Метод замены плоскостей найти натуральную величину отрезка. Способы преобразования комплексного чертежа. Определение расстояния между параллельными плоскостями

Л Е К Ц И Я 10

СПОСОБ ЗАМЕНЫ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ

1. Сушность способа замены плоскостей

2. Применение способа замены плоскостей к отрезку прямой

3. Применение способа замены плоскостей к плоской фигуре

1. Сушность способа замены плоскостей

Этот способ заключается в том, что заданную систему плос­костей проек­ций заменяют новой системой так, что предмет (прямая или плоскость), не изменяя своего положения в про­странстве, оказывается в частном положении относительно новой системы плоскостей проекций. Плоскости проекций обра­зуют новую ортогональную систему.

В зависимости от условий задачи приходится заменять либо одну из заданных плоскостей проекций, либо обе, если заменой одной плоскости проекций не удается получить необходимого расположения проецируемого предмета относительно плоско­сти проекций.

Возьмем в системе плоскостей проекций Н и V произвольную точку А и построим ее прямоугольные проекции а и а" (рис. 60). Заменим фронтальную плоскость V новой плос­костью V 1 , перпендикулярной плоскости Н, т. е. от системы плоскостей color:black"> перейдем к системе с новой осью jx 1 . Спроеци-

ровав точку А на плоскость V 1 получим новую проекцию а1". Горизонтальная проекция а точки А принадлежит обеим систе­мам плоскостей проекций. Из построений видно, что a 1 " aXi = Aa = a " ax = zA , т. е. при замене плоскости V плоскостью V 1 , пер­пендикулярной плоскости Н, координата проецируемой точки остается без изменения.

Для получения чертежа совмещаем все три плоскости – Н, V к V 1 – в одну плоскость (рис. 60). В новой системе проекции a и a " находятся на линии проекционной связи, пер­пендикулярной к новой оси x 1 . При этом расстояние aXi a 1 " = axa "= zA .

Заменив горизонтальную плоскость проекций Н новой плос­костью H 1 , перпендикулярной плоскости V, от системы плоскостей проекций font-size:14.0pt;color:black"> переходят к новой системе (рис. 61).

Построив проекции точки А в обеих системах, замечаем, что координата у остается неизменной. На чертеже отрезок oXla 1 = axa = yA , что и позволяет строить новую проекцию а1 заданной точки А на перпендикуляре, проведенном из а" к но­вой оси о x 1 .

Последовательная замена двух плоскостей проекций показа­на на рис. 62. Сначала плоскость V заменена плоскостью V 1 перпендикулярной плоскости H , и построена новая проекция а1 точки А. Затем плоскость Н заменена плоскостью Н1 перпен­дикулярной плоскости V 1 , и построена новая проекция а1. Та­ким образом совершен последовательный переход от системы плоскостей проекций к системе, а затем к системе.

position:relative; z-index:-10">

В системе плоскостей проекциями точки А будут а{ и а1", после­довательное построение которых определяется неизменностью координаты z в системе плоскостей и координаты y 1 в системе плоскостей

Решение задач данным методом рассмотрим на двух при­мерах.

2. Применение способа замены плоскостей

к отрезку прямой

Пример 1. Определить длину отрезка АВ прямой по его проекциям ab и а"Ь" (рис. 63).

Задача решается путем замены одной из заданных плоско­стей проекций новой плоскостью проекций, параллельной отрез­ку АВ. На новую плоскость отрезок проецируется в истинную величину.

При замене плоскости V плоскостью V 1 , параллельной отрез­ку АВ, новую ось ох1 проводят параллельно горизонтальной про­екции ab (рис.63 а). Опустив из точек а и b перпендикуляры на ось ох1 и отложив на них aXla 1 "= axa " и bXib 1 " = bxb ", получа­ют новую проекцию а1" b "1, равную отрезку АВ, а также угол ан, равный углу наклона прямой к плоскости Н.

На рис. 63 б дано решение той же задачи путем замены плоскости Н плоскостью Н1, параллельной отрезку АВ. В этом случае ось ох1 располагаем параллельно фронтальной проек­ции a " b " и аналогично предыдущему получаем проекцию а1 b 1 равному заданному отрезку, и угол α v , раный углу наклона прямой к плоскости V .

3. Применение способа замены плоскостей

к плоской фигуре

Пример 2. Определить величину и форму треугольника АВС по его проекциям abc и а" b "с" (рис. 64).

Треугольник прое­циру­ет­ся без искажения на па­рал­лельную ему плос­кость про­екций. В общем случае од­ной заменой плос­костей проек­ций этого добиться невоз­можно, поэто­му после­дова­тель­но заменяют две плос­кости проек­ций.

Сначала заменяют плос-кость V плоскостью V 1 пер-пен­ди­ку­­лярной плоскости треу­гольника. Для этого в плоскости тре­уголь­ни­ка проводят горизонталь AD и пер­пендикулярно к ней рас­пола­га­ют плоскость V 1 . На чертеже построение сводится к прове­де­нию оси х1, перпендикулярной горизонтальной проек­ции ad горизонтали. Горизонталь AD проецируется на плос­кость V 1 в точку a 1 " ≡ d 1 , а треугольник - в отрезок b 1 c 1 .

Затем заменяют плоскость Н плоскостью Н1 параллельной плоскости треугольника ABC . Ось ох2 будет параллельна проек­ции b 1 "а1"с1", а проекция b 1 а1с1 отобразит истинную величину треугольника.

Сущность способа замены плоскостей проекций состоит в том, что заданную систему плоскостей проекций заменяют новой системой так, что геометрические фигуры оказываются в частном положении относительно новой системы плоскостей проекций.

Проследим, как изменятся проекции точки B , если плоскость V заменить на новую плоскость проекций V 1 (рис. 5.1, а ). Плоскость V 1 проводим перпендикулярно плоскости Н , положение которой остается без изменения. Плоскости Н и V 1 пересекутся по прямой 0х 1 , определяющей новую ось проекций. В новой системе плоскостей проекций вместо проекций b и b" получим новые проекции b и b 1 ′ . Легко убедиться, что расстояние от новой проекции точки b 1 ′ до новой оси 0х 1 (координата Z ) равно расстоянию от заменяемой проекции b" до заменяемой оси 0х . Чтобы перейти от пространственного чертежа к эпюру, нужно совместить плоскость V 1 с плоскостью Н . На эпюре (рис. 5.1, 6 ) для построения новой проекции b 1 ′ используем неизменность координаты Z точки B . Для этого достаточно из горизонтальной проекции b провести перпендикуляр к новой оси 0х 1 и от точки b X 1 отложить координату Z , определяемую расстоянием b"b x (Z B ) в прежней системе.

Замена горизонтальной плоскости Н новой плоскостью Н 1 (рис. 5.1, в ) производится аналогично, с той лишь разницей, что теперь не изменяется фронтальная проекция точки b" , для построения новой горизонтальной проекции b 1 необходимо из сохраняемой фронтальной проекции b" провести линию связи к новой оси 0х 1 и отложить от новой оси расстояние, равное расстоянию от заменяемой проекции b до заменяемой оси 0х .

Замена плоскостей проекций может осуществляться только последовательно, нельзя менять обе плоскости сразу.

Рассмотрим на примерах, как производится замена плоскостей проекций и строятся новые проекции фигур.

Задача 1. Определить длину отрезка прямой АВ общего положения.

Заменяем плоскость V плоскостью V 1 , параллельной отрезку АВ (рис. 5.2, а ). Проводим новую ось Х 1 параллельно ab и на перпендикулярах, проведенных к ней из точек а и b, откладываем а X 1 а 1 ′ = а x а" и b X 1 b 1 ′ = b x b". Получаем новую проекцию a 1 ′b 1 ′ = AB и одновременно угол α наклона прямой к плоскости Н.

Если плоскость Н заменим плоскостью H 1 параллельной отрезку АВ (рис. 5.2, б ), то получим а 1 b 1 = АВ и угол β наклона прямой к плоскости V.

Задача 2. Определить натуральную величину и форму треугольника ABC .

Задача решается последовательной заменой двух плоскостей проекций.

Сначала плоскость V заменяем плоскостью V 1 , перпендикулярной к плоскости треугольника (рис. 5.3). Для этого в плоскости треугольника проводим горизонталь AD (ad, a"d") и новую ось Х 1 располагаем перпендикулярно к ad. На новой плоскости проекций треугольник спроецируется в прямую b 1 ′а 1 ′с 1 . На втором этапе плоскость Н заменяем плоскостью Н 1 , параллельной плоскости треугольника, располагая ось Х 2 параллельно прямой b 1 ′а 1 ′с 1 ′. Построенная проекция a 1 b 1 с 1 определяет натуральную величину и форму треугольника ABC.

Сущность способа состоит в том, что положение изображаемой фигуры в пространстве остаётся неизменным, а исходная система плоскостей проекций, относительно которой задана фигура, заменяется новой.

При выборе новой плоскости проекций должен быть выполнен основной принцип ортогонального проецирования (метода Монжа) – взаимной перпендикулярности плоскостей проекций, т.е. новую плоскость проекций необходимо обязательно располагать перпендикулярно одной из основных исходных плоскостей проекций.

Пусть задана система плоскостей проекций П 1 и П 2 (в дальнейшем будем обозначать сокращенно ). Спроецируем какую-либо точку А на эти плоскости и найдем ее проекции А 2 и А 1 (рис. 9.5).

Предположим, что при решении какой-либо задачи мы нашли целесообразным заменить плоскость П 2 другой фронтальной плоскостью П 4 , перпендикулярной к плоскости П 1 . Линия пересечения плоскостей проекций П 1 и П 4 называется новой осью проекций и обозначается Х 1 . Построим ортогональные проекции точки А в системе . Так как, плоскость П 1 осталась прежней, то и проекция точки А на эту плоскость на изменит своего положения.

Для получения новой фронтальной проекции точки на новую плоскость П 4 опускаем перпендикуляр из А на плоскость П 4 . Основание А 4 этого перпендикуляра определяет искомую фронтальную проекцию точки А .

Установим, какая связь существует между проекциями А(А 1 , А 2) и А(А 1 А 4) одной и той же точки в обеих системах.

Горизонтальная проекция у них общая и так как расстояние точки А от плоскости П 1 не изменилось, то /АА 1 /=/А 2 А x /=/А 4 А x1 ¹ /, т. е. расстояние новой фронтальной проекции до новой оси равно расстоянию заменяемой проекции до предыдущей оси.

Чтобы перейти к эпюру, повернём плоскость П 4 вокруг оси Х 1 и совместим с плоскостью П 1 . Тогда и новая фронтальная проекция А 4 совместится с плоскостью П 1 и при этом окажется на одном перпендикуляре к оси х 1 с проекцией А 1 .

На рис. 9.6 показаны те построения, которые надо произвести на эпюре, Чтобы от проекций (А 1 , А 2) точки А в системе перейти к проекциям A 1 А 4) той же точки в системе , необходимо: провести новую ось проекций Х 1 , которая определяет положение горизонтально-проецирующей плоскости П 4 , затем из горизонтальной проекции точки А 1 Х 1 . На построенном перпендикуляре отложить (от новой оси) отрезок А x А 4 =А x А 2 . Полученная таким образом точка А 4 является проекцией точки А на плоскость П 4 .

Замена горизонтальной плоскости П 1 новой плоскостью П 4 и построение новых проекций точки А в системе осуществляется аналогично рассмотренному случаю, с той лишь разницей, что теперь остается без изменения фронтальная проекция точки, а для нахождения новой горизонтальной проекции А 4 точки А необходимо из фронтальной проекции точки А 2 опустить перпендикуляр на новую ось Х 1 и отложить на нем от точки пересечения с осью Х 1 отрезок А 4 А x ¹ , равный расстоянию старой горизонтальной проекции от старой оси А 1 А х (рис. 9.7).

Рассмотренные примеры позволяют установить следующее общее правило: для того, чтобы построить проекцию точки в новой системе плоскостей проекций, необходимо из неизменяемой проекции точки опустить перпендикуляр на новую ось проекций и отложить на нем от новой оси до новой проекции расстояние, равное расстоянию от заменяемой проекции до предыдущей оси.

Назначение способов преобразования чертежа состоит в том, чтобы геометрическую фигуру общего положения расположить в частное положение относительно плоскостей проекций с целью использования свойств ее проекций. Например, преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня позволит определить по соответствующей проекции ее натуральную величину.

Способы преобразования комплексного чертежа разделяют на две группы по признаку, определяющему положение фигуры и плоскостей проекций друг относительно друга или направление проецирования:

1. Изменяют положение плоскостей проекций или направление проецирования так, чтобы неподвижная в пространстве фигура оказалась в частном положении. К этой группе относят:

способ замены плоскостей проекций;

способ дополнительного проецирования.

2. Изменяют положение геометрической фигуры в пространстве так, чтобы она оказалась в частном положении относительно фиксированной системы плоскостей проекций. В эту группу включают:

способ плоскопараллельного перемещения;

способ вращения.

Задачи, решаемые с помощью способов преобразования комплексного чертежа, сводятся к следующим основным задачам, в которых необходимо преобразовать:

прямую (плоскость, цилиндрическую или призматическую поверхности) в проецирующую фигуру;

прямую (плоскую линию или плоскость) в фигуру уровня.

Рассмотрим последовательно все способы преобразования, за исключением способа дополнительного проецирования, с которым рекомендуется ознакомиться самостоятельно по учебнику .

Способ замены плоскостей проекций

Сущность способа состоит в замене первоначальной системы взаимно перпендикулярных плоскостей проекций новой системой взаимно перпендикулярных плоскостей проекций при неизменном положении геометрической фигуры в пространстве.

Для решения конкретной задачи выполняют одно или два последовательных преобразования способом замены, например, Π 1 Π 2 →Π 1 Π 4 илиΠ 1 Π 2 →Π 1 Π 4 →Π 5 Π 4 . Во втором случае преобразование называют композицией преобразований. При каждом шаге в данном способе заменяется только одна плоскость проекций, а другая остается общей для двух систем.

Рассмотрим механизм и особенности способа замены плоскостей проекций на примере преобразования комплексного чертежа точки (рис. 28).

При замене, например, фронтальной плоскости проекций Π 2 новой вертикальной плоскостьюΠ 4 горизонтальная плоскостьΠ 1 в данном случае является общей для двух систем плоскостей проекций, вследствие чего проекцияА 1 точкиА на эту плоскость является также общей для этих систем. При этом сохраняется неизменной величина расстояния (АА 1 ) от заданной точки до этой плоскости проекций и, как следствие, равенство ее проекций на плоскостиΠ 2 иΠ 4 , т. е.АА 1 =А 2 А 12 =А 4 А 14 , что позволяет выполнять на комплексном чертеже построение новой проекцииА 4 заданной точки (см рис. 28).

Еще одна особенность способа замены плоскостей проекций заключается в том, что комплексный чертеж образуется совмещением плоскостей проекций с той плоскостью, которая является общей для двух систем. В рассматриваемом на рис. 28 примере такой плоскостью является горизонтальная плоскость проекций.

В качестве примера рассмотрим задачу преобразования прямой общего положения в проецирующую. Для достижения конечного результата необходимо провести замену двух плоскостей проекций, используя композицию преобразований, т. е. два последовательных преобразования (рис. 29).

Замена одной плоскости проекций, например, Π 2 наΠ 4 позволяет преобразовать прямую общего положения только в прямую уровня, так как невозможно сразу расположить новую вертикальную плоскость проекцийΠ 4 перпендикулярно заданной прямой. Далее, заменяя последовательно вторую плоскость проекцийΠ 1 наΠ 5 и располагая ее перпендикулярно прямойАВ , получаем конечный результат (см. рис. 29).

ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОМПЛЕКСНОГО ЧЕРТЕЖА

Лекция 4

Решение ряда задач в начертательной геометрии значительно упрощается, когда геометрические фигуры занимают частное положение относительно плоскостей проекций. Задачи на определение взаимного положения фигур и метрические задачи (определение натуральных величин плоскостей, отрезков и т.д.). Для этого существуют различные способы преобразования комплексного чертежа. Каждый из них основан на одном из следующих принципов:

1. на изменении положения плоскостей проекций относительно неподвижных геометрических фигур;

2. на изменении положения заданных геометрических фигур относительно неподвижных плоскостей проекций;

Рассмотрим некоторые из них.

Сущность способа состоит в том, что заданные геометрические фигуры неподвижны в заданной системе плоскостей проекций (П 1 , П 2 ). Последовательно вводятся новые плоскости проекций (П 4 , П 5 ), относительно которых геометрические фигуры займут частное положение. Новая плоскость проекций выбирается с таким расчетом, чтобы она была перпендикулярной к незаменяемой плоскости проекций.

Большинство задач решается с применением одного или двух последовательных преобразований исходной системы плоскостей проекций. Одновременно можно заменять только одну плоскость проекций П 1 (или П 2 ), другая плоскость П 2 (или П 1 ) должна оставаться неизменной.
На рисунке 1 представлено наглядное изображение метода замены плоскостей проекций. Фронтальная плоскость П 2 заменяется на новую фронтальную плоскость П 4 . Новые проекции точки А (А 1 А 4 ), при этом, как видно из рисунка, высота точки А осталась прежней.

Необходимо запомнить правило построения новых проекций точек при методе замены:

1. линии связи всегда перпендикулярны новым осям проекций;
2. расстояние от новой оси проекций до новой проекции точки всегда берется с той плоскости, которую заменяют.

Рисунок 1.Наглядное изображение метода замены плоскостей проекций.

Рисунок 2.Изображение метода замены плоскостей проекций на эпюре.

Большинство задач в начертательной геометрии решаются на базе четырех задач:

1. Преобразовать прямую общего положения в прямую уровня;
2. Преобразовать прямую общего положения в проецирующую прямую;
3. Преобразовать плоскость общего положения в проецирующую плоскость;
4. Преобразовать плоскость общего положения в плоскость уровня .

Задача №1

Рассмотрим решение задачи №1 . Дана прямая АВ – общего положения, преобразуем ее в прямую уровня (рис.3). Для этого вводим новую фронтальную плоскость проекций П 4 , ось Х 1,4 проводим параллельно А 1 В 1 АВ – А 4 В 4. В новой системе плоскостей проекций прямая АВ – фронталь.

Рисунок 3.

Преобразование прямой общего положения в прямую уровня (фронталь)

Задача №2

Дана прямая АВ – общего положения, преобразуем ее в проецирующую прямую (рис.4). Для решения этой задачи необходимо выполнить последовательно два преобразования:

1. Преобразовать прямую общего положения в прямую уровня, то есть решить сначала задачу №1;
2. Преобразовать прямую уровня в проецирующую прямую.

Вычертить условие задачи №1, самостоятельно решить ее, затем приступить к выполнению второго преобразования. Вводим новую горизонтальную плоскость проекций П 5 Х 4 , 5 перпендикулярно проекции А 4 В 4 и строим новую проекцию прямой А 5 В 5. В системе плоскостей П 4 ,П 5 , прямая АВ является горизонтально проецирующей прямой.

На базе задач №1 и №2 решаются следующие задачи:

1. определение расстояния от точки до прямой;

2. определение расстояния между параллельными и скрещивающимися прямыми;

3. определение натуральной величины прямой;

4. определение величины двугранного угла.

Рисунок 4.

Преобразование прямой общего положения в проецирующую прямую.

Задача №3.

Дана плоскость АВС – общего положения, преобразуем ее в проецирующую плоскость (рис.5). Для решения этой задачи необходимо в плоскости провести линию уровня, если такая отсутствует. Новую ось проекций проводим перпендикулярно лини уровня. В треугольнике АВС проводим горизонталь h. Ось проекций Х 14 проводим перпендикулярно h 1 , новую проекцию плоскости А 4 В 4 С 4 , строим по правилам, разобранным в предыдущих задачах.

В системе плоскостей проекций П 1 ,П 4, плоскость треугольника является фронтально-проецирующей плоскостью.

Рисунок 5.

Преобразование плоскости общего положения в проецирующую плоскость.

Задача №4.

Рисунок 6.

Преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня.

Дана плоскость АВС – общего положения, преобразуем ее в плоскость уровня (рис.6). Для решения этой задачи необходимо выполнить последовательно два преобразования:

1. Преобразовать плоскость общего положения в проецирующую плоскость, то есть решить сначала задачу №3;
2. Преобразовать проецирующую плоскость в плоскость уровня.

Вычертить условие задачи №3, самостоятельно решить ее, затем приступить к выполнению второго преобразования. Вводим новую горизонтальную плоскость проекций П 5 , для этого проводим новую ось проекций Х 4 , 5 параллельно проекции А 4 В 4 С 4 и строим новую проекцию треугольника А 5 В 5 С 5. В системе плоскостей П 4 ,П 5 , треугольник АВС является горизонтальной плоскостью уровня.

На базе задач №3 и №4 решаются следующие задачи:

1. определение расстояния от точки до плоскости;

2. определение расстояния между параллельными плоскостями;

3. определение натуральных (истинных) величин геометрических фигур;

определение углов наклона плоскости к плоскостям проекций

Метод плоскопараллельного перемещения

Все вышерассмотренные задачи можно решить используя метод плоско-параллельного перемещения, при котором плоскости проекций остаются на месте, а проекция фигуры перемещается (рис.7).

Рисунок 7. Определение натуральной величины отрезка методом плоско-параллельного перемещения.

Дана прямая АВ – общего положения, преобразуем ее в прямую уровня (рис.7). Для этого перемещаем проекцию А 1 В 1 параллельно оси Х . Строим новую проекцию прямой АВ – А 2 ` В 2 ` , которая будетявляться- натуральной величиной отрезка. Этот метод используется для определения натуральных величин ребер многогранников при построении развертки.

Метод вращения

Частным случаем плоско-параллельного перемещения является метод вращения вокруг проецирующих прямых и прямых уровня.