Rješenje najjednostavnijih diferencijalnih jednadžbi prvog reda. Kako riješiti diferencijalne jednadžbe

Obična diferencijalna jednadžba zove se jednadžba koja povezuje nezavisnu varijablu, nepoznatu funkciju te varijable i njezine derivacije (ili diferencijale) različitih redova.

Red diferencijalne jednadžbe je red najveće derivacije sadržane u njemu.

Osim običnih, proučavaju se i parcijalne diferencijalne jednadžbe. To su jednadžbe koje povezuju nezavisne varijable, nepoznatu funkciju tih varijabli i njezine parcijalne derivacije u odnosu na iste varijable. Ali samo ćemo razmotriti obične diferencijalne jednadžbe i stoga ćemo zbog kratkoće izostaviti riječ "običan".

Primjeri diferencijalne jednadžbe:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Jednadžba (1) je četvrtog reda, jednadžba (2) je trećeg reda, jednadžbe (3) i (4) su drugog reda, jednadžba (5) je prvog reda.

Diferencijalna jednadžba n poredak ne mora eksplicitno sadržavati funkciju, sve njezine izvedenice od prve do n reda i nezavisna varijabla. Ne smije eksplicitno sadržavati derivate nekih redova, funkciju, nezavisnu varijablu.

Na primjer, u jednadžbi (1) očito nema izvodnica trećeg i drugog reda, kao ni funkcija; u jednadžbi (2) - izvod i funkcija drugog reda; u jednadžbi (4) - nezavisna varijabla; u jednadžbi (5) – funkcije. Samo jednadžba (3) eksplicitno sadrži sve izvodnice, funkciju i nezavisnu varijablu.

Rješavanjem diferencijalne jednadžbe poziva se bilo koja funkcija y = f(x), zamijenivši to u jednadžbu, pretvara se u identitet.

Postupak pronalaženja rješenja diferencijalne jednadžbe naziva se njezin integracija.

Primjer 1 Pronađite rješenje diferencijalne jednadžbe.

Odluka. Zapisujemo ovu jednadžbu u obliku . Rješenje je pronaći funkciju po njezinoj derivaciji. Izvorna funkcija, kao što je poznato iz integralnog računa, je antiderivacija za, tj.

To je ono što je rješenje zadane diferencijalne jednadžbe . mijenjajući se u njemu C, dobit ćemo različita rješenja. Otkrili smo da postoji beskonačan broj rješenja diferencijalne jednadžbe prvog reda.

Opće rješenje diferencijalne jednadžbe n red je njegovo rješenje eksplicitno izraženo u odnosu na nepoznatu funkciju i sadrži n nezavisne proizvoljne konstante, tj.

Rješenje diferencijalne jednadžbe u primjeru 1 je opće.

Parcijalno rješenje diferencijalne jednadžbe zove se njegovo rješenje u kojem se specifične numeričke vrijednosti dodjeljuju proizvoljnim konstantama.

Primjer 2 Pronađite opće rješenje diferencijalne jednadžbe i posebno rješenje za .

Odluka. Oba dijela jednadžbe integriramo toliko puta da red diferencijalne jednadžbe bude jednak.

,

.

Kao rezultat, dobili smo opće rješenje -

dana diferencijalna jednadžba trećeg reda.

Pronađimo sada određeno rješenje pod navedenim uvjetima. Da bismo to učinili, zamijenimo njihove vrijednosti umjesto proizvoljnih koeficijenata i dobijemo

.

Ako je uz diferencijalnu jednadžbu zadan početni uvjet u obliku , tada se takav problem naziva Cauchyjev problem . Vrijednosti i zamjenjuju se u opće rješenje jednadžbe i pronalazi se vrijednost proizvoljne konstante C, a zatim posebno rješenje jednadžbe za nađenu vrijednost C. Ovo je rješenje Cauchyjevog problema.

Primjer 3 Riješite Cauchyjev problem za diferencijalnu jednadžbu iz primjera 1 pod uvjetom .

Odluka. Zamjenjujemo u opće rješenje vrijednosti iz početnog stanja g = 3, x= 1. Dobivamo

Zapisujemo rješenje Cauchyjevog problema za zadanu diferencijalnu jednadžbu prvog reda:

Rješavanje diferencijalnih jednadžbi, čak i onih najjednostavnijih, zahtijeva dobre vještine integriranja i uzimanja derivata, uključujući složene funkcije. To se može vidjeti u sljedećem primjeru.

Primjer 4 Pronađite opće rješenje diferencijalne jednadžbe.

Odluka. Jednadžba je napisana u takvom obliku da se obje strane mogu odmah integrirati.

.

Metodu integracije primjenjujemo promjenom varijable (supstitucija). Neka, dakle.

Obavezno uzeti dx a sada - pažnja - radimo to prema pravilima diferencijacije složene funkcije, budući da x i postoji složena funkcija ("jabuka" - ekstrakt korijen ili, što je isto, podizanje na potenciju "jedne sekunde", a "mljeveno meso" je sam izraz ispod korijena):

Nalazimo integral:

Vraćajući se na varijablu x, dobivamo:

.

Ovo je opće rješenje ove diferencijalne jednadžbe prvog stupnja.

Za rješavanje diferencijalnih jednadžbi neće biti potrebne samo vještine iz prethodnih dijelova više matematike, već i vještine iz osnovne, odnosno školske matematike. Kao što je već spomenuto, u diferencijalnoj jednadžbi bilo kojeg reda ne mora postojati nezavisna varijabla, tj. varijabla x. Znanje o proporcijama koje nije zaboravljeno (ipak, svatko ga ima) iz školske klupe pomoći će u rješavanju ovog problema. Ovo je sljedeći primjer.

6.1. OSNOVNI POJMOVI I DEFINICIJE

Pri rješavanju raznih problema matematike i fizike, biologije i medicine često nije moguće odmah uspostaviti funkcionalnu ovisnost u obliku formule koja povezuje varijable koje opisuju proces koji se proučava. Obično se moraju koristiti jednadžbe koje osim nezavisne varijable i nepoznate funkcije sadrže i njezine izvodnice.

Definicija. Jednadžba koja povezuje nezavisnu varijablu, nepoznatu funkciju i njezine derivacije različitih redova naziva se diferencijal.

Obično se označava nepoznata funkcija y(x) ili jednostavno y, a njegovi derivati ​​su y", y" itd.

Moguće su i druge oznake, na primjer: ako g= x(t), tada x"(t), x""(t) su njegovi derivati, i t je nezavisna varijabla.

Definicija. Ako funkcija ovisi o jednoj varijabli, tada se diferencijalna jednadžba naziva običnom. Opći obrazac obična diferencijalna jednadžba:

ili

Funkcije F i f možda neće sadržavati neke argumente, ali da bi jednadžbe bile diferencijalne, bitna je prisutnost derivata.

Definicija.Red diferencijalne jednadžbe je red najveće derivacije uključene u njega.

Na primjer, x 2 y"- g= 0, y" + sin x= 0 su jednadžbe prvog reda, i y"+ 2 y"+ 5 g= x je jednadžba drugog reda.

Pri rješavanju diferencijalnih jednadžbi koristi se operacija integracije koja je povezana s pojavom proizvoljne konstante. Ako se primijeni akcija integracije n puta, tada će, očito, rješenje sadržavati n proizvoljne konstante.

6.2. DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE PRVOG REDA

Opći obrazac diferencijalna jednadžba prvog reda definiran je izrazom

Jednadžba ne smije eksplicitno sadržavati x i y, ali nužno sadrži y".

Ako se jednadžba može napisati kao

tada dobivamo diferencijalnu jednadžbu prvog reda riješenu s obzirom na derivaciju.

Definicija. Opće rješenje diferencijalne jednadžbe prvog reda (6.3) (ili (6.4)) je skup rješenja , gdje S je proizvoljna konstanta.

Graf za rješavanje diferencijalne jednadžbe naziva se integralna krivulja.

Zadavanje proizvoljne konstante S različite vrijednosti, moguće je dobiti određena rješenja. Na površini xOy opće rješenje je obitelj integralnih krivulja koje odgovaraju svakom pojedinom rješenju.

Ako postavite točku A(x0, y0), kroz koje mora proći integralna krivulja, tada u pravilu iz skupa funkcija može se izdvojiti jedno – posebno rješenje.

Definicija.Privatna odluka diferencijalne jednadžbe je njezino rješenje koje ne sadrži proizvoljne konstante.

Ako je opće rješenje, zatim iz uvjeta

možete pronaći stalni S. Stanje se zove početno stanje.

Problem pronalaženja određenog rješenja diferencijalne jednadžbe (6.3) ili (6.4) koje zadovoljava početni uvjet na nazvao Cauchyjev problem. Ima li ovaj problem uvijek rješenje? Odgovor je sadržan u sljedećem teoremu.

Cauchyjev teorem(teorem postojanja i jedinstvenosti rješenja). Neka u diferencijalnoj jednadžbi y"= f(x, y) funkcija f(x, y) i nju

djelomična derivacija definiran i kontinuiran u nekim

područja D, koji sadrži točku Zatim u području D postojati

jedino rješenje jednadžbe koje zadovoljava početni uvjet na

Cauchyjev teorem tvrdi da pod određenim uvjetima postoji jedinstvena integralna krivulja g= f(x), prolazeći kroz točku Točke u kojima uvjeti teoreme nisu zadovoljeni

Mačke se zovu poseban. Pauze na ovim točkama f(x, y) ili.

Ili nekoliko integralnih krivulja prolazi kroz singularnu točku ili nijedna.

Definicija. Ako se rješenje (6.3), (6.4) nađe u obliku f(x, y, c)= 0 nije dopušteno u odnosu na y, tada se zove zajednički integral diferencijalna jednadžba.

Cauchyjev teorem jamči samo postojanje rješenja. Budući da ne postoji jedinstvena metoda za pronalaženje rješenja, razmotrit ćemo samo neke vrste diferencijalnih jednadžbi prvog reda koje su integrabilne u kvadrati.

Definicija. Diferencijalna jednadžba se zove integrabilan u kvadraturama, ako se traženje njezina rješenja svede na integraciju funkcija.

6.2.1. Diferencijalne jednadžbe prvog reda sa separabilnim varijablama

Definicija. Diferencijalna jednadžba prvog reda naziva se jednadžba sa odvojive varijable,

Desna strana jednadžbe (6.5) je umnožak dviju funkcija od kojih svaka ovisi samo o jednoj varijabli.

Na primjer, jednadžba je jednadžba s odvajanjem

prolazne varijable
i jednadžba

ne može se prikazati u obliku (6.5).

S obzirom na to , prepisujemo (6.5) kao

Iz ove jednadžbe dobivamo diferencijalnu jednadžbu s odvojenim varijablama, u kojoj diferencijali sadrže funkcije koje ovise samo o odgovarajućoj varijabli:

Integrirajući pojam po pojam, imamo

gdje je C= C 2 - C 1 je proizvoljna konstanta. Izraz (6.6) je opći integral jednadžbe (6.5).

Dijeleći oba dijela jednadžbe (6.5) s, možemo izgubiti ona rješenja za koja, Doista, ako na

zatim očito je rješenje jednadžbe (6.5).

Primjer 1 Pronađite zadovoljavajuće rješenje jednadžbe

stanje: g= 6 at x= 2 (g(2) = 6).

Odluka. Zamijenimo na" za onda . Pomnožite obje strane s

dx, budući da je u daljnjoj integraciji nemoguće napustiti dx u nazivniku:

a zatim podijelivši oba dijela po dobivamo jednadžbu,

koji se mogu integrirati. Integriramo:

Zatim ; potencirajući, dobivamo y = C . (x + 1) - ob-

riješenje.

Na temelju početnih podataka određujemo proizvoljnu konstantu zamjenom istih u opće rješenje

Napokon dobivamo g= 2(x + 1) je posebno rješenje. Razmotrimo još nekoliko primjera rješavanja jednadžbi s odvojivim varijablama.

Primjer 2 Pronađite rješenje jednadžbe

Odluka. S obzirom na to , dobivamo .

Integrirajući obje strane jednadžbe, imamo

gdje

Primjer 3 Pronađite rješenje jednadžbe Odluka. Oba dijela jednadžbe dijelimo s onim faktorima koji ovise o varijabli koja se ne poklapa s varijablom pod diferencijalnim predznakom, tj. i integrirati. Onda dobivamo

i konačno

Primjer 4 Pronađite rješenje jednadžbe

Odluka. Znajući što ćemo dobiti. Odjeljak-

lim varijable. Zatim

Integracijom, dobivamo

Komentar. U primjerima 1 i 2 željena funkcija g izražen eksplicitno (opće rješenje). U primjerima 3 i 4 - implicitno (opći integral). Ubuduće se neće navoditi oblik odluke.

Primjer 5 Pronađite rješenje jednadžbe Odluka.

Primjer 6 Pronađite rješenje jednadžbe zadovoljavajući

stanje vi)= 1.

Odluka. Jednadžbu zapisujemo u obliku

Množenje obje strane jednadžbe s dx i dalje, dobivamo

Integrirajući obje strane jednadžbe (integral s desne strane uzet je po dijelovima), dobivamo

Ali po uvjetu g= 1 at x= e. Zatim

Zamijenite pronađene vrijednosti S u opće rješenje:

Rezultirajući izraz naziva se partikularnim rješenjem diferencijalne jednadžbe.

6.2.2. Homogene diferencijalne jednadžbe prvog reda

Definicija. Diferencijalna jednadžba prvog reda naziva se homogena ako se može prikazati kao

Predstavljamo algoritam za rješavanje homogene jednadžbe.

1. Umjesto toga g uvesti novu funkciju Zatim i zbog toga

2. Što se tiče funkcije u jednadžba (6.7) ima oblik

tj. Zamjena svodi homogenu jednadžbu na jednadžbu sa separabilnim varijablama.

3. Rješavajući jednadžbu (6.8), prvo nalazimo u, a zatim g= ux.

Primjer 1 riješiti jednadžbu Odluka. Jednadžbu zapisujemo u obliku

Vršimo zamjenu:
Zatim

Zamijenimo

Pomnožite s dx: Podijelite po x i dalje zatim

Integrirajući oba dijela jednadžbe s obzirom na odgovarajuće varijable, imamo

ili, vraćajući se na stare varijable, konačno dobivamo

Primjer 2riješiti jednadžbu Odluka.Neka bude zatim

Podijelite obje strane jednadžbe s x2: Otvorimo zagrade i presložimo pojmove:

Prelazeći na stare varijable, dolazimo do konačnog rezultata:

Primjer 3Pronađite rješenje jednadžbe s obzirom na to

Odluka.Izvođenje standardne zamjene dobivamo

ili

ili

Dakle, posebno rješenje ima oblik Primjer 4 Pronađite rješenje jednadžbe

Odluka.

Primjer 5Pronađite rješenje jednadžbe Odluka.

Samostalni rad

Pronađite rješenje diferencijalnih jednadžbi sa separabilnim varijablama (1-9).

Pronađite rješenje homogenih diferencijalnih jednadžbi (9-18).

6.2.3. Neke primjene diferencijalnih jednadžbi prvog reda

Problem radioaktivnog raspada

Brzina raspada Ra (radija) u svakom trenutku proporcionalna je njegovoj dostupnoj masi. Nađite zakon radioaktivnog raspada Ra ako se zna da je Ra bio u početnom trenutku i da je vrijeme poluraspada Ra 1590 godina.

Odluka. Neka u ovom trenutku masa Ra bude x= x(t) g, i Tada je stopa raspada Ra

Prema zadatku

gdje k

Odvajanjem varijabli u posljednjoj jednadžbi i integriranjem, dobivamo

gdje

Za određivanje C koristimo početni uvjet: .

Zatim i stoga,

Faktor proporcionalnosti k određuje se iz dodatnog uvjeta:

Imamo

Odavde i željenu formulu

Problem brzine razmnožavanja bakterija

Brzina razmnožavanja bakterija proporcionalna je njihovom broju. U početnom trenutku bilo je 100 bakterija. Unutar 3 sata njihov se broj udvostručio. Odredite ovisnost broja bakterija o vremenu. Koliko će se puta povećati broj bakterija unutar 9 sati?

Odluka. Neka bude x- broj bakterija u ovom trenutku t. Tada, prema uvjetu,

gdje k- koeficijent proporcionalnosti.

Odavde Iz uvjeta je poznato da . Sredstva,

Od dodatnog uvjeta . Zatim

Potrebna funkcija:

Dakle, u t= 9 x= 800, tj. unutar 9 sati broj bakterija se povećao 8 puta.

Zadatak povećanja količine enzima

U kulturi pivskog kvasca brzina rasta aktivnog enzima proporcionalna je njegovoj početnoj količini. x. Početna količina enzima a udvostručio unutar sat vremena. Pronađite ovisnost

x(t).

Odluka. Prema uvjetu, diferencijalna jednadžba procesa ima oblik

odavde

Ali . Sredstva, C= a i onda

Također je poznato da

Posljedično,

6.3. DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE DRUGOG REDA

6.3.1. Osnovni koncepti

Definicija.Diferencijalna jednadžba drugog reda naziva se relacija koja povezuje nezavisnu varijablu, željenu funkciju i njenu prvu i drugu derivaciju.

U posebnim slučajevima, x može biti odsutan u jednadžbi, na ili y". Međutim, jednadžba drugog reda mora nužno sadržavati y". U općem slučaju, diferencijalna jednadžba drugog reda piše se kao:

ili, ako je moguće, u obliku dopuštenom za drugu izvedenicu:

Kao i u slučaju jednadžbe prvog reda, jednadžba drugog reda može imati opće i posebno rješenje. Generalno rješenje izgleda ovako:

Pronalaženje privatnog rješenja

pod početnim uvjetima – zadani

broj) se zove Cauchyjev problem. Geometrijski to znači da je potrebno pronaći integralnu krivulju na= y(x), prolazeći kroz datu točku i imajući tangentu u ovoj točki, što je otprilike

vilice s pozitivnim smjerom osi Vol zadani kut. e. (Slika 6.1). Cauchyjev problem ima jedinstveno rješenje ako desna strana jednadžbe (6.10), nepred-

je diskontinuiran i ima kontinuirane parcijalne derivacije u odnosu na ti, ti" u nekom susjedstvu početne točke

Pronaći konstantu uključeni u pojedino rješenje potrebno je omogućiti sustavu

Riža. 6.1. integralna krivulja

Rješenje diferencijalnih jednadžbi. Zahvaljujući našim online usluga možete riješiti diferencijalne jednadžbe bilo koje vrste i složenosti: nehomogene, homogene, nelinearne, linearne, prvog, drugog reda, sa ili bez separabilnih varijabli, itd. Dobivate rješenje diferencijalnih jednadžbi analitički oblik s Detaljan opis. Mnogi su zainteresirani za: zašto je potrebno rješavati diferencijalne jednadžbe online? Ovaj tip Jednadžbe su vrlo česte u matematici i fizici, gdje će biti nemoguće riješiti mnoge probleme bez izračunavanja diferencijalne jednadžbe. Također, diferencijalne jednadžbe česte su u ekonomiji, medicini, biologiji, kemiji i drugim znanostima. Rješenje takve jednadžbe u mrežni način rada uvelike vam olakšava zadatke, daje vam priliku da bolje razumijete gradivo i testirate se. Prednosti online rješavanja diferencijalnih jednadžbi. Moderno web mjesto za matematičke usluge omogućuje online rješavanje diferencijalnih jednadžbi bilo koje složenosti. Kao što znate postoji veliki broj vrste diferencijalnih jednadžbi i svaka od njih ima svoje metode rješavanja. Na našem servisu možete pronaći online rješenje diferencijalnih jednadžbi bilo kojeg reda i tipa. Za dobivanje rješenja predlažemo da ispunite početne podatke i kliknete gumb "Rješenje". Greške u radu servisa su isključene, tako da možete biti 100% sigurni da ste dobili točan odgovor. Uz našu uslugu riješite diferencijalne jednadžbe. Rješavanje diferencijalnih jednadžbi online. Prema zadanim postavkama, u takvoj jednadžbi, funkcija y je funkcija varijable x. Ali također možete postaviti vlastitu oznaku varijable. Na primjer, ako navedete y(t) u diferencijalnoj jednadžbi, tada će naša usluga automatski utvrditi da je y funkcija t varijable. Redoslijed cijele diferencijalne jednadžbe ovisit će o najvećem redu derivacije funkcije prisutne u jednadžbi. Riješiti takvu jednadžbu znači pronaći traženu funkciju. Naša usluga pomoći će vam u online rješavanju diferencijalnih jednadžbi. Ne treba puno truda s vaše strane da riješite jednadžbu. Samo trebate unijeti lijevi i desni dio svoje jednadžbe u potrebna polja i kliknuti gumb "Rješenje". Prilikom unosa derivacije funkcije potrebno ju je označiti apostrofom. Za nekoliko sekundi imat ćete gotovo detaljno rješenje diferencijalne jednadžbe. Naša usluga je potpuno besplatna. Diferencijalne jednadžbe sa separabilnim varijablama. Ako u diferencijalnoj jednadžbi na lijevoj strani postoji izraz koji ovisi o y, a na desnoj strani postoji izraz koji ovisi o x, tada se takva diferencijalna jednadžba naziva sa separabilnim varijablama. Na lijevoj strani može biti derivacija od y, rješenje diferencijalnih jednadžbi ove vrste bit će u obliku funkcije od y, izražene kroz integral desne strane jednadžbe. Ako postoji diferencijal funkcije od y na lijevoj strani, tada su oba dijela jednadžbe integrirana. Kada varijable u diferencijalnoj jednadžbi nisu odvojene, trebat će ih podijeliti kako bi se dobila odvojena diferencijalna jednadžba. Linearna diferencijalna jednadžba. Diferencijalna jednadžba se naziva linearnom ako su funkcija i sve njezine derivacije na prvom stupnju. Opći oblik jednadžbe: y'+a1(x)y=f(x). f(x) i a1(x) su neprekidne funkcije od x. Rješavanje diferencijalnih jednadžbi ovog tipa svodi se na integraciju dviju diferencijalnih jednadžbi s odvojenim varijablama. Red diferencijalne jednadžbe. Diferencijalna jednadžba može biti prvog, drugog, n-tog reda. Redoslijed diferencijalne jednadžbe određuje redoslijed najveće derivacije sadržane u njoj. U našem servisu možete rješavati diferencijalne jednadžbe prvi online, drugi, treći itd. narudžba. Rješenje jednadžbe bit će bilo koja funkcija y=f(x), čijom zamjenom u jednadžbu dobit ćete identitet. Proces pronalaženja rješenja diferencijalne jednadžbe naziva se integracija. Cauchyjev problem. Ako je uz samu diferencijalnu jednadžbu zadan početni uvjet y(x0)=y0, onda se to naziva Cauchyjev problem. Rješenju jednadžbe dodaju se indikatori y0 i x0 te se odredi vrijednost proizvoljne konstante C, a zatim partikularno rješenje jednadžbe za tu vrijednost C. To je rješenje Cauchyjevog problema. Cauchyjev problem se još naziva i problem s rubnim uvjetima, koji je vrlo čest u fizici i mehanici. Također imate priliku postaviti Cauchyjev problem, odnosno iz svih moguća rješenja jednadžbe odaberite kvocijent koji zadovoljava zadane početne uvjete.

Ili su već riješeni s obzirom na derivaciju ili se mogu riješiti s obzirom na derivaciju .

Opće rješenje diferencijalnih jednadžbi tipa na intervalu x, koji je dan, može se pronaći uzimanjem integrala obje strane ove jednakosti.

Dobiti .

Gledajući svojstva neodređeni integral, tada nalazimo željeno opće rješenje:

y = F(x) + C,

gdje F(x)- jedan od antiizvoda funkcije f(x) između x, a S je proizvoljna konstanta.

Imajte na umu da je u većini zadataka interval x ne ukazuju. To znači da se mora pronaći rješenje za sve. x, za koju i željenu funkciju g, a izvorna jednadžba ima smisla.

Ako trebate izračunati određeno rješenje diferencijalne jednadžbe koje zadovoljava početni uvjet y(x0) = y0, zatim nakon izračuna općeg integrala y = F(x) + C, još je potrebno odrediti vrijednost konstante C=C0 pomoću početnog stanja. Odnosno konstanta C=C0 određena iz jednadžbe F(x 0) + C = y 0, a željeno partikularno rješenje diferencijalne jednadžbe će imati oblik:

y = F(x) + C0.

Razmotrite primjer:

Naći opće rješenje diferencijalne jednadžbe, provjeriti točnost rezultata. Pronađimo određeno rješenje ove jednadžbe koje bi zadovoljilo početni uvjet .

Odluka:

Nakon što smo integrirali zadanu diferencijalnu jednadžbu, dobivamo:

.

Ovaj integral uzimamo metodom integracije po dijelovima:

Da., je opće rješenje diferencijalne jednadžbe.

Provjerimo je li rezultat točan. Da bismo to učinili, rješenje koje smo pronašli zamijenimo u zadanu jednadžbu:

.

Odnosno, na originalna jednadžba se pretvara u identitet:

stoga je opće rješenje diferencijalne jednadžbe točno određeno.

Rješenje koje smo pronašli je opće rješenje diferencijalne jednadžbe za svaku realnu vrijednost argumenta x.

Preostaje izračunati pojedino rješenje ODE koje bi zadovoljilo početni uvjet. Drugim riječima, potrebno je izračunati vrijednost konstante S, pri čemu će vrijediti jednakost:

.

.

Zatim, zamjena C = 2 u opće rješenje ODE-a, dobivamo partikularno rješenje diferencijalne jednadžbe koje zadovoljava početni uvjet:

.

Obična diferencijalna jednadžba može se riješiti s obzirom na derivaciju dijeljenjem 2 dijela jednadžbe s f(x). Ova će transformacija biti ekvivalentna ako f(x) ne ide na nulu ni za jednu x iz intervala integracije diferencijalne jednadžbe x.

Situacije su vjerojatne kada, za neke vrijednosti argumenta x ∈ x funkcije f(x) i g(x) u isto vrijeme okrenuti na nulu. Za slične vrijednosti x opće rješenje diferencijalne jednadžbe je bilo koja funkcija g, koji je u njima definiran, jer .

Ako za neke vrijednosti argumenta x ∈ x uvjet je zadovoljen, što znači da u ovom slučaju ODE nema rješenja.

Za sve ostale x iz intervala x iz transformirane jednadžbe određuje se opće rješenje diferencijalne jednadžbe.

Pogledajmo primjere:

Primjer 1

Nađimo opće rješenje ODE-a: .

Odluka.

Iz svojstava osnovnih elementarnih funkcija jasno je da je funkcija prirodnog logaritma definirana za nenegativne vrijednosti argumenta, dakle domena izraza log(x+3) postoji interval x > -3 . Dakle, navedena diferencijalna jednadžba ima smisla za x > -3 . S ovim vrijednostima argumenta, izraz x + 3 ne nestaje, pa se ODE može riješiti s obzirom na derivaciju dijeljenjem 2 dijela s x + 3.

Dobivamo .

Zatim integriramo dobivenu diferencijalnu jednadžbu, riješenu s obzirom na derivaciju: . Za uzimanje ovog integrala koristimo metodu podvođenja pod predznak diferencijala.

Prisjetimo se problema s kojim smo se suočili pri pronalaženju određenih integrala:

odnosno dy = f(x)dx. Njeno rješenje:

a svodi se na izračun neodređenog integrala. U praksi je češći teži zadatak: pronaći funkciju g, ako se zna da zadovoljava relaciju oblika

Ova relacija povezuje nezavisnu varijablu x, nepoznata funkcija g i njegovih izvedenica do reda n uključivo, nazivaju se .

Diferencijalna jednadžba uključuje funkciju pod predznakom derivacija (ili diferencijala) jednog ili drugog reda. Red najviših naziva se red (9.1) .

Diferencijalne jednadžbe:

- prva narudžba

druga narudžba,

- peti red itd.

Funkcija koja zadovoljava zadanu diferencijalnu jednadžbu naziva se njezino rješenje , odnosno integralni . Riješiti ga znači pronaći sva njegova rješenja. Ako za željenu funkciju g uspjeli dobiti formulu koja daje sva rješenja, onda kažemo da smo pronašli njezino opće rješenje , ili opći integral .

Zajednička odluka sadrži n proizvoljne konstante i izgleda kao

Ako se dobije relacija koja se odnosi x, y i n proizvoljne konstante, u nedopuštenom obliku s obzirom na g -

onda se takva relacija naziva općim integralom jednadžbe (9.1).

Cauchyjev problem

Svaki specifično rješenje, tj. svaka specifična funkcija koja zadovoljava zadanu diferencijalnu jednadžbu i ne ovisi o proizvoljnim konstantama naziva se posebnim rješenjem , ili privatni integral. Za dobivanje partikularnih rješenja (integrala) iz općih, potrebno je konstantama pridružiti određene numeričke vrijednosti.

Graf određenog rješenja naziva se integralna krivulja. Opće rješenje, koje sadrži sva partikularna rješenja, je familija integralnih krivulja. Za jednadžbu prvog reda ova obitelj ovisi o jednoj proizvoljnoj konstanti; za jednadžbu n red - od n proizvoljne konstante.

Cauchyjev problem je pronaći određeno rješenje jednadžbe n reda, zadovoljavajuće n početni uvjeti:

koji određuju n konstanti s 1 , s 2 ,..., c n.

Diferencijalne jednadžbe 1. reda

Za nerazriješenu u odnosu na derivaciju diferencijalna jednadžba 1. reda ima oblik

ili za dopušteno relativno

Primjer 3.46. Pronađite opće rješenje jednadžbe

Odluka. Integracijom, dobivamo

gdje je C proizvoljna konstanta. Ako C-u damo specifične numeričke vrijednosti, tada dobivamo određena rješenja, na primjer,

Primjer 3.47. Razmotrite sve veći iznos novca položen u banci, podložan obračunu od 100 r složene kamate godišnje. Neka Yo bude početni iznos novca, a Yx nakon isteka x godine. Kada se kamata obračunava jednom godišnje, dobijemo

gdje je x = 0, 1, 2, 3,.... Kada se kamata obračunava dva puta godišnje, dobivamo

gdje je x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... Prilikom izračunavanja kamata n jednom godišnje i ako x uzima uzastopno vrijednosti 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., zatim

Označimo 1/n = h, tada će prethodna jednakost izgledati ovako:

S neograničenim povećanjem n(na ) u limitu dolazimo do procesa povećanja iznosa novca uz kontinuirani obračun kamata:

Tako se vidi da uz kontinuiranu promjenu x zakon promjene novčane mase izražava se diferencijalnom jednadžbom 1. reda. Gdje je Y x nepoznata funkcija, x- neovisna varijabla, r- konstantno. Rješavamo ovu jednadžbu, za to je prepisujemo na sljedeći način:

gdje , ili , gdje P predstavlja e C .

Iz početnih uvjeta Y(0) = Yo nalazimo P: Yo = Pe o, odakle je Yo = P. Stoga rješenje izgleda ovako:

Razmotrimo drugi ekonomski problem. Makroekonomski modeli također se opisuju linearnim diferencijalnim jednadžbama 1. reda, opisujući promjenu dohotka ili outputa Y kao funkciju vremena.

Primjer 3.48. Neka nacionalni dohodak Y raste po stopi proporcionalnoj njegovoj veličini:

i neka je deficit državne potrošnje izravno proporcionalan dohotku Y uz koeficijent proporcionalnosti q. Manjak potrošnje dovodi do povećanja državnog duga D:

Početni uvjeti Y = Yo i D = Do pri t = 0. Iz prve jednadžbe Y= Yoe kt . Zamjenom Y dobivamo dD/dt = qYoe kt . Opće rješenje ima oblik
D = (q/ k) Yoe kt +S, gdje je S = const, koja se određuje iz početnih uvjeta. Zamjenom početnih uvjeta dobivamo Do = (q/k)Yo + C. Dakle, konačno,

D = Do +(q/k)Yo (e kt -1),

to pokazuje da nacionalni dug raste istom relativnom stopom k, što je nacionalni dohodak.

Razmotrimo najjednostavnije diferencijalne jednadžbe n reda, to su jednadžbe oblika

Njegovo opće rješenje može se dobiti pomoću n vremena integracije.

Primjer 3.49. Razmotrimo primjer y """ = cos x.

Odluka. Integrirajući, nalazimo

Opće rješenje ima oblik

Linearne diferencijalne jednadžbe

U ekonomiji su od velike koristi, razmotrite rješenje takvih jednadžbi. Ako (9.1) ima oblik:

tada se zove linearna, gdje su po(x), p1(x),..., pn(x), f(x) zadane funkcije. Ako je f(x) = 0, tada se (9.2) naziva homogenim, a u protivnom nehomogenim. Opće rješenje jednadžbe (9.2) jednako je zbroju bilo kojeg od njezinih posebnih rješenja y(x) i njemu odgovarajuće opće rješenje homogene jednadžbe:

Ako su koeficijenti p o (x), p 1 (x),..., p n (x) konstante, tada je (9.2)

(9.4) naziva se linearna diferencijalna jednadžba s konstantnim koeficijentima reda n .

Za (9.4) ima oblik:

Bez gubitka općenitosti možemo postaviti p o = 1 i (9.5) napisati u obliku

Rješenje (9.6) ćemo tražiti u obliku y = e kx , gdje je k konstanta. Imamo: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx . Dobivene izraze zamijenimo u (9.6) imat ćemo:

(9.7) je algebarska jednadžba, njena nepoznanica je k, naziva se karakterističnim. Karakteristična jednadžba ima stupanj n i n korijeni, među kojima mogu biti i višestruki i složeni. Neka su k 1 , k 2 ,..., k n tada realni i različiti su partikularna rješenja (9.7), dok su opća

Razmotrimo linearnu homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim koeficijentima:

Njegova karakteristična jednadžba ima oblik

(9.9)

njegov diskriminant D = p 2 - 4q, ovisno o predznaku D moguća su tri slučaja.

1. Ako je D>0, tada su korijeni k 1 i k 2 (9.9) realni i različiti, a opće rješenje ima oblik:

Odluka. Karakteristična jednadžba: k 2 + 9 = 0, odakle je k = ± 3i, a = 0, b = 3, opće rješenje je:

y = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x.

Linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda koriste se za proučavanje ekonomskog modela poput mreže sa zalihama robe, gdje stopa promjene cijene P ovisi o veličini zaliha (vidi paragraf 10). Ako su ponuda i potražnja linearne funkcije cijene, tj.

a - je konstanta koja određuje brzinu reakcije, tada se proces promjene cijene opisuje diferencijalnom jednadžbom:

Za određeno rješenje možete uzeti konstantu

koja ima značenje ravnotežne cijene. Odstupanje zadovoljava homogenu jednadžbu

(9.10)

Karakteristična jednadžba bit će sljedeća:

U slučaju, pojam je pozitivan. Označiti . Korijeni karakteristične jednadžbe k 1,2 = ± i w, pa opće rješenje (9.10) ima oblik:

gdje su C i proizvoljne konstante, one se određuju iz početnih uvjeta. Dobili smo zakon promjene cijene u vremenu: