बी की साइन क्या है। साइन और कोसाइन क्या है प्रतिशत हैं। अन्य त्रिकोणमितीय कार्यों से संबंध

मुझे लगता है कि आप इससे ज्यादा के लायक हैं। यहाँ त्रिकोणमिति की मेरी कुंजी है:

• गुंबद, दीवार और छत को ड्रा करें
• त्रिकोणमितीय कार्य और कुछ नहीं बल्कि इन तीन रूपों के प्रतिशत हैं।

साइन और कोसाइन के लिए रूपक: गुंबद

केवल स्वयं त्रिभुजों को देखने के बजाय, वास्तविक जीवन के किसी विशेष उदाहरण को ढूँढ़ते हुए उनके कार्य करने की कल्पना करें।

कल्पना कीजिए कि आप एक गुंबद के बीच में हैं और मूवी प्रोजेक्टर स्क्रीन लटकाना चाहते हैं। आप अपनी उंगली को कुछ "एक्स" कोण पर गुंबद पर इंगित करते हैं, और उस बिंदु से एक स्क्रीन लटका दी जानी चाहिए।

आप जिस कोण को इंगित करते हैं वह निर्धारित करता है:

• साइन (एक्स) = पाप (एक्स) = स्क्रीन ऊंचाई (फर्श से गुंबद बढ़ते बिंदु)
• cosine(x) = cos(x) = आपसे स्क्रीन तक की दूरी (मंजिल से)
• कर्ण, आप से स्क्रीन के शीर्ष तक की दूरी, हमेशा समान, गुंबद की त्रिज्या के बराबर

क्या आप चाहते हैं कि स्क्रीन यथासंभव बड़ी हो? इसे अपने ठीक ऊपर लटकाओ।

क्या आप चाहते हैं कि स्क्रीन आपसे यथासंभव दूर लटके रहे? इसे सीधे लंबवत लटकाएं। इस स्थिति में स्क्रीन की ऊंचाई शून्य होगी और आपके अनुरोध के अनुसार पीछे की ओर लटकेगी।

स्क्रीन से ऊंचाई और दूरी व्युत्क्रमानुपाती होती है: स्क्रीन जितनी करीब होगी, उसकी ऊंचाई उतनी ही अधिक होगी।

साइन और कोसाइन प्रतिशत हैं

मेरे अध्ययन के वर्षों में किसी ने भी मुझे यह नहीं समझाया कि त्रिकोणमितीय कार्य साइन और कोसाइन प्रतिशत के अलावा और कुछ नहीं हैं। उनके मान +100% से 0 से -100% तक, या सकारात्मक अधिकतम से शून्य से नकारात्मक अधिकतम तक होते हैं।

मान लीजिए कि मैंने 14 रूबल का कर चुकाया है। आप नहीं जानते कि यह कितना है। लेकिन अगर आप कहते हैं कि मैंने 95% टैक्स चुकाया है, तो आप समझेंगे कि मेरी चमड़ी चिपचिपे की तरह थी।

पूर्ण ऊंचाई का कोई मतलब नहीं है। लेकिन अगर ज्या का मान 0.95 है, तो मैं समझता हूं कि टीवी लगभग आपके गुंबद के ऊपर लटका हुआ है। जल्द ही यह गुंबद के केंद्र में अपनी अधिकतम ऊंचाई तक पहुंच जाएगा और फिर से गिरावट शुरू कर देगा।

हम इस प्रतिशत की गणना कैसे कर सकते हैं? बहुत सरल: वर्तमान स्क्रीन ऊंचाई को अधिकतम संभव (गुंबद की त्रिज्या, जिसे कर्ण भी कहा जाता है) से विभाजित करें।

इसीलिएहमें बताया गया है कि "कोज्या = विपरीत पैर / कर्ण"। प्रतिशत प्राप्त करने के लिए यह सब है! साइन को परिभाषित करने का सबसे अच्छा तरीका "अधिकतम संभव से वर्तमान ऊंचाई का प्रतिशत" है। (यदि आपका कोण "भूमिगत" इंगित करता है तो साइन नकारात्मक हो जाता है। यदि कोण आपके पीछे गुंबद बिंदु को इंगित करता है तो कोसाइन नकारात्मक हो जाता है।)

यह मानकर कि हम यूनिट सर्कल (त्रिज्या = 1) के केंद्र में हैं, गणनाओं को सरल बनाते हैं। हम विभाजन को छोड़ सकते हैं और केवल ऊंचाई के बराबर ज्या ले सकते हैं।

प्रत्येक वृत्त, वास्तव में, वांछित आकार के पैमाने में एक, बड़ा या छोटा होता है। इसलिए यूनिट सर्कल पर संबंध निर्धारित करें और परिणामों को अपने विशेष सर्कल आकार पर लागू करें।

प्रयोग: कोई भी कोना लें और देखें कि वह ऊंचाई से चौड़ाई का कितना प्रतिशत प्रदर्शित करता है:

साइन के मूल्य में वृद्धि का ग्राफ सिर्फ एक सीधी रेखा नहीं है। पहले 45 डिग्री ऊंचाई का 70% कवर करते हैं, और अंतिम 10 डिग्री (80 डिग्री से 90 डिग्री तक) केवल 2% कवर करते हैं।

यह आपके लिए इसे और स्पष्ट कर देगा: यदि आप एक सर्कल में जाते हैं, तो 0 ° पर आप लगभग लंबवत रूप से उठते हैं, लेकिन जैसे ही आप गुंबद के शीर्ष पर पहुंचते हैं, ऊंचाई कम और कम बदलती है।

स्पर्शरेखा और छेदक। दीवार

एक दिन एक पड़ोसी ने दीवार बना दी पीछे पीछेअपने गुंबद के लिए। अपने खिड़की के दृश्य और अच्छे पुनर्विक्रय मूल्य को रोया!

लेकिन क्या इस स्थिति में किसी तरह जीतना संभव है?

बिलकुल हाँ। क्या होगा यदि हम मूवी स्क्रीन को सीधे पड़ोसी की दीवार पर लटका दें? आप कोने (x) पर निशाना लगाते हैं और प्राप्त करते हैं:

• तन (एक्स) = तन (एक्स) = दीवार पर स्क्रीन ऊंचाई
• आपसे दीवार तक की दूरी: 1 (यह आपके गुंबद की त्रिज्या है, दीवार आपसे कहीं नहीं हिलती है, है ना?)
• secant(x) = sec(x) = "सीढ़ी की लंबाई" आपके द्वारा गुंबद के केंद्र में खड़े होने से निलंबित स्क्रीन के शीर्ष तक

आइए स्पर्शरेखा, या स्क्रीन ऊंचाई के बारे में कुछ बातें स्पष्ट करें।

• यह 0 से शुरू होता है, और असीम रूप से ऊपर जा सकता है। आप अपनी पसंदीदा फिल्म देखने के लिए सिर्फ एक अंतहीन कैनवास पाने के लिए स्क्रीन को दीवार पर ऊंचा और ऊंचा खींच सकते हैं! (इतने बड़े के लिए, निश्चित रूप से, आपको बहुत पैसा खर्च करना होगा)।
• स्पर्शरेखा ज्या का एक बढ़ा हुआ संस्करण है! और जब आप गुंबद के शीर्ष की ओर बढ़ते हैं तो साइन की वृद्धि धीमी हो जाती है, स्पर्शरेखा बढ़ती रहती है!

सेकांसु के पास भी अपनी बड़ाई करने के लिए कुछ है:

• छेदक 1 से शुरू होता है (सीढ़ी फर्श पर है, आपसे दूर दीवार की ओर है) और वहां से ऊपर जाना शुरू करता है
• छेदक हमेशा स्पर्शरेखा से अधिक लंबा होता है। जिस ढलान वाली सीढ़ी से आप अपनी स्क्रीन लटकाते हैं, वह स्क्रीन से ही लंबी होनी चाहिए, है ना? (अवास्तविक आकारों में, जब स्क्रीन बहुत लंबी होती है और सीढ़ी को लगभग लंबवत रखने की आवश्यकता होती है, तो उनके आकार लगभग समान होते हैं। लेकिन तब भी छेदक थोड़ा लंबा होगा)।

याद रखें मान हैं प्रतिशत. यदि आप स्क्रीन को 50 डिग्री के कोण पर लटकाने का निर्णय लेते हैं, tan(50)=1.19. आपकी स्क्रीन दीवार की दूरी (गुंबद त्रिज्या) से 19% बड़ी है।

(x=0 दर्ज करें और अपने अंतर्ज्ञान का परीक्षण करें - tan(0) = 0 और sec(0) = 1.)

स्पर्शरेखा और व्युत्क्रमज्या। छत

अविश्वसनीय रूप से, आपके पड़ोसी ने अब आपके गुंबद पर छत बनाने का फैसला किया है। (उसके साथ क्या बात है? वह जाहिर तौर पर नहीं चाहता कि जब वह नग्न होकर यार्ड में घूम रहा हो तो आप उसे देखें ...)

खैर, छत से बाहर निकलने और पड़ोसी से बात करने का समय आ गया है। आप झुकाव का कोण चुनते हैं, और निर्माण शुरू करते हैं:

• छत के आउटलेट और फर्श के बीच लंबवत दूरी हमेशा 1 होती है (गुंबद की त्रिज्या)
• cotangent(x) = cot(x) = गुंबद के शीर्ष और निकास बिंदु के बीच की दूरी
• cosecant(x) = csc(x) = छत तक आपके रास्ते की लंबाई

स्पर्शरेखा और छेदक दीवार का वर्णन करते हैं, जबकि कोटिस्पर्श और व्युत्क्रमज्या तल का वर्णन करते हैं।

इस बार हमारे सहज निष्कर्ष पिछले वाले के समान हैं:

• यदि आप 0° का कोण लेते हैं, तो आपका छत से बाहर निकलने में हमेशा के लिए समय लग जाएगा क्योंकि यह छत तक कभी नहीं पहुंचेगा। संकट।
• यदि आप इसे फर्श से 90 डिग्री के कोण पर बनाते हैं तो छत पर सबसे छोटी "सीढ़ी" प्राप्त की जाएगी। कोटिस्पर्श 0 के बराबर होगा (हम छत के साथ बिल्कुल भी नहीं चलते हैं, हम सख्ती से लंबवत बाहर निकलते हैं), और cosecant 1 के बराबर होगा ("सीढ़ी की लंबाई" न्यूनतम होगी)।

कनेक्शनों को विज़ुअलाइज़ करें

यदि सभी तीन केस को गुंबद-दीवार-फर्श के संयोजन में खींचा जाता है, तो निम्नलिखित प्राप्त होगा:

खैर, वाह, यह सब वही त्रिभुज है, जो दीवार और छत तक पहुँचने के लिए आकार में बढ़ा हुआ है। हमारे पास ऊर्ध्वाधर पक्ष (साइन, स्पर्शरेखा), क्षैतिज पक्ष (कोसाइन, कोटिस्पर्श), और "कर्ण" (सिकेंट, कोसेकेंट) हैं। (आप तीरों से देख सकते हैं कि प्रत्येक तत्व कितनी दूर तक पहुंचता है। व्युत्क्रमज्या आपके से छत तक की कुल दूरी है)।

थोड़ा जादू। सभी त्रिभुज समान समानताएँ साझा करते हैं:

पाइथागोरस प्रमेय से (a 2 + b 2 = c 2) हम देखते हैं कि प्रत्येक त्रिभुज की भुजाएँ कैसे जुड़ी हुई हैं। इसके अलावा, ऊंचाई-से-चौड़ाई का अनुपात भी सभी त्रिकोणों के लिए समान होना चाहिए। (बस सबसे बड़े त्रिभुज से छोटे वाले की ओर कदम पीछे जाएँ। हाँ, आकार बदल गया है, लेकिन भुजाओं का अनुपात समान रहेगा)।

यह जानते हुए कि प्रत्येक त्रिभुज में कौन सी भुजा 1 (गुंबद की त्रिज्या) है, हम आसानी से "sin/cos = tan/1" की गणना कर सकते हैं।

मैंने हमेशा इन तथ्यों को सरल कल्पना के माध्यम से याद रखने की कोशिश की है। तस्वीर में आप इन निर्भरताओं को स्पष्ट रूप से देख सकते हैं और समझ सकते हैं कि वे कहाँ से आते हैं। यह तकनीक सूखे फॉर्मूले को याद करने से कहीं बेहतर है।

अन्य कोणों को मत भूलना

श्श… एक ग्राफ़ पर लटकने की ज़रूरत नहीं है, यह सोचते हुए कि स्पर्शरेखा हमेशा 1 से कम होती है। यदि आप कोण बढ़ाते हैं, तो आप दीवार तक पहुँचे बिना छत तक पहुँच सकते हैं:

पायथागोरियन कनेक्शन हमेशा काम करते हैं, लेकिन सापेक्ष आकार भिन्न हो सकते हैं।

(आपने शायद देखा होगा कि साइन और कोसाइन का अनुपात हमेशा सबसे छोटा होता है क्योंकि वे एक गुंबद के भीतर बंद होते हैं।)

संक्षेप में: हमें क्या याद रखने की आवश्यकता है?

हम में से अधिकांश के लिए, मैं कहूंगा कि यह पर्याप्त होगा:

• त्रिकोणमिति गणितीय वस्तुओं जैसे मंडलियों और दोहराए जाने वाले अंतरालों की शारीरिक रचना की व्याख्या करती है
• गुंबद/दीवार/छत समानता विभिन्न त्रिकोणमितीय कार्यों के बीच संबंध दिखाती है
• त्रिकोणमितीय कार्यों का परिणाम वे प्रतिशत हैं जिन्हें हम अपने परिदृश्य पर लागू करते हैं।

आपको 1 2 + cot 2 = csc 2 जैसे सूत्र याद करने की आवश्यकता नहीं है। वे केवल मूर्खतापूर्ण परीक्षणों के लिए उपयुक्त होते हैं जिनमें किसी तथ्य के ज्ञान को उसकी समझ के रूप में प्रस्तुत किया जाता है। गुंबद, दीवार और छत के रूप में अर्धवृत्त बनाने के लिए एक मिनट का समय लें, तत्वों पर हस्ताक्षर करें, और कागज पर आपके लिए सभी सूत्र पूछे जाएंगे।

आवेदन: उलटा कार्य

कोई भी त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन एक कोण को इनपुट के रूप में लेता है और परिणाम को प्रतिशत के रूप में लौटाता है। पाप (30) = 0.5। इसका मतलब है कि 30 डिग्री का कोण अधिकतम ऊंचाई का 50% हिस्सा लेता है।

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन को sin -1 या आर्क्सिन ("आर्क्सिन") के रूप में लिखा जाता है। इसे अक्सर विभिन्न प्रोग्रामिंग भाषाओं में असिन भी लिखा जाता है।

यदि हमारी ऊंचाई गुंबद की ऊंचाई का 25% है, तो हमारा कोण क्या है?

अनुपात की हमारी तालिका में, आप वह अनुपात पा सकते हैं जहां छेदक रेखा को 1 से विभाजित किया जाता है। उदाहरण के लिए, छेदक रेखा को 1 (क्षैतिज के लिए कर्ण) से विभाजित करने पर कोसाइन से विभाजित 1 के बराबर होगा:

मान लीजिए कि हमारी छेदक रेखा 3.5 है, अर्थात यूनिट सर्कल त्रिज्या का 350%। यह मान दीवार के किस कोण से मेल खाता है?

परिशिष्ट: कुछ उदाहरण

उबाऊ कार्य। चलो "साइन खोजें" के लिए "अधिकतम (कर्ण) के प्रतिशत के रूप में ऊँचाई क्या है?"

सबसे पहले, ध्यान दें कि त्रिभुज घूम रहा है। उसके साथ कुछ भी गलत नहीं है। त्रिभुज की एक ऊँचाई भी होती है, इसे चित्र में हरे रंग से दिखाया गया है।

कर्ण किसके बराबर होता है? पायथागॉरियन प्रमेय द्वारा, हम जानते हैं कि:

3 2 + 4 2 = कर्ण 2 25 = कर्ण 2 5 = कर्ण

अच्छा! साइन त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा या कर्ण से ऊँचाई का प्रतिशत है। हमारे उदाहरण में, साइन 3/5 या 0.60 है।

बेशक, हम कई तरह से जा सकते हैं। अब हम जानते हैं कि ज्या 0.60 है और हम केवल चापज्या पा सकते हैं:

असिन(0.6)=36.9

और यहाँ एक और तरीका है। ध्यान दें कि त्रिभुज "दीवार के आमने-सामने" है, इसलिए हम साइन के बजाय स्पर्शरेखा का उपयोग कर सकते हैं। ऊंचाई 3 है, दीवार की दूरी 4 है, इसलिए स्पर्शरेखा ¾ या 75% है। प्रतिशत वापस कोण पर जाने के लिए हम चाप स्पर्शरेखा का उपयोग कर सकते हैं:

तन = 3/4 = 0.75 अतान(0.75) = 36.9 उदाहरण: क्या आप किनारे पर तैरेंगे?

आप एक नाव में हैं और आपके पास 2 किमी चलने के लिए पर्याप्त ईंधन है। अब आप तट से 0.25 किमी दूर हैं। आप किनारे पर किस अधिकतम कोण पर तैर सकते हैं ताकि आपके पास पर्याप्त ईंधन हो? समस्या की स्थिति में जोड़: हमारे पास केवल चाप कोज्या मानों की एक तालिका है।

हमारे पास क्या है? हमारे प्रसिद्ध त्रिकोण में समुद्र तट को "दीवार" के रूप में दर्शाया जा सकता है, और दीवार से जुड़ी "सीढ़ियों की लंबाई" को नाव से किनारे तक अधिकतम संभव दूरी (2 किमी) के रूप में दर्शाया जा सकता है। एक छेदक निकलता है।

सबसे पहले, आपको प्रतिशत पर स्विच करने की आवश्यकता है। हमारे पास 2 / 0.25 = 8 है, जिसका अर्थ है कि हम किनारे (या दीवार) की सीधी दूरी से 8 गुना तैर सकते हैं।

प्रश्न उठता है कि "सिकेंट 8 क्या है?"। लेकिन हम इसका उत्तर नहीं दे सकते, क्योंकि हमारे पास केवल आर्क कोसाइन हैं।

हम अपने पहले से व्युत्पन्न निर्भरताओं का उपयोग कोज्या के लिए छेदक को मैप करने के लिए करते हैं: "sec/1 = 1/cos"

8 की छेदक रेखा ⅛ की कोज्या के बराबर है। एक कोण जिसका कोज्या ⅛ है acos(1/8) = 82.8 है। और यह सबसे बड़ा कोण है जिसे हम ईंधन की निर्दिष्ट मात्रा वाली नाव पर वहन कर सकते हैं।

बुरा नहीं है, है ना? गुंबद-दीवार-छत समानता के बिना, मैं सूत्रों और गणनाओं के समूह में भ्रमित हो जाऊंगा। समस्या का विज़ुअलाइज़ेशन समाधान की खोज को बहुत सरल करता है, इसके अलावा, यह देखना दिलचस्प है कि कौन सा त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन अंततः मदद करेगा।

प्रत्येक कार्य के लिए, इस तरह सोचें: क्या मेरी दिलचस्पी गुंबद (सिन/कॉस), दीवार (टैन/सेकंड), या छत (खाट/सीएससी) में है?

और त्रिकोणमिति और अधिक सुखद हो जाएगी। आपके लिए आसान गणना!

गणित की एक शाखा जिसके साथ स्कूली बच्चे सबसे बड़ी कठिनाइयों का सामना करते हैं, वह त्रिकोणमिति है। कोई आश्चर्य नहीं: ज्ञान के इस क्षेत्र में स्वतंत्र रूप से महारत हासिल करने के लिए, आपको स्थानिक सोच, सूत्रों का उपयोग करके ज्या, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कोटैंगेंट खोजने की क्षमता, अभिव्यक्तियों को सरल बनाने और गणना में संख्या पाई का उपयोग करने में सक्षम होने की आवश्यकता है। इसके अलावा, आपको प्रमेयों को सिद्ध करते समय त्रिकोणमिति को लागू करने में सक्षम होने की आवश्यकता है, और इसके लिए या तो एक विकसित गणितीय स्मृति या जटिल तार्किक श्रृंखलाओं को निकालने की क्षमता की आवश्यकता होती है।

त्रिकोणमिति की उत्पत्ति

इस विज्ञान के साथ परिचित होना कोण की साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा की परिभाषा के साथ शुरू होना चाहिए, लेकिन पहले आपको यह पता लगाने की आवश्यकता है कि त्रिकोणमिति सामान्य रूप से क्या करती है।

ऐतिहासिक रूप से, गणितीय विज्ञान के इस खंड में समकोण त्रिभुज अध्ययन का मुख्य उद्देश्य रहा है। 90 डिग्री के कोण की उपस्थिति से विभिन्न कार्यों को करना संभव हो जाता है जो किसी व्यक्ति को दो पक्षों और एक कोण या दो कोणों और एक पक्ष का उपयोग करके विचाराधीन आकृति के सभी मापदंडों के मूल्यों को निर्धारित करने की अनुमति देता है। अतीत में, लोगों ने इस पैटर्न को देखा और इमारतों, नेविगेशन, खगोल विज्ञान और यहां तक ​​कि कला के निर्माण में इसका सक्रिय रूप से उपयोग करना शुरू कर दिया।

प्रथम चरण

प्रारंभ में, लोगों ने विशेष रूप से समकोण त्रिभुजों के उदाहरण पर कोणों और भुजाओं के संबंध के बारे में बात की। तब विशेष सूत्र खोजे गए जिससे गणित के इस खंड के रोजमर्रा के जीवन में उपयोग की सीमाओं का विस्तार करना संभव हो गया।

स्कूल में आज त्रिकोणमिति का अध्ययन समकोण त्रिभुजों से शुरू होता है, जिसके बाद अर्जित ज्ञान का उपयोग छात्रों द्वारा भौतिकी और सार त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने में किया जाता है, जिसके साथ हाई स्कूल में काम शुरू होता है।

गोलाकार त्रिकोणमिति

बाद में, जब विज्ञान विकास के अगले स्तर पर पहुंच गया, तो साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कोटिस्पर्श वाले सूत्रों का उपयोग गोलाकार ज्यामिति में किया जाने लगा, जहां अन्य नियम लागू होते हैं, और त्रिकोण में कोणों का योग हमेशा 180 डिग्री से अधिक होता है। इस खंड का अध्ययन स्कूल में नहीं किया जाता है, लेकिन इसके अस्तित्व के बारे में जानना आवश्यक है, कम से कम क्योंकि पृथ्वी की सतह, और किसी अन्य ग्रह की सतह उत्तल है, जिसका अर्थ है कि किसी भी सतह का अंकन "चाप के आकार का" होगा त्रि-आयामी स्थान।

ग्लोब और धागा लें। धागे को ग्लोब पर किसी भी दो बिंदुओं से जोड़ दें ताकि यह तना हुआ हो। ध्यान दें - इसने एक चाप का आकार ले लिया है। यह इस तरह के रूपों के साथ है कि गोलाकार ज्यामिति, जिसका उपयोग भूगणित, खगोल विज्ञान और अन्य सैद्धांतिक और अनुप्रयुक्त क्षेत्रों में किया जाता है, संबंधित है।

सही त्रिकोण

त्रिकोणमिति का उपयोग करने के तरीकों के बारे में थोड़ा जानने के बाद, आइए मूल त्रिकोणमिति पर लौटें ताकि यह समझ सकें कि साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा क्या हैं, उनकी मदद से क्या गणना की जा सकती है और किन सूत्रों का उपयोग करना है।

पहला कदम एक समकोण त्रिभुज से संबंधित अवधारणाओं को समझना है। सबसे पहले, कर्ण 90 डिग्री के कोण के विपरीत भुजा है। वह सबसे लंबी है। हमें याद है कि पायथागॉरियन प्रमेय के अनुसार, इसका संख्यात्मक मान अन्य दो पक्षों के वर्गों के योग के मूल के बराबर है।

उदाहरण के लिए, यदि दो भुजाएँ क्रमशः 3 और 4 सेंटीमीटर हैं, तो कर्ण की लंबाई 5 सेंटीमीटर होगी। वैसे तो प्राचीन मिस्रवासियों को इस बारे में करीब साढ़े चार हजार साल पहले पता चल गया था।

शेष दो भुजाएँ जो एक समकोण बनाती हैं, पाद कहलाती हैं। इसके अलावा, हमें यह याद रखना चाहिए कि एक आयताकार समन्वय प्रणाली में त्रिभुज के कोणों का योग 180 डिग्री होता है।

परिभाषा

अंत में, ज्यामितीय आधार की ठोस समझ के साथ, हम कोण की साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा की परिभाषा की ओर मुड़ सकते हैं।

एक कोण की साइन कर्ण के विपरीत पैर (यानी, वांछित कोण के विपरीत पक्ष) का अनुपात है। एक कोण का कोज्या कर्ण के सन्निकट पैर का अनुपात है।

याद रखें कि न तो साइन और न ही कोसाइन एक से अधिक हो सकते हैं! क्यों? क्योंकि कर्ण डिफ़ॉल्ट रूप से सबसे लंबा होता है, पैर कितना भी लंबा क्यों न हो, वह कर्ण से छोटा होगा, जिसका अर्थ है कि उनका अनुपात हमेशा एक से कम होगा। इस प्रकार, यदि आपको समस्या के उत्तर में 1 से अधिक मान वाली साइन या कोसाइन मिलती है, तो गणना या तर्क में त्रुटि की तलाश करें। यह उत्तर स्पष्ट रूप से गलत है।

अंत में, एक कोण की स्पर्शरेखा, विपरीत भुजा का सन्निकट भुजा से अनुपात है। वही परिणाम कोसाइन द्वारा साइन का विभाजन देगा। देखिए: सूत्र के अनुसार, हम भुजा की लंबाई को कर्ण से विभाजित करते हैं, जिसके बाद हम दूसरी भुजा की लंबाई से विभाजित करते हैं और कर्ण से गुणा करते हैं। इस प्रकार, हम स्पर्शरेखा की परिभाषा के समान अनुपात प्राप्त करते हैं।

कॉटैंजेंट, क्रमशः, कोने से सटे पक्ष का अनुपात विपरीत दिशा में है। इकाई को स्पर्शरेखा से विभाजित करने पर हमें वही परिणाम मिलता है।

इसलिए, हमने साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श की परिभाषाओं पर विचार किया है, और हम सूत्रों से निपट सकते हैं।

सबसे सरल सूत्र

त्रिकोणमिति में, सूत्रों के बिना कोई नहीं कर सकता है - उनके बिना साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कॉटैंगेंट कैसे खोजें? और समस्याओं को हल करते समय ठीक यही आवश्यक है।

त्रिकोणमिति का अध्ययन शुरू करते समय आपको जो पहला सूत्र जानने की आवश्यकता है, वह कहता है कि कोण के साइन और कोसाइन के वर्गों का योग एक के बराबर है। यह सूत्र पाइथागोरस प्रमेय का प्रत्यक्ष परिणाम है, लेकिन यदि आप कोण का मान जानना चाहते हैं, न कि भुजा का, तो इससे समय की बचत होती है।

कई छात्र दूसरे सूत्र को याद नहीं कर सकते हैं, जो स्कूल की समस्याओं को हल करते समय भी बहुत लोकप्रिय है: कोण के स्पर्शरेखा के एक और वर्ग का योग कोण के कोसाइन के वर्ग से विभाजित एक के बराबर होता है। करीब से देखें: आखिरकार, यह वही कथन है जो पहले सूत्र में था, केवल पहचान के दोनों पक्षों को कोसाइन के वर्ग द्वारा विभाजित किया गया था। यह पता चला है कि एक साधारण गणितीय ऑपरेशन त्रिकोणमितीय सूत्र को पूरी तरह से पहचानने योग्य नहीं बनाता है। याद रखें: यह जानते हुए कि साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श क्या हैं, रूपांतरण नियम और कुछ बुनियादी सूत्र, आप किसी भी समय स्वतंत्र रूप से कागज की एक शीट पर आवश्यक अधिक जटिल सूत्र प्राप्त कर सकते हैं।

दोहरे कोण सूत्र और तर्कों का जोड़

दो और सूत्र जिन्हें आपको सीखने की आवश्यकता है, वे कोणों के योग और अंतर के लिए साइन और कोसाइन के मूल्यों से संबंधित हैं। उन्हें नीचे चित्र में दिखाया गया है। कृपया ध्यान दें कि पहले मामले में, साइन और कोसाइन को दोनों बार गुणा किया जाता है, और दूसरे में, साइन और कोसाइन का जोड़ीदार उत्पाद जोड़ा जाता है।

दोहरे कोण वाले तर्कों से जुड़े सूत्र भी हैं। वे पिछले वाले से पूरी तरह से व्युत्पन्न हैं - एक अभ्यास के रूप में, उन्हें स्वयं प्राप्त करने का प्रयास करें, अल्फा के कोण को बीटा के कोण के बराबर लेते हुए।

अंत में, ध्यान दें कि दोहरे कोण के सूत्रों को साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा अल्फा की निम्न डिग्री में परिवर्तित किया जा सकता है।

प्रमेयों

बुनियादी त्रिकोणमिति में दो मुख्य प्रमेय साइन प्रमेय और कोसाइन प्रमेय हैं। इन प्रमेयों की मदद से, आप आसानी से समझ सकते हैं कि साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा कैसे खोजें, और इसलिए आकृति का क्षेत्रफल, और प्रत्येक पक्ष का आकार, आदि।

साइन प्रमेय बताता है कि त्रिभुज के प्रत्येक पक्ष की लंबाई को विपरीत कोण के मान से विभाजित करने के परिणामस्वरूप, हमें समान संख्या मिलती है। इसके अलावा, यह संख्या परिबद्ध वृत्त की दो त्रिज्याओं के बराबर होगी, अर्थात, दिए गए त्रिभुज के सभी बिंदुओं को समाहित करने वाला वृत्त।

कोसाइन प्रमेय पाइथागोरस प्रमेय का सामान्यीकरण करता है, इसे किसी भी त्रिभुज पर प्रक्षेपित करता है। यह पता चला है कि दोनों पक्षों के वर्गों के योग से, उनके उत्पाद को उनके समीप के कोण के दोहरे कोसाइन से गुणा करके घटाया जाता है - परिणामी मूल्य तीसरे पक्ष के वर्ग के बराबर होगा। इस प्रकार, पाइथागोरस प्रमेय कोसाइन प्रमेय का एक विशेष मामला निकला।

असावधानी के कारण गलतियाँ

यह जानते हुए भी कि साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा क्या हैं, अनुपस्थित-मन या सरलतम गणनाओं में त्रुटि के कारण गलती करना आसान है। ऐसी गलतियों से बचने के लिए, आइए उनमें से सबसे लोकप्रिय से परिचित हों।

सबसे पहले, आपको अंतिम परिणाम प्राप्त होने तक सामान्य अंशों को दशमलव में परिवर्तित नहीं करना चाहिए - आप उत्तर को साधारण अंश के रूप में छोड़ सकते हैं, जब तक कि स्थिति अन्यथा न बताए। इस तरह के परिवर्तन को गलती नहीं कहा जा सकता है, लेकिन यह याद रखना चाहिए कि समस्या के प्रत्येक चरण में नई जड़ें दिखाई दे सकती हैं, जिन्हें लेखक के अनुसार कम किया जाना चाहिए। इस मामले में, आप अनावश्यक गणितीय परिचालनों पर समय बर्बाद करेंगे। यह तीन या दो की जड़ जैसे मूल्यों के लिए विशेष रूप से सच है, क्योंकि वे प्रत्येक चरण में कार्यों में होते हैं। "बदसूरत" संख्याओं को गोल करने पर भी यही बात लागू होती है।

इसके अलावा, ध्यान दें कि कोज्या प्रमेय किसी भी त्रिभुज पर लागू होता है, लेकिन पाइथागोरस प्रमेय पर नहीं! यदि आप गलती से उनके बीच के कोण के कोसाइन से गुणा किए गए पक्षों के उत्पाद को दो बार घटाना भूल जाते हैं, तो आपको न केवल पूरी तरह से गलत परिणाम मिलेगा, बल्कि विषय की पूरी गलतफहमी भी प्रदर्शित होगी। यह एक लापरवाह गलती से भी बदतर है।

तीसरा, ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा, कोटिस्पर्श के लिए 30 और 60 डिग्री के कोणों के मानों को भ्रमित न करें। इन मूल्यों को याद रखें, क्योंकि 30 डिग्री की ज्या 60 की कोज्या के बराबर है, और इसके विपरीत। उन्हें मिलाना आसान है, जिसके परिणामस्वरूप आपको अनिवार्य रूप से एक गलत परिणाम मिलेगा।

आवेदन

बहुत से छात्र त्रिकोणमिति का अध्ययन शुरू करने की जल्दी में नहीं हैं, क्योंकि वे इसके लागू अर्थ को नहीं समझते हैं। इंजीनियर या खगोलविद के लिए साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा क्या है? ये ऐसी अवधारणाएँ हैं जिनकी बदौलत आप दूर के तारों की दूरी की गणना कर सकते हैं, उल्कापिंड के गिरने की भविष्यवाणी कर सकते हैं, दूसरे ग्रह पर शोध जाँच भेज सकते हैं। उनके बिना, एक इमारत का निर्माण करना, एक कार को डिजाइन करना, सतह पर भार या किसी वस्तु के प्रक्षेपवक्र की गणना करना असंभव है। और ये केवल सबसे स्पष्ट उदाहरण हैं! आखिरकार, संगीत से लेकर चिकित्सा तक, एक या दूसरे रूप में त्रिकोणमिति का उपयोग हर जगह किया जाता है।

आखिरकार

तो आप साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा हैं। आप उन्हें गणना में उपयोग कर सकते हैं और स्कूल की समस्याओं को सफलतापूर्वक हल कर सकते हैं।

त्रिकोणमिति का पूरा सार इस तथ्य पर निर्भर करता है कि अज्ञात मापदंडों की गणना त्रिभुज के ज्ञात मापदंडों से की जानी चाहिए। कुल छह पैरामीटर हैं: तीन भुजाओं की लंबाई और तीन कोणों का परिमाण। कार्यों में संपूर्ण अंतर इस तथ्य में निहित है कि विभिन्न इनपुट डेटा दिए गए हैं।

पैरों या कर्ण की ज्ञात लंबाई के आधार पर साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा कैसे ज्ञात करें, अब आप जानते हैं। चूँकि इन शब्दों का मतलब एक अनुपात से ज्यादा कुछ नहीं है, और एक अनुपात एक अंश है, त्रिकोणमितीय समस्या का मुख्य लक्ष्य एक साधारण समीकरण या समीकरणों की प्रणाली की जड़ों को खोजना है। और यहाँ आपको सामान्य स्कूली गणित से मदद मिलेगी।

साइनससमकोण त्रिभुज का न्यूनकोण α अनुपात है विलोमकर्ण के लिए कैथेटर।
इसे निम्नानुसार निरूपित किया जाता है: पाप α।

कोज्याएक समकोण त्रिभुज का तीव्र कोण α कर्ण के सन्निकट पैर का अनुपात है।
इसे निम्नानुसार निरूपित किया जाता है: cos α।

स्पर्शरेखातीव्र कोण α आसन्न पैर के विपरीत पैर का अनुपात है।
इसे निम्नानुसार निरूपित किया जाता है: tg α।

स्पर्शरेखातीव्र कोण α आसन्न पैर के विपरीत के अनुपात का अनुपात है।
इसे निम्नानुसार नामित किया गया है: ctg α।

कोण की साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श केवल कोण के परिमाण पर निर्भर करते हैं।

नियम:

एक समकोण त्रिभुज में मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ:

(α - पैर के विपरीत तीव्र कोण बी और पैर के पास ए . ओर साथ - कर्ण। β - दूसरा तीव्र कोण)।

जैसे-जैसे तीव्र कोण बढ़ता हैsinα औरटीजी α वृद्धि, औरcos α घटता है।

किसी भी तीव्र कोण α के लिए:

sin (90° - α) = cos α

cos (90° - α) = sin α

व्याख्यात्मक उदाहरण:

माना एक समकोण त्रिभुज ABC में
एबी = 6,
बीसी = 3,
कोण ए = 30º।

कोण A की ज्या और कोण B की कोज्या ज्ञात कीजिए।

समाधान ।

1) सबसे पहले, हम कोण B का मान ज्ञात करते हैं। यहाँ सब कुछ सरल है: चूंकि एक समकोण त्रिभुज में तीव्र कोणों का योग 90º है, तो कोण B \u003d 60º:

बी \u003d 90º - 30º \u003d 60º।

2) साइन ए की गणना करें। हम जानते हैं कि साइन विपरीत पैर के कर्ण के अनुपात के बराबर है। कोण A के लिए, विपरीत भुजा भुजा BC है। इसलिए:

ईसा पूर्व 3 1
पाप ए = -- = - = -
एबी 6 2

3) अब हम cos B की गणना करते हैं। हम जानते हैं कि कोज्या कर्ण के सन्निकट पैर के अनुपात के बराबर है। कोण B के लिए, सन्निकट भुजा समान भुजा BC है। इसका मतलब यह है कि हमें फिर से BC को AB में विभाजित करने की आवश्यकता है - अर्थात, कोण A की साइन की गणना करते समय समान क्रियाएं करें:

ईसा पूर्व 3 1
कॉस बी = -- = - = -
एबी 6 2

परिणाम है:
sin A = cos B = 1/2।

sin 30º = cos 60º = 1/2।

इससे यह पता चलता है कि एक समकोण त्रिभुज में एक तीव्र कोण की ज्या दूसरे तीव्र कोण की कोज्या के बराबर होती है - और इसके विपरीत। यही हमारे दो सूत्रों का अर्थ है:
sin (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sin α

आइए इसे फिर से देखें:

1) माना α = 60º। α के मान को साइन सूत्र में प्रतिस्थापित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:
sin (90º - 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º।

2) माना α = 30º। α के मान को कोज्या सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
cos (90° - 30º) = sin 30º.
cos 60° = sin 30º.

(त्रिकोणमिति पर अधिक जानकारी के लिए, बीजगणित अनुभाग देखें)

त्रिकोणमिति गणित की एक शाखा है जो त्रिकोणमितीय कार्यों और ज्यामिति में उनके उपयोग का अध्ययन करती है। त्रिकोणमिति का विकास प्राचीन ग्रीस के दिनों में शुरू हुआ था। मध्य युग के दौरान, मध्य पूर्व और भारत के वैज्ञानिकों ने इस विज्ञान के विकास में महत्वपूर्ण योगदान दिया।

यह लेख त्रिकोणमिति की मूल अवधारणाओं और परिभाषाओं के लिए समर्पित है। यह मुख्य त्रिकोणमितीय कार्यों की परिभाषाओं पर चर्चा करता है: साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंगेंट। ज्यामिति के संदर्भ में उनका अर्थ समझाया और सचित्र किया गया है।

प्रारंभ में, त्रिकोणमितीय कार्यों की परिभाषाएँ, जिसका तर्क एक कोण है, एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात के माध्यम से व्यक्त किया गया था।

त्रिकोणमितीय कार्यों की परिभाषाएँ

एक कोण की ज्या (sin α) इस कोण के विपरीत पैर का कर्ण से अनुपात है।

कोण का कोज्या (cos α) कर्ण के सन्निकट पैर का अनुपात है।

कोण की स्पर्शरेखा (t g α) आसन्न पैर के विपरीत पैर का अनुपात है।

कोण की कोटिस्पर्श रेखा (c t g α) सन्निकट पाद और विपरीत पाद का अनुपात है।

ये परिभाषाएँ एक समकोण त्रिभुज के तीव्र कोण के लिए दी गई हैं!

आइए एक उदाहरण देते हैं।

त्रिभुज ABC में समकोण C के साथ, कोण A की ज्या भुजा BC और कर्ण AB के अनुपात के बराबर है।

साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंगेंट की परिभाषाएं त्रिभुज के किनारों की ज्ञात लंबाई से इन कार्यों के मूल्यों की गणना करना संभव बनाती हैं।

याद रखना महत्वपूर्ण है!

साइन और कोसाइन मानों की सीमा: -1 से 1 तक। दूसरे शब्दों में, साइन और कोसाइन -1 से 1 तक मान लेते हैं। स्पर्शरेखा और कोटेंगेंट मानों की सीमा पूरी संख्या रेखा है, यानी ये कार्य कोई भी मूल्य ले सकते हैं।

ऊपर दी गई परिभाषाएँ तीव्र कोणों को संदर्भित करती हैं। त्रिकोणमिति में, रोटेशन के कोण की अवधारणा पेश की जाती है, जिसका मूल्य, एक तीव्र कोण के विपरीत, 0 से 90 डिग्री तक फ़्रेम द्वारा सीमित नहीं है। डिग्री या रेडियन में रोटेशन के कोण को किसी भी वास्तविक संख्या से व्यक्त किया जाता है - ∞ से + ∞।

इस संदर्भ में, कोई भी मनमाना परिमाण के कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श को परिभाषित कर सकता है। कार्टेशियन समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति पर केंद्रित एक यूनिट सर्कल की कल्पना करें।

निर्देशांक (1 , 0) के साथ प्रारंभिक बिंदु A कुछ कोण α से यूनिट सर्कल के केंद्र के चारों ओर घूमता है और बिंदु A 1 पर जाता है। परिभाषा बिंदु A 1 (x, y) के निर्देशांक के माध्यम से दी गई है।

रोटेशन कोण का साइन (पाप)।

रोटेशन कोण α की साइन बिंदु A 1 (x, y) का समन्वय है। sinα = वाई

रोटेशन के कोण का कोसाइन (कोस)।

रोटेशन के कोण α का कोसाइन बिंदु A 1 (x, y) का भुज है। कॉस α = एक्स

रोटेशन कोण की स्पर्शरेखा (टीजी)।

रोटेशन के कोण α का स्पर्शरेखा बिंदु A 1 (x, y) के समन्वय का अनुपात इसके भुज तक है। टी जी α = वाई एक्स

घूर्णन कोण का स्पर्शरेखा (ctg)।

रोटेशन के कोण α का कोटिजेंट बिंदु A 1 (x, y) के भुज का अनुपात है। सी टी जी α = एक्स वाई

साइन और कोसाइन को रोटेशन के किसी भी कोण के लिए परिभाषित किया गया है। यह तार्किक है, क्योंकि रोटेशन के बाद बिंदु का भुज और समन्वय किसी भी कोण पर निर्धारित किया जा सकता है। टेंगेंट और कॉटैंगेंट के साथ स्थिति अलग है। स्पर्शरेखा परिभाषित नहीं होती है जब घुमाव के बाद का बिंदु शून्य भुज (0 , 1) और (0 , - 1) वाले बिंदु पर जाता है। ऐसे मामलों में, स्पर्शरेखा t g α = y x के लिए अभिव्यक्ति का कोई मतलब नहीं है, क्योंकि इसमें शून्य से विभाजन होता है। कॉटैंजेंट के साथ स्थिति समान है। अंतर यह है कि उन मामलों में कोटिस्पर्श परिभाषित नहीं किया जाता है जहां बिंदु का समन्वय गायब हो जाता है।

याद रखना महत्वपूर्ण है!

साइन और कोसाइन को किसी भी कोण α के लिए परिभाषित किया गया है।

α = 90° + 180° k , k ∈ Z (α = π 2 + π k , k ∈ Z) को छोड़कर सभी कोणों के लिए स्पर्शरेखा परिभाषित है।

α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z) को छोड़कर कोटिस्पर्श रेखा सभी कोणों के लिए परिभाषित है।

व्यावहारिक उदाहरणों को हल करते समय, "घूर्णन कोण α की ज्या" न कहें। शब्द "घूर्णन का कोण" बस छोड़े गए हैं, जिसका अर्थ है कि संदर्भ से यह पहले से ही स्पष्ट है कि दांव पर क्या है।

नंबर

किसी संख्या की साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श की परिभाषा के बारे में क्या है, न कि रोटेशन के कोण के बारे में?

साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, एक संख्या की कोटिस्पर्श

किसी संख्या की साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श टीएक संख्या कहलाती है, जो क्रमशः ज्या, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श के बराबर होती है टीकांति।

उदाहरण के लिए, 10 π की ज्या 10 π रेड के घूर्णन कोण की ज्या के बराबर है।

किसी संख्या की ज्या, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श की परिभाषा के लिए एक और दृष्टिकोण है। आइए इस पर और विस्तार से विचार करें।

कोई वास्तविक संख्या टीयूनिट सर्कल पर एक बिंदु आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के मूल में केंद्र के साथ पत्राचार में रखा गया है। इस बिंदु के निर्देशांक के संदर्भ में साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंगेंट परिभाषित किए गए हैं।

वृत्त पर प्रारंभिक बिंदु बिंदु A है जिसके निर्देशांक (1 , 0) हैं।

सकारात्मक संख्या टी

ऋणात्मक संख्या टीउस बिंदु से मेल खाती है जिस पर प्रारंभिक बिंदु घूमेगा यदि वह वृत्त के चारों ओर वामावर्त घूमता है और पथ t को पार करता है।

अब जबकि वृत्त पर संख्या और बिंदु के बीच संबंध स्थापित हो गया है, हम साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श की परिभाषा पर आगे बढ़ते हैं।

संख्या टी का साइन (पाप)।

एक संख्या की ज्या टी- संख्या के अनुरूप यूनिट सर्कल के बिंदु का समन्वय टी। पाप टी = वाई

टी का कोसाइन (cos)।

एक संख्या का कोसाइन टी- संख्या के अनुरूप यूनिट सर्कल के बिंदु का भुज टी। कॉस टी = एक्स

टी के स्पर्शरेखा (टीजी)।

किसी संख्या की स्पर्शरेखा टी- संख्या के अनुरूप यूनिट सर्कल के बिंदु के भुज के लिए समन्वय का अनुपात टी। टी जी टी = वाई एक्स = पाप टी कॉस टी

बाद की परिभाषाएँ संगत हैं और इस खंड की शुरुआत में दी गई परिभाषा का खंडन नहीं करती हैं। एक संख्या के अनुरूप एक वृत्त पर इंगित करें टी, उस बिंदु से मेल खाता है जिस पर प्रारंभिक बिंदु कोण से मुड़ने के बाद गुजरता है टीकांति।

कोणीय और संख्यात्मक तर्क के त्रिकोणमितीय कार्य

कोण α का प्रत्येक मान इस कोण के साइन और कोसाइन के एक निश्चित मान से मेल खाता है। जैसे α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) के अलावा सभी कोण α स्पर्शरेखा के एक निश्चित मान से मेल खाते हैं। जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, कॉटैंजेंट को सभी α के लिए परिभाषित किया गया है, α = 180 ° k , k ∈ Z (α = π k , k ∈ Z) को छोड़कर।

हम कह सकते हैं कि sin α , cos α , t g α , c t g α कोण α के कार्य हैं, या कोणीय तर्क के कार्य हैं।

इसी तरह, एक संख्यात्मक तर्क के कार्यों के रूप में साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिंजेंट के बारे में बात कर सकते हैं। प्रत्येक वास्तविक संख्या टीकिसी संख्या के साइन या कोसाइन के विशिष्ट मान से मेल खाती है टी. π 2 + π · k , k ∈ Z के अलावा सभी संख्याएँ स्पर्शरेखा के मान के अनुरूप हैं। π · k , k ∈ Z को छोड़कर सभी संख्याओं के लिए कोटिस्पर्श समान रूप से परिभाषित किया गया है।

त्रिकोणमिति के मूल कार्य

साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंगेंट मूल त्रिकोणमितीय कार्य हैं।

यह आमतौर पर संदर्भ से स्पष्ट होता है कि हम त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन (कोणीय तर्क या संख्यात्मक तर्क) के किस तर्क से निपट रहे हैं।

चलो परिभाषाओं और कोण अल्फा की शुरुआत में डेटा पर लौटते हैं, जो कि 0 से 90 डिग्री की सीमा में है। साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंगेंट की त्रिकोणमितीय परिभाषाएं समकोण त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात का उपयोग करके दी गई ज्यामितीय परिभाषाओं के साथ पूर्ण समझौते में हैं। आइए दिखाते हैं।

एक आयताकार कार्तीय निर्देशांक प्रणाली पर केन्द्रित एक इकाई वृत्त लें। आइए शुरुआती बिंदु A (1, 0) को 90 डिग्री तक के कोण से घुमाएं और परिणामी बिंदु A 1 (x, y) से x-अक्ष पर लंबवत बनाएं। परिणामी समकोण त्रिभुज में, कोण A 1 O H, घूर्णन α के कोण के बराबर है, पैर O H की लंबाई बिंदु A 1 (x, y) के भुज के बराबर है। कोने के विपरीत पैर की लंबाई बिंदु A 1 (x, y) के समन्वय के बराबर है, और कर्ण की लंबाई एक के बराबर है, क्योंकि यह इकाई वृत्त की त्रिज्या है।

ज्यामिति की परिभाषा के अनुसार, कोण α की साइन विपरीत पैर के कर्ण के अनुपात के बराबर है।

पाप α \u003d ए 1 एच ओ ए 1 \u003d वाई 1 \u003d वाई

इसका मतलब यह है कि पहलू अनुपात के माध्यम से एक समकोण त्रिभुज में एक तीव्र कोण की साइन की परिभाषा रोटेशन के कोण α की परिभाषा के बराबर है, जिसमें अल्फा 0 से 90 डिग्री की सीमा में है।

इसी तरह, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श के लिए परिभाषाओं का पत्राचार दिखाया जा सकता है।

यदि आप टेक्स्ट में कोई गलती देखते हैं, तो कृपया इसे हाइलाइट करें और Ctrl+Enter दबाएं

एक कोण की साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कोटिस्पर्श क्या है, इससे आपको समकोण त्रिभुज को समझने में मदद मिलेगी।

समकोण त्रिभुज की भुजाएँ क्या कहलाती हैं? यह सही है, कर्ण और पैर: कर्ण वह भुजा है जो समकोण के विपरीत स्थित है (हमारे उदाहरण में, यह भुजा \ (AC \) है); पैर दो शेष भुजाएँ हैं \ (AB \) और \ (BC \) (जो समकोण के समीप हैं), इसके अलावा, यदि हम कोण \ (BC \) के संबंध में पैरों पर विचार करते हैं, तो पैर \ (AB \) आसन्न पैर है, और पैर \ (BC \) विपरीत है। तो, अब हम इस प्रश्न का उत्तर देते हैं: एक कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श क्या हैं?

एक कोण की ज्या- यह कर्ण के विपरीत (दूर) पैर का अनुपात है।

हमारे त्रिकोण में:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

एक कोण की कोसाइन- यह कर्ण के निकटवर्ती (करीब) पैर का अनुपात है।

हमारे त्रिकोण में:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

कोण स्पर्शरेखा- यह विपरीत (दूर) पैर के आसन्न (करीब) का अनुपात है।

हमारे त्रिकोण में:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

एक कोण की कोटिस्पर्शज्या- यह आसन्न (करीब) पैर के विपरीत (दूर) का अनुपात है।

हमारे त्रिकोण में:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

ये परिभाषाएँ आवश्यक हैं याद करना! यह याद रखना आसान बनाने के लिए कि किस पैर को किससे विभाजित करना है, आपको इसे स्पष्ट रूप से समझने की आवश्यकता है स्पर्शरेखाऔर स्पर्शरेखाकेवल पैर बैठते हैं, और कर्ण केवल अंदर दिखाई देता है साइनसऔर कोज्या. और फिर आप संघों की एक श्रृंखला के साथ आ सकते हैं। उदाहरण के लिए, यह एक:

कोसाइन → स्पर्श → स्पर्श → आसन्न;

स्पर्शरेखा → स्पर्श → स्पर्श → आसन्न।

सबसे पहले, यह याद रखना आवश्यक है कि त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात के रूप में साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श इन भुजाओं की लंबाई (एक कोण पर) पर निर्भर नहीं करते हैं। विश्वास नहीं करते? तो तस्वीर देखकर यकीन कर लीजिए:

उदाहरण के लिए, कोण \(\beta \) की कोसाइन पर विचार करें। परिभाषा के अनुसार, त्रिभुज \(ABC \) से : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), लेकिन हम त्रिभुज \(AHI \) से कोण \(\beta \) की कोसाइन की गणना कर सकते हैं: \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). आप देखते हैं, भुजाओं की लंबाई अलग-अलग होती है, लेकिन एक कोण की कोज्या का मान समान होता है। इस प्रकार, साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श के मान केवल कोण के परिमाण पर निर्भर करते हैं।

यदि आप परिभाषाओं को समझते हैं, तो आगे बढ़ें और उन्हें ठीक करें!

त्रिभुज \(ABC \) के लिए, नीचे चित्र में दिखाया गया है, हम पाते हैं \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\end(सरणी) \)

अच्छा, क्या आपको मिल गया? फिर इसे स्वयं आज़माएं: कोण \(\beta \) के लिए इसकी गणना करें।

उत्तर: \(\sin \ \beta =0.6;\ \cos \\beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

इकाई (त्रिकोणमितीय) वृत्त

डिग्री और रेडियन की अवधारणाओं को समझते हुए, हमने \ (1 \) के बराबर त्रिज्या वाले एक वृत्त पर विचार किया। ऐसा घेरा कहलाता है अकेला. त्रिकोणमिति के अध्ययन में यह बहुत उपयोगी है। इसलिए, हम इस पर थोड़ा और विस्तार से ध्यान केन्द्रित करते हैं।

जैसा कि आप देख सकते हैं, यह सर्कल कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में बनाया गया है। वृत्त की त्रिज्या एक के बराबर है, जबकि वृत्त का केंद्र मूल बिंदु पर स्थित है, त्रिज्या सदिश की प्रारंभिक स्थिति \(x \) अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ तय की गई है (हमारे उदाहरण में, यह है त्रिज्या \(AB \) ).

सर्कल पर प्रत्येक बिंदु दो संख्याओं से मेल खाता है: अक्ष के साथ समन्वय (x \) और अक्ष के साथ समन्वय \ (y \) । ये निर्देशांक संख्याएँ क्या हैं? और सामान्य तौर पर, उन्हें विषय के साथ क्या करना है? ऐसा करने के लिए, माना समकोण त्रिभुज के बारे में याद रखें। ऊपर की आकृति में, आप दो पूर्ण समकोण त्रिभुज देख सकते हैं। त्रिभुज \(ACG \) पर विचार करें। यह आयताकार है क्योंकि \(CG \) \(x \) अक्ष के लंबवत है।

त्रिभुज \(ACG \) से \(\cos \ \alpha \) क्या है? यह सही है \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). इसके अलावा, हम जानते हैं कि \(AC \) इकाई वृत्त की त्रिज्या है, इसलिए \(AC=1 \) । इस मान को हमारे कोज्या सूत्र में प्रतिस्थापित करें। यहाँ क्या होता है:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

और त्रिभुज \(ACG \) से \(\sin \ \alpha \) क्या है? बेशक, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC) \)! इस सूत्र में त्रिज्या \ (AC \) का मान रखें और प्राप्त करें:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

तो, क्या आप मुझे बता सकते हैं कि वृत्त के अंतर्गत आने वाले बिंदु \(C \) के निर्देशांक क्या हैं? अच्छा, कोई रास्ता नहीं? लेकिन क्या होगा अगर आपको एहसास हो कि \(\cos \ \alpha \) और \(\sin \alpha \) सिर्फ संख्याएं हैं? \(\cos \alpha \) किस निर्देशांक से मेल खाता है? ठीक है, निश्चित रूप से, निर्देशांक \(x \)! और \(\sin \alpha \) किस समन्वय से मेल खाता है? यह सही है, \(y \) निर्देशांक! तो बिंदु \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

तब \(tg \alpha \) और \(ctg \alpha \) क्या हैं? यह सही है, चलो स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श की उपयुक्त परिभाषाओं का उपयोग करें और इसे प्राप्त करें \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), ए \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

क्या होगा अगर कोण बड़ा है? यहाँ, उदाहरण के लिए, जैसा कि इस चित्र में है:

इस उदाहरण में क्या बदला है? आइए इसका पता लगाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम फिर से एक समकोण त्रिभुज की ओर मुड़ते हैं। एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : एक कोण (कोण \(\beta \) के सन्निकट)। एक कोण के लिए ज्या, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श का मान क्या है \(((सी)_(1))((ए)_(1))जी=180()^\circ -\बीटा \\)? यह सही है, हम त्रिकोणमितीय कार्यों की संबंधित परिभाषाओं का पालन करते हैं:

\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (ए)_(1))((सी)_(1)))=\dfrac(((सी)_(1))जी)(1)=((सी)_(1))जी=वाई; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((सी)_(1))=\dfrac(((ए)_(1))जी)(1)=((ए)_(1))जी=x;\\tg\angle ((सी )_(1))((ए)_(1))जी=\dfrac(((सी)_(1))जी)(((ए)_(1))जी)=\dfrac(y)( x);\\ctg\angle ((सी)_(1))((ए)_(1))जी=\dfrac(((ए)_(1))जी)(((सी)_(1) ))G)=\dfrac(x)(y)\end(सरणी) \)

ठीक है, जैसा कि आप देख सकते हैं, कोण की ज्या का मान अभी भी निर्देशांक \ (y \) के अनुरूप है; कोण के कोज्या का मान - निर्देशांक \ (x \); और इसी अनुपात के लिए स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श के मान। इस प्रकार, ये संबंध त्रिज्या वेक्टर के किसी भी घुमाव पर लागू होते हैं।

यह पहले ही उल्लेख किया जा चुका है कि त्रिज्या सदिश की प्रारंभिक स्थिति \(x \) अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ है। अब तक हमने इस सदिश को वामावर्त घुमाया है, लेकिन यदि हम इसे दक्षिणावर्त घुमाएँ तो क्या होगा? कुछ भी असाधारण नहीं, आपको एक निश्चित आकार का कोण भी मिलेगा, लेकिन वह केवल ऋणात्मक होगा। इस प्रकार, त्रिज्या वेक्टर को वामावर्त घुमाने पर, हमें मिलता है सकारात्मक कोण, और दक्षिणावर्त घुमाने पर - नकारात्मक।

तो, हम जानते हैं कि सर्कल के चारों ओर त्रिज्या वेक्टर की पूरी क्रांति \(360()^\circ \) या \(2\pi \) है। क्या त्रिज्या वेक्टर को \(390()^\circ \) या \(-1140()^\circ \) द्वारा घुमाना संभव है? खैर, बिल्कुल आप कर सकते हैं! पहले मामले में, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), इसलिए रेडियस वेक्टर एक पूरा चक्कर लगाएगा और \(30()^\circ \) या \(\dfrac(\pi )(6) \) पर रुकेगा।

दूसरे मामले में, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), अर्थात, त्रिज्या सदिश तीन पूर्ण चक्कर लगाएगा और \(-60()^\circ \) या \(-\dfrac(\pi )(3) \) स्थिति पर रुकेगा।

इस प्रकार, उपरोक्त उदाहरणों से, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि जो कोण \(360()^\circ \cdot m \) या \(2\pi \cdot m \) से भिन्न होते हैं (जहाँ \(m \) कोई पूर्णांक है) त्रिज्या वेक्टर की समान स्थिति के अनुरूप।

नीचे दिया गया चित्र कोण \(\beta =-60()^\circ \) दिखाता है। वही छवि कोने से मेल खाती है \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \)वगैरह। इस सूची को अनिश्चित काल तक जारी रखा जा सकता है। इन सभी कोणों को सामान्य सूत्र से लिखा जा सकता है \(\बीटा +360()^\circ \cdot m \)या \(\beta +2\pi \cdot m \) (जहाँ \(m \) कोई पूर्णांक है)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(सरणी) \)

अब, मूल त्रिकोणमितीय कार्यों की परिभाषाओं को जानने और यूनिट सर्कल का उपयोग करने का उत्तर देने का प्रयास करें कि मान किसके बराबर हैं:

\(\शुरू(सरणी)(एल)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(सरणी) \)

आपकी सहायता के लिए यहां एक यूनिट सर्कल है:

कोई कठिनाई? तो चलिए इसका पता लगाते हैं। तो हम जानते हैं कि:

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x) )(y).\end(सरणी) \)

यहाँ से, हम कोण के कुछ मापों के अनुरूप बिंदुओं के निर्देशांक निर्धारित करते हैं। ठीक है, चलो क्रम में शुरू करते हैं: कोने में \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \)निर्देशांक के साथ एक बिंदु से मेल खाती है \(\बाएं(0;1 \दाएं) \) , इसलिए:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \);

\(\cos 90()^\circ =x=0 \);

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- मौजूद नहीं होना;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

इसके अलावा, उसी तर्क का पालन करते हुए, हम पाते हैं कि कोने अंदर हैं \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ )निर्देशांक वाले बिंदुओं के अनुरूप \(\बाएं(-1;0 \दाएं),\पाठ()\बाएं(0;-1 \दाएं),\पाठ()\बाएं(1;0 \दाएं),\पाठ() \बाएं(0 ;1 \दाहिना) \), क्रमश। यह जानकर, त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों को संबंधित बिंदुओं पर निर्धारित करना आसान है। पहले स्वयं प्रयास करें, फिर उत्तरों की जाँच करें।

उत्तर:

\(\displaystyle \sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =-1 \)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- मौजूद नहीं

\(\sin \ 270()^\circ =-1 \)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- मौजूद नहीं

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \ 360()^\circ =0 \)

\(\cos \ 360()^\circ =1 \)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- मौजूद नहीं

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \बाएं(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- मौजूद नहीं

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

इस प्रकार, हम निम्न तालिका बना सकते हैं:

इन सभी मूल्यों को याद रखने की जरूरत नहीं है। यूनिट सर्कल पर बिंदुओं के निर्देशांक और त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों के बीच पत्राचार को याद रखना पर्याप्त है:

\(\लेफ्ट। dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(याद रखने या आउटपुट करने में सक्षम होने की आवश्यकता है !! \) !}

और यहाँ कोणों के त्रिकोणमितीय कार्यों के मान हैं और \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4) \)नीचे दी गई तालिका में, आपको याद रखना चाहिए:

डरने की जरूरत नहीं है, अब हम संबंधित मूल्यों के काफी सरल संस्मरण के उदाहरणों में से एक दिखाएंगे:

इस पद्धति का उपयोग करने के लिए, तीनों कोण उपायों के लिए साइन मानों को याद रखना महत्वपूर्ण है ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3) \)), साथ ही \(30()^\circ \) में कोण के स्पर्शरेखा का मान। इन \(4\) मानों को जानने के बाद, संपूर्ण तालिका को पुनर्स्थापित करना काफी आसान है - कोसाइन मानों को तीरों के अनुसार स्थानांतरित किया जाता है, अर्थात:

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \\\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3) ))(2) \ \ end (सरणी) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), यह जानकर, मूल्यों को पुनर्स्थापित करना संभव है \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). अंश "\(1 \)" \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) से मेल खाएगा, और भाजक "\(\sqrt(\text(3)) \)" \ से मेल खाएगा (\text (tg)\ 60()^\circ \ \) । चित्र में दिखाए गए तीरों के अनुसार स्पर्शरेखा मूल्यों को स्थानांतरित किया जाता है। यदि आप इसे समझते हैं और तीर के साथ योजना को याद करते हैं, तो यह तालिका से केवल \(4\) मान याद रखने के लिए पर्याप्त होगा।

एक वृत्त पर एक बिंदु के निर्देशांक

क्या सर्कल के केंद्र के निर्देशांक, इसकी त्रिज्या और रोटेशन के कोण को जानते हुए, एक सर्कल पर एक बिंदु (इसके निर्देशांक) खोजना संभव है? खैर, बिल्कुल आप कर सकते हैं! आइए एक बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए एक सामान्य सूत्र प्राप्त करें। यहाँ, उदाहरण के लिए, हमारे पास ऐसा एक चक्र है:

हमें वह बिंदु दिया गया है \(के(((x)_(0));((y)_(0)))=के(3;2) \)वृत्त का केंद्र है। वृत्त की त्रिज्या \(1,5 \) है। बिंदु \(O\) को \(\delta\) डिग्री घुमाकर प्राप्त बिंदु \(P\) के निर्देशांक ज्ञात करना आवश्यक है।

जैसा कि चित्र से देखा जा सकता है, बिंदु \ (P \) का निर्देशांक \ (x \) खंड \ (TP=UQ=UK+KQ \) की लंबाई से मेल खाता है। खंड \ (यूके \) की लंबाई सर्कल के केंद्र के समन्वय \ (x \) से मेल खाती है, अर्थात यह \ (3 \) के बराबर है। कोसाइन की परिभाषा का उपयोग करके खंड \ (KQ \) की लंबाई व्यक्त की जा सकती है:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

फिर हमारे पास बिंदु \(P \) के लिए निर्देशांक है \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).

उसी तर्क से, हम बिंदु \(P \) के लिए y निर्देशांक का मान ज्ञात करते हैं। इस प्रकार,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).

तो, सामान्य शब्दों में, बिंदुओं के निर्देशांक सूत्रों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \ डेल्टा \ अंत (सरणी) \), कहाँ

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - वृत्त के केंद्र के निर्देशांक,

\(r\) - वृत्त की त्रिज्या,

\(\delta \) - सदिश त्रिज्या का घूर्णन कोण।

जैसा कि आप देख सकते हैं, यूनिट सर्कल के लिए हम विचार कर रहे हैं, ये सूत्र काफी कम हो गए हैं, क्योंकि केंद्र के निर्देशांक शून्य हैं, और त्रिज्या एक के बराबर है:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =(((y)_(0))+r\cdot \sin \\delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(सरणी) \)