Diferencijalne jednadžbe online. Diferencijalne jednadžbe

Diferencijalne jednadžbe prvog reda. Primjeri rješenja.
Diferencijalne jednadžbe sa separabilnim varijablama

Diferencijalne jednadžbe (DE). Ove dvije riječi obično užasnu prosječnog laika. Čini se da su diferencijalne jednadžbe nešto nečuveno i teško za svladati za mnoge učenike. Uuuuuu… diferencijalne jednadžbe, kako bih ja sve ovo preživio?!

Takvo mišljenje i takav stav je u osnovi pogrešan jer u stvari DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE SU JEDNOSTAVNE, PA ČAK ZABAVNE. Što trebate znati i moći naučiti rješavati diferencijalne jednadžbe? Da biste uspješno proučavali razlike, morate biti dobri u integraciji i razlikovanju. Što se bolje proučavaju teme Derivacija funkcije jedne varijable I Neodređeni integral, to će biti lakše razumjeti diferencijalne jednadžbe. Reći ću više, ako imate više ili manje pristojne vještine integracije, onda je tema praktički svladana! Što je više integrala različite vrste znate odlučiti – tim bolje. Zašto? Morate puno toga integrirati. I razlikovati. Također visoko preporučeno naučiti pronaći.

U 95% slučajeva u kontrolni rad postoje 3 vrste diferencijalnih jednadžbi prvog reda: separabilne jednadžbe, koje ćemo obraditi u ovoj lekciji; homogene jednadžbe I linearne nehomogene jednadžbe. Za početnike u proučavanju difuzora, savjetujem vam da čitate lekcije ovim redoslijedom, a nakon proučavanja prva dva članka, neće škoditi učvrstiti svoje vještine u dodatnoj radionici - jednadžbe koje se svode na homogene.

Postoje još rjeđe vrste diferencijalnih jednadžbi: jednadžbe u totalnim diferencijalima, Bernoullijeve jednadžbe i neke druge. Od posljednja dva tipa najvažnije su jednadžbe u totalnim diferencijalima, budući da, uz ovaj DE, smatram novi materijal – djelomična integracija.

Ako imate još samo dan ili dva, To za ultra brzu pripremu Tamo je blitz tečaj u pdf formatu.

Dakle, orijentiri su postavljeni - idemo:

Prvo se prisjetimo uobičajenih algebarskih jednadžbi. Sadrže varijable i brojeve. Najjednostavniji primjer: . Što znači riješiti običnu jednadžbu? Ovo znači pronaći skup brojeva koji zadovoljavaju ovu jednadžbu. Lako je vidjeti da dječja jednadžba ima jedan korijen: . Za zabavu, napravimo provjeru, zamijenimo pronađeni korijen u našu jednadžbu:

- dobivena je točna jednakost, što znači da je rješenje točno pronađeno.

Difuzi su raspoređeni otprilike na isti način!

Diferencijalna jednadžba prva narudžba općenito sadrži:
1) nezavisna varijabla ;
2) zavisna varijabla (funkcija);
3) prvi izvod funkcije: .

U nekim jednadžbama 1. reda možda nema "x" ili (i) "y", ali to nije bitno - važno tako da u DU bio je prva derivacija, i nisu imali izvedenice viših redova - , itd.

Što znači ? Riješiti diferencijalnu jednadžbu znači pronaći skup svih funkcija koji zadovoljavaju ovu jednadžbu. Takav skup funkcija često ima oblik ( je proizvoljna konstanta), koja se naziva opće rješenje diferencijalne jednadžbe.

Primjer 1

Riješite diferencijalnu jednadžbu

Puna municija. Gdje početi riješenje?

Prije svega, morate prepisati izvedenicu u nešto drugačijem obliku. Podsjećamo na glomazan zapis koji su mnogi od vas vjerojatno smatrali smiješnim i nepotrebnim. To je ono što vlada u difuzerima!

U drugom koraku, da vidimo je li moguće split varijable?Što znači razdvojiti varijable? Grubo rečeno, s lijeve strane moramo otići samo "igrice", A na desnoj strani organizirati samo x-ovi. Razdvajanje varijabli provodi se uz pomoć „školskih“ manipulacija: zagradama, prijenosom pojmova s ​​dijela na dio s promjenom predznaka, prijenosom faktora s dijela na dio prema pravilu proporcije itd.

Diferencijali i puni su množitelji i aktivni sudionici neprijateljstava. U ovom primjeru, varijable se lako odvajaju preokretanjem faktora prema pravilu proporcije:

Varijable su odvojene. S lijeve strane - samo "Igra", s desne strane - samo "X".

Sljedeća razina - integracija diferencijalne jednadžbe. Jednostavno je, objesimo integrale na oba dijela:

Naravno, integrali se moraju uzeti. U ovom slučaju, oni su tablični:

Kao što se sjećamo, konstanta se dodjeljuje svakom antiderivatu. Ovdje postoje dva integrala, ali konstantu je dovoljno napisati jednom (jer je konstanta + konstanta još uvijek jednaka drugoj konstanti). U većini slučajeva postavlja se na desnu stranu.

Strogo govoreći, nakon što se uzmu integrali, smatra se da je diferencijalna jednadžba riješena. Jedino što naše “y” nije izraženo kroz “x”, odnosno prikazano je rješenje u implicitnom oblik. Implicitno rješenje diferencijalne jednadžbe naziva se opći integral diferencijalne jednadžbe. To jest, je opći integral.

Odgovor u ovom obliku sasvim je prihvatljiv, ali postoji li bolja opcija? Pokušajmo dobiti zajednička odluka.

Molim, zapamtite prvu tehniku, vrlo je čest i često se koristi u praktičnim zadacima: ako se nakon integracije na desnoj strani pojavi logaritam, tada je u mnogim slučajevima (ali nikako uvijek!) preporučljivo upisati i konstantu ispod logaritma.

To je, UMJESTO zapisi se obično pišu .

Zašto je ovo potrebno? A kako bi se lakše izrazilo "y". Koristimo svojstvo logaritama . U ovom slučaju:

Sada se logaritmi i moduli mogu ukloniti:

Funkcija je predstavljena eksplicitno. Ovo je opće rješenje.

Odgovor: zajednička odluka: .

Odgovore na mnoge diferencijalne jednadžbe prilično je lako provjeriti. U našem slučaju to se radi vrlo jednostavno, uzimamo pronađeno rješenje i razlikujemo ga:

Zatim zamijenimo derivaciju u izvornu jednadžbu:

- dobivena je točna jednakost, što znači da opće rješenje zadovoljava jednadžbu , što je bilo potrebno provjeriti.

Davanje konstante razna značenja, možete dobiti beskonačno mnogo privatne odluke diferencijalna jednadžba. Jasno je da bilo koja od funkcija , , itd. zadovoljava diferencijalnu jednadžbu.

Ponekad se zove opće rješenje obitelj funkcija. U ovaj primjer zajednička odluka je obitelj linearnih funkcija, ili bolje rečeno, obitelj izravnih proporcionalnosti.

Nakon detaljne rasprave o prvom primjeru, prikladno je odgovoriti na nekoliko naivnih pitanja o diferencijalnim jednadžbama:

1)U ovom smo primjeru uspjeli razdvojiti varijable. Je li to uvijek moguće učiniti? Ne, ne uvijek. A još češće se varijable ne mogu razdvojiti. Na primjer, u homogene jednadžbe prvog reda mora se prvo zamijeniti. U drugim vrstama jednadžbi, na primjer, u linearnoj nehomogenoj jednadžbi prvog reda, morate koristiti razne trikove i metode kako biste pronašli opće rješenje. Jednadžbe separabilnih varijabli koje gledamo u prvoj lekciji su − najjednostavniji tip diferencijalne jednadžbe.

2) Je li uvijek moguće integrirati diferencijalnu jednadžbu? Ne, ne uvijek. Vrlo je lako doći do "fancy" jednadžbe koja se ne može integrirati, osim toga, postoje integrali koji se ne mogu uzeti. Ali takve DE se mogu približno riješiti posebnim metodama. D'Alembert i Cauchy jamče... ...uf, lurkmore.to Upravo sam puno čitao, skoro sam dodao "s onoga svijeta."

3) U ovom primjeru dobili smo rješenje u obliku općeg integrala . Je li uvijek moguće pronaći opće rješenje iz općeg integrala, odnosno izraziti "y" u eksplicitnom obliku? Ne, ne uvijek. Na primjer: . Pa, kako da izrazim "y" ovdje?! U takvim slučajevima odgovor treba napisati kao opći integral. Osim toga, ponekad se može pronaći opće rješenje, ali ono je napisano toliko glomazno i ​​nespretno da je bolje ostaviti odgovor u obliku općeg integrala

4) ...možda dosta za sada. U prvom primjeru smo se upoznali Još jedan važna točka , ali kako ne bi "lutke" zatrpala lavina nove informacije Ostavit ću to do sljedeće lekcije.

Nemojmo žuriti. Još jedan jednostavan daljinski upravljač i još jedno tipično rješenje:

Primjer 2

Naći određeno rješenje diferencijalne jednadžbe koje zadovoljava početni uvjet

Riješenje: prema stanju koje je potrebno pronaći privatno rješenje DE koji zadovoljava zadani početni uvjet. Ovakvo ispitivanje se također naziva Cauchyjev problem.

Prvo pronalazimo opće rješenje. U jednadžbi nema varijable "x", ali to ne bi trebalo biti neugodno, glavno je da ima prvu derivaciju.

Prepisujemo izvedenicu u željeni oblik:

Očito, varijable se mogu podijeliti, dječaci lijevo, djevojčice desno:

Integriramo jednadžbu:

Dobije se opći integral. Ovdje sam nacrtao konstantu sa zvijezdom naglaskom, činjenica je da će se vrlo brzo pretvoriti u drugu konstantu.

Sada pokušavamo pretvoriti opći integral u opće rješenje (eksplicitno izraziti "y"). Sjećamo se stare, dobre, škole: . U ovom slučaju:

Konstanta u indikatoru izgleda nekako ne košer, pa se obično spušta s neba na zemlju. U detalje, to se događa ovako. Koristeći svojstvo stupnjeva, prepisujemo funkciju na sljedeći način:

Ako je konstanta, onda je i neka konstanta, označite je slovom:

Zapamtite "rušenje" konstante je druga tehnika, koji se često koristi u tijeku rješavanja diferencijalnih jednadžbi.

Dakle, opće rješenje je: Tako lijepa obitelj eksponencijalnih funkcija.

U završnoj fazi potrebno je pronaći određeno rješenje koje zadovoljava zadani početni uvjet. Također je jednostavno.

Što je zadatak? Treba pokupiti takav vrijednost konstante za zadovoljenje uvjeta .

Možete ga organizirati na različite načine, ali najrazumljiviji će možda biti ovakav. U općem rješenju umjesto "x" zamijenimo nulu, a umjesto "y" dva:



To je,

Standardna verzija dizajna:

Sada zamijenimo pronađenu vrijednost konstante u opće rješenje:
– ovo je konkretno rješenje koje nam treba.

Odgovor: privatno rješenje:

Napravimo provjeru. Provjera pojedinog rješenja uključuje dvije faze:

Prvo je potrebno provjeriti zadovoljava li pronađeno partikularno rješenje stvarno početni uvjet ? Umjesto "x" zamijenimo nulu i vidimo što se događa:
- da, zaista, dobivena je dvojka, što znači da je početni uvjet zadovoljen.

Druga faza je već poznata. Uzimamo rezultirajuće partikularno rješenje i nalazimo izvod:

Zamijenite u izvornoj jednadžbi:

- dobije se ispravna jednakost.

Zaključak: određeno rješenje je točno pronađeno.

Prijeđimo na smislenije primjere.

Primjer 3

Riješite diferencijalnu jednadžbu

Riješenje: Prepisujemo derivat u obliku koji nam je potreban:

Procjena mogu li se varijable odvojiti? Limenka. Drugi član prenosimo na desnu stranu s promjenom predznaka:

I okrećemo faktore prema pravilu proporcije:

Varijable su odvojene, integrirajmo oba dijela:

Moram vas upozoriti, dolazi sudnji dan. Ako nisi dobro naučio neodređeni integrali, riješili nekoliko primjera, onda nemate kamo - morate ih sada savladati.

Integral lijeve strane lako je pronaći, s integralom kotangensa bavimo se standardnom tehnikom koju smo razmatrali u lekciji Integracija trigonometrijskih funkcija prošle godine:

Na desnoj strani imamo logaritam, a prema mojoj prvoj tehničkoj preporuci, ispod logaritma treba napisati i konstantu.

Sada pokušavamo pojednostaviti opći integral. Budući da imamo samo logaritme, sasvim je moguće (i potrebno) riješiti ih se. Pomoću poznata svojstva maksimalno "spakirati" logaritme. Napisat ću vrlo detaljno:

Ambalaža je gotova da bude barbarski pohabana:

Je li moguće izraziti "y"? Limenka. Oba dijela moraju biti na kvadrat.

Ali ne moraš.

Treći tehnički savjet: ako za dobivanje općeg rješenja trebate podići na stupanj ili se ukorijeniti, tada U većini slučajeva trebate se suzdržati od ovih radnji i ostaviti odgovor u obliku općeg integrala. Činjenica je da će opće rješenje izgledati jednostavno užasno - s velikim korijenima, znakovima i drugim smećem.

Stoga odgovor zapisujemo kao opći integral. Smatra se dobrim oblikom prikazati ga u obliku, odnosno s desne strane, ako je moguće, ostaviti samo konstantu. Nije potrebno, ali je uvijek korisno ugoditi profesoru ;-)

Odgovor: opći integral:

! Bilješka: opći integral bilo koje jednadžbe može se napisati na više načina. Dakle, ako se vaš rezultat nije podudarao s prethodno poznatim odgovorom, to ne znači da ste jednadžbu riješili netočno.

Opći integral se također provjerava prilično lako, glavna stvar je biti u mogućnosti pronaći izvod implicitno definirane funkcije. Razlikujmo odgovor:

Oba člana množimo sa:

I dijelimo sa:

Izvorna diferencijalna jednadžba dobivena je točno, što znači da je opći integral točno pronađen.

Primjer 4

Naći određeno rješenje diferencijalne jednadžbe koje zadovoljava početni uvjet. Izvršite provjeru.

Ovo je primjer za neovisna odluka.

Podsjećam vas da se algoritam sastoji od dvije faze:
1) pronalaženje općeg rješenja;
2) pronalaženje traženog partikularnog rješenja.

Provjera se također provodi u dva koraka (vidi uzorak u primjeru br. 2), potrebno je:
1) osigurati da određeno pronađeno rješenje zadovoljava početni uvjet;
2) provjeriti da određeno rješenje općenito zadovoljava diferencijalnu jednadžbu.

Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Primjer 5

Pronađite posebno rješenje diferencijalne jednadžbe , zadovoljavajući početni uvjet. Izvršite provjeru.

Riješenje: Najprije pronađimo opće rješenje. Ova jednadžba već sadrži gotove diferencijale i , što znači da je rješenje pojednostavljeno. Razdvajanje varijabli:

Integriramo jednadžbu:

Integral s lijeve strane je tablični, integral s desne strane je uzet metoda zbrajanja funkcije pod predznakom diferencijala:

Opći integral je dobiven, je li moguće uspješno izraziti opće rješenje? Limenka. Objesimo logaritme s obje strane. Budući da su pozitivni, predznaci modula su suvišni:

(Nadam se da svi razumiju transformaciju, takve stvari bi se već trebale znati)

Dakle, opće rješenje je:

Pronađimo određeno rješenje koje odgovara zadanom početnom uvjetu.
U općem rješenju, umjesto "x" zamjenjujemo nulu, a umjesto "y" logaritam dva:

Poznatiji dizajn:

Nađenu vrijednost konstante zamijenimo u opće rješenje.

Odgovor: privatno rješenje:

Provjera: Prvo provjerite je li ispunjen početni uvjet:
- sve je dobro.

Sada provjerimo zadovoljava li pronađeno partikularno rješenje uopće diferencijalnu jednadžbu. Nalazimo izvod:

Pogledajmo izvornu jednadžbu: – prikazuje se u diferencijalima. Postoje dva načina provjere. Iz pronađene derivacije moguće je izraziti diferencijal:

Nađeno partikularno rješenje i dobiveni diferencijal zamjenjujemo u izvornu jednadžbu :

Koristimo osnovni logaritamski identitet:

Dobivena je točna jednakost, što znači da je određeno rješenje točno pronađeno.

Drugi način provjere je preslikan i poznatiji: iz jednadžbe izraziti izvod, za to dijelimo sve dijelove sa:

I u transformiranom DE supstituiramo dobiveno partikularno rješenje i pronađenu derivaciju. Kao rezultat pojednostavljenja trebala bi se također dobiti ispravna jednakost.

Primjer 6

Riješite diferencijalnu jednadžbu. Odgovor izrazite općim integralom.

Ovo je primjer za samostalno rješavanje, potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Koje poteškoće očekuju u rješavanju diferencijalnih jednadžbi sa separabilnim varijablama?

1) Nije uvijek očito (osobito čajniku) da se varijable mogu odvojiti. Razmotrimo uvjetni primjer: . Ovdje trebate izvaditi faktore iz zagrada: i odvojiti korijene:. Jasno je kako dalje.

2) Poteškoće u samoj integraciji. Integrali često nastaju ne najjednostavniji, i ako postoje nedostaci u vještinama pronalaženja neodređeni integral, onda će biti teško s mnogo difuzora. Osim toga, popularni su sastavljači zbirki i priručnika s logikom "budući da je diferencijalna jednadžba jednostavna, onda će barem integrali biti kompliciraniji."

3) Transformacije s konstantom. Kao što su svi primijetili, konstantom u diferencijalnim jednadžbama može se baratati prilično slobodno, a neke transformacije nisu uvijek jasne početniku. Pogledajmo još jedan hipotetski primjer: . U njemu je preporučljivo sve članove pomnožiti s 2: . Rezultirajuća konstanta je također neka vrsta konstante, koja se može označiti sa: . Da, a budući da je na desnoj strani logaritam, preporučljivo je prepisati konstantu kao drugu konstantu: .

Problem je što se često ne zamaraju indeksima i koriste isto slovo. Kao rezultat toga, zapisnik odluke ima sljedeći oblik:

Kakva hereza? Evo grešaka! Strogo govoreći, da. Međutim, sa sadržajnog gledišta, pogreške nema, jer se kao rezultat transformacije varijable konstante ipak dobiva varijabla konstanta.

Ili drugi primjer, pretpostavimo da je tijekom rješavanja jednadžbe dobiven opći integral. Ovaj odgovor izgleda ružno, pa je preporučljivo promijeniti predznak svakog pojma: . Formalno opet greška - desno bi trebalo pisati . Ali neformalno se implicira da je "minus ce" još uvijek konstanta ( koji jednako dobro poprima sve vrijednosti!), tako da stavljanje "minusa" nema smisla i možete koristiti isto slovo.

Pokušat ću izbjeći nepažljiv pristup, i dalje stavljati različite indekse za konstante prilikom njihove pretvorbe.

Primjer 7

Riješite diferencijalnu jednadžbu. Izvršite provjeru.

Riješenje: Ova jednadžba dopušta razdvajanje varijabli. Razdvajanje varijabli:

Integriramo:

Konstanta ovdje ne mora biti definirana pod logaritmom, jer ništa dobro neće proizaći iz toga.

Odgovor: opći integral:

Provjerite: Diferencirajte odgovor (implicitna funkcija):

Riješimo se razlomaka, za to množimo oba člana sa:

Dobivena je izvorna diferencijalna jednadžba, što znači da je opći integral točno nađen.

Primjer 8

Pronađite partikularno rješenje DE.
,

Ovo je primjer "uradi sam". Jedina naznaka je da ovdje dobivate opći integral, i, točnije, morate se potruditi pronaći ne određeno rješenje, već privatni integral. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Prisjetimo se problema s kojim smo se suočili pri pronalaženju određenih integrala:

odnosno dy = f(x)dx. Njeno rješenje:

a svodi se na kalkuliranje neodređeni integral. U praksi je češći teži zadatak: pronaći funkciju g, ako se zna da zadovoljava relaciju oblika

Ova relacija povezuje nezavisnu varijablu x, nepoznata funkcija g i njegovih izvedenica do reda n uključivo, nazivaju se .

Diferencijalna jednadžba uključuje funkciju pod predznakom derivacija (ili diferencijala) jednog ili drugog reda. Red najviših naziva se red (9.1) .

Diferencijalne jednadžbe:

- prva narudžba

druga narudžba,

- peti red itd.

Funkcija koja zadovoljava zadanu diferencijalnu jednadžbu naziva se njezino rješenje , odnosno integralni . Riješiti ga znači pronaći sva njegova rješenja. Ako za željenu funkciju g uspjeli dobiti formulu koja daje sva rješenja, onda kažemo da smo pronašli njezino opće rješenje , ili opći integral .

Zajednička odluka sadrži n proizvoljne konstante i izgleda kao

Ako se dobije relacija koja se odnosi x, y I n proizvoljne konstante, u nedopuštenom obliku s obzirom na g -

onda se takva relacija naziva općim integralom jednadžbe (9.1).

Cauchyjev problem

Svaki specifično rješenje, tj. svaka specifična funkcija koja zadovoljava zadanu diferencijalnu jednadžbu i ne ovisi o proizvoljnim konstantama naziva se posebnim rješenjem , ili privatni integral. Za dobivanje partikularnih rješenja (integrala) iz općih, potrebno je konstantama pridružiti određene numeričke vrijednosti.

Graf određenog rješenja naziva se integralna krivulja. Opće rješenje, koje sadrži sva partikularna rješenja, je familija integralnih krivulja. Za jednadžbu prvog reda ova obitelj ovisi o jednoj proizvoljnoj konstanti; za jednadžbu n red - od n proizvoljne konstante.

Cauchyjev problem je pronaći određeno rješenje jednadžbe n reda, zadovoljavajuće n početni uvjeti:

koji određuju n konstanti s 1 , s 2 ,..., c n.

Diferencijalne jednadžbe 1. reda

Za nerazriješenu u odnosu na derivaciju diferencijalna jednadžba 1. reda ima oblik

ili za dopušteno relativno

Primjer 3.46. Pronađite opće rješenje jednadžbe

Riješenje. Integracijom, dobivamo

gdje je C proizvoljna konstanta. Ako C-u damo specifične numeričke vrijednosti, tada dobivamo određena rješenja, na primjer,

Primjer 3.47. Razmotrite sve veći iznos novca položen u banci, podložan obračunu od 100 r složene kamate godišnje. Neka Yo bude početni iznos novca, a Yx nakon isteka x godine. Kada se kamata obračunava jednom godišnje, dobijemo

gdje je x = 0, 1, 2, 3,.... Kada se kamata obračunava dva puta godišnje, dobivamo

gdje je x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... Prilikom izračunavanja kamata n jednom godišnje i ako x uzima uzastopno vrijednosti 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., zatim

Označimo 1/n = h, tada će prethodna jednakost izgledati ovako:

S neograničenim povećanjem n(na ) u limitu dolazimo do procesa povećanja iznosa novca uz kontinuirani obračun kamata:

Tako se vidi da uz kontinuiranu promjenu x zakon promjene novčane mase izražava se diferencijalnom jednadžbom 1. reda. Gdje je Y x nepoznata funkcija, x- neovisna varijabla, r- konstantno. Rješavamo ovu jednadžbu, za to je prepisujemo na sljedeći način:

gdje , ili , gdje P predstavlja e C .

Iz početnih uvjeta Y(0) = Yo nalazimo P: Yo = Pe o, odakle je Yo = P. Stoga rješenje izgleda ovako:

Razmotrimo drugi ekonomski problem. Makroekonomski modeli također se opisuju linearnim diferencijalnim jednadžbama 1. reda, opisujući promjenu dohotka ili outputa Y kao funkciju vremena.

Primjer 3.48. Neka nacionalni dohodak Y raste po stopi proporcionalnoj njegovoj veličini:

i neka je deficit državne potrošnje izravno proporcionalan dohotku Y uz koeficijent proporcionalnosti q. Manjak potrošnje dovodi do povećanja državnog duga D:

Početni uvjeti Y = Yo i D = Do pri t = 0. Iz prve jednadžbe Y= Yoe kt . Zamjenom Y dobivamo dD/dt = qYoe kt . Opće rješenje ima oblik
D = (q/ k) Yoe kt +S, gdje je S = const, koja se određuje iz početnih uvjeta. Zamjenom početnih uvjeta dobivamo Do = (q/k)Yo + C. Dakle, konačno,

D = Do +(q/k)Yo (e kt -1),

to pokazuje da nacionalni dug raste istom relativnom stopom k, što je nacionalni dohodak.

Razmotrimo najjednostavnije diferencijalne jednadžbe n reda, to su jednadžbe oblika

Njegovo opće rješenje može se dobiti pomoću n vremena integracije.

Primjer 3.49. Razmotrimo primjer y """ = cos x.

Riješenje. Integrirajući, nalazimo

Opće rješenje ima oblik

Linearne diferencijalne jednadžbe

U ekonomiji su od velike koristi, razmotrite rješenje takvih jednadžbi. Ako (9.1) ima oblik:

tada se zove linearna, gdje su po(x), p1(x),..., pn(x), f(x) zadane funkcije. Ako je f(x) = 0, tada se (9.2) naziva homogenim, a u protivnom nehomogenim. Opće rješenje jednadžbe (9.2) jednako je zbroju bilo kojeg od njezinih posebnih rješenja y(x) i njemu odgovarajuće opće rješenje homogene jednadžbe:

Ako su koeficijenti p o (x), p 1 (x),..., p n (x) konstante, tada je (9.2)

(9.4) naziva se linearna diferencijalna jednadžba s konstantnim koeficijentima reda n .

Za (9.4) ima oblik:

Bez gubitka općenitosti možemo postaviti p o = 1 i (9.5) napisati u obliku

Rješenje (9.6) ćemo tražiti u obliku y = e kx , gdje je k konstanta. Imamo: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx . Dobivene izraze zamijenimo u (9.6) imat ćemo:

(9.7) je algebarska jednadžba, njena nepoznanica je k, naziva se karakterističnim. Karakteristična jednadžba ima stupanj n I n korijeni, među kojima mogu biti i višestruki i složeni. Neka su k 1 , k 2 ,..., k n tada realni i različiti su partikularna rješenja (9.7), dok su opća

Razmotrimo linearnu homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim koeficijentima:

Njegova karakteristična jednadžba ima oblik

(9.9)

njegov diskriminant D = p 2 - 4q, ovisno o predznaku D moguća su tri slučaja.

1. Ako je D>0, tada su korijeni k 1 i k 2 (9.9) realni i različiti, a opće rješenje ima oblik:

Riješenje. Karakteristična jednadžba: k 2 + 9 = 0, odakle je k = ± 3i, a = 0, b = 3, opće rješenje je:

y = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x.

Linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda koriste se za proučavanje ekonomskog modela poput mreže sa zalihama robe, gdje stopa promjene cijene P ovisi o veličini zaliha (vidi paragraf 10). Ako su ponuda i potražnja linearne funkcije cijene, tj.

a - je konstanta koja određuje brzinu reakcije, tada se proces promjene cijene opisuje diferencijalnom jednadžbom:

Za određeno rješenje možete uzeti konstantu

koja ima značenje ravnotežne cijene. Odstupanje zadovoljava homogenu jednadžbu

(9.10)

Karakteristična jednadžba bit će sljedeća:

U slučaju, pojam je pozitivan. Označiti . Korijeni karakteristične jednadžbe k 1,2 = ± i w, pa opće rješenje (9.10) ima oblik:

gdje su C i proizvoljne konstante, one se određuju iz početnih uvjeta. Dobili smo zakon promjene cijene u vremenu:

Obična diferencijalna jednadžba zove se jednadžba koja povezuje nezavisnu varijablu, nepoznatu funkciju te varijable i njezine derivacije (ili diferencijale) različitih redova.

Red diferencijalne jednadžbe je red najveće derivacije sadržane u njemu.

Osim običnih, proučavaju se i parcijalne diferencijalne jednadžbe. To su jednadžbe koje povezuju nezavisne varijable, nepoznatu funkciju tih varijabli i njezine parcijalne derivacije u odnosu na iste varijable. Ali samo ćemo razmotriti obične diferencijalne jednadžbe i stoga ćemo zbog kratkoće izostaviti riječ "običan".

Primjeri diferencijalnih jednadžbi:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Jednadžba (1) je četvrtog reda, jednadžba (2) je trećeg reda, jednadžbe (3) i (4) su drugog reda, jednadžba (5) je prvog reda.

Diferencijalna jednadžba n poredak ne mora eksplicitno sadržavati funkciju, sve njezine izvedenice od prve do n reda i nezavisna varijabla. Ne smije eksplicitno sadržavati derivate nekih redova, funkciju, nezavisnu varijablu.

Na primjer, u jednadžbi (1) očito nema izvodnica trećeg i drugog reda, kao ni funkcija; u jednadžbi (2) - izvod i funkcija drugog reda; u jednadžbi (4) - nezavisna varijabla; u jednadžbi (5) – funkcije. Samo jednadžba (3) eksplicitno sadrži sve izvodnice, funkciju i nezavisnu varijablu.

Rješavanjem diferencijalne jednadžbe poziva se bilo koja funkcija y = f(x), zamijenivši to u jednadžbu, pretvara se u identitet.

Postupak pronalaženja rješenja diferencijalne jednadžbe naziva se njezin integracija.

Primjer 1 Pronađite rješenje diferencijalne jednadžbe.

Riješenje. Zapisujemo ovu jednadžbu u obliku . Rješenje je pronaći funkciju po njezinoj derivaciji. Izvorna funkcija, kao što je poznato iz integralnog računa, je antiderivacija za, tj.

To je ono što je rješenje zadane diferencijalne jednadžbe . mijenjajući se u njemu C, dobit ćemo različita rješenja. Otkrili smo da postoji beskonačan broj rješenja diferencijalne jednadžbe prvog reda.

Opće rješenje diferencijalne jednadžbe n red je njegovo rješenje eksplicitno izraženo u odnosu na nepoznatu funkciju i sadrži n nezavisne proizvoljne konstante, tj.

Rješenje diferencijalne jednadžbe u primjeru 1 je opće.

Parcijalno rješenje diferencijalne jednadžbe zove se njegovo rješenje u kojem se specifične numeričke vrijednosti dodjeljuju proizvoljnim konstantama.

Primjer 2 Pronađite opće rješenje diferencijalne jednadžbe i posebno rješenje za .

Riješenje. Oba dijela jednadžbe integriramo toliko puta da red diferencijalne jednadžbe bude jednak.

,

.

Kao rezultat, dobili smo opće rješenje -

dana diferencijalna jednadžba trećeg reda.

Pronađimo sada određeno rješenje pod navedenim uvjetima. Da bismo to učinili, zamijenimo njihove vrijednosti umjesto proizvoljnih koeficijenata i dobijemo

.

Ako je uz diferencijalnu jednadžbu zadan početni uvjet u obliku , tada se takav problem naziva Cauchyjev problem . Vrijednosti i zamjenjuju se u opće rješenje jednadžbe i pronalazi se vrijednost proizvoljne konstante C, a zatim posebno rješenje jednadžbe za nađenu vrijednost C. Ovo je rješenje Cauchyjevog problema.

Primjer 3 Riješite Cauchyjev problem za diferencijalnu jednadžbu iz primjera 1 pod uvjetom .

Riješenje. Zamjenjujemo u opće rješenje vrijednosti iz početnog stanja g = 3, x= 1. Dobivamo

Zapisujemo rješenje Cauchyjevog problema za zadanu diferencijalnu jednadžbu prvog reda:

Rješavanje diferencijalnih jednadžbi, čak i onih najjednostavnijih, zahtijeva dobre vještine integriranja i uzimanja derivata, uključujući složene funkcije. To se može vidjeti u sljedećem primjeru.

Primjer 4 Pronađite opće rješenje diferencijalne jednadžbe.

Riješenje. Jednadžba je napisana u takvom obliku da se obje strane mogu odmah integrirati.

.

Metodu integracije primjenjujemo promjenom varijable (supstitucija). Neka, dakle.

Obavezno uzeti dx a sada - pažnja - radimo to prema pravilima diferencijacije složene funkcije, budući da x i postoji složena funkcija ("jabuka" - ekstrakt korijen ili, što je isto, podizanje na potenciju "jedne sekunde", a "mljeveno meso" je sam izraz ispod korijena):

Nalazimo integral:

Vraćajući se na varijablu x, dobivamo:

.

Ovo je opće rješenje ove diferencijalne jednadžbe prvog stupnja.

Za rješavanje diferencijalnih jednadžbi neće biti potrebne samo vještine iz prethodnih dijelova više matematike, već i vještine iz osnovne, odnosno školske matematike. Kao što je već spomenuto, u diferencijalnoj jednadžbi bilo kojeg reda ne mora postojati nezavisna varijabla, tj. varijabla x. Znanje o proporcijama koje nije zaboravljeno (ipak, svatko ga ima) iz školske klupe pomoći će u rješavanju ovog problema. Ovo je sljedeći primjer.

Ili su već riješeni s obzirom na derivaciju ili se mogu riješiti s obzirom na derivaciju .

Opće rješenje diferencijalnih jednadžbi tipa na intervalu x, koji je dan, može se pronaći uzimanjem integrala obje strane ove jednakosti.

Dobiti .

Ako pogledamo svojstva neodređenog integrala, nalazimo željeno opće rješenje:

y = F(x) + C,

Gdje F(x)- jedan od antiizvoda funkcije f(x) između x, A S je proizvoljna konstanta.

Imajte na umu da je u većini zadataka interval x ne ukazuju. To znači da se mora pronaći rješenje za sve. x, za koju i željenu funkciju g, a izvorna jednadžba ima smisla.

Ako trebate izračunati određeno rješenje diferencijalne jednadžbe koje zadovoljava početni uvjet y(x0) = y0, zatim nakon izračuna općeg integrala y = F(x) + C, još je potrebno odrediti vrijednost konstante C=C0 pomoću početnog stanja. Odnosno konstanta C=C0 određena iz jednadžbe F(x 0) + C = y 0, a željeno partikularno rješenje diferencijalne jednadžbe će imati oblik:

y = F(x) + C0.

Razmotrite primjer:

Naći opće rješenje diferencijalne jednadžbe, provjeriti točnost rezultata. Pronađimo određeno rješenje ove jednadžbe koje bi zadovoljilo početni uvjet .

Riješenje:

Nakon što smo integrirali zadanu diferencijalnu jednadžbu, dobivamo:

.

Ovaj integral uzimamo metodom integracije po dijelovima:

Da., je opće rješenje diferencijalne jednadžbe.

Provjerimo je li rezultat točan. Da bismo to učinili, rješenje koje smo pronašli zamijenimo u zadanu jednadžbu:

.

Odnosno, na originalna jednadžba se pretvara u identitet:

stoga je opće rješenje diferencijalne jednadžbe točno određeno.

Rješenje koje smo pronašli je opće rješenje diferencijalne jednadžbe za svaku realnu vrijednost argumenta x.

Preostaje izračunati pojedino rješenje ODE koje bi zadovoljilo početni uvjet. Drugim riječima, potrebno je izračunati vrijednost konstante S, pri čemu će vrijediti jednakost:

.

.

Zatim, zamjena C = 2 u opće rješenje ODE-a, dobivamo partikularno rješenje diferencijalne jednadžbe koje zadovoljava početni uvjet:

.

Obična diferencijalna jednadžba može se riješiti s obzirom na derivaciju dijeljenjem 2 dijela jednadžbe s f(x). Ova će transformacija biti ekvivalentna ako f(x) ne ide na nulu ni za jednu x iz intervala integracije diferencijalne jednadžbe x.

Situacije su vjerojatne kada, za neke vrijednosti argumenta x ∈ x funkcije f(x) I g(x) u isto vrijeme okrenuti na nulu. Za slične vrijednosti x opće rješenje diferencijalne jednadžbe je bilo koja funkcija g, koji je u njima definiran, jer .

Ako za neke vrijednosti argumenta x ∈ x uvjet je zadovoljen, što znači da u ovom slučaju ODE nema rješenja.

Za sve ostale x iz intervala x iz transformirane jednadžbe određuje se opće rješenje diferencijalne jednadžbe.

Pogledajmo primjere:

Primjer 1

Nađimo opće rješenje ODE-a: .

Riješenje.

Iz svojstava osnovnih elementarnih funkcija jasno je da je funkcija prirodnog logaritma definirana za nenegativne vrijednosti argumenta, dakle domena izraza log(x+3) postoji interval x > -3 . Dakle, navedena diferencijalna jednadžba ima smisla za x > -3 . S ovim vrijednostima argumenta, izraz x + 3 ne nestaje, pa se ODE može riješiti s obzirom na derivaciju dijeljenjem 2 dijela s x + 3.

Dobivamo .

Zatim integriramo dobivenu diferencijalnu jednadžbu, riješenu s obzirom na derivaciju: . Za uzimanje ovog integrala koristimo metodu podvođenja pod predznak diferencijala.