एक परिमित अंकगणितीय प्रगति में। उदाहरण के द्वारा अंकगणितीय प्रगति

उदाहरण के लिए, अनुक्रम \(2\); \(5\); \(आठ\); \(ग्यारह\); \(14\)... एक अंकगणितीय प्रगति है, क्योंकि प्रत्येक अगला तत्व पिछले एक से तीन से भिन्न होता है (तीन जोड़कर पिछले एक से प्राप्त किया जा सकता है):

इस क्रम में, अंतर \(d\) धनात्मक है (\(3\) के बराबर), और इसलिए प्रत्येक अगला पद पिछले वाले से बड़ा है। ऐसी प्रगति कहलाती है की बढ़ती.

हालाँकि, \(d\) भी हो सकता है ऋणात्मक संख्या. उदाहरण के लिए, अंकगणितीय प्रगति में \(16\); \(दस\); \(चार\); \(-2\); \(-8\)... क्रमागत अंतर \(d\) माइनस सिक्स के बराबर है।

और इस स्थिति में, प्रत्येक अगला तत्व पिछले वाले से छोटा होगा। ये प्रगति कहलाती हैं घटते.

अंकगणितीय प्रगति संकेतन

प्रगति को एक छोटे लैटिन अक्षर से दर्शाया जाता है।

वे संख्याएँ जो एक श्रेढ़ी बनाती हैं उसे कहते हैं सदस्यों(या तत्व)।

उन्हें अंकगणितीय प्रगति के समान अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है, लेकिन क्रम में तत्व संख्या के बराबर संख्यात्मक सूचकांक के साथ।

उदाहरण के लिए, अंकगणितीय प्रगति \(a_n = \बाएं\( 2; 5; 8; 11; 14...\right\)\) में \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) वगैरह।

दूसरे शब्दों में, प्रगति के लिए \(a_n = \बाएं\(2; 5; 8; 11; 14…\दाएं\)\)

अंकगणितीय प्रगति पर समस्याओं को हल करना

सिद्धांत रूप में, उपरोक्त जानकारी अंकगणितीय प्रगति पर लगभग किसी भी समस्या को हल करने के लिए पहले से ही पर्याप्त है (ओजीई में पेश किए गए लोगों सहित)।

उदाहरण (ओजीई)। अंकगणितीय प्रगतिशर्तों द्वारा दिया गया \(b_1=7; d=4\)। खोजें \(b_5\).
समाधान:

उत्तर: \(b_5=23\)

उदाहरण (ओजीई)। समांतर श्रेढ़ी के पहले तीन पद दिए गए हैं: \(62; 49; 36…\) इस श्रेढ़ी के पहले ऋणात्मक पद का मान ज्ञात कीजिए।
समाधान:

उत्तर: \(-3\)

उदाहरण (ओजीई)। अंकगणितीय प्रगति के कई लगातार तत्व दिए गए हैं: \(...5; x; 10; 12.5...\) अक्षर \(x\) द्वारा निरूपित तत्व का मान ज्ञात करें।
समाधान:

उत्तर: \(7,5\).

उदाहरण (ओजीई)। अंकगणितीय प्रगति दी गई निम्नलिखित शर्तें: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) इस श्रेणी के पहले छह पदों का योग ज्ञात कीजिए।
समाधान:

उत्तर: \(S_6=9\).

उदाहरण (ओजीई)। अंकगणितीय श्रेणी में \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). इस प्रगति का अंतर ज्ञात कीजिए।
समाधान:

उत्तर: \ (डी = 7 \)।

महत्वपूर्ण अंकगणितीय प्रगति सूत्र

जैसा कि आप देख सकते हैं, कई अंकगणितीय प्रगति की समस्याओं को केवल मुख्य बात को समझकर हल किया जा सकता है - कि एक अंकगणितीय प्रगति संख्याओं की एक श्रृंखला है, और इस श्रृंखला में प्रत्येक अगला तत्व उसी संख्या को पिछले एक में जोड़कर प्राप्त किया जाता है (अंतर) प्रगति का)।

हालांकि, कभी-कभी ऐसी स्थितियां होती हैं जब "माथे पर" हल करना बहुत असुविधाजनक होता है। उदाहरण के लिए, कल्पना करें कि पहले उदाहरण में, हमें पाँचवाँ तत्व \(b_5\) नहीं, बल्कि तीन सौ छियासीवां \(b_(386)\) खोजना है। यह क्या है, हम \ (385 \) बार चार जोड़ते हैं? या कल्पना करें कि अंतिम उदाहरण में, आपको पहले तिहत्तर तत्वों का योग खोजने की आवश्यकता है। गिनती भ्रमित कर रही है ...

इसलिए, ऐसे मामलों में, वे "माथे पर" हल नहीं करते हैं, लेकिन अंकगणितीय प्रगति के लिए प्राप्त विशेष सूत्रों का उपयोग करते हैं। और मुख्य हैं श्रेढ़ी के nवें पद के सूत्र और पहले पदों के योग \(n\) के सूत्र।

\(n\)वें सदस्य के लिए सूत्र: \(a_n=a_1+(n-1)d\), जहां \(a_1\) प्रगति का पहला सदस्य है;
\(n\) - आवश्यक तत्व की संख्या;
\(a_n\) संख्या \(n\) के साथ प्रगति का सदस्य है।

यह सूत्र हमें कम से कम तीन सौवां तत्व, यहां तक ​​कि मिलियनवाँ तत्व भी खोजने की अनुमति देता है, केवल पहले और प्रगति के अंतर को जानने के लिए।

उदाहरण। अंकगणितीय प्रगति शर्तों द्वारा दी गई है: \(b_1=-159\); \(डी=8,2\). खोजें \(b_(246)\)।
समाधान:

उत्तर: \(b_(246)=1850\).

पहले n पदों के योग का सूत्र है: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), जहां

\(a_n\) अंतिम योग पद है;

उदाहरण (ओजीई)। अंकगणितीय प्रगति शर्तों द्वारा दी गई है \(a_n=3.4n-0.6\)। इस श्रेणी के पहले \(25\) पदों का योग ज्ञात कीजिए।
समाधान:

उत्तर: \(S_(25)=1090\).

पहले शब्दों के योग \(n\) के लिए, आप एक और सूत्र प्राप्त कर सकते हैं: आपको बस \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) \(a_n\) के स्थान पर \(a_n=a_1+(n-1)d\) का सूत्र रखें। हम पाते हैं:

पहले n पदों के योग का सूत्र है: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), जहां

\(S_n\) - पहले तत्वों का आवश्यक योग \(n\);
\(a_1\) योग किया जाने वाला पहला पद है;
\(डी\) - प्रगति अंतर;
\(n\) - योग में तत्वों की संख्या।

उदाहरण। अंकगणितीय प्रगति के पहले \(33\)-पूर्व पदों का योग ज्ञात कीजिए: \(17\); \(15,5\); \(चौदह\)…
समाधान:

उत्तर: \(S_(33)=-231\).

अधिक जटिल अंकगणितीय प्रगति समस्याएं

अब आपके पास सब है आवश्यक जानकारीअंकगणितीय प्रगति पर लगभग किसी भी समस्या को हल करने के लिए। आइए उन समस्याओं पर विचार करके विषय को समाप्त करें जिनमें आपको न केवल सूत्रों को लागू करने की आवश्यकता है, बल्कि थोड़ा सोचने की भी आवश्यकता है (गणित में, यह उपयोगी हो सकता है ☺)

उदाहरण (ओजीई)। श्रेणी के सभी ऋणात्मक पदों का योग ज्ञात कीजिए: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
समाधान:

उत्तर: \(S_(65)=-630.5\).

उदाहरण (ओजीई)। अंकगणितीय प्रगति शर्तों द्वारा दी गई है: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). \(26\)वें से \(42\) तक का योग ज्ञात कीजिए।
समाधान:

उत्तर: \(एस=1683\).

एक अंकगणितीय प्रगति के लिए, कई और सूत्र हैं जिन पर हमने इस लेख में उनकी कम व्यावहारिक उपयोगिता के कारण विचार नहीं किया है। हालाँकि, आप उन्हें आसानी से पा सकते हैं।

महत्वपूर्ण लेख!
1. यदि सूत्रों के बजाय आप अब्रकदबरा देखते हैं, तो कैश साफ़ करें। इसे अपने ब्राउज़र में कैसे करें यहाँ लिखा है:
2. इससे पहले कि आप लेख पढ़ना शुरू करें, हमारे नेविगेटर पर अधिक से अधिक ध्यान दें उपयोगी संसाधनके लिये

संख्यात्मक क्रम

तो चलिए बैठ जाते हैं और कुछ संख्याएँ लिखना शुरू करते हैं। उदाहरण के लिए:
आप कोई भी संख्या लिख ​​सकते हैं, और जितने चाहें उतने हो सकते हैं (हमारे मामले में, उन्हें)। कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम कितनी संख्याएँ लिखते हैं, हम हमेशा कह सकते हैं कि उनमें से कौन सी पहली है, कौन सी दूसरी है, और इसी तरह आखिरी तक, यानी हम उन्हें नंबर दे सकते हैं। यह संख्या अनुक्रम का एक उदाहरण है:

संख्यात्मक क्रम
उदाहरण के लिए, हमारे अनुक्रम के लिए:

निर्दिष्ट संख्या केवल एक अनुक्रम संख्या के लिए विशिष्ट है। दूसरे शब्दों में, अनुक्रम में तीन दूसरी संख्याएँ नहीं हैं। दूसरी संख्या (-वें नंबर की तरह) हमेशा समान होती है।
संख्या के साथ संख्या को अनुक्रम का -वाँ सदस्य कहा जाता है।

हम आम तौर पर पूरे अनुक्रम को कुछ अक्षर कहते हैं (उदाहरण के लिए,), और इस अनुक्रम के प्रत्येक सदस्य - इस सदस्य की संख्या के बराबर सूचकांक वाला एक ही अक्षर:।

हमारे मामले में:

मान लीजिए कि हमारे पास एक संख्यात्मक क्रम है जिसमें आसन्न संख्याओं के बीच का अंतर समान और समान है।
उदाहरण के लिए:

आदि।
इस तरह के संख्यात्मक क्रम को अंकगणितीय प्रगति कहा जाता है।
शब्द "प्रगति" रोमन लेखक बोथियस द्वारा 6 वीं शताब्दी की शुरुआत में पेश किया गया था और एक व्यापक अर्थ में एक अंतहीन संख्यात्मक अनुक्रम के रूप में समझा गया था। "अंकगणित" नाम को निरंतर अनुपात के सिद्धांत से स्थानांतरित किया गया था, जिसमें प्राचीन यूनानी लगे हुए थे।

यह एक संख्यात्मक क्रम है, जिसका प्रत्येक सदस्य पिछले एक के बराबर है, उसी संख्या के साथ जोड़ा गया है। इस संख्या को अंकगणितीय प्रगति का अंतर कहा जाता है और इसे निरूपित किया जाता है।

यह निर्धारित करने का प्रयास करें कि कौन से संख्या अनुक्रम अंकगणितीय प्रगति हैं और कौन से नहीं हैं:

एक)
बी)
सी)
डी)

समझ गया? हमारे उत्तरों की तुलना करें:
हैअंकगणितीय प्रगति - बी, सी।
नहीं हैअंकगणितीय प्रगति - ए, डी।

आइए दी गई श्रेणी () पर वापस लौटते हैं और इसके वें सदस्य का मान ज्ञात करने का प्रयास करते हैं। मौजूद दोइसे खोजने का तरीका।

1. विधि

हम श्रेढ़ी संख्या के पिछले मान में तब तक जोड़ सकते हैं जब तक कि हम श्रेढ़ी के वें पद तक नहीं पहुँच जाते। यह अच्छा है कि हमारे पास सारांशित करने के लिए बहुत कुछ नहीं है - केवल तीन मान:

तो, वर्णित अंकगणितीय प्रगति का -वाँ सदस्य बराबर है।

2 रास्ते

यदि हमें श्रेढ़ी के वें पद का मान ज्ञात करने की आवश्यकता हो तो क्या होगा? योग करने में हमें एक घंटे से अधिक का समय लग जाता, और यह तथ्य नहीं है कि संख्याओं को जोड़ते समय हमने गलतियाँ नहीं की होंगी।
बेशक, गणितज्ञ एक ऐसा तरीका लेकर आए हैं जिसमें आपको अंकगणितीय प्रगति के अंतर को पिछले मूल्य में जोड़ने की आवश्यकता नहीं है। खींची गई तस्वीर को करीब से देखें ... निश्चित रूप से आपने पहले ही एक निश्चित पैटर्न देखा है, अर्थात्:

उदाहरण के लिए, देखते हैं कि इस अंकगणितीय प्रगति के -वें सदस्य का मान क्या बनता है:


दूसरे शब्दों में:

इस अंकगणितीय प्रगति के सदस्य के मूल्य को स्वतंत्र रूप से खोजने का प्रयास करें।

परिकलित? उत्तर के साथ अपनी प्रविष्टियों की तुलना करें:

ध्यान दें कि आपको ठीक वही संख्या प्राप्त हुई है जो पिछली पद्धति में थी, जब हमने अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों को पिछले मान में क्रमिक रूप से जोड़ा था।
आइए "प्रतिरूपण" करने का प्रयास करें यह सूत्र- आइए इसे एक सामान्य रूप में लाएँ और प्राप्त करें:

अंकगणितीय प्रगति या तो बढ़ रही है या घट रही है।

की बढ़ती- प्रगति जिसमें शर्तों का प्रत्येक बाद का मूल्य पिछले एक से अधिक है।
उदाहरण के लिए:

अवरोही- प्रगति जिसमें शर्तों का प्रत्येक बाद का मूल्य पिछले एक से कम है।
उदाहरण के लिए:

व्युत्पन्न सूत्र का उपयोग अंकगणितीय प्रगति के बढ़ते और घटते दोनों पदों की गणना में किया जाता है।
आइए इसे व्यवहार में देखें।
हमें एक अंकगणितीय प्रगति दी गई है जिसमें शामिल हैं निम्नलिखित संख्याएँ: आइए देखें कि यदि हम इसकी गणना करते समय अपने सूत्र का उपयोग करते हैं तो इस अंकगणितीय प्रगति की -वीं संख्या क्या होगी:

तब से:

इस प्रकार, हम आश्वस्त थे कि सूत्र अंकगणितीय प्रगति को घटाने और बढ़ाने दोनों में काम करता है।
इस अंकगणितीय प्रगति के -वें और -वें सदस्यों को स्वयं खोजने का प्रयास करें।

आइए परिणामों की तुलना करें:

अंकगणितीय प्रगति संपत्ति

आइए कार्य को जटिल करें - हम अंकगणितीय प्रगति की संपत्ति प्राप्त करते हैं।
मान लीजिए कि हमें निम्नलिखित शर्त दी गई है:
- अंकगणितीय प्रगति, मान ज्ञात करें।
आप कहते हैं, यह आसान है, और उस सूत्र के अनुसार गिनना शुरू करें जिसे आप पहले से जानते हैं:

चलो, ए, फिर:

बिल्कुल सही। यह पता चला है कि हम पहले पाते हैं, फिर इसे पहले नंबर में जोड़ते हैं और जो हम ढूंढ रहे हैं उसे प्राप्त करते हैं। यदि प्रगति को छोटे मूल्यों द्वारा दर्शाया गया है, तो इसमें कुछ भी जटिल नहीं है, लेकिन क्या होगा यदि हमें स्थिति में संख्याएँ दी गई हैं? सहमत हूँ, गणना में गलतियाँ होने की संभावना है।
अब सोचिए, क्या किसी सूत्र का प्रयोग करके इस समस्या को एक ही चरण में हल करना संभव है? बेशक, हां, और हम इसे अभी बाहर लाने की कोशिश करेंगे।

आइए अंकगणितीय प्रगति के वांछित शब्द को निरूपित करें, क्योंकि हम इसे खोजने का सूत्र जानते हैं - यह वही सूत्र है जो हमने शुरुआत में निकाला था:
, फिर:

• प्रगति का पिछला सदस्य है:
• प्रगति की अगली अवधि है:

आइए प्रगति के पिछले और अगले सदस्यों का योग करें:

यह पता चला है कि प्रगति के पिछले और बाद के सदस्यों का योग उनके बीच स्थित प्रगति के सदस्य के मूल्य का दोगुना है। दूसरे शब्दों में, ज्ञात पिछले और लगातार मूल्यों के साथ एक प्रगति सदस्य के मूल्य को खोजने के लिए, उन्हें जोड़ना और विभाजित करना आवश्यक है।

यह सही है, हमें वही नंबर मिला है। चलो सामग्री ठीक करते हैं। प्रगति के मूल्य की गणना स्वयं करें, क्योंकि यह बिल्कुल भी मुश्किल नहीं है।

बहुत बढ़िया! आप प्रगति के बारे में लगभग सब कुछ जानते हैं! यह केवल एक सूत्र का पता लगाने के लिए बना हुआ है, जो कि किंवदंती के अनुसार, सभी समय के महानतम गणितज्ञों में से एक, "गणितज्ञों का राजा" - कार्ल गॉस, आसानी से खुद के लिए कटौती करता है ...

जब कार्ल गॉस 9 साल के थे, तो दूसरी कक्षाओं के छात्रों के काम की जाँच में व्यस्त शिक्षक ने कक्षा में पूछा अगला कार्य: "सभी का योग गिनें प्राकृतिक संख्यासे तक (अन्य स्रोतों के अनुसार) समावेशी। शिक्षक को क्या आश्चर्य हुआ जब उनके एक छात्र (यह कार्ल गॉस थे) ने एक मिनट के बाद कार्य का सही उत्तर दिया, जबकि डेयरडेविल के अधिकांश सहपाठियों ने लंबी गणना के बाद गलत परिणाम प्राप्त किया ...

युवा कार्ल गॉस ने एक पैटर्न देखा जिसे आप आसानी से देख सकते हैं।
मान लें कि हमारे पास अंकगणितीय प्रगति है जिसमें -ti सदस्य शामिल हैं: हमें अंकगणितीय प्रगति के दिए गए सदस्यों का योग खोजने की आवश्यकता है। बेशक, हम मैन्युअल रूप से सभी मानों का योग कर सकते हैं, लेकिन क्या होगा यदि हमें कार्य में इसकी शर्तों का योग खोजने की आवश्यकता है, जैसा कि गॉस खोज रहे थे?

आइए हमें दी गई प्रगति को चित्रित करें। हाइलाइट की गई संख्याओं को ध्यान से देखें और उनके साथ विभिन्न गणितीय संक्रियाएँ करने का प्रयास करें।


कोशिश की? आपने क्या देखा? सही ढंग से! उनका योग बराबर है

अब उत्तर दीजिए, हमें दी गई श्रेढ़ी में ऐसे कितने जोड़े होंगे? बेशक, सभी संख्याओं का ठीक आधा, यानी।
इस तथ्य के आधार पर कि अंकगणितीय प्रगति के दो पदों का योग बराबर है, और समान समान जोड़े हैं, हम पाते हैं कि कुल योग बराबर है:
.
इस प्रकार, किसी अंकगणितीय प्रगति के पहले पदों के योग का सूत्र होगा:

कुछ समस्याओं में, हम वें पद को नहीं जानते हैं, लेकिन हम प्रगति के अंतर को जानते हैं। योग सूत्र में, वें सदस्य के सूत्र को प्रतिस्थापित करने का प्रयास करें।
तुम्हें क्या मिला?

बहुत बढ़िया! अब कार्ल गॉस को दी गई समस्या पर वापस आते हैं: अपने लिए गणना करें कि -वें से शुरू होने वाली संख्याओं का योग क्या है, और -वें से शुरू होने वाली संख्याओं का योग।

आपको कितना मिला?
गॉस ने पाया कि शर्तों का योग बराबर है, और शर्तों का योग। क्या आपने ऐसा फैसला किया है?

वास्तव में, एक अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों के योग का सूत्र प्राचीन यूनानी वैज्ञानिक डायोफैंटस द्वारा तीसरी शताब्दी में सिद्ध किया गया था, और इस समय के दौरान, मजाकिया लोगों ने अंकगणितीय प्रगति के गुणों का उपयोग ताकत और मुख्य के साथ किया।
उदाहरण के लिए, कल्पना कीजिए प्राचीन मिस्रऔर उस समय का सबसे बड़ा निर्माण स्थल - एक पिरामिड का निर्माण ... आंकड़ा इसका एक पक्ष दिखाता है।

आप कहते हैं कि यहां प्रगति कहां है? ध्यान से देखें और पिरामिड दीवार की प्रत्येक पंक्ति में रेत ब्लॉकों की संख्या में एक पैटर्न खोजें।


अंकगणितीय प्रगति क्यों नहीं? गणना करें कि एक दीवार बनाने के लिए कितने ब्लॉकों की आवश्यकता होगी यदि ब्लॉक ईंटों को आधार में रखा गया हो। मुझे उम्मीद है कि आप मॉनिटर पर अपनी उंगली घुमाकर गिनती नहीं करेंगे, क्या आपको आखिरी फॉर्मूला याद है और अंकगणितीय प्रगति के बारे में हमने जो कुछ कहा है?

इस मामले में, प्रगति इस तरह दिखती है:
अंकगणितीय प्रगति अंतर।
अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों की संख्या।
आइए अपने डेटा को अंतिम फ़ार्मुलों में बदलें (हम 2 तरीकों से ब्लॉक की संख्या की गणना करते हैं)।

विधि 1।

विधि 2।

और अब आप मॉनिटर पर भी गणना कर सकते हैं: प्राप्त मूल्यों की तुलना हमारे पिरामिड में मौजूद ब्लॉकों की संख्या से करें। क्या यह सहमत था? शाबाश, आपने अंकगणितीय प्रगति के वें पदों के योग में महारत हासिल कर ली है।
बेशक, आप आधार पर ब्लॉकों से पिरामिड नहीं बना सकते, लेकिन से? इस शर्त के साथ दीवार बनाने के लिए कितनी रेत की ईंटों की जरूरत है, इसकी गणना करने का प्रयास करें।
क्या आप संभाल पाओगे?
सही उत्‍तर है → ब्लॉक

कसरत करना

कार्य:

1. माशा गर्मी के लिए आकार में हो रही है। हर दिन वह स्क्वैट्स की संख्या में इजाफा करती हैं। माशा हफ्तों में कितनी बार स्क्वाट करेगी अगर उसने पहली बार वर्कआउट किया।
2. में निहित सभी विषम संख्याओं का योग क्या है।
3. लॉग को संग्रहीत करते समय, लंबरजैक उन्हें इस तरह से ढेर कर देते हैं कि प्रत्येक शीर्ष परत में पिछले एक की तुलना में एक कम लॉग होता है। एक चिनाई में कितने लट्ठे हैं, यदि चिनाई का आधार लट्ठे हैं।

उत्तर:

1. आइए अंकगणितीय प्रगति के पैरामीटर परिभाषित करें। इस मामले में
   (सप्ताह = दिन)।

   उत्तर:दो सप्ताह में, माशा को दिन में एक बार स्क्वाट करना चाहिए।

2. प्रथम विषम संख्या, अंतिम संख्या।
   अंकगणितीय प्रगति अंतर।
   विषम संख्याओं की संख्या - आधी, हालांकि, अंकगणितीय प्रगति के -वें सदस्य को खोजने के लिए सूत्र का उपयोग करके इस तथ्य की जांच करें:

   संख्याओं में विषम संख्याएँ होती हैं।
   हम उपलब्ध डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

   उत्तर:में निहित सभी विषम संख्याओं का योग बराबर है।

3. पिरामिड के बारे में समस्या को याद करें। हमारे मामले के लिए, चूंकि प्रत्येक शीर्ष परत एक लॉग से कम हो जाती है, केवल परतों का एक गुच्छा होता है, अर्थात।
   डेटा को सूत्र में बदलें:

   उत्तर:चिनाई में लॉग हैं।

उपसंहार

1. - एक संख्यात्मक क्रम जिसमें आसन्न संख्याओं का अंतर समान और बराबर होता है। यह बढ़ रहा है और घट रहा है।
2. सूत्र ढूँढनासमांतर श्रेढ़ी का वां सदस्य सूत्र द्वारा लिखा जाता है - , जहाँ श्रेढ़ी में संख्याओं की संख्या है।
3. अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों की संपत्ति- - कहाँ - प्रगति में संख्याओं की संख्या।
4. अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों का योगदो तरह से पाया जा सकता है:
   
   , जहां मानों की संख्या है।

अंकगणितीय प्रगति। औसत स्तर

संख्यात्मक क्रम

आइए बैठें और कुछ संख्याएँ लिखना शुरू करें। उदाहरण के लिए:

आप कोई भी संख्या लिख ​​सकते हैं, और जितनी चाहें उतनी संख्याएँ हो सकती हैं। लेकिन आप हमेशा बता सकते हैं कि उनमें से कौन सा पहला है, कौन सा दूसरा है, और इसी तरह, यानी हम उन्हें नंबर दे सकते हैं। यह संख्या अनुक्रम का एक उदाहरण है।

संख्यात्मक क्रमसंख्याओं का एक समूह है, जिनमें से प्रत्येक को एक अद्वितीय संख्या निर्दिष्ट की जा सकती है।

दूसरे शब्दों में, प्रत्येक संख्या एक निश्चित प्राकृतिक संख्या से जुड़ी हो सकती है, और केवल एक। और हम इस संख्या को इस सेट से किसी अन्य संख्या को निर्दिष्ट नहीं करेंगे।

संख्या के साथ संख्या को अनुक्रम का -वाँ सदस्य कहा जाता है।

हम आम तौर पर पूरे अनुक्रम को कुछ अक्षर कहते हैं (उदाहरण के लिए,), और इस अनुक्रम के प्रत्येक सदस्य - इस सदस्य की संख्या के बराबर सूचकांक वाला एक ही अक्षर:।

यह बहुत सुविधाजनक है अगर अनुक्रम का -वाँ सदस्य किसी सूत्र द्वारा दिया जा सकता है। उदाहरण के लिए, सूत्र

अनुक्रम सेट करता है:

और सूत्र निम्न क्रम है:

उदाहरण के लिए, अंकगणितीय प्रगति एक अनुक्रम है (यहाँ पहला शब्द बराबर है, और अंतर)। या (, अंतर)।

nवाँ पद सूत्र

हम आवर्तक को एक सूत्र कहते हैं, जिसमें -वें पद का पता लगाने के लिए, आपको पिछले या कई पिछले लोगों को जानने की आवश्यकता है:

उदाहरण के लिए, इस तरह के एक सूत्र का उपयोग करके प्रगति के वें पद को खोजने के लिए, हमें पिछले नौ की गणना करनी होगी। उदाहरण के लिए, चलो। फिर:

अच्छा, अब यह स्पष्ट हो गया कि सूत्र क्या है?

प्रत्येक पंक्ति में, हम जोड़ते हैं, किसी संख्या से गुणा करते हैं। किसलिए? बहुत सरल: यह वर्तमान सदस्य ऋण की संख्या है:

अब और अधिक आरामदायक, है ना? हम जाँच:

अपने लिए तय करें:

अंकगणितीय प्रगति में, nवें पद के लिए सूत्र ज्ञात कीजिए और सौवाँ पद ज्ञात कीजिए।

समाधान:

पहला सदस्य बराबर है। और क्या फर्क है? और यहाँ क्या है:

(आखिरकार, इसे अंतर कहा जाता है क्योंकि यह प्रगति के क्रमिक सदस्यों के अंतर के बराबर है)।

तो सूत्र है:

तो सौवाँ पद है:

से लेकर तक की सभी प्राकृत संख्याओं का योग क्या है?

किंवदंती के अनुसार, महान गणितज्ञ कार्ल गॉस ने 9 साल के लड़के होने के नाते कुछ ही मिनटों में इस राशि की गणना की। उसने देखा कि पहली और आखिरी संख्या का योग बराबर है, दूसरी और अंतिम संख्या का योग समान है, अंत से तीसरी और तीसरी संख्या का योग समान है, और इसी तरह आगे भी। ऐसे कितने जोड़े हैं? यह सही है, सभी संख्याओं की संख्या का ठीक आधा, यानी। इसलिए,

किसी अंकगणितीय प्रगति के पहले पदों के योग का सामान्य सूत्र होगा:

उदाहरण:
सभी दो अंकों के गुणकों का योग ज्ञात कीजिए।

समाधान:

ऐसी पहली संख्या यह है। प्रत्येक अगले को पिछले एक में एक संख्या जोड़कर प्राप्त किया जाता है। इस प्रकार, हमारे लिए ब्याज की संख्या पहले पद और अंतर के साथ अंकगणितीय प्रगति बनाती है।

इस श्रेणी के लिए वें पद का सूत्र है:

प्रगति में कितने पद हैं यदि वे सभी दो अंकों के होने चाहिए?

बहुत आसान: ।

प्रगति का अंतिम कार्यकाल बराबर होगा। फिर योग:

उत्तर: ।

अब आप ही निर्णय लीजिये:

1. हर दिन एथलीट पिछले दिन की तुलना में 1 मी अधिक दौड़ता है। यदि वह पहले दिन किमी मी दौड़े तो वह सप्ताहों में कितने किलोमीटर दौड़ेगा?
2. एक साइकिल चालक पिछले एक की तुलना में हर दिन अधिक मील की सवारी करता है। पहले दिन उन्होंने किमी. का सफर तय किया। एक किलोमीटर की दूरी तय करने के लिए उसे कितने दिन गाड़ी चलानी होगी? यात्रा के अंतिम दिन वह कितने किलोमीटर की यात्रा करेगा?
3. स्टोर में रेफ्रिजरेटर की कीमत हर साल उतनी ही कम हो जाती है। निर्धारित करें कि रूबल के लिए बिक्री के लिए रखे गए रेफ्रिजरेटर की कीमत हर साल कितनी कम हो जाती है, छह साल बाद इसे रूबल के लिए बेच दिया गया था।

उत्तर:

1. यहां सबसे महत्वपूर्ण बात अंकगणितीय प्रगति को पहचानना और इसके पैरामीटर निर्धारित करना है। इस मामले में, (सप्ताह = दिन)। आपको इस प्रगति की पहली शर्तों का योग निर्धारित करने की आवश्यकता है:
   .
   उत्तर:
2. यहाँ यह दिया गया है :, इसे खोजना आवश्यक है।
   जाहिर है, आपको पिछली समस्या के समान योग सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है:
   .
   मान बदलें:

   जड़ स्पष्ट रूप से फिट नहीं है, इसलिए उत्तर।
   आइए -वें पद के सूत्र का उपयोग करके अंतिम दिन में तय की गई दूरी की गणना करें:
   (किमी).
   उत्तर:

3. दिया गया: । पाना: ।
   यह आसान नहीं होता है:
   (रगड़ना)।
   उत्तर:

अंकगणितीय प्रगति। संक्षेप में मुख्य के बारे में

यह एक संख्यात्मक क्रम है जिसमें आसन्न संख्याओं का अंतर समान और बराबर होता है।

अंकगणितीय प्रगति बढ़ रही है () और घट रही है ()।

उदाहरण के लिए:

अंकगणितीय प्रगति के n-वें सदस्य को खोजने का सूत्र

एक सूत्र के रूप में लिखा जाता है, जहां प्रगति में संख्याओं की संख्या होती है।

अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों की संपत्ति

प्रगति के सदस्य को ढूंढना आसान हो जाता है यदि उसके पड़ोसी सदस्य ज्ञात हों - प्रगति में संख्याओं की संख्या कहाँ है।

अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों का योग

योग ज्ञात करने के दो तरीके हैं:

मूल्यों की संख्या कहां है।

मूल्यों की संख्या कहां है।

खैर, विषय समाप्त हो गया। अगर आप इन पंक्तियों को पढ़ रहे हैं तो आप बहुत मस्त हैं।

क्योंकि केवल 5% लोग ही अपने दम पर किसी चीज में महारत हासिल कर पाते हैं। और अगर आपने अंत तक पढ़ा है, तो आप 5% में हैं!

अब सबसे जरूरी बात।

आपने इस विषय पर सिद्धांत का पता लगा लिया है। और, मैं दोहराता हूं, यह ... यह सिर्फ सुपर है! आप पहले से ही अपने अधिकांश साथियों से बेहतर हैं।

समस्या यह है कि यह पर्याप्त नहीं हो सकता है ...

किसलिए?

के लिये सफल प्रसवएकीकृत राज्य परीक्षा, बजट पर संस्थान में प्रवेश के लिए और, सबसे महत्वपूर्ण, जीवन के लिए।

मैं तुम्हें किसी बात का यकीन नहीं दिलाऊंगा, बस एक बात कहूंगा...

जिन लोगों ने प्राप्त किया एक अच्छी शिक्षा, जो इसे प्राप्त नहीं किया उससे कहीं अधिक कमाते हैं। यह आँकड़े हैं।

लेकिन यह मुख्य बात नहीं है.

मुख्य बात यह है कि वे अधिक खुश हैं (ऐसे अध्ययन हैं)। शायद इसलिए कि उनके सामने बहुत कुछ खुल जाता है। अधिक संभावनाएंऔर जीवन उज्जवल हो जाता है? पता नहीं...

लेकिन आप खुद सोचिए...

परीक्षा में दूसरों से बेहतर होने और अंतत: खुश रहने के लिए क्या करना चाहिए?

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निष्कर्ष के तौर पर...

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"समझ गया" और "मुझे पता है कि कैसे हल करना है" पूरी तरह से अलग कौशल हैं। आपको दोनों की जरूरत है।

समस्याओं का पता लगाएं और हल करें!

इससे पहले कि हम फैसला करना शुरू करें अंकगणितीय प्रगति की समस्याएं, विचार करें कि संख्या अनुक्रम क्या है, क्योंकि अंकगणितीय प्रगति संख्या अनुक्रम का एक विशेष मामला है।

एक संख्यात्मक अनुक्रम एक संख्यात्मक सेट है, जिसके प्रत्येक तत्व का अपना सीरियल नंबर होता है. इस सेट के तत्वों को अनुक्रम के सदस्य कहा जाता है। एक अनुक्रम तत्व की क्रमिक संख्या एक सूचकांक द्वारा इंगित की जाती है:

अनुक्रम का पहला तत्व;

अनुक्रम का पांचवां तत्व;

- अनुक्रम का "नवां" तत्व, अर्थात संख्या n पर तत्व "कतार में खड़ा"।

एक अनुक्रम तत्व के मान और उसकी क्रमिक संख्या के बीच एक निर्भरता है। इसलिए, हम एक अनुक्रम को एक फ़ंक्शन के रूप में मान सकते हैं जिसका तर्क अनुक्रम के एक तत्व की क्रमिक संख्या है। दूसरे शब्दों में, कोई ऐसा कह सकता है अनुक्रम प्राकृतिक तर्क का एक कार्य है:

अनुक्रम तीन तरीकों से निर्दिष्ट किया जा सकता है:

1 . तालिका का उपयोग करके अनुक्रम निर्दिष्ट किया जा सकता है।इस मामले में, हम केवल अनुक्रम के प्रत्येक सदस्य का मान निर्धारित करते हैं।

उदाहरण के लिए, किसी ने व्यक्तिगत समय प्रबंधन करने का फैसला किया, और सबसे पहले यह गणना करने के लिए कि वह सप्ताह के दौरान VKontakte पर कितना समय व्यतीत करता है। तालिका में समय लिखकर, वह सात तत्वों से युक्त अनुक्रम प्राप्त करेगा:

तालिका की पहली पंक्ति में सप्ताह के दिन की संख्या होती है, दूसरी - मिनटों में समय। हम देखते हैं कि, यानी सोमवार को किसी ने VKontakte पर 125 मिनट बिताए, यानी गुरुवार को - 248 मिनट, और, यानी शुक्रवार को केवल 15।

2 . nth सदस्य सूत्र का उपयोग करके अनुक्रम निर्दिष्ट किया जा सकता है।

इस मामले में, इसकी संख्या पर अनुक्रम तत्व के मूल्य की निर्भरता सीधे सूत्र के रूप में व्यक्त की जाती है।

उदाहरण के लिए, यदि, तब

दी गई संख्या के साथ अनुक्रम तत्व का मान ज्ञात करने के लिए, हम तत्व संख्या को nवें सदस्य के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं।

यदि तर्क का मान ज्ञात है तो हमें किसी फ़ंक्शन का मान ज्ञात करने की आवश्यकता होने पर हम ऐसा ही करते हैं। हम इसके बजाय फ़ंक्शन के समीकरण में तर्क के मान को प्रतिस्थापित करते हैं:

यदि, उदाहरण के लिए, , फिर

एक बार फिर, मैं ध्यान देता हूं कि एक क्रम में, एक मनमाना संख्यात्मक फ़ंक्शन के विपरीत, केवल एक प्राकृतिक संख्या एक तर्क हो सकती है।

3 . अनुक्रम को एक सूत्र का उपयोग करके निर्दिष्ट किया जा सकता है जो अनुक्रम के सदस्य के मूल्य की संख्या n के साथ पिछले सदस्यों के मूल्य पर निर्भरता को व्यक्त करता है। इस मामले में, इसके मूल्य को खोजने के लिए केवल एक अनुक्रम सदस्य की संख्या जानना हमारे लिए पर्याप्त नहीं है। हमें अनुक्रम के पहले सदस्य या पहले कुछ सदस्यों को निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है।

उदाहरण के लिए, अनुक्रम पर विचार करें ,

हम किसी क्रम के सदस्यों के मान ज्ञात कर सकते हैं अनुक्रम में, तीसरे से शुरू:

अर्थात्, हर बार अनुक्रम के nवें सदस्य का मान ज्ञात करने के लिए, हम पिछले दो पर लौटते हैं। अनुक्रमण के इस तरीके को कहा जाता है आवर्तक, लैटिन शब्द से पुनरावृत्ति- वापस लौटें।

अब हम अंकगणितीय प्रगति को परिभाषित कर सकते हैं। एक अंकगणितीय प्रगति एक संख्यात्मक अनुक्रम का एक साधारण विशेष मामला है।

अंकगणितीय प्रगति एक संख्यात्मक अनुक्रम कहा जाता है, जिसका प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले एक के बराबर होता है, उसी संख्या के साथ जोड़ा जाता है।

नंबर कहा जाता है एक अंकगणितीय प्रगति का अंतर. अंकगणितीय प्रगति का अंतर धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य हो सकता है।

यदि शीर्षक="(!LANG:d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} की बढ़ती.

उदाहरण के लिए, 2; 5; आठ; ग्यारह;...

यदि , तो अंकगणितीय प्रगति का प्रत्येक पद पिछले वाले से कम है, और प्रगति है घट.

उदाहरण के लिए, 2; -एक; -चार; -7;...

यदि , तो श्रेणी के सभी सदस्य समान संख्या के बराबर हैं, और श्रेणी है स्थावर.

उदाहरण के लिए, 2;2;2;2;...

अंकगणितीय प्रगति की मुख्य संपत्ति:

आइए तस्वीर देखें।

हम देखते है कि

, और उस समय पर ही

इन दो समानताओं को जोड़ने पर, हम पाते हैं:

.

समीकरण के दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करें:

तो, अंकगणितीय प्रगति का प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, दो पड़ोसी लोगों के अंकगणितीय माध्य के बराबर है:

इसके अलावा, क्योंकि

, और उस समय पर ही

, फिर

, और इसलिए

अंकगणितीय प्रगति का प्रत्येक सदस्य शीर्षक से शुरू होता है="(!LANG:k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

वें सदस्य सूत्र।

हम देखते हैं कि अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों के लिए निम्नलिखित संबंध हैं:

और अंत में

हमें मिला nवें पद का सूत्र।

महत्वपूर्ण!अंकगणितीय प्रगति के किसी भी सदस्य को और के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है। पहले पद और अंकगणितीय प्रगति के अंतर को जानने के बाद, आप इसके किसी भी सदस्य को ढूंढ सकते हैं।

अंकगणितीय प्रगति के n सदस्यों का योग।

एक मनमाना अंकगणितीय प्रगति में, चरम शब्दों से समान रूप से दूरी वाले शब्दों का योग एक दूसरे के बराबर होता है:

एन सदस्यों के साथ अंकगणितीय प्रगति पर विचार करें। मान लीजिए कि इस श्रेणी के n सदस्यों का योग बराबर है।

श्रेढ़ी के पदों को पहले संख्याओं के आरोही क्रम में और फिर अवरोही क्रम में व्यवस्थित करें:

आइए इसे पेयर करें:

प्रत्येक कोष्ठक में योग है, जोड़े की संख्या n है।

हम पाते हैं:

इसलिए, अंकगणितीय प्रगति के n सदस्यों का योग सूत्रों का उपयोग करके पाया जा सकता है:

विचार करना अंकगणितीय प्रगति समस्याओं को हल करना.

1 . अनुक्रम nवें सदस्य के सूत्र द्वारा दिया गया है: . सिद्ध कीजिए कि यह क्रम एक अंकगणितीय प्रगति है।

आइए सिद्ध करें कि अनुक्रम के दो आसन्न सदस्यों के बीच का अंतर एक ही संख्या के बराबर है।

हमने पाया है कि अनुक्रम के दो आसन्न सदस्यों का अंतर उनकी संख्या पर निर्भर नहीं करता है और एक स्थिरांक है। इसलिए, परिभाषा के अनुसार, यह अनुक्रम अंकगणितीय प्रगति है।

2 . अंकगणितीय प्रगति -31 दी गई है; -27;...

a) श्रेढ़ी के 31 पद ज्ञात कीजिए।

बी) निर्धारित करें कि क्या संख्या 41 इस प्रगति में शामिल है।

एक)हम देखते है कि ;

आइए हमारी प्रगति के लिए nवें पद के लिए सूत्र लिखें।

सामान्य रूप में

हमारे मामले में , इसीलिए

अंकगणित और ज्यामितीय प्रगति

सैद्धांतिक जानकारी

	अंकगणितीय प्रगति	ज्यामितीय अनुक्रम
परिभाषा	अंकगणितीय प्रगति एकएक अनुक्रम कहा जाता है, जिसका प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले सदस्य के बराबर होता है, उसी संख्या के साथ जोड़ा जाता है डी (डी- प्रगति अंतर)	ज्यामितीय अनुक्रम बी एनगैर-शून्य संख्याओं का एक क्रम कहा जाता है, जिनमें से प्रत्येक पद, दूसरे से शुरू होकर, उसी संख्या से गुणा किए गए पिछले पद के बराबर होता है क्यू (क्यू- प्रगति का भाजक)
आवर्ती सूत्र	किसी भी प्राकृतिक के लिए एन एक एन + 1 = एक एन + डी	किसी भी प्राकृतिक के लिए एन बी एन + 1 = बी एन ∙ क्यू, बी एन ≠ 0
nवाँ पद सूत्र	एन = ए 1 + डी (एन - 1)	बी एन \u003d बी 1 ∙ क्यू एन - 1, बी एन ≠ 0
विशेषता संपत्ति
पहले n पदों का योग

टिप्पणियों के साथ कार्यों के उदाहरण

अभ्यास 1

अंकगणितीय प्रगति में ( एक) एक 1 = -6, एक 2

Nवें पद के सूत्र के अनुसार:

एक 22 = एक 1+ डी (22 - 1) = एक 1+ 21घ

शर्त के अनुसार:

एक 1= -6, इसलिए एक 22= -6 + 21d।

प्रगति के अंतर को खोजना आवश्यक है:

घ = एक 2 - एक 1 = -8 – (-6) = -2

एक 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

उत्तर : एक 22 = -48.

कार्य 2

गुणोत्तर श्रेढ़ी का पाँचवाँ पद ज्ञात कीजिए: -3; 6;....

पहला तरीका (एन-टर्म फॉर्मूला का उपयोग करके)

ज्यामितीय प्रगति के एन-वें सदस्य के सूत्र के अनुसार:

बी 5 \u003d बी 1 ∙ क्यू 5 - 1 = बी 1 ∙ क्यू 4.

इसलिये बी 1 = -3,

दूसरा तरीका (पुनरावर्ती सूत्र का उपयोग करके)

चूँकि प्रगति का हर -2 (q = -2) है, तो:

ख 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

बी 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

ख 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

उत्तर : ख 5 = -48.

कार्य 3

अंकगणितीय प्रगति में ( एन) ए 74 = 34; एक 76= 156. इस श्रेणी का पचहत्तरवाँ पद ज्ञात कीजिए।

अंकगणितीय प्रगति के लिए, विशेषता संपत्ति का रूप है .

इसलिए:

.

डेटा को सूत्र में बदलें:

उत्तर : 95.

कार्य 4

अंकगणितीय प्रगति में ( एन) एन एन= 3n - 4. पहले सत्रह पदों का योग ज्ञात कीजिए।

अंकगणितीय प्रगति के पहले n पदों का योग ज्ञात करने के लिए, दो सूत्रों का उपयोग किया जाता है:

.

उनमें से कौन सा इस मामले में आवेदन करने के लिए अधिक सुविधाजनक है?

शर्त के अनुसार, मूल प्रगति के nवें सदस्य का सूत्र ज्ञात है ( एक) एक= 3n - 4. तुरंत पाया जा सकता है और एक 1, तथा एक 16बिना खोजे डी। इसलिए, हम पहले सूत्र का उपयोग करते हैं।

उत्तर : 368.

कार्य 5

अंकगणितीय प्रगति में एक) एक 1 = -6; एक 2= -8। श्रेणी का बाइसवाँ पद ज्ञात कीजिए।

Nवें पद के सूत्र के अनुसार:

एक 22 = एक 1 + घ (22 – 1) = एक 1+ 21घ.

शर्त के अनुसार, अगर एक 1= -6, तब एक 22= -6 + 21d। प्रगति के अंतर को खोजना आवश्यक है:

घ = एक 2 - एक 1 = -8 – (-6) = -2

एक 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

उत्तर : एक 22 = -48.

टास्क 6

एक ज्यामितीय प्रगति के लगातार कई पद दर्ज किए गए हैं:

श्रेणी का पद ज्ञात कीजिए, जिसे अक्षर x द्वारा निरूपित किया गया है।

हल करते समय, हम nवें पद के सूत्र का उपयोग करते हैं बी एन \u003d बी 1 n क्यू एन - 1के लिये ज्यामितीय प्रगति. प्रगति का पहला सदस्य। श्रेढ़ी q का भाजक ज्ञात करने के लिए, आपको श्रेढ़ी के इन पदों में से कोई भी लेना होगा और पिछले वाले से विभाजित करना होगा। हमारे उदाहरण में, आप द्वारा ले सकते हैं और विभाजित कर सकते हैं। हमें वह q \u003d 3 मिलता है। n के बजाय, हम सूत्र में 3 को प्रतिस्थापित करते हैं, क्योंकि किसी दिए गए ज्यामितीय प्रगति के तीसरे पद को खोजना आवश्यक है।

सूत्र में पाए गए मानों को प्रतिस्थापित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

.

उत्तर : ।

टास्क 7

nवें पद के सूत्र द्वारा दी गई अंकगणितीय श्रेढ़ियों में से वह चुनें जिसके लिए प्रतिबंध संतुष्ट है एक 27 > 9:

चूँकि निर्दिष्ट शर्त को श्रेढ़ी के 27वें पद के लिए संतुष्ट होना चाहिए, हम चार श्रेढ़ियों में से प्रत्येक में n के बजाय 27 को प्रतिस्थापित करते हैं। चौथी प्रगति में हमें मिलता है:

.

उत्तर - 4।

टास्क 8

अंकगणितीय प्रगति में एक 1= 3, डी = -1.5। उल्लिखित करना उच्चतम मूल्य n , जिसके लिए असमानता एक > -6.

क्या मुख्य मुद्दासूत्र?

यह सूत्र आपको खोजने की अनुमति देता है कोई उसके नंबर से" एन" .

बेशक, आपको पहला कार्यकाल जानने की जरूरत है एक 1और प्रगति अंतर डी, ठीक है, इन मापदंडों के बिना, आप एक विशिष्ट प्रगति नहीं लिख सकते।

इस फॉर्मूले को याद कर लेना (या धोखा देना) काफी नहीं है। इसके सार को आत्मसात करना और सूत्र को विभिन्न समस्याओं में लागू करना आवश्यक है। हाँ, और सही समय पर मत भूलना, हाँ ...) कैसे भूलना नहीं- मुझे नहीं पता। परंतु कैसे याद करेंअगर जरूरत पड़ी तो मैं आपको एक संकेत दूंगा। उन लोगों के लिए जो पाठ को अंत तक सीखते हैं।)

तो, चलिए अंकगणितीय प्रगति के एन-वें सदस्य के सूत्र से निपटते हैं।

सामान्य रूप में एक सूत्र क्या है - हम कल्पना करते हैं।) एक अंकगणितीय प्रगति, एक सदस्य संख्या, एक प्रगति अंतर क्या है - पिछले पाठ में स्पष्ट रूप से बताया गया है। अगर आपने इसे नहीं पढ़ा है तो देख लें। वहां सब कुछ सरल है। यह पता लगाना बाकी है वां सदस्य.

में प्रगति सामान्य दृष्टि सेसंख्याओं की एक श्रृंखला के रूप में लिखा जा सकता है:

एक 1, एक 2, एक 3, एक 4, एक 5, .....

एक 1- अंकगणितीय प्रगति के पहले पद को दर्शाता है, एक 3- तीसरा सदस्य एक 4- चौथा, और इसी तरह। यदि हम पाँचवें कार्यकाल में रुचि रखते हैं, तो मान लें कि हम साथ काम कर रहे हैं एक 5, अगर एक सौ बीसवीं - से एक 120.

सामान्य रूप से कैसे परिभाषित करें कोईएक अंकगणितीय प्रगति के सदस्य, एस कोईसंख्या? बहुत आसान! ऐशे ही:

एक

यह वही है एक अंकगणितीय प्रगति का n-वाँ सदस्य।पत्र एन के तहत सभी सदस्यों की संख्या एक साथ छिपी हुई है: 1, 2, 3, 4, और इसी तरह।

और ऐसा रिकॉर्ड हमें क्या देता है? जरा सोचिए, उन्होंने नंबर की जगह एक खत लिख दिया...

यह अंकन हमें अंकगणितीय प्रगति के साथ काम करने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण देता है। अंकन का उपयोग करना एक, हम जल्दी से पा सकते हैं कोईसदस्य कोईअंकगणितीय प्रगति। और प्रगति में हल करने के लिए कार्यों का एक समूह। आप आगे देखेंगे।

अंकगणितीय प्रगति के nवें सदस्य के सूत्र में:

एक 1- अंकगणितीय प्रगति का पहला सदस्य;

एन- सदस्य संख्या।

सूत्र किसी भी प्रगति के प्रमुख मापदंडों को जोड़ता है: एक ; एक 1; डीतथा एन. इन मापदंडों के आसपास, सभी पहेलियाँ प्रगति में घूमती हैं।

nवाँ पद सूत्र का उपयोग एक विशिष्ट प्रगति लिखने के लिए भी किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, समस्या में यह कहा जा सकता है कि स्थिति द्वारा प्रगति दी गई है:

एन = 5 + (एन -1) 2।

इस तरह की समस्या भ्रमित भी कर सकती है ... कोई श्रृंखला नहीं है, कोई अंतर नहीं है ... लेकिन सूत्र के साथ स्थिति की तुलना करके यह पता लगाना आसान है कि इस प्रगति में ए 1 \u003d 5, और डी \u003d 2।

और यह और भी अधिक क्रोधित हो सकता है!) यदि हम एक ही स्थिति लें: एक एन = 5 + (एन-1) 2,हाँ, कोष्ठक खोलो और समान दो? हमें एक नया सूत्र मिलता है:

ए = 3 + 2एन।

यह केवल सामान्य नहीं, बल्कि एक विशिष्ट प्रगति के लिए। यहीं पर गड्ढा होता है। कुछ लोग सोचते हैं कि पहला पद तीन है। हालांकि वास्तव में पहला सदस्य एक पांच है... थोड़ा कम हम इस तरह के एक संशोधित सूत्र के साथ काम करेंगे।

प्रगति के कार्यों में एक और अंकन है - एक एन + 1. यह, आपने अनुमान लगाया है, प्रगति का "एन प्लस द फर्स्ट" शब्द है। इसका अर्थ सरल और हानिरहित है।) यह प्रगति का एक सदस्य है, जिसकी संख्या संख्या n से एक से अधिक है। उदाहरण के लिए, यदि हम किसी समस्या में लेते हैं एकपांचवां कार्यकाल, फिर एक एन + 1छठे सदस्य होंगे। आदि।

सबसे अधिक बार पदनाम एक एन + 1पुनरावर्ती सूत्रों में होता है। इस भयानक शब्द से डरो मत!) यह अंकगणितीय प्रगति की अवधि को व्यक्त करने का एक तरीका है पिछले एक के माध्यम से।मान लीजिए कि आवर्ती सूत्र का उपयोग करके हमें इस रूप में अंकगणितीय प्रगति दी गई है:

एक एन + 1 = एक एन +3

ए 2 = ए 1 + 3 = 5 + 3 = 8

एक 3 = एक 2 + 3 = 8 + 3 = 11

चौथा - तीसरे के माध्यम से, पांचवां - चौथे के माध्यम से, और इसी तरह। और तुरंत कैसे गिनें, बीसवाँ पद कहें, एक 20? लेकिन कोई रास्ता नहीं!) जबकि 19वाँ ​​पद ज्ञात नहीं है, 20वाँ पद गिना नहीं जा सकता है। इसमें है मौलिक अंतर nवें पद के सूत्र से आवर्ती सूत्र। रिकर्सिव के माध्यम से ही काम करता है पिछलापद, और nवें पद का सूत्र - के माध्यम से सबसे पहलाऔर अनुमति देता है तुरंतकिसी भी सदस्य को उसकी संख्या से खोजें। संख्याओं की पूरी श्रृंखला को क्रम से नहीं गिनना।

एक अंकगणितीय प्रगति में, एक पुनरावर्ती सूत्र को आसानी से एक नियमित सूत्र में बदला जा सकता है। लगातार शब्दों की एक जोड़ी गिनें, अंतर की गणना करें डी,यदि आवश्यक हो, तो पहला कार्यकाल खोजें एक 1, सूत्र को सामान्य रूप में लिखें, और उसके साथ काम करें। जीआईए में ऐसे कार्य अक्सर पाए जाते हैं।

अंकगणितीय प्रगति के एन-वें सदस्य के सूत्र का अनुप्रयोग।

पहले, आइए सूत्र के प्रत्यक्ष अनुप्रयोग को देखें। पिछले पाठ के अंत में एक समस्या थी:

एक अंकगणितीय प्रगति (एन) दी गई है। एक 121 ज्ञात करें यदि a 1 =3 और d=1/6 है।

अंकगणितीय प्रगति के अर्थ के आधार पर, इस समस्या को बिना किसी सूत्र के हल किया जा सकता है। जोड़ें, हाँ जोड़ें ... एक या दो घंटे।)

और सूत्र के अनुसार समाधान में एक मिनट से भी कम समय लगेगा। आप इसे समय दे सकते हैं।) हम तय करते हैं।

शर्तें सूत्र का उपयोग करने के लिए सभी डेटा प्रदान करती हैं: ए 1 \u003d 3, डी \u003d 1/6।यह देखना बाकी है कि क्या एन।कोई बात नहीं! हमें खोजने की जरूरत है एक 121. यहाँ हम लिखते हैं:

ध्यान दीजिए! इंडेक्स के बजाय एनएक विशिष्ट संख्या दिखाई दी: 121। जो काफी तार्किक है।) हम अंकगणितीय प्रगति के सदस्य में रुचि रखते हैं संख्या एक सौ इक्कीस।यह हमारा होगा एन।यही अर्थ है एन= 121 हम आगे सूत्र में, कोष्ठक में स्थानापन्न करेंगे। सूत्र में सभी संख्याओं को प्रतिस्थापित करें और गणना करें:

एक 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

यही सब है इसके लिए। जितनी जल्दी कोई पाँच सौ दसवाँ सदस्य, और एक हज़ार तीसरा, कोई भी पा सकता है। हम इसके बजाय डालते हैं एनपत्र के सूचकांक में वांछित संख्या " एक"और कोष्ठक में, और हम विचार करते हैं।

मैं आपको सार याद दिलाता हूं: यह सूत्र आपको खोजने की अनुमति देता है कोईएक अंकगणितीय प्रगति की अवधि उसके नंबर से" एन" .

आइए समस्या को समझदारी से हल करें। मान लें कि हमें निम्नलिखित समस्या है:

समांतर श्रेढ़ी का पहला पद ज्ञात कीजिए (a n) यदि a 17 =-2; डी = -0.5।

यदि आपको कोई कठिनाई आती है, तो मैं पहला कदम सुझाऊंगा। अंकगणितीय प्रगति के nवें पद के लिए सूत्र लिखिए!हाँ हाँ। हाथ से लिखें, ठीक आपकी नोटबुक में:

और अब, सूत्र के अक्षरों को देखते हुए, हम समझते हैं कि हमारे पास क्या डेटा है और क्या गायब है? उपलब्ध डी = -0.5,सत्रहवां सदस्य है ... सब कुछ? अगर आपको लगता है कि बस इतना ही है तो आप समस्या का समाधान नहीं कर सकते, जी हां...

हमारा भी एक नंबर है एन! हालत में एक 17 = -2छुपे हुए दो विकल्प।यह सत्रहवें सदस्य (-2) और इसकी संख्या (17) दोनों का मान है। वे। एन = 17।यह "छोटी चीज़" अक्सर सिर के पिछले हिस्से से फिसल जाती है, और इसके बिना, ("छोटी चीज़" के बिना, सिर नहीं!) समस्या का समाधान नहीं किया जा सकता है। हालांकि ... और बिना सिर के भी।)

अब हम बेवकूफी से अपने डेटा को सूत्र में बदल सकते हैं:

एक 17 \u003d एक 1 + (17-1) (-0.5)

ओह हां, एक 17हम जानते हैं कि यह -2 है। ठीक है, चलिए इसे डालते हैं:

-2 \u003d ए 1 + (17-1) (-0.5)

वह, संक्षेप में, सब है। यह सूत्र से अंकगणितीय प्रगति की पहली अवधि को व्यक्त करने और गणना करने के लिए बनी हुई है। आपको जवाब मिलता है: एक 1 = 6।

ऐसी तकनीक - एक सूत्र लिखना और केवल ज्ञात डेटा को प्रतिस्थापित करना - सरल कार्यों में बहुत मदद करता है। ठीक है, आपको निश्चित रूप से एक सूत्र से एक चर को व्यक्त करने में सक्षम होना चाहिए, लेकिन क्या करें !? इस कौशल के बिना गणित का अध्ययन बिल्कुल नहीं किया जा सकता है ...

एक अन्य लोकप्रिय समस्या:

समांतर श्रेढ़ी का अंतर ज्ञात कीजिए (a n) यदि a 1 =2; एक 15 = 12।

हम क्या कर रहे हैं? आप हैरान होंगे, हम सूत्र लिखते हैं!)

हम जो जानते हैं उस पर विचार करें: ए 1 = 2; एक 15 =12; और (विशेष हाइलाइट!) एन = 15। सूत्र में स्थानापन्न करने के लिए स्वतंत्र महसूस करें:

12=2 + (15-1)डी

चलो अंकगणित करते हैं।)

12=2 + 14डी

डी=10/14 = 5/7

यह सही जवाब है।

तो, कार्य एक एन, एक 1तथा डीनिर्णय लिया। यह सीखना बाकी है कि संख्या कैसे ज्ञात करें:

संख्या 99 अंकगणितीय प्रगति (ए एन) का सदस्य है, जहां 1 = 12; डी = 3। इस सदस्य की संख्या ज्ञात कीजिए।

हम ज्ञात मात्राओं को nवें पद के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

एक n = 12 + (n-1) 3

पहली नज़र में, यहाँ दो अज्ञात राशियाँ हैं: एक एन और एन।परंतु एकसंख्या के साथ प्रगति का कुछ सदस्य है एन... और प्रगति के इस सदस्य को हम जानते हैं! यह 99 है। हम उसकी संख्या नहीं जानते। एन,तो यह संख्या भी खोजने की जरूरत है। सूत्र में प्रगति पद 99 को प्रतिस्थापित करें:

99 = 12 + (एन-1) 3

हम सूत्र से व्यक्त करते हैं एन, हमें लगता है कि। हमें उत्तर मिलता है: एन = 30।

और अब उसी विषय पर एक समस्या, लेकिन अधिक रचनात्मक):

निर्धारित करें कि संख्या 117 अंकगणितीय प्रगति का सदस्य होगा (एन):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

आइए सूत्र को फिर से लिखें। क्या, कोई विकल्प नहीं है? हम्म... हमें आँखों की आवश्यकता क्यों है?) क्या हम प्रगति के पहले सदस्य को देखते हैं? हम देखते हैं। यह -3.6 है। आप सुरक्षित रूप से लिख सकते हैं: ए 1 \u003d -3.6।अंतर डीश्रृंखला से ज्ञात किया जा सकता है? यदि आप जानते हैं कि अंकगणितीय प्रगति का अंतर क्या है तो यह आसान है:

डी = -2.4 - (-3.6) = 1.2

हाँ, हमने सबसे आसान काम किया। यह एक अज्ञात संख्या से निपटने के लिए बनी हुई है एनऔर एक समझ से बाहर संख्या 117। पिछली समस्या में, कम से कम यह ज्ञात था कि यह दी गई प्रगति की अवधि थी। लेकिन यहाँ हम यह भी नहीं जानते कि ... कैसे हो !? खैर, कैसे हो, कैसे हो... चालू करो रचनात्मक कौशल!)

हम मान लीजिएआखिरकार, वह 117 हमारी प्रगति का एक सदस्य है। किसी अनजान नंबर से एन. और, पिछली समस्या की तरह, आइए इस संख्या को खोजने का प्रयास करें। वे। हम सूत्र लिखते हैं (हाँ-हाँ!)) और अपनी संख्याएँ प्रतिस्थापित करते हैं:

117 = -3.6 + (एन-1) 1.2

फिर से हम सूत्र से व्यक्त करते हैंएन, हम गिनते हैं और प्राप्त करते हैं:

उफ़! नंबर निकला आंशिक!डेढ़ सौ। और भिन्नात्मक संख्या क्रम में नहीं हो सकता।हम क्या निष्कर्ष निकालते हैं? हाँ! संख्या 117 नहीं हैहमारी प्रगति का सदस्य। यह कहीं 101वें और 102वें सदस्यों के बीच है। यदि संख्या प्राकृतिक निकली, अर्थात। सकारात्मक पूर्णांक, तो संख्या मिली संख्या के साथ प्रगति का सदस्य होगी। और हमारे मामले में, समस्या का उत्तर होगा: ना।

कार्य आधारित वास्तविक संस्करणजीआईए:

अंकगणितीय प्रगति शर्त द्वारा दी गई है:

एक n \u003d -4 + 6.8n

श्रेढ़ी का पहला और दसवाँ पद ज्ञात कीजिए।

यहां प्रगति को असामान्य तरीके से सेट किया गया है। किसी प्रकार का सूत्र... होता है।) तथापि, यह सूत्र (जैसा कि मैंने ऊपर लिखा है) - अंकगणितीय प्रगति के एन-वें सदस्य का सूत्र भी!वह अनुमति भी देती है प्रगति के किसी भी सदस्य को उसकी संख्या से खोजें।

हम पहले सदस्य की तलाश कर रहे हैं। वह जो सोचता है। कि पहला पद माइनस चार है, मोटे तौर पर गलत है!) क्योंकि समस्या में सूत्र संशोधित है। इसमें अंकगणितीय प्रगति का पहला पद छुपे हुए।कुछ नहीं, हम इसे अभी खोज लेंगे।)

पिछले कार्यों की तरह ही, हम स्थानापन्न करते हैं एन = 1इस सूत्र में:

ए 1 \u003d -4 + 6.8 1 \u003d 2.8

यहां! पहला पद 2.8 है, न कि -4!

इसी तरह, हम दसवें पद की तलाश कर रहे हैं:

एक 10 \u003d -4 + 6.8 10 \u003d 64

यही सब है इसके लिए।

और अब, उन लोगों के लिए जिन्होंने इन पंक्तियों को पढ़ा है, वादा किया गया बोनस।)

मान लीजिए, GIA या एकीकृत राज्य परीक्षा की एक कठिन मुकाबला स्थिति में, आप अंकगणितीय प्रगति के n-वें सदस्य के उपयोगी सूत्र को भूल गए हैं। कुछ मन में आता है, लेकिन किसी तरह अनिश्चितता ... चाहे एनवहाँ, या एन + 1, या एन-1...हो कैसे!?

शांत! यह सूत्र निकालना आसान है। बहुत सख्त नहीं है, लेकिन सुनिश्चित करने के लिए और सही निर्णययह काफी है!) निष्कर्ष के लिए, अंकगणितीय प्रगति के प्राथमिक अर्थ को याद रखना और कुछ मिनटों का समय देना पर्याप्त है। आपको बस एक चित्र बनाने की जरूरत है। विस्तृत जानकारी के लिए।

हम एक संख्यात्मक अक्ष बनाते हैं और उस पर पहले वाले को चिह्नित करते हैं। दूसरा, तीसरा, आदि सदस्य। और अंतर नोट करें डीसदस्यों के बीच। ऐशे ही:

हम चित्र को देखते हैं और सोचते हैं: दूसरा पद किसके बराबर है? दूसरा एक डी:

एक 2 = एक 1 + 1 डी

तीसरा कार्यकाल क्या है? तीसराटर्म पहले टर्म प्लस के बराबर है दो डी.

एक 3 = एक 1 + 2 डी

क्या आपको यह समझ आया? मैं व्यर्थ में कुछ शब्दों को बोल्ड में नहीं डालता। ठीक है, एक और कदम।)

चौथा कार्यकाल क्या है? चौथीटर्म पहले टर्म प्लस के बराबर है तीन डी.

एक 4 = एक 1 + 3 डी

यह महसूस करने का समय है कि अंतराल की संख्या, यानी। डी, हमेशा आप जिस सदस्य की तलाश कर रहे हैं, उसकी संख्या से एक कम एन. यानी संख्या तक एन, अंतराल की संख्याहोगा एन-1।तो, सूत्र होगा (कोई विकल्प नहीं!):

सामान्यतः दृश्य चित्र गणित की अनेक समस्याओं को हल करने में बहुत सहायक होते हैं। चित्रों की उपेक्षा मत करो। लेकिन अगर चित्र बनाना मुश्किल है, तो ... केवल एक सूत्र!) इसके अलावा, nवें पद का सूत्र आपको गणित के संपूर्ण शक्तिशाली शस्त्रागार को समाधान - समीकरणों, असमानताओं, प्रणालियों, आदि से जोड़ने की अनुमति देता है। आप समीकरण में तस्वीर नहीं लगा सकते...

स्वतंत्र निर्णय के लिए कार्य।

वार्म-अप के लिए:

1. अंकगणितीय श्रेढ़ी में (a n) a 2 =3; ए 5 \u003d 5.1। एक 3 खोजें।

संकेत: चित्र के अनुसार, समस्या 20 सेकंड में हल हो जाती है ... सूत्र के अनुसार, यह अधिक कठिन हो जाता है। लेकिन सूत्र में महारत हासिल करने के लिए यह अधिक उपयोगी है।) धारा 555 में, इस समस्या को चित्र और सूत्र दोनों द्वारा हल किया गया है। अंतर महसूस करें!)

और यह अब वार्म-अप नहीं है।)

2. अंकगणितीय प्रगति में (एन) ए 85 \u003d 19.1; a 236 =49, 3. a 3 ज्ञात कीजिये।

क्या, चित्र बनाने की अनिच्छा?) फिर भी! यह सूत्र में बेहतर है, हाँ...

3. अंकगणितीय प्रगति शर्त द्वारा दी गई है:ए 1 \u003d -5.5; एक एन + 1 = एक एन +0.5। इस श्रेणी का एक सौ पच्चीसवाँ पद ज्ञात कीजिए।

इस कार्य में, प्रगति को आवर्तक तरीके से दिया जाता है। लेकिन एक सौ पच्चीसवें पद तक की गिनती... हर कोई ऐसा कारनामा नहीं कर सकता।) लेकिन nवें पद का सूत्र हर किसी की शक्ति के भीतर है!

4. एक अंकगणितीय प्रगति दी गई है (एक एन):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

श्रेणी के सबसे छोटे धनात्मक पद की संख्या ज्ञात कीजिए।

5. कार्य 4 की स्थिति के अनुसार, श्रेणी के सबसे छोटे धनात्मक और सबसे बड़े ऋणात्मक सदस्यों का योग ज्ञात कीजिए।

6. बढ़ती अंकगणितीय प्रगति की पांचवीं और बारहवीं शर्तों का उत्पाद -2.5 है, और तीसरी और ग्यारहवीं शर्तों का योग शून्य है। एक 14 खोजें।

सबसे आसान काम नहीं है, हाँ ...) यहाँ "उंगलियों पर" विधि काम नहीं करेगी। आपको सूत्र लिखने हैं और समीकरणों को हल करना है।

उत्तर (विवाद में):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

हो गई? यह अच्छा है!)

सब कुछ नहीं चलता? हो जाता है। वैसे लास्ट टास्क में एक सूक्ष्म बात है। समस्या को पढ़ते समय ध्यान देने की आवश्यकता होगी। और तर्क।

इन सभी समस्याओं के समाधान की धारा 555 में विस्तार से चर्चा की गई है। और चौथे के लिए फंतासी तत्व, और छठे के लिए सूक्ष्म क्षण, और एनवें पद के सूत्र के लिए किसी भी समस्या को हल करने के लिए सामान्य दृष्टिकोण - सब कुछ चित्रित किया गया है। मेरा सुझाव है।

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