L'équation cosinus x est égale à a. Équations trigonométriques - formules, solutions, exemples. Factorisation

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Une égalité contenant une inconnue sous le signe d'une fonction trigonométrique (`sin x, cos x, tg x` ou `ctg x`) est appelée une équation trigonométrique, et nous examinerons leurs formules plus loin.

Les équations les plus simples sont `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, où `x` est l'angle à trouver, `a` est n'importe quel nombre. Écrivons les formules racine pour chacun d'eux.

1. Équation `sin x=a`.

Pour `|a|>1` il n'y a pas de solutions.

Avec `|a| \leq 1` possède une infinité de solutions.

Formule racine : `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Équation `cos x=a`

Pour `|a|>1` - comme dans le cas du sinus, il n'y a pas de solutions parmi les nombres réels.

Avec `|a| \leq 1` possède une infinité de solutions.

Formule racine : `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Cas particuliers du sinus et du cosinus dans les graphes.

3. Équation `tg x=a`

Possède un nombre infini de solutions pour toutes les valeurs de 'a'.

Formule racine : `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Équation `ctg x=a`

Il a également un nombre infini de solutions pour toutes les valeurs de 'a'.

Formule racine : `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Formules pour les racines des équations trigonométriques dans le tableau

Pour les sinus :
Pour le cosinus :
Pour la tangente et la cotangente :
Formules pour résoudre des équations contenant des fonctions trigonométriques inverses :

Méthodes de résolution d'équations trigonométriques

La résolution de toute équation trigonométrique comprend deux étapes :

• utiliser pour le convertir au plus simple;
• résoudre l'équation simple résultante en utilisant les formules ci-dessus pour les racines et les tables.

Considérons les principales méthodes de résolution à l'aide d'exemples.

méthode algébrique.

Dans cette méthode, le remplacement d'une variable et sa substitution dans l'égalité sont effectués.

Exemple. Résolvez l'équation : `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

faire un remplacement : `cos(x+\frac \pi 6)=y`, puis `2y^2-3y+1=0`,

on trouve les racines : `y_1=1, y_2=1/2`, d'où découlent deux cas :

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Réponse : `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Factorisation.

Exemple. Résolvez l'équation : `sin x+cos x=1`.

Solution. Déplacer vers la gauche tous les termes d'égalité : `sin x+cos x-1=0`. En utilisant , nous transformons et factorisons le côté gauche :

`sin x - 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Réponse : `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Réduction à une équation homogène

Tout d'abord, vous devez amener cette équation trigonométrique à l'une des deux formes suivantes :

`a sin x+b cos x=0` (équation homogène du premier degré) ou `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (équation homogène du second degré).

Divisez ensuite les deux parties par `cos x \ne 0` pour le premier cas, et par `cos^2 x \ne 0` pour le second. Nous obtenons des équations pour `tg x` : `a tg x+b=0` et `a tg^2 x + b tg x +c =0`, qui doivent être résolues à l'aide de méthodes connues.

Exemple. Résolvez l'équation : `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Solution. Écrivons le côté droit comme `1=sin^2 x+cos^2 x` :

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x -` ` sin^2 x - cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x - 2 cos^2 x=0`.

C'est une équation trigonométrique homogène du second degré, divisant ses parties gauche et droite par `cos^2 x \ne 0`, on obtient :

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x - 2=0`. Introduisons le remplacement `tg x=t`, comme résultat `t^2 + t - 2=0`. Les racines de cette équation sont 't_1=-2' et 't_2=1'. Puis:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

Réponse. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Aller au demi-coin

Exemple. Résolvez l'équation : `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Solution. En appliquant les formules du double angle, le résultat est : `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 TG^2 x/2 - 11 TG x/2 +6=0`

En appliquant la méthode algébrique décrite ci-dessus, on obtient :

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Réponse. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Introduction d'un angle auxiliaire

Dans l'équation trigonométrique `a sin x + b cos x =c`, où a,b,c sont des coefficients et x est une variable, nous divisons les deux parties par `sqrt (a^2+b^2)` :

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2 +b^2))`.

Les coefficients du côté gauche ont les propriétés du sinus et du cosinus, à savoir que la somme de leurs carrés est égale à 1 et que leur module n'est pas supérieur à 1. Notons-les comme suit : `\frac a(sqrt (a^2+ b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))= C`, alors :

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Examinons de plus près l'exemple suivant :

Exemple. Résolvez l'équation : '3 sin x+4 cos x=2'.

Solution. En divisant les deux côtés de l'équation par `sqrt (3^2+4^2)`, nous obtenons :

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

Notons `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Puisque `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, on prend `\varphi=arcsin 4/5` comme angle auxiliaire. On écrit alors notre égalité sous la forme :

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

En appliquant la formule de la somme des angles pour le sinus, nous écrivons notre égalité sous la forme suivante :

`sin(x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Réponse. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Équations trigonométriques fractionnaires-rationnelles

Ce sont des égalités avec des fractions, dans les numérateurs et les dénominateurs dont il y a des fonctions trigonométriques.

Exemple. Résous l'équation. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Solution. Multipliez et divisez le côté droit de l'équation par `(1+cos x)`. En conséquence, nous obtenons :

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Étant donné que le dénominateur ne peut pas être nul, nous obtenons `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Égalez le numérateur de la fraction à zéro : `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Alors `sin x=0` ou `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Sachant que ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, les solutions sont `x=2\pi n, n \in Z` et `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.

Réponse. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

La trigonométrie, et les équations trigonométriques en particulier, sont utilisées dans presque tous les domaines de la géométrie, de la physique et de l'ingénierie. L'étude commence en 10e année, il y a toujours des tâches pour l'examen, alors essayez de vous souvenir de toutes les formules des équations trigonométriques - elles vous seront certainement utiles !

Cependant, vous n'avez même pas besoin de les mémoriser, l'essentiel est de comprendre l'essence et de pouvoir en déduire. Ce n'est pas aussi difficile qu'il n'y paraît. Voyez par vous-même en regardant la vidéo.

Les équations trigonométriques les plus simples sont généralement résolues par des formules. Permettez-moi de vous rappeler que les équations trigonométriques suivantes sont appelées les plus simples :

sinx = un

cox = a

TGx = un

ctgx = un

x est l'angle à trouver,
a est n'importe quel nombre.

Et voici les formules avec lesquelles vous pouvez immédiatement écrire les solutions de ces équations les plus simples.

Pour les sinus :

Pour le cosinus :

x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

Pour la tangente :

x = arctg a + π n, n ∈ Z

Pour la cotangente :

x = arcctg a + π n, n ∈ Z

En fait, c'est la partie théorique de la résolution des équations trigonométriques les plus simples. Et, le tout !) Rien du tout. Cependant, le nombre d'erreurs sur ce sujet ne fait que rouler. Surtout, avec une légère déviation de l'exemple par rapport au modèle. Pourquoi?

Oui, parce que beaucoup de gens écrivent ces lettres, sans comprendre du tout leur signification ! Avec appréhension, il écrit, peu importe comment quelque chose se passe ...) Il faut s'en occuper. La trigonométrie pour les gens, ou les gens pour la trigonométrie, après tout ! ?)

Découvrons-le ?

Un angle sera égal à arccos a, seconde: -arccos a.

Et c'est ainsi que cela fonctionnera toujours. Pour toute une.

Si vous ne me croyez pas, passez votre souris sur l'image ou touchez l'image sur la tablette.) J'ai changé le numéro une à certains négatifs. Quoi qu'il en soit, nous avons un coin arccos a, seconde: -arccos a.

Par conséquent, la réponse peut toujours s'écrire sous la forme de deux séries de racines :

x 1 = arc cos a + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z

Nous combinons ces deux séries en une seule :

x= ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

Et toutes choses. Nous avons obtenu une formule générale pour résoudre l'équation trigonométrique la plus simple avec le cosinus.

Si vous comprenez qu'il ne s'agit pas d'une sorte de sagesse super-scientifique, mais juste un compte rendu abrégé de deux séries de réponses, vous et les tâches "C" seront sur l'épaule. Avec les inégalités, avec la sélection des racines dans un intervalle donné... Là, la réponse avec plus/moins ne roule pas. Et si vous traitez la réponse de manière professionnelle et que vous la divisez en deux réponses distinctes, tout est décidé.) En fait, pour cela, nous comprenons. Quoi, comment et où.

Dans l'équation trigonométrique la plus simple

sinx = un

obtenir également deux séries de racines. Est toujours. Et ces deux séries peuvent aussi être enregistrées une ligne. Seule cette ligne sera plus intelligente :

x = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z

Mais l'essentiel reste le même. Les mathématiciens ont simplement construit une formule pour faire un au lieu de deux enregistrements de séries de racines. Et c'est tout!

Vérifions les mathématiciens? Et ça ne suffit pas...)

Dans la leçon précédente, la solution (sans aucune formule) de l'équation trigonométrique avec un sinus a été analysée en détail :

La réponse s'est avérée être deux séries de racines:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Si nous résolvons la même équation en utilisant la formule, nous obtenons la réponse :

x = (-1) n arcsin 0.5 + π n, n ∈ Z

En fait, c'est une réponse à moitié terminée.) L'étudiant doit savoir que arcsin 0,5 = π /6. La réponse complète serait :

x = (-1)n π /6+ πn, n ∈ Z

Ici une question intéressante se pose. Répondre par x 1 ; x2 (c'est la bonne réponse !) et à travers la solitude X (et c'est la bonne réponse !) - la même chose, ou pas ? Découvrons maintenant.)

Remplacer en réponse par x1 valeurs n =0 ; un; 2 ; etc., on considère, on obtient une suite de racines :

x 1 \u003d π / 6; 13π/6 ; 25π/6 etc.

Avec la même substitution en réponse à x2 , on a:

x 2 \u003d 5π / 6; 17π/6 ; 29π/6 etc.

Et maintenant nous substituons les valeurs n (0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4...) dans la formule générale du solitaire X . C'est-à-dire que nous élevons moins un à la puissance zéro, puis au premier, au second, et ainsi de suite. Et, bien sûr, nous remplaçons 0 dans le second terme ; un; 2 3; 4 etc Et nous pensons. On obtient une série :

x = π/6 ; 5π/6 ; 13π/6 ; 17π/6 ; 25π/6 etc.

C'est tout ce que vous pouvez voir.) La formule générale nous donne exactement les mêmes résultats qui sont les deux réponses séparément. Tout à la fois, dans l'ordre. Les mathématiciens ne se sont pas trompés.)

Les formules pour résoudre les équations trigonométriques avec tangente et cotangente peuvent également être vérifiées. Mais ne le faisons pas.) Ils sont si sans prétention.

J'ai peint toute cette substitution et cette vérification exprès. Il est important de comprendre ici une chose simple : il existe des formules pour résoudre des équations trigonométriques élémentaires, juste un résumé des réponses. Pour cette brièveté, j'ai dû insérer plus/moins dans la solution cosinus et (-1) n dans la solution sinus.

Ces inserts n'interfèrent en rien dans les tâches où il suffit d'écrire la réponse à une équation élémentaire. Mais si vous avez besoin de résoudre une inéquation, ou alors vous devez faire quelque chose avec la réponse : sélectionner des racines sur un intervalle, vérifier ODZ, etc., ces insertions peuvent facilement déstabiliser une personne.

Et que faire? Oui, soit peindre la réponse en deux séries, soit résoudre l'équation/l'inégalité dans un cercle trigonométrique. Ensuite, ces inserts disparaissent et la vie devient plus facile.)

Vous pouvez résumer.

Pour résoudre les équations trigonométriques les plus simples, il existe des formules de réponse toutes faites. Quatre pièces. Ils sont bons pour écrire instantanément la solution d'une équation. Par exemple, vous devez résoudre les équations :

sinx = 0,3

Facile: x = (-1) n arcsin 0.3 + π n, n ∈ Z

cox = 0,2

Aucun problème: x = ± arccos 0,2 + 2π n, n ∈ Z

gx = 1,2

Facilement: x = arctg 1,2 + πn, n ∈ Z

ctgx = 3,7

Un dernier: x= arcctg3,7 + πn, n ∈ Z

cosx = 1,8

Si vous, brillant de connaissances, écrivez instantanément la réponse :

x= ± arc cos 1.8 + 2π n, n ∈ Z

alors tu brilles déjà, ceci ... cela ... d'une flaque d'eau.) La bonne réponse est : il n'y a pas de solutions. Vous ne comprenez pas pourquoi ? Lisez ce qu'est un arccosinus. De plus, si sur le côté droit de l'équation d'origine, il y a des valeurs tabulaires de sinus, cosinus, tangente, cotangente, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 etc. - la réponse par les arches sera inachevée. Les arches doivent être converties en radians.

Et si vous rencontrez déjà une inégalité, comme

alors la réponse est :

x πn, n ∈ Z

il y a un non-sens rare, oui ...) Ici, il faut décider d'un cercle trigonométrique. Ce que nous ferons dans le sujet correspondant.

Pour ceux qui lisent héroïquement jusqu'à ces lignes. Je ne peux qu'apprécier vos efforts titanesques. vous un bonus.)

Prime:

Lorsqu'ils écrivent des formules dans une situation de combat anxieuse, même les nerds endurcis se demandent souvent où pn, Et où 2πn. Voici une astuce simple pour vous. Dans tout formules pn. Sauf pour la seule formule avec arc cosinus. Il se tient là 2πn. Deux pie. Mot-clé - deux. Dans la même formule unique sont deux signe au début. Plus et moins. Ici et là - deux.

Donc, si vous avez écrit deux signe devant l'arc cosinus, il est plus facile de se souvenir de ce qui se passera à la fin deux pie. Et vice versa se produit. Passer le signe de l'homme ± , aller à la fin, écrire correctement deux pien, oui, et attrapez-le. Devant quelque chose deux signe! La personne reviendra au début, mais elle corrigera l'erreur ! Comme ça.)

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Au fait, j'ai quelques autres sites intéressants pour vous.)

Vous pouvez vous entraîner à résoudre des exemples et découvrir votre niveau. Test avec vérification instantanée. Apprendre - avec intérêt !)

vous pouvez vous familiariser avec les fonctions et les dérivés.

Zakharova Ludmila Vladimirovna
MBOU "École secondaire n ° 59", Barnaoul
professeur de mathématiques [courriel protégé]

№1 Les équations trigonométriques les plus simples

Cibler: 1. Dériver des formules pour les solutions des équations trigonométriques les plus simples de la forme sinx=a, cosx=a, tgx=a, ctgx=a ;

2. Apprenez à résoudre les équations trigonométriques les plus simples à l'aide de formules.

Équipement: 1) Tableaux avec graphiques de fonctions trigonométriques y \u003d sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx ; 2) Tableau des valeurs des fonctions trigonométriques inverses ; 3) Tableau récapitulatif des formules de résolution des équations trigonométriques les plus simples.

Plan de cours magistral:

1 .Dérivation des formules des racines de l'équation

a) sinx \u003d a,

b) cox= une,

c) tgx= une,

d) ctgx= une.

2 . Travail frontal oral pour consolider les formules reçues.

3 . Travail écrit pour consolider la matière étudiée

En algèbre, géométrie, physique et autres matières, nous sommes confrontés à une variété de problèmes dont la solution est associée à la solution d'équations. Nous avons étudié les propriétés des fonctions trigonométriques, il est donc naturel de se tourner vers des équations dans lesquelles l'inconnue est contenue sous le signe de la fonction

Définition: Équations de la forme péché = une , cox= une , TGx= une , ctgx= une sont appelées les équations trigonométriques les plus simples.

Il est très important d'apprendre à résoudre les équations trigonométriques les plus simples, car toutes les méthodes et techniques de résolution des équations trigonométriques consistent à les réduire aux plus simples.

Commençons par dériver des formules qui fonctionnent "activement" lors de la résolution d'équations trigonométriques.

1. Équations de la forme sinx = une.

Résolvez l'équation sinx = une graphiquement. Pour ce faire, dans un système de coordonnées, nous traçons les graphiques des fonctions y \u003d sinx et y \u003d une.

1) Si une> 1 et une péché x= une n'a pas de solutions, puisque la droite et la sinusoïde n'ont pas de point commun.

2) Si -1a a traverse la sinusoïde une infinité de fois. Cela signifie que l'équation sinx= une a une infinité de solutions.

Puisque la période du sinus vaut 2 , puis de résoudre l'équation sinx= une il suffit de trouver toutes les solutions sur tout segment de longueur 2.

En résolvant l'équation sur [-/2; /2] par définition de l'arc sinus x= péché d'arc une, et sur x=-arcsin une. En tenant compte de la périodicité de la fonction y=sinx, on obtient les expressions suivantes

x=-arcsin une+2n, nZ.

Les deux séries de solutions peuvent être combinées

X \u003d (-1) n arcsin une+n, nZ.

Dans les trois cas suivants, il est préférable d'utiliser non pas la formule générale, mais des ratios plus simples :

Si une\u003d -1, puis sin x \u003d -1, x \u003d - / 2 + 2n

Si une=1, alors sin x =1, x =/2+2n

Si un= 0, alors sin x =0. x=n

Exemple : Résoudre une équation sinx=1/2.

Composer des formules de solution x=arcsin 1/2+ 2n

X \u003d - arcsen a + 2n

Calculer la valeur arcsin1/2. Remplacer la valeur trouvée dans les formules de solution

x= 5/6+2n

ou par la formule générale

X \u003d (-1) n arcsen 1/2 + n,

X \u003d (-1) n / 6 + n,

2. Équations de la forme cox= une.

Résolvez l'équation cosx= uneégalement graphiquement, en construisant des graphiques des fonctions y \u003d cosx et y \u003d une.

1) Si un 1, alors l'équation cox= une n'a pas de solution, puisque les graphes n'ont pas de points communs.

2) Si -1 une cox= une a une infinité de solutions.

Trouver toutes les solutions cox= une sur un intervalle de longueur 2 puisque la période du cosinus est 2.

Sur la solution de l'équation par définition de l'arc cosinus sera x = arcos a. Étant donné la parité de la fonction cosinus, la solution de l'équation sur [-; 0] sera x = - arcos une.

Résolvant ainsi l'équation cox= une x= + arcos une+ 2n,

Dans trois cas, nous n'utiliserons pas la formule générale, mais des relations plus simples :

Si une=-1, alors cosx =-1, x =-/2+2n

Si une=1, alors cosx =1, x = 2n,

Si a=0, alors cosx=0. x=/2+n

Exemple : Résoudre une équation cox=1/2,

Composer des formules de solution x=arccos 1/2+ 2n

Calculer la valeur arccos1/2.

Remplacer la valeur trouvée dans les formules de solution

X= + /3+ 2n, nZ.

Équations de la forme TGx= une.

Puisque la période de la tangente est , alors pour trouver toutes les solutions de l'équation TGx= une, il suffit de trouver toutes les solutions sur tout intervalle de longueur . Par définition de l'arc tangente, la solution de l'équation sur (-/2; /2) est arctg une. Étant donné la période de la fonction, toutes les solutions de l'équation peuvent être écrites comme

x= arctan une+ n, nZ.

Exemple: Résous l'équation bronzer x = 3/3

Faisons une formule pour résoudre x= arctan 3/3 +n, nZ.

Calculer la valeur de l'arc tangente arctg 3/3= /6, puis

X=/6+ n, nZ.

Dérivation de la formule pour résoudre l'équation Avec TGx= une peuvent être proposés aux étudiants.

Exemple.

résous l'équation ctg x = 1.

x \u003d arcctg 1 + n, nZ,

X = /4 + n, nZ.

À la suite du matériel étudié, les étudiants peuvent compléter le tableau:

"Solution des équations trigonométriques".

l'équation

Exercices pour consolider le matériel étudié.

(Oral) Laquelle des équations écrites peut être résolue par les formules :

a) x \u003d (-1) n arcsin une+n, nZ ;

b)x= + arcos un+ 2n ?

cos x = 2/2, tg x= 1 , sin x = 1/3, ctg x = 3/3, sin x = -1/2, cos x= 2/3, sin x = 3 , cos x = 2 .

Laquelle des équations suivantes n'a pas de solution ?

Résolvez les équations :

a) sin x = 0 ; e) sin x = 2/2 ; h) sin x = 2;

b) cosx = 2/2 ; f) cosx = -1/2 ; i) cosx = 1 ;

d) bronzage x = 3; g) ctg x = -1 ; j) bronzage x = 1/3.

3. Résolvez les équations :

a) sin 3x \u003d 0; e) 2 cos x = 1 ;

b) cosx/2 =1/2 ; f) 3 tan 3x = 1;

d) sinx/4 = 1 ; g) 2cos(2x+ /5) = 3.

Lors de la résolution de ces équations, il est utile d'écrire les règles de résolution des équations de la forme péché v x= une, et Avec péché v x= une, | une|1.

Péché v x= un, |un|1.

v x = (-1) n arcsin une+n, nZ,

x \u003d (-1) n 1 / v péché d'arc une+n/ v, nZ.

Résumé de la leçon :

Aujourd'hui, dans la leçon, nous avons dérivé des formules pour résoudre les équations trigonométriques les plus simples.

Nous avons analysé des exemples de résolution des équations trigonométriques les plus simples.

Nous avons rempli le tableau que nous allons utiliser pour résoudre les équations.

Devoirs.

№2 Résolution d'équations trigonométriques

Cibler: Etudier des méthodes de résolution d'équations trigonométriques : 1) réductibles au carré ; 2) réductibles à des équations trigonométriques homogènes.

Développer les capacités d'observation des élèves lors de l'utilisation de diverses méthodes de résolution d'équations trigonométriques.

Travail frontal avec les élèves.

Quelles sont les formules des racines des équations trigonométriques cox= une, sinx= une, TGx= une, ctg x = une.

Résolvez les équations (oralement) :

cos x=-1, sin x=0, tgx=0, ctg x=1, cos x=1.5, sin x=0.

Recherchez les erreurs et réfléchissez aux causes des erreurs.

cos x=1/2, x= + /6+2k, k Z

péché x \u003d 3/2, x \u003d / 3 + k, kZ.

tgx = /4, x=1+ k, kZ.

2. Apprendre du nouveau matériel.

Dans cette leçon, certaines des méthodes les plus courantes pour résoudre des équations trigonométriques seront examinées.

Équations trigonométriques réductibles à des équations quadratiques.

Cette classe peut inclure des équations qui incluent une fonction (sinus ou cosinus) ou deux fonctions du même argument, mais l'une d'elles est réduite à la seconde en utilisant des identités trigonométriques de base.

Par exemple, si cosx entre dans l'équation en puissances paires, nous le remplaçons par 1-sin 2 x, si sin 2 x, nous le remplaçons par 1-cos 2 x.

Exemple.

Résoudre l'équation : 8 sin 2 x - 6 sin x -5 = 0.

Solution : Dénoter sin x=t, alors 8t 2 - 6t - 5=0,

J=196

T 1 \u003d -1/2, t 2 \u003d -5/4.

Effectuons la substitution inverse et résolvons les équations suivantes.

å=(-1) k+1 /6+ k, kZ.

Puisque -5/4>1, l'équation n'a pas de racine.

Réponse : x=(-1) k+1 /6+ k, kZ.

Résoudre des exercices de renforcement.

Résous l'équation:

1) 2sin 2x + 3cosx = 0 ;

2) 5sin 2 x+ 6cos x -6 = 0 ;

3) 2sin 2 x + 3cos 2 x \u003d -2sin x;

4) 3 tg 2 x +2 tgx-1=0.

Équations trigonométriques homogènes.

Définition: 1) Équation de la formeune péché + b cox=0, (a=0, b=0) est appelée équation homogène du premier degré par rapport à sin x et cos x.

Cette équation est résolue en divisant les deux côtés par cox 0. Le résultat est l'équation atgx+b=0.

2) Équation de la formeune péché 2 X + b péché cox + c parce que 2 X =0 est appelée une équation homogène du second degré, où a, b, c sont des nombres quelconques.

Si a \u003d 0, alors nous résolvons l'équation en divisant les deux parties par cos 2 x 0. En conséquence, nous obtenons l'équation atg 2 x+ btgx+c =0.

Commenter:Équation de typeune péché MX + b parce que MX=0 ou

une péché 2 MX + b péché MX parce que MX + c parce que 2 MX =0 sont également homogènes. Pour les résoudre, les deux côtés de l'équation sont divisés par cos MX=0 ou cos 2 MX=0

3) Diverses équations peuvent être réduites à des équations homogènes, qui initialement ne le sont pas. Par exemple,péché 2 MX + b péché MX parce que MX + c parce que 2 MX = ré, et une péché + b cox= ré. Pour résoudre ces équations, il faut multiplier le côté droit par "unité trigonométrique" celles. sur le péché 2 X + parce que 2 X et effectuer des transformations mathématiques.

Exercices pour consolider le matériel étudié :

1) 2sin x - 3cos x = 0 ; 5) 4 sin 2 x - sin2x \u003d 3;

2) sin2x + cos2x = 0 ; 6) 3 sin 2 x + sinx cosx \u003d 2 cos 2 x;

3) sin x+ 3cos x = 0 ; sept) 3 sin 2 x - sinx cosx \u003d 2;

4) sin 2 x -3 sinx cosx +2 cos 2 x \u003d 0

3. Résumer la leçon. Devoirs.

Dans cette leçon, en fonction de l'état de préparation du groupe, vous pouvez envisager la solution d'équations de la forme a sin mx +b cos mx=c, où a, b, c ne sont pas égaux à zéro en même temps.

Exercices de renforcement :

1. 3sin x + cos x=2 ;

2. 3sin 2x + cos 2x= 2 ;

3. sin x/3 + cos x/3=1 ;

4. 12 sin x +5 cos x + 13 = 0.

№ 3 Résolution d'équations trigonométriques

Cibler: 1) Étudier la méthode de résolution des équations trigonométriques par factorisation ; apprendre à résoudre des équations trigonométriques à l'aide de diverses formules trigonométriques ;

2) Vérifier : les connaissances des élèves sur les formules de résolution des équations trigonométriques les plus simples ; capacité à résoudre des équations trigonométriques simples.

Plan de cours:

Vérification des devoirs.

Dictée mathématique.

Apprendre du nouveau matériel.

Travail indépendant.

Résumé de la leçon. Devoirs.

Avancement de la leçon :

Vérification des devoirs (la solution des équations trigonométriques est brièvement écrite au tableau).

Dictée mathématique.

EN 1

1. Quelles équations sont appelées les équations trigonométriques les plus simples ?

2. Quel est le nom de l'équation de la formeune sinx + b cox=0 ? Spécifiez comment le résoudre.

3. Notez la formule des racines de l'équation TGx= une(ctgx= une).

4. Écrivez les formules pour les racines des équations de la forme cox= une, où une=1, une=0, une=-1.

5. Écrivez la formule générale des racines de l'équation sinx= une, | une|

6. Comment sont les équations de la formeune cox= b, | b|

EN 2

1. Écrivez les formules des racines des équations cox= une,| une|

2. Écrivez la formule générale des racines de l'équation

= une, | une|

3. Quelles sont les équations de la forme sinx= une, TGx= une, sinx= une?

4. Écrivez les formules des racines de l'équation sinx= une, si une=1, une=0, une=-1.

5. Comment les équations de la forme sont résolues péché une x= b, | b|

6. Quelles équations sont appelées équations homogènes du second degré ? Comment sont-ils résolus ?

Apprendre du nouveau matériel.

Méthode de factorisation.

L'une des méthodes les plus courantes pour résoudre des équations trigonométriques est la méthode de factorisation.

Si l'équation f(x) =0 peut être représentée par f 1 (x) f 2 (x) =0 , alors le problème se réduit à résoudre deux équations f 1 (x)=0, f 2 (x) =0 .

(Avec les étudiants, il est utile de rappeler la règle " Le produit des facteurs est égal à zéro si au moins un des facteurs est égal à zéro, alors que les autres ont un sens»)

Consolidation du matériau étudié par la résolution d'équations de complexité variable.

(sinx-1/2)(sinx+1)=0 ; 2) (cosx- 2/2)(sin x+ 2/2)=0;(soi.)

3) sin 2 x+ sin x cosx=0; 4) péché 2 x - péché x \u003d 0;

5) sin2x – cosx=0 ; 6) 4 cos 2 x -1 = 0 ; (2 voies)

7) cosx+cos3x=0 ; 8) péché 3x= péché 17x;

9) sin x+ sin 2x+ sin 3x=0 ; 10) cos3x cos5x

11) sin x cos5x = sin 9x cos3x sin 2x sin 2x

12) 3 cosx sin x+ cos 2 x=0(soi)

13) 2 cos 2 x - sin (x- / 2) + tgx tg (x + / 2) \u003d 0.

Travail indépendant.

Option-1 Option-2

1) 6 sin 2 x+ 5 sin x -1=0; 1) 3 cos 2 x+2 cosx -5=0 ;

2) sin2x – cos2x=0 ; 2) 3cosx/2 - sinx/2=0 ;

3) 5 sin 2 x + sin x cosx -2 cos 2 x \u003d 2; 3) 4sin 2 x - sin x cosx + 7cos 2 x \u003d 5;

4) sinx+sin5x=sin3x+sin7x ; 4) sinx-sin 2x + sin 3x-sin 4x=0 ;

5) sinx+cosx=1. 5) sinx+cosx=2.

8. Résumer la leçon. Devoirs.