अंकगणितीय प्रगति की पहली n संख्याओं का योग। अंकगणितीय प्रगति कैसे ज्ञात करें? समाधान के साथ अंकगणितीय प्रगति के उदाहरण

क्या मुख्य बिंदुसूत्र?

यह सूत्र आपको खोजने की अनुमति देता है कोई उसके नंबर से " एन" .

बेशक, आपको पहला पद भी जानना होगा एक 1और प्रगति अंतर डी, ठीक है, इन मापदंडों के बिना आप एक विशिष्ट प्रगति नहीं लिख सकते।

इस सूत्र को याद रखना (या दोहराना) पर्याप्त नहीं है। आपको इसके सार को समझने और विभिन्न समस्याओं में सूत्र को लागू करने की आवश्यकता है। और यह भी कि सही समय पर न भूलें, हाँ...) कैसे भूलना नहीं- मुझें नहीं पता। और यहां कैसे याद रखेंयदि आवश्यक हुआ तो मैं तुम्हें अवश्य सलाह दूँगा। उन लोगों के लिए जो पाठ को अंत तक पूरा करते हैं।)

तो, आइए अंकगणितीय प्रगति के nवें पद के सूत्र को देखें।

सामान्यतः सूत्र क्या है? वैसे, अगर आपने इसे नहीं पढ़ा है तो देख लें। वहां सब कुछ सरल है. यह पता लगाना बाकी है कि यह क्या है नौवाँ पद.

में प्रगति सामान्य रूप से देखेंसंख्याओं की एक श्रृंखला के रूप में लिखा जा सकता है:

ए 1, ए 2, ए 3, ए 4, ए 5, ......

एक 1- अंकगणितीय प्रगति के पहले पद को दर्शाता है, एक 3- तीसरा सदस्य, एक 4- चौथा, इत्यादि। यदि हम पांचवें कार्यकाल में रुचि रखते हैं, तो मान लें कि हम साथ काम कर रहे हैं एक 5, यदि एक सौ बीसवाँ - एस एक 120.

हम इसे सामान्य शब्दों में कैसे परिभाषित कर सकते हैं? कोईएक अंकगणितीय प्रगति की अवधि, के साथ कोईसंख्या? बहुत सरल! इस कदर:

एक

यह वही है अंकगणितीय प्रगति का nवाँ पद।अक्षर n सभी सदस्य संख्याओं को एक साथ छुपाता है: 1, 2, 3, 4, इत्यादि।

और ऐसा रिकॉर्ड हमें क्या देता है? जरा सोचिए, उन्होंने एक नंबर की जगह एक पत्र लिख दिया...

यह अंकन हमें अंकगणितीय प्रगति के साथ काम करने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण प्रदान करता है। अंकन का उपयोग करना एक, हम जल्दी से पा सकते हैं कोईसदस्य कोईअंकगणितीय प्रगति। और अन्य प्रगति समस्याओं का एक समूह हल करें। आगे आप खुद ही देख लेंगे.

अंकगणितीय प्रगति के nवें पद के सूत्र में:

एक 1- अंकगणितीय प्रगति का पहला पद;

एन- सदस्य संख्या।

सूत्र किसी भी प्रगति के प्रमुख मापदंडों को जोड़ता है: एक ; ए 1 ; डीऔर एन. प्रगति की सभी समस्याएँ इन्हीं मापदंडों के इर्द-गिर्द घूमती हैं।

nवें पद सूत्र का उपयोग किसी विशिष्ट प्रगति को लिखने के लिए भी किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, समस्या यह कह सकती है कि प्रगति शर्त द्वारा निर्दिष्ट है:

ए एन = 5 + (एन-1) 2.

ऐसी समस्या एक गतिरोध हो सकती है... इसमें न तो कोई श्रृंखला है और न ही कोई अंतर... लेकिन, सूत्र के साथ स्थिति की तुलना करने पर, यह समझना आसान है कि इस प्रगति में ए 1 =5, और डी=2.

और यह और भी बुरा हो सकता है!) यदि हम भी वही स्थिति लें: ए एन = 5 + (एन-1) 2,हाँ, कोष्ठक खोलो और समान कोष्ठक लाओ? हमें एक नया सूत्र मिलता है:

ए एन = 3 + 2एन.

यह केवल सामान्य नहीं, बल्कि एक विशिष्ट प्रगति के लिए। यहीं पर ख़तरा छिपा है। कुछ लोग सोचते हैं कि पहला पद तीन है। हालाँकि वास्तव में पहला पद पाँच है... थोड़ा नीचे हम ऐसे संशोधित सूत्र के साथ काम करेंगे।

प्रगति समस्याओं में एक और संकेतन है - एक एन+1. जैसा कि आपने अनुमान लगाया, यह प्रगति का "एन प्लस प्रथम" पद है। इसका अर्थ सरल और हानिरहित है।) यह प्रगति का एक सदस्य है जिसकी संख्या संख्या n से एक अधिक है। उदाहरण के लिए, यदि हम किसी समस्या में लेते हैं एकफिर पाँचवाँ कार्यकाल एक एन+1छठे सदस्य होंगे. वगैरह।

बहुधा पदनाम एक एन+1पुनरावृत्ति सूत्रों में पाया गया. इस डरावने शब्द से डरो मत!) यह अंकगणितीय प्रगति के सदस्य को व्यक्त करने का एक तरीका है पिछले वाले के माध्यम से.मान लीजिए कि हमें आवर्ती सूत्र का उपयोग करके इस रूप में एक अंकगणितीय प्रगति दी गई है:

ए एन+1 = ए एन +3

ए 2 = ए 1 + 3 = 5+3 = 8

ए 3 = ए 2 + 3 = 8+3 = 11

चौथा - तीसरे के माध्यम से, पाँचवाँ - चौथे के माध्यम से, और इसी तरह। हम बीसवें पद को तुरंत कैसे गिन सकते हैं? एक 20? लेकिन कोई रास्ता नहीं है!) जब तक हमें 19वाँ ​​पद नहीं मिल जाता, हम 20वाँ पद नहीं गिन सकते। यह बात है मूलभूत अंतर nवें पद के सूत्र से आवर्ती सूत्र. आवर्ती के माध्यम से ही कार्य करता है पहले कापद, और nवें पद का सूत्र है पहलाऔर अनुमति देता है तुरंतकिसी भी सदस्य को उसके नंबर से खोजें। क्रम में संख्याओं की पूरी श्रृंखला की गणना किए बिना।

अंकगणितीय प्रगति में, आवर्ती सूत्र को नियमित सूत्र में बदलना आसान है। लगातार पदों की एक जोड़ी गिनें, अंतर की गणना करें डी,यदि आवश्यक हो, तो पहला पद खोजें एक 1, सूत्र को उसके सामान्य रूप में लिखें, और उसके साथ काम करें। राज्य विज्ञान अकादमी में अक्सर ऐसे कार्यों का सामना करना पड़ता है।

अंकगणितीय प्रगति के nवें पद के लिए सूत्र का अनुप्रयोग।

सबसे पहले, आइए सूत्र के प्रत्यक्ष अनुप्रयोग को देखें। पिछले पाठ के अंत में एक समस्या थी:

एक अंकगणितीय प्रगति (a n) दी गई है। यदि 1 =3 और d=1/6 है तो 121 ज्ञात कीजिए।

इस समस्या को बिना किसी सूत्र के, केवल अंकगणितीय प्रगति के अर्थ के आधार पर हल किया जा सकता है। जोड़ें और जोड़ें... एक या दो घंटे।)

और फॉर्मूले के मुताबिक समाधान में एक मिनट से भी कम समय लगेगा. आप इसे समयबद्ध कर सकते हैं।) आइए निर्णय लें।

शर्तें सूत्र का उपयोग करने के लिए सभी डेटा प्रदान करती हैं: ए 1 =3, डी=1/6.यह पता लगाना बाकी है कि बराबर क्या है एन।कोई बात नहीं! हमें खोजने की जरूरत है एक 121. तो हम लिखते हैं:

कृपया ध्यान दीजिए! एक सूचकांक के बजाय एनएक विशिष्ट संख्या दिखाई दी: 121. जो काफी तार्किक है।) हम अंकगणितीय प्रगति के सदस्य में रुचि रखते हैं एक सौ इक्कीस नंबर.ये हमारा होगा एन।यही मतलब है एन= 121 हम आगे सूत्र में कोष्ठक में स्थानापन्न करेंगे। हम सभी संख्याओं को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं और गणना करते हैं:

ए 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

इतना ही। उतनी ही तेजी से कोई पांच सौ दसवां पद, और हजार तीसरा, कोई भी पा सकता है। हम इसके बजाय डालते हैं एनअक्षर की अनुक्रमणिका में वांछित संख्या " ए"और कोष्ठक में, और हम गिनते हैं।

मैं आपको बात याद दिला दूं: यह सूत्र आपको खोजने की अनुमति देता है कोईअंकगणितीय प्रगति पद उसके नंबर से " एन" .

आइए समस्या को और अधिक चालाकी से हल करें। आइए निम्नलिखित समस्या से परिचित हों:

अंकगणितीय प्रगति (a n) का पहला पद ज्ञात कीजिए, यदि a 17 =-2; d=-0.5.

यदि आपको कोई कठिनाई हो तो मैं आपको पहला कदम बताऊंगा। एक अंकगणितीय प्रगति के nवें पद के लिए सूत्र लिखिए!हां हां। अपने हाथों से लिखें, सीधे अपनी नोटबुक में:

और अब, सूत्र के अक्षरों को देखकर, हम समझते हैं कि हमारे पास कौन सा डेटा है और क्या गायब है? उपलब्ध d=-0.5,सत्रहवाँ सदस्य है... क्या यही है? यदि आप सोचते हैं कि बस इतना ही, तो आप समस्या का समाधान नहीं कर पाएंगे, हाँ...

हमारे पास अभी भी एक नंबर है एन! इस शर्त ए 17 =-2छिपा हुआ दो पैरामीटर.यह सत्रहवें पद (-2) और उसकी संख्या (17) दोनों का मान है। वे। एन=17.यह "ट्रिफ़ल" अक्सर सिर के पीछे से निकल जाता है, और इसके बिना, ("ट्रिफ़ल" के बिना, सिर नहीं!) समस्या का समाधान नहीं किया जा सकता है। हालाँकि... और बिना सिर के भी।)

अब हम मूर्खतापूर्ण ढंग से अपने डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:

ए 17 = ए 1 + (17-1)·(-0.5)

ओह हां, एक 17हम जानते हैं कि यह -2 है। ठीक है, आइए प्रतिस्थापित करें:

-2 = ए 1 + (17-1)·(-0.5)

मूलतः बस इतना ही। यह सूत्र से अंकगणितीय प्रगति के पहले पद को व्यक्त करने और उसकी गणना करने के लिए बना हुआ है। उत्तर होगा: ए 1 = 6.

यह तकनीक - एक सूत्र लिखना और ज्ञात डेटा को बस प्रतिस्थापित करना - सरल कार्यों में एक बड़ी मदद है। बेशक, आपको एक सूत्र से एक चर को व्यक्त करने में सक्षम होना चाहिए, लेकिन क्या करें!? इस कौशल के बिना, गणित का अध्ययन बिल्कुल भी नहीं किया जा सकता है...

एक और लोकप्रिय पहेली:

अंकगणितीय प्रगति (a n) का अंतर ज्ञात करें, यदि a 1 =2; ए 15 =12.

हम क्या कर रहे हैं? आपको आश्चर्य होगा, हम सूत्र लिख रहे हैं!)

आइए विचार करें कि हम क्या जानते हैं: ए 1 =2; ए 15 =12; और (मैं विशेष रूप से प्रकाश डालूँगा!) एन=15. बेझिझक इसे सूत्र में प्रतिस्थापित करें:

12=2 + (15-1)डी

हम अंकगणित करते हैं।)

12=2 + 14 दिन

डी=10/14 = 5/7

यह सही जवाब है।

तो, के लिए कार्य ए एन, ए 1और डीफैसला किया। जो कुछ बचा है वह यह सीखना है कि संख्या कैसे ज्ञात करें:

संख्या 99 अंकगणितीय प्रगति (ए एन) का सदस्य है, जहां 1 =12; घ=3. इस सदस्य का नंबर ढूंढें.

हम ज्ञात मात्राओं को nवें पद के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

ए एन = 12 + (एन-1) 3

पहली नज़र में, यहाँ दो अज्ञात मात्राएँ हैं: ए एन और एन.लेकिन एक- यह एक संख्या के साथ प्रगति का कुछ सदस्य है एन...और हम प्रगति के इस सदस्य को जानते हैं! यह 99 है। हम इसकी संख्या नहीं जानते। एन,तो यह संख्या वह है जिसे आपको खोजने की आवश्यकता है। हम प्रगति 99 के पद को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

99 = 12 + (एन-1) 3

हम सूत्र से व्यक्त करते हैं एन, हमें लगता है कि। हमें उत्तर मिलता है: एन=30.

और अब उसी विषय पर एक समस्या, लेकिन अधिक रचनात्मक):

निर्धारित करें कि क्या संख्या 117 अंकगणितीय प्रगति (ए एन) का सदस्य है:

-3,6; -2,4; -1,2 ...

चलिए फिर से सूत्र लिखते हैं. क्या, कोई पैरामीटर नहीं हैं? हम्म... हमें आंखें क्यों दी गई हैं?) क्या हम प्रगति का पहला पद देखते हैं? हम देखते हैं। यह -3.6 है. आप सुरक्षित रूप से लिख सकते हैं: ए 1 = -3.6.अंतर डीक्या आप श्रृंखला से बता सकते हैं? यदि आप जानते हैं कि अंकगणितीय प्रगति का अंतर क्या है तो यह आसान है:

डी = -2.4 - (-3.6) = 1.2

तो, हमने सबसे सरल काम किया। अज्ञात नंबर से निपटना बाकी है एनऔर समझ से परे संख्या 117। पिछली समस्या में, कम से कम यह ज्ञात था कि यह प्रगति का पद था जो दिया गया था। लेकिन यहाँ तो हमें पता ही नहीं... क्या करें!? खैर, क्या करें, क्या करें... चालू करें रचनात्मक कौशल!)

हम कल्पना करनावह 117, आख़िरकार, हमारी प्रगति का एक सदस्य है। एक अज्ञात नंबर के साथ एन. और, पिछली समस्या की तरह, आइए इस संख्या को खोजने का प्रयास करें। वे। हम सूत्र लिखते हैं (हाँ, हाँ!)) और अपनी संख्याएँ प्रतिस्थापित करते हैं:

117 = -3.6 + (एन-1) 1.2

पुनः हम सूत्र से व्यक्त करते हैंएन, हम गिनते हैं और प्राप्त करते हैं:

उफ़! नंबर निकला आंशिक!एक सौ डेढ़. और भिन्नात्मक संख्याएँ प्रगति में हैं हो नहीं सकता।हम क्या निष्कर्ष निकाल सकते हैं? हाँ! संख्या 117 क्या नहीं हैहमारी प्रगति का सदस्य. यह एक सौ पहले और एक सौ दूसरे शब्दों के बीच कहीं है। यदि संख्या प्राकृतिक निकली, अर्थात्। एक धनात्मक पूर्णांक है, तो संख्या पाई गई संख्या के साथ प्रगति का सदस्य होगी। और हमारे मामले में, समस्या का उत्तर होगा: नहीं।

कार्य आधारित असली विकल्पजीआईए:

अंकगणितीय प्रगतिशर्त द्वारा दिया गया:

ए एन = -4 + 6.8एन

प्रगति के पहले और दसवें पद ज्ञात कीजिए।

यहां प्रगति को असामान्य तरीके से निर्धारित किया गया है। किसी प्रकार का सूत्र... ऐसा होता है।) हालाँकि, यह सूत्र (जैसा कि मैंने ऊपर लिखा है) - अंकगणितीय प्रगति के nवें पद का सूत्र भी!वह इजाजत भी देती है प्रगति के किसी भी सदस्य को उसकी संख्या से खोजें।

हम पहले सदस्य की तलाश कर रहे हैं. जो सोचता है. यह कि पहला पद शून्य से चार है, घातक रूप से गलत है!) क्योंकि समस्या में सूत्र संशोधित है। इसमें अंकगणितीय प्रगति का पहला पद छिपा हुआ।यह ठीक है, हम इसे अभी ढूंढ लेंगे।)

पिछली समस्याओं की तरह, हम स्थानापन्न करते हैं एन=1वी यह सूत्र:

ए 1 = -4 + 6.8 1 = 2.8

यहाँ! पहला पद 2.8 है, -4 नहीं!

हम दसवें पद को इसी प्रकार देखते हैं:

ए 10 = -4 + 6.8 10 = 64

इतना ही।

और अब, उन लोगों के लिए जिन्होंने इन पंक्तियों को पढ़ा है, वादा किया गया बोनस।)

मान लीजिए, राज्य परीक्षा या एकीकृत राज्य परीक्षा की कठिन स्थिति में, आप अंकगणितीय प्रगति के nवें पद के लिए उपयोगी सूत्र भूल गए हैं। मुझे कुछ याद है, लेकिन किसी तरह अनिश्चित रूप से... या एनवहाँ, या n+1, या एन-1...हो कैसे!?

शांत! यह सूत्र प्राप्त करना आसान है. बहुत सख्ती से नहीं, लेकिन आत्मविश्वास के लिए और सही निर्णयनिश्चित रूप से पर्याप्त!) निष्कर्ष निकालने के लिए, अंकगणितीय प्रगति के प्रारंभिक अर्थ को याद रखना और कुछ मिनटों का समय पर्याप्त है। आपको बस एक चित्र बनाना है. विस्तृत जानकारी के लिए।

एक संख्या रेखा खींचिए और उस पर पहली रेखा अंकित कीजिए। दूसरा, तीसरा, आदि सदस्य. और हम अंतर नोट करते हैं डीसदस्यों के बीच. इस कदर:

हम चित्र को देखते हैं और सोचते हैं: दूसरा पद किसके बराबर है? दूसरा एक डी:

ए 2 =ए 1 + 1 डी

तीसरा पद क्या है? तीसरापद प्रथम पद प्लस के बराबर है दो डी.

ए 3 =ए 1 + 2 डी

आपको समझ आया? यह अकारण नहीं है कि मैं कुछ शब्दों को मोटे अक्षरों में उजागर करता हूँ। ठीक है, एक और कदम)।

चौथा पद क्या है? चौथीपद प्रथम पद प्लस के बराबर है तीन डी.

ए 4 =ए 1 + 3 डी

यह समझने का समय आ गया है कि अंतरालों की संख्या, अर्थात्। डी, हमेशा आप जिस सदस्य की तलाश कर रहे हैं उसकी संख्या से एक कम एन. यानी संख्या को n, रिक्त स्थान की संख्याइच्छा एन-1.इसलिए, सूत्र होगा (बिना किसी बदलाव के!):

सामान्य तौर पर, दृश्य चित्र गणित की कई समस्याओं को हल करने में बहुत सहायक होते हैं। चित्रों की उपेक्षा न करें. लेकिन अगर चित्र बनाना मुश्किल है, तो... केवल एक सूत्र!) इसके अलावा, nवें पद का सूत्र आपको गणित के संपूर्ण शक्तिशाली शस्त्रागार को समाधान से जोड़ने की अनुमति देता है - समीकरण, असमानताएं, सिस्टम, आदि। आप समीकरण में कोई चित्र सम्मिलित नहीं कर सकते...

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य।

तैयारी करना # तैयार होना:

1. अंकगणितीय प्रगति में (ए एन) ए 2 =3; ए 5 =5.1. एक 3 खोजें.

संकेत: चित्र के अनुसार, समस्या को 20 सेकंड में हल किया जा सकता है... सूत्र के अनुसार, यह अधिक कठिन हो जाता है। लेकिन सूत्र में महारत हासिल करने के लिए यह अधिक उपयोगी है।) धारा 555 में, चित्र और सूत्र दोनों का उपयोग करके इस समस्या का समाधान किया जाता है। फर्क महसूस करो!)

और यह अब वार्म-अप नहीं है।)

2. अंकगणितीय प्रगति में (ए एन) ए 85 =19.1; a 236 =49, 3. a 3 खोजें।

क्या, आप चित्र नहीं बनाना चाहते?) बिल्कुल! सूत्र के अनुसार बेहतर, हाँ...

3. अंकगणितीय प्रगति शर्त द्वारा दी गई है:ए 1 = -5.5; ए एन+1 = ए एन +0.5. इस प्रगति का एक सौ पच्चीसवाँ पद ज्ञात कीजिए।

इस कार्य में, प्रगति को आवर्ती तरीके से निर्दिष्ट किया जाता है। लेकिन एक सौ पच्चीसवें पद तक गिनती... हर कोई ऐसा कारनामा नहीं कर सकता।) लेकिन nवें पद का सूत्र हर किसी के वश में है!

4. एक अंकगणितीय प्रगति (a n) दी गई है:

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

प्रगति के सबसे छोटे सकारात्मक पद की संख्या ज्ञात कीजिए।

5. कार्य 4 की शर्तों के अनुसार, प्रगति के सबसे छोटे सकारात्मक और सबसे बड़े नकारात्मक शब्दों का योग ज्ञात कीजिए।

6. बढ़ती अंकगणितीय प्रगति के पांचवें और बारहवें पदों का गुणनफल -2.5 के बराबर है, और तीसरे और ग्यारहवें पदों का योग शून्य के बराबर है। एक 14 खोजें.

सबसे आसान काम नहीं, हां...) "उंगलियों की नोक" विधि यहां काम नहीं करेगी। आपको सूत्र लिखने होंगे और समीकरण हल करने होंगे।

उत्तर (अव्यवस्था में):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

घटित? यह अच्छा है!)

सब कुछ काम नहीं करता? ह ाेती है। वैसे आखिरी टास्क में एक सूक्ष्म बात है. समस्या पढ़ते समय सावधानी की आवश्यकता होगी। और तर्क.

इन सभी समस्याओं के समाधान पर धारा 555 में विस्तार से चर्चा की गई है। और चौथे के लिए कल्पना का तत्व, और छठे के लिए सूक्ष्म बिंदु, और एनवें पद के सूत्र से जुड़ी किसी भी समस्या को हल करने के लिए सामान्य दृष्टिकोण - सब कुछ वर्णित है। मेरा सुझाव है।

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आप फ़ंक्शंस और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।

हमारे पाठ का आदर्श वाक्य रूसी गणितज्ञ वी.पी. के शब्द होंगे। एर्मकोवा: "गणित में, किसी को सूत्र नहीं, बल्कि सोचने की प्रक्रिया याद रखनी चाहिए।"

कक्षाओं के दौरान

समस्या का निरूपण

बोर्ड पर गॉस का चित्र है। एक शिक्षक या छात्र, जिसे पहले से संदेश तैयार करने का काम दिया गया था, का कहना है कि जब गॉस स्कूल में था, तो शिक्षक ने छात्रों से सभी को जोड़ने के लिए कहा। पूर्णांकों 1 से 100 तक। लिटिल गॉस ने इस समस्या को एक मिनट में हल कर दिया।

सवाल . गॉस को उत्तर कैसे मिला?

समाधान ढूँढना

छात्र अपनी धारणाएँ व्यक्त करते हैं, फिर सारांशित करते हैं: यह महसूस करते हुए कि योग 1 + 100, 2 + 99, आदि हैं। बराबर हैं, गॉस ने 101 को 50 से गुणा किया, अर्थात ऐसे योगों की संख्या से। दूसरे शब्दों में, उन्होंने एक पैटर्न देखा जो अंकगणितीय प्रगति में निहित है।

योग सूत्र की व्युत्पत्ति एनअंकगणितीय प्रगति के प्रथम पद

पाठ के विषय को बोर्ड और अपनी नोटबुक में लिखें। छात्र शिक्षक के साथ मिलकर सूत्र का निष्कर्ष लिखते हैं:

होने देना ए 1 ; ए 2 ; ए 3 ; ए 4 ; ...; एक – 2 ; एक – 1 ; एक- अंकगणितीय प्रगति।

प्राथमिक समेकन

1. सूत्र (1) का उपयोग करके, हम गॉस समस्या का समाधान करते हैं:

2. सूत्र (1) का उपयोग करके समस्याओं को मौखिक रूप से हल करें (उनकी शर्तें बोर्ड या सकारात्मक कोड पर लिखी गई हैं), ( एक) - अंकगणितीय प्रगति:

ए) ए 1 = 2, ए 10 = 20. एस 10 - ?

बी) ए 1 = –5, ए 7 = 1. एस 7 - ? [–14]

वी) ए 1 = –2, ए 6 = –17. एस 6 - ? [–57]

जी) ए 1 = –5, ए 11 = 5. एस 11 - ?

3. कार्य पूरा करें.

दिया गया: ( एक) - अंकगणितीय प्रगति;

ए 1 = 3, ए 60 = 57.

खोजो: एस 60 .

समाधान. आइए योग सूत्र का उपयोग करें एनअंकगणितीय प्रगति के प्रथम पद

उत्तर: 1800.

अतिरिक्त प्रश्न.इस सूत्र का उपयोग करके कितनी प्रकार की विभिन्न समस्याओं का समाधान किया जा सकता है?

उत्तर. चार प्रकार के कार्य:

राशि ज्ञात कीजिये एस एन;

अंकगणितीय प्रगति का पहला पद ज्ञात कीजिए ए 1 ;

खोजो एनअंकगणितीय प्रगति का वां पद एक;

एक अंकगणितीय प्रगति के पदों की संख्या ज्ञात कीजिए।

4. पूर्ण कार्य: क्रमांक 369(बी)।

अंकगणितीय प्रगति के पहले साठ पदों का योग ज्ञात कीजिए ( एक), अगर ए 1 = –10,5, ए 60 = 51,5.

समाधान.

उत्तर: 1230.

अतिरिक्त प्रश्न. सूत्र लिखिए एनअंकगणितीय प्रगति का वां पद।

उत्तर: एक = ए 1 + डी(एन – 1).

5. अंकगणितीय प्रगति के पहले नौ पदों के लिए सूत्र की गणना करें ( बी एन),
अगर बी 1 = –17, डी = 6.

क्या किसी सूत्र का उपयोग करके तुरंत गणना करना संभव है?

नहीं, क्योंकि नौवां पद अज्ञात है।

इसे कैसे खोजें?

सूत्र के अनुसार एनअंकगणितीय प्रगति का वां पद।

समाधान. बी 9 = बी 1 + 8डी = –17 + 8∙6 = 31;

उत्तर: 63.

सवाल. क्या प्रगति के नौवें पद की गणना किए बिना योग ज्ञात करना संभव है?

समस्या का निरूपण

समस्या: योग सूत्र प्राप्त करना एनएक अंकगणितीय प्रगति के पहले पद, उसके पहले पद और अंतर को जानना डी.

(एक विद्यार्थी द्वारा बोर्ड पर एक सूत्र निकालना।)

आइए नए सूत्र (2) का उपयोग करके संख्या 371(ए) को हल करें:

आइए हम मौखिक रूप से सूत्र स्थापित करें (2) ( कार्यों की शर्तें बोर्ड पर लिखी होती हैं).

(एक

1. ए 1 = 3, डी = 4. एस 4 - ?

2. ए 1 = 2, डी = –5. एस 3 - ? [–9]

विद्यार्थियों से पता करें कि कौन से प्रश्न अस्पष्ट हैं।

स्वतंत्र काम

विकल्प 1

1. ए 1 = –3, ए 6 = 21. एस 6 - ?

2. ए 1 = 6, डी = –3. एस 4 - ?

विकल्प 2

दिया गया: (एक) - अंकगणितीय प्रगति।

1.ए 1 = 2, ए 8 = –23. एस 8 - ? [–84]

2.ए 1 = –7, डी = 4. एस 5 - ?

छात्र नोटबुक का आदान-प्रदान करते हैं और एक-दूसरे के समाधानों की जांच करते हैं।

स्वतंत्र कार्य के परिणामों के आधार पर सामग्री की सीख का सारांश प्रस्तुत करें।

उदाहरण के लिए, अनुक्रम \(2\); \(5\); \(8\); \(ग्यारह\); \(14\)... एक अंकगणितीय प्रगति है, क्योंकि प्रत्येक अगला तत्व पिछले एक से तीन से भिन्न होता है (तीन जोड़कर पिछले एक से प्राप्त किया जा सकता है):

इस प्रगति में, अंतर \(d\) सकारात्मक है (\(3\) के बराबर), और इसलिए प्रत्येक अगला पद पिछले से बड़ा है। ऐसी प्रगति कहलाती है की बढ़ती.

हालाँकि, \(d\) भी हो सकता है ऋणात्मक संख्या. उदाहरण के लिए, अंकगणितीय प्रगति में \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... प्रगति अंतर \(d\) शून्य से छह के बराबर है।

और इस मामले में, प्रत्येक अगला तत्व पिछले वाले से छोटा होगा। इन प्रगतियों को कहा जाता है घटते.

अंकगणितीय प्रगति संकेतन

प्रगति को एक छोटे लैटिन अक्षर द्वारा दर्शाया गया है।

वे संख्याएँ जो एक क्रम बनाती हैं, कहलाती हैं सदस्यों(या तत्व)।

उन्हें अंकगणितीय प्रगति के समान अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है, लेकिन क्रम में तत्व की संख्या के बराबर संख्यात्मक सूचकांक के साथ।

उदाहरण के लिए, अंकगणितीय प्रगति \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) में तत्व \(a_1=2\) शामिल हैं; \(a_2=5\); \(a_3=8\) इत्यादि।

दूसरे शब्दों में, प्रगति के लिए \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14...\right\)\)

अंकगणितीय प्रगति समस्याओं को हल करना

सिद्धांत रूप में, ऊपर प्रस्तुत जानकारी लगभग किसी भी अंकगणितीय प्रगति समस्या (ओजीई में पेश की गई समस्याओं सहित) को हल करने के लिए पहले से ही पर्याप्त है।

उदाहरण (ओजीई)। अंकगणितीय प्रगति शर्तों \(b_1=7; d=4\) द्वारा निर्दिष्ट की जाती है। \(b_5\) खोजें।
समाधान:

उत्तर: \(b_5=23\)

उदाहरण (ओजीई)। एक अंकगणितीय प्रगति के पहले तीन पद दिए गए हैं: \(62; 49; 36…\) इस प्रगति के पहले नकारात्मक पद का मान ज्ञात कीजिए।
समाधान:

उत्तर: \(-3\)

उदाहरण (ओजीई)। अंकगणितीय प्रगति के कई लगातार तत्वों को देखते हुए: \(...5; x; 10; 12.5...\) अक्षर \(x\) द्वारा निर्दिष्ट तत्व का मान ज्ञात करें।
समाधान:

उत्तर: \(7,5\).

उदाहरण (ओजीई)। अंकगणितीय प्रगति दी गई है निम्नलिखित शर्तें: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) इस प्रगति के पहले छह पदों का योग ज्ञात कीजिए।
समाधान:

उत्तर: \(S_6=9\).

उदाहरण (ओजीई)। अंकगणितीय प्रगति में \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). इस प्रगति का अंतर ज्ञात कीजिए।
समाधान:

उत्तर: \(d=7\).

अंकगणितीय प्रगति के लिए महत्वपूर्ण सूत्र

जैसा कि आप देख सकते हैं, अंकगणितीय प्रगति पर कई समस्याओं को केवल मुख्य बात को समझकर हल किया जा सकता है - कि अंकगणितीय प्रगति संख्याओं की एक श्रृंखला है, और इस श्रृंखला में प्रत्येक बाद का तत्व पिछले एक में समान संख्या जोड़कर प्राप्त किया जाता है ( प्रगति का अंतर)।

हालाँकि, कभी-कभी ऐसी परिस्थितियाँ होती हैं जब "सिर-पर-पर" निर्णय लेना बहुत असुविधाजनक होता है। उदाहरण के लिए, कल्पना करें कि पहले उदाहरण में हमें पाँचवाँ तत्व \(b_5\) नहीं, बल्कि तीन सौ छियासीवाँ तत्व \(b_(386)\) ढूँढ़ना है। क्या हमें चार \(385\) बार जोड़ना चाहिए? या कल्पना करें कि अंतिम उदाहरण में आपको पहले तिहत्तर तत्वों का योग ज्ञात करना होगा। आप गिनते-गिनते थक जायेंगे...

इसलिए, ऐसे मामलों में वे चीजों को "सिर-पर-पर" हल नहीं करते हैं, बल्कि अंकगणितीय प्रगति के लिए प्राप्त विशेष सूत्रों का उपयोग करते हैं। और मुख्य हैं प्रगति के nवें पद का सूत्र और \(n\) प्रथम पदों के योग का सूत्र।

\(n\)वें पद का सूत्र: \(a_n=a_1+(n-1)d\), जहां \(a_1\) प्रगति का पहला पद है;
\(n\) - आवश्यक तत्व की संख्या;
\(a_n\) - संख्या \(n\) के साथ प्रगति का पद।

यह सूत्र हमें केवल पहले और प्रगति के अंतर को जानकर, तीन सौवें या दसवें तत्व को भी तुरंत ढूंढने की अनुमति देता है।

उदाहरण। अंकगणितीय प्रगति शर्तों द्वारा निर्दिष्ट है: \(b_1=-159\); \(d=8.2\). \(b_(246)\) खोजें।
समाधान:

उत्तर: \(b_(246)=1850\).

पहले n पदों के योग के लिए सूत्र: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), जहां

\(a_n\) - अंतिम सारांशित पद;

उदाहरण (ओजीई)। अंकगणितीय प्रगति शर्तों \(a_n=3.4n-0.6\) द्वारा निर्दिष्ट की जाती है। इस प्रगति के पहले \(25\) पदों का योग ज्ञात कीजिए।
समाधान:

उत्तर: \(S_(25)=1090\).

पहले पदों के योग \(n\) के लिए, आप एक और सूत्र प्राप्त कर सकते हैं: आपको बस \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ की आवश्यकता है (\cdot 25\ ) \(a_n\) के बजाय इसके लिए सूत्र को प्रतिस्थापित करें \(a_n=a_1+(n-1)d\). हम पाते हैं:

पहले n पदों के योग के लिए सूत्र: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), जहां

\(S_n\) - \(n\) पहले तत्वों का आवश्यक योग;
\(a_1\) - पहला सारांशित पद;
\(d\) - प्रगति अंतर;
\(n\) - योग में तत्वों की संख्या।

उदाहरण। अंकगणितीय प्रगति के पहले \(33\)-पूर्व पदों का योग ज्ञात करें: \(17\); \(15.5\); \(14\)...
समाधान:

उत्तर: \(S_(33)=-231\).

अधिक जटिल अंकगणितीय प्रगति समस्याएं

अब आपके पास सब कुछ है आवश्यक जानकारीलगभग किसी भी अंकगणितीय प्रगति समस्या को हल करने के लिए। आइए उन समस्याओं पर विचार करके विषय को समाप्त करें जिनमें आपको न केवल सूत्र लागू करने की आवश्यकता है, बल्कि थोड़ा सोचने की भी आवश्यकता है (गणित में यह उपयोगी हो सकता है ☺)

उदाहरण (ओजीई)। प्रगति के सभी नकारात्मक पदों का योग ज्ञात करें: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
समाधान:

उत्तर: \(S_(65)=-630.5\).

उदाहरण (ओजीई)। अंकगणितीय प्रगति शर्तों द्वारा निर्दिष्ट है: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). \(26\)वें से \(42\) तत्व तक का योग ज्ञात कीजिए।
समाधान:

उत्तर: \(एस=1683\).

अंकगणितीय प्रगति के लिए, कई और सूत्र हैं जिन पर हमने उनकी कम व्यावहारिक उपयोगिता के कारण इस लेख में विचार नहीं किया है। हालाँकि, आप उन्हें आसानी से पा सकते हैं।

बीजगणित का अध्ययन करते समय माध्यमिक विद्यालय(9वीं कक्षा) में से एक महत्वपूर्ण विषयसंख्या अनुक्रमों का अध्ययन है, जिसमें प्रगति - ज्यामितीय और अंकगणित शामिल हैं। इस लेख में हम अंकगणितीय प्रगति और समाधान के साथ उदाहरण देखेंगे।

अंकगणितीय प्रगति क्या है?

इसे समझने के लिए, प्रश्न में प्रगति को परिभाषित करना आवश्यक है, साथ ही बुनियादी सूत्र भी प्रदान करना आवश्यक है जिनका उपयोग बाद में समस्याओं को हल करने में किया जाएगा।

अंकगणित या क्रमबद्ध तर्कसंगत संख्याओं का एक सेट है, जिसका प्रत्येक सदस्य पिछले एक से कुछ स्थिर मान से भिन्न होता है। इस मान को अंतर कहा जाता है. अर्थात्, संख्याओं की क्रमबद्ध श्रृंखला के किसी भी सदस्य और अंतर को जानकर, आप संपूर्ण अंकगणितीय प्रगति को पुनर्स्थापित कर सकते हैं।

चलिए एक उदाहरण देते हैं. संख्याओं का निम्नलिखित क्रम एक अंकगणितीय प्रगति होगी: 4, 8, 12, 16, ..., क्योंकि इस मामले में अंतर 4 है (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12)। लेकिन संख्या 3, 5, 8, 12, 17 के समुच्चय को अब विचाराधीन प्रगति के प्रकार के लिए जिम्मेदार नहीं ठहराया जा सकता है, क्योंकि इसके लिए अंतर एक स्थिर मान नहीं है (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

महत्वपूर्ण सूत्र

आइए अब उन बुनियादी सूत्रों को प्रस्तुत करें जिनकी अंकगणितीय प्रगति का उपयोग करके समस्याओं को हल करने के लिए आवश्यकता होगी। आइए हम अनुक्रम के nवें सदस्य को प्रतीक a n से निरूपित करें, जहाँ n एक पूर्णांक है। हम अंतर दर्शाते हैं लैटिन अक्षरडी। तब निम्नलिखित अभिव्यक्तियाँ मान्य हैं:

1. nवें पद का मान निर्धारित करने के लिए, निम्नलिखित सूत्र उपयुक्त है: a n = (n-1)*d+a 1।
2. प्रथम n पदों का योग ज्ञात करने के लिए: S n = (a n +a 1)*n/2.

9वीं कक्षा में समाधान के साथ अंकगणितीय प्रगति के किसी भी उदाहरण को समझने के लिए, इन दो सूत्रों को याद रखना पर्याप्त है, क्योंकि विचाराधीन प्रकार की कोई भी समस्या उनके उपयोग पर आधारित है। आपको यह भी याद रखना चाहिए कि प्रगति अंतर सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है: d = a n - a n-1।

उदाहरण #1: एक अज्ञात शब्द ढूँढना

आइए अंकगणितीय प्रगति का एक सरल उदाहरण और इसे हल करने के लिए उपयोग किए जाने वाले सूत्रों का उदाहरण दें।

मान लीजिए कि अनुक्रम 10, 8, 6, 4, ... दिया गया है, आपको इसमें पाँच पद खोजने होंगे।

समस्या की स्थितियों से यह पहले से ही पता चलता है कि पहले 4 पद ज्ञात हैं। पाँचवें को दो प्रकार से परिभाषित किया जा सकता है:

1. आइए पहले अंतर की गणना करें। हमारे पास है: d = 8 - 10 = -2. इसी प्रकार, कोई भी दो अन्य पद ले सकता है, पास खड़ा हैएक साथ। उदाहरण के लिए, d = 4 - 6 = -2. चूँकि यह ज्ञात है कि d = a n - a n-1, तो d = a 5 - a 4, जिससे हमें प्राप्त होता है: a 5 = a 4 + d। आइए स्थानापन्न करें ज्ञात मूल्य: ए 5 = 4 + (-2) = 2.
2. दूसरी विधि के लिए भी प्रश्न में प्रगति के अंतर के ज्ञान की आवश्यकता होती है, इसलिए आपको पहले इसे ऊपर दिखाए अनुसार निर्धारित करने की आवश्यकता है (डी = -2)। यह जानते हुए कि पहला पद a 1 = 10 है, हम अनुक्रम की n संख्या के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं। हमारे पास है: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n। अंतिम व्यंजक में n = 5 प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: a 5 = 12-2 * 5 = 2।

जैसा कि आप देख सकते हैं, दोनों समाधानों का परिणाम एक ही था। ध्यान दें कि इस उदाहरण में प्रगति अंतर d एक ऋणात्मक मान है। ऐसे अनुक्रमों को घटते क्रम कहा जाता है, क्योंकि प्रत्येक अगला पद पिछले से छोटा होता है।

उदाहरण #2: प्रगति अंतर

आइए अब समस्या को थोड़ा जटिल करें, अंकगणितीय प्रगति का अंतर कैसे ज्ञात करें इसका एक उदाहरण दें।

यह ज्ञात है कि कुछ बीजीय अनुक्रम में पहला पद 6 के बराबर होता है, और 7वाँ पद 18 के बराबर होता है। अंतर ज्ञात करना और इस क्रम को 7वें पद पर पुनर्स्थापित करना आवश्यक है।

आइए अज्ञात पद निर्धारित करने के लिए सूत्र का उपयोग करें: a n = (n - 1) * d + a 1। आइए इसमें स्थिति से ज्ञात डेटा को प्रतिस्थापित करें, यानी संख्याएं 1 और 7, हमारे पास है: 18 = 6 + 6 * डी। इस अभिव्यक्ति से आप आसानी से अंतर की गणना कर सकते हैं: d = (18 - 6) /6 = 2। इस प्रकार, हमने समस्या के पहले भाग का उत्तर दे दिया है।

अनुक्रम को 7वें पद पर पुनर्स्थापित करने के लिए, आपको परिभाषा का उपयोग करना चाहिए बीजगणितीय प्रगति, अर्थात, a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d इत्यादि। परिणामस्वरूप, हम पूरे अनुक्रम को पुनर्स्थापित करते हैं: ए 1 = 6, ए 2 = 6 + 2 = 8, ए 3 = 8 + 2 = 10, ए 4 = 10 + 2 = 12, ए 5 = 12 + 2 = 14 , ए 6 = 14 + 2 = 16, ए 7 = 18।

उदाहरण संख्या 3: एक प्रगति तैयार करना

चलिए समस्या को और भी जटिल बनाते हैं। अब हमें इस प्रश्न का उत्तर देने की आवश्यकता है कि अंकगणितीय प्रगति कैसे ज्ञात करें। निम्नलिखित उदाहरण दिया जा सकता है: दो संख्याएँ दी गई हैं, उदाहरण के लिए - 4 और 5। एक बीजगणितीय प्रगति बनाना आवश्यक है ताकि इनके बीच तीन और पद रखे जा सकें।

इससे पहले कि आप इस समस्या को हल करना शुरू करें, आपको यह समझने की आवश्यकता है कि दी गई संख्याएँ भविष्य की प्रगति में किस स्थान पर कब्जा करेंगी। चूँकि उनके बीच तीन और पद होंगे, तो a 1 = -4 और a 5 = 5। इसे स्थापित करने के बाद, हम समस्या की ओर बढ़ते हैं, जो पिछले वाले के समान है। पुनः, nवें पद के लिए हम सूत्र का उपयोग करते हैं, हमें मिलता है: a 5 = a 1 + 4 * d। से: डी = (ए 5 - ए 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2.25। यहां हमें जो मिला वह अंतर का पूर्णांक मान नहीं है, बल्कि यह एक तर्कसंगत संख्या है, इसलिए बीजगणितीय प्रगति के सूत्र वही रहते हैं।

आइए अब पाए गए अंतर को 1 में जोड़ें और प्रगति के लुप्त पदों को पुनर्स्थापित करें। हमें मिलता है: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, a 5 = 2.75 + 2.25 = 5, जो संपाती है समस्या की शर्तों के साथ.

उदाहरण संख्या 4: प्रगति का पहला पद

आइए समाधानों के साथ अंकगणितीय प्रगति के उदाहरण देना जारी रखें। पिछली सभी समस्याओं में, बीजगणितीय प्रगति की पहली संख्या ज्ञात थी। आइए अब एक भिन्न प्रकार की समस्या पर विचार करें: मान लीजिए कि दो संख्याएँ दी गई हैं, जहाँ a 15 = 50 और a 43 = 37 है। यह पता लगाना आवश्यक है कि यह क्रम किस संख्या से शुरू होता है।

अब तक उपयोग किए गए सूत्र ए 1 और डी का ज्ञान मानते हैं। समस्या कथन में इन नंबरों के बारे में कुछ भी ज्ञात नहीं है। फिर भी, हम प्रत्येक पद के लिए व्यंजक लिखेंगे जिसके बारे में जानकारी उपलब्ध है: a 15 = a 1 + 14 * d और a 43 = a 1 + 42 * d। हमें दो समीकरण प्राप्त हुए जिनमें 2 अज्ञात मात्राएँ (a 1 और d) हैं। इसका मतलब यह है कि समस्या को रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने तक सीमित कर दिया गया है।

इस प्रणाली को हल करने का सबसे आसान तरीका प्रत्येक समीकरण में 1 व्यक्त करना और फिर परिणामी अभिव्यक्तियों की तुलना करना है। पहला समीकरण: ए 1 = ए 15 - 14 * डी = 50 - 14 * डी; दूसरा समीकरण: ए 1 = ए 43 - 42 * डी = 37 - 42 * डी। इन भावों को समान करने पर, हमें मिलता है: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, जहाँ से अंतर d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0.464 (केवल 3 दशमलव स्थान दिए गए हैं)।

d को जानने के बाद, आप 1 के लिए उपरोक्त 2 अभिव्यक्तियों में से किसी एक का उपयोग कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, पहला: ए 1 = 50 - 14 * डी = 50 - 14 * (- 0.464) = 56.496।

यदि आपको प्राप्त परिणाम के बारे में संदेह है, तो आप इसकी जांच कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, प्रगति का 43वां पद निर्धारित कर सकते हैं, जो शर्त में निर्दिष्ट है। हमें मिलता है: ए 43 = ए 1 + 42 * डी = 56.496 + 42 * (- 0.464) = 37.008। छोटी सी त्रुटि इस तथ्य के कारण है कि गणना में हजारवें तक पूर्णांकन का उपयोग किया गया था।

उदाहरण संख्या 5: राशि

आइए अब अंकगणितीय प्रगति के योग के समाधान के साथ कई उदाहरण देखें।

मान लीजिए कि निम्नलिखित रूप की एक संख्यात्मक प्रगति दी गई है: 1, 2, 3, 4, ...,। इनमें से 100 संख्याओं का योग कैसे निकालें?

कंप्यूटर प्रौद्योगिकी के विकास के लिए धन्यवाद, इस समस्या को हल करना संभव है, अर्थात, सभी संख्याओं को क्रमिक रूप से जोड़ना, जो कि कंप्यूटर तब करेगा जब कोई व्यक्ति एंटर कुंजी दबाएगा। हालाँकि, समस्या को मानसिक रूप से हल किया जा सकता है यदि आप ध्यान दें कि संख्याओं की प्रस्तुत श्रृंखला एक बीजगणितीय प्रगति है, और इसका अंतर 1 के बराबर है। योग के लिए सूत्र लागू करने पर, हमें मिलता है: एस एन = एन * (ए 1 + ए एन) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050।

यह ध्यान रखना दिलचस्प है कि इस समस्या को "गाऊसियन" कहा जाता है क्योंकि 18वीं शताब्दी की शुरुआत में प्रसिद्ध जर्मन, जो अभी भी केवल 10 वर्ष का था, इसे अपने दिमाग में कुछ ही सेकंड में हल करने में सक्षम था। लड़के को बीजगणितीय प्रगति के योग का सूत्र नहीं पता था, लेकिन उसने देखा कि यदि आप अनुक्रम के अंत में संख्याओं को जोड़े में जोड़ते हैं, तो आपको हमेशा एक ही परिणाम मिलता है, यानी 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., और चूँकि ये योग बिल्कुल 50 (100/2) होंगे, तो सही उत्तर पाने के लिए 50 को 101 से गुणा करना पर्याप्त है।

उदाहरण संख्या 6: n से m तक पदों का योग

और एक विशिष्ट उदाहरणएक अंकगणितीय प्रगति का योग इस प्रकार है: संख्याओं की एक श्रृंखला दी गई है: 3, 7, 11, 15, ..., आपको यह पता लगाना होगा कि 8 से 14 तक इसके पदों का योग किसके बराबर होगा।

समस्या का समाधान दो प्रकार से किया जाता है। उनमें से पहले में 8 से 14 तक अज्ञात पदों को ढूंढना और फिर उन्हें क्रमिक रूप से जोड़ना शामिल है। चूँकि इसमें कुछ शर्तें हैं, इसलिए यह विधि काफी श्रम-गहन नहीं है। फिर भी, इस समस्या को दूसरी विधि का उपयोग करके हल करने का प्रस्ताव है, जो अधिक सार्वभौमिक है।

विचार यह है कि पदों m और n के बीच बीजगणितीय प्रगति के योग के लिए एक सूत्र प्राप्त किया जाए, जहाँ n > m पूर्णांक हैं। दोनों मामलों के लिए, हम योग के लिए दो अभिव्यक्तियाँ लिखते हैं:

1. एस एम = एम * (ए एम + ए 1)/2.
2. एस एन = एन * (ए एन + ए 1) / 2।

चूँकि n > m, यह स्पष्ट है कि दूसरे योग में पहला भी शामिल है। अंतिम निष्कर्ष का अर्थ है कि यदि हम इन योगों के बीच का अंतर लेते हैं और इसमें a m शब्द जोड़ते हैं (अंतर लेने के मामले में, इसे योग S n से घटा दिया जाता है), तो हम समस्या का आवश्यक उत्तर प्राप्त करेंगे। हमारे पास है: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * एन/2 + ए एम * (1- एम/2)। इस अभिव्यक्ति में a n और a m के लिए सूत्रों को प्रतिस्थापित करना आवश्यक है। तब हमें मिलता है: एस एमएन = ए 1 * (एन - एम) / 2 + एन * (ए 1 + (एन - 1) * डी) / 2 + (ए 1 + (एम - 1) * डी) * (1 - एम / 2) = ए 1 * (एन - एम + 1) + डी * एन * (एन - 1) / 2 + डी *(3 * एम - एम 2 - 2) / 2।

परिणामी सूत्र कुछ हद तक बोझिल है, हालाँकि, योग S mn केवल n, m, a 1 और d पर निर्भर करता है। हमारे मामले में, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8। इन संख्याओं को प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है: S mn = 301।

जैसा कि उपरोक्त समाधानों से देखा जा सकता है, सभी समस्याएं nवें पद के व्यंजक और पहले पदों के समुच्चय के योग के सूत्र के ज्ञान पर आधारित हैं। इनमें से किसी भी समस्या का समाधान शुरू करने से पहले, यह अनुशंसा की जाती है कि आप स्थिति को ध्यान से पढ़ें, स्पष्ट रूप से समझें कि आपको क्या खोजने की आवश्यकता है, और उसके बाद ही समाधान के साथ आगे बढ़ें।

एक और युक्ति सरलता के लिए प्रयास करना है, अर्थात, यदि आप जटिल गणितीय गणनाओं का उपयोग किए बिना किसी प्रश्न का उत्तर दे सकते हैं, तो आपको बस यही करने की आवश्यकता है, क्योंकि इस मामले में गलती होने की संभावना कम है। उदाहरण के लिए, समाधान संख्या 6 के साथ अंकगणितीय प्रगति के उदाहरण में, कोई सूत्र S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, और सूत्र पर रुक सकता है। तोड़ना सामान्य कार्यअलग-अलग उपकार्यों में (इस मामले में, पहले शब्द a n और a m खोजें)।

यदि आपको प्राप्त परिणाम के बारे में संदेह है, तो इसे जांचने की अनुशंसा की जाती है, जैसा कि दिए गए कुछ उदाहरणों में किया गया था। हमें पता चला कि अंकगणितीय प्रगति कैसे ज्ञात की जाती है। यदि आप इसे समझ लें तो यह उतना कठिन नहीं है।