Пояснення теми перетворення виразів, що містять квадратні корені. Використання властивостей коренів під час перетворення ірраціональних виразів, приклади, рішення. VII. Написання тесту

§ 1 Перетворення виразів, що містять операцію вилучення квадратного кореня

Згадаймо властивості квадратних коренів: якщо a, b - невід'ємні числа a, b ≥ 0, то справедливі наступні рівності:

Використовуючи ці формули, можна виконувати різні перетворення виразів, що містять операцію вилучення квадратного кореня, але за умови, що змінні цих виразів набувають лише невід'ємних значень. Зробивши таке припущення, розглянемо кілька прикладів.

Приклад 1: Випросити вираз:

Оскільки у вираженні присутній дріб, для його перетворення скористаємося другою властивістю:

Для перетворення знаменника використовували третю властивість:

В результаті первісне вираз набуває вигляду:

Приклад 2: Винести множник із-під знака квадратного кореня:

При рішенні прикладу під літерою А скористаємося першою та третьою властивостями квадратного кореня:

Аналогічно перетворимо вираз, поданий у завданні під літерою Б:

Приклад 3: Внести множник під знак квадратного кореня

Щоб внести множник під знак кореня, використовуємо третю властивість справа наліво:

Розв'яжемо кілька завдань із перетворення виразів, що містять операцію вилучення квадратного кореня, користуючись формулами скороченого множення. Перш за все згадаємо і випишемо їх:

(a + b) 2 = a2 + 2ab + b2

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

a2 - b2 = (a + b) (a - b)

a3 - b3 = (a-b) (a2 + ab + b2)

a3 + a3 = (a + b) (a2 - ab + b2)

Приклад 4: Випросити вираз:

Для вирішення представимо число три як квадратний корінь із трьох у квадраті:

а в знаменнику скористаємося формулою різниці квадратів, тоді отримаємо:

Приклад 5: Спростити вираз:

Для вирішення, по-перше, розглянемо вираз:

Якщо припустити, що

то

використовуючи формулу суми кубів

Отримуємо

Зробимо відповідну заміну.

По-друге, від операції розподілу на (a - b) перейдемо до операції множення на зворотний дріб:

По-третє, перший дріб у дужці скоротимо на вираз:

а потім зробимо операцію множення.

Припустимо:

використовуючи формулу різниці квадратів, отримуємо:

Вираз у чисельнику першого дробу за формулою квадрата різниці можна записати:

Зробимо відповідні заміни. У чисельнику та знаменнику першого дробу є загальний множник, тому після скорочення на закінчення залишається лише скласти дроби з однаковими знаменниками.

Якщо знаменник дробу алгебри містить знак квадратного кореня, то кажуть, що в знаменнику міститься ірраціональність. Перетворення виразу до такого виду, щоб у знаменнику дробу не було знаків квадратного коріння, називають звільненням від ірраціональності в знаменнику.

§ 2 Алгоритм звільнення від ірраціональності у знаменнику дробу

1. Розкласти знаменник дробу на множники;

2. Якщо знаменник має вигляд:

Якщо знаменник має вигляд:

або містить множник такого виду, то чисельник і знаменник дробу слід помножити відповідно на:

3. Перетворити чисельник і знаменник дробу, якщо можливо, скоротити отриманий дріб. Вирази виду:

Розглянемо, як позбутися ірраціональності у знаменнику на прикладах:

А) Перетворимо вираз:

Скористаємося алгоритмом звільнення від ірраціональності у знаменнику дробу: помножимо на:

чисельник та знаменник. Отримаємо:

Б) Перетворимо вираз:

У цьому прикладі чисельник і знаменник дробу множиться на сполучене вираз:

Отже, ми розібрали кілька прикладів на спрощення виразів, що містять квадратне коріння.

Список використаної литературы:

1. Мордкович О.Г. "Алгебра" 8 клас. У 2 ч. Ч.1Підручник для загальноосвітніх установ/А.Г. Мордкович. - 9-е вид., Перероб. - М.: Мнемозіна, 2007. - 215с.: іл.
2. Мордкович О.Г. "Алгебра" 8 клас. У 2 год. Ч.2 Задачник для загальноосвітніх установ/О.Г. Мордкович, Т.М. Мішустіна, Є.Є. Тульчинська. - 8-е вид., - М.: Мнемозіна, 2006. - 239с.
3. Алгебра. 8 клас. Контрольні роботи для учнів навчальних закладів Л.А. Александрова за ред. А.Г. Мордковича 2-ге вид., стер. – М.: Мнемозіна, 2009. – 40с.
4. Алгебра. 8 клас. Самостійні роботи для учнів закладів освіти: до підручника А.Г. Мордковіча, Л.А. Александрова за ред. А.Г. Мордковіча. 9-те вид., стер. – М.: Мнемозіна, 2013. – 112с.

Алгебра. 8 клас

Вчитель: Кулішова Тетяна Миколаївна

Тема: Перетворення виразів, що містять квадратне коріння

Тип уроку: узагальнення та систематизація знань

Мета уроку: формування умінь учнів перетворювати вирази, що містять квадратні корені

Завдання:

Освітні:знати властивості арифметичного квадратного кореня; навчитися перетворювати такі вирази, що містять квадратні корені, як винесення множника з-під знака кореня, внесення множника на знак кореня та звільнення від ірраціональності в знаменнику дробу;

Розвиваючі: розвивати пізнавальні та творчі здібності, мислення, спостережливість, кмітливість та навички самостійної діяльності; прищеплення інтересу до математики;

Виховні: вміння працювати у команді (групі), бажання активно вчитися з інтересом; чіткість та організованість у роботі; дати кожному учню досягти успіху;

Обладнання: Шкільне приладдя, дошка, крейда, підручник, роздатковий матеріал.

План уроку

1. Організаційний момент
2. Цілепокладання
3. Повторення
4. Самостійна робота
5. Диктант
6. Тест
7. Робота за підручником
8. Інструктаж домашнього завдання
9. Підсумки уроку. Рефлексія

Хід роботи

1. Організаційний момент

Мотивація уроку

«Заплющте очі, сядьте зручніше. Уявіть щось дуже приємне для вас. Вам добре, зручно. Навколо вас багато друзів. Серед них і натуральні числа, з якими ми добре знайомі. Ряди наших друзів поповнюються і до них приєдналися дрібні числа. А ось підійшли і негативні числа. А тепер ви йдете на зустріч раціональним та ірраціональним числам. Мине час, і ми познайомимося з вами з новими числами і, доки на світі існує математика, ці числа нескінченні».

«Знання - тільки тоді знання, коли воно набуте зусиллями своєї думки, а не пам'яттю». Н. Толстой.-Эти слова Л. М. Толстого важливі і актуальні щодо математики, адже математика одна з небагатьох наук, де треба постійно розмірковувати. Ваше завдання показати свої знання та вміння у процесі усної роботи, тестування, роботи біля дошки.

У кожного з вас на столі лежить оцінний лист, після кожного виконаного завдання не забуваємо виставляти оцінки, а наприкінці уроку поставити підсумкову оцінку.

1. Цілепокладання

Вирішіть анаграму (Робота в групах)

ПРО – ЗО – РА – ПРЕ – НІ – ВА ПЕРЕТВОРЕННЯ

НІЙ – РА – Ж – ВИ ВИРАЗІВ

ЩИХ – ДЕР – ЖА – ІЗ ЗМІСНИХ

РАТ – КВ – НІ – АД КВАДРАТНІ

НІ – КО – Р КОРНІ

Вирішивши анаграму, учні визначають тему уроку

Як ви думаєте, чим ми займатимемося на уроці?

Давайте разом сформулюємо мету нашого уроку.

1. Повторення раніше вивченого матеріалу

А 1) Усний рахунок:

Перевірка теорії: Поєднати лінією відповідні частини визначення.

оцінка -2 бали

2). Завершити твердження.

а) Корінь із твору неотрицательных множників дорівнюєтвору коріння з цих множників.(оцінка -2 бали)

б) Будь-який нескінченний неперіодичний десятковий дріб називаєтьсяірраціональним числом.(оцінка -2 бали)

в) Корінь із дробу, чисельник якого є невід'ємним числом, а знаменник позитивним, дорівнюєкореня з чисельника, поділеного на корінь із знаменника.оцінка -2 бали)

3) Встановити відповідність (2 бали)

В. 3 учнів отримують за алгоритмом перетворень виразів, що містять квадратне коріння. Завдання: зобразити, накреслити, написати, показати тощо. та захистити (спікер).

3) Вийняти корінь

1. Розкласти знаменник дробу на множники.
2. Якщо знаменник має виглядабо містить множник, то чисельник і знаменник слід помножити на або на .
3. Перетворити чисельник і знаменник дробу, якщо можливо, скоротити отриманий дріб.

1. Самостійна робота

Винеси множник з-під знаку кореня:

(2 бали)

3)

Спростіть вираз (4 бали)

1. Тест на ноутбуці (оцінка виставляється автоматично)

1) 6 =

а Б В Г) .

2) 5 =

3) 3 =

а Б В Г) .

1. Диктант:

За кожне правильно виконане завдання 0,5 бали.

1. Робота з підручнику- робота на дошці: кожен учень отримує конкретний приклад, по черзі вирішують на дошці, все записують у зошиті. (1 бал)
2. Інформація про домашнє завдання
3. Підбиття підсумків уроку. Рефлексія

Оцінювання

Оцінний лист. Ф.І учня _______________________Оцінка _____

Переказ балів в оцінку

25 балів та більше – оцінка «5»

24 – 18 балів – оцінка «4»

17 – 9 балів – оцінка «3»

0 – 8 балів – оцінка «2»

Для оцінювання усієї роботи за урок використовується «Переклад балів в оцінку» - на звороті оцінного листа.

Заповніть до кінця оцінний аркуш. Оцінки за урок.

Закінчити урок я хочувіршем великого математика Софії Ковалевської.

Якщо в житті ти хоч на мить

Істину в серці своєму відчув,

Якщо промінь світла крізь морок і сумнів

Яскравим сяйвом твій шлях осяяв:

Що б у твоїм рішенні незмінному

Рок не призначив тобі попереду,

Пам'ять про цю мить священну

Вічно зберігай, як святиню у грудях.

Хмари зберуться громадою безладною,

Небо вкриється чорною імлою,

З ясною рішучістю, з вірою спокійною

Бурю ти зустрінь і поміряйся з грозою.

У цьому вірші виражено прагнення знань, вміння долати всі перепони, що зустрічаються по дорозі. А як ми сьогодні з вами долали перепони? Чим ми займалися на уроці?

- Сьогодні ми повторили визначення та властивості арифметичного квадратного кореня; винесення множника за знак кореня, внесення множника під знак кореня, формули скороченого множення; ознайомилися та закріпили деякі способи перетворення виразів, що містять квадратне коріння.

Усі працювали плідно, активно та колективно протягом уроку.

Урок закінчено. Всім дякую за урок!

Внести множник під знак кореня:

1) 6 =

а Б В Г) .

2) 5 =

3) 3 =

а Б В Г) .

Тест Ф.І.____________________

Внести множник під знак кореня:

1) 6 =

а Б В Г) .

2) 5 =

3) 3 =

а Б В) - =

а Б В Г) .

2) 5 =

3) 3 =

а Б В) - =

а Б В Г) .

2) 5 =

3) 3 =

а Б В) - =

а Б В Г) .

2) 5 =

3) 3 =

а Б В Г) .

Алгоритм винесення множника з-під знака кореня

1) Подаємо підкорене вираз у вигляді добутку таких множників, щоб з одного можна було б витягти квадратний корінь.

2) Застосуємо теорему про корені з твору.

3) Вийняти корінь

Алгоритм внесення множника під знак кореня

1) Подаємо добуток у вигляді арифметичного квадратного кореня.

2) Перетворимо добуток квадратних коренів у квадратний корінь із добутку підкорених виразів.

3) Виконаємо множення під знаком кореня.

Алгоритм звільнення від ірраціональності у знаменнику дробу:

1) Розкласти знаменник дробу на множники.

ВІДКРИТИЙ ДИСТАНЦІЙНИЙ УРОК

за темою: "Перетворення виразів, що містять квадратне коріння".

Вчитель математики - Вєтохіна Антоніна Сергіївна

Місце роботи : ОГКОУ «Школа-інтернат № 88 Посмішка м. Ульяновськ, Ульяновська

область

Предмет: алгебра

Клас: 8

Базовий підручник: « Алгебра 8 клас» : Підручник для загальноосвітніх закладів Ю.М. Макарічев, Н.Г.

Міндюк, К.І. Нєшков, С.Б. Суворова. - М: Просвітництво, 2011 р

ТДЦ:

Навчальна:

продовжити формування навичок:

винесення множника за знак радикалу;

внесення множника під знак радикалу;

розкладання на множники;

скорочення дробів;

навчити учня застосовувати початкові знання: властивостікоріння.

Розвиваюча : продовжити розвиток:

практичних умінь та навичок;

навички правильної математичної мови;

пізнавальної діяльності учня;

логічного мислення учня при обчисленні у завданнях.

Виховує: продовжити формування:

культури спілкування та культури відповіді на питання;

культури розумової праці;

формувати позитивне ставлення до предмета, інтерес до знань.

Тип уроку: комбінований.

Методи навчання : наочно-словесний, репродуктивний.

Форми організації пізнавальної діяльності на уроці : самостійна та індивідуальна робота.

Обладнання, оформлення та технічне оснащення уроку:

матеріали сайту i-школи « Алгебра - ІІ (8 клас) » ( http://iclass.home-edu.ru );

матеріали сайту «ЯКлас» ( http://www.yaklass.ru );

комп'ютер, мультимедійний проектор.

ПЛАН УРОКУ

1. Організаційний момент.

2. Актуалізація знань.

3. Фізкультхвилинка для очей.

4. Вивчення нового матеріалу.

5. Фізкультхвилина рухова.

6. Закріплення здобутих знань. Практична робота.

7. Рефлексія.Підбиття підсумків уроку.

8. Домашнє завдання.

СТРУКТУРА І ХІД УРОКУ

До початку уроку учень здійснює «Вхід» на сайт i -школи під своїм логіном і переходить у курс « Алгебра - ІІ (8 клас) » .

Потім відчиняє програму Skype для участі в уроці.

Матеріал цієї статті слід розглядати як частину теми перетворення ірраціональних виразів. Тут ми на прикладах розберемо всі тонкощі та нюанси (яких чимало), що виникають при проведенні перетворень на основі властивостей коренів.

Навігація на сторінці.

Згадаймо властивості коренів

Якщо ми зібралися розбиратися з перетворенням висловлювань з допомогою властивостей коренів, то завадить згадати основні , а ще краще записати їх у папір і розташувати перед собою.

Спочатку вивчаються квадратні коріння і такі їх властивості (a, b, a 1, a 2, …, a k - дійсні числа):

А потім уявлення про корені розширюється, вводиться визначення кореня n-ого ступеня, і розглядаються такі властивості (a, b, a 1, a 2, …, ak - дійсні числа, m, n, n 1, n 2, ... , nk - натуральні числа):

Перетворення виразів із числами під знаками коріння

Зазвичай спочатку вчаться працювати з числовими виразами, а вже після цього переходять до виразів зі змінними. Так вчинимо і ми, і спочатку розберемося з перетворенням ірраціональних виразів, що містять під знаками коріння лише числові вирази, а вже далі в наступному пункті вводитимемо під знаки коріння та змінні.

Як це може бути використане для перетворення виразів? Дуже просто: наприклад, ірраціональний вираз ми можемо замінити виразом чи навпаки. Тобто, якщо у складі перетворюваного виразу міститься вираз, що збігається з вигляду з виразом з лівої (правої) частини будь-якої з перерахованих властивостей коренів, його можна замінити відповідним виразом з правої (лівої) частини. У цьому полягає перетворення висловів з використанням властивостей коренів.

Наведемо ще кілька прикладів.

Спростимо вираз . Числа 3, 5 та 7 позитивні, тому ми можемо спокійно застосовувати властивості коренів. Тут можна діяти по-різному. Наприклад, корінь з урахуванням якості можна як , а корінь із застосуванням властивості при k=3 - як , за такого підходу рішення мати такий вид:

Можна було зробити інакше, замінивши на , і далі на , в цьому випадку рішення виглядало б так:

Можливі й інші варіанти рішення, наприклад:

Розберемо рішення ще одного прикладу. Перетворимо вираз. Поглянувши на список властивостей коріння, вибираємо з нього потрібні нам властивості для вирішення прикладу, зрозуміло, що тут знадобляться два з них і які справедливі для будь-яких a . Маємо:

Як варіант, спочатку можна було перетворити вирази під знаками коріння з використанням

а вже далі застосовувати властивості коренів

До цього моменту ми перетворювали вирази, які містять лише квадратне коріння. Настав час попрацювати з корінням, яке має інші показники.

приклад.

Перетворіть ірраціональний вираз .

Рішення.

За якістю перший множник заданого твору можна замінити числом −2:

Йдемо далі. Другий множник у силу властивості можна уявити як , а 81 не завадить замінити четверним ступенем трійки, так як в інших множниках під знаками коріння фігурує число 3:

Корінь із дробу доцільно замінити ставленням коренів виду, яке можна перетворити і надалі: . Маємо

Отриманий вираз після виконання дій з двійками набуде вигляду , і залишається перетворити твір коріння.

Для перетворення творів коріння їх зазвичай призводять до одного показнику, як доцільно брати показників всіх коренів. У нашому випадку НОК (12, 6, 12) = 12, і до цього показника доведеться наводити лише корінь, тому що інші два корені вже мають такий показник. Впоратися з цим завданням дозволяє рівність, яку застосовують праворуч наліво. Так . Враховуючи цей результат, маємо

Тепер твір коренів можна замінити коренем твору і виконати інші, очевидні, перетворення:

Оформимо короткий варіант вирішення:

Відповідь:

.

Окремо підкреслимо, що для застосування властивостей коріння необхідно враховувати обмеження, накладені на числа під знаками коренів (a≥0 тощо). Їхнє ігнорування може спровокувати виникнення невірних результатів. Наприклад, знаємо, що властивість має місце для неотрицательных a . З його основі ми можемо перейти, наприклад, від до , оскільки 8 – позитивне число. А ось якщо взяти що має сенс корінь з негативного числа, наприклад, і на базі зазначеної вище властивості замінити його на , то ми фактично замінимо −2 на 2 . Справді, , а . Тобто, при негативних рівність може бути і неправильним, як можуть бути невірними та інші властивості коренів без урахування обумовлених для них умов.

Але сказане в попередньому пункті зовсім не означає, що вирази з негативними числами під знаками коріння неможливо перетворювати з використанням властивостей коріння. Їх просто попередньо потрібно «підготувати», застосувавши правила дій з числами або скориставшись визначенням кореня непарного ступеня із негативного числа, якому відповідає рівність , де a - негативне число (при цьому a - позитивне). Наприклад, не можна відразу замінити на , тому що −2 і −3 – негативні числа, але дозволяє нам від кореня перейти до , і вже далі застосовувати властивість кореня з твору: . А в одному з попередніх прикладів переходити від кореня до кореня вісімнадцятого ступеня потрібно було не так. , а так .

Отже, для перетворення виразів з використанням властивостей коріння, треба

• вибрати відповідну властивість зі списку,
• переконатися, що числа під коренем задовольняють умовам для обраної властивості (інакше потрібно виконати попередні перетворення),
• та провести задумане перетворення.

Перетворення виразів із змінними під знаками коріння

Для перетворення ірраціональних виразів, які містять під знаком кореня як числа, а й змінні, властивості коренів, перелічені у першому пункті цієї статті, доводиться застосовувати акуратно. Пов'язано це переважно з умовами, яким мають задовольняти числа, що у формулах. Наприклад, спираючись на формулу , вираз можна замінити виразом лише для таких значень x , які відповідають умовам x≥0 та x+1≥0 , оскільки зазначена формула задана для a≥0 та b≥0 .

Чим небезпечне ігнорування цих умов? Відповідь це питання наочно демонструє такий приклад. Припустимо, нам необхідно обчислити значення виразу при x=−2 . Якщо відразу підставити замість змінної x число −2 , то отримаємо потрібне значення . А тепер уявімо, що ми, виходячи з якихось міркувань, перетворили заданий вираз до виду, і лише після цього вирішили обчислити значення. Підставляємо замість x число −2 і приходимо до виразу , яке немає сенсу.

Давайте простежимо, що відбувається з областю допустимих значень (ОДЗ) змінної x при переході від виразу до виразу . ОДЗ ми згадали невипадково, оскільки це серйозний інструмент контролю допустимості виконаних перетворень, і зміна ОДЗ після перетворення висловлювання має як мінімум насторожити. Знайти ОДЗ для зазначених виразів не складно. Для вираження ОДЗ визначається з нерівності x·(x+1)≥0 його рішення дає числове безліч (−∞, −1]∪∪)