Cho hình nón tròn thẳng có đỉnh là m.Chuyên đề: Hình nón tròn xoay. Mặt cắt của hình nón bởi các mặt phẳng. Thuộc tính chính của hình elip

Giới thiệu

Mức độ phù hợp của đề tài nghiên cứu. Các phần hình nón đã được các nhà toán học của Hy Lạp cổ đại biết đến (ví dụ, Menechmu, thế kỷ thứ 4 trước Công nguyên); với sự trợ giúp của những đường cong này, một số vấn đề về xây dựng (nhân đôi một khối lập phương, v.v.) đã được giải quyết, mà hóa ra là không thể tiếp cận được khi sử dụng các công cụ vẽ đơn giản nhất - la bàn và thước kẻ. Trong những nghiên cứu đầu tiên đến với chúng ta, máy đo địa chất Hy Lạp đã thu được các mặt cắt hình nón bằng cách vẽ một mặt phẳng cắt vuông góc với một trong các bậc sinh trưởng, trong khi đó, tùy thuộc vào góc mở ở đỉnh của hình nón (tức là góc lớn nhất giữa các bậc gốc. của một hốc), đường giao nhau trở thành một hình elip, nếu góc này là góc nhọn, parabol nếu nó là đường thẳng và hyperbol nếu nó là góc tù. Công trình hoàn chỉnh nhất về những đường cong này là "Phần hình nón" của Apollonius ở Perga (khoảng 200 năm trước Công nguyên). Những tiến bộ hơn nữa trong lý thuyết về mặt cắt hình nón gắn liền với sự sáng tạo vào thế kỷ 17. các phương pháp hình học mới: xạ ảnh (các nhà toán học Pháp J. Desargues, B. Pascal) và đặc biệt là tọa độ (các nhà toán học Pháp R. Descartes, P. Fermat).

Sự quan tâm đến các mặt cắt hình nón luôn được ủng hộ bởi thực tế là những đường cong này thường được tìm thấy trong các hiện tượng tự nhiên khác nhau và trong hoạt động của con người. Trong khoa học, các mặt cắt hình nón có ý nghĩa đặc biệt sau khi nhà thiên văn học người Đức I. Kepler phát hiện ra từ các quan sát và nhà khoa học người Anh I. Newton về mặt lý thuyết đã chứng minh các quy luật chuyển động của hành tinh, một trong số đó tuyên bố rằng các hành tinh và sao chổi của hệ mặt trời chuyển động theo hình nón các phần, ở một trong số đó có Mặt trời. Các ví dụ sau đây liên quan đến các dạng mặt cắt hình nón riêng lẻ: một hình parabol mô tả một đường đạn hoặc một viên đá được ném xiên về phía chân trời (hình dạng chính xác của đường cong có phần bị bóp méo bởi sức cản của không khí); một số cơ chế sử dụng bánh răng hình elip ("bánh răng hình elip"); hyperbole đóng vai trò như một đồ thị của tỷ lệ nghịch, thường được quan sát trong tự nhiên (ví dụ, định luật Boyle).

Khách quan:

Nghiên cứu lý thuyết về mặt cắt conic.

Đề tài nghiên cứu:

Các mặt cắt hình nón.

Mục đích nghiên cứu:

Nghiên cứu lý thuyết các tính năng của mặt cắt hình nón.

Đối tượng nghiên cứu:

Các mặt cắt hình nón.

Đề tài nghiên cứu:

Lịch sử phát triển của mặt cắt hình nón.

1. Sự hình thành các phần hình nón và các loại của chúng

Phần hình côn là các đường được tạo thành trong phần của một hình nón tròn thẳng với các mặt phẳng khác nhau.

Lưu ý rằng bề mặt hình nón là bề mặt được tạo thành bởi chuyển động của một đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định (đỉnh của hình nón) và luôn luôn cắt nhau một đường cong cố định - một hướng dẫn (trong trường hợp của chúng ta là một đường tròn) .

Bằng cách phân loại các đường này theo bản chất của sự sắp xếp của các mặt phẳng liên quan đến các dạng chung của hình nón, thu được các đường cong có ba dạng:

I. Các đường cong tạo bởi thiết diện của hình nón bởi các mặt phẳng không song song với bất kỳ hình sinh nào. Các đường cong này sẽ là các hình tròn và hình elip khác nhau. Những đường cong này được gọi là đường cong kiểu elip.

II. Các đường cong tạo bởi tiết diện của hình nón bởi các mặt phẳng, mỗi mặt phẳng song song với một trong các đường sinh của hình nón (Hình 1 b). Chỉ các parabol mới là những đường cong như vậy.

III. Các đường cong tạo bởi tiết diện của hình nón bởi các mặt phẳng, mỗi mặt phẳng song song với một số hai máy phát (Hình 1c). những đường cong như vậy là siêu cực.

Không thể có bất kỳ loại đường cong IV nào nữa, vì không thể có mặt phẳng song song với ba bộ tạo của hình nón cùng một lúc, vì bản thân ba bộ tạo của hình nón đã không nằm trong cùng một mặt phẳng.

Lưu ý rằng hình nón có thể được cắt bởi các mặt phẳng sao cho thu được hai đường thẳng trong phần. Đối với điều này, các mặt phẳng ly khai phải được vẽ qua đỉnh của hình nón.

2. Hình elip

Hai định lý rất quan trọng để nghiên cứu các tính chất của phần conic:

Định lý 1. Cho hình nón tròn xoay đã cho, cắt bởi các mặt phẳng b 1, b 2, b 3, vuông góc với trục của nó. Khi đó tất cả các phân đoạn của hình nón giữa bất kỳ cặp đường tròn nào (thu được trong phần có các mặt phẳng này) đều bằng nhau, tức là A 1 B 1 = A 2 B 2 = v.v. và B 1 C 1 = B 2 C 2 = v.v. Định lý 2. Nếu một mặt cầu cho trước và một số điểm S nằm ngoài nó, thì các đoạn của các tiếp tuyến vẽ từ điểm S đến mặt cầu sẽ bằng nhau, nghĩa là SA 1 = SA 2 = SA 3, v.v.

2.1 Thuộc tính chính của hình elip

Chúng ta cắt một hình nón tròn thẳng bằng một mặt phẳng cắt tất cả các đường sinh của nó, trong phần ta được một hình elip. Ta vẽ mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng qua trục của hình nón.

Cho hai viên bi vào hình nón sao cho nằm ở hai phía đối diện của mặt phẳng và tiếp xúc với mặt hình nón, mỗi viên đều tiếp xúc với mặt phẳng tại một điểm nào đó.

Giả sử rằng một quả bóng tiếp xúc với mặt phẳng tại điểm F 1 và tiếp xúc với hình nón dọc theo đường tròn С 1, và quả bóng kia - tại điểm F 2 và tiếp xúc với hình nón dọc theo đường tròn С 2.

Lấy một điểm P tùy ý trên elip.

Điều này có nghĩa là tất cả các kết luận rút ra về nó sẽ có giá trị đối với bất kỳ điểm nào của hình elip. Chúng ta hãy vẽ sinh ra OP của hình nón và đánh dấu các điểm R 1 và R 2 tại đó nó tiếp xúc với các quả bóng đã xây dựng.

Hãy nối điểm P với điểm F 1 và F 2. Khi đó РF 1 = РR 1 và РF 2 = РR 2, vì РF 1, РR 1 là các tiếp tuyến vẽ từ điểm Р đến một quả bóng, và РF 2, РR 2 là các tiếp tuyến vẽ từ điểm Р đến một quả bóng khác (Định lý 2). Cộng cả hai số bằng nhau theo từng thuật ngữ, chúng tôi thấy

РF 1 + РF 2 = РR 1 + РR 2 = R 1 R 2 (1)

Mối quan hệ này cho thấy rằng tổng các khoảng cách (РF 1 và РF 2) của một điểm P tùy ý của elip đến hai điểm F 1 và F 2 là một giá trị không đổi đối với một elip đã cho (nghĩa là nó không phụ thuộc vào vị trí của điểm P trên elip).

Điểm F 1 và F 2 được gọi là tiêu điểm của elip. Các điểm mà đường thẳng F 1 F 2 cắt elip được gọi là các đỉnh của elip. Đoạn giữa các đỉnh được gọi là trục chính của elip.

Đoạn của ma trận R 1 R 2 có độ dài bằng trục chính của hình elip. Khi đó, tính chất chính của hình elip được xây dựng như sau: tổng khoảng cách của một điểm P tùy ý của elip tới tiêu điểm F 1 và F 2 của nó là một giá trị không đổi đối với một elip đã cho, bằng độ dài trục chính của nó .

Lưu ý rằng nếu các tiêu điểm của hình elip trùng nhau, thì elip là một hình tròn, tức là một hình tròn là một trường hợp đặc biệt của một hình elip.

2.2 Phương trình của một hình elip

Để lập phương trình của elip, ta phải coi elip là quỹ tích của các điểm có một số tính chất đặc trưng cho quỹ tích này. Hãy lấy tính chất chính của hình elip cho định nghĩa của nó: Hình elip là quỹ tích của các điểm trên mặt phẳng mà tổng khoảng cách đến hai điểm cố định F 1 và F 2 của mặt phẳng này, được gọi là foci, là một giá trị không đổi bằng đến chiều dài của trục chính của nó.

Cho độ dài của đoạn thẳng F 1 F 2 = 2с, và độ dài của trục chính bằng 2а. Để suy ra phương trình chính tắc của elip, ta chọn gốc tọa độ O của hệ tọa độ Descartes ở giữa đoạn F 1 F 2, và hướng các trục Ox và Oy như hình 5. (Nếu các điểm trùng nhau thì O trùng với F 1 và F 2, đối với trục Ox có thể lấy trục bất kỳ đi qua O). Khi đó trong hệ tọa độ đã chọn điểm F 1 (s, 0) và F 2 (-s, 0). Rõ ràng, 2a> 2c, tức là a> c. Gọi M (x, y) là một điểm trong mặt phẳng thuộc elip. Cho МF 1 = r 1, МF 2 = r 2. Theo định nghĩa của một hình elip, đẳng thức

r 1 + r 2 = 2a (2) là điều kiện cần và đủ về vị trí của điểm M (x, y) trên elip cho trước. Sử dụng công thức cho khoảng cách giữa hai điểm, chúng tôi nhận được

r 1 =, r 2 =. Hãy trở lại bình đẳng (2):

Hãy di chuyển một căn sang phía bên phải của dấu đẳng thức và bình phương nó:

Giảm, chúng tôi nhận được:

Chúng tôi cho những cái tương tự, chúng tôi giảm chúng đi 4 và chúng tôi cô lập cái gốc:

Bình phương

Mở rộng dấu ngoặc và viết tắt thành:

khi nào chúng tôi nhận được:

(a 2 -c 2) x 2 + a 2 y 2 = a 2 (a 2 -c 2). (3)

Lưu ý rằng 2 -c 2> 0. Thật vậy, r 1 + r 2 là tổng hai cạnh của tam giác F 1 MF 2 và F 1 F 2 là cạnh thứ ba của nó. Do đó, r 1 + r 2> F 1 F 2, hoặc 2a> 2c, tức là a> c. Ta ký hiệu a 2 -c 2 = b 2. Phương trình (3) sẽ có dạng: b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2. Hãy thực hiện một phép biến đổi để đưa phương trình của elip về dạng chính tắc (nghĩa đen: được lấy làm mẫu), cụ thể là chia cả hai vế của phương trình cho a 2 b 2:

(4) - phương trình chính tắc của elip.

Vì phương trình (4) là hệ quả đại số của phương trình (2 *) nên tọa độ x và y của bất kỳ điểm M nào thuộc elip cũng thỏa mãn phương trình (4). Vì trong quá trình biến đổi đại số liên quan đến việc loại bỏ các gốc, các "căn phụ" có thể xuất hiện, nên cần đảm bảo rằng bất kỳ điểm M nào, có tọa độ thỏa mãn phương trình (4), đều nằm trên hình elip này. Để làm điều này, chỉ cần chứng minh rằng các giá trị r 1 và r 2 cho mỗi điểm thỏa mãn quan hệ (2). Vậy tọa độ x, y của điểm M thỏa mãn phương trình (4). Thay giá trị у 2 từ (4) vào biểu thức r 1, sau các phép biến đổi đơn giản ta thấy r 1 =. Từ đó r 1 =. Theo cách hoàn toàn tương tự, chúng ta thấy rằng r 2 =. Do đó, đối với điểm đã xét М r 1 =, r 2 =, tức là r 1 + r 2 = 2a nên điểm M nằm trên elip. Các đại lượng a và b lần lượt được gọi là các bán trục chính và phụ của elip.

2.3 Nghiên cứu hình dạng của một hình elip bằng phương trình của nó

Hãy để chúng tôi thiết lập hình dạng của elip bằng cách sử dụng phương trình chính tắc của nó.

1. Phương trình (4) chỉ chứa x và y trong các lũy thừa chẵn, do đó, nếu một điểm (x, y) thuộc một hình elip thì nó cũng chứa các điểm (x, - y), (-x, y), ( -x, - y). Theo đó, hình elip đối xứng qua các trục Ox và Oy, cũng như về điểm O (0,0), được gọi là tâm của elip.

2. Tìm giao điểm của elip với các trục tọa độ. Đặt y = 0, ta tìm được hai điểm A 1 (a, 0) và A 2 (-a, 0), tại đó trục Ox cắt elip. Đưa vào phương trình (4) x = 0, ta tìm được các giao điểm của elip với trục Oy: B 1 (0, b) và. B 2 (0, - b) Các điểm A 1, A 2, B 1, B 2 được gọi là các đỉnh của elip.

3. Từ phương trình (4), ta thấy rằng mỗi số hạng ở bên trái không vượt quá sự thống nhất, tức là bất bình đẳng và hoặc và. Do đó, tất cả các điểm của elip nằm bên trong hình chữ nhật tạo bởi các đường thẳng,.

4. Trong phương trình (4), tổng các số hạng không âm và bằng một. Do đó, với một kỳ hạn tăng lên, kỳ hạn kia sẽ giảm, tức là nếu x tăng thì y giảm và ngược lại.

Từ những gì đã được nói, nó tiếp theo rằng hình elip có hình dạng như trong Hình. 6 (đường cong kín hình bầu dục).

Lưu ý rằng nếu a = b thì phương trình (4) sẽ có dạng x 2 + y 2 = a 2. Đây là phương trình của đường tròn. Một hình elip có thể thu được từ một đường tròn có bán kính a, nếu nó bị nén theo thời gian dọc theo trục Oy. Với phép nén này, điểm (x; y) chuyển thành điểm (x; y 1), ở đâu. Thay đường tròn vào phương trình ta được phương trình của elip:.

Hãy giới thiệu thêm một đại lượng đặc trưng cho hình dạng của elip.

Độ lệch tâm của hình elip là tỷ số giữa tiêu cự 2c và độ dài 2a của trục chính của nó.

Độ lệch tâm thường được ký hiệu là e: e = Vì c< a, то. Заметив, что c 2 = a 2 - b 2 , находим: , отсюда.

Từ đẳng thức cuối cùng, có thể dễ dàng giải thích hình học về độ lệch tâm của hình elip. Đối với các số rất nhỏ, a và b gần như bằng nhau, nghĩa là, hình elip gần với một đường tròn. Nếu nó gần bằng một, thì số b rất nhỏ so với số a và hình elip bị kéo dài ra dọc theo trục chính. Do đó, độ lệch tâm của elip đặc trưng cho phép đo độ giãn dài của elip.

3. Hyperbola

3.1 Thuộc tính chính của hyperbola

Khảo sát hyperbol với sự trợ giúp của các cấu tạo tương tự như các cấu tạo được thực hiện để nghiên cứu hình elip, chúng ta thấy rằng hyperbol có các tính chất tương tự như của elip.

Chúng ta phân cắt một hình nón tròn thẳng bằng một mặt phẳng b cắt cả hai mặt phẳng của nó, tức là song song với hai máy phát điện của nó. Trong phần này, bạn sẽ có một hyperbola. Ta vẽ mặt phẳng ASB qua trục ST của hình nón, vuông góc với mặt phẳng b.

Chúng ta hãy đặt hai quả bóng vào hình nón - một quả bóng vào một trong các hốc của nó, quả bóng kia vào bên trong, sao cho mỗi quả bóng tiếp xúc với bề mặt hình nón và mặt phẳng tiếp giáp. Cho viên bi thứ nhất tiếp xúc với mặt phẳng b tại điểm F 1 và tiếp xúc với mặt nón dọc theo đường tròn UґVґ. Cho viên bi thứ hai tiếp xúc với mặt phẳng b tại điểm F 2 và tiếp xúc với mặt nón dọc theo đường tròn UV.

Chúng ta hãy chọn một điểm M. tùy ý trên hyperbol, vẽ qua đó đường sinh của hình nón MS và đánh dấu các điểm d và D tại đó nó tiếp xúc với quả bóng thứ nhất và thứ hai. Hãy nối điểm M với các điểm F 1, F 2, chúng ta sẽ gọi là tiêu điểm của hyperbol. Khi đó МF 1 = Md, vì cả hai đoạn đều tiếp tuyến với quả bóng thứ nhất, vẽ từ điểm M. Tương tự, МF 2 = MD. Lấy số hạng thứ nhất trừ đi số hạng bình đẳng thứ hai, chúng ta thấy

MF 1 -MF 2 = Md-MD = dD,

trong đó dD là một giá trị không đổi (như là ma trận hình nón có đáy là UґVґ và UV), không phụ thuộc vào sự lựa chọn của điểm M trên hyperbol. Gọi P và Q là các điểm mà đường thẳng F 1 F 2 cắt hyperbol. Các điểm P và Q này được gọi là các đỉnh của hyperbol. Đoạn PQ được gọi là trục thực của hyperbol. Trong quá trình hình học sơ cấp, người ta chứng minh rằng dD = PQ. Do đó, MF 1 -MF 2 = PQ.

Nếu điểm M nằm trên nhánh của hyperbol, gần tiêu điểm F 1, thì MF 2 -MF 1 = PQ. Sau đó, cuối cùng chúng ta nhận được MF 1 -MF 2 = PQ.

Môđun của hiệu số giữa khoảng cách của một điểm M tùy ý của hyperbol từ F 1 và F 2 của nó là một giá trị không đổi bằng độ dài trục thực của hyperbol.

3.2 Phương trình hyperbol

Hãy lấy tính chất chính của hyperbol làm định nghĩa của nó: Một hyperbol là quỹ tích của các điểm trên một mặt phẳng, mà môđun của sự khác biệt về khoảng cách đến hai điểm cố định F 1 và F 2 của mặt phẳng này, được gọi là foci, là a giá trị không đổi bằng độ dài trục thực của nó.

Cho độ dài đoạn F 1 F 2 = 2с, và độ dài trục thực bằng 2а. Để suy ra phương trình hyperbol chính tắc, ta chọn gốc tọa độ O của hệ tọa độ Descartes ở giữa đoạn F 1 F 2, và định hướng các trục Ox và Oy như trong Hình 5. Sau đó, trong hệ tọa độ đã chọn, điểm F 1 (c, 0) và F 2 (-c, 0). Rõ ràng, 2a<2с, т.е. а<с. Пусть М (х, у) - точка плоскости, принадлежащая гиперболе. Пусть МF 1 =r 1 , МF 2 =r 2 . Согласно определению гиперболы равенство

r 1 -r 2 = 2а (5) là điều kiện cần và đủ về vị trí của điểm M (x, y) trên một hyperbol cho trước. Sử dụng công thức cho khoảng cách giữa hai điểm, chúng tôi nhận được

r 1 =, r 2 =. Hãy trở lại bình đẳng (5):

Hình vuông cả hai mặt của bằng nhau

(x + c) 2 + y 2 = 4a 2 ± 4a + (x-c) 2 + y 2

Giảm, chúng tôi nhận được:

2 xc = 4a 2 ± 4a-2 xc

± 4a = 4a 2 -4 xs

a 2 x 2 -2a 2 xc + a 2 c 2 + a 2 y 2 = a 4 -2a 2 xc + x 2 c 2

x 2 (s 2 -a 2) - a 2 y 2 = a 2 (s 2 -a 2) (6)

Lưu ý rằng với 2 -а 2> 0. Ta ký hiệu với 2 -а 2 = b 2. Phương trình (6) sẽ có dạng: b 2 x 2 -a 2 y 2 = a 2 b 2. Chúng ta hãy thực hiện một phép biến đổi đưa phương trình hyperbol về dạng chính tắc, cụ thể là chúng ta chia cả hai vế của phương trình cho a 2 b 2: (7) - phương trình chính tắc của hyperbol, các đại lượng a và b lần lượt là bánaxit thực và ảo của hyperbol.

Chúng ta phải đảm bảo rằng phương trình (7), nhận được bằng các phép biến đổi đại số của phương trình (5 *), không có nghiệm nguyên mới. Như vậy, chỉ cần chứng minh rằng với mỗi điểm M, tọa độ x và y thỏa mãn phương trình (7), các giá trị r 1 và r 2 thỏa mãn quan hệ (5). Thực hiện lập luận tương tự như lập luận khi suy ra công thức ellipse, chúng ta tìm thấy các biểu thức sau cho r 1 và r 2:

Do đó, đối với điểm M đã xét, ta có r 1 -r 2 = 2a, và do đó nó nằm trên hyperbol.

3.3 Nghiên cứu phương trình hyperbol

Bây giờ chúng ta hãy thử, trên cơ sở xem xét phương trình (7), để hình thành một ý tưởng về vị trí của hyperbol.
1. Trước hết, phương trình (7) chỉ ra rằng hyperbol đối xứng với cả hai trục. Điều này là do thực tế là chỉ các lũy thừa của tọa độ chẵn mới được đưa vào phương trình của đường cong. 2. Bây giờ chúng ta hãy đánh dấu khu vực của mặt phẳng mà đường cong sẽ nằm. Phương trình hyperbol, được giải theo y, có dạng:

Chứng tỏ rằng y luôn tồn tại khi x 2? a 2. Điều này có nghĩa là đối với x? a và cho x? - và thứ tự y sẽ là thực, và cho - a

Hơn nữa, khi x tăng (và lớn hơn a), hoành độ của y cũng sẽ luôn tăng lên (đặc biệt, điều này cho thấy rằng đường cong không thể gợn sóng, tức là với sự tăng trưởng của abscissa x, hoành độ của y tăng hoặc giảm) ...

H. Tâm của hyperbol là một điểm mà mỗi điểm của hyperbol có một điểm đối xứng với chính nó trên đó. Điểm O (0,0), gốc tọa độ, đối với hình elip, là tâm của hyperbol được cho bởi phương trình chính tắc. Điều này có nghĩa là mỗi điểm của hyperbol có một điểm đối xứng trên hyperbol đối với điểm O. Điều này xuất phát từ tính đối xứng của hyperbol đối với các trục Ox và Oy. Bất kỳ hợp âm nào của hyperbol đi qua tâm của nó được gọi là đường kính của hyperbol.

4. Các giao điểm của hyperbol với đường thẳng mà tọa độ của nó được gọi là đỉnh của hyperbol và đoạn giữa chúng được gọi là trục thực của hyperbol. Trong trường hợp này, trục thực là trục Ox. Lưu ý rằng trục thực của hyperbol thường được gọi là cả đoạn 2a và đường thẳng (trục Ox) mà nó nằm trên đó.

Hãy tìm giao điểm của hyperbol với trục Oy. Phương trình trục Oy có dạng x = 0. Thay x = 0 vào phương trình (7), ta được hyperbol không có giao điểm nào với trục Oy. Điều này có thể hiểu được, vì không có điểm hyperbol nào trong dải rộng 2a bao phủ trục Oy.

Đường thẳng vuông góc với trục thực của hyperbol và đi qua tâm của nó được gọi là trục ảo của hyperbol. Trong trường hợp này, nó trùng với trục Oy. Vì vậy, mẫu số của các số hạng với x 2 và y 2 trong phương trình hyperbol (7) là bình phương của bánaxit thực và ảo của hyperbol.

5. Hyperbol giao nhau với đường thẳng y = kx với k< в двух точках. Если k то общих точек у прямой и гиперболы нет.

Bằng chứng

Để xác định tọa độ giao điểm của hyperbol và đường thẳng y = kx, bạn cần giải hệ phương trình.

Loại bỏ y, chúng tôi nhận được

hoặc Khi b 2 -k 2 a 2 0, tức là khi k là phương trình kết quả và do đó hệ nghiệm không có nghiệm.

Các đường có phương trình y = và y = - được gọi là đường không triệu chứng hyperbol.

Với b 2 -k 2 a 2> 0 tức là với k< система имеет два решения:

Do đó, mỗi đường thẳng đi qua gốc tọa độ với hệ số góc k< пересекает гиперболу в двух точках. При k = 0 получаем точки пересечения (a; 0) и (- a; 0) - вершины гиперболы.

6. Tính chất quang học của hyperbol: tia quang học phát ra từ một tiêu điểm của hyperbol, phản xạ từ nó, dường như phát ra từ tiêu điểm thứ hai.

Độ lệch tâm của hyperbol là tỷ số giữa tiêu cự 2c với độ dài 2a của trục thực của nó? đường cong,
những thứ kia. từ khía cạnh trọng tâm của nó.

3.4 Liên hợp hyperbola

Cùng với hyperbola (7), cái gọi là liên hợp hyperbola liên quan đến nó được xem xét. Hyperbol liên hợp được xác định bởi phương trình chính tắc.

Trong bộ lễ phục. 10 cho thấy hyperbol (7) và hyperbol liên hợp. Hyperbol liên hợp có các dấu ấn giống như dấu ấn đã cho, nhưng F 1 (0, c),

4. Hình parabol

4.1 Thuộc tính chính của parabol

Hãy để chúng tôi thiết lập các tính chất cơ bản của parabol. Ta phân cắt một hình nón tròn thẳng có đỉnh S bởi một mặt phẳng song song với một trong các đường sinh của nó. Trong phần này, chúng ta nhận được một hình parabol. Ta vẽ mặt phẳng АSB qua trục ST của hình nón, vuông góc với mặt phẳng (Hình 11). Ma trận SA nằm trong nó sẽ song song với mặt phẳng. Cho ta nội tiếp hình nón một mặt cầu tiếp tuyến với hình nón dọc theo đường tròn UV và tiếp tuyến với mặt phẳng tại điểm F. Vẽ qua điểm F một đường thẳng song song với đường sinh SA. Gọi giao điểm của nó với hệ sinh SB bằng P. Điểm F được gọi là trọng tâm của parabol, điểm P là đỉnh của nó và đường thẳng PF đi qua đỉnh và tiêu điểm (và song song với đường sinh SA) là gọi là trục của parabol. Parabol sẽ không có đỉnh thứ hai - giao điểm của trục PF với ma trận SA: điểm này “đi đến vô cùng”. Chúng ta hãy gọi ma trận trực tiếp (được dịch là "hướng dẫn") đường thẳng q 1 q 2 của giao điểm của mặt phẳng với mặt phẳng mà trong đó đường tròn UV nằm. Lấy một điểm M tùy ý trên parabol và nối nó với đỉnh của hình nón S. Đường thẳng MS tiếp xúc với quả cầu tại điểm D nằm trên đường tròn UV. Nối điểm M với tiêu điểm F và thả MK vuông góc với ma trận từ điểm M. Khi đó, khoảng cách của một điểm M tùy ý của parabol tới tiêu điểm (MF) và đến ma trận (MK) là bằng nhau (tính chất chính của parabol), tức là MF = MK.

Chứng minh: МF = MD (là tiếp tuyến của quả bóng từ một điểm). Hãy biểu thị góc giữa bất kỳ đường sinh nào của hình nón và trục ST qua c. Chúng ta sẽ chiếu các đoạn MD và MK lên trục ST. Đoạn MD tạo thành hình chiếu trên trục ST, bằng MDcosc, vì MD nằm trên đường sinh của hình nón; đoạn MK tạo thành một hình chiếu lên trục ST, bằng MKsots, vì đoạn MK song song với ma trận SA. (Thật vậy, ma trận q 1 q 1 vuông góc với mặt phẳng ASB. Do đó, đường thẳng РF cắt ma trận trực tiếp tại điểm L. Tại một góc vuông. Nhưng đường thẳng MK và РF nằm trong cùng một mặt phẳng và MK cũng nằm trong cùng một mặt phẳng vuông góc với ma trận). Hình chiếu của cả hai đoạn MK và MD trên trục ST bằng nhau, vì một trong hai đầu của chúng - điểm M - là chung và hai đầu kia D và K nằm trong một mặt phẳng vuông góc với trục ST (Hình.) . Khi đó MDcosts = MKsots hoặc MD = MK. Do đó, MF = MK.

Thuộc tính 1.(Tính chất tiêu điểm của một parabol).

Khoảng cách từ bất kỳ điểm nào của parabol đến giữa của hợp âm chính bằng khoảng cách của nó đến ma trận.

Bằng chứng.

Điểm F là giao điểm của đường thẳng QR và hợp âm chính. Điểm này nằm trên trục đối xứng Oy. Thật vậy, các tam giác RNQ và ROF bằng nhau, là hình chữ nhật

hình tam giác có chân vết thương (NQ = OF, OR = RN). Do đó, cho dù chúng ta lấy điểm N nào đi chăng nữa, thì đường thẳng QR xây dựng từ nó sẽ cắt hợp âm chính ở giữa F. Bây giờ rõ ràng là tam giác FMQ là cân. Thật vậy, đoạn thẳng MR vừa là đường trung bình vừa là đường cao của tam giác này. Do đó, theo đó MF = MQ.

Tài sản 2.(Tính chất quang học của một parabol).

Bất kỳ tiếp tuyến nào với một parabol đều tạo thành các góc bằng nhau với bán kính tiêu điểm được vẽ tới điểm tiếp tuyến và một tia đi từ điểm tiếp tuyến và cùng hướng với trục (hoặc, các tia đi ra khỏi một tiêu điểm, phản xạ từ parabol, sẽ đi song song với trục).

Bằng chứng. Đối với điểm N nằm trên chính parabol thì đẳng thức | FN | = | NH | là đúng và đối với điểm N "nằm trong miền trong của parabol, | FN" |<|N"H"|. Если теперь провести биссектрису l угла FМК, то для любой отличной от М точки M" прямой l найдём:

| FM "| = | M" K "|> | M" K "| tức là điểm M" nằm trong vùng ngoài của parabol. Vì vậy, toàn bộ đường thẳng l, trừ điểm M, nằm ở vùng ngoài, nghĩa là vùng trong của parabol nằm về một phía của l, nghĩa là l là tiếp tuyến của parabol. Điều này cho thấy bằng chứng về tính chất quang học của parabol: góc 1 bằng góc 2, vì l là tia phân giác của góc FMK.

4.2 Phương trình của một parabol

Dựa vào tính chất chính của parabol, chúng ta sẽ hình thành định nghĩa của nó: parabol là tập hợp tất cả các điểm của mặt phẳng, mỗi điểm cách đều một điểm cho trước, được gọi là trọng tâm, và một đường thẳng cho trước, được gọi là ma trận trực tiếp. Khoảng cách từ tiêu điểm F đến ma trận được gọi là tham số của parabol và được ký hiệu là p (p> 0).

Để suy ra phương trình parabol, ta chọn hệ tọa độ Oxy sao cho trục Ox đi qua tiêu điểm F vuông góc với ma trận theo hướng từ ma trận đến F, và gốc tọa độ O nằm ở giữa tiêu điểm và ma trận trực tiếp (Hình 12). Trong hệ đã chọn, trọng tâm là F (, 0) và phương trình ma trận trực tiếp có dạng x = - hoặc x + = 0 Gọi m (x, y) là một điểm tùy ý của parabol. Hãy nối điểm М với F. Vẽ đoạn thẳng МН vuông góc với ma trận. Theo định nghĩa của parabol MF = MH. Sử dụng công thức cho khoảng cách giữa hai điểm, chúng tôi tìm thấy:

Do đó, Bình phương cả hai vế của phương trình, chúng ta nhận được

những thứ kia. (8) Phương trình (8) được gọi là phương trình chính tắc của parabol.

4.3 Nghiên cứu hình dạng của một parabol bằng phương trình của nó

1. Trong phương trình (8), biến y được đưa vào lũy thừa chẵn, nghĩa là parabol đối xứng qua trục Ox; trục Ox là trục đối xứng của parabol.

2. Vì c> 0 nên từ (8) x> 0. Do đó, parabol nằm bên phải trục Oy.

3. Cho x = 0 thì y = 0. Do đó, parabol đi qua gốc tọa độ.

4. Khi x tăng vô hạn, môđun y cũng tăng vô hạn. Parabol y 2 = 2 px có dạng (hình) như hình 13. Điểm O (0; 0) được gọi là đỉnh của parabol, đoạn FM = r được gọi là bán kính tiêu điểm của điểm M. Phương trình y 2 = -2 px, x 2 = - 2 py, x 2 = 2 py (p> 0) cũng được xác định bởi các parabol.

1.5. Thuộc tính thư mục của các phần hình nón .

Sau đây, chúng ta sẽ chứng minh rằng mỗi phần hình nón không tròn (không suy biến) có thể được xác định là một tập hợp các điểm M, tỉ số giữa khoảng cách MF từ điểm F cố định đến khoảng cách MP từ đường thẳng cố định d đó. không đi qua điểm F bằng một giá trị không đổi e: trong đó F là trọng tâm của thiết diện hình nón, đường thẳng d là ma trận và tỉ số e là độ lệch tâm. (Nếu một điểm F thuộc đường thẳng d, thì điều kiện xác định một tập hợp các điểm, là một cặp đường thẳng, tức là một đoạn conic suy biến; với e = 1, cặp đường thẳng này hợp nhất thành một đường. Đối với Chứng minh, coi hình nón tạo bởi phép quay của đường thẳng l quanh giao điểm của nó tại điểm O thuộc đường thẳng p, tạo thành góc b< 90є; пусть плоскость р не проходит через вершину конуса и образует с его осью p угол в < 90є (если в = 90є, то плоскость р пересекает конус по окружности).

Ta nội tiếp hình nón một viên bi K tiếp tuyến với mặt phẳng p tại điểm F và tiếp tuyến của hình nón theo đường tròn S. Đường giao tuyến của mặt phẳng p với mặt phẳng tại đường tròn S kí hiệu là d.

Bây giờ ta nối một điểm M tùy ý nằm trên đường thẳng L của giao điểm của mặt phẳng p và hình nón với đỉnh O của hình nón và với điểm F và thả từ M kẻ MP vuông góc với đường thẳng d; Ta cũng kí hiệu E là giao điểm của sinh MO của hình nón với đường tròn S.

Hơn nữa, MF = ME, là đoạn của hai đường tiếp tuyến của quả cầu K vẽ từ một điểm M.

Hơn nữa, đoạn thẳng ME tạo với trục p của hình nón một góc không đổi (nghĩa là, không phụ thuộc vào sự lựa chọn của điểm M), và đoạn MP tạo thành một góc b không đổi; do đó, hình chiếu của hai đoạn này trên trục p lần lượt bằng ME cos b và MP cos c.

Nhưng các hình chiếu này trùng nhau, vì các đoạn ME và MP có điểm gốc chung là M, và các đầu của chúng nằm trong mặt phẳng y, vuông góc với trục p.

Do đó, ME cos b = MP cos c, hoặc vì ME = MF nên MF cos b = MP cos c, do đó

Cũng dễ dàng chứng minh rằng nếu điểm M thuộc mặt phẳng p không thuộc hình nón thì. Do đó, mỗi phần của một hình nón tròn bên phải có thể được mô tả như một tập hợp các điểm trong mặt phẳng. Mặt khác, bằng cách thay đổi giá trị của các góc b và c, ta có thể cho độ lệch tâm bất kỳ giá trị nào e> 0; xa hơn nữa, từ các xét về sự tương tự, có thể dễ dàng hiểu rằng khoảng cách FQ từ tiêu điểm đến ma trận tỷ lệ thuận với bán kính r của quả cầu K (hoặc khoảng cách d của mặt phẳng p từ đỉnh O của hình nón). Có thể chỉ ra rằng, bằng cách chọn một khoảng cách d phù hợp, chúng ta có thể cho khoảng cách FQ bất kỳ giá trị nào. Do đó, mỗi tập hợp điểm M, mà tỉ số khoảng cách từ M đến điểm F cố định và đường thẳng d cố định có giá trị không đổi, có thể được mô tả dưới dạng một đường cong thuộc thiết diện của một hình nón tròn thẳng bằng một chiếc máy bay. Điều này chứng tỏ rằng các phần hình nón (không thoái hóa) cũng có thể được xác định bởi thuộc tính được đề cập trong tiểu mục này.

Thuộc tính này của các phần hình nón được gọi là chúng thuộc tính thư mục... Rõ ràng là nếu c> b, thì e< 1; если в = б, то е = 1; наконец, если в < б, то е >1. Mặt khác, dễ thấy rằng nếu c> b thì mặt phẳng p cắt hình nón theo một đường giới hạn kín; nếu c = b thì mặt phẳng p cắt hình nón theo một đường thẳng không giới hạn; nếu trong< б, то плоскость р пересекает обе полы конуса и, следовательно, линия пересечения этой плоскости и конуса состоит из двух (неограниченных) частей или ветвей (рис. 17).

Phần hình nón mà e< 1, называется эллипсом; коническое сечение с эксцентриситетом е = 1 называется параболой; коническое сечение, для которого е >1 được gọi là hyperbola. Dấu ba chấm cũng bao gồm một vòng tròn, không thể được chỉ định bởi thuộc tính thư mục; Vì đối với một đường tròn, tỉ số chuyển thành 0 (vì trong trường hợp này là b = 90є), nên theo quy ước, người ta coi đường tròn là một phần hình nón với độ lệch tâm bằng 0.

6. Hình elip, hyperbola và parabol dưới dạng các phần hình nón

phần hình nón hyperbola hình elip

Nhà toán học Hy Lạp cổ đại Menechm, người đã khám phá ra hình elip, hyperbola và parabol, đã định nghĩa chúng là các phần của một hình nón tròn bởi một mặt phẳng vuông góc với một trong các máy phát điện. Ông gọi các phần đường cong kết quả là các hình nón góc nhọn, hình chữ nhật và góc tù, tùy thuộc vào góc trục của hình nón. Hình đầu tiên, như chúng ta sẽ thấy bên dưới, là một hình elip, hình thứ hai là một parabol và hình thứ ba là một nhánh của hyperbol. Các tên "elip", "hyperbola" và "parabol" đã được Apollonius đưa ra. Gần như hoàn toàn (7 trong số 8 cuốn) tác phẩm "Về những phần hình nón" của Apollonius đã đến với chúng ta. Trong công trình này, Apollonius kiểm tra cả hai mặt của hình nón và cắt hình nón với các mặt phẳng không nhất thiết phải vuông góc với một trong các bậc gốc.

Định lý. Phần của bất kỳ hình nón tròn thẳng nào bởi một mặt phẳng (không đi qua đỉnh của nó) xác định một đường cong chỉ có thể là một hyperbol (Hình 4), một parabol (Hình 5) hoặc một hình elip (Hình 6). Hơn nữa, nếu mặt phẳng chỉ cắt một mặt phẳng của hình nón và dọc theo một đường cong khép kín, thì đường cong này là một hình elip; nếu mặt phẳng chỉ cắt một mặt phẳng dọc theo một đường cong mở, thì đường cong này là một parabol; nếu mặt phẳng cắt cắt cả hai mặt phẳng của hình nón, thì một hyperbol được hình thành trong mặt cắt.

Một bằng chứng tao nhã của định lý này đã được Dandelen đề xuất vào năm 1822 bằng cách sử dụng các hình cầu, ngày nay thường được gọi là hình cầu Dandelen. Hãy xem xét bằng chứng này.

Cho chúng ta nội tiếp hình nón hai mặt cầu tiếp tuyến với mặt phẳng của thiết diện từ các cạnh khác nhau. Gọi F1 và F2 là các điểm tiếp tuyến của mặt phẳng này với mặt cầu. Lấy một điểm M. tùy ý trên đường sinh của hình nón bởi mặt phẳng P. Chú ý trên đường sinh của hình nón đi qua M, các điểm P1 và P2 nằm trên đường tròn k1 và k2, dọc theo đó các mặt cầu tiếp xúc với hình nón. .

Rõ ràng rằng МF1 = МР1 là đoạn của hai tiếp tuyến với mặt cầu thứ nhất đi ra ngoài М; tương tự, МF2 = МР2. Do đó, MF1 + MF2 = MP1 + MP2 = P1P2. Độ dài của đoạn thẳng P1P2 là như nhau đối với tất cả các điểm M thuộc đoạn của chúng ta: đây là ma trận của hình nón cụt giới hạn bởi các mặt phẳng song song 1 và 11, trong đó các đường tròn k1 và k2 nằm. Do đó, thiết diện của hình nón bởi mặt phẳng P là một hình elip với các tiêu điểm F1 và F2. Tính hợp lệ của định lý này cũng có thể được thiết lập từ vị trí chung rằng giao của một mặt bậc hai với một mặt phẳng là một đường bậc hai.

Văn chương

1. Atanasyan L.S., Bazylev V.T. Hình học. Trong 2 giờ, Phần 1. Sách giáo khoa dành cho sinh viên vật lý và toán học. bàn đạp. tại - đồng chí - M .: Giáo dục, 1986.

2. Bazylev V.T. và những thứ khác. Hình học. Sách giáo khoa. hướng dẫn sử dụng cho sinh viên năm 1 nat. - chiếu. sự thật - tov ped. trong. - Đồng chí-M .: Giáo dục, 1974.

3. Pogorelov A.V. Hình học. Sách giáo khoa. cho 7-11 cl. Thứ Tư shk. - Xuất bản lần thứ 4. - M .: Giáo dục, 1993.

4. Lịch sử toán học từ thời cổ đại đến đầu thế kỷ 19. A.P. Yushkevich - Mátxcơva: Nauka, 1970.

5. Boltyansky V.G. Tính chất quang học của elip, hyperbol và parabol. // Số lượng. - 1975. - Số 12. - Với. 19 - 23.

6. Efremov N.V. Một khóa học ngắn hạn về hình học phân tích. - M: Science, ấn bản lần thứ 6, năm 1967 .-- 267 tr.

Tài liệu tương tự

Khái niệm về mặt cắt conic. Mặt cắt hình nón - giao tuyến của mặt phẳng và hình nón. Các loại mặt cắt hình nón. Cấu tạo phần hình nón. Mặt cắt hình nón là quỹ tích của các điểm thỏa mãn một phương trình bậc hai.

trừu tượng, thêm 10/05/2008


"Phần hình nón" của Apollonius. Suy ra phương trình đường cong cho một mặt cắt của hình nón chữ nhật có đường cong. Suy ra phương trình cho một parabol, cho một hình elip và một hyperbol. Bất biến của các mặt cắt conic. Phát triển hơn nữa lý thuyết về phần hình nón trong các tác phẩm của Apollonius.

tóm tắt, bổ sung 02/04/2010


Khái niệm và thông tin lịch sử về hình nón, đặc điểm của các yếu tố của nó. Đặc điểm cấu tạo của hình nón và các dạng mặt cắt hình nón. Cấu tạo của quả cầu Dandelen và các thông số của nó. Áp dụng các tính chất của tiết diện hình nón. Tính diện tích các mặt của hình nón.

bản trình bày được thêm vào ngày 04/08/2012


Khái niệm toán học của một đường cong. Phương trình tổng quát của một đường cong bậc hai. Phương trình của một đường tròn, elip, hyperbol và parabol. Các trục đối xứng của hyperbol. Nghiên cứu về hình dạng của một parabol. Các đường cong của bậc thứ ba và thứ tư. Cuộn tròn Anesi, tờ Descartes.

luận án, bổ sung 14/10/2011


Xem xét và đặc điểm của các phương pháp khác nhau để xây dựng các mặt cắt của khối đa diện, xác định điểm mạnh và điểm yếu của chúng. Phương pháp mặt cắt phụ như một phương pháp phổ biến để xây dựng các mặt cắt của khối đa diện. Ví dụ về giải quyết vấn đề về chủ đề nghiên cứu.

bản trình bày được thêm vào 19/01/2014


Phương trình tổng quát của một đường cong bậc hai. Vẽ phương trình của hình elip, hình tròn, hyperbol và parabol. Độ lệch tâm của hyperbol. Tiêu điểm và hiệu trưởng của parabol. Chuyển phương trình tổng quát về dạng chính tắc. Sự phụ thuộc của hình dạng của đường cong vào bất biến.

bản trình bày được thêm vào ngày 11 tháng 10 năm 2014


Các yếu tố hình học tam giác: philê đẳng tích và đẳng tích, các điểm và đường thẳng đáng chú ý. Conic liên kết với một tam giác: tính chất của tiết diện conic; conics được mô tả xung quanh một tam giác và ghi trong đó; ứng dụng vào giải quyết vấn đề.

hạn giấy bổ sung 17/06/2012


Ellipse, hyperbol, parabol dưới dạng đường cong bậc hai, được sử dụng trong toán học cao hơn. Khái niệm đường cong bậc hai là một đường nằm trên mặt phẳng, trong một hệ tọa độ Descartes nào đó được xác định bằng phương trình. Định lý Pascaml và định lý Brianchon.

tóm tắt, bổ sung 26/01/2011


Về nguồn gốc của bài toán nhân đôi khối lập phương (một trong năm bài toán nổi tiếng của thời cổ đại). Nỗ lực đầu tiên được biết đến để giải quyết vấn đề, giải pháp của Archit of Tarentum. Giải quyết vấn đề ở Hy Lạp cổ đại sau Archytas. Các giải pháp sử dụng các phần hình nón của Menechm và Eratosthenes.

tóm tắt được thêm vào ngày 13/04/2014


Các mặt cắt chính của hình nón. Mặt cắt tạo bởi một mặt phẳng đi qua trục của hình nón (trục) và qua khối chóp (tam giác) của nó. Hình thành thiết diện bởi một mặt phẳng song song (parabol), vuông góc (đường tròn) và không vuông góc (elip) trục.

V trụ = S chính. ∙ h

Ví dụ 2. Cho hình nón tròn thẳng ABC đều, BO = 10. Tìm thể tích của khối nón.

Giải pháp

Tìm bán kính của mặt đáy của hình nón. C = 60 0, B = 30 0,

Để OS = Một, thì ВС = 2 Một... Theo định lý Pitago:

Câu trả lời: .

Ví dụ 3... Tính thể tích của các hình được tạo thành bởi chuyển động quay của các khu vực được giới hạn bởi các đường chỉ định.

y 2 = 4x; y = 0; x = 4.

Các giới hạn của tích phân là a = 0, b = 4.

V = | = 32π

Nhiệm vụ

lựa chọn 1

1. Thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông có đường chéo bằng 4 dm. Tìm thể tích của một khối trụ.

2. Đường kính ngoài của quả cầu rỗng là 18 cm, bề dày thành là 3 cm Tìm thể tích các thành của quả cầu.

X các hình giới hạn bởi các đường y 2 = x, y = 0, x = 1, x = 2.

Lựa chọn 2

1. Bán kính của ba quả bóng là 6 cm, 8 cm, 10 cm Hãy xác định bán kính của quả cầu, thể tích của chúng bằng tổng thể tích của các quả bóng này.

2. Diện tích đáy của hình nón là 9 cm 2, diện tích toàn phần của nó là 24 cm 2. Tìm thể tích của khối nón.

3. Tính thể tích của vật thể tạo thành khi quay quanh trục O X các hình giới hạn bởi các đường y 2 = 2x, y = 0, x = 2, x = 4.

Câu hỏi kiểm soát:

1. Viết tính chất thể tích của các vật.

2. Viết công thức tính thể tích của vật thể quay quanh trục Oy.

Cho hình trụ tròn thẳng đã cho, mặt phẳng hình chiếu ngang song song với mặt đáy của nó. Khi một hình trụ được giao bởi một mặt phẳng ở vị trí chung (ta giả sử rằng mặt phẳng không cắt các đáy của hình trụ) thì đường giao tuyến là một hình elip, thiết diện có dạng là một hình elip, hình chiếu ngang của nó trùng với hình chiếu của đáy của hình trụ và hình chiếu chính diện cũng có dạng là hình elip. Nhưng nếu mặt phẳng tiết diện tạo với trục của hình trụ một góc 45o thì thiết diện hình elip được chiếu bởi một đường tròn lên mặt phẳng hình chiếu mà mặt cắt nghiêng cùng một góc.

Nếu mặt phẳng cắt giao với mặt bên của hình trụ và một trong các đáy của nó (Hình 8.6), thì đường giao tuyến có dạng là một hình elip không hoàn toàn (một phần của elip). Hình chiếu ngang của mặt cắt trong trường hợp này là một phần của hình tròn (hình chiếu của cơ sở) và hình chiếu chính diện là một phần của hình elip. Mặt phẳng có thể nằm vuông góc với bất kỳ mặt phẳng hình chiếu nào, khi đó mặt cắt sẽ được chiếu lên mặt phẳng hình chiếu này bằng một đường thẳng (một phần của vết của mặt phẳng hình chiếu).

Nếu hình trụ được giao bởi một mặt phẳng song song với ma trận thì các đường giao tuyến với mặt bên là đường thẳng và bản thân thiết diện có dạng hình chữ nhật nếu hình trụ thẳng hoặc hình bình hành nếu hình trụ nghiêng.

Như đã biết, cả hình trụ và hình nón đều được tạo thành bởi các bề mặt được trị liệu.

Đường giao tuyến (đường cắt) của mặt phẳng trị và mặt phẳng trong trường hợp tổng quát là một đường cong nào đó, được dựng theo các giao điểm của các đường sinh với mặt phẳng cắt.

Hãy để nó được đưa ra hình nón tròn thẳng. Khi nó được cắt ngang bởi một mặt phẳng, đường giao tuyến có thể có hình dạng như: tam giác, elip, hình tròn, parabol, hyperbol (Hình 8.7), tùy thuộc vào vị trí của mặt phẳng.

Một tam giác có được khi mặt phẳng cắt, cắt qua hình nón, đi qua đỉnh của nó. Trong trường hợp này, các giao tuyến với mặt bên là các đường thẳng cắt nhau ở đỉnh của hình nón, cùng với đường giao tuyến của mặt đáy tạo thành một tam giác chiếu lên mặt phẳng hình chiếu bằng biến dạng. Nếu mặt phẳng cắt trục của hình nón thì trong thiết diện thu được một tam giác, trong đó góc với đỉnh trùng với đỉnh của hình nón sẽ là cực đại để thiết diện là tam giác của hình nón này. Trong trường hợp này, mặt cắt được chiếu lên mặt phẳng chiếu nằm ngang (song song với mặt đáy của nó) bằng một đoạn thẳng.

Giao tuyến của mặt phẳng và hình nón sẽ là một hình elip nếu mặt phẳng đó không song song với bất kỳ đường sinh nào của hình nón. Điều này tương đương với thực tế là mặt phẳng cắt tất cả các máy phát điện (toàn bộ bề mặt bên của hình nón). Nếu mặt phẳng cắt song song với đáy của hình nón thì giao tuyến là một đường tròn, bản thân thiết diện được chiếu lên mặt phẳng hình chiếu ngang không bị biến dạng và lên mặt phẳng chính diện - bởi một đoạn thẳng.

Giao tuyến sẽ là parabol khi mặt phẳng cắt chỉ song song với một đường sinh của hình nón. Nếu mặt phẳng secant song song với hai máy phát đồng thời, thì đường giao tuyến là một hyperbol.

Hình nón cụt thu được nếu hình nón tròn thẳng cắt bởi mặt phẳng song song với đáy và vuông góc với trục của hình nón, còn phần trên thì bỏ đi. Trong trường hợp mặt phẳng hình chiếu ngang song song với mặt đáy của hình nón cụt thì các mặt đáy này được chiếu lên mặt phẳng hình chiếu ngang mà không bị biến dạng bởi các đường tròn đồng tâm và hình chiếu chính diện là hình thang. Khi một mặt phẳng cắt một hình nón cụt, tùy thuộc vào vị trí của nó, đường cắt có thể có dạng hình thang, hình elip, hình tròn, parabol, hyperbol hoặc một phần của một trong các đường cong này, các đầu của chúng được nối với nhau bằng một đường thẳng .

Cơ sở giáo dục thành phố

Trường trung học Alekseevskaya

"Trung tâm Giáo dục"

Phát triển bài học

Chủ đề: CONE MẠCH THNG.

PHẦN CỦA CONE THEO KẾ HOẠCH

Giáo viên toán

năm học

Chủ đề: CONE MẠCH THNG.

PHẦN CỦA CONE THEO KẾ HOẠCH.

Mục đích của bài học: tháo rời các định nghĩa của hình nón và các khái niệm phụ (đỉnh, cơ sở, máy phát điện, chiều cao, trục);

xét các mặt cắt của hình nón đi qua khối chóp gồm các mặt cắt trục;

góp phần phát triển trí tưởng tượng không gian của học sinh.

Mục tiêu bài học:

Giáo dục: nghiên cứu các khái niệm cơ bản của một cơ thể của cuộc cách mạng (hình nón).

Đang phát triển: tiếp tục hình thành các kỹ năng về kỹ năng phân tích, so sánh; kỹ năng làm nổi bật sự việc chính, hình thành kết luận.

Giáo dục: bồi dưỡng cho học sinh hứng thú học tập, rèn luyện kỹ năng giao tiếp.

Loại bài học: bài học.

Phương pháp giảng dạy: sinh sản, có vấn đề, một phần khám phá.

Thiết bị: bảng, mô hình của các cơ quan quay, thiết bị đa phương tiện.

Trong các lớp học

tôi. Tổ chức thời gian.

Trong các bài học trước, chúng ta đã làm quen với các cơ quan của cuộc cách mạng và đi sâu vào khái niệm hình trụ một cách chi tiết hơn. Trên bàn, bạn nhìn thấy hai hình vẽ và làm việc theo cặp, đặt câu hỏi chính xác về chủ đề được đề cập.

P. Kiểm tra bài tập về nhà.

Làm việc theo cặp theo bảng chuyên đề (hình lăng trụ nội tiếp hình trụ và hình lăng trụ nội tiếp hình trụ).

Ví dụ, theo cặp và cá nhân, học sinh có thể đặt câu hỏi:

Hình trụ tròn (đường sinh của hình trụ, đáy của hình trụ, mặt bên của hình trụ) là gì?

Hình lăng trụ nào được gọi là mô tả gần hình trụ?

Mặt phẳng nào được gọi là tiếp tuyến của hình trụ?

Những hình dạng nào có thể được gọi là đa giác ABC, MỘT1 B1 C1 , ABCDEvàMỘT1 B1 C1 D1 E1 ?

- Lăng kính là lăng kính gì ABCDEABCDE? (Thẳngcủa tôi.)

- Chứng minh rằng đó là hình lăng trụ thẳng.

(tùy chọn, 2 cặp học sinh trên bảng làm bài)

III. Cập nhật kiến ​​thức cơ bản.

Theo vật liệu planimetry:

Định lý Thales;

Tính chất đường tâm tam giác;

Diện tích hình tròn.

Bằng vật liệu lập thể:

Ý tưởng gia đình;

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

IV.Học tài liệu mới.

(bộ giáo dục - phương pháp "Toán học sống », phụ lục 1.)

Sau khi tài liệu được trình bày, một kế hoạch làm việc được đề xuất:

1. Định nghĩa hình nón.

2. Định nghĩa hình nón thẳng hàng.

3. Các phần tử của hình nón.

4. Khai triển của hình nón.

5. Lấy côn làm vật cách mạng.

6. Các dạng tiết diện của hình nón.

Học sinh độc lập tìm câu trả lời cho những câu hỏi nàytrẻ em trong các đoạn 184-185, kèm theo các hình vẽ.

Tạm dừng cổ vật học: Bạn có mệt không? Hãy nghỉ ngơi một chút trước khi giai đoạn thực tế tiếp theo của công việc!

· Xoa bóp các khu phản xạ trên auricle, chịu trách nhiệm về công việc của các cơ quan nội tạng;

· Xoa bóp các vùng phản xạ trên lòng bàn tay;

· Thể dục cho mắt (nhắm mắt và mở to mắt);

Kéo giãn cột sống (nâng tay lên, kéo người lên bằng cánh tay phải rồi đến cánh tay trái)

Thể dục hô hấp, nhằm bão hòa oxy cho não (hít mạnh bằng mũi 5 lần)

Một bảng chuyên đề được biên soạn (cùng với giáo viên), kèm theo việc điền vào bảng là các câu hỏi và tài liệu nhận được từ nhiều nguồn khác nhau (sách giáo khoa và trình chiếu trên máy tính)

“Hình nón. Phiền não ”.

VBảo mật vật liệu.

Công việc trực diện.

· Bằng lời nói (sử dụng bản vẽ làm sẵn) Số 9 và số 10 đang được giải quyết.

(hai học sinh nêu lời giải, các em còn lại ghi chép ngắn gọn vào vở)

Số 9. Bán kính mặt đáy của hình nón là 3m, chiều cao của hình nón là 4m. tìm máy phát điện.

(Giải pháp:l=√ R2 + H2 = √32 + 42 = √25 = 5phút.)

Máy phát điện số 10 của hình nón l nghiêng với mặt phẳng của đế một góc 30 °. Tìm chiều cao.

(Giải pháp:H = l tội 30◦ = l|2.)

· Giải quyết vấn đề trên bản vẽ đã hoàn thành.

Chiều cao của hình nón là h. Thông qua máy phát điện MA và MB một mặt phẳng được vẽ tạo thành một góc Một với mặt phẳng của đáy hình nón. Dây nhau AB thắt một cung có thước đo độ R.

1. Chứng minh rằng thiết diện của hình nón bởi mặt phẳng MAV- Tam giác cân.

2. Giải thích cách dựng góc hợp của hình nhị diện tạo bởi mặt phẳng cắt và mặt phẳng đáy của hình nón.

3. Tìm CÔ.

4. Lập (và giải thích) một kế hoạch để tính độ dài của hợp âm AB và diện tích mặt cắt ngang MAV.

5. Chỉ ra trong hình cách bạn có thể vẽ một đường vuông góc từ một điểm Ođến mặt phẳng phần MAV(biện minh cho việc xây dựng).

· Sự lặp lại:

tài liệu nghiên cứu từ planimetry:

Định nghĩa tam giác cân;

Tính chất của tam giác cân;

Diện tích hình tam giác

của vật liệu được nghiên cứu từ phép đo lập thể:

Xác định góc giữa các mặt phẳng;

Phương pháp dựng tia phân giác của góc nhị diện.

Kiểm tra tự kiểm tra

1. Vẽ các cơ quan của cuộc cách mạng được hình thành bằng cách quay các hình phẳng được thể hiện trong hình.

2. Cho biết, bằng cách quay của hình phẳng nào, cơ thể được miêu tả của cuộc cách mạng đã quay ra. (B)

MÃ VĂN BẢN CỦA BÀI HỌC:

Chúng ta tiếp tục nghiên cứu phần hình học lập thể "Chất rắn của cuộc cách mạng".

Các cơ quan của cuộc cách mạng bao gồm: hình trụ, hình nón, quả bóng.

Hãy nhớ các định nghĩa.

Chiều cao là khoảng cách từ đỉnh của hình dạng hoặc phần thân đến phần đáy của hình dạng (phần thân). Nếu không - một đoạn thẳng nối phần trên và phần dưới của hình và vuông góc với nó.

Nhắc lại rằng để tìm diện tích hình tròn, bạn cần nhân số pi với bình phương bán kính.

Diện tích của hình tròn là.

Chúng ta hãy nhớ lại cách tìm diện tích hình tròn, biết đường kính? Bởi vì

thay thế trong công thức:

Hình nón cũng là một cơ thể của cuộc cách mạng.

Hình nón (chính xác hơn là hình nón tròn) là một phần thân bao gồm một đường tròn - đáy của hình nón, một điểm không nằm trong mặt phẳng của hình tròn này - đỉnh của hình nón và tất cả các đoạn nối đỉnh của hình nón với các điểm cơ sở.

Chúng ta hãy làm quen với công thức tìm thể tích của một hình nón.

Định lý. Thể tích của khối nón bằng một phần ba tích của diện tích đáy và chiều cao.

Hãy để chúng tôi chứng minh định lý này.

Cho: hình nón, S - diện tích của đáy,

h - chiều cao hình nón

Chứng minh: V =

Chứng minh: Xét khối nón thể tích V, bán kính đáy R, chiều cao h, khối chóp tại O.

Hãy giới thiệu trục Оx qua ОМ - trục của hình nón. Thiết diện tùy ý của hình nón bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox là một đường tròn có tâm tại điểm

M1 - giao điểm của mặt phẳng này với trục Ox. Hãy biểu thị bán kính của hình tròn này bằng R1, và diện tích mặt cắt ngang bằng S (x), trong đó x là hoành độ của điểm M1.

Từ sự đồng dạng của các tam giác vuông ОМ1A1 và ОМА (ے ОМ1A1 = ے ОМА - các đoạn thẳng, ے MOA-chung, do đó các tam giác đồng dạng về hai góc) suy ra rằng

Hình bên cho thấy ОМ1 = х, OM = h

hoặc khi đó, theo tính chất của tỷ lệ, chúng ta tìm thấy R1 =.

Vì thiết diện là hình tròn nên S (x) = πR12, thay biểu thức trước đó thay cho R1, diện tích thiết diện bằng tỉ số giữa tích pi er của hình vuông với hình vuông x với bình phương chiều cao:

Hãy áp dụng công thức cơ bản

tính thể tích của các vật thể, với a = 0, b = h, ta thu được biểu thức (1)

Vì đáy của hình nón là hình tròn nên diện tích S của đáy hình nón sẽ bằng pi er hình vuông

Trong công thức tính thể tích của một vật thể, chúng ta thay giá trị của pi er bình phương bằng diện tích của đáy và chúng ta nhận được rằng thể tích của hình nón bằng một phần ba tích của diện tích cơ sở của chiều cao

Định lý được chứng minh.

Hệ quả từ định lý (công thức về thể tích của hình nón cụt)

Thể tích V của khối nón cụt, chiều cao là h, diện tích hai đáy S và S1 được tính bằng công thức

Ve bằng một phần ba tro nhân với tổng diện tích của các đáy và căn bậc hai của tích các diện tích của cơ sở.

Giải quyết các vấn đề

Một tam giác hình chữ nhật có các chân 3 cm và 4 cm quay quanh cạnh huyền. Xác định thể tích của vật thể tạo thành.

Khi tam giác quay quanh cạnh huyền, ta được một hình nón. Khi giải quyết vấn đề này, điều quan trọng là phải hiểu rằng hai trường hợp có thể xảy ra. Trong mỗi chúng, ta áp dụng công thức để tìm thể tích của khối nón: thể tích khối nón bằng một phần ba tích của đáy và chiều cao.

Trong trường hợp đầu tiên, hình sẽ giống như sau: một hình nón được cho. Cho bán kính r = 4, chiều cao h = 3

Diện tích của cơ sở bằng tích của π bình phương bán kính

Khi đó thể tích của khối nón bằng một phần ba tích của π bình phương bán kính và chiều cao.

Thay giá trị vào công thức, ta được thể tích của khối nón là 16π.

Trong trường hợp thứ hai, như thế này: một hình nón được đưa ra. Cho bán kính r = 3, chiều cao h = 4

Thể tích của khối nón bằng một phần ba tích của diện tích đáy bằng chiều cao:

Diện tích của đáy bằng tích của π bình phương bán kính:

Khi đó thể tích của khối nón bằng một phần ba tích của π bình phương bán kính và chiều cao:

Thay giá trị vào công thức, ta được thể tích của khối nón là 12π.

Trả lời: Thể tích của khối nón V là 16 π hoặc 12 π

Bài 2. Cho hình nón tròn thẳng bán kính 6 cm, góc ВСО = 45.

Tìm thể tích của khối nón.

Giải pháp: Một bản vẽ hoàn thiện được đưa ra cho nhiệm vụ này.

Hãy viết công thức tính thể tích của khối nón:

Hãy biểu diễn nó theo bán kính cơ sở R:

Chúng tôi tìm thấy h = BO bằng cách xây dựng, - hình chữ nhật, vì góc BOC = 90 (tổng các góc của tam giác), các góc ở đáy bằng nhau nên tam giác ΔBOC là cân và BO = OC = 6 cm.