Негативний кут розвалу. Розвал-сходження: на що він впливає в автомобілі. Занадто великий позитивний кут. Тригонометричне коло. Вичерпне керівництво (2019) Кутом у тригонометрії вважають

Тригонометрія, як наука, зародилася на Стародавньому Сході. Перші тригонометричні співвідношення були виведені астрономами для створення точного календаря та орієнтування за зірками. Дані обчислення належали до сферичної тригонометрії, тоді як у шкільному курсі вивчають співвідношення сторін та кута плоского трикутника.

Тригонометрія – це розділ математики, що займається властивостями тригонометричних функцій та залежністю між сторонами та кутами трикутників.

У період розквіту культури та науки I тисячоліття нашої ери знання поширилися з Стародавнього Сходу до Греції. Але основні відкриття тригонометрії – заслуга чоловіків арабського халіфату. Зокрема, туркменський учений аль-Маразві ввів такі функції, як тангенс та котангенс, склав перші таблиці значень для синусів, тангенсів та котангенсів. Поняття синуса та косинуса введено індійськими вченими. Тригонометрії присвячено чимало уваги у працях таких великих діячів давнини, як Евкліда, Архімеда та Ератосфена.

Основні величини тригонометрії

Основні тригонометричні функції числового аргументу – це синус, косинус, тангенс та котангенс. Кожна з них має свій графік: синусоїда, косінусоїда, тангенсоїда та котангенсоїда.

У основі формул до розрахунку значень зазначених величин лежить теорема Піфагора. Школярам вона більше відома у формулюванні: «Піфагорові штани, на всі боки рівні», оскільки доказ наводиться на прикладі рівнобедреного прямокутного трикутника.

Синус, косинус та інші залежності встановлюють зв'язок між гострими кутами та сторонами будь-якого прямокутного трикутника. Наведемо формули для розрахунку цих величин для кута A і простежимо взаємозв'язки тригонометричних функцій:

Як видно, tg та ctg є зворотними функціями. Якщо уявити катет a як добуток sin A та гіпотенузи с, а катет b у вигляді cos A * c, то отримаємо наступні формули для тангенсу та котангенсу:

Тригонометричне коло

Графічно співвідношення згаданих величин можна так:

Окружність, у разі, є всі можливі значення кута α — від 0° до 360°. Як видно з малюнка, кожна функція набуває негативного або позитивного значення в залежності від величини кута. Наприклад, sin α буде зі знаком «+», якщо α належить I і II чверті кола, тобто знаходиться в проміжку від 0° до 180°. При α від 180° до 360° (III і IV чверті) sin α може лише негативним значенням.

Спробуємо побудувати тригонометричні таблиці для конкретних кутів та дізнатися значення величин.

Значення α рівні 30°, 45°, 60°, 90°, 180° тощо – називають окремими випадками. Значення тригонометричних функцій їм прораховані і представлені у вигляді спеціальних таблиць.

Ці кути обрані зовсім не випадково. Позначення π у таблицях стоїть для радіан. Радий - це кут, при якому довжина дуги кола відповідає її радіусу. Дана величина була введена для того, щоб встановити універсальну залежність, при розрахунках у радіанах не має значення дійсна довжина радіуса см.

Кути в таблицях для тригонометричних функцій відповідають значенням радіан:

Отже, не важко здогадатися, що 2π - це повне коло або 360 °.

Властивості тригонометричних функцій: синус та косинус

Для того, щоб розглянути та порівняти основні властивості синуса та косинуса, тангенсу та котангенсу, необхідно накреслити їх функції. Зробити це можна у вигляді кривої, розташованої у двовимірній системі координат.

Розглянь порівняльну таблицю властивостей для синусоїди та косінусоїди:

Визначити чи є функція парної чи ні дуже просто. Достатньо уявити тригонометричний круг зі знаками тригонометричних величин і подумки «скласти» графік щодо осі OX. Якщо знаки збігаються, функція парна, інакше непарна.

Введення радіан та перерахування основних властивостей синусоїди та косінусоїди дозволяють навести наступну закономірність:

Переконатись у вірності формули дуже просто. Наприклад, для x = π/2 синус дорівнює 1, як і косинус x = 0. Перевірку можна здійснити до таблиць або простеживши криві функцій для заданих значень.

Властивості тангенсоїди та котангенсоїди

Графіки функцій тангенсу та котангенсу значно відрізняються від синусоїди та косинусоїди. Величини tg та ctg є зворотними один одному.

1. Y = tg x.
2. Тангенсоіда прагне значень y при x = π/2 + πk, але ніколи не досягає їх.
3. Найменший позитивний період тангенсоіди дорівнює π.
4. Tg (-x) = - tg x, тобто функція непарна.
5. Tg x = 0 при x = πk.
6. Функція є зростаючою.
7. Tg x › 0, при x ϵ (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, при x ϵ (— π/2 + πk, πk).
9. Похідна (tg x)' = 1/cos 2 ⁡x .

Розглянемо графічне зображення котангенсоіди нижче за текстом.

Основні властивості котангенсоіди:

1. Y = ctg x.
2. На відміну від функцій синуса і косинуса, в тангенсоіді Y може набувати значення багатьох дійсних чисел.
3. Котангенсоіда прагне значень y при x = πk, але ніколи не досягає їх.
4. Найменший позитивний період котангенсоіди дорівнює π.
5. Ctg (-x) = - ctg x, тобто функція непарна.
6. Ctg x = 0, при x = π/2 + πk.
7. Функція є спадною.
8. Ctg x › 0, при x ϵ (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, при x ϵ (π/2 + πk, πk).
10. Похідна (ctg x)’ = — 1/sin 2 ⁡x Виправити

Альфа позначає дійсне число. Знак рівності в наведених виразах свідчить про те, що якщо до нескінченності додати число чи нескінченність, нічого не зміниться, в результаті вийде така сама нескінченність. Якщо в якості прикладу взяти безліч натуральних чисел, то розглянуті приклади можна представити в такому вигляді:

Для наочного доказу своєї правоти математики вигадали багато різних методів. Особисто я дивлюся на всі ці методи, як на танці шаманів із бубнами. По суті, всі вони зводяться до того, що або частина номерів не зайнята і в них заселяються нові гості, або частину відвідувачів викидають у коридор, щоб звільнити місце для гостей (дуже навіть по-людськи). Свій погляд на подібні рішення я виклав у формі фантастичного оповідання про Блондинку. На чому ґрунтуються мої міркування? Переселення нескінченної кількості відвідувачів потребує багато часу. Після того, як ми звільнили першу кімнату для гостя, один із відвідувачів завжди буде йти коридором зі свого номера до сусіднього до кінця століття. Звичайно, фактор часу можна тупо ігнорувати, але це вже буде з розряду "дурням закон не писаний". Все залежить від того, чим ми займаємося: підганяємо реальність під математичні теорії чи навпаки.

Що ж таке "нескінченний готель"? Нескінченний готель - це готель, де завжди є будь-яка кількість вільних місць, незалежно від того, скільки номерів зайнято. Якщо всі номери в нескінченному коридорі для відвідувачів зайняті, є інший нескінченний коридор з номерами для гостей. Таких коридорів буде безліч. При цьому у "нескінченного готелю" нескінченна кількість поверхів у нескінченній кількості корпусів на нескінченній кількості планет у нескінченній кількості всесвітів, створених нескінченною кількістю Богів. Математики ж не здатні відсторонитися від банальних побутових проблем: Бог-Аллах-Будда – завжди лише один, готель – він один, коридор – лише один. Ось математики й намагаються підтасовувати порядкові номери готельних номерів, переконуючи нас у тому, що можна "впхнути непохитне".

Логіку своїх міркувань я вам продемонструю на прикладі нескінченної множини натуральних чисел. Для початку потрібно відповісти на дуже просте запитання: скільки множин натуральних чисел існує одне чи багато? Правильного відповіді це питання немає, оскільки числа придумали ми самі, у Природі чисел немає. Так, Природа чудово вміє рахувати, але для цього вона використовує інші математичні інструменти, не звичні для нас. Як природа вважає, я вам розповім в інший раз. Оскільки числа придумали ми, ми самі вирішуватимемо, скільки множин натуральних чисел існує. Розглянемо обидва варіанти, як і належить справжнім ученим.

Варіант перший. "Нехай нам дано" одне-єдине безліч натуральних чисел, яке безтурботно лежить на поличці. Беремо з полички це безліч. Все інших натуральних чисел на поличці не залишилося і взяти їх ніде. Ми не можемо до цієї множини додати одиницю, оскільки вона в нас уже є. А якщо дуже хочеться? Без проблем. Ми можемо взяти одиницю з уже взятої нами множини і повернути її на поличку. Після цього ми можемо взяти з полички одиницю і додати її до того, що залишилося. В результаті ми знову отримаємо безліч натуральних чисел. Записати всі наші маніпуляції можна так:

Я записав дії в системі алгебри позначень і в системі позначень, прийнятої в теорії множин, з детальним перерахуванням елементів множини. Нижній індекс вказує на те, що багато натуральних чисел у нас одне і єдине. Виходить, що безліч натуральних чисел залишиться незмінним тільки в тому випадку, якщо відняти одиницю і додати цю ж одиницю.

Варіант другий. У нас на поличці лежить багато різних нескінченних множин натуральних чисел. Наголошую - РІЗНИХ, незважаючи на те, що вони практично не відрізняються. Беремо одну з цих множин. Потім з іншої множини натуральних чисел беремо одиницю і додаємо до вже взятої нами множини. Ми можемо навіть скласти дві множини натуральних чисел. Ось що в нас вийде:

Нижні індекси "один" і "два" вказують на те, що ці елементи належали різним множинам. Так, якщо до нескінченної множини додати одиницю, в результаті вийде теж нескінченна множина, але вона не буде такою ж, як початкова множина. Якщо до однієї нескінченної множини додати іншу нескінченну множину, в результаті вийде нова нескінченна множина, що складається з елементів перших двох множин.

Багато натуральних чисел використовується для рахунку так само, як лінійка для вимірювань. Тепер уявіть, що до лінійки ви додали один сантиметр. Це вже буде інша лінійка, яка не дорівнює початковій.

Ви можете приймати чи не приймати мої міркування – це ваша особиста справа. Але якщо колись ви зіткнетеся з математичними проблемами, подумайте, чи не йдете ви стежкою помилкових міркувань, протоптаною поколіннями математиків. Адже заняття математикою передусім формують у нас стійкий стереотип мислення, а вже потім додають нам розумових здібностей (або навпаки, позбавляють нас вільнодумства).

неділя, 4 серпня 2019 р.

Дописував постскриптум до статті про і побачив у Вікіпедії цей чудовий текст:

Читаємо: "...багата теоретична основа математики Вавилона не мала цілісного характеру і зводилася до набору розрізнених прийомів, позбавлених загальної системи та доказової бази."

Вау! Які ми розумні та як добре можемо бачити недоліки інших. А чи слабко нам подивитися на сучасну математику в такому ж розрізі? Злегка перефразовуючи наведений текст, особисто мені вийшло таке:

Багата теоретична основа сучасної математики немає цілісного характеру і зводиться до набору розрізнених розділів, позбавлених загальної системи та доказової бази.

За підтвердженням своїх слів я далеко ходити не буду - має мову та умовні позначення, відмінні від мови та умовних позначень багатьох інших розділів математики. Одні й самі назви у різних розділах математики можуть мати різний сенс. Найбільш очевидним ляпам сучасної математики хочу присвятити цілий цикл публікацій. До скорої зустрічі.

субота, 3 серпня 2019 р.

Як поділити множину на підмножини? Для цього необхідно ввести нову одиницю виміру, присутню у частині елементів обраної множини. Розглянемо приклад.

Нехай у нас є безліч А, Що складається з чотирьох людей. Сформовано цю множину за ознакою "люди" Позначимо елементи цієї множини через букву а, нижній індекс з цифрою вказуватиме на порядковий номер кожної людини у цій множині. Введемо нову одиницю виміру "статевий ознака" і позначимо її літерою b. Оскільки статеві ознаки властиві всім людям, множимо кожен елемент множини Ана статеву ознаку b. Зверніть увагу, що тепер наша безліч "люди" перетворилася на безліч "люди зі статевими ознаками". Після цього ми можемо розділити статеві ознаки на чоловічі bmта жіночі bwстатеві ознаки. Ось тепер ми можемо застосувати математичний фільтр: вибираємо один із цих статевих ознак, байдуже який - чоловічий чи жіночий. Якщо вона присутня у людини, тоді множимо її на одиницю, якщо такої ознаки немає – множимо її на нуль. А далі застосовуємо звичайну шкільну математику. Дивіться, що вийшло.

Після множення, скорочень і перегрупувань, ми отримали дві підмножини: підмножина чоловіків Bmі підмножина жінок Bw. Приблизно так само міркують математики, коли застосовують теорію множин на практиці. Але в деталі вони нас не присвячують, а видають готовий результат - "безліч людей складається з підмножини чоловіків і підмножини жінок". Природно, у вас може виникнути питання, наскільки правильно застосовано математику у викладених вище перетвореннях? Смію вас запевнити, по суті перетворень зроблено все правильно, достатньо знати математичне обґрунтування арифметики, булевої алгебри та інших розділів математики. Що це таке? Якось іншим разом я вам про це розповім.

Що стосується надмножин, то об'єднати дві множини в одну надмножину можна, підібравши одиницю виміру, присутню у елементів цих двох множин.

Як бачите, одиниці виміру та звичайна математика перетворюють теорію множин на пережиток минулого. Ознакою те, що з теорією множин не все гаразд, і те, що з теорії множин математики придумали власну мову і позначення. Математики вчинили так, як колись робили шамани. Тільки шамани знають, як "правильно" застосовувати їх "знання". Цим "знанням" вони навчають нас.

Насамкінець, я хочу показати вам, як математики маніпулюють з .

понеділок, 7 січня 2019 р.

У п'ятому столітті до нашої ери давньогрецький філософ Зенон Елейський сформулював свої знамениті апорії, найвідомішою з яких є апорія "Ахілес і черепаха". Ось як вона звучить:

Припустимо, Ахіллес біжить у десять разів швидше, ніж черепаха, і знаходиться позаду неї на відстані тисячу кроків. За той час, за який Ахіллес пробіжить цю відстань, черепаха в той самий бік проповзе сто кроків. Коли Ахіллес пробіжить сто кроків, черепаха проповзе ще десять кроків, і таке інше. Процес продовжуватиметься до нескінченності, Ахіллес так ніколи і не наздожене черепаху.

Ця міркування стала логічним шоком для всіх наступних поколінь. Аристотель, Діоген, Кант, Гегель, Гільберт... Усі вони однак розглядали апорії Зенона. Шок виявився настільки сильним, що " ... дискусії продовжуються і в даний час, дійти спільної думки про сутність парадоксів науковому співтовариству поки що не вдалося... до дослідження питання залучалися математичний аналіз, теорія множин, нові фізичні та філософські підходи; жоден із них не став загальновизнаним вирішенням питання.[Вікіпедія, "Апорії Зенона"]. Всі розуміють, що їх дурять, але ніхто не розуміє, в чому полягає обман.

З погляду математики, Зенон у своїй апорії наочно продемонстрував перехід від величини до . Цей перехід передбачає застосування замість постійних. Наскільки розумію, математичний апарат застосування змінних одиниць виміру або ще розроблено, або його застосовували до апорії Зенона. Застосування нашої звичайної логіки приводить нас у пастку. Ми, за інерцією мислення, застосовуємо постійні одиниці виміру часу до оберненої величини. З фізичної точки зору це виглядає як уповільнення часу до його повної зупинки в момент, коли Ахілес порівняється з черепахою. Якщо час зупиняється, Ахілес вже не може перегнати черепаху.

Якщо перевернути звичну нам логіку, все стає на свої місця. Ахілес біжить з постійною швидкістю. Кожен наступний відрізок його шляху вдесятеро коротший за попередній. Відповідно, і час, що витрачається на його подолання, у десять разів менший за попередній. Якщо застосовувати поняття "нескінченність" у цій ситуації, то правильно буде говорити "Ахіллес нескінченно швидко наздожене черепаху".

Як уникнути цієї логічної пастки? Залишатися в постійних одиницях виміру часу і переходити до зворотним величинам. Мовою Зенона це виглядає так:

За той час, за який Ахіллес пробіжить тисячу кроків, черепаха в той самий бік проповзе сто кроків. За наступний інтервал часу, що дорівнює першому, Ахіллес пробіжить ще тисячу кроків, а черепаха проповзе сто кроків. Тепер Ахіллес на вісімсот кроків випереджає черепаху.

Цей підхід адекватно визначає реальність без жодних логічних парадоксів. Але це не повне вирішення проблеми. На Зеноновську апорію "Ахіллес і черепаха" дуже схоже твердження Ейнштейна про непереборність швидкості світла. Цю проблему нам ще належить вивчити, переосмислити та вирішити. І рішення потрібно шукати не в нескінченно великих числах, а в одиницях виміру.

Інша цікава апорія Зенона оповідає про стрілу, що летить.

Летяча стріла нерухома, тому що в кожний момент часу вона спочиває, а оскільки вона спочиває в кожний момент часу, вона завжди спочиває.

У цій апорії логічний парадокс долається дуже просто - досить уточнити, що в кожний момент часу стріла, що летить, спочиває в різних точках простору, що, власне, і є рухом. Тут слід зазначити інший момент. За однією фотографією автомобіля на дорозі неможливо визначити ані факт його руху, ані відстань до нього. Для визначення факту руху автомобіля потрібні дві фотографії, зроблені з однієї точки в різні моменти часу, але не можна визначити відстань. Для визначення відстані до автомобіля потрібні дві фотографії, зроблені з різних точок простору в один момент часу, але не можна визначити факт руху (природно, ще потрібні додаткові дані для розрахунків, тригонометрія вам на допомогу). На що я хочу звернути особливу увагу, то це на те, що дві точки в часі та дві точки в просторі – це різні речі, які не варто плутати, адже вони надають різні можливості для дослідження.

середа, 4 липня 2018 р.

Я вам вже розповідав, що , за допомогою якої шамани намагаються сортувати реальності. Як вони це роблять? Як фактично відбувається формування множини?

Давайте уважно розберемося з визначенням множини: "сукупність різних елементів, мислима як єдине ціле". А тепер відчуйте різницю між двома фразами: "можливе як єдине ціле" і "можливе як ціле". Перша фраза – це кінцевий результат, безліч. Друга фраза – це попередня підготовка до формування множини. У цьому етапі реальність розбивається деякі елементи ( " ціле " ) у тому числі потім буде сформовано безліч ( " єдине ціле " ). При цьому фактор, що дозволяє об'єднати "ціле" в "єдине ціле", уважно відстежується, інакше шамани нічого не вдадуть. Адже шамани заздалегідь знають, яка саме безліч хочуть нам продемонструвати.

Покажу процес на прикладі. Відбираємо "червоне тверде в пухирцю" - це наше "ціле". При цьому ми бачимо, що ці штучки є з бантиком, а без бантика. Після цього ми відбираємо частину "цілого" і формуємо безліч "з бантиком". Ось так шамани добувають собі корм, прив'язуючи свою теорію множин до реальності.

А тепер зробимо маленьку пакість. Візьмемо "тверде в пухирцю з бантиком" і об'єднаємо ці "цілі" за колірною ознакою, відібравши червоні елементи. Ми отримали безліч "червоних". Тепер питання на засипку: отримані множини "з бантиком" і "червоне" - це одна й та сама множина чи дві різні множини? Відповідь знають лише шамани. Точніше самі вони нічого не знають, але як скажуть, так і буде.

Цей простий приклад показує, що теорія множин абсолютно марна, коли йдеться про реальність. У чому секрет? Ми сформували безліч "червоне тверде в пухирцю з бантиком". Формування відбувалося за чотирма різними одиницями виміру: колір (червоне), міцність (тверде), шорсткість (у пухирцю), прикраси (з бантиком). Тільки сукупність одиниць виміру дозволяє адекватно описувати реальні об'єкти мовою математики.. Ось як це виглядає.

Літера "а" з різними індексами позначає різні одиниці виміру. У дужках виділено одиниці виміру, якими виділяється " ціле " попередньому етапі. За дужки винесена одиниця виміру, якою формується безліч. Останній рядок показує остаточний результат - елемент множини. Як бачите, якщо застосовувати одиниці виміру для формування множини, то результат не залежить від порядку наших дій. А це вже математика, а не танці шаманів із бубнами. Шамани можуть "інтуїтивно" прийти до такого ж результату, аргументуючи його "очевидністю", адже одиниці виміру не входять до їхнього "наукового" арсеналу.

За допомогою одиниць виміру дуже легко розбити одну або об'єднати кілька множин в одну надмножину. Давайте уважніше розглянемо алгебру цього процесу.

субота, 30 червня 2018 р.

Якщо математики що неспроможні звести поняття інших понять, отже вони нічого не розуміють у математиці. Відповідаю на: чим елементи однієї множини відрізняються від елементів іншої множини? Відповідь дуже проста: числами та одиницями виміру.

Це сьогодні все, що ми не візьмемо, належить якійсь множині (як запевняють нас математики). До речі, ви у дзеркалі бачили у себе на лобі список тих множин, до яких належите саме ви? І такого списку я не бачив. Скажу більше - жодна річ насправді не має бірочки зі списком множин, до яких ця річ належить. Безліч - це все вигадки шаманів. Як вони це роблять? Давайте заглянемо трохи в глиб історії і подивимося, як виглядали елементи множини до того, як математики-шамани розтягли їх за своїми множинами.

Давним-давно, коли про математику ще ніхто й не чув, а кільця були тільки в дерев і Сатурна, величезні стада диких елементів множин блукали фізичними полями (адже математичних полів шамани ще придумали). Виглядали вони приблизно так.

Так, не дивуйтеся, з точки зору математики всі елементи множин найбільше схожі на морських їжаків - з однієї точки, як голки, на всі боки стирчать одиниці вимірів. Для тих, хто , нагадую, що будь-яку одиницю виміру геометрично можна як відрізок довільної довжини, а число - як точку. Геометрично будь-яку величину можна як пучок відрізків, стирчать у різні боки з однієї точки. Ця точка – точка нуль. Малювати цей твір геометричного мистецтва я не буду (немає натхнення), але ви легко можете це уявити.

Які ж одиниці виміру утворюють елемент множини? Будь-які, що описують цей елемент з різних точок зору. Це й давні одиниці виміру, якими користувалися наші предки і про які давно забули. Це і сучасні одиниці виміру, якими ми користуємось зараз. Це і невідомі нам одиниці виміру, які вигадають наші нащадки і якими користуватимуться вони для опису реальності.

З геометрією ми розібралися - пропонована модель елементів множини має чітке геометричне уявлення. А як із фізикою? Одиниці виміру - і є прямий зв'язок математики з фізикою. Якщо шамани не визнають одиниці виміру як повноправний елемент математичних теорій – це їхні проблеми. Справжню науку математику без одиниць виміру особисто вже не уявляю. Ось чому на самому початку розповіді про теорію множин я говорив про неї як про кам'яний вік.

Але перейдемо до найцікавішого – до алгебри елементів множин. Алгебраїчно будь-який елемент множини являє собою твір (результат множення) різних величин. Виглядає це так.

Я навмисне не застосовував умовні позначення, прийняті в теорії множин, оскільки ми розглядаємо елемент множини в природному середовищі до виникнення теорії множин. Кожна пара літер у дужках позначає окрему величину, що складається з числа, позначеного буквою " n" та одиниці виміру, позначеної буквою " aІндекси біля літер вказують на те, що числа та одиниці виміру – різні. Один елемент множини може складатися з нескінченного числа величин (на скільки у нас і наших нащадків вистачить фантазії). Кожна дужка геометрично зображується окремим відрізком. У прикладі з морським їжаком одна дужка – це одна голка.

Як шамани формують безліч із різних елементів? Фактично, за одиницями виміру чи за числами. Нічого не розуміючи в математиці, вони беруть різних морських їжаків і уважно їх розглядають у пошуках тієї єдиної голки, якою вони формують безліч. Якщо така голка є, значить цей елемент належить множині, якщо такої голки немає - це елемент не з цієї множини. Нам же шамани розповідають байки про розумові процеси та єдине ціле.

Як ви вже здогадалися, один і той же елемент може належати до різних множин. Далі я вам покажу, як формуються множини, підмножини та інша шаманська нісенітниця. Як бачите, "у множині не може бути двох ідентичних елементів", але якщо ідентичні елементи у множині є, така множина називається "мультимножина". Подібну логіку абсурду розумним істотам не зрозуміти ніколи. Це рівень папуг, що говорять, і дресованих мавп, у яких розум відсутній від слова "зовсім". Математики виступають у ролі звичайних дресирувальників, проповідуючи нам свої абсурдні ідеї.

Колись інженери, які збудували міст, під час випробувань мосту перебували у човні під мостом. Якщо міст обрушувався, бездарний інженер гинув під уламками свого творіння. Якщо міст витримував навантаження, талановитий інженер будував інші мости.

Як би математики не ховалися за фразою "чур, я в будиночку", точніше "математика вивчає абстрактні поняття", є одна пуповина, яка нерозривно пов'язує їх із реальністю. Цією пуповиною є гроші. Застосуємо математичну теорію множин до самих математиків.

Ми дуже добре вчили математику і зараз сидимо у касі, видаємо зарплатню. Ось приходить до нас математик по свої гроші. Відраховуємо йому всю суму та розкладаємо у себе на столі на різні стопки, в які складаємо купюри однієї гідності. Потім беремо з кожної стопки по одній купюрі та вручаємо математику його "математичну безліч зарплати". Пояснюємо математику, що решта купюр він отримає тільки тоді, коли доведе, що безліч без однакових елементів не дорівнює безлічі з однаковими елементами. Ось тут почнеться найцікавіше.

Насамперед спрацює логіка депутатів: "до інших це застосовувати можна, до мене - низьзя!". Далі почнуться запевнення нас у тому, що на купюрах однакової гідності є різні номери купюр, а отже, їх не можна вважати однаковими елементами. Добре, відраховуємо зарплату монетами – на монетах немає номерів. Тут математик почне судомно згадувати фізику: на різних монетах є різна кількість бруду, кристалічна структура та розташування атомів у кожної монети унікально.

А тепер у мене найцікавіше питання: де проходить та грань, за якою елементи мультимножини перетворюються на елементи множини і навпаки? Такої межі не існує – все вирішують шамани, наука тут і близько не валялася.

Ось дивіться. Ми відбираємо футбольні стадіони із однаковою площею поля. Площа полів однакова – значить у нас вийшло мультимножина. Але якщо розглядати назви цих же стадіонів – у нас виходить багато, адже назви різні. Як бачите, той самий набір елементів одночасно є і безліччю, і мультимножиною. Як правильно? А ось тут математик-шаман-шуллер дістає з рукава козирний туз і починає нам розповідати або про множину, або про мультимножину. У будь-якому разі він переконає нас у своїй правоті.

Щоб зрозуміти, як сучасні шамани оперують теорією множин, прив'язуючи її до реальності, достатньо відповісти на одне питання: чим елементи однієї множини відрізняються від елементів іншої множини? Я вам покажу, без усяких "мислиме як єдине ціле" чи "не мислиме як єдине ціле".

Але не варто забувати, що чим менший максимальний кут повороту, тим менший радіус повороту автомобіля. Тобто. розгорнуться в обмеженому просторі буде дуже важко. Ось і доводиться виробникам шукати якусь "золоту середину", маневруючи між великим радіусом повороту та точністю управління.

Зміна значень кутів установки коліс та їх регулювання

Карта Пірі Рейса була зіставлена ​​із сучасною проекцією карти. Таким чином, він дійшов висновку, що таємнича карта захоплює світ, як видно з супутника, що ширяє високо над Каїром. Іншими словами – над Великою пірамідою. Дивно, що єгиптологи постійно захищають ці простори, хоча нещодавно було проведено огляд одного недавно відкритого коридору, який ще не приніс будь-яких проривів.

Варто також зазначити, що у піраміді виявлено незвичайні психотронні ефекти, які, серед іншого, можуть вплинути на здоров'я людини. Йдеться про просторову психотроніку, яка створює як енергетичні, так і геомагнітні «аномальні зони», які далі досліджуються.

При повороті колеса покришка деформується під дією бічних сил. І щоб зберегти максимальну пляму контакту з дорогою, колесо автомобіля теж нахиляється у бік повороту. Але скрізь треба знати міру, адже за дуже великого кастера, колесо автомобіля буде сильно нахилятися, і втратить тоді зчеплення з дорогою.

Спочатку поперечний кут нахилу осі повороту був застосований інженерами для усунення недоліків підвіски автомобіля. Він позбавляв таких "недуг" автомобіля як позитивний розвал коліс і позитивне плече обкату.

Під час археологічних розкопок також знайдені дивні пропозиції похоронних у вигляді птахів із розкритими крилами. Пізніше аеродинамічні дослідження ці суб'єкти показали, що найімовірніше є стародавніми моделями планерів. Один із них був виявлений напис «подарунок Амона.» Бог Амон у Єгипті поклонялися як бог вітер так асоціюється з польотом очевидна.

Але як члени цієї давньої цивілізації дійшли цього знання без попередньої стадії розробки? Відповідь у цьому випадку тільки. Це знання прийшло від урядів тих часів, які єгиптяни називали своїм богом. Цілком можливо, що для членів технологічно розвиненої цивілізації, яка має більш ніж 000 років тому, зникли без сліду.

У багатьох автомобілях застосовується підвіска типу "Мак-Ферсон". Вона дає можливість одержати негативне або нульове плече обкату. Адже вісь повороту колеса складається з опори єдиного важеля, якої легко можна помістити всередину колеса. Але ця підвіска не досконала, адже через його конструкцію зробити кут нахилу осі повороту маленьким практично неможливо. У повороті він нахиляє зовнішнє колесо під невигідним кутом (як у позитивного розвалу), а внутрішнє колесо одночасно нахиляється у протилежний бік.

Але таких об'єктів все ще не вистачає. Вони розпадаються, вони можуть бути знищені, але він також може бути добре захований у храмах, пірамідах та інших знакових будівель, які можуть лежати нерухомо, належним чином забезпечені проти «мисливців за скарбами».

Велика піраміда у розмірі та дизайн точності ніколи не було рівних. Піраміда важить приблизно шість мільйонів тонн. У своїй позиції, як Ейфелева вежа Велика піраміда була найвищим будинком у світі. Для його будівництва було використано понад два мільйони каміння. Жоден камінь не важить менше за тонну.

В результаті пляма контакту у зовнішнього колеса сильно зменшується. Оскільки на зовнішнє колесо в повороті припадає основне навантаження, вся вісь сильно втрачає в зчепленні. Це, звичайно, можна частково компенсувати кастером та розвалом. Тоді зчеплення зовнішнього колеса буде добрим, а у внутрішнього – практично зникне.

Сходження коліс автомобіля

На задній осі при позитивному сходження колес, автомобіль при прямолінійному русі буде більш стійким, а якщо буде негативне сходження - то автомобіль поводитиметься неадекватно, і нишпорити з боку в бік.

І деякі з більш ніж сімдесяти тонн. Усередині камери з'єднані коридорами. Сьогодні груба кам'яна піраміда, але як тільки він був оброблений до дзеркального блиску кладки. Вважається, що пік Великої піраміди був оздоблений чистим золотом. Сонячне проміння зліпило сотні кілометрів. Протягом багатьох століть експерти припустили про мету пірамід. Традиційна теорія стверджує, що піраміди були символічною брамою в потойбічний світ. Інші вважають, що піраміда була астрономічною обсерваторією. Хтось каже, що допомога у географічному вимірі.

Але слід пам'ятати, що надмірне відхилення сходження автомобіля від нульового значення збільшить опір коченню під час прямолінійного руху, в поворотах це буде помітно меншою мірою.

Розвал коліс

Якщо дивитися попереду автомобіля, і колеса нахилятимуться всередину, то це негативний розвал, а якщо відхилятимуться назовні автомобіля - то це вже позитивний розвал. Розвал колеса необхідний збереження зчеплення колеса з дорожнім полотном.

Одна химерна теорія стверджує, що Велика піраміда була на зерносховищах. Проте експерти сьогодні загалом згодні, що піраміди були набагато більшими, ніж просто гігантська могила. Вчені стверджують, що потужна технологія піраміда не може бути доступна для людей в цей момент історії людства, коли були побудовані ці будівлі. Наприклад, висота піраміди відповідає відстані від Землі до Сонця. Піраміда була точно орієнтована на чотири світи з точністю, що ніколи не досягалася.

І, що дивно, Велика Піраміда лежить у точному центрі землі. Той, хто збудував Велику піраміду, міг точно визначити широту і довготу. Це дивно, тому що технологія визначення довготи була відкрита у наш час у шістнадцятому столітті. Піраміди були збудовані в точному центрі Землі. Також висоту піраміди – видно з величезної висоти, можна побачити з Місяця. Більше того, форма піраміди є однією з найкращих для відбиття радарів. Ці причини змушують деяких дослідників вважати, що єгипетські піраміди були побудовані за межами їхньої іншої мети і для навігації потенційними іноземними дослідниками.

Зміна кута розвалу коліспозначається на поведінці автомобіля на прямій, адже колеса стоять не перпендикулярно дорозі, а отже, мають не максимальне зчеплення. Але це позначається тільки на задньопривідних автомобілях під час рушання з місця з пробуксовкою.

Для тих, хто хоче зрозуміти, що означають Кути Установки Коліс (Розвал/Сходження) та досконально розібратися у питанні, у цій статті є відповіді на всі запитання.

Піраміда Хеопса розташована трохи більше ніж за вісім кілометрів на захід від Каїра. Він побудований на штучно створеній квартирі площею 1, 6 квадратних кілометрів. Його основа простягається до 900 квадратних метрів і майже міліметрова у горизонтальному положенні. Два та три чверті мільйона кам'яних блоків були використані для будівництва, причому найважча вага вагою до 70 тонн. Вони вписуються так, що цей факт є загадкою. Проте технічна сторона створення піраміди залишається загадкою, оскільки це буде серйозною проблемою для передових технологій.

Екскурс в історію показує, що складна установка коліс застосовувалася на різних засобах пересування задовго до появи автомобіля. Ось кілька більш менш добре відомих прикладів.
Не секрет, що колеса деяких карет та інших колясок на кінній тязі, призначених для «динамічної» їзди, встановлювали з великим, добре помітним оку позитивним розвалом. Робилося це для того, щоб бруд, що летів з коліс, не потрапляв в екіпаж і на важливих сідоків, а розкидався на всі боки. Так, дореволюційні посібники про те, як побудувати гарний віз, рекомендували ставити колеса з негативним розвалом . В цьому випадку при втраті нагеля, що стопорить колесо, воно не відразу зіскакувало з осі. У візниці був час, щоб помітити пошкодження «ходової», що загрожує особливо великими неприємностями за наявності в возі кількох десятків пудів борошна та відсутності домкрата. У конструкції гарматних лафетів (знов-таки навпаки) іноді застосовувався позитивний розвал коліс. Зрозуміло, що не з метою вберегти гармату від бруду. Так було зручно накочувати гармату за колеса руками збоку, не побоюючись віддавити ноги. А ось у арби її величезні колеса, які допомагали просто перебиратися через арики, були нахилені в інший бік - до воза. Збільшення колії, що досягалося при цьому, сприяло підвищенню стійкості середньоазіатського «мобіля», що відрізнявся високим розташуванням центру тяжіння. Яке відношення ці історичні факти мають до встановлення коліс сучасних автомобілів? Так, загалом, жодного. Тим не менш, вони дозволяють зробити корисний висновок. Видно, що установка коліс (зокрема, їх розвал) не підпорядкована будь-якій єдиній закономірності.

Тому немає жодних гіпотез про те, що магічні сили використовувалися при побудові піраміди – магічні формули, написані на папірусі, дозволяли переміщати важкі шматки каменю та з дивовижною точністю ставити їх одна на одну. Едгар Кейсі сказав, що ці піраміди були побудовані десять тисяч років тому, а інші вважають, що піраміди побудовані жителями Атлантиди, які до катаклізму, який знищив їхній континент, в основному шукали притулку в Єгипті. Він створює наукові центри, вони також створили пірамідальний притулок, де можна було б приховати великі таємниці.

При виборі цього параметра «виробник» у кожному даному випадку керувався різними міркуваннями, які він вважав пріоритетними. Отже, чого прагнуть конструктори автомобільних підвісок при виборі УУК? Звісно, ​​до ідеалу. Ідеалом для автомобіля, що рухається прямолінійно, вважається таке положення коліс, коли площини їх обертання (площини кочення) перпендикулярні поверхні дороги, паралельні один одному, осі симетрії кузова і збігаються з траєкторією руху. В цьому випадку втрати потужності на тертя та знос протектора шин мінімальні, а зчеплення коліс із дорогою, навпаки, максимально. Звичайно, виникає питання: що ж змушує навмисно відхилятися від ідеалу? Забігаючи наперед, можна навести кілька міркувань. По-перше, ми судимо про кути установки коліс на підставі статичної картини, коли автомобіль нерухомий. Хто сказав, що у русі, при прискоренні, гальмуванні та маневруванні автомобіля вона не змінюється? По-друге, скорочення втрат та продовження терміну служби шин не завжди є пріоритетним завданням. Перш ніж розповідати про те, які фактори беруть до уваги розробники підвісок, умовимося, що з великої кількості параметрів, що описують геометрію підвіски автомобіля, ми обмежимося лише тими, що входять до групи первинних (primary) чи основних. Вони називаються так тому, що визначають налаштування та властивості підвіски, завжди контролюються при її діагностиці та регулюються, якщо така можливість передбачена. Це добре відомі сходження, розвал та кути нахилу осі повороту керованих коліс. При розгляді цих найважливіших параметрів нам доведеться згадати й інші характеристики підвіски.

Піраміда складається з 203 шарів кам'яних блоків вагою від 2, 5 до 15 тонн. Деякі блоки на дні піраміди біля основи важить до 50 тонн. Спочатку вся піраміда була покрита дрібною білою та полірованою вапняковою оболонкою, але камінь використовувався для будівництва, особливо після частих землетрусів у цьому районі.

Вага піраміди пропорційна вазі Землі 1: 10. Піраміда - це максимум 280 єгипетських ліктів, а площа основи - 440 єгипетських ліктів. Якщо базова схема розділена подвійною висотою піраміди, ми отримаємо номер Людольфа – 3. Відхилення від фігури Людольфа становить лише 0,05%. Основа основи дорівнює колу кола з радіусом, що дорівнює висоті піраміди.

Сходження (TOE) характеризує орієнтацію коліс щодо поздовжньої осі автомобіля. Положення кожного колеса може бути визначено окремо від інших, і тоді говорять про індивідуальне сходження. Воно є кутом між площиною обертання колеса і віссю автомобіля при його спостереженні зверху. Сумарне сходження (або просто сходження) коліс однієї осі. як і випливає з назви, є сумою індивідуальних кутів. Якщо площини обертання коліс перетинаються попереду автомобіля, сходження позитивне (toe-in), якщо ззаду негативне (toe-out). В останньому випадку можна говорити про розбіжність коліс.
У регулювальних даних іноді сходження наводиться у вигляді кутової, а й лінійної величини. Це пов'язано з тим. що про сходження коліс також судять по різниці відстаней між закраїнами обід, заміряних на рівні їхніх центрів ззаду та спереду осі.

Хоч би якою була істина, можливо, археологи, звісно, ​​визнати майстерність древніх будівельників, наприклад. Фліндерс Пітрі дійшов висновку, що помилки у вимірі були настільки малі, що він обкладений палець. Стіни, що з'єднують коридори, що падають 107 м у центр піраміди, показали відхилення всього 0,5 см від ідеальної точності. Ми можемо пояснити таємницю піраміди фараона педантизм архітекторів і будівельників чи невідомої єгипетської магії чи простої необхідності дотримання розмірів настільки близько, наскільки це можливо, щоб досягти максимальної вигоди піраміди?

У різних джерелах, зокрема й серйозної технічної літературі, часто наводиться версія у тому, що сходження коліс необхідне компенсації побічної дії розвалу. Мовляв, через деформацію шини у плямі контакту «розвалене» колесо можна уявити як основу конуса. Якщо колеса встановлені з позитивним кутом розвалу (чому - поки неважливо), вони прагнуть "розкотитися" в різні боки. Щоб цьому протидіяти, площині обертання коліс зводять (рис.20).

Це просто збіг, що це число виражає відстань від Сонця, що повідомляється у мільйонах миль? Єгипетський лікоть - це один десятиміліметровий радіус землі. Велика піраміда виражає відношення 2р між колом та радіусом Землі. Квадратна площа кола складає 023 фути.

Він також обговорює схожість між фігурами в Наска, Великій піраміді та єгипетськими ієрогліфічними текстами. Боулз зазначає, що Велика піраміда та Плато Наска будуть на екваторі, коли Північний полюс буде розташований на південному сході Аляски. Використовуючи координати та сферичну тригонометрію, книга демонструє чудовий зв'язок між трьома моментами – давніми місцями.

Версія, треба сказати, не позбавлена ​​витонченості, але не витримує критики. Хоча б тому, що передбачає однозначний взаємозв'язок між розвалом та сходженням. Наслідуючи пропоновану логіку, колеса, що мають негативний кут розвалу, обов'язково повинні встановлюватися з розбіжністю, а якщо кут розвалу нульовий, то і сходження бути не повинно. Насправді, це зовсім не так.

Звичайно, цей зв'язок існує також між Великою пірамідою, платформою Наска та віссю «давньої лінії», незалежно від того, де знаходиться Північний полюс. Ця залежність може використовуватися для визначення відстаней між трьома точками та площиною. У королівській камері діагональ 309 від східної стіни, відстань від камери 412, середня діагональ – 515.

Відстані між Ольянтайтамбо, Великою пірамідою та Точкою Осі на «Давній лінії» виражають те саме геометричне співвідношення. 3-4 Відстань Великої піраміди від Оллантайтамбо становить 30% від периферії Землі. Відстань від Великої Піраміди до Мачу-Пікчу та Точка Осі на Алясці становить 25% від земного периметра. Розтягнувши цей рівнобедрений трикутник по висоті, ми отримаємо два прямокутні трикутники зі сторонами від 15% до 20% - 25%.

Діяльність, як водиться, підпорядковується складнішим і неоднозначним закономірностям. Вона виникає в результаті пружної деформації шини в поперечному напрямку та діє у бік нахилу. Що кут нахилу колеса, то більше вписувалося тяга розвалу. Саме її використовують водії двоколісної техніки – мотоциклів та велосипедів – при проходженні поворотів. Їм достатньо нахилити свого скакуна, щоб змусити його прописувати криволінійну траєкторію, яку залишається лише коригувати кермовим управлінням. Тяга розвалу відіграє важливу роль і при маневруванні автомобілів, про що буде сказано далі. Тож навряд чи її варто навмисно компенсувати сходженням. Та й сам посил, що з позитивного кута розвалу колеса прагнуть розвернутися назовні, тобто. у бік розбіжності, невірний. Навпаки, конструкція підвіски керованих коліс найчастіше така, що з позитивному розвалі його тяга прагне збільшити сходження. Так що «компенсація побічної дії розвалу» не причому. Відомо кілька факторів, що зумовлюють необхідність сходження коліс. Характер і глибина (а отже, і результат) впливу залежать від багатьох обставин: провідне колесо, що вільно котиться, кероване, чи ні, нарешті, від кінематики та еластичності підвіски. Так, на колесо автомобіля, що вільно котиться, в поздовжньому напрямку впливає сила опору коченню. Вона створює згинальний момент, що прагне розгорнути колесо щодо вузлів кріплення підвіски у напрямку розбіжності. Якщо підвіска автомобіля жорстка (наприклад, не розрізна або торсіонна балка), ефект виявиться не дуже значним. Проте він обов'язково буде, оскільки «абсолютна жорсткість» – термін та явище суто теоретичні. До того ж переміщення колеса визначається не тільки пружною деформацією елементів підвіски, а й компенсацією конструктивних проміжків у їх з'єднаннях, колісних підшипниках і т.д.
У разі підвіски з великою податливістю (що характерно, наприклад, для важельних конструкцій з еластичними втулками), результат багаторазово зросте. Якщо колесо не тільки вільно котиться, а й кероване, ситуація ускладнюється. За рахунок появи у колеса додаткового ступеня свободи та ж сила опору має подвійний вплив. Момент, що згинає передню підвіску, доповнюється моментом, що прагне розвернути колесо навколо осі повороту. Розвертаючий момент, величина якого залежить від розташування осі повороту, впливає на деталі механізму рульового управління і внаслідок їх податливості також вносить свій вагомий внесок у зміну сходження колеса в русі. Залежно від плеча обкатки внесок моменту, що розвертає, може бути зі знаком «плюс» або «мінус». Тобто він може або посилювати розбіжність коліс, або протидіяти цьому. Якщо не взяти все це до уваги і встановити спочатку колеса з нульовим сходженням, в русі вони займуть положення, що розходиться. З цього «витікають» наслідки, характерні для випадків порушення регулювання сходження: підвищена витрата палива, пилкоподібне зношування протектора та проблеми з керованістю, про що буде сказано далі.
Сила опору руху залежить від швидкості автомобіля. Тому ідеальним рішенням стало б змінне сходження, що забезпечує так само ідеальне положення коліс на будь-яких швидкостях. Оскільки зробити це складно, колесо попередньо зводять так, щоб досягти мінімального зносу шин в режимі крейсерської швидкості. Колесо, розташоване на провідній осі, більшу частину часу піддається дії сили тяги. Вона перевищує сили опору руху, тому рівнодіюча сил буде спрямована в ході руху. Застосувавши ту ж логіку, отримаємо, що в цьому випадку колеса в статиці необхідно встановити з розбіжністю. Аналогічний висновок можна зробити і щодо керованих провідних коліс.
Найкращий критерій істини – практика. Якщо, пам'ятаючи про це, переглянути регулювальні дані для сучасних автомобілів, можна випробувати розчарування, не виявивши великої різниці у сходження керованих коліс задньо- та передньопривідних моделей. Найчастіше і в тих, і в інших цей параметр буде позитивним. Хіба що серед передньопривідних автомобілів частіше трапляються випадки «нейтрального» регулювання сходження. Причина не в тому, що описана вище логіка не є правильною. Просто при виборі величини сходження поряд з компенсацією поздовжніх сил враховують інші міркування, які вносять поправки в кінцевий результат. Одне з найважливіших - забезпечення оптимальної керованості автомобіля. Зі зростанням швидкостей руху та динамічності автотехніки цей фактор набуває все більшого значення.
Керованість - поняття багатогранне, тому варто уточнити, що сходження коліс найбільше відчутно впливає на стабілізацію прямолінійної траєкторії автомобіля і його поведінку на вході в поворот. Наочно цей вплив можна пояснити з прикладу керованих коліс.

Припустимо, в русі по прямій на одне з них виявляється випадковий вплив, що обурює, від нерівності дороги. Зросла сила опору повертає колесо у бік зменшення сходження. Через кермовий механізм дія передається на друге колесо, сходження якого, навпаки, збільшується. Якщо спочатку колеса мають позитивне сходження, сила опору першому зменшується, але в другому - зростає, що протидіє обуренню. Коли сходження дорівнює нулю, протидіє ефект відсутня, а коли воно негативне - з'являється дестабілізуючий момент, що сприяє розвитку обурення. Автомобіль з таким регулюванням сходження буде нишпорити дорогою, його доведеться постійно ловити підрулюванням, що неприпустимо для звичайного дорожнього автомобіля.
У цієї «монети» є і зворотний, позитивний бік - негативне сходження дозволяє домогтися від кермового управління найшвидшої реакції. Найменша дія водія відразу провокує різку зміну траєкторії - автомобіль охоче маневрує, легко «згоджується» на поворот. Таке регулювання сходження часто-густо використовується в автоспорті.

Ті, хто дивляться телепередачі про чемпіонат WRC, напевно звертали увагу на те, як активно доводиться працювати кермом того ж таки Лебу або Гронхольму навіть на відносно прямих ділянках траси. Аналогічний вплив на поведінку автомобіля надає сходження коліс задньої осі - зменшення сходження аж до невеликої розбіжності збільшує рухливість осі. Цей ефект часто використовують для компенсації недостатньої поворотності автомобілів, наприклад, передньопривідних моделей з перевантаженою передньою віссю.
Таким чином, статичні параметри сходження, які наведені в регулювальних даних, є якоюсь суперпозицією, а іноді й компромісом між бажанням заощадити на паливі та гумі і домогтися оптимальних для автомобіля характеристик керованості. Причому помітно, що останніми роками переважає останнє.

Розвал - параметр, який відповідає за орієнтацію колеса щодо дорожнього покриття. Ми пам'ятаємо, що у ідеалі вони мають бути перпендикулярні одне одному, тобто. розвалу не повинно бути. Тим не менш, у більшості дорожніх автомобілів він є. У чому фішка?

Довідка.
Розвал (camber) відображає орієнтацію колеса щодо вертикалі і визначається як кут між вертикаллю та площиною обертання колеса. Якщо колесо насправді «розвалено», тобто. його вершина нахилена назовні, розвал вважається позитивним. Якщо колесо нахилено до кузова – розвал негативний.

Донедавна спостерігалася тенденція саме розвалювати колеса, тобто. надавати кутам розвалу позитивних значень. Багатьом, напевно, пам'ятні підручники з теорії автомобіля, в яких установка коліс з розвалом пояснювалася прагненням перерозподілити навантаження між зовнішнім та внутрішнім ступичними підшипниками. Мовляв, при позитивному куті розвалу більша її частина припадає на внутрішній підшипник, який простіше виконати більш потужним і міцним. В результаті виграє довговічність підшипникового вузла. Теза не дуже переконлива, хоча б тому, що вона якщо і справедлива, то тільки для ідеальної ситуації - прямолінійного руху автомобіля абсолютно рівною дорогою. Відомо, що при маневрах і проїзді нерівностей, навіть незначних, підшипниковий вузол зазнає динамічних навантажень, які на порядок перевищують статичні сили. Та й розподіляються вони не зовсім так, як диктує позитивний розвал коліс.

Іноді намагаються тлумачити позитивний розвал як додатковий захід, спрямований зменшення плеча обкатки. Коли у нас дійде справа до знайомства з цим важливим параметром підвіски керованих коліс, стане зрозуміло, що такий спосіб впливу далеко не найвдаліший. Він пов'язаний з одночасною зміною ширини колії і включеного кута нахилу осі повороту колеса, що загрожує небажаними наслідками. Існують більш прямі та менш болючі варіанти зміни плеча обкатки. До того ж, його мінімізація не завжди є метою розробників підвіски.

Більш переконливо виглядає версія, що позитивним розвалом компенсується усунення коліс, що відбувається при збільшенні навантаження на вісь (в результаті зростання завантаження автомобіля або динамічного перерозподілу його маси при прискоренні та гальмуванні). Еласто-кінематичні властивості більшості типів сучасних підвісок такі, що зі збільшенням ваги, що припадає на колесо, кут розвалу зменшується. Щоб забезпечити максимальне зчеплення коліс з дорогою, логічно їх попередньо трохи «розвалити». Тим більше, що в помірних дозах розвал несильно відбивається на опорі коченню та зносу шин.

Щоб забезпечити автомобілю хорошу стійкість, недостатньо статики зробити кути розвалу негативними. Конструктори підвіски повинні досягти, щоб колеса зберігали оптимальну (або близьку до неї) орієнтацію на всіх режимах руху. Виконати це непросто, оскільки при маневрах будь-які зміни положення кузова, що супроводжуються зміщенням елементів підвіски (клювання, бічні крени і т.д.), призводять до суттєвої зміни розвалу коліс. Як не дивно, це завдання вирішується простіше на спортивних автомобілях з їх «зубороздрібними» підвісками, що відрізняються високою кутовою жорсткістю і короткими ходами. Тут статичні величини розвалу (і сходження) найменше відрізняються від того, як вони виглядають у динаміці.

Існують рішення, що дозволяють звести до мінімуму зміну кутів розвалу та надати цим змінам бажаного «тренду». Наприклад, бажано, щоб у повороті найбільш навантажене зовнішнє колесо залишалося б у тому оптимальному положенні – з невеликим негативним розвалом. Для цього при крені кузова колесо має ще більше "завалюватися" на нього, що досягають оптимізацією геометрії напрямних елементів підвіски. Крім цього, намагаються зменшити самі крен кузова, застосовуючи стабілізатори поперечної стійкості.
Заради справедливості варто сказати, що еластичність підвіски не завжди ворог стійкості та керованості. У «хороших руках» еластичність, навпаки, сприяє їм. Наприклад, при вмілому використанні ефекту «самопідрулювання» коліс задньої осі. Повертаючись до теми розмови, можна резюмувати, що кути розвалу, які вказуються в специфікаціях для легкових автомобілів, значно відрізнятимуться від того, якими вони виявляться в повороті.

Розглянуті нами розвал та сходження – параметри, що визначаються для всіх чотирьох коліс автомобіля. Далі йтиметься про кутові характеристики, які мають відношення тільки до керованих колес і визначають просторову орієнтацію осі їх повороту.

Відомо, що положення осі повороту колеса автомобіля визначається двома кутами: поздовжнім і поперечним. А чому б не зробити вісь повороту вертикально? На відміну від випадків з розвалом та сходженням відповідь на це питання більш однозначна. Тут практично одностайні, по крайнього заходу щодо поздовжнього кута нахилу – кастера.

Якщо ви вже знайомі з тригонометричним колом , і хочете лише освіжити у пам'яті окремі елементи, чи ви зовсім нетерплячі, – то він, :

Ми ж тут все докладно розбиратимемо крок за кроком.

Тригонометричне коло – не розкіш, а необхідність

Тригонометрія у багатьох асоціюється з непрохідною часткою. Раптом навалюється стільки значень тригонометричних функцій, стільки формул… А адже воно, як, – незалагодилося спочатку, і… пішло-поїхало… суцільне нерозуміння…

Дуже важливо не махати рукою на значення тригонометричних функцій, - Мовляв, завжди можна подивитися в шпору з таблицею значень.

Якщо ви постійно дивитеся в таблицю зі значеннями тригонометричних формул, давайте позбавлятися цієї звички!

Нас виручить! Ви кілька разів попрацюєте з ним, і далі він у вас сам спливатиме в голові. Чим він кращий за таблицю? Та в таблиці ви знайдете обмежену кількість значень, а на колі - ВСЕ!

Наприклад, скажіть, дивлячись у стандартну таблицю значень тригонометричних формул , Чому дорівнює синус, скажімо, 300 градусів, або -45.

Ніяк?.. можна, звичайно, підключити формули приведення… А дивлячись на тригонометричне коло, легко можна відповісти на такі запитання. І ви скоро знатимете як!

А при розв'язанні тригонометричних рівнянь і нерівностей без тригонометричного кола взагалі нікуди.

Знайомство з тригонометричним колом

Давайте по порядку.

Спочатку випишемо ось такий ряд чисел:

А тепер такий:

І, нарешті, такий:

Звісно, ​​зрозуміло, що, насправді, першому місці стоїть , другою місці стоїть , але в останньому – . Тобто нас буде більше цікавити ланцюжок.

Але як гарно вона вийшла! У разі чого – відновимо цю «драбинку-чуденечку».

І навіщо воно нам?

Цей ланцюжок – і є основні значення синуса та косинуса у першій чверті.

Накреслимо в прямокутній системі координат коло одиничного радіусу (тобто радіус-то за довжиною беремо будь-який, яке довжину оголошуємо одиничної).

Від променя «0-Старт» відкладаємо у напрямку стрілки (див. мал.) кути.

Отримуємо відповідні точки на колі. Так от якщо спроектувати крапки на кожну з осей, то ми вийдемо якраз на значення із зазначеного вище ланцюжка.

То чому ж, запитаєте ви?

Не розбиратимемо все. Розглянемо принципщо дозволить впоратися і з іншими аналогічними ситуаціями.

Трикутник АОВ – прямокутний, у ньому. А ми знаємо, що проти кута лежить катет вдвічі менший гіпотенузи (гіпотенуза у нас = радіусу кола, тобто 1).

Значить, АВ = (а отже, і ЗМ =). А з теореми Піфагора

Сподіваюся, що вже щось стає зрозуміло?

Так ось точка В і відповідатиме значенню , а точка М – значенню

Аналогічно з іншими значеннями першої чверті.

Як ви розумієте, звична нам вісь (ox) буде віссю косинусів, а вісь (oy) - віссю синусів . пізніше.

Зліва від нуля по осі косінусів (нижче від нуля по осі синусів) будуть, звичайно, негативні значення.

Отже, ось він, ВСІМНИЙ, без якого нікуди в тригонометрії.

А ось як користуватися тригонометричним колом, ми поговоримо у .

Відлік кутів на тригонометричному колі.

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")

Він майже такий, як у попередньому уроці. Є осі, коло, кут, все чин-чинарем. Додані номери чвертей (у куточках великого квадрата) – від першої до четвертої. А то раптом хтось не знає? Як бачите, чверті (їх ще називають гарним словом "квадранти") нумеруються проти ходу годинникової стрілки. Додано значення кута на осях. Все відомо, ніяких проблем.

І додано зелену стрілку. Із плюсом. Що вона означає? Нагадаю, що нерухома сторона кута завжди прибита до позитивної півосі ОХ. Так от, якщо рухливий бік кута ми будемо крутити зі стрілкою з плюсом, тобто. за зростанням номерів чвертей, кут вважатиметься позитивним.Наприклад на малюнку показаний позитивний кут +60°.

Якщо відкладатимемо кути у зворотний бік, по ходу годинникової стрілки, кут вважатиметься негативним.Наведіть курсор на зображення (або торкніться зображення на планшеті), побачите синю стрілку з мінусом. Це - напрямок негативного відліку кутів. Наприклад показаний негативний кут (- 60°). А ще ви побачите, як змінилися циферки на осях... Я їх також перевів у негативні кути. Нумерація квадрантів не змінюється.

Ось тут, як правило, починаються перші непоняття. Як так!? А якщо негативний кут на колі збігатиметься з позитивним!? Та й взагалі, виходить що, те саме положення рухомої сторони (або точки на числовому колі) можна обізвати як негативним кутом, так і позитивним!?

Так. Саме так. Скажімо, позитивний кут 90 градусів займає на колі таке саме положення, що і негативний кут мінус 270 градусів. Позитивний кут, наприклад, +110 градусів займає таке саме положення, як і негативний кут -250°.

Не питання. Вибір позитивного або негативного обчислення кута залежить від умови завдання. Якщо в умові нічого не сказано відкритим текстом про знак кута, (типу "визначити найменший позитивнийкут і т.д.), то працюємо зі зручними нам величинами.

Винятком (а як без них?!) є тригонометричні нерівності, але там ми цю фішку освоїмо.

А тепер вам питання. Як я дізнався, що положення кута 110 ° збігається з положенням кута -250?
Натякну, що це пов'язано з повним оборотом. У 360 ° ... Незрозуміло? Тоді малюємо коло. Самі малюємо на папері. Відзначаємо кут приблизно 110 °. І вважаємоскільки залишається до повного обороту. Залишиться якраз 250°...

Вловили? А тепер – увага! Якщо кути 110 ° і -250 ° займають на колі одне і теж становище, то що? Та те, що у кутів 110 ° і -250 ° абсолютно однакові синус, косинус, тангенс та котангенс!
Тобто. sin110° = sin(-250°), ctg110° = ctg(-250°) тощо. Ось це вже справді важливо! І саме по собі є маса завдань, де треба спростити вирази, і як база для подальшого освоєння формул приведення та інших премудростей тригонометрії.

Зрозуміло, 110° і -250° я взяв навмання, чисто для прикладу. Всі ці рівності працюють для будь-яких кутів, що займають одне становище на колі. 60 ° і -300 °, -75 ° і 285 °, ну і так далі. Відзначу відразу, що кути в цих парочках різні.А ось тригонометричні функції у них - однакові.

Думаю, що таке негативні кути ви зрозуміли. Це дуже просто. Проти ходу годинникової стрілки – позитивний відлік. По ходу – негативний. Вважати кут позитивним, або негативним залежить від нас. Від нашого бажання. Ну, і ще від завдання, звичайно... Сподіваюся, ви зрозуміли і як переходити в тригонометричних функціях від негативних кутів до позитивних та назад. Намалювати коло, приблизний кут, і побачити, скільки немає до повного обороту, тобто. до 360 °.

Кути більше 360 °.

Займемося кутами, які більше 360°. А такі трапляються? Бувають, звісно. Як їх намалювати на колі? Та не проблема! Припустимо, нам треба зрозуміти, яку чверть потрапить кут в 1000°? Легко! Робимо один повний оборот проти ходу годинникової стрілки (кут нам дали позитивний!). Відмотали 360 °. Ну і крутимо далі! Ще оборот – уже вийшло 720 °. Скільки залишилось? 280 °. На повний оборот не вистачає... Але кут більше 270° - а це межа між третьою та четвертою чвертю. Отже наш кут в 1000 ° потрапляє в четверту чверть. Всі.

Як бачите, це дуже просто. Ще раз нагадаю, що кут 1000 і кут 280, який ми отримали шляхом відкидання "зайвих" повних оборотів - це, строго кажучи, різнікути. Але тригонометричні функції у цих кутів абсолютно однакові! Тобто. sin1000 ° = sin280 °, cos1000 ° = cos280 ° і т.д. Якби я був синусом, я не помітив би різниці між цими двома кутами...

Навіщо це все потрібно? Навіщо нам переводити кути з одного до іншого? Та все за тим самим.) З метою спрощення виразів. Спрощення виразів, власне, головне завдання шкільної математики. Ну і, принагідно, голова тренується.)

Ну що, потренуємось?)

Відповідаємо на питання. Спершу прості.

1. У яку чверть потрапляє кут -325?

2. У яку чверть потрапляє кут 3000?

3. У яку чверть попадає кут -3000 °?

Є проблеми? Чи невпевненість? Ідемо в Розділ 555, Практична робота з тригонометричним колом. Там, у першому уроці цієї самої "Практичної роботи..." все докладненько... такихпитаннях невпевненості бути не повинно!

4. Який знак має sin555°?

5. Який знак має tg555?

Визначили? Чудово! Сумніваєтесь? До речі, там навчитеся малювати тангенс і котангенс на тригонометричному колі. Дуже корисна штучка.

А тепер питання мудріші.

6. Привести вираз sin777° до синуса найменшого позитивного кута.

7. Привести вираз cos777° до косінусу найбільшого негативного кута.

8. Привести вираз cos(-777°) до косінусу найменшого позитивного кута.

9. Привести вираз sin777° до синуса найбільшого негативного кута.

Що, питання 6-9 спантеличили? Звикайте, на ЄДІ і не такі формулювання зустрічаються... Так і бути, переведу. Тільки для вас!

Слова "привести вираз до..." означають перетворення виразу так, щоб його значення не змінилося,а зовнішній вигляд змінився відповідно до завдання. Так, у завданні 6 та 9 ми повинні отримати синус, усередині якого стоїть найменший позитивний кут.Все інше – не має значення.

Відповіді видам по порядку (порушуючи наші правила). А що робити, знаки всього два, а чверті всього чотири... Не розбіжишся у випадках.

6. sin57 °.

7. cos (-57 °).

8. cos57 °.

9. -sin (-57 °)

Припускаю, що відповіді на запитання 6 -9 декого збентежили. Особливо -sin (-57 °), Правда?) Справді, в елементарних правилах відліку кутів є місце для помилок ... Саме тому довелося зробити урок: "Як визначати знаки функцій і наводити кути на тригонометричному колі?" У Розділі 555. Там завдання 4 – 9 розібрані. Добре розібрані, з усіма підводними каменями. А вони тут є.

У наступному уроці ми розберемося із загадковими радіанами та числом "Пі". Навчимося легко і правильно переводити градуси в радіани і назад. І з подивом виявимо, що цієї елементарної інформації на сайті вже вистачає щоб вирішувати деякі нестандартні завдання з тригонометрії!

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.