Tích phân của tội lỗi bình phương. Tích phân phức tạp. Tích phân sin, cosin, tiếp tuyến và cotang

Trong thực tế, người ta thường phải tính tích phân của các hàm siêu việt chứa hàm lượng giác. Là một phần của tài liệu này, chúng tôi sẽ mô tả các loại hàm tích phân chính và chỉ ra những phương pháp nào có thể được sử dụng để tích hợp chúng.

Tích phân sin, cosin, tiếp tuyến và cotang

Hãy bắt đầu với các phương pháp tích hợp cơ bản hàm lượng giác– sin, cos, tg, c tg. Sử dụng bảng nguyên hàm, chúng ta viết ngay rằng ∫ sin x d x = - cos x + C, và ∫ cos x d x = sin x + C.

Để tính tích phân không xác định của các hàm t g và c t g, bạn có thể sử dụng dấu vi phân:

∫ t g x d x = ∫ sin x cos x d x = d (cos x) = - sin x d x = = - ∫ d (cos x) cos x = - ln cos x + C ∫ c t g x d x = ∫ cos x sin x d x = d (sin x) = cos x d x = = ∫ d (sin x) sin x = ln sin x + C

Làm thế nào chúng ta có được các công thức ∫ d x sin x = ln 1 - cos x sin x + C và ∫ d x cos x = ln 1 + sin x cos x + C, được lấy từ bảng phản đạo hàm? Chúng ta hãy chỉ giải thích một trường hợp, vì trường hợp thứ hai sẽ rõ ràng bằng cách so sánh.

Sử dụng phương pháp thay thế, chúng tôi viết:

∫ d x sin x = sin x = t ⇒ x = arc c sin y ⇒ d x = d t 1 - t 2 = d t t 1 - t 2

Ở đây chúng ta cần tích hợp hàm vô tỉ. Chúng tôi sử dụng phương pháp thay thế tương tự:

∫ d t t 1 - t 2 = 1 - t 2 = z 2 ⇒ t = 1 - z 2 ⇒ d t = - z d z 1 - z 2 = = ∫ - z d z z 1 - z 2 1 - z 2 = ∫ d z z 2 - 1 = ∫ d z (z - 1) (z +) = = 1 2 ∫ d z z - 1 - 1 2 ∫ d z z + 1 = 1 2 ln z - 1 - 1 2 z + 1 + C = = 1 2 ln z - 1 z + 1 + C = ln z - 1 z + 1 + C

Bây giờ chúng ta thực hiện phép thay thế ngược z = 1 - t 2 và t = sin x:

∫ d x sin x = ∫ d t t 1 - t 2 = ln z - 1 z + 1 + C = = ln 1 - t 2 - 1 1 - t 2 + 1 + C = ln 1 - sin 2 x - 1 1 - sin 2 x + 1 + C = = ln cos x - 1 cos x + 1 + C = ln (cos x - 1) 2 sin 2 x + C = = ln cos x - 1 sin x + C

Chúng ta sẽ phân tích riêng các trường hợp có tích phân chứa lũy thừa của các hàm lượng giác, chẳng hạn như ∫ sin n x d x, ∫ cos n x d x, ∫ d x sin n x, ∫ d x cos n x.

Bạn có thể đọc về cách tính toán chúng một cách chính xác trong bài viết về tích phân bằng công thức truy hồi. Nếu bạn biết các công thức này được suy ra như thế nào, bạn có thể dễ dàng lấy các tích phân như ∫ sin n x · cos m x d x với m và n tự nhiên.

Nếu chúng ta có sự kết hợp của các hàm lượng giác với các hàm đa thức hoặc hàm mũ thì chúng sẽ phải được tích phân từng phần. Chúng tôi khuyên bạn nên đọc một bài viết về các phương pháp tìm tích phân ∫ P n (x) · sin (a x) d x , ∫ P n (x) · cos (a x) d x , ∫ e a · x · sin (a x) d x , ∫ e a · x · cos (a x) d x .

Những bài toán khó nhất là những bài trong đó tích phân bao gồm các hàm lượng giác với các đối số khác nhau. Để làm được điều này, bạn cần sử dụng các công thức lượng giác cơ bản nên nên ghi nhớ hoặc ghi nhớ trong tay.

ví dụ 1

Tìm tập nguyên hàm của hàm số y = sin(4 x) + 2 cos 2 (2 x) sin x · cos (3 x) + 2 cos 2 x 2 - 1 · sin (3 x) .

Giải pháp

Hãy sử dụng công thức giảm bậc và viết cos 2 x 2 = 1 + cos x 2, và cos 2 2 x = 1 + cos 4 x 2. Có nghĩa,

y = sin (4 x) + 2 cos 2 (2 x) sin x cos (3 x) + 2 cos 2 x 2 - 1 sin (3 x) = sin (4 x) + 2 1 + cos 4 x 2 sin x cos (3 x) + 2 1 + cos x 2 - 1 sin(3 x) = = sin(4 x) + cos (4 x) + 1 sin x cos (3 x) + cos x sin (3 x)

Ở mẫu số, chúng ta có công thức tính sin của tổng. Sau đó bạn có thể viết nó như thế này:

y = sin (4 x) + cos (4 x) + 1 sin x cos (3 x) + cos x sin (3 x) = sin (4 x) + cos (4 x) + 1 sin (4 x ) = = 1 + cos(4 x) sin(4 x)

Ta được tổng của 3 tích phân.

∫ sin(4 x) + cos (4 x) + 1 sin x · cos (3 x) + cos x · sin (3 x) d x = = ∫ d x + cos (4 x) d x sin (4 x) + ∫ d x sin (4 x) = = x + 1 4 ln ∫ d (sin (4 x)) sin (4 x) + 1 4 ln cos (4 x) - 1 sin (4 x) = = 1 4 ln sin ( 4 x) + 1 4 ln cos (4 x) - 1 sin (4 x) + C = x + 1 4 ln cos 4 x - 1 + C

Trong một số trường hợp, các hàm lượng giác dưới tích phân có thể được rút gọn thành các biểu thức hữu tỉ phân số bằng phương pháp thay thế tiêu chuẩn. Đầu tiên, hãy lấy các công thức biểu thị sin, cos và t g thông qua tang của nửa đối số:

sin x = 2 t g x 2 1 + t g 2 x 2 , sin x = 1 - t g 2 x 2 1 + t g 2 x 2 , t g x = 2 t g x 2 1 - t g 2 x 2

Chúng ta cũng cần biểu diễn vi phân d x theo tang của nửa góc:

Vì d t g x 2 = t g x 2 "d x = d x 2 cos 2 x 2, nên

d x = 2 cos 2 x 2 d t g x 2 = 2 d t g x 2 1 cos 2 x 2 = 2 d t g x 2 cos 2 x 2 + sin 2 x 2 cos 2 x 2 = 2 d t g x 2 1 + t g 2 x 2

Như vậy, sin x = 2 z 1 + z 2, cos x 1 - z 2 1 + z 2, t g x 2 z 1 - z 2, d x = 2 d z 1 + z 2 tại z = t g x 2.

Ví dụ 2

Tìm tích phân không xác định ∫ d x 2 sin x + cos x + 2 .

Giải pháp

Chúng tôi sử dụng phương pháp thay thế lượng giác tiêu chuẩn.

2 sin x + cos x + 2 = 2 2 z 1 + z 2 + 1 - z 2 1 + z 2 = z 2 + 4 z + 3 1 + z 2 ⇒ d x 2 sin x + cos x + 2 = 2 d z 1 + z 2 z 2 + 4 z + 3 1 + z 2 = 2 d z z 2 + 4 z + 3

Chúng ta thu được ∫ d x 2 sin x + cos x + 2 = 2 d z z 2 + 4 z + 3 .

Bây giờ chúng ta có thể mở rộng tích phân thành các phân số đơn giản và thu được tổng của hai tích phân:

∫ d x 2 sin x + cos x + 2 = 2 ∫ 2 d z z 2 + 4 z + 3 = 2 ∫ 1 2 1 z + 1 - 1 z + 3 d z = = ∫ d z z + 1 - ∫ C z + 3 = ln z + 1 - ln z + 3 + C = ln z + 1 z + 3 + C

∫ d x 2 sin x + cos x + 2 = ln z + 1 z + 3 + C = ln t g x 2 + 1 t g x 2 + 3 + C

Đáp án: ∫ d x 2 sin x + cos x + 2 = ln t g x 2 + 1 t g x 2 + 3 + C

Điều quan trọng cần lưu ý là những công thức biểu thị hàm số thông qua tiếp tuyến của một nửa đối số không phải là đồng nhất thức, do đó, biểu thức thu được ln t g x 2 + 1 t g x 2 + 3 + C là tập hợp nguyên hàm của hàm y = 1 2 sin x + cos x + 2 chỉ trên miền định nghĩa.

Để giải quyết các loại vấn đề khác, bạn có thể sử dụng các phương pháp tích hợp cơ bản.

Nếu bạn thấy văn bản có lỗi, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl+Enter

Để tích hợp các hàm hữu tỷ có dạng R(sin x, cos x), một phép thay thế được sử dụng, được gọi là phép thay thế lượng giác phổ quát. Sau đó . Sự thay thế lượng giác phổ quát thường dẫn đến các phép tính lớn. Vì vậy, bất cứ khi nào có thể, hãy sử dụng các thay thế sau.

Tích hợp các hàm phụ thuộc hợp lý vào các hàm lượng giác

Chúng ta hãy sử dụng các công thức để chuyển đổi tích của các hàm lượng giác thành tổng của chúng:

• sin α cos β = ½(sin(α+β)+sin(α-β))
• cos α cos β = ½(cos(α+β)+cos(α-β))
• sin α sin β = ½(cos(α-β)-cos(α+β))

Ví dụ
1. Tính tích phân ∫ cos 4 x·sin 3 xdx .
Chúng ta thực hiện thay thế cos(x)=t. Khi đó ∫ cos 4 x sin 3 xdx =
2. Tính tích phân.
Thực hiện thay thế sin x=t , chúng ta nhận được

Tích phân các biểu thức dạng R(sinx, cosx)

Ví dụ số 1. Tính tích phân:

Giải pháp.
a) Tích phân các biểu thức dạng R(sinx, cosx), trong đó R là hàm hữu tỉ của sin x và cos x, được chuyển thành tích phân của hàm hữu tỉ bằng phép thay thế lượng giác phổ quát tg(x/2) = t.
Sau đó chúng tôi có

• Nếu đẳng thức R(-sin x, cos x) = -R(sin x, cos x)dx được thỏa mãn thì phép thay thế cos x = t được áp dụng.
• Nếu đẳng thức R(sin x, -cos x) = -R(sin x, cos x)dx đúng thì phép thế sin x = t.
• Nếu đẳng thức R(-sin x, -cos x) = R(sin x, cos x)dx đúng thì phép thay thế tgx = t hoặc ctg x = t.

Bảng nguyên hàm ("tích phân"). Bảng tích phân. Tích phân không xác định dạng bảng. (Các tích phân và tích phân đơn giản nhất có tham số). Công thức tích phân từng phần. Công thức Newton-Leibniz.

Công thức tích phân từng phần. Quy luật hội nhập.

Bảng dẫn xuất. Dẫn xuất dạng bảng. Dẫn xuất của sản phẩm. Đạo hàm của thương số. Đạo hàm của hàm phức.

Nếu x là biến độc lập thì:

Tính chất của logarit. Các công thức cơ bản của logarit. Thập phân (lg) và logarit tự nhiên (ln).

Logarit tự nhiên ln (logarit cơ số e = 2,718281828459045...) ln(e)=1; ln(1)=0

Chuỗi Taylor. Khai triển chuỗi Taylor của hàm số.

Hóa ra là phần lớn thực tế gặp phải Các hàm toán học có thể được biểu diễn với bất kỳ độ chính xác nào trong vùng lân cận của một điểm nhất định dưới dạng chuỗi lũy thừa chứa lũy thừa của một biến theo thứ tự tăng dần. Ví dụ: trong vùng lân cận của điểm x=1:

Khi sử dụng chuỗi có tên Hàng của Taylor các hàm hỗn hợp chứa các hàm đại số, lượng giác và hàm mũ có thể được biểu diễn dưới dạng các hàm đại số thuần túy. Bằng cách sử dụng chuỗi, bạn thường có thể nhanh chóng thực hiện phép tính vi phân và tích phân.

Chuỗi Taylor lân cận điểm a có dạng:

1) , trong đó f(x) là hàm có đạo hàm mọi bậc tại x = a. R n - số hạng còn lại trong chuỗi Taylor được xác định bởi biểu thức

2)

Hệ số thứ k (tại x k) của dãy được xác định theo công thức

3) Trường hợp đặc biệt của chuỗi Taylor là chuỗi Maclaurin (=McLaren) (sự mở rộng xảy ra xung quanh điểm a=0)

tại a=0

các phần tử của dãy được xác định theo công thức

Điều kiện sử dụng chuỗi Taylor.

1. Để hàm f(x) được mở rộng thành chuỗi Taylor trên khoảng (-R;R), điều cần thiết và đủ là số hạng còn lại trong công thức Taylor (Maclaurin (=McLaren)) cho hàm này hàm có xu hướng về 0 khi k →∞ trên khoảng xác định (-R;R).

2. Điều cần thiết là phải có đạo hàm của một hàm số cho trước tại điểm gần đó mà chúng ta sẽ xây dựng chuỗi Taylor.

Tính chất của chuỗi Taylor.

Nếu f là một hàm giải tích thì chuỗi Taylor của nó tại bất kỳ điểm a nào trong miền định nghĩa của f đều hội tụ về f trong một lân cận nào đó của a.

Có các hàm khả vi vô hạn mà chuỗi Taylor hội tụ, nhưng đồng thời khác với hàm trong bất kỳ lân cận nào của a. Ví dụ:

Chuỗi Taylor được sử dụng trong phép tính gần đúng (xấp xỉ - Phương pháp khoa học, bao gồm việc thay thế một số đối tượng bằng các đối tượng khác, theo nghĩa này hay nghĩa khác gần với các đối tượng ban đầu, nhưng đơn giản hơn) bằng các hàm đa thức. Đặc biệt, tuyến tính hóa ((từ tuyến tính - tuyến tính), một trong những phương pháp biểu diễn gần đúng của các hệ phi tuyến khép kín, trong đó việc nghiên cứu hệ phi tuyến được thay thế bằng phân tích hệ tuyến tính, theo một nghĩa nào đó tương đương với hệ ban đầu .) phương trình xảy ra bằng cách khai triển thành chuỗi Taylor và cắt bỏ tất cả các số hạng ở trên bậc một.

Vì vậy, hầu hết mọi hàm đều có thể được biểu diễn dưới dạng đa thức với độ chính xác nhất định.

Ví dụ về một số khai triển phổ biến của hàm lũy thừa trong chuỗi Maclaurin (=McLaren, Taylor ở lân cận điểm 0) và Taylor ở lân cận điểm 1. Các số hạng đầu tiên của khai triển các hàm chính trong chuỗi Taylor và McLaren.

Ví dụ về một số khai triển phổ biến của hàm lũy thừa trong chuỗi Maclaurin (=McLaren, Taylor ở lân cận điểm 0)

Ví dụ về một số khai triển chuỗi Taylor phổ biến ở lân cận điểm 1

Ví dụ về nghiệm tích phân từng phần được xem xét chi tiết, tích phân của nó là tích của một đa thức với hàm mũ (e mũ x) hoặc sin (sin x) hoặc cosin (cos x).

Xem thêm: Phương pháp tích hợp từng phần
Bảng tích phân không xác định
Phương pháp tính tích phân không xác định
Các hàm cơ bản cơ bản và tính chất của chúng

Công thức tích phân từng phần

Khi giải các ví dụ trong phần này, công thức tích phân từng phần được sử dụng:
;
.

Ví dụ về tích phân chứa tích của một đa thức và sin x, cos x hoặc e x

Dưới đây là ví dụ về tích phân như vậy:
, , .

Để lấy tích phân như vậy, đa thức được ký hiệu là u và phần còn lại là v dx. Tiếp theo, áp dụng công thức tích phân từng phần.

Dưới đây là giải pháp chi tiết cho những ví dụ này.

Ví dụ về giải tích phân

Ví dụ với số mũ, e lũy thừa của x

Xác định tích phân:
.

Hãy để chúng tôi giới thiệu số mũ dưới dấu vi phân:
e - x dx = - e - x d(-x) = - d(e - x).

Hãy tích hợp từng phần.

Đây
.
Ta cũng lấy tích phân còn lại từng phần.
.
.
.
Cuối cùng chúng ta có:
.

Ví dụ về định nghĩa tích phân với sin

Tính tích phân:
.

Hãy giới thiệu sin dưới dấu vi phân:

Hãy tích hợp từng phần.

ở đây u = x 2 , v = cos(2 x+3), du = ( x 2 )′ dx

Ta cũng lấy tích phân còn lại từng phần. Để làm điều này, hãy đưa cosin vào dưới dấu vi phân.


ở đây u = x, v = tội lỗi(2 x+3), du = dx

Cuối cùng chúng ta có:

Ví dụ về tích của đa thức và cosine

Tính tích phân:
.

Hãy giới thiệu cosin dưới dấu vi phân:

Hãy tích hợp từng phần.

ở đây bạn = x 2 + 3 x + 5, v = tội lỗi 2 x, du = ( x 2 + 3 x + 5 )′ dx

tích phân phức

Bài viết này kết thúc chủ đề về tích phân không xác định và bao gồm các tích phân mà tôi thấy khá phức tạp. Bài học được tạo ra theo yêu cầu lặp đi lặp lại của những người truy cập bày tỏ mong muốn rằng trang web sẽ phân tích những ví dụ khó hơn.

Giả định rằng người đọc bài viết này đã được chuẩn bị tốt và biết cách áp dụng các kỹ thuật tích phân cơ bản. Những bạn mới học và chưa tự tin lắm về tích phân nên tham khảo ngay bài học đầu tiên - Không xác định, không thể thiếu. Ví dụ về giải pháp, nơi bạn có thể nắm vững chủ đề gần như ngay từ đầu. Những sinh viên có kinh nghiệm hơn có thể làm quen với các kỹ thuật và phương pháp tích phân chưa được đề cập trong các bài viết của tôi.

Những tích phân nào sẽ được xem xét?

Đầu tiên chúng ta sẽ xem xét tích phân có nghiệm, để nghiệm mà chúng ta lần lượt sử dụng thay thế biến Và tích hợp từng phần. Nghĩa là, trong một ví dụ, hai kỹ thuật được kết hợp cùng một lúc. Va thậm chi nhiêu hơn.

Sau đó chúng ta sẽ làm quen với những điều thú vị và độc đáo phương pháp khử tích phân về chính nó. Khá nhiều tích phân được giải theo cách này.

Vấn đề thứ ba của chương trình sẽ là tích phân của các phân số phức tạp, đã được đưa ra bàn tính tiền trong các bài viết trước.

Thứ tư, các tích phân bổ sung từ các hàm lượng giác sẽ được phân tích. Đặc biệt, có những phương pháp tránh việc thay thế lượng giác phổ quát tốn thời gian.

(2) Trong hàm tích phân, chúng ta chia tử số cho số hạng mẫu số cho số hạng.

(3) Chúng tôi sử dụng tính chất tuyến tính không xác định, không thể thiếu. Trong tích phân cuối cùng ngay lập tức đặt hàm dưới dấu vi phân.

(4) Ta lấy các tích phân còn lại. Lưu ý rằng trong logarit, bạn có thể sử dụng dấu ngoặc đơn thay vì mô đun, vì .

(5) Chúng ta thực hiện thay thế ngược lại, thể hiện “te” từ thay thế trực tiếp:

Những học sinh khổ dâm có thể phân biệt câu trả lời và nhận được số nguyên gốc, như tôi vừa làm. Không, không, tôi đã kiểm tra đúng nghĩa =)

Như bạn có thể thấy, trong quá trình giải, chúng tôi thậm chí phải sử dụng nhiều hơn hai phương pháp giải, vì vậy để giải các tích phân như vậy, bạn cần có kỹ năng tích phân tự tin và khá nhiều kinh nghiệm.

Tất nhiên, trong thực tế, căn bậc hai phổ biến hơn, đây là ba ví dụ cho quyết định độc lập:

Ví dụ 2

Tìm tích phân không xác định

Ví dụ 3

Tìm tích phân không xác định

Ví dụ 4

Tìm tích phân không xác định

Các ví dụ này cùng loại nên lời giải hoàn chỉnh ở cuối bài sẽ chỉ dành cho Ví dụ 2; Ví dụ 3-4 có đáp án giống nhau. Tôi nghĩ việc sử dụng sự thay thế nào khi bắt đầu đưa ra quyết định là điều hiển nhiên. Tại sao tôi chọn những ví dụ cùng loại? Thường được tìm thấy trong vai trò của họ. Có lẽ thường xuyên hơn, chỉ là một cái gì đó như .

Nhưng không phải lúc nào cũng vậy, khi trong các hàm arctang, sin, cos, hàm mũ và các hàm khác có nghiệm của hàm tuyến tính, bạn phải sử dụng một số phương pháp cùng một lúc. Trong một số trường hợp, có thể “thoát ra dễ dàng”, tức là ngay sau khi thay thế, sẽ thu được một tích phân đơn giản, có thể dễ dàng lấy được. Nhiệm vụ dễ dàng nhất được đề xuất ở trên là Ví dụ 4, trong đó, sau khi thay thế, thu được một tích phân tương đối đơn giản.

Bằng cách rút gọn tích phân về chính nó

hóm hỉnh và phương pháp hay. Chúng ta hãy xem các tác phẩm kinh điển của thể loại này:

Ví dụ 5

Tìm tích phân không xác định

Dưới gốc là một nhị thức bậc hai, và khi cố lấy tích phân ví dụ nàyấm đun nước có thể chịu đựng trong nhiều giờ. Tích phân như vậy được lấy thành từng phần và quy về chính nó. Về nguyên tắc, nó không khó. Nếu bạn biết cách.

Hãy ký hiệu tích phân đang xét chữ cái Latinh và hãy bắt đầu giải quyết:

Hãy tích phân từng phần:

(1) Chuẩn bị hàm tích phân cho phép chia từng số hạng.

(2) Chúng ta chia số hạng của hàm số nguyên cho số hạng. Nó có thể không rõ ràng với mọi người, nhưng tôi sẽ mô tả nó chi tiết hơn:

(3) Chúng tôi sử dụng tính chất tuyến tính của tích phân không xác định.

(4) Lấy tích phân cuối cùng logarit (“dài”).

Bây giờ chúng ta hãy nhìn vào phần đầu của giải pháp:

Và cuối cùng:

Chuyện gì đã xảy ra thế? Kết quả của sự thao tác của chúng ta là tích phân đã bị rút gọn về chính nó!

Hãy đánh đồng phần đầu và phần cuối:

Di chuyển sang bên trái với sự thay đổi dấu hiệu:

Và chúng tôi di chuyển cả hai sang phía bên phải. Kết quả là:

Nói đúng ra, hằng số lẽ ra phải được thêm vào sớm hơn, nhưng tôi đã thêm nó vào cuối. Tôi thực sự khuyên bạn nên đọc sự nghiêm ngặt ở đây:

Ghi chú: Nghiêm túc hơn, giai đoạn cuối cùng của giải pháp trông như thế này:

Như vậy:

Hằng số có thể được thiết kế lại bởi . Tại sao nó có thể được thiết kế lại? Vì anh vẫn chấp nhận bất kì các giá trị và theo nghĩa này không có sự khác biệt giữa các hằng số và.
Kết quả là:

Một thủ thuật tương tự với việc ký hiệu lại liên tục được sử dụng rộng rãi trong phương trình vi phân. Và ở đó tôi sẽ nghiêm khắc. Và ở đây tôi chỉ cho phép sự tự do đó để không làm bạn bối rối những thứ không cần thiết và tập trung vào chính phương pháp tích hợp.

Ví dụ 6

Tìm tích phân không xác định

Một tích phân điển hình khác cho nghiệm độc lập. Đáp án và đáp án đầy đủ ở cuối bài. Sẽ có sự khác biệt với câu trả lời ở ví dụ trước!

Nếu dưới căn bậc hai là một tam thức bậc hai thì nghiệm trong mọi trường hợp đều rút gọn thành hai ví dụ được phân tích.

Ví dụ, xét tích phân . Tất cả những gì bạn cần làm là trước tiên chọn một hình vuông hoàn chỉnh:
.
Tiếp theo, một sự thay thế tuyến tính được thực hiện “không có bất kỳ hậu quả nào”:
, dẫn đến tích phân . Một cái gì đó quen thuộc, phải không?

Hoặc ví dụ này, với nhị thức bậc hai:
Chọn một hình vuông hoàn chỉnh:
Và, sau khi thay thế tuyến tính, chúng ta thu được tích phân, cũng được giải bằng thuật toán đã được thảo luận.

Chúng ta hãy xem hai ví dụ điển hình hơn về cách quy tích phân về chính nó:
– tích phân của số mũ nhân với sin;
– tích phân của số mũ nhân với cosin.

Trong các tích phân được liệt kê theo từng phần, bạn sẽ phải tích phân hai lần:

Ví dụ 7

Tìm tích phân không xác định

Số nguyên là số mũ nhân với sin.

Chúng ta lấy tích phân từng phần hai lần và rút gọn tích phân về chính nó:

Do sự tích phân kép từng phần nên tích phân được rút gọn về chính nó. Chúng tôi đánh đồng sự bắt đầu và kết thúc của giải pháp:

Chúng ta di chuyển nó sang bên trái bằng cách đổi dấu và biểu thị tích phân của chúng ta:

Sẵn sàng. Đồng thời, nên chải mặt phải, tức là chải sang bên phải. lấy số mũ ra khỏi ngoặc và đặt sin và cosin trong ngoặc theo thứ tự “đẹp”.

Bây giờ chúng ta hãy quay lại phần đầu của ví dụ, hay chính xác hơn là tích hợp từng phần:

Chúng tôi đã chỉ định số mũ là. Câu hỏi đặt ra: đó có phải là số mũ luôn được biểu thị bằng ? Không cần thiết. Thật vậy, trong tích phân đang xét về cơ bản không quan trọng, ý của chúng ta là gì , chúng ta có thể đi theo cách khác:

Tại sao điều này có thể thực hiện được? Bởi vì số mũ biến thành chính nó (cả trong quá trình lấy vi phân và tích phân), sin và cos biến đổi lẫn nhau (một lần nữa, cả trong quá trình lấy vi phân và tích phân).

Nghĩa là, chúng ta cũng có thể biểu thị một hàm lượng giác. Tuy nhiên, trong ví dụ đang xem xét, điều này kém hợp lý hơn vì các phân số sẽ xuất hiện. Nếu muốn, bạn có thể thử giải ví dụ này bằng phương pháp thứ hai; các câu trả lời phải khớp nhau.

Ví dụ 8

Tìm tích phân không xác định

Đây là ví dụ để bạn tự giải quyết. Trước khi quyết định, hãy nghĩ xem điều gì có lợi hơn trong trường hợp này khi chỉ định là hàm số mũ hay hàm lượng giác? Đáp án và đáp án đầy đủ ở cuối bài.

Và tất nhiên, đừng quên rằng hầu hết các đáp án trong bài này đều khá dễ kiểm tra bằng phép vi phân!

Các ví dụ được xem xét không phải là phức tạp nhất. Trong thực tế, tích phân phổ biến hơn khi hằng số vừa ở số mũ vừa ở đối số của hàm lượng giác, ví dụ: . Nhiều người sẽ bối rối trong một tích phân như vậy, và bản thân tôi cũng thường bối rối. Thực tế là có khả năng cao sẽ xuất hiện các phân số trong dung dịch và rất dễ làm mất đi thứ gì đó do bất cẩn. Ngoài ra, có khả năng cao xảy ra lỗi trong các dấu; lưu ý rằng số mũ có dấu trừ và điều này gây thêm khó khăn.

Ở giai đoạn cuối, kết quả thường như thế này:

Ngay cả khi kết thúc lời giải, bạn cũng phải cực kỳ cẩn thận và hiểu chính xác các phân số:

Tích Phân Phân Số Phức

Chúng ta đang dần dần tiếp cận đường xích đạo của bài học và bắt đầu xem xét tích phân của phân số. Một lần nữa, không phải tất cả chúng đều siêu phức tạp, chỉ vì lý do này hay lý do khác mà các ví dụ hơi “lạc đề” trong các bài viết khác.

Tiếp tục chủ đề về cội nguồn

Ví dụ 9

Tìm tích phân không xác định

Trong mẫu số dưới căn có một tam thức bậc hai cộng với một phần phụ có dạng chữ “X” bên ngoài căn. Tích phân loại này có thể được giải bằng phép thế chuẩn.

Chúng tôi quyết định:

Việc thay thế ở đây rất đơn giản:

Hãy nhìn vào cuộc sống sau khi thay thế:

(1) Sau khi thay thế, chúng ta rút gọn các số hạng dưới gốc thành mẫu số chung.
(2) Chúng tôi lấy nó ra từ gốc.
(3) Tử số và mẫu số giảm đi . Đồng thời, ở phần gốc, tôi sắp xếp lại các thuật ngữ theo thứ tự thuận tiện. Với một số kinh nghiệm, các bước (1), (2) có thể được bỏ qua bằng cách thực hiện các hành động được nhận xét bằng miệng.
(4) Tích phân thu được, như bạn đã nhớ trong bài Tích phân một số phân số, đang được quyết định phương pháp cách ly hình vuông đầy đủ . Chọn một hình vuông hoàn chỉnh.
(5) Bằng cách lấy tích phân, chúng ta thu được logarit “dài” thông thường.
(6) Chúng tôi thực hiện thay thế ngược lại. Nếu ban đầu , sau đó quay lại: .
(7) Hành động cuối cùng nhằm mục đích làm thẳng kết quả: dưới gốc, chúng ta lại đưa các số hạng về mẫu số chung và lấy chúng ra khỏi gốc.

Ví dụ 10

Tìm tích phân không xác định

Đây là ví dụ để bạn tự giải quyết. Ở đây, một hằng số được thêm vào chữ “X” đơn độc và cách thay thế gần như giống nhau:

Điều duy nhất bạn cần làm thêm là thể hiện chữ “x” từ việc thay thế đang được thực hiện:

Đáp án và đáp án đầy đủ ở cuối bài.

Đôi khi trong một tích phân như vậy có thể có một nhị thức bậc hai dưới gốc, điều này không làm thay đổi phương pháp giải mà thậm chí còn đơn giản hơn. Cảm nhận sự khác biệt:

Ví dụ 11

Tìm tích phân không xác định

Ví dụ 12

Tìm tích phân không xác định

Lời giải và đáp án ngắn gọn ở cuối bài. Cần lưu ý rằng Ví dụ 11 chính xác là tích phân nhị thức, phương pháp giải đã được thảo luận trong lớp Tích phân của hàm vô tỉ.

Tích phân của một đa thức không phân tích được bậc 2 lũy thừa

(đa thức trong mẫu số)

Hiếm hơn nhưng vẫn được tìm thấy ở ví dụ thực tế loại tích phân.

Ví dụ 13

Tìm tích phân không xác định

Nhưng hãy quay lại ví dụ với con số may mắn 13 (thật lòng mà nói, tôi đã đoán không chính xác). Tích phân này cũng là một trong những tích phân có thể khá khó chịu nếu bạn không biết cách giải.

Giải pháp bắt đầu bằng một phép biến đổi nhân tạo:

Tôi nghĩ mọi người đều đã hiểu cách chia tử số cho mẫu số cho từng số hạng.

Tích phân kết quả được lấy theo từng phần:

Đối với tích phân có dạng ( – số tự nhiên) đã rút tái diễn công thức rút gọn:
, Ở đâu - tích phân có bậc thấp hơn.

Hãy để chúng tôi kiểm tra tính đúng đắn của công thức này đối với tích phân đã giải.
Trong trường hợp này: , , chúng ta sử dụng công thức:

Như bạn có thể thấy, các câu trả lời đều giống nhau.

Ví dụ 14

Tìm tích phân không xác định

Đây là ví dụ để bạn tự giải quyết. Dung dịch mẫu sử dụng công thức trên hai lần liên tiếp.

Nếu dưới mức độ là không thể chia cắt tam thức bình phương, thì nghiệm được rút gọn thành nhị thức bằng cách cô lập bình phương hoàn hảo, ví dụ:

Điều gì sẽ xảy ra nếu có thêm một đa thức trong tử số? Trong trường hợp này, phương pháp hệ số không xác định được sử dụng và hàm tích phân được mở rộng thành tổng các phân số. Nhưng trong thực tế của tôi có một ví dụ như vậy chưa bao giờ gặp, nên tôi đã bỏ sót trường hợp này trong bài viết Tích phân của hàm hữu tỉ phân số, Tôi sẽ bỏ qua nó ngay bây giờ. Nếu bạn vẫn gặp phải tích phân như vậy, hãy xem sách giáo khoa - mọi thứ đều đơn giản ở đó. Tôi không nghĩ nên đưa vào tài liệu (ngay cả những tài liệu đơn giản), xác suất gặp phải có xu hướng bằng không.

Tích hợp các hàm lượng giác phức tạp

Tính từ “phức tạp” trong hầu hết các ví dụ lại phần lớn mang tính chất điều kiện. Hãy bắt đầu với tiếp tuyến và cotang ở lũy thừa cao. Từ quan điểm của các phương pháp giải được sử dụng, tiếp tuyến và cotang gần như giống nhau, vì vậy tôi sẽ nói nhiều hơn về tiếp tuyến, ngụ ý rằng phương pháp đã được chứng minh để giải tích phân cũng có giá trị cho cotang.

Trong bài học trên chúng ta đã xem xét thay thế lượng giác phổ quátđể giải một dạng tích phân nhất định của hàm lượng giác. Nhược điểm của phép thay thế lượng giác phổ quát là việc sử dụng nó thường dẫn đến các tích phân cồng kềnh và các phép tính khó. Và trong một số trường hợp, có thể tránh được sự thay thế lượng giác phổ quát!

Hãy xem xét một ví dụ kinh điển khác, tích phân của một chia cho sin:

Ví dụ 17

Tìm tích phân không xác định

Ở đây bạn có thể sử dụng phép thay thế lượng giác phổ quát và nhận được câu trả lời, nhưng có một cách hợp lý hơn. Tôi sẽ cung cấp giải pháp hoàn chỉnh kèm theo nhận xét cho từng bước:

(1) Chúng ta sử dụng công thức lượng giác tính sin của một góc kép.
(2) Chúng ta thực hiện một phép biến đổi nhân tạo: Chia mẫu số và nhân với .
(3) Sử dụng công thức nổi tiếng ở mẫu số, chúng ta biến phân số thành tiếp tuyến.
(4) Ta đưa hàm số dưới dấu vi phân.
(5) Lấy tích phân.

Đôi ví dụ đơn giản cho giải pháp độc lập:

Ví dụ 18

Tìm tích phân không xác định

Lưu ý: Bước đầu tiên nên sử dụng công thức rút gọn và cẩn thận thực hiện các hành động tương tự như ví dụ trước.

Ví dụ 19

Tìm tích phân không xác định

Vâng, đây là một ví dụ rất đơn giản.

Hoàn thiện đáp án và đáp án ở cuối bài.

Tôi nghĩ bây giờ sẽ không còn ai gặp vấn đề với tích phân nữa:
và như thế.

Ý tưởng của phương pháp là gì? Ý tưởng là, bằng cách sử dụng các phép biến đổi, công thức lượng giác chỉ tổ chức các tiếp tuyến và đạo hàm của tiếp tuyến trong tích phân. Đó là, chúng ta đang nói về việc thay thế: . Trong các ví dụ 17-19, chúng ta thực sự đã sử dụng phép thay thế này, nhưng tích phân quá đơn giản đến mức chúng ta thực hiện được bằng một hành động tương đương - gộp hàm số dưới dấu vi phân.

Lập luận tương tự, như tôi đã đề cập, có thể được áp dụng cho cotang.

Ngoài ra còn có một điều kiện tiên quyết chính thức để áp dụng thay thế trên:

Tổng lũy ​​thừa của cosin và sin là một số nguyên âm Số chẵn , Ví dụ:

đối với tích phân – một số nguyên âm CHỈ.

! Ghi chú : nếu số nguyên CHỈ chứa một sin hoặc CHỈ một cosin, thì tích phân cũng được lấy cho bậc lẻ âm (các trường hợp đơn giản nhất là trong Ví dụ số 17, 18).

Hãy xem xét một vài nhiệm vụ có ý nghĩa hơn dựa trên quy tắc này:

Ví dụ 20

Tìm tích phân không xác định

Tổng lũy ​​thừa của sin và cos: 2 – 6 = –4 là số nguyên âm Số CHỈ, có nghĩa là tích phân có thể quy về các tiếp tuyến và đạo hàm của nó:

(1) Hãy biến đổi mẫu số.
(2) Sử dụng công thức nổi tiếng, chúng ta thu được .
(3) Hãy biến đổi mẫu số.
(4) Chúng tôi sử dụng công thức .
(5) Ta đưa hàm số dưới dấu vi phân.
(6) Chúng tôi tiến hành thay thế. Những học sinh có kinh nghiệm hơn có thể không thực hiện phép thay thế, nhưng tốt hơn hết bạn nên thay tiếp tuyến bằng một chữ cái - sẽ ít nguy cơ bị nhầm lẫn hơn.

Ví dụ 21

Tìm tích phân không xác định

Đây là ví dụ để bạn tự giải quyết.

Cố lên nhé, vòng vô địch sắp bắt đầu rồi =))

Thường thì tích phân chứa một “hodgepodge”:

Ví dụ 22

Tìm tích phân không xác định

Tích phân này ban đầu chứa một tiếp tuyến, điều này ngay lập tức dẫn đến một suy nghĩ vốn đã quen thuộc:

Tôi sẽ để lại quá trình chuyển đổi nhân tạo ngay từ đầu và các bước còn lại mà không bình luận vì mọi thứ đã được thảo luận ở trên.

Một vài ví dụ sáng tạo cho giải pháp của riêng bạn:

Ví dụ 23

Tìm tích phân không xác định

Ví dụ 24

Tìm tích phân không xác định

Đúng, tất nhiên, trong chúng, bạn có thể hạ thấp lũy thừa của sin và cos, đồng thời sử dụng phép thay thế lượng giác phổ quát, nhưng giải pháp sẽ hiệu quả hơn và ngắn hơn nhiều nếu nó được thực hiện thông qua các tiếp tuyến. Đáp án và đáp án đầy đủ ở cuối bài