Izračunavanje šiljastih kutova egipatskog trokuta. Formule egipatske geometrije. Trokutasti Reuleaux kotači

Slavni matematičar Pitagora došao je do mnogo različitih otkrića, ali za većinu ljudi koji se ne bave redovito algebrom i geometrijom, on je poznat po svom teoremu. Znanstvenik ju je otkrio dok je boravio u Egiptu, gdje je bio očaran ljepotom i elegancijom piramida, a to mu je pak dalo ideju da se u njihovim oblicima može pronaći određeni obrazac.

Povijest otkrića

Egipatski trokut svoje ime duguje Helenima, koji su često posjećivali Egipat u 7.-5. stoljeću prije Krista. e., među njima je bio i Pitagora. Osnova Keopsove piramide je pravokutni poligon, i

Kefrenove piramide su takozvani egipatski trokut, koji su stari nazivali svetim. Plutarh je napisao da su stanovnici Egipta povezivali prirodu s ovom geometrijskom figurom: okomita noga simbolizirala je muškarca, baza ženu, a hipotenuza dijete. Omjer širine i visine u njemu je 3:4:5, a to vodi do Pitagorinog poučka, budući da je 3 2 x 4 2 = 5 2. Dakle, činjenica da egipatski trokut leži u podnožju Kefrenove piramide sugerira da je poznati teorem bio poznat stanovnicima starog svijeta i prije nego što ga je Pitagora formulirao. Posebnom značajkom ove figure smatra se i to što je, zahvaljujući ovom omjeru stranica, prvi i najjednostavniji od Heronovih trokuta, budući da su njegove stranice i površina cijeli brojevi.

Primjena

Egipatski trokut popularan je u arhitekturi i građevinarstvu od davnina.

Uglavnom se koristio za konstruiranje pravih kutova pomoću užeta ili užeta podijeljenog na 12 dijelova. Koristeći oznake na takvom užetu, bilo je moguće vrlo precizno stvoriti pravokutnu figuru, čije bi noge služile kao vodiči za postavljanje pravog kuta strukture. Poznato je da su se takva svojstva ove geometrijske figure koristila ne samo u starom Egiptu, već i mnogo prije toga u Kini, Babilonu i Mezopotamiji. Egipatski trokut također je korišten za stvaranje proporcionalnih struktura u srednjem vijeku.

Kutovi

Omjer širine i visine ovog trokuta je 3:4:5 što rezultira time da je pravokutni trokut, tj. jedan kut ima 90 stupnjeva, a druga dva 53,13 i 36,87 stupnjeva. Pravi kut je kut između stranica čiji je omjer 3:4.

Dokaz

S nekim jednostavnim izračunima možete dokazati da je trokut pravokutan. Ako slijedimo teorem obrnut od onoga koji je stvorio Pitagora, tj. ako je zbroj kvadrata dviju stranica jednak kvadratu treće, onda je pravokutan, a budući da njegove stranice vode do jednakosti 3 2 x 4 2 = 5 2, dakle, pravokutan je.
Ukratko, valja napomenuti da se egipatski trokut, čija su svojstva čovječanstvu poznata već stoljećima, i danas koristi u arhitekturi. To uopće ne čudi, jer ova metoda jamči točnost, što je vrlo važno tijekom izgradnje. Osim toga, vrlo je jednostavan za korištenje, što također čini proces uvelike lakšim. Sve prednosti korištenja ove metode testirane su stoljećima i ostale su popularne do danas.

Izgradnja pomoću egipatskog trokuta je drevna metoda koju još uvijek aktivno koriste moderni graditelji. Ime je dobio zahvaljujući drevnim egipatskim građevinama, iako je poznato da njegova povijest počinje puno prije tog razdoblja.

Ali, najvjerojatnije, svojstva jedinstvene figure nisu bila cijenjena u to vrijeme sve dok se nije pojavio Pitagora, koji je mogao analizirati i procijeniti graciozne oblike figure.

Egipatski trokut poznat je od davnina. Stoljećima je bio i ostao popularan u građevinarstvu i arhitekturi.

Vjeruje se da je veliki grčki matematičar Pitagora sa Samosa stvorio geometrijsku strukturu. Zahvaljujući njemu danas možemo koristiti sva svojstva geometrijske konstrukcije na području strukture.

Rađanje ideje

Matematičar je na ideju došao nakon putovanja u Afriku na zahtjev Talesa, koji je Pitagori dao zadatak da prouči matematiku i astronomiju tih mjesta. U Egiptu, među beskrajnom pustinjom, naišao je na veličanstvene građevine koje su ga zadivile svojom veličinom, gracioznošću i ljepotom.

Treba napomenuti da su prije više od dvije i pol tisuće godina piramide bile nešto drugačije - ogromne, s jasnim rubovima. Pažljivo proučavajući moćne građevine, kojih je bilo dosta, budući da su pored divova bili manji hramovi izgrađeni za djecu, žene i drugu rodbinu faraona, to mu je dalo ideju.

Zahvaljujući svojim matematičkim sposobnostima, Pitagora je uspio odrediti uzorak u oblicima piramide, a njegova sposobnost analize i donošenja zaključaka dovela je do stvaranja jedne od najznačajnijih teorija u povijesti geometrije.

Iz povijesti

Jesu li u starom Egiptu poznavali geometriju i matematiku? Naravno da. Život Egipćana bio je usko povezan sa znanošću. Svoje znanje redovito su koristili prilikom obilježavanja polja i stvaranja arhitektonskih remek-djela. Postojala je čak i služba geodeta koji su primjenjivali geometrijska pravila prilikom obnavljanja međa.

Trokut je dobio ime zahvaljujući Helenima, koji su često posjećivali Egipat u 7.-5. stoljeću. PRIJE KRISTA. Vjeruje se da je prototip figure bio Keopsova piramida, karakteriziran savršenim proporcijama. Njeno mjesto u povijesti je posebno. Ako pogledate presjek, možete vidjeti dva trokuta, čiji je unutarnji kut 51°50'.

Struktura

Zadatak je puno lakši ako koristite kutomjer ili trokut. No, ranije su korišteni samo konopci i užad, podijeljeni u segmente. Zahvaljujući oznakama na užetu, bilo je moguće precizno ponovno stvoriti pravokutnu figuru. Graditelji su kutomjer i ugaonik zamijenili užetom za koje su čvorovima na njemu označili 12 dijelova i presavili trokut s segmentima 3,4,5. Pravi kut je dobiven bez poteškoća. Ovo znanje pomoglo je u stvaranju mnogih građevina, uključujući piramide.

Zanimljivo je da su prije starog Egipta na ovaj način gradili u Kini, Babilonu i Mezopotamiji.

Svojstva egipatske trokutaste figure pokoravaju se istini - kvadrat hipotenuze jednak je kvadratima dviju kateta. Ovaj Pitagorin teorem svima je poznat iz škole. Na primjer, pomnožimo 5x5 i dobijemo hipotenuzu jednaku broju 25. Kvadrati obje stranice su 16 i 9, što daje zbroj 25.

Zahvaljujući ovim svojstvima, trokut je pronašao primjenu u građevinarstvu. Možete uzeti bilo koji dio kako biste nacrtali ravnu liniju pod uvjetom da njezina duljina mora biti višekratnik pet. Nakon toga uočite jedan brid i iz njega povucite crtu višekratnik četiri, a s druge crtu višekratnik tri. U tom slučaju, svaki segment mora imati najmanje četiri i tri duljine. Presijecajući se, tvore jedan pravi kut od 90 stupnjeva. Ostali kutovi su 53,13 i 36,87 stupnjeva.

Koje alternative postoje?

Kako stvoriti pravi kut

Najbolja opcija napraviti pravi kut je uporaba kutnika ili kutomjera. To će vam omogućiti da pronađete potrebne proporcije uz minimalne troškove. No, glavna točka egipatskog trokuta je njegova svestranost zbog mogućnosti stvaranja figure bez ičega pri ruci.

Sve može biti korisno u ovom pitanju, čak i tiskane publikacije. Svaka knjiga ili čak časopis uvijek ima omjer širine i visine koji čini pravi kut. Tiskarski strojevi uvijek rade precizno tako da se rola umetnuta u stroj reže pod proporcionalnim kutovima.

Drevni inženjeri smislili su mnogo načina za izgradnju egipatskog trokuta i uvijek su štedjeli resurse.

Stoga je najjednostavnija i najraširenija metoda bila metoda konstruiranja geometrijskog lika pomoću običnog užeta. Konac je uzet i izrezan na 12 jednakih dijelova, od kojih je postavljena figura s proporcijama 3, 4 i 5.

Kako stvoriti druge kutove?

Egipatski trokut ne može se podcijeniti u građevinskom svijetu. Njegova svojstva su svakako korisna, ali bez mogućnosti konstruiranja kutova različitog stupnja u konstrukciji to je nemoguće. Da biste formirali kut od 45 stupnjeva, trebat će vam okvir ili baguette, koji su piljeni pod kutom od 45 stupnjeva i povezani jedni s drugima.

Važno! Da biste dobili željeni nagib, morat ćete posuditi list papira iz tiskane publikacije i saviti ga. Linije savijanja će proći kroz kut. Rubovi moraju biti povezani.

Možete dobiti 60 stupnjeva koristeći dva trokuta od 30 stupnjeva. Najčešće se koristi za izradu ukrasnih elemenata.

Mali trikovi

Egipatski trokut 3x4x5 relevantan je za male kuće. Ali što ako je kuća 12x15?

Da biste to učinili, trebate konstruirati pravokutni trokut čije su katete 12 i 15 m. Hipotenuza se nalazi kao kvadratni korijen zbroja 12x12 i 15x15. Kao rezultat, dobivamo 19,2 m. Koristeći nešto - konop, konop, konop, kabel, vojni kabel, mjerimo 12, 15 i 19,2 m. Na tim mjestima napravimo čvorove i stavimo preše.

Zatim morate razvući trokut na pravo mjesto i postaviti 3 potporne točke u koje ćete zabiti klinove. Četvrta točka može se dobiti bez dodirivanja krajeva nogu. Da biste to učinili, točka pravog kuta je bačena dijagonalno i sve je spremno.

Na primjer, postoji područje gdje je potreban pravi kut - za prostor za kuhinjski element, raspored pločica i druge aspekte. Bilo bi lijepo uzeti u obzir takva pitanja prilikom polaganja, ali stvarnost je drugačija i ne nailazite uvijek na glatke zidove i prave kutove. Ovdje je koristan egipatski trokut s omjerom 3:4:5, ili, ako je potrebno, 1,5:2:2,5.

Mora se uzeti u obzir debljina svjetionika, greške, neravnine na zidovima itd. Trokut se crta metrom i kredom. Ako su oznake male, tada možete koristiti list, jer su izrezani pod pravilnim kutovima.

Egipatski trokut naširoko je korišten u građevinarstvu čak 2,5 stoljeća. I danas je ponekad potrebno koristiti ovu tehniku, u nedostatku potrebnih alata, za dobivanje pravih kutova. Svojstva ove figure su jedinstvena, što jamči preciznost u arhitekturi i gradnji, koja se ne može izbjeći. S njom se lako radi, oblik joj je skladan i lijep. Do danas radoznali umovi pokušavaju razotkriti misterij egipatskog trokuta.

Moguće je da je izraz "egipatski trokut" dao Pitagora, nakon što je posjetio na inzistiranje Thales u Egiptu…

“... u ovom eseju nas zanima upravo nepraktični, neprimijenjeni aspekt matematike; pretpostavljamo da će biti vrlo, vrlo poučno uključiti u “džentlmenski set” matematičkih pojmova znanje o tome zašto trokut sa stranicama 3, 4, 5 naziva se egipatski.

Čitava poanta je u tome što je drevnim egipatskim graditeljima piramida trebao način da konstruiraju pravi kut. Ovdje je tražena metoda. Uže je podijeljeno na 12 jednakih dijelova, označene su granice između susjednih dijelova, a krajevi užeta spojeni. Uže zatim zapinju tri osobe tako da ono tvori trokut, a razmaci između susjednih zatezača su 3 dijela, 4 dijela i 5 dijelova. U tom slučaju trokut će biti pravokutan, u kojem će stranice 3 i 4 biti katete, a stranica 5 hipotenuza, pa će kut između stranica 3 i 4 biti prav.

Bojim se da će većina čitatelja odgovoriti na pitanje "Zašto će trokut biti pravokutan?" pozivat će se na Pitagorin teorem: na kraju krajeva, tri na kvadrat plus četiri na kvadrat jednako je pet na kvadrat. Međutim, Pitagorin teorem kaže da ako je trokut pravokutan, onda je u ovom slučaju zbroj kvadrata njegovih dviju stranica jednak kvadratu treće.

Ovdje koristimo teorem obrnut Pitagorinom teoremu: ako je zbroj kvadrata dviju stranica trokuta jednak kvadratu treće, tada je u tom slučaju trokut pravokutan. (Nisam siguran da ovaj teorem o suprotnosti ima pravo mjesto u školskom kurikulumu.)."

Uspenski V.A. , Apologija matematike, ili o matematici kao dijelu duhovne kulture, časopis “Novi svijet”, 2007, N 11, str. 131.

Tema lekcije

Ciljevi lekcije

• Upoznajte nove definicije i prisjetite se nekih već proučenih.
• Produbite svoje znanje o geometriji, proučite povijest nastanka.
• Učvrstiti teorijska znanja učenika o trokutima u praktičnim aktivnostima.
• Upoznati učenike s egipatskim trokutom i njegovom primjenom u građevinarstvu.
• Naučiti primijeniti svojstva oblika pri rješavanju zadataka.
• Razvojni - razvijati pažnju učenika, upornost, postojanost, logičko razmišljanje, matematički govor.
• Obrazovni - kroz lekciju, njegovati pažljiv odnos jedni prema drugima, usaditi sposobnost slušanja drugova, uzajamne pomoći i neovisnosti.

Ciljevi lekcije

• Provjerite vještine rješavanja problema učenika.

Plan učenja

1. Uvod.
2. Korisno je zapamtiti.
3. Toegon.

Uvod

Jesu li u starom Egiptu poznavali matematiku i geometriju? Ne samo da su to znali, već su ga stalno koristili pri stvaranju arhitektonskih remek-djela, pa čak i... prilikom godišnjeg obilježavanja polja gdje je poplavna voda uništila sve granice. Postojala je čak i posebna služba geodeta koja je brzo, geometrijskom tehnikom, obnavljala granice polja kada bi voda splasnula.

Još se ne zna kako ćemo nazvati našu mlađu generaciju koja odrasta na računalima koja nam omogućuju da ne učimo tablicu množenja napamet i da u glavi ne izvodimo druge elementarne matematičke izračune ili geometrijske konstrukcije. Možda ljudski roboti ili kiborzi. Grci su one koji nisu mogli dokazati jednostavan teorem bez vanjske pomoći nazivali neznalicama. Stoga ne čudi što su sam teorem, koji se naširoko koristio u primijenjenim znanostima, uključujući za označavanje polja ili gradnju piramida, stari Grci nazivali “magarećim mostom”. I vrlo su dobro poznavali egipatsku matematiku.

Korisno za zapamtiti

Trokut

Trokut pravocrtan, dio ravnine ograničen s tri ravna segmenta (stranice trokuta (u geometriji)), od kojih svaki ima jedan zajednički kraj u paru (vrhovi trokuta (u geometriji)). Trokut čije su duljine svih stranica jednake naziva se jednakostraničan, ili ispraviti, Trokut s dvije jednake strane - jednakokračan. Trokut se zove oštrokutni, ako su mu svi kutovi oštri; pravokutan- ako mu je jedan kut prav; tupokutan- ako mu je jedan kut tup. Trokut (u geometriji) ne može imati više od jednog pravog ili tupog kuta, jer je zbroj sva tri kuta jednak dvama pravim kutovima (180° ili, u radijanima, p). Površina trokuta (u geometriji) jednaka je ah/2, gdje je a bilo koja od stranica trokuta, uzeta kao njegova baza, a h je odgovarajuća visina. Za stranice trokuta vrijedi sljedeći uvjet: duljina svake od njih manja je od zbroja i veća od razlike duljina druge dvije stranice.

Trokut- najjednostavniji mnogokut koji ima 3 vrha (kuta) i 3 stranice; dio ravnine omeđen s tri točke i tri odsječka koji spajaju te točke u parovima.

• Tri točke u prostoru koje ne leže na istoj pravoj liniji odgovaraju jednoj i samo jednoj ravnini.
• Bilo koji poligon može se podijeliti na trokute - taj se proces naziva triangulacija.
• Postoji odjeljak matematike koji je u potpunosti posvećen proučavanju zakona trokuta - Trigonometrija.

Vrste trokuta

Po vrsti kutova

Kako je zbroj kutova trokuta 180°, najmanje dva kuta u trokutu moraju biti šiljasta (manja od 90°). Razlikuju se sljedeće vrste trokuta:

• Ako su svi kutovi trokuta šiljasti, tada se trokut naziva šiljasti;
• Ako je jedan od kutova trokuta tup (više od 90°), tada se trokut naziva tupokutnim;
• Ako je jedan od kutova trokuta prav (jednak 90°), tada se trokut naziva pravokutnim. Dvije stranice koje tvore pravi kut nazivaju se katete, a stranica nasuprot pravog kuta naziva se hipotenuza.

Prema broju jednakih strana

• Razmjerni trokut je onaj u kojem su duljine tri stranice u paru različite.
• Jednakokračni trokut je onaj u kojem su dvije stranice jednake. Ove strane se nazivaju bočne, a treća strana se naziva baza. U jednakokračnom trokutu osnovni kutovi su jednaki. Visina, središnja i simetrala jednakokračnog trokuta spuštena na osnovicu su jednake.
• Jednakostranični trokut je onaj u kojem su sve tri stranice jednake. U jednakostraničnom trokutu svi su kutovi jednaki 60°, a središta upisane i opisane kružnice se podudaraju.

– pravokutni trokut s omjerom stranica 3:4:5. Zbroj ovih brojeva (3+4+5=12) od davnina se koristio kao jedinica množine pri konstruiranju pravih kutova pomoću užeta označenog čvorovima na 3/12 i 7/12 njegove duljine. Egipatski trokut korišten je u arhitekturi srednjeg vijeka za konstrukciju proporcionalnih shema.

Pa odakle početi? Je li zbog ovoga: 3 + 5 = 8. a broj 4 je pola broja 8. Stani! Brojevi 3, 5, 8... Ne podsjećaju li na nešto vrlo poznato? Pa, naravno, oni su izravno povezani sa zlatnim rezom i uključeni su u takozvanu "zlatnu seriju": 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 ... U ovom nizu svaki sljedeći član jednak je zbroju prethodna dva: 1 + 1= 2. 1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5, 3 + 5 = 8 i tako dalje. Ispada da je egipatski trokut povezan sa zlatnim rezom? A jesu li stari Egipćani znali s čime imaju posla? Ali nemojmo brzati sa zaključcima. Potrebno je saznati više detalja.

Izraz "zlatni rez", prema nekima, prvi put je uveden u 15. stoljeću Leonardo da Vinci . Ali sam “zlatni niz” postao je poznat 1202. godine, kada ga je talijanski matematičar prvi put objavio u svojoj “Knjizi brojanja” Leonardo iz Pise . Nadimak Fibonacci. No, gotovo dvije tisuće godina prije njih bio je poznat zlatni rez Pitagora i njegovih učenika. Istina, zvao se drugačije, kao “podjela na prosječni i ekstremni omjer”. Ali egipatski trokut sa svojim "Zlatni omjer" bio je poznat još u davnim vremenima kada su u Egiptu građene piramide kada je Atlantida cvjetala.

Da bi se dokazao teorem o egipatskom trokutu, potrebno je upotrijebiti segment poznate duljine A-A1 (slika). Služit će vam kao mjerilo, mjerna jedinica, te će vam omogućiti određivanje duljine svih stranica trokuta. Tri odsječka A-A1 jednake su dužine najmanjoj stranici trokuta BC, čiji je omjer 3. A četiri odsječka A-A1 jednake su duljine drugoj stranici, čiji je omjer izražen brojem 4. I, konačno, duljina treće stranice jednaka je pet segmenata A -A1. A onda je, kako kažu, stvar tehnike. Na papiru ćemo nacrtati segment BC, koji je najmanja stranica trokuta. Zatim iz točke B polumjera jednakog isječku s omjerom 5 povučemo šestarom kružni luk, a iz točke C kružni luk polumjera jednakog duljini isječka s omjerom 4. Ako je sada spojimo sjecište lukova linijama s točkama B i C, dobivamo omjer stranica pravokutnog trokuta 3:4:5.

Q.E.D.

Geodeti i arhitekti koristili su egipatski trokut u arhitekturi srednjeg vijeka za konstruiranje shema proporcionalnosti i konstruiranje pravih kutova. Egipatski trokut je najjednostavniji (i prvi poznati) od Heronovih trokuta - trokuta s cijelim brojem stranica i površina.

Egipatski trokut - misterij antike

Svatko od vas zna da je Pitagora bio veliki matematičar koji je dao neprocjenjiv doprinos razvoju algebre i geometrije, ali je još veću slavu stekao zahvaljujući svom teoremu.

A Pitagora je otkrio teorem o egipatskom trokutu u vrijeme kada je slučajno posjetio Egipat. Dok je bio u ovoj zemlji, znanstvenik je bio fasciniran sjajem i ljepotom piramida. Možda je upravo to bio poticaj koji ga je izložio ideji da je neki specifičan uzorak jasno vidljiv u oblicima piramida.

Povijest otkrića

Egipatski trokut dobio je ime zahvaljujući Helenima i Pitagori, koji su bili česti gosti u Egiptu. I to se dogodilo otprilike u 7-5 stoljeću prije Krista. e.

Čuvena Keopsova piramida zapravo je pravokutni poligon, ali se Kefrenova piramida smatra svetim egipatskim trokutom.

Stanovnici Egipta uspoređivali su prirodu egipatskog trokuta, kako je napisao Plutarh, s obiteljskim ognjištem. U njihovim tumačenjima moglo se čuti da je u ovom geometrijskom liku njegov okomiti krak simbolizirao muškarca, baza figure vezana uz ženski princip, a hipotenuzi piramide dodijeljena je uloga djeteta.

A već iz teme koju ste proučavali, dobro vam je poznato da je omjer stranica ove figure 3:4:5 i, prema tome, da nas to vodi do Pitagorinog teorema, budući da je 32 + 42 = 52.

A ako uzmemo u obzir da se egipatski trokut nalazi u podnožju Kefrenove piramide, možemo zaključiti da su ljudi drevnog svijeta znali poznati teorem mnogo prije nego što ga je formulirao Pitagora.

Glavna značajka egipatskog trokuta najvjerojatnije je bio njegov neobičan omjer stranica, koji je bio prvi i najjednostavniji od Heronovih trokuta, budući da su i stranice i njegova površina bili cijeli brojevi.

Značajke egipatskog trokuta

Sada pobliže pogledajmo karakteristične značajke egipatskog trokuta:

Prvo, kao što smo već rekli, sve njegove stranice i površina sastoje se od cijelih brojeva;

Drugo, prema Pitagorinom teoremu znamo da je zbroj kvadrata kateta jednak kvadratu hipotenuze;

Treće, uz pomoć takvog trokuta možete mjeriti prave kutove u prostoru, što je vrlo zgodno i potrebno pri izgradnji struktura. A zgodno je to što znamo da je ovaj trokut pravokutan.

Četvrto, kao što također već znamo, čak i ako nema odgovarajućih mjernih instrumenata, ovaj se trokut može lako konstruirati pomoću jednostavnog užeta.

Primjena egipatskog trokuta

U davnim stoljećima egipatski trokut bio je vrlo popularan u arhitekturi i građevinarstvu. Posebno je to bilo potrebno ako se konop ili konop koristio za građenje pravog kuta.

Uostalom, poznato je da je polaganje pravog kuta u prostoru prilično težak zadatak, pa su poduzetni Egipćani izmislili zanimljiv način konstruiranja pravog kuta. Za te potrebe uzeli su uže, na kojem su čvorovima označili dvanaest jednakih dijelova, a zatim su od tog užeta savili trokut, sa stranicama koje su bile jednake 3, 4 i 5 dijelova, i na kraju, bez ikakvih problema. , dobili su pravokutni trokut. Zahvaljujući tako složenom alatu, Egipćani su s velikom preciznošću mjerili zemlju za poljoprivredne radove, gradili kuće i piramide.

Tako je posjet Egiptu i proučavanje obilježja egipatske piramide potaknuo Pitagoru da otkrije svoj teorem, koji je, inače, uvršten u Guinnessovu knjigu rekorda kao teorem koji ima najviše dokaza.

Trokutasti Reuleaux kotači

Kotač- okrugli (u pravilu), slobodno rotirajući ili fiksirani na osi diska, dopuštajući tijelu postavljenom na njega da se kotrlja, a ne klizi. Kotač se široko koristi u raznim mehanizmima i alatima. Široko se koristi za prijevoz robe.

Kotač značajno smanjuje energiju potrebnu za pomicanje tereta na relativno ravnoj površini. Kod uporabe kotača rad se odvija protiv sile trenja kotrljanja, koja je u uvjetima umjetne ceste znatno manja od sile trenja klizanja. Kotači mogu biti čvrsti (na primjer, par kotača željezničkog vagona) i sastoje se od prilično velikog broja dijelova, na primjer, kotač automobila uključuje disk, naplatak, gumu, ponekad zračnicu, pričvrsne vijke itd. Istrošenost automobilskih guma gotovo je riješen problem (ako su kutovi kotača pravilno postavljeni). Moderne gume prijeđe preko 100.000 km. Neriješen problem je trošenje guma na kotačima aviona. Kada kotač koji miruje dođe u kontakt s betonskom površinom piste pri brzini od nekoliko stotina kilometara na sat, guma se troši enormno.

• U srpnju 2001. godine primljen je inovativni patent za kotač sa sljedećim tekstom: "okrugla naprava koja se koristi za prijevoz robe." Ovaj je patent izdan Johnu Kaou, odvjetniku iz Melbournea, koji je želio pokazati nesavršenosti australskog patentnog prava.
• Francuska tvrtka Michelin je 2009. godine razvila serijski automobilski kotač Active Wheel s ugrađenim električnim motorima koji pokreću kotač, oprugu, amortizer i kočnicu. Dakle, ovi kotači čine nepotrebnim sljedeće sustave vozila: motor, kvačilo, mjenjač, ​​diferencijal, pogon i poluosovine.
• Godine 1959. Amerikanac A. Sfredd dobio je patent za četvrtasti kotač. Lako je hodao kroz snijeg, pijesak, blato i svladavao rupe. Suprotno strahovima, automobil na takvim kotačima nije "šepao" i postizao je brzine do 60 km/h.

Franz Relo(Franz Reuleaux, 30. rujna 1829. - 20. kolovoza 1905.) - njemački inženjer strojarstva, predavač na Berlinskoj kraljevskoj tehnološkoj akademiji, koji je kasnije postao njezin predsjednik. Prvi je 1875. razvio i skicirao osnovne principe strukture i kinematike mehanizama; Bavio se problemima estetike tehničkih predmeta, industrijskim dizajnom, au svojim nacrtima veliku važnost pridavao je vanjskim oblicima strojeva. Reuleauxa se često naziva ocem kinematike.

Pitanja

1. Što je trokut?
2. Vrste trokuta?
3. Što je posebno u vezi s egipatskim trokutom?
4. Gdje se koristi egipatski trokut? > Matematika 8.r

U području geometrije Egipćani su znali točne formule za površinu pravokutnika, trokuta, trapeza i sfere, te su mogli izračunati volumene paralelopipeda, valjka i piramida.

Površina proizvoljnog četverokuta sa stranicama a, b, c, d izračunata je približno kao; ova gruba formula daje prihvatljivu točnost ako je lik blizu pravokutnika.

Egipćani su to pretpostavili (greška manja od 1%).

Formula za površinu kruga promjera d bila je:

Još jedna pogreška sadržana je u papirusu Akmim: autor vjeruje da ako je polumjer kruga A aritmetička sredina polumjera druga dva kruga B i C, tada je površina kruga A aritmetička sredina područja krugova B i C.

Izračun obujma krnje piramide: neka je pravilna krnja piramida kojoj je stranica donje baze a, gornje b i visine h; tada je volumen izračunat pomoću izvorne, ali točne formule:

Egipatski trokut

Egipatski trokut

Egipatski trokut je pravokutni trokut s omjerom stranica 3:4:5. Značajka trokuta, poznata još od antike, jest da s takvim omjerom stranica Pitagorin poučak daje cijele kvadrate i kateta i hipotenuze, odnosno 9:16:25. Zbroj ovih brojeva (3+4+5=12) od davnina se koristio kao jedinica množine pri konstruiranju pravih kutova pomoću užeta označenog čvorovima na 3/12 i 7/12 njegove duljine.

Ime trokutu s ovim omjerom stranica dali su Heleni. U 7. - 5. stoljeću pr. e. Grčki filozofi i javne osobe aktivno su posjećivali Egipat. Primjerice, Pitagora je 535. pr. e. na inzistiranje Thalesa, otišao je u Egipat studirati astronomiju i matematiku - i, očito, pokušaj generalizacije omjera kvadrata karakterističnih za egipatski trokut na sve pravokutne trokute doveo je Pitagoru do formulacije i dokaza njegovog poznatog teorema.

Egipatski trokut koristili su geodeti i arhitekti u arhitekturi srednjeg vijeka za konstruiranje proporcionalnih shema i konstruiranje pravih kutova. Egipatski trokut je najjednostavniji (i prvi poznati) od Heronovih trokuta - trokuta s cijelim brojem stranica i površina.

Volumen krnjeg stošca

Rekonstrukcija vodenog sata prema crtežima iz Oksirinha

Drevni svitak papirusa pronađen u Oxyrhynchusu sugerira da su Egipćani mogli izračunati obujam krnjeg stošca. To su znanje iskoristili za izradu vodenih satova. Na primjer, poznato je da je pod Amenhotepom III izgrađen vodeni sat u Karnaku.

Nema podataka o ranijem razvoju matematike u Egiptu. O kasnijem, do helenističkog doba - također. Nakon dolaska Ptolemejevaca na prijestolje započela je izuzetno plodna sinteza egipatske i grčke kulture.