Nghiệm của phương trình vi phân đơn giản nhất bậc nhất. Cách giải phương trình vi phân

Phương trình vi phân thường được gọi là một phương trình liên quan đến một biến độc lập, một hàm chưa biết của biến này và các đạo hàm (hoặc vi phân) của nó theo các bậc khác nhau.

Bậc của phương trình vi phân là bậc của đạo hàm cao nhất chứa trong nó.

Ngoài những cái thông thường, các phương trình đạo hàm riêng cũng được nghiên cứu. Đây là các phương trình liên quan đến các biến độc lập, một hàm chưa biết của các biến này và các đạo hàm riêng của nó đối với các biến giống nhau. Nhưng chúng tôi sẽ chỉ xem xét phương trình vi phân thường và do đó chúng ta sẽ bỏ từ "thông thường" cho ngắn gọn.

Các ví dụ phương trình vi phân:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Phương trình (1) là bậc 4, phương trình (2) là bậc 3, phương trình (3) và (4) là bậc 2, phương trình (5) là bậc nhất.

Phương trình vi phân N thứ tự không nhất thiết phải chứa một hàm, tất cả các dẫn xuất của nó từ đầu tiên đến N thứ tự và một biến độc lập. Nó có thể không chứa các dẫn xuất của một số lệnh, một hàm, một biến độc lập một cách rõ ràng.

Ví dụ, trong phương trình (1) rõ ràng không có đạo hàm bậc ba và bậc hai, cũng như các hàm; trong phương trình (2) - đạo hàm và hàm số cấp hai; trong phương trình (4) - biến độc lập; trong phương trình (5) - các hàm. Chỉ có phương trình (3) mới chứa tất cả các đạo hàm, hàm và biến độc lập một cách rõ ràng.

Bằng cách giải phương trình vi phân bất kỳ chức năng nào được gọi là y = f (x), thay thế cái nào vào phương trình, nó biến thành một danh tính.

Quá trình tìm kiếm một giải pháp cho một phương trình vi phân được gọi là hội nhập.

ví dụ 1 Tìm một nghiệm của phương trình vi phân.

Dung dịch. Chúng tôi viết phương trình này dưới dạng. Giải pháp là tìm hàm bằng đạo hàm của nó. Hàm ban đầu, như được biết đến từ phép tính tích phân, là hàm phản đạo hàm cho, tức là

Đó là những gì nó là nghiệm của phương trình vi phân đã cho . thay đổi trong đó C, chúng tôi sẽ nhận được các giải pháp khác nhau. Chúng tôi phát hiện ra rằng có vô số nghiệm của một phương trình vi phân cấp một.

Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân N thứ tự là giải pháp của nó được thể hiện một cách rõ ràng đối với hàm chưa biết và chứa N các hằng số tùy ý độc lập, tức là

Nghiệm của phương trình vi phân trong ví dụ 1 là tổng quát.

Nghiệm một phần của phương trình vi phân nghiệm của nó được gọi, trong đó các giá trị số cụ thể được gán cho các hằng số tùy ý.

Ví dụ 2 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân và nghiệm cụ thể cho .

Dung dịch. Chúng tôi tích hợp cả hai phần của phương trình một số lần sao cho bậc của phương trình vi phân là bằng nhau.

,

.

Kết quả là, chúng tôi có giải pháp chung -

phương trình vi phân cấp ba đã cho.

Bây giờ chúng ta hãy tìm một giải pháp cụ thể trong các điều kiện được chỉ định. Để làm điều này, chúng tôi thay thế các giá trị của chúng thay vì các hệ số tùy ý và thu được

.

Nếu, ngoài phương trình vi phân, điều kiện ban đầu được cho ở dạng, thì bài toán như vậy được gọi là Vấn đề Cauchy . Các giá trị và được thay thế vào nghiệm tổng quát của phương trình và giá trị của một hằng số tùy ý được tìm thấy C, và sau đó là một nghiệm cụ thể của phương trình cho giá trị tìm được C. Đây là giải pháp cho vấn đề Cauchy.

Ví dụ 3 Giải bài toán Cauchy cho phương trình vi phân từ Ví dụ 1 với điều kiện.

Dung dịch. Chúng tôi thay thế vào giải pháp chung các giá trị từ điều kiện ban đầu y = 3, x= 1. Chúng tôi nhận được

Chúng tôi viết ra lời giải của bài toán Cauchy cho phương trình vi phân bậc nhất đã cho:

Giải các phương trình vi phân, ngay cả những phương trình đơn giản nhất, đòi hỏi kỹ năng tốt trong việc tích phân và lấy đạo hàm, bao gồm cả các hàm phức tạp. Điều này có thể được nhìn thấy trong ví dụ sau.

Ví dụ 4 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân.

Dung dịch. Phương trình được viết dưới dạng sao cho có thể tích cả hai vế ngay lập tức.

.

Ta áp dụng phương pháp tích phân bằng cách đổi biến (thay thế). Hãy để, sau đó.

Bắt buộc phải lấy dx và bây giờ - chú ý - chúng tôi làm điều đó theo quy tắc phân biệt của một hàm phức tạp, vì x và có một hàm phức tạp ("apple" - trích xuất căn bậc hai hoặc, tương tự như vậy, nâng lên thành sức mạnh của "một giây", và "thịt băm" là cách diễn đạt dưới gốc):

Ta tìm tích phân:

Quay lại biến x, chúng tôi nhận được:

.

Đây là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp một.

Không chỉ các kỹ năng từ các phần trước của toán học cao hơn sẽ được yêu cầu trong việc giải phương trình vi phân, mà còn cả các kỹ năng từ sơ cấp, tức là, toán học phổ thông. Như đã đề cập, trong một phương trình vi phân bậc bất kỳ có thể không có một biến độc lập, tức là một biến x. Những kiến ​​thức về tỉ lệ không bị quên (tuy nhiên, ai cũng có như thế) từ trên ghế nhà trường sẽ giúp giải quyết vấn đề này. Đây là ví dụ tiếp theo.

6.1. CÁC KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH NGHĨA CƠ BẢN

Khi giải quyết các vấn đề khác nhau của toán học và vật lý, sinh học và y học, thường không thể thiết lập ngay lập tức sự phụ thuộc hàm dưới dạng công thức liên kết các biến mô tả quá trình đang nghiên cứu. Thông thường, người ta phải sử dụng các phương trình chứa, ngoài biến độc lập và hàm chưa biết, còn cả các đạo hàm của nó.

Sự định nghĩa. Một phương trình liên quan đến một biến độc lập, một hàm chưa biết và các dẫn xuất của nó theo các bậc khác nhau được gọi là vi sai.

Hàm không xác định thường được ký hiệu là y (x) hoặc đơn giản y, và các dẫn xuất của nó là y ", y " vân vân.

Các ký hiệu khác cũng có thể có, ví dụ: nếu y= x (t), sau đó x "(t), x" "(t) là các dẫn xuất của nó, và t là một biến độc lập.

Sự định nghĩa. Nếu hàm phụ thuộc vào một biến thì phương trình vi phân được gọi là thường. Hình thức chung phương trình vi phân thường:

hoặc

Chức năng F và f có thể không chứa một số đối số, nhưng để các phương trình là vi phân, sự hiện diện của một đạo hàm là điều cần thiết.

Sự định nghĩa.Bậc của phương trình vi phân là bậc của đạo hàm cao nhất có trong nó.

Ví dụ, x 2 y "- y= 0, y "+ sin x= 0 là phương trình bậc nhất và y "+ 2 y "+ 5 y= x là một phương trình bậc hai.

Khi giải các phương trình vi phân, phép toán tích phân được sử dụng, được liên kết với sự xuất hiện của một hằng số tùy ý. Nếu hành động tích hợp được áp dụng N khi đó, rõ ràng, giải pháp sẽ chứa N hằng số tùy ý.

6.2. ĐƠN HÀNG ĐẦU TIÊN CÁC YÊU CẦU KHÁC BIỆT

Hình thức chung phương trình vi phân bậc nhấtđược xác định bởi biểu thức

Phương trình có thể không chứa x và y, nhưng nhất thiết phải chứa y ”.

Nếu phương trình có thể được viết dưới dạng

thì chúng ta nhận được một phương trình vi phân bậc nhất được giải liên quan đến đạo hàm.

Sự định nghĩa. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân bậc nhất (6.3) (hoặc (6.4)) là tập nghiệm , ở đâu TỪ là một hằng số tùy ý.

Đồ thị để giải một phương trình vi phân được gọi là đường cong tích phân.

Đưa ra một hằng số tùy ý TỪ các giá trị khác nhau, có thể thu được các giải pháp cụ thể. Trên bề mặt xOy nghiệm tổng quát là một họ các đường cong tích phân tương ứng với từng nghiệm cụ thể.

Nếu bạn đặt một điểm A (x0, y0), qua đó đường cong tích phân phải đi qua, sau đó, như một quy luật, từ tập hợp các hàm một có thể được tách ra - một giải pháp cụ thể.

Sự định nghĩa.Quyết định riêng của một phương trình vi phân là nghiệm của nó không chứa hằng số tùy ý.

Nếu một là một giải pháp chung, sau đó từ điều kiện

bạn có thể tìm thấy một vĩnh viễn TỪ.Điều kiện được gọi là điều kiện ban đầu.

Bài toán tìm một nghiệm cụ thể cho một phương trình vi phân (6.3) hoặc (6.4) thỏa mãn điều kiện ban đầu tại gọi là vấn đề Cauchy. Vấn đề này luôn luôn có một giải pháp? Câu trả lời nằm trong định lý sau.

Định lý Cauchy(định lý về sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm). Cho trong phương trình vi phân y "= f (x, y) hàm số f (x, y) và cô ấy

đạo hàm riêng được xác định và liên tục trong một số

khu vực D, chứa một dấu chấm Sau đó trong khu vực D tồn tại

nghiệm duy nhất của phương trình thỏa mãn điều kiện ban đầu tại

Định lý Cauchy phát biểu rằng trong những điều kiện nhất định tồn tại một đường cong tích phân duy nhất y= f (x),đi qua một điểm Những điểm không thỏa mãn các điều kiện của định lý

Mèo được gọi là đặc biệt. Nghỉ giải lao tại những điểm này f(x, y) hoặc.

Một số đường cong tích phân đi qua một điểm kỳ dị hoặc không có.

Sự định nghĩa. Nếu nghiệm (6.3), (6.4) được tìm thấy ở dạng f(x, y, c)= 0 không được phép đối với y, khi đó nó được gọi là tích phân chung phương trình vi phân.

Định lý Cauchy chỉ đảm bảo rằng một nghiệm tồn tại. Vì không có phương pháp duy nhất để tìm nghiệm, chúng tôi sẽ chỉ xem xét một số loại phương trình vi phân bậc nhất có thể tích phân trong hình vuông.

Sự định nghĩa. Phương trình vi phân được gọi là có thể tích hợp trong bốn nhiệt độ, nếu việc tìm kiếm giải pháp của nó bị giảm xuống sự tích hợp của các chức năng.

6.2.1. Phương trình vi phân bậc nhất với các biến có thể phân tách

Sự định nghĩa. Phương trình vi phân bậc nhất được gọi là phương trình với các biến có thể phân tách,

Vế phải của phương trình (6.5) là tích của hai hàm, mỗi hàm chỉ phụ thuộc vào một biến số.

Ví dụ, phương trình là một phương trình với sự phân tách

truyền các biến
và phương trình

không được biểu diễn dưới dạng (6.5).

Cho rằng , chúng tôi viết lại (6.5) là

Từ phương trình này, chúng ta thu được một phương trình vi phân với các biến riêng biệt, trong đó vi phân chứa các hàm chỉ phụ thuộc vào biến tương ứng:

Tích hợp từng thuật ngữ, chúng ta có

trong đó C = C 2 - C 1 là một hằng số tùy ý. Biểu thức (6.6) là tích phân tổng quát của phương trình (6.5).

Chia cả hai phần của phương trình (6.5) cho, chúng ta có thể mất các nghiệm mà, Thật vậy, nếu tại

sau đó rõ ràng là một nghiệm của phương trình (6.5).

ví dụ 1 Tìm một nghiệm cho phương trình thỏa mãn

tình trạng: y= 6 lúc x= 2 (y(2) = 6).

Dung dịch. Hãy thay thế tại" cho sau đó . Nhân cả hai bên với

dx, vì khi hội nhập sâu hơn, không thể rời khỏi dxở mẫu số:

và sau đó chia cả hai phần cho chúng tôi nhận được phương trình,

mà có thể được tích hợp. Chúng tôi tích hợp:

sau đó ; chiết áp, ta nhận được y = C. (x + 1) - ob-

dung dịch.

Dựa trên dữ liệu ban đầu, chúng tôi xác định một hằng số tùy ý bằng cách thay chúng vào giải pháp chung

Cuối cùng chúng tôi nhận được y= 2 (x + 1) là một nghiệm cụ thể. Hãy xem xét thêm một vài ví dụ về giải phương trình với các biến có thể phân tách.

Ví dụ 2 Tìm một giải pháp cho phương trình

Dung dịch. Cho rằng , chúng tôi nhận được .

Tích phân cả hai vế của phương trình, ta có

ở đâu

Ví dụ 3 Tìm một giải pháp cho phương trình Dung dịch. Chúng tôi chia cả hai phần của phương trình cho các yếu tố phụ thuộc vào một biến số không trùng với biến số dưới dấu vi phân, tức là, bằng và tích hợp. Sau đó, chúng tôi nhận được

và cuối cùng

Ví dụ 4 Tìm một giải pháp cho phương trình

Dung dịch. Biết những gì chúng ta sẽ nhận được. Tiết diện-

các biến lim. sau đó

Tích hợp, chúng tôi nhận được

Bình luận. Trong ví dụ 1 và 2, hàm mong muốn y diễn đạt một cách tường minh (giải pháp chung). Trong ví dụ 3 và 4 - ngầm định (tích phân tổng quát). Trong tương lai, hình thức của quyết định sẽ không được nêu rõ.

Ví dụ 5 Tìm một giải pháp cho phương trình Dung dịch.

Ví dụ 6 Tìm một giải pháp cho phương trình làm hài lòng

tình trạng y (e)= 1.

Dung dịch. Chúng tôi viết phương trình dưới dạng

Nhân cả hai vế của phương trình với dx và tiếp tục, chúng tôi nhận được

Tích phân cả hai vế của phương trình (tích phân ở vế phải được lấy theo từng phần), chúng ta thu được

Nhưng theo điều kiện y= 1 lúc x= e. sau đó

Thay thế các giá trị tìm được TỪ thành một giải pháp chung:

Biểu thức kết quả được gọi là một nghiệm cụ thể của phương trình vi phân.

6.2.2. Thuần nhất phương trình vi phân bậc nhất

Sự định nghĩa. Phương trình vi phân bậc nhất được gọi là đồng nhất nếu nó có thể được đại diện là

Chúng tôi trình bày một thuật toán để giải một phương trình thuần nhất.

1. Thay vào đó y giới thiệu một chức năng mới Sau đó và do đó

2. Về chức năng u phương trình (6.7) có dạng

tức là, sự thay thế làm giảm phương trình thuần nhất thành một phương trình với các biến có thể phân tách.

3. Giải phương trình (6.8), trước tiên ta tìm u, sau đó y= ux.

ví dụ 1 giải phương trình Dung dịch. Chúng tôi viết phương trình dưới dạng

Chúng tôi thực hiện một sự thay thế:
sau đó

Hãy thay thế

Nhân với dx: Chia cho x và hơn thế nữa sau đó

Tích hợp cả hai phần của phương trình với các biến tương ứng, chúng ta có

hoặc, quay lại các biến cũ, cuối cùng chúng ta sẽ nhận được

Ví dụ 2giải phương trình Dung dịch.Để cho sau đó

Chia cả hai vế của phương trình cho x2: Hãy mở dấu ngoặc và sắp xếp lại các thuật ngữ:

Chuyển sang các biến cũ, chúng ta đi đến kết quả cuối cùng:

Ví dụ 3Tìm một giải pháp cho phương trình với điều kiện

Dung dịch.Thực hiện thay thế tiêu chuẩn chúng tôi nhận được

hoặc

hoặc

Vì vậy, giải pháp cụ thể có dạng Ví dụ 4 Tìm một giải pháp cho phương trình

Dung dịch.

Ví dụ 5Tìm một giải pháp cho phương trình Dung dịch.

Làm việc độc lập

Tìm một giải pháp cho phương trình vi phân với các biến có thể phân tách (1-9).

Tìm một giải pháp cho phương trình vi phân thuần nhất (9-18).

6.2.3. Một số ứng dụng của phương trình vi phân bậc nhất

Vấn đề phân rã phóng xạ

Tốc độ phân rã của Ra (radium) tại mỗi thời điểm tỷ lệ với khối lượng sẵn có của nó. Tìm định luật phân rã phóng xạ của Ra nếu biết ở thời điểm ban đầu có Ra và chu kỳ bán rã của Ra là 1590 năm.

Dung dịch.Để tại thời điểm này, khối lượng Ra là x= x (t) g, và Khi đó tốc độ phân rã của Ra là

Theo nhiệm vụ

ở đâu k

Tách các biến trong phương trình cuối cùng và tích phân, chúng ta nhận được

ở đâu

Để xác định C chúng tôi sử dụng điều kiện ban đầu: .

sau đó và do đó,

Yếu tố tỷ lệ kđược xác định từ điều kiện bổ sung:

Chúng ta có

Từ đây và công thức mong muốn

Vấn đề về tốc độ sinh sản của vi khuẩn

Tốc độ sinh sản của vi khuẩn tỷ lệ thuận với số lượng của chúng. Tại thời điểm ban đầu có 100 vi khuẩn. Trong vòng 3 giờ số lượng của chúng tăng gấp đôi. Tìm sự phụ thuộc của số lượng vi khuẩn vào thời gian. Trong vòng 9 giờ số lượng vi khuẩn sẽ tăng lên bao nhiêu lần?

Dung dịch.Để cho x- số lượng vi khuẩn tại thời điểm này t. Sau đó, theo điều kiện,

ở đâu k- hệ số tương xứng.

Từ đây Nó được biết đến từ điều kiện rằng . Có nghĩa,

Từ điều kiện bổ sung . sau đó

Chức năng yêu cầu:

Vì vậy, tại t= 9 x= 800, tức là trong 9 giờ số lượng vi khuẩn tăng lên 8 lần.

Nhiệm vụ tăng lượng enzyme

Trong quá trình nuôi cấy men bia, tốc độ phát triển của enzym hoạt tính tỷ lệ với số lượng ban đầu của nó. x. Lượng enzyme ban đầu một tăng gấp đôi trong vòng một giờ. Tìm sự phụ thuộc

x (t).

Dung dịch. Theo điều kiện, phương trình vi phân của quá trình có dạng

từ đây

Nhưng mà . Có nghĩa, C= một và sau đó

Nó cũng được biết rằng

Do đó,

6.3. LỆNH THỨ HAI YÊU CẦU KHÁC BIỆT

6.3.1. Các khái niệm cơ bản

Sự định nghĩa.Phương trình vi phân bậc haiđược gọi là quan hệ nối biến độc lập, hàm mong muốn và các đạo hàm cấp một và cấp hai của nó.

Trong trường hợp đặc biệt, x có thể không có trong phương trình, tại hoặc y ". Tuy nhiên, phương trình bậc hai nhất thiết phải chứa y". Trong trường hợp tổng quát, phương trình vi phân cấp hai được viết dưới dạng:

hoặc, nếu có thể, ở dạng được phép đối với đạo hàm thứ hai:

Cũng như trường hợp phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai có thể có nghiệm tổng quát và nghiệm riêng. Giải pháp chung trông giống như:

Tìm một giải pháp riêng tư

trong điều kiện ban đầu - đã cho

số) được gọi là vấn đề Cauchy. Về mặt hình học, điều này có nghĩa là nó được yêu cầu để tìm đường cong tích phân tại= y (x),đi qua một điểm nhất định và có một tiếp tuyến tại điểm này, khoảng

dĩa với hướng trục dương Con bò góc cho trước. e. (Hình 6.1). Bài toán Cauchy có một nghiệm duy nhất nếu vế phải của phương trình (6.10), không

là không liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục đối với u, u "ở một số vùng lân cận của điểm xuất phát

Để tìm hằng số bao gồm trong một giải pháp cụ thể, nó là cần thiết để cho phép hệ thống

Cơm. 6.1.đường cong tích phân

Nghiệm của phương trình vi phân. Cảm ơn của chúng tôi dịch vụ trực tuyến bạn có thể giải các phương trình vi phân thuộc bất kỳ loại và độ phức tạp nào: không đồng nhất, thuần nhất, không tuyến tính, tuyến tính, bậc nhất, bậc hai, với các biến có thể phân tách hoặc không phân tách được, v.v. Bạn nhận được lời giải của phương trình vi phân trong dạng phân tích Với miêu tả cụ thể. Nhiều người quan tâm: tại sao cần giải phương trình vi phân trực tuyến? Loại này phương trình rất phổ biến trong toán học và vật lý, nơi sẽ không thể giải nhiều bài toán mà không tính một phương trình vi phân. Ngoài ra, phương trình vi phân cũng phổ biến trong kinh tế, y học, sinh học, hóa học và các ngành khoa học khác. Nghiệm của một phương trình như vậy trong chế độ online tạo điều kiện thuận lợi đáng kể cho nhiệm vụ của bạn, cho bạn cơ hội hiểu rõ hơn về tài liệu và tự kiểm tra. Lợi ích của việc giải phương trình vi phân trực tuyến. Một trang web dịch vụ toán học hiện đại cho phép bạn giải các phương trình vi phân trực tuyến với bất kỳ độ phức tạp nào. Như bạn biết có một số lượng lớn các loại phương trình vi phân và mỗi phương trình đều có các phương pháp giải riêng. Trên dịch vụ của chúng tôi, bạn có thể tìm thấy lời giải của phương trình vi phân của bất kỳ thứ tự nào và nhập trực tuyến. Để có được một giải pháp, chúng tôi khuyên bạn nên điền vào dữ liệu ban đầu và nhấp vào nút "Giải pháp". Lỗi trong hoạt động của dịch vụ được loại trừ, vì vậy bạn có thể chắc chắn 100% rằng bạn đã nhận được câu trả lời chính xác. Giải phương trình vi phân với dịch vụ của chúng tôi. Giải phương trình vi phân trực tuyến. Theo mặc định, trong một phương trình như vậy, hàm y là một hàm của biến x. Nhưng bạn cũng có thể đặt chỉ định biến của riêng mình. Ví dụ: nếu bạn chỉ định y (t) trong một phương trình vi phân, thì dịch vụ của chúng tôi sẽ tự động xác định rằng y là một hàm của biến t. Bậc của toàn bộ phương trình vi phân sẽ phụ thuộc vào bậc lớn nhất của đạo hàm của hàm có trong phương trình. Để giải một phương trình như vậy có nghĩa là tìm hàm mong muốn. Dịch vụ của chúng tôi sẽ giúp bạn giải các phương trình vi phân trực tuyến. Bạn không mất nhiều công sức để giải phương trình. Bạn chỉ cần nhập phần bên trái và bên phải của phương trình vào các trường bắt buộc và nhấp vào nút "Giải pháp". Khi nhập đạo hàm của một hàm, cần phải ký hiệu nó bằng dấu nháy đơn. Trong vài giây, bạn sẽ có sẵn một giải pháp chi tiết cho phương trình vi phân. Dịch vụ của chúng tôi là hoàn toàn miễn phí. Phương trình vi phân với các biến phân tách được. Nếu trong một phương trình vi phân phía bên trái có biểu thức phụ thuộc vào y và ở phía bên phải có biểu thức phụ thuộc vào x, thì một phương trình vi phân như vậy được gọi là với các biến phân tách được. Ở vế trái có thể có đạo hàm của y, nghiệm của phương trình vi phân loại này sẽ ở dạng một hàm của y, được biểu diễn thông qua tích phân vế phải của phương trình. Nếu có một vi phân của một hàm của y ở phía bên trái, thì cả hai phần của phương trình là tích phân. Khi các biến trong một phương trình vi phân không được tách riêng, chúng sẽ cần được chia để có được một phương trình vi phân riêng. Phương trình vi phân tuyến tính. Một phương trình vi phân được gọi là tuyến tính, trong đó hàm và tất cả các đạo hàm của nó đều ở mức độ đầu tiên. Dạng tổng quát của phương trình: y '+ a1 (x) y = f (x). f (x) và a1 (x) là các hàm liên tục của x. Nghiệm của phương trình vi phân loại này được rút gọn thành tích của hai phương trình vi phân với các biến riêng biệt. Bậc của phương trình vi phân. Phương trình vi phân có thể có bậc nhất, bậc hai, bậc n. Bậc của một phương trình vi phân xác định bậc của đạo hàm cao nhất chứa trong nó. Trong dịch vụ của chúng tôi, bạn có thể giải các phương trình vi phân trực tuyến đầu tiên, thứ hai, thứ ba, v.v. gọi món. Nghiệm của phương trình sẽ là một hàm bất kỳ y = f (x), thay thế nó vào phương trình, bạn sẽ nhận được một danh tính. Quá trình tìm kiếm một giải pháp cho một phương trình vi phân được gọi là tích phân. Vấn đề Cauchy. Nếu, ngoài chính phương trình vi phân, điều kiện ban đầu y (x0) = y0 được xác định, thì đây được gọi là bài toán Cauchy. Các chỉ số y0 và x0 được thêm vào nghiệm của phương trình và giá trị của một hằng số C tùy ý được xác định, và sau đó một nghiệm cụ thể của phương trình cho giá trị này của C. Đây là lời giải của bài toán Cauchy. Bài toán Cauchy còn được gọi là bài toán có điều kiện biên, rất phổ biến trong vật lý và cơ học. Bạn cũng có cơ hội đặt vấn đề Cauchy, tức là từ tất cả phương pháp khả thi của phương trình, chọn một thương thỏa mãn các điều kiện ban đầu cho trước.

Hoặc đã được giải đối với đạo hàm hoặc chúng có thể được giải đối với đạo hàm .

Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân loại trên khoảng X, cái đã cho, có thể được tìm thấy bằng cách lấy tích phân của cả hai vế của đẳng thức này.

Lấy .

Nhìn vào các thuộc tính không xác định, không thể thiếu, sau đó chúng tôi tìm thấy giải pháp chung mong muốn:

y = F (x) + C,

ở đâu F (x)- một trong những chất chống nhiễm trùng của hàm f (x)ở giữa X, một TỪ là một hằng số tùy ý.

Xin lưu ý rằng trong hầu hết các nhiệm vụ, khoảng thời gian X không chỉ ra. Điều này có nghĩa là một giải pháp phải được tìm ra cho tất cả mọi người. x, cho cái nào và chức năng mong muốn y, và phương trình ban đầu có ý nghĩa.

Nếu bạn cần tính một nghiệm cụ thể của một phương trình vi phân thỏa mãn điều kiện ban đầu y (x0) = y0, sau đó sau khi tính tích phân tổng quát y = F (x) + C, vẫn cần xác định giá trị của hằng số C = C0 sử dụng điều kiện ban đầu. Đó là, một hằng số C = C0 xác định từ phương trình F (x 0) + C = y 0, và nghiệm cụ thể mong muốn của phương trình vi phân sẽ có dạng:

y = F (x) + C0.

Hãy xem xét một ví dụ:

Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân, kiểm tra tính đúng đắn của kết quả. Hãy tìm một nghiệm cụ thể của phương trình này thỏa mãn điều kiện ban đầu.

Dung dịch:

Sau khi chúng ta đã tích phân phương trình vi phân đã cho, chúng ta nhận được:

.

Chúng tôi lấy tích phân này theo phương pháp tích phân theo các bộ phận:

Cái đó., là một nghiệm tổng quát của phương trình vi phân.

Hãy kiểm tra để đảm bảo kết quả là chính xác. Để làm điều này, chúng tôi thay thế nghiệm mà chúng tôi tìm thấy vào phương trình đã cho:

.

Đó là, tại phương trình ban đầu biến thành một định danh:

do đó, nghiệm tổng quát của phương trình vi phân đã được xác định một cách chính xác.

Giải pháp chúng tôi tìm thấy là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân ứng với mỗi giá trị thực của đối số x.

Nó vẫn còn để tính toán một giải pháp cụ thể của ODE sẽ thỏa mãn điều kiện ban đầu. Nói cách khác, cần phải tính giá trị của hằng số TỪ, tại đó đẳng thức sẽ đúng:

.

.

Sau đó, thay thế C = 2 vào nghiệm tổng quát của ODE, chúng tôi nhận được một nghiệm cụ thể của phương trình vi phân thỏa mãn điều kiện ban đầu:

.

Phương trình vi phân thường có thể được giải về đạo hàm bằng cách chia 2 phần của phương trình cho f (x). Phép biến đổi này sẽ tương đương nếu f (x) không về 0 cho bất kỳ x từ khoảng tích phân của phương trình vi phân X.

Các tình huống có thể xảy ra khi, đối với một số giá trị của đối số x ∈ X chức năng f (x) và g (x)đồng thời chuyển về 0. Đối với các giá trị tương tự x nghiệm tổng quát của phương trình vi phân là một hàm bất kỳ y, được định nghĩa trong chúng, bởi vì .

Nếu đối với một số giá trị của đối số x ∈ Xđiều kiện được thỏa mãn, có nghĩa là trong trường hợp này ODE không có giải pháp nào.

Đối với tất cả những người khác x từ khoảng thời gian X nghiệm tổng quát của phương trình vi phân được xác định từ phương trình đã biến đổi.

Hãy xem các ví dụ:

ví dụ 1

Hãy để chúng tôi tìm giải pháp chung của ODE: .

Dung dịch.

Từ các tính chất của các hàm cơ bản cơ bản, rõ ràng là hàm logarit tự nhiên được xác định cho các giá trị không âm của đối số, do đó, miền của biểu thức log (x + 3) có một khoảng thời gian x > -3 . Do đó, phương trình vi phân đã cho có ý nghĩa đối với x > -3 . Với các giá trị này của đối số, biểu thức x + 3 không biến mất, vì vậy người ta có thể giải ODE đối với đạo hàm bằng cách chia 2 phần cho x + 3.

Chúng tôi nhận được .

Tiếp theo, chúng tôi tích phân phương trình vi phân kết quả, được giải liên quan đến đạo hàm: . Để lấy tích phân này, chúng ta sử dụng phương pháp cộng dưới dấu của vi phân.

Nhớ lại vấn đề mà chúng ta gặp phải khi tìm tích phân xác định:

hoặc dy = f (x) dx. Giải pháp của cô ấy:

và nó giảm thành phép tính một tích phân không xác định. Trong thực tế, một nhiệm vụ khó hơn phổ biến hơn: tìm một hàm y, nếu biết rằng nó thỏa mãn một quan hệ của biểu mẫu

Mối quan hệ này liên quan đến biến độc lập x, chức năng không xác định y và các dẫn xuất của nó theo thứ tự N bao gồm, được gọi là .

Một phương trình vi phân bao gồm một hàm dưới dấu của đạo hàm (hoặc vi phân) bậc này hay bậc khác. Thứ tự của mức cao nhất được gọi là thứ tự (9.1) .

Phương trình vi phân:

- đơn hàng đầu tiên

đơn hàng thứ hai,

- đơn hàng thứ năm, v.v.

Một hàm thỏa mãn một phương trình vi phân đã cho được gọi là nghiệm của nó , hoặc tích phân . Để giải quyết nó có nghĩa là tìm tất cả các giải pháp của nó. Nếu cho chức năng mong muốn yđã thành công trong việc thu được một công thức cung cấp tất cả các giải pháp, sau đó chúng tôi nói rằng chúng tôi đã tìm ra giải pháp chung của nó , hoặc tích phân tổng quát .

Quyết định chung chứa N hằng số tùy ý và trông giống như

Nếu thu được một quan hệ có liên quan x, y và N các hằng số tùy ý, ở dạng không được phép đối với y -

thì quan hệ như vậy được gọi là tích phân tổng quát của phương trình (9.1).

Vấn đề Cauchy

Mỗi giải pháp cụ thể, tức là, mỗi hàm cụ thể thỏa mãn một phương trình vi phân đã cho và không phụ thuộc vào các hằng số tùy ý được gọi là một nghiệm cụ thể , hoặc tích phân riêng. Để có được các nghiệm cụ thể (tích phân) từ các nghiệm tổng quát, cần phải gắn các giá trị số cụ thể với các hằng số.

Đồ thị của một nghiệm cụ thể được gọi là đường cong tích phân. Giải pháp tổng quát, chứa tất cả các nghiệm cụ thể, là một họ các đường cong tích phân. Đối với phương trình bậc nhất, họ này phụ thuộc vào một hằng số tùy ý; đối với phương trình N thứ tự - từ N hằng số tùy ý.

Vấn đề Cauchy là tìm một nghiệm cụ thể cho phương trình N thứ tự, đáp ứng Nđiều kiện ban đầu:

xác định n hằng số с 1, с 2, ..., c n.

Phương trình vi phân bậc 1

Đối với một bài toán chưa giải được đối với đạo hàm, phương trình vi phân bậc 1 có dạng

hoặc cho phép một cách tương đối

Ví dụ 3.46. Tìm một nghiệm tổng quát cho phương trình

Dung dịch. Tích hợp, chúng tôi nhận được

trong đó C là một hằng số tùy ý. Nếu chúng ta cung cấp cho C các giá trị số cụ thể, thì chúng ta sẽ nhận được các giải pháp cụ thể, ví dụ:

Ví dụ 3.47. Xem xét số tiền gửi vào ngân hàng ngày càng tăng, tùy thuộc vào khoản tích lũy là 100 r lãi kép mỗi năm. Gọi Yo là số tiền ban đầu và Yx sau khi hết hạn x nhiều năm. Khi tiền lãi được tính mỗi năm một lần, chúng tôi nhận được

trong đó x = 0, 1, 2, 3, .... Khi tính lãi hai lần một năm, chúng ta nhận được

trong đó x = 0, 1/2, 1, 3/2, .... Khi tính lãi N mỗi năm một lần và nếu x nhận liên tiếp các giá trị 0, 1 / n, 2 / n, 3 / n, ..., sau đó

Ký hiệu 1 / n = h, thì đẳng thức trước đó sẽ giống như sau:

Với độ phóng đại không giới hạn N(tại ) trong giới hạn, chúng tôi đi đến quy trình tăng số tiền với lãi suất tích lũy liên tục:

Như vậy, có thể thấy rằng với sự thay đổi liên tục x Quy luật thay đổi trong cung tiền được biểu diễn bằng một phương trình vi phân bậc 1. Trong đó Y x là một hàm chưa biết, x- biến độc lập, r- không thay đổi. Chúng tôi giải phương trình này, cho điều này chúng tôi viết lại nó như sau:

ở đâu , hoặc , trong đó P là viết tắt của e C.

Từ các điều kiện ban đầu Y (0) = Yo, ta tìm được P: Yo = Pe o, khi đó, Yo = P. Do đó, giải pháp có dạng:

Hãy xem xét vấn đề kinh tế thứ hai. Các mô hình kinh tế vĩ mô cũng được mô tả bằng phương trình vi phân tuyến tính bậc 1, mô tả sự thay đổi trong thu nhập hoặc sản lượng Y dưới dạng một hàm của thời gian.

Ví dụ 3.48. Để thu nhập quốc dân Y tăng với tốc độ tỷ lệ thuận với quy mô của nó:

và giả sử, thâm hụt trong chi tiêu của chính phủ tỷ lệ thuận với thu nhập Y với hệ số tỷ lệ thuận q. Thâm hụt chi tiêu dẫn đến tăng nợ quốc gia D:

Điều kiện ban đầu Y = Yo và D = Do lúc t = 0. Từ phương trình đầu tiên Y = Yoe kt. Thay Y ta được dD / dt = qYoe kt. Giải pháp chung có dạng
D = (q / k) Yoe kt + С, trong đó С = const, được xác định từ các điều kiện ban đầu. Thay các điều kiện ban đầu, chúng ta thu được Do = (q / k) Yo + C. Vì vậy, cuối cùng,

D = Do + (q / k) Yo (e kt -1),

điều này cho thấy nợ quốc gia đang tăng với cùng một tốc độ tương đối k, là thu nhập quốc dân.

Xét các phương trình vi phân đơn giản nhất N thứ tự, đây là những phương trình có dạng

Giải pháp chung của nó có thể được lấy bằng cách sử dụng N thời hội nhập.

Ví dụ 3.49. Hãy xem xét ví dụ y "" "= cos x.

Dung dịch. Tích hợp, chúng tôi nhận thấy

Giải pháp chung có dạng

Phương trình vi phân tuyến tính

Trong kinh tế học, chúng được sử dụng rất nhiều, hãy xem xét nghiệm của những phương trình như vậy. Nếu (9.1) có dạng:

thì nó được gọi là tuyến tính, trong đó po (x), p1 (x), ..., pn (x), f (x) là các hàm đã cho. Nếu f (x) = 0 thì (9.2) được gọi là thuần nhất, ngược lại gọi là không thuần nhất. Nghiệm tổng quát của phương trình (9.2) bằng tổng của bất kỳ nghiệm cụ thể nào của nó y (x) và nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng với nó:

Nếu các hệ số p o (x), p 1 (x), ..., p n (x) là hằng số thì (9.2)

(9.4) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính với hệ số bậc không đổi N .

Đối với (9.4) nó có dạng:

Chúng ta có thể đặt mà không mất tính tổng quát p o = 1 và viết (9.5) dưới dạng

Chúng ta sẽ tìm một nghiệm (9.6) ở dạng y = e kx, với k là hằng số. Chúng ta có: ; y "= ke kx, y" "= k 2 e kx, ..., y (n) = kx. Thay các biểu thức thu được vào (9.6), ta sẽ có:

(9.7) là một phương trình đại số, ẩn số của nó là k, nó được gọi là đặc tính. Phương trình đặc trưng có độ N và N rễ, trong đó có thể có cả nhiều và phức tạp. Để k 1, k 2, ..., k n là thực và phân biệt, khi đó là các giải pháp cụ thể (9,7), trong khi các giải pháp chung

Xét một phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất bậc hai với hệ số không đổi:

Phương trình đặc trưng của nó có dạng

(9.9)

phân biệt D = p 2 - 4q của nó, phụ thuộc vào dấu của D, ba trường hợp có thể xảy ra.

1. Nếu D> 0 thì nghiệm nguyên k 1 và k 2 (9,9) là thực và khác nhau, nghiệm tổng quát có dạng:

Dung dịch. Phương trình đặc trưng: k 2 + 9 = 0, khi k = ± 3i, a = 0, b = 3, nghiệm tổng quát là:

y = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x.

Phương trình vi phân tuyến tính bậc hai được sử dụng để nghiên cứu mô hình kinh tế giống như trang web với các kho hàng hóa, trong đó tốc độ thay đổi của giá P phụ thuộc vào quy mô của hàng hóa (xem đoạn 10). Nếu cung và cầu là hàm tuyến tính của giá cả, nghĩa là

a - là hằng số xác định tốc độ phản ứng, khi đó quá trình thay đổi giá được mô tả bằng phương trình vi phân:

Đối với một giải pháp cụ thể, bạn có thể lấy một hằng số

có nghĩa là giá cân bằng. Độ lệch thỏa mãn phương trình thuần nhất

(9.10)

Phương trình đặc trưng sẽ như sau:

Trong trường hợp, thuật ngữ là số dương. Chứng tỏ . Nghiệm của phương trình đặc trưng k 1,2 = ± i w nên nghiệm tổng quát (9.10) có dạng:

trong đó C và các hằng số tùy ý, chúng được xác định từ các điều kiện ban đầu. Chúng ta đã có được quy luật thay đổi giá theo thời gian: