमें नौ भाग होते हैं। यानी उपलब्ध नौ शेयरों में से हम एक पूरा विषय बना सकते हैं। यही है, अनुचित अंश 9/9 अनिवार्य रूप से एक संपूर्ण वस्तु देता है, अर्थात 9/9 = 1। सामान्य तौर पर, हर के बराबर अंश के साथ अनुचित अंश एक पूरी वस्तु को दर्शाते हैं, और इस तरह के अंश को प्राकृतिक संख्या 1 से बदला जा सकता है।

अब अनुचित भिन्नों 7/3 और 12/4 पर विचार करें। यह बिल्कुल स्पष्ट है कि इन सात तिहाई से हम दो पूरी वस्तुएं बना सकते हैं (एक पूरी वस्तु 3 शेयर है, फिर दो पूरी वस्तुओं की रचना के लिए हमें 3 + 3 = 6 शेयर चाहिए) और अभी भी एक तिहाई हिस्सा होगा। यही है, अनुचित अंश 7/3 अनिवार्य रूप से 2 वस्तुओं का मतलब है और ऐसी वस्तु के हिस्से का 1/3 भी। और बारह तिमाहियों से हम तीन पूरी वस्तुएँ बना सकते हैं (तीन वस्तुएँ जिनमें से प्रत्येक में चार भाग हैं)। अर्थात्, भिन्न 12/4 का अर्थ अनिवार्य रूप से 3 संपूर्ण वस्तुएँ हैं।

विचार किए गए उदाहरण हमें निम्नलिखित निष्कर्ष पर ले जाते हैं: अनुचित अंशों को या तो प्राकृतिक संख्याओं से बदला जा सकता है, जब अंश को पूरी तरह से हर से विभाजित किया जाता है (उदाहरण के लिए, 9/9 = 1 और 12/4 = 3), या का योग एक प्राकृतिक संख्या और एक उचित अंश, जब अंश हर से समान रूप से विभाज्य नहीं है (उदाहरण के लिए, 7/3=2+1/3 )। शायद यह ठीक यही है कि अनुचित अंश इस तरह के नाम के लायक हैं - "गलत"।

विशेष रूप से रुचि एक प्राकृतिक संख्या और एक उचित अंश के योग के रूप में एक अनुचित अंश का प्रतिनिधित्व है (7/3=2+1/3)। इस प्रक्रिया को एक अनुचित अंश से एक पूर्णांक भाग का निष्कर्षण कहा जाता है, और एक अलग और अधिक सावधानीपूर्वक विचार करने योग्य है।

यह भी ध्यान देने योग्य है कि अनुचित भिन्नों और मिश्रित संख्याओं के बीच बहुत घनिष्ठ संबंध है।

सकारात्मक और नकारात्मक अंश

प्रत्येक साधारण अंश एक सकारात्मक भिन्नात्मक संख्या से मेल खाता है (लेख सकारात्मक और नकारात्मक संख्या देखें)। अर्थात् साधारण भिन्न हैं सकारात्मक अंश. उदाहरण के लिए, साधारण भिन्न 1/5, 56/18, 35/144 धनात्मक भिन्न हैं। जब किसी भिन्न की सकारात्मकता पर जोर देना आवश्यक होता है, तो उसके सामने एक प्लस चिन्ह लगाया जाता है, उदाहरण के लिए, +3/4, +72/34।

यदि आप किसी साधारण भिन्न के सामने ऋण चिह्न लगाते हैं, तो यह प्रविष्टि ऋणात्मक भिन्नात्मक संख्या के अनुरूप होगी। इस मामले में, कोई बात कर सकता है ऋणात्मक भिन्न. ऋणात्मक भिन्नों के कुछ उदाहरण यहां दिए गए हैं: −6/10 , −65/13 , −1/18 ।

धनात्मक और ऋणात्मक भिन्न m/n और −m/n विपरीत संख्याएं हैं। उदाहरण के लिए, भिन्न 5/7 और -5/7 विपरीत भिन्न हैं।

धनात्मक भिन्न, जैसे सामान्य रूप से धनात्मक संख्याएँ, वृद्धि, आय, कुछ मूल्य में ऊपर की ओर परिवर्तन आदि को दर्शाती हैं। नकारात्मक अंश व्यय, ऋण, कमी की दिशा में किसी भी मूल्य में परिवर्तन के अनुरूप हैं। उदाहरण के लिए, एक ऋणात्मक अंश -3/4 की व्याख्या ऋण के रूप में की जा सकती है, जिसका मूल्य 3/4 है।

क्षैतिज और दाएँ-निर्देशित ऋणात्मक अंश संदर्भ बिंदु के बाईं ओर स्थित हैं। निर्देशांक रेखा के वे बिंदु जिनके निर्देशांक धनात्मक भिन्न m/n और ऋणात्मक भिन्न −m/n हैं, मूल बिंदु से समान दूरी पर स्थित हैं, लेकिन बिंदु O के विपरीत दिशा में स्थित हैं।

यहां यह फॉर्म 0/एन के अंशों का उल्लेख करने योग्य है। ये भिन्न संख्या शून्य के बराबर हैं, अर्थात 0/n=0 ।

धनात्मक भिन्न, ऋणात्मक भिन्न और 0/n भिन्न मिलकर परिमेय संख्याएँ बनाते हैं।

भिन्न के साथ क्रिया

साधारण भिन्नों के साथ एक क्रिया - भिन्नों की तुलना करना - हम पहले ही ऊपर विचार कर चुके हैं। चार और अंकगणित परिभाषित हैं भिन्नों के साथ संचालन- भिन्नों का जोड़, घटाव, गुणा और भाग। आइए उनमें से प्रत्येक पर ध्यान दें।

भिन्न के साथ क्रियाओं का सामान्य सार प्राकृतिक संख्याओं के साथ संगत क्रियाओं के सार के समान है। आइए एक सादृश्य बनाएं।

भिन्नों का गुणनएक क्रिया के रूप में माना जा सकता है जिसमें भिन्न से भिन्न पाया जाता है। स्पष्ट करने के लिए, आइए एक उदाहरण लेते हैं। मान लीजिए हमारे पास एक सेब का 1/6 हिस्सा है और हमें उसका 2/3 भाग लेना है। हमें जिस भाग की आवश्यकता है वह भिन्नों को 1/6 और 2/3 से गुणा करने का परिणाम है। दो साधारण भिन्नों को गुणा करने का परिणाम एक साधारण भिन्न होता है (जो किसी विशेष मामले में एक प्राकृतिक संख्या के बराबर होता है)। आगे हम भिन्नों के गुणन - नियम, उदाहरण और समाधान के लेख की जानकारी का अध्ययन करने की सलाह देते हैं।

ग्रंथ सूची।

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