Objašnjenje teme pretvaranje izraza koji sadrže kvadratne korijene. Korištenje svojstava korijena pri transformaciji iracionalnih izraza, primjera, rješenja. Vii. Pisanje testa

§ 1 Pretvorba izraza koji sadrže operaciju vađenja kvadratnog korijena

Prisjetimo se svojstava kvadratnog korijena: ako su a, b nenegativni brojevi a, b ≥ 0, tada su istinite sljedeće jednakosti:

Koristeći ove formule, možete izvesti različite transformacije izraza koji sadrže operaciju vađenja kvadratnog korijena, ali uz uvjet da varijable tih izraza imaju samo nenegativne vrijednosti. Nakon što ste napravili ovu pretpostavku, razmotrite nekoliko primjera.

Primjer 1: Pojednostavite izraz:

Budući da izraz sadrži razlomak, koristit ćemo drugo svojstvo da ga transformiramo:

Treće svojstvo korišteno je za transformaciju nazivnika:

Kao rezultat toga, početni izraz ima oblik:

Primjer 2: Oduzmite faktor od znaka kvadratnog korijena:

Prilikom rješavanja primjera pod slovom A koristit ćemo prvo i treće svojstvo kvadratnog korijena:

Slično transformiramo izraz prikazan u zadatku pod slovom B:

Primjer 3: Faktor u kvadratnom korijenu za

Da uračunamo korijenski znak, koristimo treće svojstvo s desna na lijevo:

Riješimo nekoliko zadataka transformacije izraza koji sadrže operaciju vađenja kvadratnog korijena, koristeći formule skraćenog množenja. Najprije ih zapamtimo i napišimo:

(a + b) 2 = a2 + 2ab + b2

(a - b) 2 = a2 - 2ab + b2

a2 - b2 = (a + b) (a - b)

a3 - b3 = (a-b) (a2 + ab + b2)

a3 + a3 = (a + b) (a2 - ab + b2)

Primjer 4: Pojednostavite izraz:

Da riješimo problem, predstavimo broj tri kao kvadratni korijen od tri na kvadrat:

a u nazivniku koristimo formulu za razliku kvadrata, tada dobivamo:

Primjer 5: Pojednostavite izraz:

Da biste riješili, prvo razmotrite izraz:

Pod pretpostavkom da

zatim

koristeći formulu zbroja kocki

dobivamo

Napravimo odgovarajuću zamjenu.

Drugo, od operacije dijeljenja s (a - b) prelazimo na operaciju množenja s recipročnim:

Treće, smanjit ćemo prvi razlomak u zagradi izrazom:

a zatim ćemo izvršiti operaciju množenja.

Pretpostavimo:

koristeći formulu za razliku kvadrata, dobivamo:

Izraz u brojniku prvog razlomka prema formuli za kvadrat razlike može se napisati:

Napravimo odgovarajuće zamjene. U brojniku i nazivniku prvog razlomka postoji zajednički faktor, stoga, nakon smanjenja, u zaključku, ostaje samo zbrajati razlomke s istim nazivnicima.

Ako nazivnik algebarskog razlomka sadrži znak kvadratnog korijena, tada se kaže da nazivnik sadrži iracionalnost. Transformacija izraza u takav oblik da u nazivniku razlomka nema znakova kvadratnog korijena naziva se oslobađanje od iracionalnosti u nazivniku.

§ 2 Algoritam za oslobađanje od iracionalnosti u nazivniku razlomka

1. Odvojite nazivnik razlomka;

2. Ako je nazivnik:

Ako je nazivnik:

ili sadrži faktor ove vrste, tada brojnik i nazivnik razlomka treba pomnožiti, respektivno, sa:

3. Pretvorite brojnik i nazivnik razlomka, ako je moguće, a zatim smanjite rezultirajući razlomak. Izrazi poput:

Razmotrimo kako se riješiti iracionalnosti u nazivniku koristeći primjere:

A) Transformiramo izraz:

Upotrijebimo algoritam da se riješimo iracionalnosti u nazivniku razlomka: pomnožimo sa:

brojnik i nazivnik. dobivamo:

B) Transformiramo izraz:

U ovom primjeru, brojnik i nazivnik razlomka množe se konjugiranim izrazom:

Dakle, analizirali smo nekoliko primjera kako bismo pojednostavili izraze koji sadrže kvadratne korijene.

Popis korištene literature:

1. Mordkovich A.G. "Algebra" 8 razred. U 14 sati 1. dio Udžbenik za obrazovne ustanove / A.G. Mordkovich. - 9. izd., vlč. - M .: Mnemosina, 2007 .-- 215str.: Il.
2. Mordkovich A.G. "Algebra" 8 razred. U 14 sati 2. dio Problemska knjiga za obrazovne ustanove / A.G. Mordkovich, T.N. Mišustina, E.E. Tulchinskaya. - 8. izd., - M .: Mnemosina, 2006 .-- 239str.
3. Algebra. 8. razred. Ispitni radovi za studente obrazovnih ustanova L.A. Aleksandrov, ur. A.G. Mordkovich 2. izd., Izbrisano. - M .: Mnemosina, 2009 .-- 40s.
4. Algebra. 8. razred. Samostalni rad za studente obrazovnih ustanova: do udžbenika A.G. Mordkovich, L.A. Aleksandrov, ur. A.G. Mordkovich. 9. izd., izbrisano. - M .: Mnemosina, 2013 .-- 112s.

Algebra. 8. razred

Učitelj, nastavnik, profesor: Kuleshova Tatiana Nikolaevna

Tema: Pretvaranje izraza koji sadrže kvadratne korijene

Vrsta lekcije: generalizacija i sistematizacija znanja

Svrha lekcije: formiranje učeničkih vještina transformacije izraza koji sadrže kvadratne korijene

Zadaci:

Obrazovni:poznavati svojstva aritmetičkog kvadratnog korijena; naučiti kako transformirati izraze koji sadrže kvadratne korijene, kao što je uklanjanje faktora ispod predznaka korijena, dodavanje faktora predznaku korijena i oslobađanje od iracionalnosti u nazivniku razlomka;

Razvijanje: razvijati kognitivne i kreativne sposobnosti, mišljenje, zapažanje, domišljatost i vještine samostalne aktivnosti; poticanje interesa za matematiku;

Obrazovni: sposobnost rada u timu (grupi), želja za aktivnim učenjem sa zanimanjem; jasnoća i organiziranost u radu; omogućiti svakom učeniku postizanje uspjeha;

Oprema: Školski pribor, tabla, kreda, udžbenik, materijal.

Plan učenja

1. Organiziranje vremena
2. Postavljanje ciljeva
3. Ponavljanje
4. Samostalan rad
5. Diktat
6. Test
7. Rad iz udžbenika
8. Brifing za domaću zadaću
9. Sažetak lekcije. Odraz

Napredak

1. Organiziranje vremena

Motivacija lekcije

“Zatvorite oči, udobno se smjestite. Zamislite nešto što vam je jako ugodno. Osjećate se dobro, ugodno. Mnogo je prijatelja oko vas. Među njima su prirodni brojevi s kojima smo itekako poznati. Redovi naših prijatelja rastu i razlomci su im se pridružili. No, pojavile su se negativne brojke. A sada ćete upoznati racionalne i iracionalne brojeve. Vrijeme će prolaziti, a mi ćemo vas upoznati s novim brojevima, a dok god postoji matematika na svijetu, ti brojevi su beskonačni."

"Znanje je samo znanje kada se stječe naporima vlastite misli, a ne pamćenjem." N. Tolstoj.-Ove riječi L. N. Tolstoja važne su i relevantne u proučavanju matematike, jer je matematika jedna od rijetkih znanosti u kojoj morate neprestano razmišljati. Vaš zadatak je pokazati svoje znanje i vještine u procesu usmenog rada, testiranja, rada za pločom.

Svatko od vas na stolu ima ocjenjivački listić, nakon svakog obavljenog zadatka ne zaboravljamo dati ocjene, a na kraju sata staviti konačnu ocjenu.

1. Postavljanje ciljeva

Riješite anagram (rad u grupi)

O - ZO - RA - PRETHODNO - VA KONVERZIJA

NIY - RA - ISTO - TI IZRAZI

SHIH - DER - ZHA - SA SADRŽI

ŠTAKOR - KV - NYE - PAKELSKI TRG

NE - CO - R KORIJENJA

Nakon što su riješili anagram, učenici određuju temu lekcije.

Što mislite da ćemo raditi na lekciji?

Formulirajmo zajedno svrhu naše lekcije.

1. Ponavljanje prethodno naučenog gradiva

A 1) Verbalno brojanje:

Provjera teorije: Povežite liniju s odgovarajućim dijelovima definicije.

rezultat -2 boda

2). Potpuno odobrenje.

a) Korijen umnoška nenegativnih faktora jeproizvod korijena ovih čimbenika.(bod -2 boda)

b) Bilo koji beskonačan neperiodični decimalni razlomak se zoveiracionalan broj.(bod -2 boda)

c) Korijen razlomka čiji je brojnik nenegativan broj, a nazivnik pozitivan, jekorijen brojnika podijeljen s korijenom nazivnika. ( rezultat -2 boda)

3) Uspostavite usklađenost (2 boda)

C. 3 učenika dobivaju izraze koji sadrže kvadratne korijene prema algoritmu transformacije. Zadatak: prikazati, nacrtati, napisati, pokazati, itd. i zaštititi (govornik).

3) Izvadite korijen

1. Faktor nazivnik razlomka.
2. Ako je nazivnikili sadrži faktor, tada brojnik i nazivnik treba pomnožiti sa ili na .
3. Pretvorite brojnik i nazivnik razlomka, ako je moguće, a zatim smanjite rezultirajući razlomak.

1. Samostalan rad

Izvadite faktor ispod znaka korijena:

(2 boda)

3)

Pojednostavite izraz (4 boda)

1. Testirajte na prijenosnom računalu (rezultat se postavlja automatski)

1) 6 =

a B C D) .

2) 5 =

3) 3 =

a B C D) .

1. Diktat:

Za svaki točno obavljen zadatak 0,5 bodova.

1. Rad na udžbeniku – rad na ploči: svaki učenik dobiva određeni primjer, redom odlučuje na ploči, sve zapisuje u bilježnicu. (1 bod)
2. Informacije o domaćoj zadaći
3. Sažimanje lekcije. Odraz

Evaluacija

Evaluacijski papir. Ime i učenik _______________________ Razred _____

Pretvaranje bodova u ocjenu

25 bodova ili više - ocjena "5"

24 - 18 bodova - rezultat "4"

17 - 9 bodova - rezultat "3"

0 - 8 bodova - rezultat "2"

Za ocjenu cjelokupnog rada na satu koristi se "Prijenos bodova u ocjenu" - na poleđini ocjenjivačkog lista.

Dopunite tablicu rezultata. Ocjene lekcije.

Želim završiti lekcijupjesma velike matematičarke Sofije Kovalevske.

Ako si u životu makar na trenutak

Osjećao sam istinu u svom srcu

Ako zraka svjetlosti kroz tamu i sumnju

Tvoj put obasjan sjajnim sjajem:

Što bi u vašoj odluci bilo nepromijenjeno

Rock te nije odredio naprijed,

Sjećanje na ovaj sveti trenutak

Čuvaj ga zauvijek, kao svetište u grudima.

Oblaci će se skupiti u neskladnu masu,

Nebo će biti prekriveno crnom izmaglicom

S jasnom odlučnošću, sa mirnom vjerom

Upoznajte oluju i suočite se s grmljavinom.

Ova pjesma izražava želju za znanjem, sposobnost prevladavanja svih prepreka koje se susreću na putu. Kako smo danas svladali prepreke? Što smo radili na lekciji?

- Danas smo ponovili definiciju i svojstva aritmetičkog kvadratnog korijena; uzimanje faktora izvan predznaka korijena, unošenje faktora ispod predznaka korijena, skraćene formule za množenje; upoznao i konsolidirao neke metode pretvaranja izraza koji sadrže kvadratne korijene.

Svi su na satu radili plodno, aktivno i kolektivno.

Lekcija je gotova. Hvala svima na lekciji!

Unesite množitelj ispod predznaka korijena:

1) 6 =

a B C D) .

2) 5 =

3) 3 =

a B C D) .

F.I. test __________________

Unesite množitelj ispod predznaka korijena:

1) 6 =

a B C D) .

2) 5 =

3) 3 =

a B C) - =

a B C D) .

2) 5 =

3) 3 =

a B C) - =

a B C D) .

2) 5 =

3) 3 =

a B C) - =

a B C D) .

2) 5 =

3) 3 =

a B C D) .

Algoritam za uklanjanje faktora iz predznaka korijena

1) Radikalni izraz predstavljamo u obliku umnoška takvih faktora da se iz jednoga može izvući kvadratni korijen.

2) Primijenite teorem o korijenu proizvoda.

3) Izvadite korijen

Algoritam za uvođenje faktora ispod predznaka korijena

1) Proizvod predstavljamo u obliku aritmetičkog kvadratnog korijena.

2) Pretvorite umnožak kvadratnog korijena u kvadratni korijen umnoška radikalnih izraza.

3) Izvedite množenje pod predznakom korijena.

Algoritam za oslobađanje od iracionalnosti u nazivniku razlomka:

1) Faktor nazivnik razlomka.

OTVORENA LEKCIJA NA DALJINU

na temu: "Pretvaranje izraza koji sadrže kvadratne korijene."

Učiteljica matematike - Vetohina Antonina Sergeevna

Mjesto rada : OGKOU "Internat № 88 "Smile" Ulyanovsk, Ulyanovsk

regija

Artikal: algebra

razred: 8

Osnovni vodič: « Algebra 8 razred : Udžbenik za obrazovne ustanove. Yu.N. Makarychev, N.G.

Mindyuk, K.I. Neškov, S. B. Suvorov. - M .: Obrazovanje, 2011

TDC:

Obrazovni:

nastaviti graditi vještine:

uzimanje faktora izvan radikalnog predznaka;

uvođenje faktora pod predznakom radikala;

faktorizacija;

smanjenje frakcija;

naučiti učenika primijeniti početna znanja: svojstva korijen.

Razvijanje : nastavak razvoja:

praktične vještine i sposobnosti;

ispravne matematičke govorne vještine;

kognitivna aktivnost učenika;

logičko razmišljanje učenika pri računanju u zadacima.

Obrazovni: nastaviti formirati:

kultura komunikacije i kultura odgovaranja na pitanja;

kultura umnog rada;

formirati pozitivan stav prema predmetu, interes za znanje.

Vrsta lekcije: kombinirano.

Nastavne metode : vizualno-verbalni, reproduktivni.

Oblici organiziranja kognitivne aktivnosti na satu : samostalan i samostalan rad.

Oprema, dizajn i tehnička oprema sata:

materijali za web stranicu i-škole « Algebra - II (8. razred) » ( http://iclass.home-edu.ru );

materijali stranice "YaKlass" ( http://www.yaklass.ru );

računalo, multimedijski projektor.

PLAN UČENJA

1. Organiziranje vremena.

2. Ažuriranje znanja.

3. Tjelesni odgoj za oči.

4. Učenje novog gradiva.

5. Tjelesni trening.

6. Učvršćivanje stečenog znanja. Praktični rad.

7. Odraz.Sažimanje lekcije.

8. Domaća zadaća.

STRUKTURA I PROCES SATA

Prije početka sata, učenik se "prijavljuje" na stranicu i -škole pod vašom prijavom i idite na tečaj « Algebra - II (8. razred) » .

Zatim se otvara program Skype sudjelovati u lekciji.

Materijal u ovom članku treba razmotriti kao dio teme transformacije iracionalnih izraza. Ovdje ćemo koristiti primjere za analizu svih suptilnosti i nijansi (kojih ima mnogo) koje nastaju pri provođenju transformacija na temelju svojstava korijena.

Navigacija po stranici.

Prisjetite se svojstava korijena

Čim ćemo se baviti transformacijom izraza pomoću svojstava korijena, ne škodi prisjetiti se glavnih, ili još bolje, zapisati ih na papir i staviti ispred nas.

Prvo proučavamo kvadratne korijene i njihova sljedeća svojstva (a, b, a 1, a 2, ..., a k su realni brojevi):

A kasnije se proširuje pojam korijena, uvodi se definicija n-tog korijena i razmatraju se takva svojstva (a, b, a 1, a 2, ..., ak su realni brojevi, m, n , n 1, n 2, ... , nk su prirodni brojevi):

Pretvorite izraze s brojevima pod znakovima korijena

Kao i obično, prvo uče raditi s brojčanim izrazima, a tek nakon toga prelaze na izraze s varijablama. Napravit ćemo isto, a prvo ćemo se pozabaviti transformacijom iracionalnih izraza koji sadrže samo numeričke izraze pod predznacima korijena, a zatim ćemo u sljedećem odlomku uvesti varijable pod predznacima korijena.

Kako se to može koristiti za transformaciju izraza? Vrlo je jednostavno: na primjer, iracionalni izraz možemo zamijeniti izrazom ili obrnuto. To jest, ako izraz koji treba pretvoriti sadrži izraz koji odgovara obliku izraza s lijeve (desne) strane bilo kojeg od navedenih svojstava korijena, tada se može zamijeniti odgovarajućim izrazom s desne strane (lijevo ) strana. Ovo je transformacija izraza korištenjem svojstava korijena.

Evo još nekoliko primjera.

Pojednostavimo izraz ... Brojevi 3, 5 i 7 su pozitivni, tako da možemo sigurno primijeniti svojstva korijena. Ovdje možete djelovati na različite načine. Na primjer, korijen koji se temelji na svojstvu može se predstaviti kao, a korijen koji koristi svojstvo s k = 3 - kako će s ovim pristupom rješenje izgledati ovako:

Moglo se postupiti i drugačije, zamijenivši sa i dalje s, u ovom slučaju rješenje bi izgledalo ovako:

Moguća su i druga rješenja, na primjer ovo:

Pogledajmo rješenje još jednog primjera. Transformirajmo izraz. Nakon što smo pogledali popis svojstava korijena, iz njega odabiremo svojstva koja su nam potrebna za rješavanje primjera, jasno je da su dva od njih korisna ovdje i, koja vrijede za bilo koje a. Imamo:

Alternativno, isprva je bilo moguće pretvoriti izraze pod znakovima korijena pomoću

a zatim primijeniti svojstva korijena

Do ove točke smo transformirali izraze koji sadrže samo kvadratne korijene. Vrijeme je za rad s korijenima koji imaju različite pokazatelje.

Primjer.

Pretvorite iracionalni izraz .

Riješenje.

Po imovini prvi faktor zadanog proizvoda može se zamijeniti brojem −2:

Krenuti dalje. Drugi faktor na temelju imovine može se predstaviti kao, i neće škoditi zamijeniti 81 s četverostrukom potencijom trojke, budući da se u preostalim faktorima ispod znakova korijena pojavljuje broj 3:

Korijen razlomka je svrsishodno zamijeniti odnosom korijena oblika, koji se dalje može transformirati: ... Imamo

Rezultirajući izraz nakon izvođenja radnji s dvojkama poprimit će oblik , i ostaje transformirati proizvod korijena.

Za transformaciju proizvoda korijena, oni se obično svode na jedan pokazatelj, za koji je preporučljivo uzeti pokazatelje svih korijena. U našem slučaju, LCM (12, 6, 12) = 12, a samo će se korijen morati svesti na ovaj pokazatelj, budući da druga dva korijena već imaju ovaj pokazatelj. Za rješavanje ovog zadatka omogućuje jednakost, koja se primjenjuje s desna na lijevo. Tako ... Uzimajući u obzir ovaj rezultat, imamo

Sada se proizvod korijena može zamijeniti korijenom proizvoda, a ostale, već očite, transformacije se mogu izvesti:

Napravimo kratko rješenje:

Odgovor:

.

Posebno ističemo da je za primjenu svojstava korijena potrebno uzeti u obzir ograničenja nametnuta brojevima pod predznacima korijena (a≥0, itd.). Njihovo ignoriranje može izazvati netočne rezultate. Na primjer, znamo da svojstvo vrijedi za nenegativno a. Na temelju toga možemo sigurno ići, na primjer, od do, budući da je 8 pozitivan broj. Ali ako uzmemo smisleni korijen negativnog broja, na primjer, i, na temelju gornjeg svojstva, zamijenimo ga s, tada zapravo zamjenjujemo −2 s 2. Doista, a. To jest, za negativno a, jednakost može biti pogrešna, kao što druga svojstva korijena mogu biti pogrešna bez uzimanja u obzir uvjeta koji su za njih propisani.

Ali ono što je rečeno u prethodnom paragrafu uopće ne znači da se izrazi s negativnim brojevima pod predznacima korijena ne mogu transformirati korištenjem svojstava korijena. Samo ih je potrebno prvo "pripremiti" primjenom pravila djelovanja s brojevima ili korištenjem definicije neparnog korijena negativnog broja, što odgovara jednakosti , gdje je −a negativan broj (dok je a pozitivan). Na primjer, ne možete odmah zamijeniti s, budući da su −2 i −3 negativni brojevi, ali to nam omogućuje da idemo od korijena do, a zatim primijenimo svojstvo korijena iz proizvoda: ... A u jednom od prethodnih primjera nije bilo potrebno ići od korijena do korijena osamnaestog stupnja. i tako .

Dakle, da biste transformirali izraze koristeći svojstva korijena, trebate

• odaberite odgovarajuću nekretninu s popisa,
• provjerite da li brojevi ispod korijena zadovoljavaju uvjete za odabrano svojstvo (inače morate izvršiti preliminarne konverzije),
• i provesti namjeravanu transformaciju.

Transformiranje izraza s varijablama pod korijenskim znakovima

Za transformaciju iracionalnih izraza koji ne sadrže samo brojeve, već i varijable pod predznakom korijena, moraju se pažljivo primijeniti svojstva korijena navedena u prvom odlomku ovog članka. To je uglavnom zbog uvjeta koje moraju zadovoljiti brojevi koji sudjeluju u formulama. Na primjer, na temelju formule, izraz se može zamijeniti izrazom samo za one vrijednosti x koje zadovoljavaju uvjete x≥0 i x + 1≥0, budući da je navedena formula navedena za a≥0 i b ≥0.

Zašto je opasno zanemariti te uvjete? Sljedeći primjer ilustrira odgovor na ovo pitanje. Recimo da trebamo izračunati vrijednost izraza pri x = −2. Ako odmah zamijenimo broj −2 umjesto varijable x, tada ćemo dobiti potrebnu vrijednost ... A sada zamislimo da smo iz nekog razloga konvertirali zadani izraz u oblik i tek nakon toga odlučili izračunati vrijednost. Zamijenite -2 za x i dođite do izraza što nema smisla.

Pogledajmo što se događa s rasponom valjanih vrijednosti (ADV) varijable x dok se krećemo od izraza do izraza. ODZ nismo slučajno spomenuli, jer je to ozbiljan alat za kontrolu dopustivosti izvršenih transformacija, a promjena ODZ-a nakon transformacije izraza trebala bi barem upozoriti. Nije teško pronaći ODZ za navedene izraze. Za izražavanje ODV je određen iz nejednakosti x · (x + 1) ≥0, njegovo rješenje daje numerički skup (−∞, −1] ∪∪)