Равенките со негативни сили се примери за решенија. Моќни изрази (изрази со моќи) и нивна трансформација. Подигање број на моќ

Негативното покачување е еден од основните елементи на математиката, што често се среќава при решавање алгебарски проблеми. Подолу е детална инструкција.

Како да се подигне на негативна моќ - теорија

Кога сме број до вообичаената моќност, ја множиме неговата вредност неколку пати. На пример, 3 3 = 3 × 3 × 3 = 27. Со негативна дропка, важи спротивното. Општиот приказ на формулата ќе биде како што следува: a -n = 1 / a n. Така, за да го подигнете бројот на негативна моќност, треба да ја поделите единицата со дадениот број, но веќе со позитивна моќност.

Како да се подигне до негативна моќ - примери за обични броеви

Имајќи го предвид горенаведеното правило, да решиме неколку примери.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Одговор: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Одговорот е -4 -2 = 1/16.

Но, зошто одговорот во првиот и вториот пример е ист? Факт е дека кога негативниот број се подигне на парна моќ (2, 4, 6, итн.), Знакот станува позитивен. Ако степенот беше рамномерен, тогаш минус остана:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Како да се подигне до негативна моќност - броеви од 0 до 1

Потсетете се дека кога ќе подигнете број во опсег од 0 до 1 на позитивна моќност, вредноста се намалува со зголемување на моќноста. На пример, 0,5 2 = 0,25. 0,25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

Пример 3: Пресметај 0,5 -2
Решение: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1 × 4/1 = 4.
Одговор: 0,5 -2 = 4

Анализа (редослед на дејства):

• Претворете го децималниот 0,5 во 1/2. Полесно е на овој начин.
  Подигнете 1/2 до негативна моќност. 1 / (2) -2. Поделете 1 со 1/(2) 2, добиваме 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Пример 4: Пресметај 0,5 -3
Решение: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Пример 5: Пресметај -0,5 -3
Решение: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/( -1/2) 3 = 1/( -1/8) = -8
Одговор: -0,5 -3 = -8

Врз основа на 4 и 5 примери, ќе извлечеме неколку заклучоци:

• За позитивен број во опсег од 0 до 1 (пример 4), зголемен на негативна моќност, рамномерноста или непарноста на моќноста не е важна, вредноста на изразот ќе биде позитивна. Покрај тоа, колку е поголем степенот, толку е поголема вредноста.
• За негативен број во опсег од 0 до 1 (пример 5), зголемен на негативна моќност, рамномерноста или непарноста на моќноста не е важна, вредноста на изразот ќе биде негативна. Покрај тоа, колку е повисок степенот, толку е помала вредноста.

Како да се подигне до негативна моќност - моќност како дробен број

Изразите од овој тип ја имаат следнава форма: a -m / n, каде што a е обичен број, m е броител на степенот, n е именител на степенот.

Да разгледаме пример:
Пресметај: 8 -1/3

Решение (редослед на дејства):

• Запомнете го правилото за зголемување на бројот на негативна моќност. Добиваме: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
• Забележете дека именителот е 8 како дробна моќ. Општиот став за пресметување на фракционата моќност е како што следува: a m / n = n √8 m.
• Така, 1 / (8) 1/3 = 1 / (3 √8 1). Добиваме корен од коцка од осум, што е 2. Врз основа на ова, 1 / (8) 1/3 = 1 / (1/2) = 2.
• Одговор: 8 -1/3 = 2

Изрази, конверзија на изразот

Моќни изрази (изрази со моќи) и нивна преобразба

Во оваа статија, ќе зборуваме за претворање на изрази на моќност. Прво, ќе се фокусираме на трансформации што се изведуваат со изрази од секаков вид, вклучувајќи експоненцијални изрази, како што се проширување на заградата, фрлање слични термини. И тогаш ќе ги анализираме трансформациите својствени токму за изрази со моќност: работа со основата и експонентот, користејќи ги својствата на степени, итн.

Навигација на страница.

Што се експоненцијални изрази?

Терминот "експоненцијални изрази" практично не се наоѓа во училишните учебници по математика, но се појавува доста често во збирки проблеми, особено оние дизајнирани да се подготват за испитот и OGE, на пример,. По анализата на задачите во кои треба да извршите какви било дејства со експоненцијални изрази, станува јасно дека изразите се подразбираат како изрази што содржат степени во нивната евиденција. Затоа, за себе, можете да ја прифатите следнава дефиниција:

Дефиниција.

Моќни изразиДали изразите содржат степени.

Дозволете ни да дадеме примери за изрази на моќ... Покрај тоа, ние ќе ги претставиме според тоа како развојот на гледиштата се случува од степен со природен индикатор до степен со реален индикатор.

Како што знаете, прво постои запознавање со моќта на број со природен експонент, во оваа фаза првите наједноставни изрази на моќност од типот 3 2, 7 5 +1, (2 + 1) 5, (−0, 1) 4, 3 a 2 −a + a 2, x 3−1, (a 2) 3, итн.

Малку подоцна, се проучува моќта на број со целден експонент, што доведува до појава на изрази на моќност со негативни цели броеви, како што е следново: 3 −2, , a −2 + 2 b −3 + c 2.

Во средно училиште, тие повторно се враќаат на дипломите. Таму, се воведува степен со рационален експонент, што подразбира појава на соодветните изрази на моќност: , , итн Конечно, се разгледуваат степени со ирационални показатели и изрази што ги содржат:,.

Материјата не е ограничена само на наведените изрази на моќност: променливата продира понатаму во експонентот и, на пример, такви изрази 2 x 2 +1 или ... И по состанокот со, почнуваат да се појавуваат изрази со моќ и логаритам, на пример, x 2 · lgx −5 · x lgx.

Значи, го сфативме прашањето што се експоненцијални изрази. Следно, ќе научиме да ги трансформираме.

Основни видови трансформации на изрази на моќ

Со експоненцијални изрази, можете да извршите која било од основните идентични трансформации на изразите. На пример, можете да ги проширите заградите, да ги замените нумеричките изрази со нивните вредности, да обезбедите слични термини, итн. Природно, во овој случај потребно е да се следи прифатената постапка за вршење дејствија. Еве неколку примери.

Пример.

Оценете ја вредноста на експоненцијалниот израз 2 3 · (4 2 −12).

Решение.

Според редоследот на извршување на дејствата, прво ги изведуваме дејствата во заграда. Таму, прво, ја заменуваме моќноста на 4 2 со нејзината вредност 16 (види ако е потребно), и второ, ја пресметуваме разликата 16−12 = 4. Ние имаме 2 3 (4 2 −12) = 2 3 (16−12) = 2 3 4.

Во добиениот израз, заменете ја моќноста 2 3 со нејзината вредност 8, а потоа пресметајте го производот 8 4 = 32. Ова е саканата вредност.

Значи, 2 3 (4 2 −12) = 2 3 (16−12) = 2 3 4 = 8 4 = 32.

Одговори:

2 3 (4 2 −12) = 32.

Пример.

Поедноставете ги изразите на моќност 3 a 4 b −7 −1 + 2 a 4 b −7.

Решение.

Очигледно, овој израз содржи слични термини 3 · a 4 · b −7 и 2 · a 4 · b −7, и можеме да ги донесеме :.

Одговори:

3 a 4 b −7 −1 + 2 a 4 b −7 = 5 a 4 b −7 −1.

Пример.

Замислете израз со моќност како производ.

Решение.

За да се справите со задачата, претставата на бројот 9 во форма на моќност од 3 2 и последователната употреба на формулата за скратено множење е разликата во квадратите:

Одговори:

Исто така, постојат голем број идентични трансформации својствени за изразите на моќ. Потоа ќе ги анализираме.

Работа со база и експонент

Постојат степени, чија основа и / или експонент не се само броеви или променливи, туку некои изрази. Како пример, ги прикажуваме записите (2 + 0,37) 5-3,7 и (a (a + 1) -a 2) 2 (x + 1).

Кога работите со такви изрази, можете да го замените и изразот врз основа на степенот и изразот во експонентот со идентично еднаков израз на ОДЗ на неговите променливи. Со други зборови, можеме, според правилата што ни се познати, одделно да ја трансформираме основата на степенот, а одделно - експонентот. Јасно е дека како резултат на оваа трансформација, ќе се добие израз кој е идентично еднаков со оригиналниот.

Ваквите трансформации ни овозможуваат да ги поедноставиме изразите со моќ или да постигнеме други цели што ни се потребни. На пример, во горниот експоненцијален израз (2 + 0.3 · 7) 5-3.7, можете да извршите дејства со броевите во основата и експонентот, што ќе ви овозможи да отидете на моќност 4.1 1.3. И по проширување на заградата и намалување на слични термини во основата на степенот (a (a + 1) −a 2) 2 (x + 1), добиваме израз на моќност од поедноставна форма a 2

Користење на својствата на степенот

Една од главните алатки за претворање на изразите со моќ е одразот на еднаквостите. Да се ​​потсетиме на главните. За сите позитивни броеви a и b и произволни реални броеви r и s, следниве својства на моќност се вистинити:

• a r a s = a r + s;
• a r: a s = a r - s;
• (a b) r = a r b r;
• (a: b) r = a r: b r;
• (а р) с = а р с.

Забележете дека за природни, цели и исто така позитивни експоненти, ограничувањата на броевите a и b можеби не се толку строги. На пример, за природните броеви m и n, еднаквоста a m a n = a m + n важи не само за позитивните a, туку и за негативните, и за a = 0.

На училиште, главното внимание при трансформирање на изразите на моќност е фокусирано токму на способноста да се избере соодветен имот и правилно да се примени. Во овој случај, основите на степени обично се позитивни, што овозможува користење на својствата на степени без ограничувања. Истото важи и за трансформација на изрази што содржат променливи во основи на степени - опсегот на допуштените вредности на променливите е обично таков што основите земаат само позитивни вредности, што ви овозможува слободно да ги користите својствата на степени На Во принцип, треба постојано да се прашувате дали е можно во овој случај да се примени какво било својство на степени, бидејќи неточната употреба на својствата може да доведе до стеснување на ODV и други проблеми. Овие точки се дискутирани детално и со примери во статијата за конверзија на изрази користејќи својства на степенот. Тука се ограничуваме на неколку едноставни примери.

Пример.

Замислете го изразот a 2.5 · (a 2) −3: a −5.5 како моќ со база a.

Решение.

Прво, вториот фактор (a 2) −3 се трансформира со својството на подигање моќност на моќност: (a 2) −3 = a 2 (−3) = a −6... Оригиналниот експоненцијален израз потоа ќе добие форма 2.5 · a −6: a −5.5. Очигледно, останува да ги искористиме својствата на множење и поделба на силите со иста основа, имаме
a 2,5 a -6: a -5,5 =
a 2.5−6: a −5.5 = a −3.5: a −5.5 =
a −3,5 - ( - 5,5) = a 2.

Одговори:

a 2.5 (a 2) −3: a −5.5 = a 2.

Моќните својства се користат и од лево кон десно и од десно кон лево при трансформирање на експоненцијални изрази.

Пример.

Најдете ја вредноста на експоненцијалниот израз.

Решение.

Еднаквоста (a b) r = a r b r, применета од десно кон лево, ви овозможува да преминете од оригиналниот израз на производот на формата и понатаму. И кога се множат степени со исти основи, индикаторите се собираат: .

Можно беше да се изврши трансформација на оригиналниот израз на друг начин:

Одговори:

.

Пример.

Со оглед на експоненцијалниот израз a 1.5 −a 0.5 −6, внесете ја новата променлива t = a 0.5.

Решение.

Степенот a 1.5 може да се претстави како 0.5 · 3 и понатаму, врз основа на својството на степенот до степен (ar) s = ar · s, применет од десно кон лево, претворете го во форма (a 0,5) 3 На Така, a 1.5 −a 0.5 −6 = (a 0.5) 3 −a 0.5 −6... Сега е лесно да се воведе нова променлива t = a 0.5, добиваме t 3 −t - 6.

Одговори:

t 3 −t - 6.

Конвертирање дропки што содржат сили

Моќните изрази можат да содржат дропки со моќи или да бидат такви дропки. Било која од основните трансформации на дропки што се својствени за дропки од секаков вид се целосно применливи за таквите дропки. Односно, дропките што содржат овластувања може да се откажат, да се сведат на нов именител, да работат одделно со нивниот броител и одделно со именителот, итн. За да ги илустрирате изговорените зборови, разгледајте ги решенијата на неколку примери.

Пример.

Поедноставете експоненцијален израз .

Решение.

Овој експоненцијален израз е дропка. Ајде да работиме со неговиот броител и именител. Во броителот, ги отвораме заградите и го поедноставуваме изразот добиен после тоа користејќи ги својствата на силите, а во именителот даваме слични термини:

И ние исто така го менуваме знакот на именителот со ставање минус пред дропката: .

Одговори:

.

Намалувањето на дропките што содржат овластувања на нов именител се спроведува слично како и намалувањето на рационалните дропки на нов именител. Во овој случај, се наоѓа и дополнителен фактор и броителот и именителот на дропката се множат со него. При изведување на оваа акција, вреди да се запамети дека намалувањето на нов именител може да доведе до стеснување на ОДВ. За да се спречи тоа да се случи, неопходно е дополнителниот фактор да не исчезне за ниедна вредност на променливите од променливите ODZ за оригиналниот израз.

Пример.

Намали дропки на нов именител: а) на именител а, б) до именителот.

Решение.

а) Во овој случај, сосема е лесно да се открие кој дополнителен фактор помага да се постигне посакуваниот резултат. Ова е фактор од 0.3, бидејќи a 0.7 · a 0.3 = a 0.7 + 0.3 = a. Забележете дека на опсегот на дозволените вредности на променливата a (ова е множество на сите позитивни реални броеви) степенот a 0.3 не исчезнува, затоа, имаме право да ги помножиме броителот и именителот на дадената дропка со овој дополнителен фактор:

б) Гледајќи повнимателно во именителот, можете да го откриете тоа

и множење на овој израз со ќе даде збир од коцките и, односно ,. И ова е новиот именител на кој треба да ја намалиме првобитната дропка.

Така најдовме дополнителен фактор. На опсегот на валидни вредности на променливите x и y, изразот не исчезнува, затоа, можеме да ги помножиме броителот и именителот на дропката со него:

Одговори:

а) , б) .

Кратенката на дропки што содржат сили исто така не е ништо ново: броителот и именителот се претставени како голем број фактори, а истите фактори на броителот и именителот се откажани.

Пример.

Намалете ја дропката: а) , б)

Решение.

а) Прво, броителот и именителот може да се намалат за броевите 30 и 45, што е 15. Исто така, очигледно, може да се изврши намалување за x 0,5 +1 и за ... Еве што имаме:

б) Во овој случај, истите фактори во броителот и именителот не се веднаш видливи. За да ги добиете, ќе треба да извршите прелиминарни трансформации. Во овој случај, тие се состојат во факторизирање на именителот во фактори според формулата за разлика на квадрати:

Одговори:

а)

б) .

Намалувањето на дропките на нов именител и намалувањето на дропките главно се користи за изведување дејства со дропки. Дејствата се изведуваат според познати правила. При собирање (одземање) дропки, тие се доведуваат до заеднички именител, по што се додаваат бројачите (се одземаат), а именителот останува ист. Резултатот е дропка, чиј броител е производ на броителите, а именителот е производ на именителите. Поделбата со дропка е множење со обратна од дропката.

Пример.

Следете ги чекорите .

Решение.

Прво, ги одземаме дропките во загради. За да го направите ова, ги доведуваме до заеднички именител, што е , по што ги одземаме броителите:

Сега ги множиме дропките:

Очигледно, можно е да се откаже со моќност од x 1/2, по што имаме .

Можете исто така да го поедноставите експоненцијалниот израз во именителот со користење на формулата за разлика од квадрати: .

Одговори:

Пример.

Поедноставете експоненцијален израз .

Решение.

Очигледно, оваа фракција може да се откаже за (x 2,7 +1) 2, ова ја дава фракцијата ... Јасно е дека треба да се направи нешто друго со степени на x. За да го направите ова, ние ја трансформираме добиената фракција во производ. Ова ни дава можност да го искористиме својството на поделба на степени со исти основи: ... И на крајот од процесот, од последниот производ преминуваме на дел.

Одговори:

.

И, исто така, додаваме дека е можно и во многу случаи пожелно да се пренесат множители со негативни експоненти од броителот на именител или од именителот на броителот, менувајќи го знакот на експонентот. Ваквите трансформации често ги поедноставуваат понатамошните активности. На пример, експоненцијален израз може да се замени со.

Преобразување на изрази со корени и моќи

Честопати во изразите во кои се бараат некои трансформации, заедно со силите со фракциони експоненти, има и корени. За да се трансформира таков израз во посакуваната форма, во повеќето случаи доволно е да се оди само до корените или само до силите. Но, бидејќи е попогодно да се работи со степени, тие обично одат од корени до степени. Сепак, препорачливо е да се спроведе таква транзиција кога ODZ на променливи за оригиналниот израз ви овозможува да ги замените корените со моќност без потреба да се повикувате на модулот или да го поделите ODV на неколку интервали (за ова детално разговаравме во статијата премин од корени во овластувања и назад.се воведува степен со ирационален индикатор, што овозможува да се зборува за степен со произволен реален показател. експоненцијална функција, што е аналитички поставено од степенот, во чија основа е бројот, а во индикаторот - променливата. Значи, ние сме соочени со експоненцијални изрази што содржат броеви во основата на степенот, и во експонентот - изрази со променливи, и природно има потреба да се извршат трансформации на таквите изрази.

Треба да се каже дека трансформацијата на изразите од овој тип обично треба да се изврши при решавање експоненцијални равенкии експоненцијални нееднаквостии овие конверзии се прилично едноставни. Во огромно мнозинство случаи, тие се базираат на својствата на степенот и главно се насочени кон воведување нова променлива во иднина. Можеме да ги покажеме со равенката 5 2 x + 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x - 1 = 0.

Прво, степените во кои се наоѓа збирот на променлива (или изрази со променливи) и број се заменуваат со производи. Ова се однесува на првиот и последниот термин од изразот на левата страна:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 = 0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x = 0.

Понатаму, двете страни на еднаквоста се поделени со изразот 7 2 x, кој зема само позитивни вредности на ODZ на променливата x за оригиналната равенка (ова е стандардна техника за решавање равенки од овој вид, ние не сме зборувајќи за тоа сега, затоа фокусирајте се на последователните трансформации на изразите со моќност):

Фракциите со моќност сега се откажани, што дава .

Конечно, односот на степени со исти експоненти се заменува со степени на односи, што доведува до равенката што е еквивалентно на ... Извршените трансформации ни овозможуваат да воведеме нова променлива, што го намалува решението на оригиналната експоненцијална равенка до решение на квадратната равенка

Лекција и презентација на тема: "Степен со негативен показател. Дефиниција и примери за решавање проблеми"

Дополнителни материјали
Почитувани корисници, не заборавајте да ги оставите вашите коментари, прегледи, желби. Сите материјали се проверени со антивирусна програма.

Наставни средства и симулатори во онлајн продавницата Интеграл за 8 одделение
Прирачник за учебникот Муравин Г.К. Прирачник за учебникот Алимов Ш.А.

Одредување на степен со негативен експонент

Ние добро знаеме дека секој број во нула степен е еднаков на еден. $ a ^ 0 = 1 $, $ a ≠ 0 $.
Се поставува прашањето, што ќе се случи ако бројот се зголеми на негативна моќност? На пример, на што е еднаков бројот $ 2 ^ (- 2) $?
Првите математичари кои го поставија ова прашање одлучија дека не вреди да се измисли тркалото, и добро беше што сите својства на степените останаа исти. Тоа е, кога се множат степени со иста основа, се додаваат експонентите.
Ајде да го разгледаме овој случај: $ 2 ^ 3 * 2 ^ (- 3) = 2 ^ (3-3) = 2 ^ 0 = 1 $.
Добивме дека производот на таквите броеви треба да даде еден. Единицата во производот се добива со множење на реципрочните броеви, односно $ 2 ^ (- 3) = \ frac (1) (2 ^ 3) $.

Ова расудување доведе до следнава дефиниција.
Дефиниција. Ако $ n $ е природен број и $ a ≠ 0 $, тогаш еднаквоста важи: $ a ^ (- n) = \ frac (1) (a ^ n) $.

Важен идентитет што често се користи: $ (\ frac (a) (b)) ^ (- n) = (\ frac (b) (a)) ^ n $.
Особено, $ (\ frac (1) (а)) ^ (- n) = a ^ n $.

Примери за решенија

Решение.
Ајде да го разгледаме секој термин одделно.
1. $ 2 ^ (- 3) = \ frac (1) (2 ^ 3) = \ frac (1) (2 * 2 * 2) = \ frac (1) (8) $.
2. $ (\ frac (2) (5)) ^ (- 2) = (\ frac (5) (2)) ^ 2 = \ frac (5 ^ 2) (2 ^ 2) = \ frac (25) (4) $.
3. $ 8 ^ (- 1) = \ frac (1) (8) $.
Останува да се извршат операции за собирање и одземање: $ \ frac (1) (8) + \ frac (25) (4) - \ frac (1) (8) = \ frac (25) (4) = 6 \ frac ( 1) (4) $.
Одговор: $ 6 \ frac (1) (4) $.

Пример 2.
Претставете даден број како главна моќност $ \ frac (1) (729) $.

Решение.
Очигледно, $ \ frac (1) (729) = 729 ^ (- 1) $.
Но, 729 не е прост број што завршува со 9. Може да се претпостави дека овој број е моќност од три. Дозволете ни последователно да ја поделиме 729 со 3.
1) $ \ frac (729) (3) = 243 $;
2) $ \ frac (243) (3) = 81 $;
3) $ \ frac (81) (3) = 27 $;
4) $ \ frac (27) (3) = 9 $;
5) $ \ frac (9) (3) = 3 $;
6) $ \ frac (3) (3) = 1 $.
Извршени се шест операции, што значи: $ 729 = 3 ^ 6 $.
За нашата задача:
$729^{-1}=(3^6)^{-1}=3^{-6}$.
Одговор: $ 3 ^ (- 6) $.

Пример 3. Претставете го изразот како моќ: $ \ frac (a ^ 6 * (a ^ (- 5)) ^ 2) ((a ^ (- 3) * a ^ 8) ^ (- 1)) $.
Решение. Првото дејство секогаш се изведува во заградата, потоа множењето $ \ frac (a ^ 6 * (a ^ (- 5)) ^ 2) ((a ^ (- 3) * a ^ 8) ^ (- 1) ) = \ frac (a ^ 6 * a ^ (- 10)) ((a ^ 5) ^ (- 1)) = \ frac (a ^ ((- 4))) (a ^ ((- 5)) ) = a ^ (-4- (- 5)) = a ^ (- 4 + 5) = a $.
Одговор: $ a $.

Пример 4. Докажете го идентитетот:
$ (\ frac (y ^ 2 (xy ^ (- 1) -1) ^ 2) (x (1 + x ^ (- 1) y) ^ 2) * \ frac (y ^ 2 (x ^ (- 2 ) + y ^ (- 2))) (x (xy ^ (- 1) + x ^ (- 1) y))): \ frac (1-x ^ (- 1) y) (xy ^ (- 1 ) +1) = \ frac (xy) (x + y) $.

Решение.
Лево, ќе го разгледаме секој фактор во заградата одделно.
1. $ \ frac (y ^ 2 (xy ^ (- 1) -1) ^ 2) (x (1 + x ^ (- 1) y) ^ 2) = \ frac (y ^ 2 (\ frac (x ) (y) -1) ^ 2) (x (1+ \ frac (y) (x)) ^ 2) = \ frac (y ^ 2 (\ frac (x ^ 2) (y ^ 2) -2 \ frac (x) (y) +1)) (x (1 + 2 \ frac (y) (x) + \ frac (y ^ 2) (x ^ 2))) = \ frac (x ^ 2-2xy + y ^ 2) (x + 2y + \ frac (y ^ 2) (x)) = \ frac (x ^ 2-2xy + y ^ 2) (\ frac (x ^ 2 + 2xy + y ^ 2) (x )) = \ frac (x (x ^ 2-2xy + y ^ 2)) ((x ^ 2 + 2xy + y ^ 2)) $.
2. $ \ frac (y ^ 2 (x ^ (- 2) + y ^ (- 2))) (x (xy ^ (- 1) + x ^ (- 1) y)) = \ frac (y ^ 2 (\ frac (1) (x ^ 2) + \ frac (1) (y ^ 2))) (x (\ frac (x) (y) + \ frac (y) (x))) = \ frac (\ frac (y ^ 2) (x ^ 2) +1) (\ frac (x ^ 2) (y) + y) = \ frac (\ frac (y ^ 2 + x ^ 2) (x ^ 2) ) ((\ frac (x ^ 2 + y ^ 2) (y)) = \ frac (y ^ 2 + x ^ 2) (x ^ 2) * \ frac (y) (x ^ 2 + y ^ 2 ) = \ frac (y) (x ^ 2) $.
3. $ \ frac (x (x ^ 2-2xy + y ^ 2)) ((x ^ 2 + 2xy + y ^ 2)) * \ frac (y) (x ^ 2) = \ frac (y (x ^ 2-2xy + y ^ 2)) (x (x ^ 2 + 2xy + y ^ 2)) = \ frac (y (xy) ^ 2) (x (x + y) ^ 2) $.
4. Да преминеме на дропката со која се делиме.
$ \ frac (1-x ^ (- 1) y) (xy ^ (- 1) +1) = \ frac (1- \ frac (y) (x)) (\ frac (x) (y) +1 ) = \ frac (\ frac (xy) (x)) [\ frac (x + y) (y)) = \ frac (xy) (x) * \ frac (y) (x + y) = \ frac ( y (xy)) (x (x + y)) $.
5. Ајде да ја направиме поделбата.
$ \ frac (y (xy) ^ 2) (x (x + y) ^ 2): \ frac (y (xy)) (x (x + y)) = \ frac (y (xy) ^ 2) ( x (x + y) ^ 2) * \ frac (x (x + y)) (y (xy)) = \ frac (xy) (x + y) $.
Добивме точен идентитет, што требаше да се докаже.

На крајот на лекцијата, уште еднаш ќе ги запишеме правилата за работа со моќност, тука експонентот е цел број.
$ a ^ s * a ^ t = a ^ (s + t) $.
$ \ frac (a ^ s) (a ^ t) = a ^ (s-t) $.
$ (a ^ s) ^ t = a ^ (st) $.
$ (ab) ^ s = a ^ s * b ^ s $.
$ (\ frac (a) (b)) ^ s = \ frac (a ^ s) (b ^ s) $

Задачи за независно решение

Во оваа статија ќе разбереме што е тоа степен на... Овде ќе дадеме дефиниции за степенот на број, додека детално ги разгледуваме сите можни експоненти, почнувајќи со природен експонент, завршувајќи со ирационален. Во материјалот ќе најдете многу примери на степени, опфаќајќи ги сите суптилностите што произлегуваат.

Навигација на страница.

Степен со природен експонент, квадрат на број, коцка со број

Да почнеме со. Гледајќи напред, велиме дека дефиницијата за степенот на бројот a со природен експонент n е дадена за a, која ќе ја наречеме основен степен, и n, што ќе ги наречеме експонент... Исто така, забележуваме дека степенот со природен показател се одредува преку производот, така што за да го разберете материјалот подолу, треба да имате идеја за множење на броеви.

Дефиниција.

Моќност на бројот a со природен експонент nе израз на формата n, чија вредност е еднаква на производот од n фактори, од кои секоја е еднаква на a, односно ,.
Особено, моќноста на бројот a со експонент 1 е самиот број a, односно a 1 = a.

Треба веднаш да се каже за правилата за степени на читање. Универзалниот начин за читање на запис a n е следниот: „a до моќта на n“. Во некои случаи, следниве опции се исто така прифатливи: "a до n-та моќност" и "n-ти моќност на бројот a". На пример, земете ја моќноста од 8 12, што е „осум до моќност на дванаесет“ или „осум до дванаесеттиот степен“ или „дванаесетта моќност од осум“.

Вториот степен на број, како и третиот степен на број, имаат свои имиња. Се нарекува втор степен на број квадратен бројна пример, 7 2 гласи „седум на квадрат“ или „квадрат на бројот седум“. Третата моќност на бројот се нарекува коцки броевина пример, 5 3 може да се чита како „коцка пет“ или да се каже „коцка со број 5“.

Време е да се води примери на степени со природни показатели... Да почнеме со моќноста на 5 7, тука 5 е основата на моќноста, а 7 е експонентот. Да дадеме уште еден пример: 4.32 е база, а природниот број 9 е експонент (4.32) 9.

Ве молиме имајте предвид дека во последниот пример, основата на моќноста од 4,32 е напишана во загради: за да избегнеме забуна, ќе ги ставиме во загради сите основи од степенот што се различни од природните броеви. Како пример, ги даваме следните степени со природни показатели , нивните основи не се природни броеви, па затоа се напишани во заграда. Па, за целосна јасност во овој момент, ќе ја покажеме разликата помеѓу записите на формата (−2) 3 и −2 3. Изразот (−2) 3 е моќност на −2 со природен експонент 3, а изразот −2 3 (може да се запише како - (2 3)) одговара на бројот, вредноста на моќноста 2 3 На

Забележете дека постои ознака за степенот на бројот a со експонент n на формата a ^ n. Покрај тоа, ако n е природен број со повеќе вредности, тогаш експонентот се зема во загради. На пример, 4 ^ 9 е друга ознака за моќноста на 4 9. И еве уште неколку примери за пишување степени користејќи го симболот „ ^“: 14 ^ (21), (−2,1) ^ (155). Во следното, главно ќе ја користиме ознаката за степенот на формата n.

Една од задачите, обратна од покачувањето со природен експонент, е проблемот да се најде основата на степенот од позната вредност на степенот и познат експонент. Оваа задача води кон.

Познато е дека множеството рационални броеви се состои од цели броеви и дропки, и секој дробен број може да се претстави како позитивна или негативна обична дропка. Ние го дефиниравме степенот со целпен експонент во претходниот став, затоа, за да ја завршиме дефиницијата за степен со рационален експонент, треба да дадеме смисла за степенот на бројот a со фракционен експонент m / n, каде што m е цел број, а n е природен број. Ајде да го направиме тоа.

Размислете за степен со фракционо показател на формата. За својството на степен до степен да биде валидно, еднаквоста ... Ако ја земеме предвид добиената еднаквост и начинот на кој ја определивме, тогаш логично е да се прифати, под услов за дадените m, n и a, изразот да има смисла.

Лесно е да се потврди дека за сите својства на степен со целосен експонент (ова е направено во делот за својства на степен со рационален експонент).

Горенаведеното размислување ни овозможува да го направиме следново. излез: ако за дадени m, n и a изразот има смисла, тогаш моќта на бројот a со дробен експонент m / n се нарекува n -ти корен на a до моќноста на m.

Оваа изјава н brings приближува многу блиску до одредување на степенот со фракционо показател. Останува само да се опише за кое м, n и a изразот има смисла. Постојат два главни пристапа во зависност од ограничувањата на m, n и a.

Најлесно е да се ограничи a со прифаќање a≥0 за позитивен m и a> 0 за негативен m (бидејќи за m≤0 степенот 0 m не е дефиниран). Потоа ја добиваме следнава дефиниција за дробен експонент.

Дефиниција.

Моќта на позитивниот број a со дробен експонент m / n, каде што m е цел број, а n е природен број, се нарекува n -ти корен на a до моќта на m, односно ,.

Фракционата моќност од нула исто така се одредува со единствено услов дека индикаторот мора да биде позитивен.

Дефиниција.

Моќност на нула со позитивна фракционална експонент m / n, каде што m е позитивен цел број, а n е природен број, се дефинира како .
Кога степенот не е одреден, односно степенот на број нула со фракционо негативен експонент нема смисла.

Треба да се напомене дека со таква дефиниција за степен со фракционо показател, постои една нијанса: за некои негативни a, а некои m и n, изразот има смисла, и ние ги отфрливме овие случаи со воведување на состојбата a≥0. На пример, има смисла да се пишува или, и дефиницијата дадена погоре н forces принудува да кажеме дека степени со фракционо показател на формата немаат смисла, бидејќи основата не треба да биде негативна.

Друг пристап за одредување на експонентот со дробен експонент m / n е одделно да се земат предвид непарните и парни експоненти на коренот. Овој пристап бара дополнителен услов: степенот на бројот a, чиј показател е, се смета за моќност на бројот a, чиј индикатор е соодветната ненамалива фракција (важноста на оваа состојба ќе биде објаснета подолу). Тоа е, ако m / n е неповторлива дропка, тогаш за секој природен број k, степенот е прелиминарно заменет со.

За дури и n и позитивен m, изразот има смисла за секој не-негативен a (парен корен на негативен број нема смисла), за негативен m, бројот a с still уште мора да биде нула (во спротивно, ќе има поделба со нула ). И за непарните n и позитивните m, бројот a може да биде кој било (коренот на непарен степен е дефиниран за секој реален број), а за негативниот m, бројот a мора да биде нула (така што нема поделба со нула) На

Горенаведеното расудување н leads води до таква дефиниција на степенот со фракционо показател.

Дефиниција.

Нека m / n е непропустлива дропка, m цел број, а n природен број. За секоја фракција што може да се откаже, експонентот се заменува со. Моќта на број со несводлив фракционен експонент m / n е за



Дозволете ни да објасниме зошто степенот со редуцирачки фракционен експонент е претходно заменет со степен со неповторлив експонент. Ако едноставно го дефинираме степенот како, и не направивме резервација за непоправливоста на дропката m/n, тогаш ќе се соочиме со ситуации слични на следново: од 6/10 = 3/5, тогаш еднаквоста треба да важи , но , а.

Во една од претходните статии, ние веќе го споменавме степенот на број. Денес ќе се обидеме да се ориентираме во процесот на наоѓање на неговото значење. Научно гледано, ќе сфатиме како правилно да се подигнеме на моќ. Willе откриеме како се спроведува овој процес, во исто време ќе ги допреме сите можни показатели за степен: природни, ирационални, рационални, цели.

Значи, ајде внимателно да ги разгледаме решенијата на примерите и да откриеме што значи тоа:

1. Дефиниција на концептот.
2. Подигнување на негативна уметност.
3. Целосен индикатор.
4. Подигање број на ирационална моќ.

Дефиниција на концептот

Еве дефиниција која точно го отсликува значењето: „Експоненцијацијата е дефиниција на значењето на моќноста на бројот“.

Соодветно на тоа, подигнување на бројот a на чл. r и процесот на пронаоѓање на вредноста на експонентот a со експонент r се идентични поими. На пример, ако задачата е да се пресмета вредноста на моќноста (0,6) 6 ″, тогаш може да се поедностави до изразот „Подигнете го бројот 0,6 до моќност од 6“.

После тоа, можете да продолжите директно до градежните правила.

Негативно покачување

За јасност, треба да обрнете внимание на следниот синџир на изрази:

110 = 0.1 = 1 * 10 во минус 1 ст.,

1100 = 0,01 = 1 * 10 во минус 2 чекори.,

11000 = 0.0001 = 1 * 10 минус 3 ул.,

110000 = 0,00001 = 1 * 10 во минус 4 степени.

Благодарение на овие примери, можете јасно да ја видите способноста веднаш да пресметате 10 на било која минус моќност. За таа цел, доста е мачно да се префрли децималната компонента:

• 10 до -1 степени - пред единицата 1 нула;
• на -3 - три нули пред една;
• во -9 е 9 нули и така натаму.

Исто толку е лесно да се разбере според оваа шема, колку ќе биде 10 до минус 5 лажици. -

1100000=0,000001=(1*10)-5.

Како да се подигне природен број

Потсетувајќи на дефиницијата, земаме предвид дека природниот број a во чл. n е еднаков на производот од n фактори, од кои секој е еднаков на a. За илустрација: (a * a * ... a) n, каде n е бројот на броеви што се множат. Според тоа, за да се подигне a до n, неопходно е да се пресмета производот од следнава форма: a * a * ... и да се подели со n пати.

Од ова станува очигледно дека ерекција во природна уметност. се потпира на способноста за множење(Овој материјал е опфатен во делот за множење реални броеви). Ајде да го разгледаме проблемот:

Ерекција -2 во 4 -ти ул.

Имаме работа со природен показател. Според тоа, текот на одлуката ќе биде како што следува: (-2) во уметноста. 4 = (-2) * (- 2) * (- 2) * (- 2). Сега останува само да се изврши множење на цели броеви: (- 2) * (- 2) * (- 2) * (- 2). Добиваме 16.

Одговор на проблемот:

(-2) во уметноста. 4 = 16.

Пример:

Пресметајте ја вредноста: три точки две седумки на квадрат.

Овој пример е еднаков на следниов производ: три точки две седмини помножени со три точки две седмини. Сеќавајќи се како се врши множењето мешани броеви, ја завршуваме конструкцијата:

• 3 бода 2 седмини се множат сами по себе;
• еднакво на 23 седмини помножено со 23 седмини;
• еднаква на 529 четириесет и деветта;
• сечеме и добиваме 10 триесет и девет четириесет и девет.

Одговори: 10 39/49

Во однос на прашањето за покачување на ирационален показател, треба да се забележи дека пресметките почнуваат да се вршат по завршувањето на прелиминарното заокружување на основата на степенот до која било категорија што ќе овозможи добивање вредност со дадена точност. На пример, треба да го квадрираме бројот P (pi).

Започнуваме со заокружување на P до стотинки и добиваме:

P во квадрат = (3.14) 2 = 9.8596. Меѓутоа, ако го намалиме P на десет илјадити, добиваме P = 3.14159. Потоа квадратурата добива сосема поинаков број: 9.8695877281.

Тука треба да се напомене дека во многу проблеми нема потреба да се креваат ирационални бројки до моќ. Како по правило, одговорот е напишан или во форма на степен, на пример, корен од 6 до моќност од 3, или, ако дозволи изразот, се врши негова трансформација: корен од 5 во моќност 7 = 125 корен од 5.

Како да се подигне број на цела моќ

Оваа алгебарска манипулација е соодветна земете ги предвид следниве случаи:

• за цели броеви;
• за индикатор за нула;
• за цел позитивен показател.

Бидејќи практично сите позитивни цели броеви се совпаѓаат со масата на природни броеви, тогаш поставувањето позитивна целина е ист процес како и поставувањето во уметноста. природно. Овој процес го опишавме во претходниот став.

Сега ајде да зборуваме за пресметување на уметноста. нула. Ние веќе дознавме погоре дека нултиот степен на бројот a може да се определи за било кое нула a (реално), додека a во чл. 0 ќе биде еднакво на 1.

Соодветно на тоа, подигање на секој реален број на нула ул. ќе даде еден.

На пример, 10 во ул. 0 = 1, (-3,65) 0 = 1, и 0 во ул. 0 не може да се одреди.

За да се заврши издигнувањето до целина, останува да се одлучи за опциите за цели негативни вредности. Се сеќаваме на уметноста. од со цел број експонент -z ќе се дефинира како дропка. Именувачот на дропката е уметност. со позитивна целобројна вредност, чија вредност веќе научивме да ја наоѓаме. Сега останува само да се разгледа пример за изградба.

Пример:

Пресметајте ја вредноста на бројот 2 во коцка со негативен целпен експонент.

Процес на решавање:

Според дефиницијата за степен со негативен индикатор, означуваме: два на минус 3 лажици. еднакво на еден до два во трет степен.

Именувачот се пресметува едноставно: две коцки;

3 = 2*2*2=8.

Одговори: две во минус 3 -та лажица. = една осмина.

Видео

Ова видео ќе ви покаже што да направите ако степенот е негативен.