विभेदक समीकरण ऑनलाइन। विभेदक समीकरण

प्रथम कोटि अवकल समीकरण. समाधान के उदाहरण.
वियोज्य चरों के साथ विभेदक समीकरण

विभेदक समीकरण (डीई)। ये दो शब्द आमतौर पर औसत व्यक्ति को भयभीत कर देते हैं। कई छात्रों के लिए विभेदक समीकरणों में महारत हासिल करना निषेधात्मक और कठिन प्रतीत होता है। उउउउउउ...विभेदक समीकरण, मैं यह सब कैसे सह सकता हूँ?!

यह राय और यह रवैया मौलिक रूप से गलत है, क्योंकि वास्तव में विभेदक समीकरण - यह सरल और मज़ेदार भी है. अवकल समीकरणों को हल करना सीखने के लिए आपको क्या जानने और करने में सक्षम होने की आवश्यकता है? डिफ्यूज़ का सफलतापूर्वक अध्ययन करने के लिए, आपको एकीकृत और विभेदित करने में अच्छा होना चाहिए। विषयों का अध्ययन जितना बेहतर होगा एक चर के फ़ंक्शन का व्युत्पन्नऔर अनिश्चितकालीन अभिन्न, अंतर समीकरणों को समझना उतना ही आसान होगा। मैं और अधिक कहूंगा, यदि आपके पास कमोबेश अच्छा एकीकरण कौशल है, तो विषय पर लगभग महारत हासिल हो चुकी है! जितने अधिक अभिन्न विभिन्न प्रकार केआप निर्णय लेना जानते हैं - उतना ही बेहतर। क्यों? आपको बहुत कुछ एकीकृत करना होगा. और अंतर करें. भी अत्यधिक सिफारिश किया जाता हैखोजना सीखो.

95% मामलों में परीक्षणप्रथम कोटि अवकल समीकरण तीन प्रकार के होते हैं: वियोज्य समीकरणजिसे हम इस पाठ में देखेंगे; सजातीय समीकरणऔर रैखिक अमानवीय समीकरण. डिफ्यूज़र का अध्ययन शुरू करने वालों के लिए, मैं आपको पाठों को ठीक इसी क्रम में पढ़ने की सलाह देता हूं, और पहले दो लेखों का अध्ययन करने के बाद, एक अतिरिक्त कार्यशाला में अपने कौशल को मजबूत करने में कोई दिक्कत नहीं होगी - समीकरण सजातीय में कम हो रहे हैं.

अंतर समीकरणों के और भी दुर्लभ प्रकार हैं: कुल अंतर समीकरण, बर्नौली समीकरण और कुछ अन्य। अंतिम दो प्रकारों में सबसे महत्वपूर्ण कुल अंतर वाले समीकरण हैं, क्योंकि इस अंतर समीकरण के अलावा मैं विचार करता हूं नई सामग्री – आंशिक एकीकरण.

अगर आपके पास सिर्फ एक या दो दिन ही बचे हैं, वह अति तीव्र तैयारी के लिएवहाँ है ब्लिट्ज कोर्सपीडीएफ प्रारूप में.

तो, मील के पत्थर निर्धारित हैं - आइए चलते हैं:

सबसे पहले, आइए सामान्य बीजगणितीय समीकरणों को याद करें। उनमें चर और संख्याएँ होती हैं। सबसे सरल उदाहरण: . एक साधारण समीकरण को हल करने का क्या मतलब है? इसका मतलब है खोजना संख्याओं का सेट, जो इस समीकरण को संतुष्ट करता है। यह नोटिस करना आसान है कि बच्चों के समीकरण का एक ही मूल है:। केवल मनोरंजन के लिए, आइए जाँच करें और पाए गए मूल को हमारे समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

- सही समानता प्राप्त होती है, जिसका अर्थ है कि समाधान सही पाया गया।

डिफ्यूज़र लगभग उसी तरह डिज़ाइन किए गए हैं!

अंतर समीकरण पहले के आदेशसामान्य रूप में रोकना:
1) स्वतंत्र चर;
2) आश्रित चर (फ़ंक्शन);
3) फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न:।

प्रथम क्रम के कुछ समीकरणों में कोई "x" और/या "y" नहीं हो सकता है, लेकिन यह महत्वपूर्ण नहीं है - महत्वपूर्णकंट्रोल रूम में जाने के लिए थाप्रथम व्युत्पन्न, और नहीं थाउच्च आदेशों के व्युत्पन्न - आदि।

मतलब क्या है ?अवकल समीकरण को हल करने का अर्थ है खोजना सभी कार्यों का सेट, जो इस समीकरण को संतुष्ट करता है। फ़ंक्शंस के ऐसे सेट का रूप अक्सर (- एक मनमाना स्थिरांक) होता है, जिसे कहा जाता है विभेदक समीकरण का सामान्य समाधान.

उदाहरण 1

अवकल समीकरण हल करें

पूरा गोला बारूद. कहाँ से शुरू करें समाधान?

सबसे पहले, आपको व्युत्पन्न को थोड़े अलग रूप में फिर से लिखना होगा। हम उस बोझिल पदनाम को याद करते हैं, जो शायद आपमें से कई लोगों को हास्यास्पद और अनावश्यक लगा होगा। डिफ्यूज़र में यही नियम है!

दूसरे चरण में, आइए देखें कि क्या यह संभव है अलग चर?चरों को अलग करने का क्या मतलब है? मोटे तौर पर, बायीं तरफ परहमें जाना होगा केवल "यूनानी", ए दाहिने तरफ़आयोजन केवल "एक्स". चरों का विभाजन "स्कूल" जोड़-तोड़ का उपयोग करके किया जाता है: उन्हें कोष्ठक से बाहर रखना, चिह्न के परिवर्तन के साथ शब्दों को एक भाग से दूसरे भाग में स्थानांतरित करना, अनुपात के नियम के अनुसार कारकों को एक भाग से दूसरे भाग में स्थानांतरित करना, आदि।

विभेदक और शत्रुता में पूर्ण गुणक और सक्रिय भागीदार हैं। विचाराधीन उदाहरण में, अनुपात के नियम के अनुसार कारकों को उछालकर चरों को आसानी से अलग किया जा सकता है:

वेरिएबल अलग हो गए हैं. बाईं ओर केवल "Y" है, दाईं ओर - केवल "X" है।

अगला पड़ाव - विभेदक समीकरण का एकीकरण. यह सरल है, हम दोनों तरफ इंटीग्रल डालते हैं:

बेशक, हमें इंटीग्रल लेने की जरूरत है। इस मामले में वे सारणीबद्ध हैं:

जैसा कि हमें याद है, किसी भी प्रतिअवकलन को एक स्थिरांक दिया जाता है। यहाँ दो अभिन्न हैं, लेकिन अचर को एक बार लिखना ही पर्याप्त है (चूंकि स्थिरांक + स्थिरांक अभी भी दूसरे स्थिरांक के बराबर है). ज्यादातर मामलों में इसे दाहिनी ओर रखा जाता है।

कड़ाई से बोलते हुए, अभिन्नों को लेने के बाद, अंतर समीकरण को हल माना जाता है। बात केवल इतनी है कि हमारा "y" "x" से व्यक्त नहीं होता अर्थात समाधान प्रस्तुत होता है एक अंतर्निहित मेंरूप। अन्तर्निहित रूप में अवकल समीकरण का हल कहलाता है विभेदक समीकरण का सामान्य अभिन्न अंग. अर्थात् यह एक सामान्य अभिन्न अंग है।

इस रूप में उत्तर काफी स्वीकार्य है, लेकिन क्या कोई बेहतर विकल्प है? आइए पाने का प्रयास करें सामान्य निर्णय.

कृपया, पहली तकनीक याद रखें, यह बहुत सामान्य है और अक्सर व्यावहारिक कार्यों में इसका उपयोग किया जाता है: यदि एकीकरण के बाद एक लघुगणक दाईं ओर दिखाई देता है, तो कई मामलों में (लेकिन हमेशा नहीं!) लघुगणक के नीचे स्थिरांक लिखने की भी सलाह दी जाती है.

वह है, के बजायप्रविष्टियाँ आमतौर पर लिखी जाती हैं .

यह क्यों आवश्यक है? और "गेम" को व्यक्त करना आसान बनाने के लिए। लघुगणक के गुण का उपयोग करना . इस मामले में:

अब लघुगणक और मॉड्यूल को हटाया जा सकता है:

फ़ंक्शन स्पष्ट रूप से प्रस्तुत किया गया है. यह सामान्य समाधान है.

उत्तर: सामान्य निर्णय: .

कई विभेदक समीकरणों के उत्तर जांचना काफी आसान है। हमारे मामले में, यह काफी सरलता से किया जाता है, हम पाए गए समाधान को लेते हैं और इसे अलग करते हैं:

फिर हम व्युत्पन्न को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:

- सही समानता प्राप्त होती है, जिसका अर्थ है कि सामान्य समाधान समीकरण को संतुष्ट करता है, जिसे जांचने की आवश्यकता है।

एक स्थिरांक देना विभिन्न अर्थ, आप असीमित रूप से अनेक प्राप्त कर सकते हैं निजी समाधानअंतर समीकरण। यह स्पष्ट है कि कोई भी फ़ंक्शन, इत्यादि। विभेदक समीकरण को संतुष्ट करता है।

कभी-कभी सामान्य समाधान कहा जाता है कार्यों का परिवार. में इस उदाहरण मेंसामान्य निर्णय रैखिक कार्यों का एक परिवार है, या अधिक सटीक रूप से, प्रत्यक्ष आनुपातिकता का एक परिवार है।

पहले उदाहरण की गहन समीक्षा के बाद, अंतर समीकरणों के बारे में कई सरल प्रश्नों का उत्तर देना उचित होगा:

1)इस उदाहरण में, हम वेरिएबल्स को अलग करने में सक्षम थे। क्या ऐसा हमेशा किया जा सकता है?नहीं हमेशा नहीं. और इससे भी अधिक बार, चर को अलग नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, में सजातीय प्रथम क्रम समीकरण, आपको पहले इसे बदलना होगा। अन्य प्रकार के समीकरणों में, उदाहरण के लिए, प्रथम-क्रम रैखिक अमानवीय समीकरण में, आपको सामान्य समाधान खोजने के लिए विभिन्न तकनीकों और विधियों का उपयोग करने की आवश्यकता होती है। वियोज्य चर वाले समीकरण, जिन पर हम पहले पाठ में विचार करते हैं - सबसे सरल प्रकारविभेदक समीकरण।

2) क्या विभेदक समीकरण को एकीकृत करना हमेशा संभव है?नहीं हमेशा नहीं. एक "फैंसी" समीकरण बनाना बहुत आसान है जिसे एकीकृत नहीं किया जा सकता है, इसके अलावा, ऐसे अभिन्न अंग भी हैं जिन्हें नहीं लिया जा सकता है; लेकिन ऐसे डीई को विशेष तरीकों का उपयोग करके लगभग हल किया जा सकता है। डी'एलेम्बर्ट और कॉची गारंटी देते हैं... ...उह, लर्कमोर। अभी बहुत कुछ पढ़ने के लिए, मैंने लगभग "दूसरी दुनिया से" जोड़ दिया।

3) इस उदाहरण में, हमने एक सामान्य समाकलन के रूप में एक समाधान प्राप्त किया . क्या सामान्य अभिन्न से एक सामान्य समाधान खोजना, यानी "y" को स्पष्ट रूप से व्यक्त करना हमेशा संभव है?नहीं हमेशा नहीं. उदाहरण के लिए: । खैर, आप यहां "ग्रीक" कैसे व्यक्त कर सकते हैं?! ऐसे मामलों में, उत्तर को सामान्य समाकलन के रूप में लिखा जाना चाहिए। इसके अलावा, कभी-कभी सामान्य समाधान ढूंढना संभव होता है, लेकिन यह इतना बोझिल और अनाड़ी ढंग से लिखा जाता है कि उत्तर को सामान्य अभिन्न के रूप में छोड़ना बेहतर होता है

4)...शायद अभी के लिए इतना ही काफी है। पहले उदाहरण में हमारा सामना हुआ दूसरा महत्वपूर्ण बिंदु , लेकिन ताकि हिमस्खलन से "डमीज़" को कवर न किया जा सके नई जानकारी, मैं इसे अगले पाठ तक छोड़ दूँगा।

हम जल्दबाजी नहीं करेंगे. एक अन्य सरल रिमोट कंट्रोल और एक अन्य विशिष्ट समाधान:

उदाहरण 2

अवकल समीकरण का एक विशेष समाधान खोजें जो प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करता हो

समाधान: शर्त के अनुसार आपको ढूंढना होगा निजी समाधान DE जो दी गई प्रारंभिक शर्त को पूरा करता है। प्रश्न का यह सूत्रीकरण भी कहा जाता है कॉची समस्या.

सबसे पहले हम एक सामान्य समाधान ढूंढते हैं। समीकरण में कोई "x" चर नहीं है, लेकिन इससे भ्रमित नहीं होना चाहिए, मुख्य बात यह है कि इसमें पहला व्युत्पन्न है।

हम व्युत्पन्न को फिर से लिखते हैं सही रूप में:

जाहिर है, चरों को अलग किया जा सकता है, लड़के बाईं ओर, लड़कियां दाईं ओर:

आइए समीकरण को एकीकृत करें:

सामान्य समाकलन प्राप्त होता है। यहां मैंने तारांकन चिह्न के साथ एक स्थिरांक बनाया है, तथ्य यह है कि बहुत जल्द यह दूसरे स्थिरांक में बदल जाएगा।

अब हम सामान्य समाकलन को एक सामान्य समाधान ("y" को स्पष्ट रूप से व्यक्त करें) में बदलने का प्रयास करते हैं। आइए स्कूल की अच्छी पुरानी बातें याद करें: . इस मामले में:

सूचक में स्थिरांक किसी तरह अकोषेर दिखता है, इसलिए इसे आमतौर पर पृथ्वी पर लाया जाता है। विस्तार से, यह इस प्रकार होता है। डिग्री की संपत्ति का उपयोग करके, हम फ़ंक्शन को निम्नानुसार फिर से लिखते हैं:

यदि एक स्थिरांक है, तो कुछ स्थिरांक भी है, आइए इसे अक्षर से पुनः नामित करें:

याद रखें "ध्वस्त करना" एक स्थिरांक है दूसरी तकनीक, जिसका उपयोग अक्सर अंतर समीकरणों को हल करते समय किया जाता है।

तो, सामान्य समाधान यह है: . यह घातीय कार्यों का एक अच्छा परिवार है।

अंतिम चरण में, आपको एक विशेष समाधान ढूंढना होगा जो दी गई प्रारंभिक स्थिति को पूरा करता हो। यह भी सरल है.

कार्य क्या है? लेने की जरूरत है ऐसास्थिरांक का मान ताकि शर्त संतुष्ट हो।

इसे विभिन्न तरीकों से स्वरूपित किया जा सकता है, लेकिन यह संभवतः सबसे स्पष्ट तरीका होगा। सामान्य समाधान में, "X" के स्थान पर हम एक शून्य प्रतिस्थापित करते हैं, और "Y" के स्थान पर हम दो प्रतिस्थापित करते हैं:



वह है,

मानक डिज़ाइन संस्करण:

अब हम स्थिरांक के पाए गए मान को सामान्य समाधान में प्रतिस्थापित करते हैं:
- यह वह विशेष समाधान है जिसकी हमें आवश्यकता है।

उत्तर: निजी समाधान:

की जाँच करें। किसी निजी समाधान की जाँच में दो चरण शामिल हैं:

सबसे पहले आपको यह जांचने की आवश्यकता है कि क्या पाया गया विशेष समाधान वास्तव में प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करता है? "X" के स्थान पर हम शून्य लगाते हैं और देखते हैं कि क्या होता है:
- हाँ, वास्तव में, एक दो प्राप्त हुआ था, जिसका अर्थ है कि प्रारंभिक शर्त पूरी हो गई है।

दूसरा चरण पहले से ही परिचित है. हम परिणामी विशेष समाधान लेते हैं और व्युत्पन्न पाते हैं:

हम मूल समीकरण में स्थानापन्न करते हैं:

– सही समानता प्राप्त होती है.

निष्कर्ष: विशेष समाधान सही पाया गया।

आइए अधिक सार्थक उदाहरणों की ओर बढ़ते हैं।

उदाहरण 3

अवकल समीकरण हल करें

समाधान:हम व्युत्पन्न को उस रूप में फिर से लिखते हैं जिसकी हमें आवश्यकता है:

हम मूल्यांकन करते हैं कि क्या चरों को अलग करना संभव है? कर सकना। हम चिह्न परिवर्तन के साथ दूसरे पद को दाईं ओर ले जाते हैं:

और हम गुणकों को अनुपात के नियम के अनुसार स्थानांतरित करते हैं:

चर अलग हो गए हैं, आइए दोनों भागों को एकीकृत करें:

मुझे आपको चेतावनी देनी चाहिए, फैसले का दिन करीब आ रहा है। अगर आपने अच्छे से पढ़ाई नहीं की है अनिश्चितकालीन अभिन्न, कुछ उदाहरण हल कर लिए हैं, फिर कहीं नहीं जाना है - अब आपको उनमें महारत हासिल करनी होगी।

बाईं ओर का समाकलन खोजना आसान है; हम उस मानक तकनीक का उपयोग करके कोटैंजेंट के समाकलन से निपटते हैं जिसे हमने पाठ में देखा था त्रिकोणमितीय कार्यों को एकीकृत करनापिछले साल:

दाईं ओर हमारे पास एक लघुगणक है, और, मेरी पहली तकनीकी अनुशंसा के अनुसार, लघुगणक के अंतर्गत स्थिरांक भी लिखा जाना चाहिए।

अब हम सामान्य समाकलन को सरल बनाने का प्रयास करते हैं। चूँकि हमारे पास केवल लघुगणक हैं, इसलिए उनसे छुटकारा पाना काफी संभव (और आवश्यक) है। का उपयोग करके ज्ञात गुणहम यथासंभव लघुगणक को "पैक" करते हैं। मैं इसे विस्तार से लिखूंगा:

पैकेजिंग को बर्बरतापूर्वक फाड़ दिया गया है:

क्या "खेल" को व्यक्त करना संभव है? कर सकना। दोनों भागों को वर्गाकार करना आवश्यक है।

लेकिन आपको ऐसा करने की जरूरत नहीं है.

तीसरी तकनीकी युक्ति:यदि एक सामान्य समाधान प्राप्त करने के लिए किसी शक्ति को ऊपर उठाना या जड़ें जमाना आवश्यक है, तो अधिकतर परिस्थितियों मेंआपको इन कार्यों से बचना चाहिए और उत्तर को सामान्य अभिन्न के रूप में छोड़ देना चाहिए। तथ्य यह है कि सामान्य समाधान बहुत ही भयानक लगेगा - बड़ी जड़ों, संकेतों और अन्य कचरे के साथ।

इसलिए, हम उत्तर को सामान्य समाकलन के रूप में लिखते हैं। इसे फॉर्म में प्रस्तुत करना अच्छा अभ्यास माना जाता है, यानी दाईं ओर, यदि संभव हो तो केवल स्थिरांक छोड़ दें। ऐसा करना जरूरी नहीं है, लेकिन प्रोफेसर को खुश करना हमेशा फायदेमंद होता है ;-)

उत्तर:सामान्य अभिन्न:

! टिप्पणी: किसी भी समीकरण का सामान्य समाकलन एक से अधिक प्रकार से लिखा जा सकता है। इस प्रकार, यदि आपका परिणाम पहले से ज्ञात उत्तर से मेल नहीं खाता है, तो इसका मतलब यह नहीं है कि आपने समीकरण को गलत तरीके से हल किया है।

सामान्य अभिन्न को जांचना भी काफी आसान है, मुख्य बात खोजने में सक्षम होना है अंतर्निहित रूप से निर्दिष्ट किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न. आइए उत्तर को अलग करें:

हम दोनों पदों को इससे गुणा करते हैं:

और इससे विभाजित करें:

मूल अवकल समीकरण ठीक-ठीक प्राप्त हो गया है, जिसका अर्थ है कि सामान्य समाकलन सही ढंग से प्राप्त हो गया है।

उदाहरण 4

अवकल समीकरण का एक विशेष समाधान खोजें जो प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करता हो। जाँच करें.

के लिए यह एक उदाहरण है स्वतंत्र निर्णय.

मैं आपको याद दिला दूं कि एल्गोरिदम में दो चरण होते हैं:
1) एक सामान्य समाधान खोजना;
2) आवश्यक विशेष समाधान खोजना।

जाँच भी दो चरणों में की जाती है (उदाहरण संख्या 2 में नमूना देखें), आपको यह करना होगा:
1) सुनिश्चित करें कि पाया गया विशेष समाधान प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करता है;
2) जांचें कि कोई विशेष समाधान आम तौर पर अंतर समीकरण को संतुष्ट करता है।

पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर।

उदाहरण 5

अवकल समीकरण का एक विशेष समाधान खोजें , प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करना। जाँच करें.

समाधान:सबसे पहले, आइए एक सामान्य समाधान खोजें। इस समीकरण में पहले से ही तैयार अंतर शामिल हैं और इसलिए, समाधान सरल है। हम चर अलग करते हैं:

आइए समीकरण को एकीकृत करें:

बायीं ओर का समाकलन सारणीबद्ध है, दायीं ओर का समाकलन लिया गया है किसी फ़ंक्शन को विभेदक चिन्ह के अंतर्गत समाहित करने की विधि:

सामान्य समाकलन प्राप्त हो गया है; क्या सामान्य समाधान को सफलतापूर्वक व्यक्त करना संभव है? कर सकना। हम दोनों तरफ लघुगणक लटकाते हैं। चूँकि वे सकारात्मक हैं, मापांक चिह्न अनावश्यक हैं:

(मुझे आशा है कि हर कोई परिवर्तन को समझेगा, ऐसी बातें पहले से ही पता होनी चाहिए)

तो, सामान्य समाधान यह है:

आइए दी गई प्रारंभिक स्थिति के अनुरूप एक विशेष समाधान खोजें।
सामान्य समाधान में, "X" के स्थान पर हम शून्य प्रतिस्थापित करते हैं, और "Y" के स्थान पर हम दो का लघुगणक प्रतिस्थापित करते हैं:

अधिक परिचित डिज़ाइन:

हम स्थिरांक के पाए गए मान को सामान्य समाधान में प्रतिस्थापित करते हैं।

उत्तर:निजी समाधान:

जांचें: सबसे पहले, आइए जांचें कि प्रारंभिक शर्त पूरी हुई है या नहीं:
- सब कुछ अच्छा है।

अब देखते हैं कि पाया गया विशेष समाधान अवकल समीकरण को बिल्कुल भी संतुष्ट करता है या नहीं। व्युत्पन्न ढूँढना:

आइए मूल समीकरण देखें: - इसे विभेदकों में प्रस्तुत किया गया है। जाँच करने के दो तरीके हैं। पाए गए व्युत्पन्न से अंतर व्यक्त करना संभव है:

आइए हम पाए गए विशेष समाधान और परिणामी अंतर को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करें :

हम मूल लघुगणकीय पहचान का उपयोग करते हैं:

सही समानता प्राप्त होती है, जिसका अर्थ है कि विशेष समाधान सही पाया गया है।

जाँच की दूसरी विधि प्रतिबिंबित और अधिक परिचित है: समीकरण से आइए व्युत्पन्न को व्यक्त करें, ऐसा करने के लिए हम सभी टुकड़ों को इस प्रकार विभाजित करते हैं:

और परिवर्तित DE में हम प्राप्त आंशिक समाधान और पाए गए व्युत्पन्न को प्रतिस्थापित करते हैं। सरलीकरण के फलस्वरूप सही समानता भी प्राप्त होनी चाहिए।

उदाहरण 6

अवकल समीकरण हल करें. उत्तर को सामान्य समाकलन के रूप में प्रस्तुत करें।

यह आपके लिए स्वयं हल करने के लिए एक उदाहरण है, संपूर्ण समाधान और पाठ के अंत में उत्तर दें।

वियोज्य चरों वाले अवकल समीकरणों को हल करते समय कौन-सी कठिनाइयाँ आती हैं?

1) यह हमेशा स्पष्ट नहीं होता है (विशेषकर "चायदानी" के लिए) कि चरों को अलग किया जा सकता है। आइए एक सशर्त उदाहरण पर विचार करें: . यहां आपको कारकों को कोष्ठक से बाहर निकालना होगा: और जड़ों को अलग करना होगा:। यह स्पष्ट है कि आगे क्या करना है।

2) एकीकरण में ही कठिनाइयाँ। इंटीग्रल अक्सर सबसे सरल नहीं होते हैं, और यदि खोजने के कौशल में खामियां हैं अनिश्चितकालीन अभिन्न, तो कई डिफ्यूज़र के साथ यह मुश्किल होगा। इसके अलावा, तर्क "चूंकि अंतर समीकरण सरल है, तो कम से कम इंटीग्रल्स को अधिक जटिल होने दें" संग्रह और प्रशिक्षण मैनुअल के संकलनकर्ताओं के बीच लोकप्रिय है।

3) स्थिरांक के साथ परिवर्तन। जैसा कि सभी ने देखा है, अंतर समीकरणों में स्थिरांक को काफी स्वतंत्र रूप से नियंत्रित किया जा सकता है, और कुछ परिवर्तन हमेशा एक शुरुआत करने वाले के लिए स्पष्ट नहीं होते हैं। आइए एक और सशर्त उदाहरण देखें: . इसमें सभी पदों को 2 से गुणा करने की सलाह दी जाती है: . परिणामी स्थिरांक भी एक प्रकार का स्थिरांक है, जिसे निम्न द्वारा दर्शाया जा सकता है: . हां, और चूंकि दाहिनी ओर एक लघुगणक है, तो स्थिरांक को दूसरे स्थिरांक के रूप में फिर से लिखने की सलाह दी जाती है: .

समस्या यह है कि वे अक्सर अनुक्रमणिकाओं की परवाह नहीं करते और एक ही अक्षर का उपयोग करते हैं। परिणामस्वरूप, निर्णय रिकॉर्ड निम्नलिखित रूप लेता है:

कैसा विधर्म? वहीं गलतियाँ हैं! सच कहूँ तो, हाँ। हालाँकि, वास्तविक दृष्टिकोण से, कोई त्रुटि नहीं है, क्योंकि एक चर स्थिरांक को बदलने के परिणामस्वरूप, एक चर स्थिरांक अभी भी प्राप्त होता है।

या दूसरा उदाहरण, मान लीजिए कि समीकरण को हल करने के दौरान एक सामान्य अभिन्न अंग प्राप्त होता है। यह उत्तर बदसूरत दिखता है, इसलिए प्रत्येक पद का चिह्न बदलने की सलाह दी जाती है: . औपचारिक रूप से, यहाँ एक और गलती है - इसे दाईं ओर लिखा जाना चाहिए। लेकिन अनौपचारिक रूप से यह निहित है कि "माइनस सीई" अभी भी एक स्थिरांक है ( जो आसानी से कोई भी अर्थ ले सकता है!), इसलिए "माइनस" लगाने का कोई मतलब नहीं है और आप उसी अक्षर का उपयोग कर सकते हैं।

मैं लापरवाह दृष्टिकोण से बचने की कोशिश करूंगा, और फिर भी उन्हें परिवर्तित करते समय स्थिरांकों को अलग-अलग सूचकांक निर्दिष्ट करूंगा।

उदाहरण 7

अवकल समीकरण हल करें. जाँच करें.

समाधान:यह समीकरण चरों को अलग करने की अनुमति देता है। हम चर अलग करते हैं:

आइए एकीकृत करें:

यहां स्थिरांक को लघुगणक के रूप में परिभाषित करना आवश्यक नहीं है, क्योंकि इससे कुछ भी उपयोगी नहीं होगा।

उत्तर:सामान्य अभिन्न:

जांचें: उत्तर को अलग करें (अंतर्निहित फ़ंक्शन):

हम दोनों पदों को इससे गुणा करके भिन्नों से छुटकारा पाते हैं:

मूल अवकल समीकरण प्राप्त हो गया है, जिसका अर्थ है कि सामान्य समाकलन सही पाया गया है।

उदाहरण 8

DE का एक विशेष समाधान खोजें।
,

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है। एकमात्र संकेत यह है कि यहां आपको एक सामान्य अभिन्न अंग मिलेगा, और, अधिक सही ढंग से कहें तो, आपको किसी विशेष समाधान को खोजने के लिए प्रयास करने की आवश्यकता नहीं है, बल्कि आंशिक अभिन्न. पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर।

आइए हम उस कार्य को याद करें जो निश्चित अभिन्नों को खोजने में हमारे सामने आया था:

या dy = f(x)dx. उसका समाधान:

और यह गणना करने के लिए नीचे आता है अनिश्चितकालीन अभिन्न. व्यवहार में, एक अधिक जटिल कार्य का अधिक बार सामना करना पड़ता है: फ़ंक्शन ढूंढना य, यदि यह ज्ञात हो कि यह प्रपत्र के संबंध को संतुष्ट करता है

यह संबंध स्वतंत्र चर से संबंधित है एक्स, अज्ञात फ़ंक्शन यऔर इसके डेरिवेटिव ऑर्डर तक एनसमावेशी, कहलाते हैं .

एक अंतर समीकरण में एक आदेश या किसी अन्य के डेरिवेटिव (या अंतर) के संकेत के तहत एक फ़ंक्शन शामिल होता है। उच्चतम क्रम को क्रम (9.1) कहा जाता है .

विभेदक समीकरण:

- पहले के आदेश,

दूसरा आदेश

- पाँचवाँ क्रम, आदि।

वह फलन जो किसी दिए गए अवकल समीकरण को संतुष्ट करता है, उसका समाधान कहलाता है , या अभिन्न . इसे हल करने का मतलब है इसके सभी समाधान ढूंढना। यदि आवश्यक कार्य के लिए यएक सूत्र प्राप्त करने में कामयाब रहे जो सभी समाधान देता है, तो हम कहते हैं कि हमने इसका सामान्य समाधान ढूंढ लिया है , या सामान्य अभिन्न .

सामान्य निर्णय रोकना एनमनमाना स्थिरांक और ऐसा दिखता है

यदि कोई संबंध प्राप्त होता है जो संबंधित है एक्स, वाईऔर एनमनमाना स्थिरांक, ऐसे रूप में जिसके संबंध में अनुमति नहीं है य -

तो ऐसे संबंध को समीकरण (9.1) का सामान्य समाकलन कहा जाता है।

कॉची समस्या

प्रत्येक विशिष्ट समाधान, यानी, प्रत्येक विशिष्ट फ़ंक्शन जो किसी दिए गए अंतर समीकरण को संतुष्ट करता है और मनमाने स्थिरांक पर निर्भर नहीं करता है, उसे एक विशेष समाधान कहा जाता है , या आंशिक अभिन्न. सामान्य समाधानों से विशेष समाधान (अभिन्न) प्राप्त करने के लिए, स्थिरांकों को विशिष्ट संख्यात्मक मान दिए जाने चाहिए।

किसी विशेष समाधान के ग्राफ़ को अभिन्न वक्र कहा जाता है। सामान्य समाधान, जिसमें सभी आंशिक समाधान शामिल हैं, अभिन्न वक्रों का एक परिवार है। प्रथम-क्रम समीकरण के लिए यह परिवार समीकरण के लिए एक मनमाना स्थिरांक पर निर्भर करता है एन-वाँ क्रम - से एनमनमाना स्थिरांक.

कॉची समस्या समीकरण के लिए एक विशेष समाधान खोजना है एन-वें क्रम, संतोषजनक एनआरंभिक स्थितियां:

जिसके द्वारा n स्थिरांक c 1, c 2,..., c n निर्धारित किये जाते हैं।

प्रथम क्रम विभेदक समीकरण

पहले क्रम के अंतर समीकरण के लिए जो व्युत्पन्न के संबंध में अनसुलझा है, इसका रूप है

या अपेक्षाकृत अनुमति के लिए

उदाहरण 3.46. समीकरण का सामान्य हल खोजें

समाधान।एकीकृत करने पर हमें प्राप्त होता है

जहाँ C एक मनमाना स्थिरांक है। यदि हम C को विशिष्ट संख्यात्मक मान निर्दिष्ट करते हैं, तो हमें विशेष समाधान प्राप्त होते हैं, उदाहरण के लिए,

उदाहरण 3.47. 100 आर के संचय के अधीन बैंक में जमा की गई धनराशि की बढ़ती राशि पर विचार करें प्रति वर्ष चक्रवृद्धि ब्याज. मान लीजिए कि यो धन की प्रारंभिक राशि है, और Yx - अंत में है एक्ससाल। यदि ब्याज की गणना वर्ष में एक बार की जाती है, तो हमें मिलता है

जहाँ x = 0, 1, 2, 3,.... जब ब्याज की गणना वर्ष में दो बार की जाती है, तो हमें मिलता है

जहां x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... ब्याज की गणना करते समय एनसाल में एक बार और यदि एक्सफिर अनुक्रमिक मान 0, 1/n, 2/n, 3/n,... लेता है

1/एन = एच नामित करें, तो पिछली समानता इस तरह दिखेगी:

असीमित आवर्धन के साथ एन(पर ) सीमा में हम ब्याज की निरंतर वृद्धि के साथ धन की मात्रा बढ़ाने की प्रक्रिया पर आते हैं:

इस प्रकार यह स्पष्ट है कि निरंतर परिवर्तन के साथ एक्समुद्रा आपूर्ति में परिवर्तन का नियम प्रथम क्रम के अंतर समीकरण द्वारा व्यक्त किया जाता है। जहाँ Y x एक अज्ञात फलन है, एक्स- स्वतंत्र चर, आर- स्थिर। आइए इस समीकरण को हल करें; ऐसा करने के लिए, हम इसे इस प्रकार फिर से लिखते हैं:

कहाँ , या , जहां P, e C को दर्शाता है।

प्रारंभिक स्थितियों Y(0) = Yo से, हम पाते हैं P: Yo = Pe o, जहां से, Yo = P. इसलिए, समाधान का रूप इस प्रकार है:

आइए दूसरी आर्थिक समस्या पर विचार करें। मैक्रोइकॉनॉमिक मॉडल को पहले क्रम के रैखिक अंतर समीकरणों द्वारा भी वर्णित किया जाता है, जो समय के कार्यों के रूप में आय या आउटपुट वाई में परिवर्तन का वर्णन करता है।

उदाहरण 3.48. मान लीजिए कि राष्ट्रीय आय Y उसके मूल्य के समानुपाती दर से बढ़ती है:

और सरकारी व्यय में घाटा आनुपातिकता गुणांक के साथ आय Y के सीधे आनुपातिक होने दें क्यू. व्यय घाटे से राष्ट्रीय ऋण में वृद्धि होती है D:

आरंभिक स्थितियाँ Y = Yo और D = t = 0 पर करें। पहले समीकरण से Y= Yoe kt। Y को प्रतिस्थापित करने पर हमें dD/dt = qYoe kt प्राप्त होता है। सामान्य समाधान का स्वरूप होता है
डी = (क्यू/ के) यो केटी +सी, जहां सी = स्थिरांक, जो प्रारंभिक स्थितियों से निर्धारित होता है। प्रारंभिक शर्तों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें Do = (q/ k)Yo + C मिलता है। तो, अंततः,

डी = करो +(क्यू/ के)यो (ई केटी -1),

इससे पता चलता है कि राष्ट्रीय ऋण उसी सापेक्ष दर से बढ़ रहा है क, राष्ट्रीय आय के समान।

आइए सबसे सरल अंतर समीकरणों पर विचार करें एनवें क्रम, ये फॉर्म के समीकरण हैं

इसका सामान्य समाधान प्रयोग करके प्राप्त किया जा सकता है एनसमय एकीकरण.

उदाहरण 3.49.उदाहरण y """ = cos x पर विचार करें।

समाधान।एकीकृत करते हुए, हम पाते हैं

सामान्य समाधान का स्वरूप होता है

रैखिक विभेदक समीकरण

इनका अर्थशास्त्र में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है; आइए ऐसे समीकरणों को हल करने पर विचार करें। यदि (9.1) का रूप है:

तो इसे रैखिक कहा जाता है, जहां рo(x), р1(x),..., рn(x), f(x) फ़ंक्शन दिए गए हैं। यदि f(x) = 0 है, तो (9.2) को सजातीय कहा जाता है, अन्यथा इसे अमानवीय कहा जाता है। समीकरण (9.2) का सामान्य समाधान इसके किसी विशेष समाधान के योग के बराबर है वाई(एक्स)और इसके अनुरूप सजातीय समीकरण का सामान्य समाधान:

यदि गुणांक р o (x), р 1 (x),..., р n (x) स्थिर हैं, तो (9.2)

(9.4) क्रम के स्थिर गुणांकों वाला एक रैखिक अवकल समीकरण कहलाता है एन .

(9.4) के लिए फॉर्म है:

व्यापकता खोए बिना, हम p o = 1 सेट कर सकते हैं और फॉर्म में (9.5) लिख सकते हैं

हम y = e kx के रूप में एक समाधान (9.6) खोजेंगे, जहाँ k एक स्थिरांक है। हमारे पास है: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx । परिणामी व्यंजकों को (9.6) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होगा:

(9.7) एक बीजगणितीय समीकरण है, इसका अज्ञात है क, इसे विशेषता कहा जाता है। विशेषता समीकरण में डिग्री होती है एनऔर एनजड़ें, जिनके बीच एकाधिक और जटिल दोनों हो सकते हैं। मान लीजिए k 1 , k 2 ,..., k n वास्तविक और विशिष्ट हैं, तो - विशेष समाधान (9.7), और सामान्य

स्थिर गुणांक वाले एक रैखिक सजातीय दूसरे क्रम के अंतर समीकरण पर विचार करें:

इसका चारित्रिक समीकरण रूप है

(9.9)

इसका विवेचक D = p 2 - 4q, D के चिन्ह के आधार पर तीन स्थितियाँ संभव हैं।

1. यदि D>0, तो मूल k 1 और k 2 (9.9) वास्तविक और भिन्न हैं, और सामान्य समाधान का रूप है:

समाधान।विशेषता समीकरण: k 2 + 9 = 0, जहाँ से k = ± 3i, a = 0, b = 3, सामान्य समाधान का रूप है:

y = C 1 cos 3x + C 2 पाप 3x।

माल की सूची के साथ एक वेब-प्रकार के आर्थिक मॉडल का अध्ययन करते समय दूसरे क्रम के रैखिक अंतर समीकरणों का उपयोग किया जाता है, जहां मूल्य पी में परिवर्तन की दर इन्वेंट्री के आकार पर निर्भर करती है (पैराग्राफ 10 देखें)। यदि आपूर्ति और मांग कीमत के रैखिक कार्य हैं, अर्थात

ए एक स्थिरांक है जो प्रतिक्रिया दर निर्धारित करता है, फिर मूल्य परिवर्तन की प्रक्रिया को अंतर समीकरण द्वारा वर्णित किया गया है:

किसी विशेष समाधान के लिए हम एक स्थिरांक ले सकते हैं

सार्थक संतुलन कीमत. विचलन सजातीय समीकरण को संतुष्ट करता है

(9.10)

विशेषता समीकरण इस प्रकार होगा:

यदि पद सकारात्मक है. चलो निरूपित करें . अभिलक्षणिक समीकरण k 1,2 = ± i w के मूल, इसलिए सामान्य समाधान (9.10) का रूप है:

जहाँ C और मनमाना स्थिरांक हैं, वे प्रारंभिक स्थितियों से निर्धारित होते हैं। हमने समय के साथ मूल्य परिवर्तन का नियम प्राप्त किया:

साधारण अंतर समीकरण एक समीकरण है जो एक स्वतंत्र चर, इस चर के एक अज्ञात फ़ंक्शन और इसके विभिन्न आदेशों के डेरिवेटिव (या अंतर) से संबंधित है।

विभेदक समीकरण का क्रम इसमें निहित उच्चतम व्युत्पन्न का क्रम कहा जाता है।

सामान्य समीकरणों के अतिरिक्त आंशिक अवकल समीकरणों का भी अध्ययन किया जाता है। ये स्वतंत्र चरों से संबंधित समीकरण हैं, इन चरों का एक अज्ञात फलन और समान चरों के संबंध में इसके आंशिक व्युत्पन्न हैं। लेकिन हम सिर्फ विचार करेंगे सामान्य अवकल समीकरण और इसलिए, संक्षिप्तता के लिए, हम "साधारण" शब्द को छोड़ देंगे।

विभेदक समीकरणों के उदाहरण:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

समीकरण (1) चौथे क्रम का है, समीकरण (2) तीसरे क्रम का है, समीकरण (3) और (4) दूसरे क्रम का है, समीकरण (5) पहले क्रम का है।

अंतर समीकरण एनवें क्रम में आवश्यक रूप से एक स्पष्ट फ़ंक्शन, पहले से लेकर इसके सभी व्युत्पन्न शामिल होना आवश्यक नहीं है एन-वां क्रम और स्वतंत्र चर। इसमें स्पष्ट रूप से कुछ ऑर्डर, फ़ंक्शन या स्वतंत्र चर के डेरिवेटिव शामिल नहीं हो सकते हैं।

उदाहरण के लिए, समीकरण (1) में स्पष्ट रूप से कोई तीसरे और दूसरे क्रम के व्युत्पन्न, साथ ही एक फ़ंक्शन नहीं हैं; समीकरण (2) में - दूसरे क्रम का व्युत्पन्न और फ़ंक्शन; समीकरण (4) में - स्वतंत्र चर; समीकरण (5) में - कार्य। केवल समीकरण (3) में स्पष्ट रूप से सभी व्युत्पन्न, फ़ंक्शन और स्वतंत्र चर शामिल हैं।

एक विभेदक समीकरण को हल करना प्रत्येक फ़ंक्शन को कॉल किया जाता है वाई = एफ(एक्स), जब समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है तो यह एक पहचान में बदल जाता है।

किसी अवकल समीकरण का हल ढूंढने की प्रक्रिया को उसका कहा जाता है एकीकरण.

उदाहरण 1।अवकल समीकरण का हल खोजें.

समाधान। आइए इस समीकरण को इस रूप में लिखें। समाधान यह है कि फ़ंक्शन को उसके व्युत्पन्न से खोजा जाए। मूल फ़ंक्शन, जैसा कि इंटीग्रल कैलकुलस से जाना जाता है, एक एंटीडेरिवेटिव है, यानी।

यह वही है इस विभेदक समीकरण का समाधान . इसमें बदलाव हो रहा है सी, हम अलग-अलग समाधान प्राप्त करेंगे। हमने पाया कि प्रथम कोटि अवकल समीकरण के अनंत संख्या में समाधान होते हैं।

अवकल समीकरण का सामान्य समाधान एनवां क्रम इसका समाधान है, जो अज्ञात फ़ंक्शन और युक्त के संबंध में स्पष्ट रूप से व्यक्त किया गया है एनस्वतंत्र मनमाना स्थिरांक, अर्थात्

उदाहरण 1 में अवकल समीकरण का समाधान सामान्य है।

अवकल समीकरण का आंशिक समाधान वह समाधान जिसमें मनमाने स्थिरांकों को विशिष्ट संख्यात्मक मान दिया जाता है, कहलाता है।

उदाहरण 2.अवकल समीकरण का सामान्य समाधान और एक विशेष समाधान खोजें .

समाधान। आइए समीकरण के दोनों पक्षों को अंतर समीकरण के क्रम के बराबर कई बार एकीकृत करें।

,

.

परिणामस्वरूप, हमें एक सामान्य समाधान प्राप्त हुआ -

किसी दिए गए तीसरे क्रम के अंतर समीकरण का।

आइए अब निर्दिष्ट शर्तों के तहत एक विशेष समाधान खोजें। ऐसा करने के लिए, मनमाने गुणांकों के स्थान पर उनके मानों को प्रतिस्थापित करें और प्राप्त करें

.

यदि अवकल समीकरण के अतिरिक्त प्रारंभिक स्थिति को रूप में दिया जाए तो ऐसी समस्या कहलाती है कॉची समस्या . समीकरण के सामान्य समाधान में मानों को प्रतिस्थापित करें और एक मनमाना स्थिरांक का मान ज्ञात करें सी, और फिर पाए गए मान के लिए समीकरण का एक विशेष समाधान सी. यह कॉची समस्या का समाधान है.

उदाहरण 3.उदाहरण 1 के अधीन अवकल समीकरण के लिए कॉची समस्या को हल करें।

समाधान। आइए हम प्रारंभिक स्थिति से मूल्यों को सामान्य समाधान में प्रतिस्थापित करें य = 3, एक्स= 1. हमें मिलता है

हम इस प्रथम-क्रम विभेदक समीकरण के लिए कॉची समस्या का समाधान लिखते हैं:

अंतर समीकरणों को हल करने के लिए, यहां तक ​​कि सबसे सरल समीकरणों को भी, जटिल कार्यों सहित अच्छे एकीकरण और व्युत्पन्न कौशल की आवश्यकता होती है। इसे निम्नलिखित उदाहरण में देखा जा सकता है।

उदाहरण 4.अवकल समीकरण का सामान्य हल खोजें।

समाधान। समीकरण इस प्रकार लिखा गया है कि आप तुरंत दोनों पक्षों को एकीकृत कर सकते हैं।

.

हम चर के परिवर्तन (प्रतिस्थापन) द्वारा एकीकरण की विधि लागू करते हैं। फिर रहने दो.

लेना आवश्यक है डीएक्सऔर अब - ध्यान - हम इसे एक जटिल फ़ंक्शन के भेदभाव के नियमों के अनुसार करते हैं एक्सऔर एक जटिल कार्य है ("सेब" - अर्क वर्गमूलया, एक ही चीज़ क्या है - "डेढ़" की शक्ति बढ़ाना, और "कीमा बनाया हुआ मांस" मूल के नीचे की अभिव्यक्ति है):

हम अभिन्न पाते हैं:

वेरिएबल पर लौटना एक्स, हम पाते हैं:

.

यह इस प्रथम डिग्री अवकल समीकरण का सामान्य समाधान है।

अंतर समीकरणों को हल करने के लिए न केवल उच्च गणित के पिछले अनुभागों के कौशल की आवश्यकता होगी, बल्कि प्रारंभिक यानी स्कूली गणित के कौशल की भी आवश्यकता होगी। जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, किसी भी क्रम के अंतर समीकरण में एक स्वतंत्र चर, यानी एक चर नहीं हो सकता है एक्स. स्कूल से अनुपात के बारे में ज्ञान जिसे भुलाया नहीं गया है (हालांकि, यह इस पर निर्भर करता है कि कौन है) इस समस्या को हल करने में मदद करेगा। यह अगला उदाहरण है.

या तो व्युत्पन्न के संबंध में पहले ही हल कर लिया गया है, या उन्हें व्युत्पन्न के संबंध में हल किया जा सकता है .

अंतराल पर प्रकार के विभेदक समीकरणों का सामान्य समाधान एक्स, जो दिया गया है, इस समानता के दोनों पक्षों का अभिन्न अंग लेकर पाया जा सकता है।

हम पाते हैं .

यदि हम अनिश्चितकालीन अभिन्न के गुणों को देखें, तो हमें वांछित सामान्य समाधान मिलता है:

वाई = एफ(एक्स) + सी,

कहाँ एफ(एक्स)- आदिम कार्यों में से एक एफ(एक्स)बीच में एक्स, ए साथ- मनमाना स्थिरांक.

कृपया ध्यान दें कि अधिकांश समस्याओं में अंतराल एक्सइंगित न करें. इसका मतलब है कि हर किसी के लिए एक समाधान खोजा जाना चाहिए। एक्स, जिसके लिए और वांछित कार्य य, और मूल समीकरण समझ में आता है।

यदि आपको किसी विभेदक समीकरण के किसी विशेष समाधान की गणना करने की आवश्यकता है जो प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करता है आप(एक्स 0) = आप 0, फिर सामान्य अभिन्न की गणना करने के बाद वाई = एफ(एक्स) + सी, स्थिरांक का मान निर्धारित करना अभी भी आवश्यक है सी = सी 0, प्रारंभिक स्थिति का उपयोग करते हुए। यानी एक स्थिरांक सी = सी 0समीकरण से निर्धारित होता है एफ(एक्स 0) + सी = वाई 0, और अवकल समीकरण का वांछित आंशिक समाधान रूप लेगा:

वाई = एफ(एक्स) + सी 0.

आइए एक उदाहरण देखें:

आइए अंतर समीकरण का एक सामान्य समाधान खोजें और परिणाम की शुद्धता की जांच करें। आइए हम इस समीकरण का एक विशेष समाधान खोजें जो प्रारंभिक स्थिति को पूरा करेगा।

समाधान:

दिए गए अंतर समीकरण को एकीकृत करने के बाद, हमें मिलता है:

.

आइए भागों द्वारा एकीकरण की विधि का उपयोग करके इस अभिन्न अंग को लें:

वह।, अवकल समीकरण का एक सामान्य समाधान है।

यह सुनिश्चित करने के लिए कि परिणाम सही है, आइए जाँच करें। ऐसा करने के लिए, हम दिए गए समीकरण में पाए गए समाधान को प्रतिस्थापित करते हैं:

.

तभी मूल समीकरण एक पहचान में बदल जाता है:

इसलिए, अंतर समीकरण का सामान्य समाधान सही ढंग से निर्धारित किया गया था।

हमने जो समाधान पाया वह तर्क के प्रत्येक वास्तविक मूल्य के लिए अंतर समीकरण का एक सामान्य समाधान है एक्स.

ओडीई के लिए एक विशेष समाधान की गणना करना बाकी है जो प्रारंभिक स्थिति को पूरा करेगा। दूसरे शब्दों में, स्थिरांक के मान की गणना करना आवश्यक है साथ, जिस पर समानता सत्य होगी:

.

.

फिर, प्रतिस्थापित करना सी = 2 ODE के सामान्य समाधान में, हम अंतर समीकरण का एक विशेष समाधान प्राप्त करते हैं जो प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करता है:

.

साधारण अंतर समीकरण समीकरण के दोनों पक्षों को विभाजित करके अवकलज को हल किया जा सकता है एफ(एक्स). यह परिवर्तन समतुल्य होगा यदि एफ(एक्स)किसी भी परिस्थिति में शून्य नहीं होता एक्सविभेदक समीकरण के एकीकरण अंतराल से एक्स.

ऐसी संभावित स्थितियाँ होती हैं, जब तर्क के कुछ मूल्यों के लिए एक्स ∈ एक्सकार्य एफ(एक्स)और जी(एक्स)एक साथ शून्य हो जाते हैं. समान मूल्यों के लिए एक्सअवकल समीकरण का सामान्य समाधान कोई फलन होता है य, जो उनमें परिभाषित है, क्योंकि .

यदि कुछ तर्क मानों के लिए एक्स ∈ एक्सशर्त संतुष्ट है, जिसका अर्थ है कि इस मामले में ODE के पास कोई समाधान नहीं है।

बाकी सबके लिए एक्सअंतराल से एक्सअवकल समीकरण का सामान्य समाधान परिवर्तित समीकरण से निर्धारित होता है।

आइए उदाहरण देखें:

उदाहरण 1।

आइए ODE का एक सामान्य समाधान खोजें: .

समाधान।

बुनियादी प्राथमिक कार्यों के गुणों से यह स्पष्ट है कि प्राकृतिक लघुगणक फ़ंक्शन को तर्क के गैर-नकारात्मक मानों के लिए परिभाषित किया गया है, इसलिए अभिव्यक्ति की परिभाषा का क्षेत्र एलएन(एक्स+3)एक अंतराल है एक्स > -3 . इसका मतलब यह है कि दिया गया अंतर समीकरण समझ में आता है एक्स > -3 . इन तर्क मानों के लिए, अभिव्यक्ति एक्स+3गायब नहीं होता है, इसलिए आप 2 भागों को विभाजित करके व्युत्पन्न के लिए ODE को हल कर सकते हैं एक्स + 3.

हम पाते हैं .

इसके बाद, हम व्युत्पन्न के संबंध में हल किए गए परिणामी अंतर समीकरण को एकीकृत करते हैं: . इस अभिन्न को लेने के लिए, हम इसे अवकल चिन्ह के अंतर्गत समाहित करने की विधि का उपयोग करते हैं।