प्रथम कोटि के सरलतम अवकल समीकरणों को हल करना। विभेदक समीकरणों को कैसे हल करें

साधारण अंतर समीकरण एक समीकरण है जो एक स्वतंत्र चर, इस चर के एक अज्ञात फ़ंक्शन और इसके विभिन्न आदेशों के डेरिवेटिव (या अंतर) से संबंधित है।

विभेदक समीकरण का क्रम इसमें निहित उच्चतम व्युत्पन्न का क्रम कहा जाता है।

सामान्य समीकरणों के अतिरिक्त आंशिक अवकल समीकरणों का भी अध्ययन किया जाता है। ये स्वतंत्र चरों से संबंधित समीकरण हैं, इन चरों का एक अज्ञात फलन और समान चरों के संबंध में इसके आंशिक व्युत्पन्न हैं। लेकिन हम सिर्फ विचार करेंगे सामान्य अवकल समीकरण और इसलिए, संक्षिप्तता के लिए, हम "साधारण" शब्द को छोड़ देंगे।

उदाहरण विभेदक समीकरण:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

समीकरण (1) चौथे क्रम का है, समीकरण (2) तीसरे क्रम का है, समीकरण (3) और (4) दूसरे क्रम का है, समीकरण (5) पहले क्रम का है।

अंतर समीकरण एनवें क्रम में आवश्यक रूप से एक स्पष्ट फ़ंक्शन, पहले से लेकर इसके सभी व्युत्पन्न शामिल होना आवश्यक नहीं है एन-वां क्रम और स्वतंत्र चर। इसमें स्पष्ट रूप से कुछ ऑर्डर, फ़ंक्शन या स्वतंत्र चर के डेरिवेटिव शामिल नहीं हो सकते हैं।

उदाहरण के लिए, समीकरण (1) में स्पष्ट रूप से कोई तीसरे और दूसरे क्रम के व्युत्पन्न, साथ ही एक फ़ंक्शन नहीं हैं; समीकरण (2) में - दूसरे क्रम का व्युत्पन्न और फ़ंक्शन; समीकरण (4) में - स्वतंत्र चर; समीकरण (5) में - कार्य। केवल समीकरण (3) में स्पष्ट रूप से सभी व्युत्पन्न, फ़ंक्शन और स्वतंत्र चर शामिल हैं।

एक विभेदक समीकरण को हल करना प्रत्येक फ़ंक्शन को कॉल किया जाता है वाई = एफ(एक्स), जब समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है तो यह एक पहचान में बदल जाता है।

किसी अवकल समीकरण का हल ढूंढने की प्रक्रिया को उसका कहा जाता है एकीकरण.

उदाहरण 1।अवकल समीकरण का हल खोजें.

समाधान। आइए इस समीकरण को इस रूप में लिखें। समाधान यह है कि फ़ंक्शन को उसके व्युत्पन्न से खोजा जाए। मूल फ़ंक्शन, जैसा कि इंटीग्रल कैलकुलस से जाना जाता है, एक एंटीडेरिवेटिव है, यानी।

यह वही है इस विभेदक समीकरण का समाधान . इसमें बदलाव हो रहा है सी, हम अलग-अलग समाधान प्राप्त करेंगे। हमने पाया कि प्रथम कोटि अवकल समीकरण के अनंत संख्या में समाधान होते हैं।

अवकल समीकरण का सामान्य समाधान एनवां क्रम इसका समाधान है, जो अज्ञात फ़ंक्शन और युक्त के संबंध में स्पष्ट रूप से व्यक्त किया गया है एनस्वतंत्र मनमाना स्थिरांक, अर्थात्

उदाहरण 1 में अवकल समीकरण का समाधान सामान्य है।

अवकल समीकरण का आंशिक समाधान वह समाधान जिसमें मनमाने स्थिरांकों को विशिष्ट संख्यात्मक मान दिया जाता है, कहलाता है।

उदाहरण 2.अवकल समीकरण का सामान्य समाधान और एक विशेष समाधान खोजें .

समाधान। आइए समीकरण के दोनों पक्षों को अंतर समीकरण के क्रम के बराबर कई बार एकीकृत करें।

,

.

परिणामस्वरूप, हमें एक सामान्य समाधान प्राप्त हुआ -

किसी दिए गए तीसरे क्रम के अंतर समीकरण का।

आइए अब निर्दिष्ट शर्तों के तहत एक विशेष समाधान खोजें। ऐसा करने के लिए, मनमाने गुणांकों के स्थान पर उनके मानों को प्रतिस्थापित करें और प्राप्त करें

.

यदि अवकल समीकरण के अतिरिक्त प्रारंभिक स्थिति को रूप में दिया जाए तो ऐसी समस्या कहलाती है कॉची समस्या . समीकरण के सामान्य समाधान में मानों को प्रतिस्थापित करें और एक मनमाना स्थिरांक का मान ज्ञात करें सी, और फिर पाए गए मान के लिए समीकरण का एक विशेष समाधान सी. यह कॉची समस्या का समाधान है.

उदाहरण 3.उदाहरण 1 के अधीन अवकल समीकरण के लिए कॉची समस्या को हल करें।

समाधान। आइए हम प्रारंभिक स्थिति से मूल्यों को सामान्य समाधान में प्रतिस्थापित करें य = 3, एक्स= 1. हमें मिलता है

हम इस प्रथम-क्रम विभेदक समीकरण के लिए कॉची समस्या का समाधान लिखते हैं:

अंतर समीकरणों को हल करने के लिए, यहां तक ​​कि सबसे सरल समीकरणों को भी, जटिल कार्यों सहित अच्छे एकीकरण और व्युत्पन्न कौशल की आवश्यकता होती है। इसे निम्नलिखित उदाहरण में देखा जा सकता है।

उदाहरण 4.अवकल समीकरण का सामान्य हल खोजें।

समाधान। समीकरण इस प्रकार लिखा गया है कि आप तुरंत दोनों पक्षों को एकीकृत कर सकते हैं।

.

हम चर के परिवर्तन (प्रतिस्थापन) द्वारा एकीकरण की विधि लागू करते हैं। फिर रहने दो.

लेना आवश्यक है डीएक्सऔर अब - ध्यान - हम इसे एक जटिल फ़ंक्शन के भेदभाव के नियमों के अनुसार करते हैं एक्सऔर एक जटिल कार्य है ("सेब" - अर्क वर्गमूलया, एक ही बात क्या है - "डेढ़" की शक्ति बढ़ाना, और "कीमा बनाया हुआ मांस" जड़ के नीचे की अभिव्यक्ति है):

हम अभिन्न पाते हैं:

वेरिएबल पर लौटना एक्स, हम पाते हैं:

.

यह इस प्रथम डिग्री अवकल समीकरण का सामान्य समाधान है।

अंतर समीकरणों को हल करने के लिए न केवल उच्च गणित के पिछले अनुभागों के कौशल की आवश्यकता होगी, बल्कि प्रारंभिक यानी स्कूली गणित के कौशल की भी आवश्यकता होगी। जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, किसी भी क्रम के अंतर समीकरण में एक स्वतंत्र चर, यानी एक चर नहीं हो सकता है एक्स. स्कूल से अनुपात के बारे में ज्ञान जिसे भुलाया नहीं गया है (हालांकि, यह इस पर निर्भर करता है कि कौन है) इस समस्या को हल करने में मदद करेगा। यह अगला उदाहरण है.

6.1. बुनियादी अवधारणाएँ और परिभाषाएँ

गणित और भौतिकी, जीव विज्ञान और चिकित्सा में विभिन्न समस्याओं को हल करते समय, अक्सर अध्ययन के तहत प्रक्रिया का वर्णन करने वाले चर को जोड़ने वाले सूत्र के रूप में एक कार्यात्मक संबंध स्थापित करना संभव नहीं होता है। आमतौर पर आपको ऐसे समीकरणों का उपयोग करना पड़ता है जिनमें स्वतंत्र चर और अज्ञात फ़ंक्शन के अलावा, इसके डेरिवेटिव भी शामिल होते हैं।

परिभाषा।एक स्वतंत्र चर, एक अज्ञात फलन और उसके विभिन्न कोटि के व्युत्पन्नों को जोड़ने वाले समीकरण को कहा जाता है अंतर.

एक अज्ञात फ़ंक्शन को आमतौर पर दर्शाया जाता है वाई(एक्स)या केवल हाँ,और इसके व्युत्पन्न - य", य"वगैरह।

अन्य पदनाम भी संभव हैं, उदाहरण के लिए: यदि य= x(t), फिर एक्स"(टी), एक्स""(टी)- इसके डेरिवेटिव, और टी- स्वतंत्र चर।

परिभाषा।यदि कोई फलन एक चर पर निर्भर करता है, तो अवकल समीकरण को साधारण कहा जाता है। सामान्य फ़ॉर्म साधारण अंतर समीकरण:

या

कार्य एफऔर एफइसमें कुछ तर्क नहीं हो सकते हैं, लेकिन समीकरणों के भिन्न होने के लिए, व्युत्पन्न की उपस्थिति आवश्यक है।

परिभाषा।विभेदक समीकरण का क्रमइसमें शामिल उच्चतम व्युत्पन्न का क्रम कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, x 2 y"- य= 0, y" + पाप एक्स= 0 प्रथम कोटि के समीकरण हैं, और य"+ 2 य"+ 5 य= एक्स- दूसरे क्रम का समीकरण।

विभेदक समीकरणों को हल करते समय, एकीकरण ऑपरेशन का उपयोग किया जाता है, जो एक मनमाना स्थिरांक की उपस्थिति से जुड़ा होता है। यदि एकीकरण क्रिया लागू की जाती है एनसमय, तो, जाहिर है, समाधान शामिल होगा एनमनमाना स्थिरांक.

6.2. प्रथम क्रम के विभेदक समीकरण

सामान्य फ़ॉर्म प्रथम कोटि अवकल समीकरणअभिव्यक्ति द्वारा निर्धारित होता है

समीकरण में स्पष्ट रूप से शामिल नहीं हो सकता है एक्सऔर हाँ,लेकिन इसमें आवश्यक रूप से y" शामिल है।

यदि समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है

तब हम व्युत्पन्न के संबंध में हल किया गया प्रथम-क्रम विभेदक समीकरण प्राप्त करते हैं।

परिभाषा।प्रथम कोटि अवकल समीकरण (6.3) (या (6.4)) का सामान्य समाधान समाधानों का समुच्चय है , कहाँ साथ- मनमाना स्थिरांक.

अवकल समीकरण के समाधान का ग्राफ कहलाता है अभिन्न वक्र.

एक मनमाना स्थिरांक देना साथविभिन्न मानों से आंशिक समाधान प्राप्त किया जा सकता है। सतह पर xOyसामान्य समाधान प्रत्येक विशेष समाधान के अनुरूप अभिन्न वक्रों का एक परिवार है।

यदि आप एक बिंदु निर्धारित करते हैं ए (x 0 , y 0),जिसके माध्यम से अभिन्न वक्र को, एक नियम के रूप में, कार्यों के एक सेट से गुजरना होगा कोई एक को अलग कर सकता है - एक निजी समाधान।

परिभाषा।निजी निर्णयएक अवकल समीकरण का समाधान उसका समाधान है जिसमें मनमाने स्थिरांक नहीं होते हैं।

अगर एक सामान्य समाधान है, फिर स्थिति से

आप एक स्थिरांक पा सकते हैं साथ।शर्त कहलाती है आरंभिक दशा।

प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करने वाले अंतर समीकरण (6.3) या (6.4) का एक विशेष समाधान खोजने की समस्या पर बुलाया कॉची समस्या.क्या इस समस्या का हमेशा कोई समाधान होता है? उत्तर निम्नलिखित प्रमेय में निहित है।

कॉची का प्रमेय(अस्तित्व का प्रमेय और समाधान की विशिष्टता)। चलो अंतर समीकरण में य"= एफ(एक्स,वाई)समारोह एफ(एक्स,वाई)और वह

आंशिक व्युत्पन्न कुछ में परिभाषित और निरंतर

क्षेत्र डी,एक बिंदु युक्त फिर क्षेत्र में डीमौजूद

समीकरण का एकमात्र समाधान जो प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करता है पर

कॉची के प्रमेय में कहा गया है कि कुछ शर्तों के तहत एक अद्वितीय अभिन्न वक्र होता है य= एफ(एक्स),एक बिंदु से गुजरना वे बिंदु जिन पर प्रमेय की शर्तें पूरी नहीं होती हैं

कैची कहलाते हैं विशेष।इन बिंदुओं पर यह टूट जाता है एफ(एक्स, वाई) या।

या तो कई अभिन्न वक्र या कोई भी एक एकल बिंदु से होकर नहीं गुजरता है।

परिभाषा।यदि समाधान (6.3), (6.4) के रूप में पाया जाता है एफ(एक्स, वाई, सी)= 0, y के सापेक्ष अनुमति नहीं है, तो इसे कहा जाता है सामान्य अभिन्नअंतर समीकरण।

कॉची का प्रमेय केवल यह गारंटी देता है कि समाधान मौजूद है। चूंकि समाधान खोजने के लिए कोई एकल विधि नहीं है, इसलिए हम केवल कुछ प्रकार के प्रथम-क्रम अंतर समीकरणों पर विचार करेंगे जिन्हें इसमें एकीकृत किया जा सकता है चतुर्भुज

परिभाषा।अवकल समीकरण कहलाता है चतुर्भुजों में समाकलनीय,यदि इसका समाधान खोजने से कार्यों को एकीकृत करना संभव हो जाता है।

6.2.1. वियोज्य चरों के साथ प्रथम कोटि अवकल समीकरण

परिभाषा।प्रथम कोटि अवकल समीकरण को समीकरण कहा जाता है वियोज्य चर,

समीकरण (6.5) का दायाँ पक्ष दो कार्यों का गुणनफल है, जिनमें से प्रत्येक केवल एक चर पर निर्भर करता है।

उदाहरण के लिए, समीकरण अलग करने वाला एक समीकरण है

चर के साथ मिश्रित
और समीकरण

प्रपत्र (6.5) में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता।

ध्यान में रख कर , हम फॉर्म में (6.5) को फिर से लिखते हैं

इस समीकरण से हमें अलग-अलग चर के साथ एक अंतर समीकरण प्राप्त होता है, जिसमें अंतर ऐसे कार्य होते हैं जो केवल संबंधित चर पर निर्भर करते हैं:

शब्द दर शब्द एकीकृत करते हुए, हमारे पास है

जहां सी = सी 2 - सी 1 - मनमाना स्थिरांक। अभिव्यक्ति (6.6) समीकरण (6.5) का सामान्य अभिन्न अंग है।

समीकरण (6.5) के दोनों पक्षों को विभाजित करने पर, हम उन समाधानों को खो सकते हैं जिनके लिए, वास्तव में, यदि पर

वह स्पष्ट रूप से समीकरण (6.5) का एक समाधान है।

उदाहरण 1।समीकरण का ऐसा समाधान खोजें जो संतुष्ट हो

स्थिति: य= 6 बजे एक्स= 2 (य(2) = 6).

समाधान।हम बदल देंगे य"तब . दोनों पक्षों को इससे गुणा करें

डीएक्स,चूँकि आगे एकीकरण के दौरान इसे छोड़ना असंभव है डीएक्सहर में:

और फिर दोनों भागों को विभाजित करें हमें समीकरण मिलता है,

जिसे एकीकृत किया जा सकता है। आइए एकीकृत करें:

तब ; पोटेंशिअटिंग, हमें y = C मिलता है। (एक्स + 1) - ओब-

सामान्य समाधान.

प्रारंभिक डेटा का उपयोग करते हुए, हम उन्हें सामान्य समाधान में प्रतिस्थापित करते हुए, एक मनमाना स्थिरांक निर्धारित करते हैं

अंततः हम पाते हैं य= 2(x + 1) एक विशेष हल है। आइए वियोज्य चर वाले समीकरणों को हल करने के कुछ और उदाहरण देखें।

उदाहरण 2.समीकरण का हल खोजें

समाधान।ध्यान में रख कर , हम पाते हैं .

समीकरण के दोनों पक्षों को एकीकृत करते हुए, हमारे पास है

कहाँ

उदाहरण 3.समीकरण का हल खोजें समाधान।हम समीकरण के दोनों पक्षों को उन कारकों में विभाजित करते हैं जो एक ऐसे चर पर निर्भर करते हैं जो अंतर चिह्न के तहत चर के साथ मेल नहीं खाता है, यानी। और एकीकृत करें. फिर हमें मिलता है

और अंत में

उदाहरण 4.समीकरण का हल खोजें

समाधान।यह जानते हुए कि हमें क्या मिलेगा. अनुभाग

सीमित चर. तब

एकीकृत करने पर हमें प्राप्त होता है

टिप्पणी।उदाहरण 1 और 2 में, आवश्यक फ़ंक्शन है यस्पष्ट रूप से व्यक्त (सामान्य समाधान)। उदाहरण 3 और 4 में - अंतर्निहित रूप से (सामान्य अभिन्न)। भविष्य में, निर्णय का स्वरूप निर्दिष्ट नहीं किया जाएगा.

उदाहरण 5.समीकरण का हल खोजें समाधान।

उदाहरण 6.समीकरण का हल खोजें , संतुष्टि देने वाला

स्थिति वाई(ई)= 1.

समाधान।आइए समीकरण को फॉर्म में लिखें

समीकरण के दोनों पक्षों को इससे गुणा करना डीएक्सऔर आगे, हम पाते हैं

समीकरण के दोनों पक्षों को एकीकृत करने पर (दाहिनी ओर का अभिन्न अंग भागों द्वारा लिया जाता है), हम प्राप्त करते हैं

लेकिन शर्त के मुताबिक य= 1 बजे एक्स= इ. तब

आइए पाए गए मानों को प्रतिस्थापित करें साथसामान्य समाधान के लिए:

परिणामी अभिव्यक्ति को अवकल समीकरण का आंशिक समाधान कहा जाता है।

6.2.2. प्रथम कोटि के सजातीय अवकल समीकरण

परिभाषा।प्रथम कोटि अवकल समीकरण कहलाता है सजातीय,यदि इसे प्रपत्र में प्रस्तुत किया जा सके

आइए हम एक सजातीय समीकरण को हल करने के लिए एक एल्गोरिदम प्रस्तुत करें।

1.इसके बजाय यआइए फिर एक नया फ़ंक्शन पेश करें और इसलिए

2.कार्य के संदर्भ में यूसमीकरण (6.7) का रूप लेता है

अर्थात्, प्रतिस्थापन एक सजातीय समीकरण को अलग-अलग चर वाले समीकरण में बदल देता है।

3. समीकरण (6.8) को हल करते हुए, हम पहले u और फिर पाते हैं य= ux.

उदाहरण 1।प्रश्न हल करें समाधान।आइए समीकरण को फॉर्म में लिखें

हम प्रतिस्थापन करते हैं:
तब

हम बदल देंगे

dx से गुणा करें: से भाग एक्सऔर पर तब

समीकरण के दोनों पक्षों को संबंधित चरों पर एकीकृत करने के बाद, हमारे पास है

या, पुराने वेरिएबल्स पर लौटते हुए, हम अंततः प्राप्त करते हैं

उदाहरण 2.प्रश्न हल करें समाधान।होने देना तब

आइए समीकरण के दोनों पक्षों को इससे विभाजित करें x2: आइए कोष्ठक खोलें और शब्दों को पुनर्व्यवस्थित करें:

पुराने चरों पर आगे बढ़ते हुए, हम अंतिम परिणाम पर पहुँचते हैं:

उदाहरण 3.समीकरण का हल खोजें मान लें कि

समाधान।एक मानक प्रतिस्थापन करना हम पाते हैं

या

या

इसका मतलब यह है कि विशेष समाधान का स्वरूप होता है उदाहरण 4.समीकरण का हल खोजें

समाधान।

उदाहरण 5.समीकरण का हल खोजें समाधान।

स्वतंत्र काम

वियोज्य चर वाले अंतर समीकरणों के समाधान खोजें (1-9).

समांगी अवकल समीकरणों का हल खोजें (9-18).

6.2.3. प्रथम कोटि अवकल समीकरणों के कुछ अनुप्रयोग

रेडियोधर्मी क्षय समस्या

समय के प्रत्येक क्षण में रा (रेडियम) के क्षय की दर उसके उपलब्ध द्रव्यमान के समानुपाती होती है। रा के रेडियोधर्मी क्षय का नियम ज्ञात कीजिए यदि यह ज्ञात हो कि प्रारंभिक क्षण में रा था और रा का आधा जीवन 1590 वर्ष है।

समाधान।माना कि तत्काल द्रव्यमान रा है एक्स= एक्स(टी)जी, और तब क्षय दर Ra के बराबर है

समस्या की स्थितियों के अनुसार

कहाँ क

अंतिम समीकरण में चरों को अलग करने और एकीकृत करने पर, हमें प्राप्त होता है

कहाँ

निर्धारण हेतु सीहम प्रारंभिक शर्त का उपयोग करते हैं: कब .

तब और इसलिए,

आनुपातिकता कारक कअतिरिक्त शर्त से निर्धारित:

हमारे पास है

यहाँ से और आवश्यक सूत्र

जीवाणु प्रजनन दर की समस्या

जीवाणुओं के प्रजनन की दर उनकी संख्या के समानुपाती होती है। शुरुआत में 100 बैक्टीरिया थे। 3 घंटे के अंदर इनकी संख्या दोगुनी हो गई. समय पर जीवाणुओं की संख्या की निर्भरता ज्ञात कीजिए। 9 घंटे के भीतर बैक्टीरिया की संख्या कितनी बार बढ़ जाएगी?

समाधान।होने देना एक्स- एक समय में जीवाणुओं की संख्या टी।फिर शर्त के अनुसार,

कहाँ क- आनुपातिकता गुणांक.

यहाँ से हालात से तो यही पता चल रहा है . मतलब,

अतिरिक्त शर्त से . तब

वह फ़ंक्शन जिसे आप ढूंढ रहे हैं:

तो कब टी= 9 एक्स= 800, यानी 9 घंटे के अंदर बैक्टीरिया की संख्या 8 गुना बढ़ गई।

एंजाइम की मात्रा बढ़ने की समस्या

शराब बनाने वाली खमीर संस्कृति में, सक्रिय एंजाइम की वृद्धि दर इसकी प्रारंभिक मात्रा के समानुपाती होती है एक्स।एंजाइम की प्रारंभिक मात्रा एएक घंटे के अंदर दोगुना हो गया. निर्भरता खोजें

एक्स(टी).

समाधान।शर्त के अनुसार, प्रक्रिया के विभेदक समीकरण का रूप होता है

यहाँ से

लेकिन . मतलब, सी= एऔर तब

यह भी ज्ञात है

इस तरह,

6.3. दूसरे क्रम के विभेदक समीकरण

6.3.1. बुनियादी अवधारणाओं

परिभाषा।दूसरे क्रम का अंतर समीकरणस्वतंत्र चर, वांछित फ़ंक्शन और उसके पहले और दूसरे डेरिवेटिव को जोड़ने वाला संबंध कहा जाता है।

विशेष मामलों में, समीकरण से x गायब हो सकता है, परया y"। हालाँकि, दूसरे क्रम के समीकरण में आवश्यक रूप से y होना चाहिए।" सामान्य स्थिति में, दूसरे क्रम का अंतर समीकरण इस प्रकार लिखा जाता है:

या, यदि संभव हो तो, दूसरे व्युत्पन्न के संबंध में हल किए गए फॉर्म में:

पहले-क्रम समीकरण के मामले में, दूसरे-क्रम समीकरण के लिए सामान्य और विशेष समाधान हो सकते हैं। सामान्य समाधान यह है:

एक विशेष समाधान ढूँढना

प्रारंभिक शर्तों के तहत - दिया गया

नंबर्स) कहा जाता है कॉची समस्या.ज्यामितीय रूप से, इसका मतलब है कि हमें अभिन्न वक्र खोजने की आवश्यकता है पर= वाई(एक्स),किसी दिए गए बिंदु से गुजरना और इस बिंदु पर एक स्पर्शरेखा है जो है

सकारात्मक अक्ष दिशा के साथ संरेखित होता है बैलनिर्दिष्ट कोण. इ। (चित्र 6.1)। कॉची समस्या का एक अनूठा समाधान है यदि समीकरण (6.10) के दाईं ओर, अनवरत

असंतत है और इसके संबंध में निरंतर आंशिक व्युत्पन्न हैं उह उह"आरंभिक बिंदु के किसी पड़ोस में

स्थिरांक खोजने के लिए एक निजी समाधान में शामिल, सिस्टम को हल किया जाना चाहिए

चावल। 6.1.अभिन्न वक्र

विभेदक समीकरणों को हल करना. हमारा धन्यवाद ऑनलाइन सेवाआप किसी भी प्रकार और जटिलता के अंतर समीकरणों को हल कर सकते हैं: अमानवीय, सजातीय, अरैखिक, रैखिक, प्रथम, द्वितीय क्रम, वियोज्य या गैर-वियोज्य चर के साथ, आदि। आपको अवकल समीकरणों का समाधान मिलता है विश्लेषणात्मक रूपसाथ विस्तृत विवरण. बहुत से लोग रुचि रखते हैं: अंतर समीकरणों को ऑनलाइन हल करना क्यों आवश्यक है? इस प्रकारसमीकरण गणित और भौतिकी में बहुत आम है, जहां अंतर समीकरण की गणना के बिना कई समस्याओं को हल करना असंभव होगा। अर्थशास्त्र, चिकित्सा, जीव विज्ञान, रसायन विज्ञान और अन्य विज्ञानों में भी विभेदक समीकरण आम हैं। ऐसे समीकरण का हल है ऑनलाइन मोडयह आपके कार्यों को बहुत आसान बना देता है, आपको सामग्री को बेहतर ढंग से समझने और स्वयं को परखने का अवसर देता है। अंतर समीकरणों को ऑनलाइन हल करने के लाभ। एक आधुनिक गणितीय सेवा वेबसाइट आपको किसी भी जटिलता के अंतर समीकरणों को ऑनलाइन हल करने की अनुमति देती है। जैसा कि आप जानते हैं वहाँ है एक बड़ी संख्या की विभेदक समीकरणों के प्रकार और उनमें से प्रत्येक के समाधान की अपनी विधियाँ हैं। हमारी सेवा पर आप किसी भी क्रम और प्रकार के अंतर समीकरणों का समाधान ऑनलाइन पा सकते हैं। समाधान पाने के लिए, हमारा सुझाव है कि आप प्रारंभिक डेटा भरें और "समाधान" बटन पर क्लिक करें। सेवा के संचालन में त्रुटियों को बाहर रखा गया है, इसलिए आप 100% सुनिश्चित हो सकते हैं कि आपको सही उत्तर प्राप्त हुआ है। हमारी सेवा के साथ विभेदक समीकरणों को हल करें। अंतर समीकरणों को ऑनलाइन हल करें। डिफ़ॉल्ट रूप से, ऐसे समीकरण में, फ़ंक्शन y, x वेरिएबल का एक फ़ंक्शन है। लेकिन आप अपना स्वयं का परिवर्तनीय पदनाम भी निर्दिष्ट कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि आप विभेदक समीकरण में y(t) निर्दिष्ट करते हैं, तो हमारी सेवा स्वचालित रूप से यह निर्धारित करेगी कि y, t चर का एक फ़ंक्शन है। संपूर्ण अवकल समीकरण का क्रम समीकरण में मौजूद फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के अधिकतम क्रम पर निर्भर करेगा। ऐसे समीकरण को हल करने का अर्थ है वांछित फलन खोजना। हमारी सेवा आपको अंतर समीकरणों को ऑनलाइन हल करने में मदद करेगी। समीकरण को हल करने में आपकी ओर से अधिक प्रयास की आवश्यकता नहीं है। आपको बस अपने समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों को आवश्यक फ़ील्ड में दर्ज करना होगा और "समाधान" बटन पर क्लिक करना होगा। प्रवेश करते समय, किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को एपोस्ट्रोफ़ द्वारा दर्शाया जाना चाहिए। कुछ ही सेकंड में आपको अंतर समीकरण का तैयार विस्तृत समाधान प्राप्त हो जाएगा। हमारी सेवा बिल्कुल मुफ्त है. वियोज्य चरों के साथ विभेदक समीकरण। यदि किसी अवकल समीकरण में बायीं ओर कोई व्यंजक है जो y पर निर्भर करता है, और दाहिनी ओर कोई व्यंजक है जो x पर निर्भर करता है, तो ऐसे अवकल समीकरण को वियोज्य चर वाला कहा जाता है। बाईं ओर में y का व्युत्पन्न हो सकता है; इस प्रकार के अंतर समीकरणों का समाधान y के एक फ़ंक्शन के रूप में होगा, जिसे समीकरण के दाईं ओर के अभिन्न अंग के माध्यम से व्यक्त किया जाएगा। यदि बाईं ओर y के फलन का अंतर है, तो इस स्थिति में समीकरण के दोनों पक्ष एकीकृत होते हैं। जब एक अंतर समीकरण में चर अलग नहीं होते हैं, तो एक अलग अंतर समीकरण प्राप्त करने के लिए उन्हें अलग करने की आवश्यकता होगी। रैखिक विभेदक समीकरण. एक अवकल समीकरण जिसका कार्य और उसके सभी अवकलज पहली डिग्री में हों, रैखिक कहलाता है। समीकरण का सामान्य रूप: y'+a1(x)y=f(x). f(x) और a1(x) x के सतत फलन हैं। इस प्रकार के अंतर समीकरणों को हल करने से अलग-अलग चर वाले दो अंतर समीकरणों को एकीकृत करना कम हो जाता है। विभेदक समीकरण का क्रम. एक अवकल समीकरण प्रथम, द्वितीय, nवें क्रम का हो सकता है। एक विभेदक समीकरण का क्रम उसमें शामिल उच्चतम व्युत्पन्न का क्रम निर्धारित करता है। हमारी सेवा में आप विभेदक समीकरणों को हल कर सकते हैं पहले ऑनलाइन, दूसरा, तीसरा, आदि। आदेश देना। समीकरण का समाधान कोई फ़ंक्शन y=f(x) होगा, इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, आपको एक पहचान मिलेगी। विभेदक समीकरण का समाधान खोजने की प्रक्रिया को एकीकरण कहा जाता है। कॉची समस्या. यदि, अंतर समीकरण के अलावा, प्रारंभिक स्थिति y(x0)=y0 दी गई है, तो इसे कॉची समस्या कहा जाता है। समीकरण के समाधान में संकेतक y0 और x0 जोड़े जाते हैं और एक मनमाना स्थिरांक C का मान निर्धारित किया जाता है, और फिर C के इस मान पर समीकरण का एक विशेष समाधान निर्धारित किया जाता है। यह कॉची समस्या का समाधान है। कॉची समस्या को सीमा स्थितियों वाली समस्या भी कहा जाता है, जो भौतिकी और यांत्रिकी में बहुत आम है। आपके पास कॉची समस्या, यानी सभी से, सेट करने का अवसर भी है संभव समाधानसमीकरण, उस भागफल का चयन करें जो दी गई प्रारंभिक शर्तों को पूरा करता है।

या तो व्युत्पन्न के संबंध में पहले ही हल कर लिया गया है, या उन्हें व्युत्पन्न के संबंध में हल किया जा सकता है .

अंतराल पर प्रकार के विभेदक समीकरणों का सामान्य समाधान एक्स, जो दिया गया है, इस समानता के दोनों पक्षों का अभिन्न अंग लेकर पाया जा सकता है।

हम पाते हैं .

यदि आप संपत्तियों को देखें अनिश्चितकालीन अभिन्न, तो हमें वांछित सामान्य समाधान मिलता है:

वाई = एफ(एक्स) + सी,

कहाँ एफ(एक्स)- आदिम कार्यों में से एक एफ(एक्स)बीच में एक्स, ए साथ- मनमाना स्थिरांक.

कृपया ध्यान दें कि अधिकांश समस्याओं में अंतराल एक्सइंगित न करें. इसका मतलब है कि हर किसी के लिए एक समाधान खोजा जाना चाहिए। एक्स, जिसके लिए और वांछित कार्य य, और मूल समीकरण समझ में आता है।

यदि आपको किसी अंतर समीकरण के किसी विशेष समाधान की गणना करने की आवश्यकता है जो प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करता है आप(एक्स 0) = आप 0, फिर सामान्य अभिन्न की गणना करने के बाद वाई = एफ(एक्स) + सी, स्थिरांक का मान निर्धारित करना अभी भी आवश्यक है सी = सी 0, प्रारंभिक स्थिति का उपयोग करते हुए। यानी एक स्थिरांक सी = सी 0समीकरण से निर्धारित होता है एफ(एक्स 0) + सी = वाई 0, और अवकल समीकरण का वांछित आंशिक समाधान रूप लेगा:

वाई = एफ(एक्स) + सी 0.

आइए एक उदाहरण देखें:

आइए अंतर समीकरण का एक सामान्य समाधान खोजें और परिणाम की शुद्धता की जांच करें। आइए हम इस समीकरण का एक विशेष समाधान खोजें जो प्रारंभिक स्थिति को पूरा करेगा।

समाधान:

दिए गए अंतर समीकरण को एकीकृत करने के बाद, हमें मिलता है:

.

आइए भागों द्वारा एकीकरण की विधि का उपयोग करके इस अभिन्न अंग को लें:

वह।, अवकल समीकरण का एक सामान्य समाधान है।

यह सुनिश्चित करने के लिए कि परिणाम सही है, आइए जाँच करें। ऐसा करने के लिए, हम दिए गए समीकरण में पाए गए समाधान को प्रतिस्थापित करते हैं:

.

तभी मूल समीकरण एक पहचान में बदल जाता है:

इसलिए, अंतर समीकरण का सामान्य समाधान सही ढंग से निर्धारित किया गया था।

हमने जो समाधान पाया वह तर्क के प्रत्येक वास्तविक मूल्य के लिए अंतर समीकरण का एक सामान्य समाधान है एक्स.

ओडीई के लिए एक विशेष समाधान की गणना करना बाकी है जो प्रारंभिक स्थिति को पूरा करेगा। दूसरे शब्दों में, स्थिरांक के मान की गणना करना आवश्यक है साथ, जिस पर समानता सत्य होगी:

.

.

फिर, प्रतिस्थापित करना सी = 2 ODE के सामान्य समाधान में, हम अंतर समीकरण का एक विशेष समाधान प्राप्त करते हैं जो प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करता है:

.

साधारण अंतर समीकरण समीकरण के दोनों पक्षों को विभाजित करके अवकलज को हल किया जा सकता है एफ(एक्स). यह परिवर्तन समतुल्य होगा यदि एफ(एक्स)किसी भी परिस्थिति में शून्य नहीं होता एक्सविभेदक समीकरण के एकीकरण अंतराल से एक्स.

ऐसी संभावित स्थितियाँ होती हैं, जब तर्क के कुछ मूल्यों के लिए एक्स ∈ एक्सकार्य एफ(एक्स)और जी(एक्स)एक साथ शून्य हो जाते हैं. समान मूल्यों के लिए एक्सअवकल समीकरण का सामान्य समाधान कोई फलन होता है य, जो उनमें परिभाषित है, क्योंकि .

यदि कुछ तर्क मानों के लिए एक्स ∈ एक्सशर्त संतुष्ट है, जिसका अर्थ है कि इस मामले में ODE के पास कोई समाधान नहीं है।

बाकी सबके लिए एक्सअंतराल से एक्सअवकल समीकरण का सामान्य समाधान परिवर्तित समीकरण से निर्धारित होता है।

आइए उदाहरण देखें:

उदाहरण 1।

आइए ODE का एक सामान्य समाधान खोजें: .

समाधान।

बुनियादी प्राथमिक कार्यों के गुणों से यह स्पष्ट है कि प्राकृतिक लघुगणक फ़ंक्शन को तर्क के गैर-नकारात्मक मानों के लिए परिभाषित किया गया है, इसलिए अभिव्यक्ति की परिभाषा का क्षेत्र एलएन(एक्स+3)एक अंतराल है एक्स > -3 . इसका मतलब यह है कि दिया गया अंतर समीकरण समझ में आता है एक्स > -3 . इन तर्क मानों के लिए, अभिव्यक्ति एक्स+3गायब नहीं होता है, इसलिए आप 2 भागों को विभाजित करके व्युत्पन्न के लिए ODE को हल कर सकते हैं एक्स + 3.

हम पाते हैं .

इसके बाद, हम व्युत्पन्न के संबंध में हल किए गए परिणामी अंतर समीकरण को एकीकृत करते हैं: . इस अभिन्न को लेने के लिए, हम इसे अवकल चिह्न के अंतर्गत समाहित करने की विधि का उपयोग करते हैं।

आइए हम उस कार्य को याद करें जो निश्चित अभिन्नों को खोजने में हमारे सामने आया था:

या dy = f(x)dx. उसका समाधान:

और यह अनिश्चितकालीन अभिन्न की गणना करने के लिए नीचे आता है। व्यवहार में, एक अधिक जटिल कार्य का अधिक बार सामना करना पड़ता है: फ़ंक्शन ढूंढना य, यदि यह ज्ञात हो कि यह प्रपत्र के संबंध को संतुष्ट करता है

यह संबंध स्वतंत्र चर से संबंधित है एक्स, अज्ञात फ़ंक्शन यऔर इसके डेरिवेटिव ऑर्डर तक एनसमावेशी, कहलाते हैं .

एक अंतर समीकरण में एक आदेश या किसी अन्य के डेरिवेटिव (या अंतर) के संकेत के तहत एक फ़ंक्शन शामिल होता है। उच्चतम क्रम को क्रम कहा जाता है (9.1) .

विभेदक समीकरण:

- पहले के आदेश,

दूसरा आदेश

- पाँचवाँ क्रम, आदि।

वह फलन जो किसी दिए गए अवकल समीकरण को संतुष्ट करता है, उसका समाधान कहलाता है , या अभिन्न . इसे हल करने का मतलब है इसके सभी समाधान ढूंढना। यदि आवश्यक कार्य के लिए यएक सूत्र प्राप्त करने में कामयाब रहे जो सभी समाधान देता है, तो हम कहते हैं कि हमने इसका सामान्य समाधान ढूंढ लिया है , या सामान्य अभिन्न .

सामान्य निर्णय रोकना एनमनमाना स्थिरांक और ऐसा दिखता है

यदि कोई संबंध प्राप्त होता है जो संबंधित है एक्स, वाईऔर एनमनमाना स्थिरांक, ऐसे रूप में जिसके संबंध में अनुमति नहीं है य -

तो ऐसे संबंध को समीकरण (9.1) का सामान्य समाकलन कहा जाता है।

कॉची समस्या

प्रत्येक विशिष्ट समाधान, यानी, प्रत्येक विशिष्ट फ़ंक्शन जो किसी दिए गए अंतर समीकरण को संतुष्ट करता है और मनमाने स्थिरांक पर निर्भर नहीं करता है, उसे एक विशेष समाधान कहा जाता है , या आंशिक अभिन्न. सामान्य समाधानों से विशेष समाधान (अभिन्न) प्राप्त करने के लिए, स्थिरांकों को विशिष्ट संख्यात्मक मान दिए जाने चाहिए।

किसी विशेष समाधान के ग्राफ़ को अभिन्न वक्र कहा जाता है। सामान्य समाधान, जिसमें सभी आंशिक समाधान शामिल हैं, अभिन्न वक्रों का एक परिवार है। प्रथम-क्रम समीकरण के लिए यह परिवार समीकरण के लिए एक मनमाना स्थिरांक पर निर्भर करता है एन-वाँ क्रम - से एनमनमाना स्थिरांक.

कॉची समस्या समीकरण के लिए एक विशेष समाधान खोजना है एन-वें क्रम, संतोषजनक एनआरंभिक स्थितियां:

जिसके द्वारा n स्थिरांक c 1, c 2,..., c n निर्धारित किये जाते हैं।

प्रथम क्रम विभेदक समीकरण

पहले क्रम के अंतर समीकरण के लिए जो व्युत्पन्न के संबंध में अनसुलझा है, इसका रूप है

या अपेक्षाकृत अनुमति के लिए

उदाहरण 3.46. समीकरण का सामान्य हल खोजें

समाधान।एकीकृत करने पर हमें प्राप्त होता है

जहाँ C एक मनमाना स्थिरांक है। यदि हम C को विशिष्ट संख्यात्मक मान निर्दिष्ट करते हैं, तो हमें विशेष समाधान प्राप्त होते हैं, उदाहरण के लिए,

उदाहरण 3.47. 100 आर के संचय के अधीन बैंक में जमा की गई धनराशि की बढ़ती राशि पर विचार करें प्रति वर्ष चक्रवृद्धि ब्याज. मान लीजिए कि यो धन की प्रारंभिक राशि है, और Yx - अंत में है एक्ससाल। यदि ब्याज की गणना वर्ष में एक बार की जाती है, तो हमें मिलता है

जहाँ x = 0, 1, 2, 3,.... जब ब्याज की गणना वर्ष में दो बार की जाती है, तो हमें मिलता है

जहां x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... ब्याज की गणना करते समय एनसाल में एक बार और यदि एक्सफिर अनुक्रमिक मान 0, 1/n, 2/n, 3/n,... लेता है

1/एन = एच नामित करें, तो पिछली समानता इस तरह दिखेगी:

असीमित आवर्धन के साथ एन(पर ) सीमा में हम ब्याज की निरंतर वृद्धि के साथ धन की मात्रा बढ़ाने की प्रक्रिया पर आते हैं:

इस प्रकार यह स्पष्ट है कि निरंतर परिवर्तन के साथ एक्समुद्रा आपूर्ति में परिवर्तन का नियम प्रथम क्रम के अंतर समीकरण द्वारा व्यक्त किया जाता है। जहाँ Y x एक अज्ञात फलन है, एक्स- स्वतंत्र चर, आर- स्थिर। आइए इस समीकरण को हल करें, ऐसा करने के लिए हम इसे इस प्रकार फिर से लिखते हैं:

कहाँ , या , जहां P, e C को दर्शाता है।

प्रारंभिक स्थितियों Y(0) = Yo से, हम पाते हैं P: Yo = Pe o, जहां से, Yo = P. इसलिए, समाधान का रूप इस प्रकार है:

आइए दूसरी आर्थिक समस्या पर विचार करें। मैक्रोइकॉनॉमिक मॉडल को पहले क्रम के रैखिक अंतर समीकरणों द्वारा भी वर्णित किया जाता है, जो समय के कार्यों के रूप में आय या आउटपुट वाई में परिवर्तन का वर्णन करता है।

उदाहरण 3.48. मान लीजिए कि राष्ट्रीय आय Y उसके मूल्य के समानुपाती दर से बढ़ती है:

और सरकारी व्यय में घाटा आनुपातिकता गुणांक के साथ आय Y के सीधे आनुपातिक होने दें क्यू. व्यय घाटे से राष्ट्रीय ऋण में वृद्धि होती है D:

आरंभिक स्थितियाँ Y = Yo और D = t = 0 पर करें। पहले समीकरण से Y= Yoe kt। Y को प्रतिस्थापित करने पर हमें dD/dt = qYoe kt प्राप्त होता है। सामान्य समाधान का स्वरूप होता है
डी = (क्यू/ के) यो केटी +सी, जहां सी = स्थिरांक, जो प्रारंभिक स्थितियों से निर्धारित होता है। प्रारंभिक शर्तों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें Do = (q/ k)Yo + C मिलता है। तो, अंततः,

डी = करो +(क्यू/ के)यो (ई केटी -1),

इससे पता चलता है कि राष्ट्रीय ऋण उसी सापेक्ष दर से बढ़ रहा है क, राष्ट्रीय आय के समान।

आइए सबसे सरल अंतर समीकरणों पर विचार करें एनवें क्रम, ये फॉर्म के समीकरण हैं

इसका सामान्य समाधान प्रयोग करके प्राप्त किया जा सकता है एनसमय एकीकरण.

उदाहरण 3.49.उदाहरण y """ = cos x पर विचार करें।

समाधान।एकीकृत करते हुए, हम पाते हैं

सामान्य समाधान का स्वरूप होता है

रैखिक विभेदक समीकरण

इनका अर्थशास्त्र में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है; आइए ऐसे समीकरणों को हल करने पर विचार करें। यदि (9.1) का रूप है:

तो इसे रैखिक कहा जाता है, जहां рo(x), р1(x),..., рn(x), f(x) फ़ंक्शन दिए गए हैं। यदि f(x) = 0 है, तो (9.2) को सजातीय कहा जाता है, अन्यथा इसे अमानवीय कहा जाता है। समीकरण (9.2) का सामान्य समाधान इसके किसी विशेष समाधान के योग के बराबर है वाई(एक्स)और इसके अनुरूप सजातीय समीकरण का सामान्य समाधान:

यदि गुणांक р o (x), р 1 (x),..., р n (x) स्थिर हैं, तो (9.2)

(9.4) क्रम के स्थिर गुणांकों वाला एक रैखिक अवकल समीकरण कहलाता है एन .

(9.4) के लिए फॉर्म है:

व्यापकता खोए बिना, हम p o = 1 सेट कर सकते हैं और फॉर्म में (9.5) लिख सकते हैं

हम y = e kx के रूप में एक समाधान (9.6) खोजेंगे, जहाँ k एक स्थिरांक है। हमारे पास है: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx । परिणामी व्यंजकों को (9.6) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होगा:

(9.7) एक बीजगणितीय समीकरण है, इसका अज्ञात है क, इसे विशेषता कहा जाता है। विशेषता समीकरण में डिग्री होती है एनऔर एनजड़ें, जिनके बीच एकाधिक और जटिल दोनों हो सकते हैं। मान लीजिए k 1 , k 2 ,..., k n वास्तविक और विशिष्ट हैं, तो - विशेष समाधान (9.7), और सामान्य

स्थिर गुणांक वाले एक रैखिक सजातीय दूसरे क्रम के अंतर समीकरण पर विचार करें:

इसका चारित्रिक समीकरण रूप है

(9.9)

इसका विवेचक D = p 2 - 4q, D के चिन्ह के आधार पर तीन स्थितियाँ संभव हैं।

1. यदि D>0, तो मूल k 1 और k 2 (9.9) वास्तविक और भिन्न हैं, और सामान्य समाधान का रूप है:

समाधान।विशेषता समीकरण: k 2 + 9 = 0, जहाँ से k = ± 3i, a = 0, b = 3, सामान्य समाधान का रूप है:

y = C 1 cos 3x + C 2 पाप 3x।

माल की सूची के साथ वेब-प्रकार के आर्थिक मॉडल का अध्ययन करते समय दूसरे क्रम के रैखिक अंतर समीकरणों का उपयोग किया जाता है, जहां मूल्य पी में परिवर्तन की दर इन्वेंट्री के आकार पर निर्भर करती है (पैराग्राफ 10 देखें)। यदि आपूर्ति और मांग कीमत के रैखिक कार्य हैं, अर्थात

ए एक स्थिरांक है जो प्रतिक्रिया दर निर्धारित करता है, फिर मूल्य परिवर्तन की प्रक्रिया को अंतर समीकरण द्वारा वर्णित किया गया है:

किसी विशेष समाधान के लिए हम एक स्थिरांक ले सकते हैं

सार्थक संतुलन कीमत. विचलन सजातीय समीकरण को संतुष्ट करता है

(9.10)

विशेषता समीकरण इस प्रकार होगा:

यदि पद सकारात्मक है. चलो निरूपित करें . अभिलक्षणिक समीकरण k 1,2 = ± i w के मूल, इसलिए सामान्य समाधान (9.10) का रूप है:

जहां C और मनमाना स्थिरांक हैं, वे प्रारंभिक स्थितियों से निर्धारित होते हैं। हमने समय के साथ मूल्य परिवर्तन का नियम प्राप्त किया: