Phương trình côsin x bằng a. Phương trình lượng giác - công thức, giải pháp, ví dụ. Thừa số
Bạn có thể đặt một giải pháp chi tiết cho vấn đề của bạn !!!
Một đẳng thức có chứa ẩn số dưới dấu của một hàm lượng giác (`sin x, cos x, tan x` hoặc` ctg x`) được gọi là một phương trình lượng giác và chúng ta sẽ xem xét thêm các công thức của chúng.
Các phương trình đơn giản nhất được gọi là `sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a`, trong đó` x` là góc cần tìm,` a` là một số bất kỳ. Hãy viết ra các công thức gốc cho mỗi công thức trong số chúng.
1. Phương trình `sin x = a`.
Đối với `| a |> 1` không có nghiệm.
Đối với `| a | \ leq 1` có vô số nghiệm.
Công thức gốc: `x = (- 1) ^ n arcsin a + \ pi n, n \ in Z`
2. Phương trình `cos x = a`
Đối với `| a |> 1` - như trong trường hợp sin, nó không có nghiệm giữa các số thực.
Đối với `| a | \ leq 1` có vô số nghiệm.
Công thức gốc: `x = \ pm arccos a + 2 \ pi n, n \ in Z`
Các trường hợp đặc biệt đối với sin và cosin trong đồ thị. 
3. Phương trình `tg x = a`
Có vô số nghiệm cho bất kỳ giá trị nào của `a`.
Công thức gốc: `x = arctan a + \ pi n, n \ in Z`
4. Phương trình `ctg x = a`
Cũng có vô số nghiệm cho bất kỳ giá trị nào của `a`.
Công thức gốc: `x = arcctg a + \ pi n, n \ in Z`
Công thức nghiệm nguyên của phương trình lượng giác trong bảng
Đối với sin: 
Đối với cosine: 
Đối với tiếp tuyến và cotang: 
Công thức giải phương trình chứa hàm lượng giác nghịch đảo:
Các phương pháp giải phương trình lượng giác
Lời giải cho bất kỳ phương trình lượng giác nào bao gồm hai giai đoạn:
- sử dụng chuyển đổi nó thành đơn giản nhất;
- giải phương trình đơn giản nhất thu được bằng cách sử dụng các công thức và bảng gốc đã viết ở trên.
Hãy xem các ví dụ về các phương pháp giải quyết chính.
Phương pháp đại số.
Trong phương pháp này, việc thay thế biến và thay thế thành đẳng thức được thực hiện.
Thí dụ. Giải phương trình: `2cos ^ 2 (x + \ frac \ pi 6) -3sin (\ frac \ pi 3 - x) + 1 = 0`
`2cos ^ 2 (x + \ frac \ pi 6) -3cos (x + \ frac \ pi 6) + 1 = 0 ',
chúng tôi thực hiện thay đổi: `cos (x + \ frac \ pi 6) = y`, sau đó` 2y ^ 2-3y + 1 = 0`,
chúng ta tìm thấy các nghiệm nguyên: `y_1 = 1, y_2 = 1/2`, trong đó có hai trường hợp sau:
1.` cos (x + \ frac \ pi 6) = 1`, `x + \ frac \ pi 6 = 2 \ pi n`,` x_1 = - \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`.
2. `cos (x + \ frac \ pi 6) = 1/2`,` x + \ frac \ pi 6 = \ pm arccos 1/2 + 2 \ pi n`, `x_2 = \ pm \ frac \ pi 3- \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`.
Trả lời: `x_1 = - \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`,` x_2 = \ pm \ frac \ pi 3- \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`.
Thừa số hóa.
Thí dụ. Giải phương trình: `sin x + cos x = 1`.
Dung dịch. Chuyển tất cả các số hạng của đẳng thức sang trái: `sin x + cos x-1 = 0`. Sử dụng, biến đổi và nhân tố bên trái:
`sin x - 2sin ^ 2 x / 2 = 0`,
`2sin x / 2 cos x / 2-2sin ^ 2 x / 2 = 0 ',
`2sin x / 2 (cos x / 2-sin x / 2) = 0 ',
- `sin x / 2 = 0`,` x / 2 = \ pi n`, `x_1 = 2 \ pi n`.
- `cos x / 2-sin x / 2 = 0 ',` tg x / 2 = 1', `x / 2 = arctan 1+ \ pi n`,` x / 2 = \ pi / 4 + \ pi n` , `x_2 = \ pi / 2 + 2 \ pi n`.
Trả lời: `x_1 = 2 \ pi n`,` x_2 = \ pi / 2 + 2 \ pi n`.
Rút gọn thành một phương trình thuần nhất
Đầu tiên, bạn cần đưa phương trình lượng giác này về một trong hai dạng:
`a sin x + b cos x = 0` (phương trình thuần nhất cấp một) hoặc` a sin ^ 2 x + b sin x cos x + c cos ^ 2 x = 0` (phương trình thuần nhất cấp hai).
Sau đó chia cả hai phần cho `cos x \ ne 0` - cho trường hợp đầu tiên và cho` cos ^ 2 x \ ne 0` - cho phần thứ hai. Ta thu được các phương trình cho `tg x`:` a tg x + b = 0` và `a tg ^ 2 x + b tg x + c = 0`, cần phải giải bằng các phương pháp đã biết.
Thí dụ. Giải phương trình: `2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x = 1`.
Dung dịch. Viết lại vế phải thành `1 = sin ^ 2 x + cos ^ 2 x`:
`2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x =` `sin ^ 2 x + cos ^ 2 x`,
`2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x-'' sin ^ 2 x - cos ^ 2 x = 0`
`sin ^ 2 x + sin x cos x - 2 cos ^ 2 x = 0`.
Đây là một phương trình lượng giác thuần nhất bậc hai, ta chia vế trái và vế phải của nó cho `cos ^ 2 x \ ne 0`, ta được:
`\ frac (sin ^ 2 x) (cos ^ 2 x) + \ frac (sin x cos x) (cos ^ 2 x) - \ frac (2 cos ^ 2 x) (cos ^ 2 x) = 0 '
`tg ^ 2 x + tg x - 2 = 0`. Chúng tôi giới thiệu phép thay thế `tg x = t`, kết quả là` t ^ 2 + t - 2 = 0`. Căn của phương trình này là `t_1 = -2` và` t_2 = 1`. Sau đó:
- `tg x = -2`,` x_1 = arctg (-2) + \ pi n`, `n \ in Z`
- `tg x = 1`,` x = arctan 1+ \ pi n`, `x_2 = \ pi / 4 + \ pi n`,` n \ in Z`.
Bài giải. `x_1 = arctg (-2) + \ pi n`,` n \ in Z`, `x_2 = \ pi / 4 + \ pi n`,` n \ in Z`.
Đi đến một nửa góc
Thí dụ. Giải phương trình: `11 sin x - 2 cos x = 10`.
Dung dịch. Áp dụng công thức góc kép, kết quả là: `22 sin (x / 2) cos (x / 2)-'' 2 cos ^ 2 x / 2 + 2 sin ^ 2 x / 2 =` `10 sin ^ 2 x / 2 +10 cos ^ 2 x / 2 '
`4 tg ^ 2 x / 2 - 11 tg x / 2 + 6 = 0`
Áp dụng phương pháp đại số trên, ta được:
- `tg x / 2 = 2`,` x_1 = 2 arctan 2 + 2 \ pi n`, `n \ in Z`,
- `tg x / 2 = 3/4`,` x_2 = arctan 3/4 + 2 \ pi n`, `n \ in Z`.
Bài giải. `x_1 = 2 arctan 2 + 2 \ pi n, n \ in Z`,` x_2 = arctan 3/4 + 2 \ pi n`, `n \ in Z`.
Giới thiệu một góc phụ
Trong phương trình lượng giác `a sin x + b cos x = c`, trong đó a, b, c là các hệ số và x là một biến, chúng ta chia cả hai vế cho` sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) `:
`\ frac a (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) sin x + '' \ frac b (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) cos x = '' \ frac c (sqrt (a ^ 2) + b ^ 2)) `.
Các hệ số ở phía bên trái có các thuộc tính của sin và cosine, cụ thể là tổng bình phương của chúng bằng 1 và giá trị tuyệt đối của chúng không lớn hơn 1. Chúng ta ký hiệu chúng như sau: `\ frac a (sqrt ( a ^ 2 + b ^ 2)) = cos \ varphi`, `\ frac b (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) = sin \ varphi`,` \ frac c (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) = C`, thì:
`cos \ varphi sin x + sin \ varphi cos x = C`.
Hãy xem xét kỹ hơn ví dụ sau:
Thí dụ. Giải phương trình: `3 sin x + 4 cos x = 2`.
Dung dịch. Chia cả hai vế của đẳng thức cho `sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2) ', ta được:
`\ frac (3 sin x) (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) + '' \ frac (4 cos x) (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) = '' \ frac 2 (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2))
`3/5 sin x + 4/5 cos x = 2/5`.
Hãy biểu thị `3/5 = cos \ varphi`,` 4/5 = sin \ varphi`. Vì `sin \ varphi> 0`,` cos \ varphi> 0`, nên chúng tôi lấy `\ varphi = arcsin 4 / 5` làm góc phụ. Sau đó, chúng tôi viết bình đẳng của chúng tôi dưới dạng:
`cos \ varphi sin x + sin \ varphi cos x = 2/5 '
Áp dụng công thức tính tổng các góc của sin, chúng ta viết đẳng thức dưới dạng sau:
`sin (x + \ varphi) = 2/5 ',
`x + \ varphi = (- 1) ^ n arcsin 2/5 + \ pi n`,` n \ in Z`,
`x = (- 1) ^ n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5 + \ pi n`,` n \ in Z`.
Bài giải. `x = (- 1) ^ n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5 + \ pi n`,` n \ in Z`.
Phương trình lượng giác phân số-hữu tỉ
Đây là những bình đẳng với phân số có hàm lượng giác ở tử số và mẫu số.
Thí dụ. Giải phương trình. `\ frac (sin x) (1 + cos x) = 1-cos x`.
Dung dịch. Nhân và chia vế phải của đẳng thức với `(1 + cos x)`. Kết quả là, chúng tôi nhận được:
`\ frac (sin x) (1 + cos x) = '' \ frac ((1-cos x) (1 + cos x)) (1 + cos x) '
`\ frac (sin x) (1 + cos x) =` `\ frac (1-cos ^ 2 x) (1 + cos x) '
`\ frac (sin x) (1 + cos x) =` `\ frac (sin ^ 2 x) (1 + cos x) '
`\ frac (sin x) (1 + cos x)-'' \ frac (sin ^ 2 x) (1 + cos x) = 0 '
`\ frac (sin x-sin ^ 2 x) (1 + cos x) = 0 '
Xét rằng mẫu số không thể bằng 0, chúng ta nhận được `1 + cos x \ ne 0`,` cos x \ ne -1`, `x \ ne \ pi + 2 \ pi n, n \ in Z`.
Lập phương trình tử số của phân số bằng 0: `sin x-sin ^ 2 x = 0`,` sin x (1-sin x) = 0`. Khi đó `sin x = 0` hoặc` 1-sin x = 0`.
- `sin x = 0`,` x = \ pi n`, `n \ in Z`
- `1-sin x = 0`,` sin x = -1`, `x = \ pi / 2 + 2 \ pi n, n \ in Z`.
Xét rằng `x \ ne \ pi + 2 \ pi n, n \ in Z`, các nghiệm là` x = 2 \ pi n, n \ in Z` và `x = \ pi / 2 + 2 \ pi n` , `n \ trong Z`.
Bài giải. `x = 2 \ pi n`,` n \ trong Z`, `x = \ pi / 2 + 2 \ pi n`,` n \ trong Z`.
Lượng giác, và phương trình lượng giác nói riêng, được sử dụng trong hầu hết các lĩnh vực hình học, vật lý, kỹ thuật. Việc học bắt đầu từ lớp 10, chắc chắn phải có nhiệm vụ cho kỳ thi, vì vậy hãy cố gắng ghi nhớ tất cả các công thức của phương trình lượng giác - chúng chắc chắn sẽ có ích!
Tuy nhiên, bạn thậm chí không cần phải học thuộc chúng, cái chính là hiểu bản chất và có thể suy luận chúng. Nó không khó như nó âm thanh. Xem cho chính mình bằng cách xem video.
Các phương trình lượng giác đơn giản nhất thường được giải bằng các công thức. Hãy để tôi nhắc bạn rằng các phương trình lượng giác sau đây được gọi là đơn giản nhất:
sinx = a
cosx = a
tgx = a
ctgx = a
x là góc cần tìm,
a - số bất kỳ.
Và đây là công thức mà bạn có thể viết ngay ra nghiệm của những phương trình đơn giản nhất này.
Đối với sin:
Đối với cosine:
х = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z
Đối với tiếp tuyến:
x = arctan a + π n, n ∈ Z
Đối với cotangent:
x = cungctg a + π n, n ∈ Z
Thực ra đây là phần lý thuyết giải các phương trình lượng giác đơn giản nhất. Hơn nữa, tất cả mọi thứ!) Không có gì cả. Tuy nhiên, số lỗi trong chủ đề này chỉ đơn giản là vượt quá quy mô. Đặc biệt nếu ví dụ lệch một chút so với mẫu. Tại sao?
Có, bởi vì rất nhiều người viết ra những bức thư này, không hiểu ý nghĩa của chúng chút nào! Anh ấy viết ra một cách thận trọng, cho dù có chuyện gì xảy ra đi chăng nữa ...) Việc này phải được xử lý. Lượng giác của con người, hay con người là lượng giác !?)
Chúng ta sẽ tìm ra nó?
Một góc sẽ bằng arccos a, thứ hai: -arccos a.
Và nó sẽ luôn hoạt động theo cách đó. Bất cứ gì Một.
Nếu bạn không tin tôi, hãy di chuột qua ảnh hoặc chạm vào ảnh trên máy tính bảng.) Tôi đã thay đổi số Một đến một số tiêu cực. Dù sao, chúng tôi đã có một góc arccos a, thứ hai: -arccos a.
Do đó, câu trả lời luôn có thể được viết dưới dạng hai dãy nghiệm nguyên:
x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z
x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z
Chúng tôi kết hợp hai chuỗi này thành một:
x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z
Và đó là tất cả. Có công thức tổng quát để giải phương trình lượng giác đơn giản nhất với cosin.
Nếu bạn hiểu rằng đây không phải là một loại trí tuệ siêu khoa học, nhưng chỉ là ký hiệu viết tắt của hai chuỗi phản hồi, bạn và nhiệm vụ "C" sẽ được gánh trên vai. Với các bất đẳng thức, với việc lựa chọn các gốc từ một khoảng cho trước ... Ở đó câu trả lời với cộng / trừ không cuộn. Và nếu bạn xử lý câu trả lời theo cách kinh doanh, và chia nó thành hai câu trả lời riêng biệt, mọi thứ sẽ được quyết định.) Thực ra, về điều này, chúng tôi hiểu. Cái gì, như thế nào và ở đâu.
Trong phương trình lượng giác đơn giản nhất
sinx = a
cũng thu được hai dãy gốc. Luôn luôn. Và hai chuỗi này cũng có thể được ghi lại một đường thẳng. Chỉ dòng này sẽ xảo quyệt hơn:
х = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z
Nhưng bản chất vẫn vậy. Các nhà toán học chỉ đơn giản là xây dựng một công thức để tạo một thay vì hai bản ghi của một chuỗi các nghiệm thức. Và đó là nó!
Hãy kiểm tra các nhà toán học? Và sau đó bạn không bao giờ biết ...)
Ở bài trước, bài giải (không có công thức) của phương trình lượng giác với một hàm sin đã được chúng tôi phân tích chi tiết:
Câu trả lời tạo ra hai chuỗi gốc:
x 1 = π / 6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π / 6 + 2π n, n ∈ Z
Nếu chúng ta giải cùng một phương trình bằng công thức, chúng ta sẽ nhận được câu trả lời:
x = (-1) n arcsin 0,5 + π n, n ∈ Z
Trên thực tế, đây là một câu trả lời chưa hoàn thành.) Học sinh phải biết rằng arcsin 0,5 = π / 6. Một câu trả lời đầy đủ sẽ là:
x = (-1) n π / 6+ π n, n ∈ Z
Điều này đặt ra một câu hỏi thú vị. Trả lời qua x 1; x 2 (đó là câu trả lời đúng!) và vượt qua sự cô đơn NS (và đây là câu trả lời chính xác!) - Điều tương tự, hay không? Chúng tôi sẽ tìm hiểu ngay bây giờ.)
Thay thế để đáp lại với x 1 Ý nghĩa n = 0; 1; 2; và cứ thế, chúng tôi đếm, chúng tôi nhận được một loạt các gốc:
x 1 = π / 6; 13π / 6; 25π / 6 Vân vân.
Với sự thay thế tương tự trong câu trả lời với x 2 , chúng tôi nhận được:
x 2 = 5π / 6; 17π / 6; 29π / 6 Vân vân.
Bây giờ chúng tôi thay thế các giá trị n (0; 1; 2; 3; 4 ...) thành công thức chung cho cô đơn NS ... Nghĩa là, chúng tôi tăng trừ một đến 0, sau đó đến số thứ nhất, thứ hai, v.v. Và, tất nhiên, chúng tôi thay thế số 0 trong số hạng thứ hai; 1; 2 3; 4, v.v. Và chúng tôi đếm. Chúng tôi nhận được loạt bài:
x = π / 6; 5π / 6; 13π / 6; 17π / 6; 25π / 6 Vân vân.
Đó là tất cả những gì bạn có thể thấy.) Công thức chung cho chúng ta kết quả giống hệt nhau, như hai câu trả lời riêng biệt. Chỉ tất cả cùng một lúc, theo thứ tự. Đừng để bị lừa bởi các nhà toán học.)
Bạn cũng có thể kiểm tra các công thức giải phương trình lượng giác với tiếp tuyến và cotang. Nhưng chúng tôi sẽ không.) Chúng rất đơn giản.
Tôi đã mô tả tất cả sự thay thế và xác minh này có mục đích. Điều quan trọng là phải hiểu một điều đơn giản ở đây: có các công thức để giải phương trình lượng giác cơ bản, chỉ là một bản ghi ngắn gọn về các câu trả lời.Để ngắn gọn này, tôi phải chèn cộng / trừ vào nghiệm cosine và (-1) n trong nghiệm sin.
Những phần chèn này không can thiệp theo bất kỳ cách nào trong các nhiệm vụ mà bạn chỉ cần viết ra câu trả lời cho một phương trình cơ bản. Nhưng nếu bạn cần giải bất đẳng thức, hoặc sau đó bạn cần làm điều gì đó với câu trả lời: chọn gốc trên một khoảng, kiểm tra ODZ, v.v., những phần chèn này có thể dễ dàng làm mất lòng một người.
Và phải làm gì? Có, hoặc viết ra câu trả lời trong hai chuỗi hoặc giải phương trình / bất phương trình dọc theo đường tròn lượng giác. Sau đó, những phụ trang này biến mất và cuộc sống trở nên dễ dàng hơn.)
Chúng tôi có thể tóm tắt.
Có sẵn các công thức đáp án để giải các phương trình lượng giác đơn giản nhất. Bốn mảnh. Chúng rất tốt để ghi lại ngay lời giải cho một phương trình. Ví dụ, bạn cần giải các phương trình:
sinx = 0,3
Một cách dễ dàng: х = (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z
cosx = 0,2
Không vấn đề gì: х = ± arccos 0,2 + 2π n, n ∈ Z
tgx = 1,2
Một cách dễ dàng: x = arctan 1,2 + π n, n ∈ Z
ctgx = 3,7
Còn một cái: x = arcctg3,7 + π n, n ∈ Z
cos x = 1,8
Nếu bạn, với kiến thức tỏa sáng, hãy viết ngay câu trả lời:
x = ± arccos 1,8 + 2π n, n ∈ Z
thì bạn đã tỏa sáng rồi, cái này ... cái kia ... từ vũng nước.) Câu trả lời đúng: không có giải pháp. Bạn có hiểu tại sao không? Đọc arccosine là gì. Ngoài ra, nếu các giá trị dạng bảng của sin, cosine, tiếp tuyến, cotang nằm ở phía bên phải của phương trình ban đầu, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 Vân vân. - câu trả lời qua các vòm sẽ còn dang dở. Cung phải được dịch sang radian.
Và nếu bạn bắt gặp sự bất bình đẳng như
thì câu trả lời là:
х πn, n ∈ Z
hiếm có điều vô lý, có ...) Ở đây cần quyết định đối với đường tròn lượng giác. Chúng ta sẽ làm gì trong chủ đề có liên quan.
Đối với những người đã anh hùng đọc đến những dòng này. Tôi không thể không đánh giá cao những nỗ lực của bạn. Bạn là một phần thưởng.)
Tặng kem:
Khi viết các công thức trong một môi trường chiến đấu đáng báo động, ngay cả những con mọt sách chăm chỉ về học thuật cũng thường bối rối về việc πn, Và ở đâu 2π n. Đây là một thủ thuật đơn giản. Trong của tất cả công thức có giá trị πn. Ngoại trừ công thức duy nhất với cosin nghịch đảo. Nó đứng đó 2πn. Hai pien. Từ khóa - hai. Công thức tương tự chứa hai ký ở đầu. Cộng và Trư. Đây và đó - hai.
Vì vậy, nếu bạn đã viết hai ký hiệu ở phía trước của cosin nghịch đảo, sẽ dễ nhớ hơn những gì sẽ là ở cuối hai pien. Và thậm chí điều ngược lại xảy ra. Bỏ qua biển báo người đàn ông ± , đi đến cuối cùng, viết đúng hai pien, và nó sẽ tự hoạt động. Phía trước của một cái gì đó hai ký tên! Người sẽ trở lại như ban đầu, nhưng người đó sẽ sửa chữa sai lầm! Như thế này.)
Nếu bạn thích trang web này ...
Nhân tiện, tôi có một vài trang web thú vị hơn dành cho bạn.)
Bạn có thể thực hành giải các ví dụ và tìm ra trình độ của mình. Kiểm tra xác nhận tức thì. Học tập - với sự quan tâm!)
bạn có thể làm quen với các hàm và các dẫn xuất.
Zakharova Ludmila Vladimirovna
MBOU "Trường trung học số 59" ở Barnaul
giáo viên toán học
[email được bảo vệ]
№1 Phương trình lượng giác đơn giản nhất
Mục tiêu: 1. Tìm công thức nghiệm của phương trình lượng giác đơn giản nhất có dạng sinx = a, cosx = a, tgx = a, ctgx = a;
2. Học cách giải các phương trình lượng giác đơn giản nhất bằng công thức.
Trang thiết bị: 1) Bảng có đồ thị của các hàm lượng giác y = sinx, y = cosx, y = tgx, y = ctgx; 2) Bảng giá trị của hàm số lượng giác nghịch đảo; 3) Bảng tổng hợp các công thức giải phương trình lượng giác đơn giản nhất.
Giáo án bài giảng:
1 . Suy ra công thức cho nghiệm nguyên của phương trình
a) sinx = a,
b) cosx = Một,
c) tgx = Một,
d) ctgx = Một.
2 ... Công việc trực diện bằng miệng để củng cố các công thức thu được.
3 ... Bài viết nhằm củng cố tài liệu đã học
Trong các buổi học.Trong đại số, hình học, vật lý và các môn học khác, chúng ta phải đối mặt với nhiều vấn đề khác nhau, lời giải của nó gắn liền với lời giải của phương trình. Chúng ta đã nghiên cứu các tính chất của hàm số lượng giác, vì vậy việc chuyển sang phương trình trong đó ẩn số chứa dưới dấu của hàm là điều đương nhiên.
Sự định nghĩa: Các phương trình có dạng sinx = Một , cosx= Một , tgx= Một , ctgx= Một được gọi là phương trình lượng giác đơn giản nhất.
Điều rất quan trọng là học cách giải các phương trình lượng giác đơn giản nhất, vì tất cả các phương pháp và kỹ thuật để giải bất kỳ phương trình lượng giác nào đều là rút gọn chúng về những đơn giản nhất.
Hãy bắt đầu bằng cách suy ra các công thức có tác dụng "tích cực" khi giải phương trình lượng giác.
1. Các phương trình có dạng sinx = Một.
Hãy giải phương trình sinx = Một bằng đồ thị. Để làm điều này, trong một hệ tọa độ, chúng tôi vẽ đồ thị của các hàm y = sinx và y = Một.
1) Nếu Một> 1 và Một tội x = Một không có nghiệm, vì đường thẳng và hình sin không có điểm chung.
2) Nếu -1a a đi qua hình sin vô số lần. Điều này có nghĩa là phương trình sinx = Một có vô số giải pháp.
Vì chu kỳ của sin là 2 
, sau đó để giải phương trình sinx = Một nó là đủ để tìm tất cả các nghiệm trên bất kỳ đoạn nào có độ dài 2.
Bằng cách giải phương trình cho [- / 2; / 2] theo định nghĩa của arcsine x = arcsin Một và trên x = -arcsin Một... Tính đến tính tuần hoàn của hàm số y = sinx, chúng ta thu được các biểu thức sau
x = -arcsin Một+ 2n, n Z.
Cả hai loạt giải pháp có thể được kết hợp
X = (-1) n arcsin Một+ n, nZ.
Trong ba trường hợp sau, họ không muốn sử dụng công thức chung mà sử dụng các quan hệ đơn giản hơn:
Nếu như Một= -1, thì sin x = -1, x = - / 2 + 2n
Nếu như Một= 1 thì sin x = 1, x = / 2 + 2n
Nếu như a = 0 thì sin x = 0. x = n,
Ví dụ: Giải phương trình sinx = 1/2.
Hãy soạn công thức cho các giải pháp x = arcsin 1/2 + 2n
X = - arcsin a + 2n
Hãy tính giá trị arcsin1 / 2. Thay giá trị tìm được vào công thức giải pháp
x = 5/6 + 2 n
hoặc theo công thức chung
X = (-1) n arcsin 1/2 + n,
X = (-1) n / 6 + n,
2. Phương trình có dạng cosx = Một.
Hãy giải phương trình cosx = Một cũng bằng đồ thị, vẽ đồ thị của các hàm y = cosx và y = Một.
1) Nếu a 1, thì phương trình cosx = Một không có giải pháp, vì các đồ thị không có điểm chung.
2) Nếu -1 Một cosx = Một có vô số nghiệm.
Chúng tôi sẽ tìm tất cả các giải pháp cosx = Một trên một khoảng có độ dài bằng 2 kể từ khi chu kỳ của côsin là 2.
Trên nghiệm của phương trình theo định nghĩa của arccosine sẽ là x = arcos a. Với tính chẵn lẻ của hàm cosin, nghiệm của phương trình trên [-; 0] sẽ là x = -arcos Một.
Do đó, các nghiệm của phương trình cosx = Một x = + arcos Một+ 2 n,
Trong ba trường hợp, chúng tôi sẽ không sử dụng một công thức chung, mà sử dụng các quan hệ đơn giản hơn:
Nếu như Một= -1, thì cosx = -1, x = - / 2 + 2n
Nếu như Một= 1, thì cosx = 1, x = 2n,
Nếu a = 0 thì cosx = 0. x = / 2 + n
Ví dụ: Giải phương trình cos x = 1/2,
Hãy soạn công thức cho các giải pháp x = arccos 1/2 + 2n
Hãy tính giá trị arccos1 / 2.
Thay giá trị tìm được vào công thức giải pháp
X = + /3+ 2n, nZ.
Các phương trình có dạng tgx = Một.
Vì chu kỳ của tiếp tuyến bằng nhau nên để tìm tất cả các nghiệm của phương trình tgx = Một, nó là đủ để tìm tất cả các nghiệm trên bất kỳ khoảng độ dài nào. Theo định nghĩa của arctang, nghiệm của phương trình trên (- / 2; / 2) là arctan Một. Có tính đến chu kỳ của hàm số, tất cả các nghiệm của phương trình có thể được viết dưới dạng
x = arctg Một+ n, nZ.
Thí dụ: Giải phương trình tg x = 3/3
Hãy soạn công thức giải x = arctan 3/3 + n, nZ.
Chúng tôi tính toán giá trị của arctangent arctan 3/3 = / 6, sau đó
X = / 6 + n, nZ.
Suy ra một công thức để giải một phương trình với tgx= Một có thể được cung cấp cho học sinh.
Thí dụ.
Giải phương trình ctg x = 1.
x = cungсtg 1 + n, nZ,
X = / 4 + n, nZ.
Theo kết quả của tài liệu đã nghiên cứu, sinh viên có thể điền vào bảng:
"Giải phương trình lượng giác."
phương trình
Bài tập củng cố tài liệu đã học.
(Bằng miệng) Phương trình nào đã viết có thể giải được bằng công thức:
a) x = (-1) n arcsin Một+ n, nZ;
b) x = + arcos a + 2 n?
cos x = 2/2, tg x = 1, sin x = 1/3, ctg x = 3/3, sin x = -1/2, cos x = 2/3, sin x = 3, cos x = 2 ...
Phương trình nào trong số các phương trình đã liệt kê không có nghiệm?
Giải các phương trình:
a) sin x = 0; e) sin x = 2/2; h) sin x = 2;
b) cos x = 2/2; f) cos x = -1/2; i) cos x = 1;
d) tg x = 3; g) ctg x = -1; j) tg x = 1/3.
3. Giải các phương trình:
a) sin 3x = 0; e) 2cos x = 1;
b) cos x / 2 = 1/2; f) 3 tan 3x = 1;
d) sin x / 4 = 1; g) 2cos (2x + / 5) = 3.
Khi giải các phương trình này, rất hữu ích khi viết ra các quy tắc giải phương trình dạng tội v x = Một, và với tội v x = Một, | Một|1.
Tội v x = a, | a | 1.
v x = (-1) n arcsin Một+ n, nZ,
x = (-1) n 1 / v arcsin Một+ n / v, nZ.
Tổng hợp kết quả của bài học:
Hôm nay trong bài học chúng ta có các công thức suy ra để giải các phương trình lượng giác đơn giản nhất.
Gỡ bỏ các ví dụ về giải phương trình lượng giác đơn giản nhất.
Chúng tôi điền vào bảng mà chúng tôi sẽ sử dụng để giải các phương trình.
Bài tập về nhà.
№2 Giải phương trình lượng giác
Mục tiêu: Nghiên cứu các phương pháp giải phương trình lượng giác: 1) Quy đồng bậc hai; 2) Phương trình lượng giác rút gọn về thuần nhất.
Phát triển kỹ năng quan sát của học sinh khi sử dụng các phương pháp giải phương trình lượng giác.
Làm việc trực tiếp với học sinh.
Công thức nghiệm nguyên của phương trình lượng giác là gì? cos x = Một, sin x = Một, tgx = Một, ctg x = Một.
Giải các phương trình (bằng miệng):
cos x = -1, sin x = 0, tgx = 0, ctg x = 1, cos x = 1,5, sin x = 0.
Tìm lỗi và suy nghĩ về nguyên nhân gây ra lỗi.
cos x = 1/2, x = +
/ 6 + 2k, k 
Z.
sin x = 3/2, x = / 3 + k, kZ.
tgx = / 4, x = 1 + k, kZ.
2. Học tài liệu mới.
Bài học này sẽ đề cập đến một số phương pháp phổ biến nhất để giải phương trình lượng giác.
Phương trình lượng giác rút gọn về bậc hai.
Lớp này có thể bao gồm các phương trình bao gồm một hàm (sin hoặc cosine) hoặc hai hàm của một đối số, nhưng một trong số chúng được rút gọn thành loại thứ hai bằng cách sử dụng đồng dạng lượng giác cơ bản.
Ví dụ, nếu cоsх được đưa vào phương trình dưới dạng lũy thừa chẵn, thì chúng ta thay nó bằng 1- sin 2 x, nếu sin 2 x thì chúng ta thay nó bằng 1-cos 2 x.
Thí dụ.
Giải phương trình: 8 sin 2 x - 6sin x -5 = 0.
Giải pháp: Chúng tôi biểu thị sin x = t, thì 8t 2 - 6t - 5 = 0,
D = 196,
T 1 = -1/2, t 2 = -5/4.
Hãy thực hiện biến đổi ngược lại và giải các phương trình sau.
X = (- 1) k + 1/6 + k, kZ.
Vì -5/4> 1 nên phương trình vô nghiệm.
Đáp số: x = (- 1) k + 1/6 + k, kZ.
Giải bài tập củng cố.
Giải phương trình:
1) 2sin 2 x + 3cos x = 0;
2) 5sin 2 x + 6cos x -6 = 0;
3) 2sin 2 x + 3cos 2 x = -2sin x;
4) 3 tg 2 x +2 tgx-1 = 0.
Phương trình lượng giác thuần nhất.
Sự định nghĩa: 1) Phương trình có dạngMột sinx + NS cosx= 0, (a = 0, b = 0)được gọi là phương trình thuần nhất bậc nhất đối với sin x và cos x.
Phương trình này được giải bằng cách chia cả hai phần của nó cho cosx 
0. Kết quả là phương trình atgx + b = 0.
2) Một phương trình có dạngMột tội 2 NS + NS sinx cosx + NS cos 2 NS =0 được gọi là phương trình thuần nhất cấp hai, trong đó a, b, c là các số bất kỳ.
Nếu a = 0, thì phương trình được giải bằng cách chia cả hai phần cho cos 2 x 0. Kết quả là ta thu được phương trình atg 2 x + btgx + c = 0.
Bình luận: Phương trình của mẫuMột tội mx + NS cos mx=0 hoặc
Một tội 2 mx + NS tội mx cos mx + NS cos 2 mx =0 cũng đồng nhất. Để giải chúng, cả hai vế của phương trình được chia cho cos mx=0 hoặc cos 2 mx=0
3) Các phương trình khác nhau có thể được rút gọn thành các phương trình thuần nhất, ban đầu không phải như vậy. Ví dụ,tội 2 mx + NS tội mx cos mx + NS cos 2 mx = NS, và Một sinx + NS cosx= NS. Để giải các phương trình này, bạn cần nhân vế phải với "Đơn vị lượng giác" những thứ kia. trên tội 2 NS + cos 2 NS và thực hiện các phép biến đổi toán học.
Bài tập củng cố tài liệu đã học:
1) 2sin x- 3cos x = 0; 5) 4 sin 2 x - sin2x = 3;
2) sin 2x + cos2x = 0; 6) 3 sin 2 x + sinx cosx = 2 cos 2 x;
3) sin x + 3cos x = 0; 7) 3 sin 2 x- sinx cosx = 2;
4) sin 2 x -3 sinx cosx +2 cos 2 x = 0
3. Tổng hợp kết quả làm bài. Bài tập về nhà.
Ở bài này, tùy theo sự chuẩn bị của nhóm mà các em có thể nhận xét giải các phương trình dạng a sin mx + b cos mx = c, trong đó a, b, c không đồng thời bằng 0.
Bài tập củng cố:
1,3sin x + cos x = 2;
2.3sin 2x + cos 2x = 2;
3.sin x / 3 + cos x / 3 = 1;
4,12 sin x +5 cos x + 13 = 0.
№ 3 Giải phương trình lượng giác
Mục tiêu: 1) Nghiên cứu phương pháp giải phương trình lượng giác bằng thừa số; học cách giải các phương trình lượng giác bằng các công thức lượng giác khác nhau;
2) Kiểm tra: kiến thức của học sinh về các công thức giải phương trình lượng giác đơn giản nhất; khả năng giải các phương trình lượng giác đơn giản nhất.
Kế hoạch bài học:
Kiểm tra bài tập về nhà.
Chính tả toán học.
Học tài liệu mới.
Làm việc độc lập.
Tổng hợp kết quả của bài học. Bài tập về nhà.
Diễn biến của bài học:
Kiểm tra bài tập về nhà (lời giải của các phương trình lượng giác được viết ngắn gọn trên bảng đen).
Chính tả toán học.
TRONG 1
1. Phương trình nào được gọi là phương trình lượng giác đơn giản nhất?
2. Tên của một phương trình có dạngMột sinx + NS cosx = 0? Xin cho biết cách giải quyết.
3 Viết công thức nghiệm của phương trình tgx = Một(ctg x = Một).
4. Viết các công thức nghiệm nguyên của phương trình có dạng cosx = Một, ở đâu Một=1, Một=0, Một=-1.
5. Viết công thức tổng quát cho nghiệm nguyên của phương trình sin x = Một, | Một|
6. Phương trình có dạng như thế nào?Một cosx = NS, | NS|
TRONG 2
1. Viết công thức nghiệm nguyên của phương trình cosx = Một,| Một|
2. Viết công thức tổng quát cho nghiệm nguyên của phương trình
= Một, | Một|
3. Tên của các phương trình có dạng sin x = Một, tgx = Một, sin x = Một?
4. Viết công thức nghiệm nguyên của phương trình sin x = Một, nếu như Một=1, Một=0, Một=-1.
5. phương trình có dạng như thế nào tội Một x = NS, | NS|
6. Phương trình nào được gọi là phương trình thuần nhất cấp hai? Chúng được giải quyết như thế nào?
Học tài liệu mới.
Phương thức bao thanh toán.
Một trong những phương pháp được sử dụng phổ biến để giải phương trình lượng giác là phương pháp phân tích nhân tử.
Nếu phương trình f (x) = 0 có thể được biểu diễn dưới dạng f 1 (x) f 2 (x) = 0, thì bài toán rút gọn thành giải hai phương trình f 1 (x) = 0, f 2 (x) = 0 .
(Với học sinh, việc ghi nhớ quy tắc “ Tích của các yếu tố bằng không nếu ít nhất một trong các yếu tố bằng 0, trong khi các yếu tố khác có ý nghĩa»)
Củng cố các tài liệu đã học thông qua việc giải các phương trình có độ phức tạp khác nhau.
(sin x-1/2) (sin x + 1) = 0; 2) (cosx- 2/2) (sin x + 2/2) = 0; (tự)
3) sin 2 x + sin x cosx = 0; 4) sin 2 x - sin x = 0;
5) sin 2x - cosx = 0; 6) 4 cos 2 x -1 = 0; (Theo 2 cách)
7) cosx + cos3x = 0; 8) sin 3x = sin 17x;
9) sin x + sin 2x + sin 3x = 0; 10) cos3x cos5x
11) sin x cos5x = sin 9x cos3x sin 2x sin 2x
12) 3 cosx sin x + cos 2 x = 0 (tự)
13) 2 cos 2 x - sin (x- / 2) + tgx tg (x + / 2) = 0.
Làm việc độc lập.
Tùy chọn-1 Tùy chọn-2
1) 6 sin 2 x + 5sin x -1 = 0; 1) 3 cos 2 x + 2 cosx -5 = 0;
2) sin 2x - cos2x = 0; 2) 3 cos x / 2 - sin x / 2 = 0;
3) 5 sin 2 x + sin x cosx -2 cos 2 x = 2; 3) 4sin 2 x- sin x cosx + 7cos 2 x = 5;
4) sin x + sin5x = sin3x + sin7x; 4) sin x-sin 2x + sin 3x-sin 4x = 0;
5) sin x + cosx = 1. 5) sin x + cosx = 2.
8. Tổng kết bài học. Bài tập về nhà.
