Negatiivne kumerus. Kamber-konvergents: mida see autos mõjutab. Positiivne nurk on liiga suur. Trigonomeetriline ring. Põhjalik juhend (2019) Nurgad trigonomeetria loendis

Trigonomeetria kui teadus sai alguse Vana-Idast. Esimesed trigonomeetrilised seosed tuletasid astronoomid, et luua täpne kalender ja tähtede orientatsioon. Need arvutused olid seotud sfäärilise trigonomeetriaga, samas kui koolikursusel uuritakse tasapinnalise kolmnurga külgede ja nurkade suhteid.

Trigonomeetria on matemaatika haru, mis käsitleb trigonomeetriliste funktsioonide omadusi ning kolmnurkade külgede ja nurkade vahelisi seoseid.

I aastatuhande pKr kultuuri ja teaduse õitseajal levisid teadmised Vana-Idast Kreekasse. Kuid trigonomeetria peamised avastused on Araabia kalifaadi meeste teene. Eelkõige tutvustas Türkmenistani teadlane al-Marazvi selliseid funktsioone nagu puutuja ja kotangents, koostas esimesed siinuste, puutujate ja kotangentide väärtuste tabelid. Siinuse ja koosinuse mõiste võtsid kasutusele India teadlased. Trigonomeetriale on pühendatud palju tähelepanu selliste antiikaja suurkujude nagu Euclid, Archimedes ja Eratosthenes töödes.

Trigonomeetria põhisuurused

Numbriargumendi põhilised trigonomeetrilised funktsioonid on siinus, koosinus, puutuja ja kotangens. Igal neist on oma graafik: sinusoid, koosinus, puutuja ja kotangens.

Nende suuruste väärtuste arvutamise valemid põhinevad Pythagorase teoreemil. Koolilapsed teavad seda paremini sõnastuses: "Püthagorase püksid, igas suunas võrdsed", kuna tõestus on toodud võrdhaarse täisnurkse kolmnurga näitel.

Siinus, koosinus ja muud sõltuvused loovad seose teravnurkade ja mis tahes täisnurkse kolmnurga külgede vahel. Anname valemid nende nurga A väärtuste arvutamiseks ja jälgime trigonomeetriliste funktsioonide seost:

Nagu näete, on tg ja ctg pöördfunktsioonid. Kui kujutame jalga a patu A ja hüpotenuusi c korrutisena ning jalga b kui cos A * c, saame puutuja ja kotangensi jaoks järgmised valemid:

Trigonomeetriline ring

Graafiliselt saab nende koguste suhet esitada järgmiselt:

Ring tähistab sel juhul kõiki võimalikke nurga α väärtusi - 0 ° kuni 360 °. Nagu jooniselt näha, omandab iga funktsioon olenevalt nurga väärtusest negatiivse või positiivse väärtuse. Näiteks sin α on märgiga "+", kui α kuulub ringi I ja II veerandisse, see tähendab, et see on vahemikus 0 ° kuni 180 °. Kui α on 180 ° kuni 360 ° (III ja IV veerand), võib sin α olla ainult negatiivne.

Proovime koostada trigonomeetrilisi tabeleid kindlate nurkade jaoks ja saame teada suuruste väärtuse.

α väärtusi, mis on võrdne 30 °, 45 °, 60 °, 90 °, 180 ° ja nii edasi, nimetatakse erijuhtudeks. Nende trigonomeetriliste funktsioonide väärtused arvutatakse ja esitatakse spetsiaalsete tabelite kujul.

Neid nurki ei valitud juhuslikult. Tähis π tabelites tähistab radiaane. Rad on nurk, mille juures ringkaare pikkus vastab selle raadiusele. See väärtus võeti kasutusele universaalse sõltuvuse tuvastamiseks; radiaanides arvutamisel ei oma raadiuse tegelik pikkus cm-des tähtsust.

Trigonomeetriliste funktsioonide tabelites olevad nurgad vastavad radiaani väärtustele:

Seega pole raske arvata, et 2π on täisring või 360 °.

Trigonomeetriliste funktsioonide omadused: siinus ja koosinus

Siinuse ja koosinuse, puutuja ja kotangensi põhiomaduste käsitlemiseks ja võrdlemiseks on vaja joonistada nende funktsioonid. Seda saab teha kahemõõtmelises koordinaatsüsteemis paikneva kõvera kujul.

Vaatleme siinuslaine ja koosinuslaine omaduste võrdlevat tabelit:

Määrata, kas funktsioon on paaris või mitte, on väga lihtne. Piisab kujutleda trigonomeetrilist ringi trigonomeetriliste suuruste märkidega ja mõttes "voldida" graafik ümber OX-telje. Kui märgid ühtivad, on funktsioon paaris, vastasel juhul on see paaritu.

Radiaanide kasutuselevõtt ning sinusoidi ja koosinuse põhiomaduste loendamine võimaldab anda järgmise mustri:

Valemi õigsust on väga lihtne kontrollida. Näiteks x = π / 2 korral on siinus 1, nagu ka koosinus x = 0. Kontrolli saab läbi viia tabelitele viidates või antud väärtuste funktsioonide kõveraid jälgides.

Tangentoidi ja kotangentoidi omadused

Puutuja- ja kotangensfunktsioonide graafikud erinevad oluliselt siinusest ja koosinusest. Tg ja ctg väärtused on üksteise suhtes pöördvõrdelised.

1. Y = tg x.
2. Tangentoid kaldub y-väärtustele x = π / 2 + πk, kuid ei jõua kunagi nendeni.
3. Tangentoidi väikseim positiivne periood on π.
4. Tg (- x) = - tg x ehk funktsioon on paaritu.
5. Tg x = 0, kui x = πk.
6. Funktsioon suureneb.
7. Tg x ›0, kui x ϵ (πk, π / 2 + πk).
8. Tg x ‹0, kui x ϵ (- π / 2 + πk, πk).
9. Tuletis (tg x) ’= 1 / cos 2⁡x.

Mõelge kotangentoidi graafilisele kujutisele allpool tekstis.

Kotangensoidi peamised omadused:

1. Y = ctg x.
2. Erinevalt siinus- ja koosinusfunktsioonidest võib tangentoidis Y võtta kõigi reaalarvude hulga väärtused.
3. Kotangensoid kaldub y väärtustele x = πk, kuid ei jõua kunagi nendeni.
4. Kotangensoidi väikseim positiivne periood on π.
5. Ctg (- x) = - ctg x ehk funktsioon on paaritu.
6. Ctg x = 0, kui x = π / 2 + πk.
7. Funktsioon väheneb.
8. Ctg x ›0, kui x ϵ (πk, π / 2 + πk).
9. Ctg x ‹0, kui x ϵ (π / 2 + πk, πk).
10. Tuletis (ctg x) ’= - 1 / sin 2 ⁡x Õige

Alfa tähistab reaalarvu. Võrdsusmärk ülaltoodud avaldistes näitab, et kui liita lõpmatusele arv või lõpmatus, ei muutu midagi, tulemuseks on sama lõpmatus. Kui võtame näitena lõpmatu naturaalarvude hulga, saab vaadeldavaid näiteid esitada järgmisel kujul:

Nende õigsuse visuaalseks tõestuseks on matemaatikud välja pakkunud palju erinevaid meetodeid. Mina isiklikult vaatan kõiki neid meetodeid kui parmupillidega tantsivaid šamaane. Sisuliselt taanduvad need kõik sellele, et kas osades tubades ei asutata ja sisse kolivad uued külalised või visatakse osa külastajatest välja koridori, et külalistele ruumi teha (väga inimlikult). Esitasin oma vaate sellistele otsustele fantastilise loona Blondist. Millel minu arutluskäik põhineb? Lõpmatu arvu külastajate ümberpaigutamine võtab lõpmatult palju aega. Pärast seda, kui oleme esimese toa külalisele vabastanud, kõnnib üks külastajatest kuni sajandi lõpuni alati mööda koridori oma toast järgmisesse. Muidugi võib ajafaktorit rumalalt ignoreerida, aga see tuleb juba kategooriast "seadus pole lollidele kirjutatud". Kõik sõltub sellest, mida me teeme: reaalsuse kohandamisest matemaatiliste teooriatega või vastupidi.

Mis on "lõputu hotell"? Lõputu hotell on hotell, kus on alati ükskõik kui palju vabu kohti, olenemata sellest, kui palju tube on hõivatud. Kui lõputus külastuskoridoris on kõik toad hõivatud, on külalistetubadega veel üks lõputu koridor. Selliseid koridore tuleb lõputult palju. Veelgi enam, "lõpmatul hotellil" on lõpmatu arv korruseid lõpmatul arvul hoonetel lõpmatul arvul planeetidel lõpmatul arvul universumitel, mille on loonud lõpmatu arv jumalaid. Matemaatikud aga ei suuda distantseeruda tavalistest igapäevaprobleemidest: Jumal-Allah-Buddha on alati ainult üks, hotell on üks, koridor ainult üks. Siin on matemaatikud ja üritavad manipuleerida hotellitubade seerianumbritega, veendes meid, et on võimalik asju "sisse ajada".

Näitan teile oma mõttekäigu loogikat lõpmatu naturaalarvude hulga näitel. Esiteks peate vastama väga lihtsale küsimusele: mitu naturaalarvude komplekti on olemas - üks või mitu? Sellele küsimusele pole õiget vastust, kuna me mõtlesime numbrid ise välja, siis looduses numbreid pole. Jah, loodus oskab suurepäraselt arvutada, kuid selleks kasutab ta muid matemaatilisi tööriistu, mis pole meile tuttavad. Nagu Loodus arvab, räägin teile teine ​​kord. Kuna me arvud leiutasime, siis otsustame ise, mitu naturaalarvude komplekti on. Kaaluge mõlemat võimalust, nagu tõelisele teadlasele kohane.

Variant üks. "Andke meile" üks naturaalarvude komplekt, mis lebab rahulikult riiulil. Võtame selle komplekti riiulilt. See selleks, muid naturaalarve pole riiulile jäänud ja neid pole kuskilt võtta. Me ei saa seda komplekti lisada, kuna see on meil juba olemas. Ja kui sa tõesti tahad? Pole probleemi. Võime ühe juba võetud komplektist võtta ja riiulisse tagasi viia. Pärast seda saame riiulilt ühiku võtta ja lisada sellele, mis meil üle jääb. Selle tulemusena saame jälle lõpmatu hulga naturaalarvusid. Kõik meie manipulatsioonid saate kirjutada järgmiselt:

Panin kirja toimingud algebralises tähistussüsteemis ja hulgateoorias omaks võetud tähistussüsteemis koos hulga elementide üksikasjaliku loetlemisega. Alamindeks näitab, et meil on üks ja ainus naturaalarvude komplekt. Selgub, et naturaalarvude hulk jääb muutumatuks ainult siis, kui sellest lahutada ja lisada sama ühik.

Variant kaks. Meie riiulil on palju erinevaid lõpmatuid naturaalarvude komplekte. Rõhutan – ERINEVAD, hoolimata sellest, et neid praktiliselt ei erista. Võtame ühe neist komplektidest. Seejärel võtame ühe teisest naturaalarvude hulgast ja lisame selle juba võetud hulgale. Saame isegi lisada kaks naturaalarvude komplekti. Siin on see, mida me saame:

Alamindeksid "üks" ja "kaks" näitavad, et need üksused kuulusid erinevatesse komplektidesse. Jah, kui lisate ühe lõpmatusse hulka, on tulemuseks samuti lõpmatu hulk, kuid see ei ole sama, mis algne hulk. Kui ühele lõpmatule hulgale lisada veel üks lõpmatu hulk, on tulemuseks uus lõpmatu hulk, mis koosneb kahe esimese hulga elementidest.

Loendamisel kasutatakse palju naturaalarve samamoodi nagu mõõtmisel joonlauda. Kujutage nüüd ette, et lisate joonlauale ühe sentimeetri. See on juba erinev rida, mis ei võrdu originaaliga.

Võite minu arutluskäiguga nõustuda või mitte aktsepteerida – see on teie enda asi. Kuid kui teil tekib kunagi matemaatilisi probleeme, mõelge sellele, kas te ei järgi valearutluskäiku, mida matemaatikute põlvkonnad on tallanud. Moodustab ju matemaatikaga tegelemine meis ennekõike stabiilse mõtlemise stereotüübi ja alles seejärel lisab meile vaimseid võimeid (või, vastupidi, võtab meilt mõttevabaduse).

Pühapäeval, 4. augustil 2019

Kirjutasin järelsõna artiklile ja nägin Vikipeedias seda imelist teksti:

Me loeme: "... Babüloonia matemaatika rikkalikul teoreetilisel alusel ei olnud terviklikku iseloomu ja see taandus erinevate tehnikate kogumiks, millel puudus ühine süsteem ja tõendusbaas."

Vau! Kui targad me oleme ja kui hästi oskame näha teiste puudujääke. Kas meil on raske vaadata kaasaegset matemaatikat samas kontekstis? Ülaltoodud teksti pisut parafraseerides sain isiklikult järgmise:

Kaasaegse matemaatika rikkalik teoreetiline alus ei ole terviklik ja taandub erinevatele osadele, millel puudub ühine süsteem ja tõendusbaas.

Ma ei lähe oma sõnade kinnituseks kaugele – sellel on keel ja kokkulepped, mis erinevad paljude teiste matemaatikaharude keelest ja tavadest. Samadel nimedel võib erinevates matemaatikaharudes olla erinev tähendus. Tahan pühendada terve rea publikatsioone kaasaegse matemaatika kõige ilmsematele vigadele. Varsti näeme.

Laupäeval, 3. augustil 2019

Kuidas jagada hulk alamhulkadeks? Selleks on vaja sisestada uus mõõtühik, mis on mõne valitud komplekti elemendi puhul olemas. Vaatame näidet.

Olgu meil palju A koosneb neljast inimesest. See komplekt moodustati "inimeste" baasil. Tähistame selle hulga elemente tähega a, näitab numbriga alaindeks iga selles komplektis oleva isiku järjekorranumbrit. Võtame kasutusele uue mõõtühiku "sugu" ja tähistame seda tähega b... Kuna seksuaalsed omadused on omased kõigile inimestele, korrutame komplekti iga elemendi A soo järgi b... Pange tähele, et nüüd on meie paljudest "inimestest" saanud "sootunnustega inimeste" hulk. Pärast seda võime jagada sootunnused mehelikeks bm ja naised bw seksuaalsed omadused. Nüüd saame rakendada matemaatilist filtrit: valime ühe neist sootunnustest, pole vahet, kumb on mees või naine. Kui inimesel on, siis korrutame selle ühega, kui sellist märki pole, korrutame nulliga. Ja siis rakendame tavalist koolimatemaatikat. Vaata, mis juhtus.

Pärast korrutamist, vähendamist ja ümberkorraldamist saime kaks alamhulka: meeste alamhulk Bm ja naiste alamhulk Bw... Matemaatikud mõtlevad samale, kui nad rakendavad hulgateooriat praktikas. Kuid nad ei pühenda meid üksikasjadele, vaid annavad valmis tulemuse – "palju inimesi koosneb meeste alamhulgast ja naiste alamhulgast." Loomulikult võite küsida, kui õigesti matemaatikat ülaltoodud teisendustes rakendatakse? Julgen kinnitada, et tegelikult tehti teisendused õigesti, piisab aritmeetika, Boole'i ​​algebra ja teiste matemaatikaharude matemaatilise aluse tundmisest. Mis see on? Mõni teine ​​kord räägin teile sellest.

Superkomplektide puhul saate ühendada kaks komplekti üheks superkomplektiks, valides nende kahe komplekti elementide jaoks kehtiva mõõtühiku.

Nagu näete, muudavad mõõtühikud ja levinud matemaatika hulgateooria minevikku. Viide sellele, et hulgateooriaga pole kõik korras, on see, et matemaatikud on hulgateooria jaoks välja mõelnud oma keele ja tähistuse. Matemaatikud tegid seda, mida šamaanid kunagi tegid. Ainult šamaanid teavad, kuidas oma "teadmisi" "õigesti" rakendada. Nad õpetavad meile seda "teadmist".

Lõpetuseks tahan teile näidata, kuidas matemaatikud sellega manipuleerivad.

Esmaspäeval, 7. jaanuaril 2019

Viiendal sajandil eKr sõnastas Vana-Kreeka filosoof Zenon Eleast oma kuulsad apooriad, millest tuntuim on apooria "Achilleus ja kilpkonn". See kõlab nii:

Oletame, et Achilleus jookseb kümme korda kiiremini kui kilpkonn ja on sellest tuhat sammu maas. Aja jooksul, mis kulub Achilleuse läbimiseks, roomab kilpkonn sada sammu samas suunas. Kui Achilleus on sada sammu jooksnud, roomab kilpkonn veel kümme sammu jne. Protsess jätkub lõputult, Achilleus ei jõua kilpkonnale kunagi järele.

See arutluskäik oli loogiline šokk kõigile järgnevatele põlvkondadele. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert ... Kõik nad pidasid ühel või teisel viisil Zenoni apooriaks. Šokk oli nii tugev, et " ... arutelud jätkuvad ka praegu, teadlaskonnal pole veel õnnestunud jõuda ühisele arvamusele paradokside olemuse kohta ... teema uurimisse kaasati matemaatiline analüüs, hulgateooria, uued füüsikalised ja filosoofilised lähenemised ; ükski neist pole muutunud küsimusele üldtunnustatud lahenduseks ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Kõik saavad aru, et neid lollitatakse, aga keegi ei saa aru, milles see pettus seisneb.

Matemaatika seisukohalt demonstreeris Zenon oma apoorias selgelt üleminekut suurusjärgult teisele. See üleminek eeldab rakendust konstantide asemel. Minu arusaamist mööda pole muutuvate mõõtühikute kasutamise matemaatilist aparaati kas veel välja töötatud või pole seda Zenoni apooria puhul rakendatud. Meie tavapärase loogika rakendamine viib meid lõksu. Me rakendame mõtlemise inertsi abil pöördarvule aja konstantseid mõõtühikuid. Füüsilisest vaatenurgast näeb see välja nagu aja laienemine, kuni see täielikult peatub hetkel, mil Achilleus on kilpkonnaga samal tasemel. Kui aeg peatub, ei saa Achilleus kilpkonnast enam mööduda.

Kui me harjunud loogika ümber pöörame, loksub kõik paika. Achilleus jookseb ühtlase kiirusega. Tema tee iga järgmine lõik on kümme korda lühem kui eelmine. Sellest tulenevalt on selle ületamiseks kulunud aeg kümme korda väiksem kui eelmisel. Kui rakendame selles olukorras mõistet "lõpmatus", siis oleks õige öelda "Achilleus jõuab lõpmatult kiiresti kilpkonnale järele".

Kuidas saate seda loogilist lõksu vältida? Püsi muutumatutes ajaühikutes ja ära liigu tagurpidi. Zenoni keeles näeb see välja järgmine:

Aja jooksul, mille jooksul Achilleus jookseb tuhat sammu, roomab kilpkonn sada sammu samas suunas. Järgmise ajavahemiku jooksul, mis on võrdne esimesega, jookseb Achilleus veel tuhat sammu ja kilpkonn roomab sada sammu. Nüüd on Achilleus kilpkonnast kaheksasada sammu ees.

See lähenemine kirjeldab adekvaatselt tegelikkust ilma loogiliste paradoksideta. Kuid see pole probleemi täielik lahendus. Einsteini väide valguse kiiruse ületamatuse kohta on väga sarnane Zenoni apooriaga "Achilleus ja kilpkonn". Seda probleemi tuleb veel uurida, ümber mõelda ja lahendada. Ja lahendust tuleb otsida mitte lõpmata suurtes arvudes, vaid mõõtühikutes.

Veel üks huvitav apooria Zeno räägib lendavast noolest:

Lendav nool on liikumatu, kuna ta on igal ajahetkel puhkeolekus ja kuna ta on igal ajahetkel puhkab, siis on ta alati puhkab.

Selles apoorias ületatakse loogiline paradoks väga lihtsalt - piisab, kui selgitada, et igal ajahetkel puhkab lendav nool ruumi erinevates punktides, mis tegelikult on liikumine. Siin tuleb märkida veel üks punkt. Teel oleva auto ühe foto järgi on võimatu kindlaks teha ei selle liikumise fakti ega kaugust selleni. Auto liikumise fakti kindlakstegemiseks on vaja kahte fotot, mis on tehtud samast punktist erinevatel ajahetkedel, kuid nende kaugust pole võimalik kindlaks teha. Auto kauguse määramiseks on vaja korraga kahte erinevatest ruumipunktidest tehtud fotot, kuid need ei suuda kindlaks teha liikumise fakti (loomulikult on arvutusteks vaja veel lisaandmeid, abiks on trigonomeetria). Tahan erilist tähelepanu juhtida sellele, et kaks punkti ajas ja kaks punkti ruumis on erinevad asjad, mida ei tohiks segi ajada, sest need annavad uurimistööks erinevaid võimalusi.

Kolmapäeval, 4. juulil 2018

Ma olen teile seda juba rääkinud, mille abil šamaanid püüavad sorteerida "" tegelikkust. Kuidas nad seda teevad? Kuidas komplekti moodustamine tegelikult toimub?

Vaatame lähemalt hulga definitsiooni: "erinevate elementide kogum, mida mõeldakse ühtse tervikuna". Nüüd tunnetage erinevust kahe fraasi vahel: "mõeldav tervikuna" ja "mõeldav tervikuna". Esimene fraas on lõpptulemus, komplekt. Teine fraas on esialgne ettevalmistus komplekti moodustamiseks. Selles etapis jagatakse reaalsus eraldi elementideks ("tervikuks"), millest seejärel moodustub kogum ("üks tervik"). Samal ajal jälgitakse hoolikalt tegurit, mis võimaldab ühendada "terviku" "ühtseks tervikuks", muidu šamaanid ebaõnnestuvad. Šamaanid teavad ju ette, millist rahvahulka nad tahavad meile demonstreerida.

Lubage mul näidata teile protsessi näitega. Valime "punane tahke vistrikus" - see on meie "tervik". Samas näeme, et need asjad on vibuga, aga vibusid pole. Pärast seda valime osa "tervikust" ja moodustame komplekti "kaabuga". Nii toidavad šamaanid end, sidudes oma hulgateooria tegelikkusega.

Teeme nüüd väikese räpase triki. Võtke "tahke vibuga vistrik" ja ühendage need "tervikud" värvi järgi, valides punased elemendid. Saime palju "punast". Nüüd küsimus, mida täita: saadud komplektid "kaabuga" ja "punane" on sama komplekt või on need kaks erinevat komplekti? Ainult šamaanid teavad vastust. Täpsemalt ei tea nad ise midagi, aga nagu öeldakse, nii on.

See lihtne näide näitab, et hulgateooria on tegelikkuses täiesti kasutu. Mis on saladus? Oleme moodustanud komplekti "punane tahke kaarega muhk". Moodustamine toimus nelja erineva mõõtühiku järgi: värvus (punane), tugevus (solid), karedus (vistrikus), kaunistused (kaabuga). Ainult mõõtühikute kogum võimaldab matemaatika keeles adekvaatselt kirjeldada reaalseid objekte... See näeb välja selline.

Erinevate indeksitega täht "a" tähistab erinevaid mõõtühikuid. Mõõtühikud on esile tõstetud sulgudes, mille järgi "tervik" eraldatakse esialgses etapis. Mõõtühik, mille järgi komplekt moodustatakse, võetakse sulgudest välja. Viimane rida näitab lõpptulemust – komplekti elementi. Nagu näete, kui me kasutame hulga moodustamiseks mõõtühikuid, siis tulemus ei sõltu meie tegevuste järjekorrast. Ja see on matemaatika, mitte šamaanide tantsimine tamburiinidega. Šamaanid võivad "intuitiivselt" jõuda samale tulemusele, väites seda "tõendite abil", sest mõõtühikud ei kuulu nende "teaduslikku" arsenali.

Üksusi on väga lihtne kasutada, et jagada üks või mitu komplekti üheks superkomplektiks kombineerida. Vaatame lähemalt selle protsessi algebrat.

Laupäeval, 30. juunil 2018

Kui matemaatikud ei saa taandada mõistet teistele mõistetele, siis nad ei saa matemaatikas midagi aru. Vastan: mille poolest erinevad ühe hulga elemendid teise hulga elementidest? Vastus on väga lihtne: numbrid ja ühikud.

Tänapäeval kuulub kõik, mida me ei võta, mõnda hulka (nagu matemaatikud meile kinnitavad). Muide, kas olete oma otsaesisel peeglist näinud nimekirja komplektidest, kuhu kuulute? Ja ma pole sellist nimekirja näinud. Ütlen veel - mitte ühelgi asjal ei ole tegelikkuses sildi komplektide nimekirjaga, kuhu see asi kuulub. Rahvahulgad on kõik šamaanide väljamõeldised. Kuidas nad seda teevad? Vaatame ajalugu veidi sügavamalt ja vaatame, millised nägid komplekti elemendid välja enne, kui šamaanist matemaatikud need oma komplektideks lahutasid.

Ammu aega tagasi, kui keegi polnud matemaatikast isegi kuulnud ning rõngad olid ainult puudel ja Saturnil, tiirlesid füüsilistel väljadel tohutud karjad metsikuid komplektielemente (ju polnud šamaanid veel matemaatilisi välju leiutanud). Nad nägid välja midagi sellist.

Jah, ärge imestage, matemaatika seisukohalt on kõik komplektide elemendid kõige sarnasemad merisiilikutega - ühest punktist paistavad mõõtühikud nagu nõelad igas suunas välja. Neile, kes tuletan meelde, et mis tahes mõõtühikut saab geomeetriliselt esitada suvalise pikkusega segmendina ja arvu punktina. Geomeetriliselt saab mis tahes väärtust kujutada hunnikuna, mis ühest punktist eri suundades paistavad välja. See punkt on nullpunkt. Ma ei joonista seda geomeetrilist kunstiteost (ilma inspiratsioonita), kuid võite seda kergesti ette kujutada.

Millised mõõtühikud moodustavad hulga elemendi? Igaüks, kes kirjeldab seda elementi erinevatest vaatenurkadest. Need on iidsed mõõtühikud, mida kasutasid meie esivanemad ja mille kõik on ammu unustanud. Need on tänapäevased mõõtühikud, mida me praegu kasutame. Need on ka tundmatud mõõtühikud, mille meie järeltulijad leiutavad ja mida nad kasutavad tegelikkuse kirjeldamiseks.

Arvutasime välja geomeetria - komplekti elementide pakutud mudelil on selge geomeetriline kujutis. Aga füüsika? Mõõtühikud on otsene seos matemaatika ja füüsika vahel. Kui šamaanid ei tunnista mõõtühikuid matemaatiliste teooriate täieõiguslikuks elemendiks, on see nende probleem. Mina isiklikult ei kujuta tegelikku matemaatikateadust ilma mõõtühikuteta ette. Seetõttu rääkisin ma oma hulgateooria loo alguses sellest kui kiviajast.

Aga liigume edasi kõige huvitavama juurde – hulkade elementide algebra juurde. Algebraliselt on hulga iga element erinevate suuruste korrutis (korrutamise tulemus), mis näeb välja selline.

Ma ei kasutanud meelega hulgateooria tavasid, kuna me vaatlesime hulga elementi selle loomulikus elupaigas enne hulgateooria tekkimist. Iga tähepaar sulgudes tähistab eraldi väärtust, mis koosneb numbrist, mis on tähistatud tähega " n"ja tähega tähistatud mõõtühikud" a". Tähtede juures olevad indeksid näitavad, et numbrid ja mõõtühikud on erinevad. Komplekti üks element võib koosneda lõpmatust arvust suurustest (kui meil ja meie järglastel on piisavalt kujutlusvõimet). Iga sulg on geomeetriliselt kujutatud eraldi segmendina. Merisiiliku näites on üks sulg üks nõel.

Kuidas šamaanid erinevatest elementidest komplekte moodustavad? Tegelikult ühikute või numbrite järgi. Matemaatikas midagi aru saamata võtavad nad erinevaid merisiilikuid ja uurivad neid hoolikalt, otsides ühtainsat nõela, mida mööda nad komplekti moodustavad. Kui selline nõel on olemas, siis see element kuulub komplekti, kui nõela pole, siis on see element, mis ei ole sellest komplektist. Šamaanid räägivad meile muinasjutte mõtteprotsessidest ja ühtsest tervikust.

Nagu arvata võis, võib sama element kuuluda väga erinevatesse komplektidesse. Edasi näitan teile, kuidas moodustuvad hulgad, alamhulgad ja muud šamaanilised jama. Nagu näete, "komplektis ei saa olla kahte identset elementi", kuid kui komplektis on identsed elemendid, nimetatakse sellist komplekti "multiseks". Sellist absurdiloogikat ei mõista ratsionaalsed olendid kunagi. See on rääkivate papagoide ja treenitud ahvide tase, kellel puudub mõistus sõnast "täiesti". Matemaatikud tegutsevad tavaliste koolitajatena, kuulutades meile oma absurdseid ideid.

Kord olid silla ehitanud insenerid silla katsetuste ajal silla all paadis. Kui sild kokku kukkus, suri ebakompetentne insener oma loomingu rusude all. Kui sild peaks koormusele vastu, ehitaks andekas insener teisi sildu.

Ükskõik, kuidas matemaatikud end lause "chur, ma olen majas" taha peituvad, õigemini "matemaatika uurib abstraktseid mõisteid", on üks nabanöör, mis seob neid lahutamatult reaalsusega. See nabanöör on raha. Rakendagem matemaatilist hulgateooriat matemaatikute endi suhtes.

Õppisime matemaatikat väga hästi ja nüüd istume kassas ja anname palka välja. Siin tuleb meie juurde matemaatik oma raha eest. Loeme talle kogu summa kokku ja laotame oma lauale erinevatesse hunnikutesse, millesse paneme sama nimiväärtusega arveid. Seejärel võtame igast hunnikust ühe arve ja anname matemaatikule tema “matemaatilise palgakomplekti”. Selgitagem matemaatikat, et ta saab ülejäänud arved alles siis, kui ta tõestab, et ilma identsete elementideta hulk ei võrdu identsete elementidega hulgaga. Siit saab alguse lõbus.

Esiteks hakkab toimima saadikute loogika: "Teiste peale võib rakendada, minu puhul mitte!" Lisaks hakkame meile kinnitama, et sama nimiväärtusega kupüüridel on erinevad pangatähtede numbrid, mis tähendab, et neid ei saa käsitleda samade elementidena. Olgu, arvestame palka müntides – müntidel pole numbreid. Siin hakkab matemaatikule meeletult füüsika meelde jääma: erinevatel müntidel on erinev kogus mustust, iga mündi kristallstruktuur ja aatomite paigutus on unikaalne ...

Ja nüüd on mul kõige huvitavam küsimus: kus on piir, millest kaugemale muutuvad multikomplekti elemendid hulga elementideks ja vastupidi? Sellist joont ei eksisteeri – kõike otsustavad šamaanid, teadus siin lähedal ei valetanud.

Vaata siia. Valime välja sama väljakuga jalgpallistaadionid. Põldude pindala on sama, mis tähendab, et meil on multikomplekt. Aga kui arvestada samade staadionide nimesid, saame palju, sest nimed on erinevad. Nagu näete, on sama elementide komplekt korraga nii hulk kui ka multikomplekt. Kuidas see õige on? Ja siin võtab matemaatik-šamaan-shuller varrukast trumpässa ja hakkab meile rääkima kas komplektist või multikomplektist. Igal juhul veenab ta meid, et tal on õigus.

Et mõista, kuidas tänapäeva šamaanid hulgateooriaga opereerivad, sidudes selle reaalsusega, piisab, kui vastata ühele küsimusele: mille poolest erinevad ühe hulga elemendid teise hulga elementidest? Ma näitan teile, ilma et oleks "mõeldatav kui ühtne tervik" või "mitte mõeldav tervikuna".

Kuid ärge unustage, et mida väiksem on maksimaalne roolinurk, seda väiksem on auto pöörderaadius. Need. kinnises ruumis kasutuselevõtt on väga keeruline. Seega peavad tootjad otsima omamoodi "kuldset keskteed", manööverdades suure pöörderaadiuse ja juhtimistäpsuse vahel.

Rataste joonduse väärtuste muutmine ja reguleerimine

Piri Reisi kaarti on võrreldud tänapäevase kaardiprojektsiooniga. Nii jõudis ta järeldusele, et kõrgel Kairo kohal hõljuvalt satelliidilt on maailma vallutamas salapärane kaart. Ehk siis üle Suure Püramiidi. Üllataval kombel kaitsevad egüptoloogid neid ruume järjekindlalt, ehkki hiljutine uuring viidi läbi ühes hiljuti avatud koridoris, mis pole veel mingeid läbimurdeid toonud.

Samuti väärib märkimist, et püramiidist leiti ebatavalisi psühhotroonseid mõjusid, mis muu hulgas võivad mõjutada inimeste tervist. Jutt käib ruumilisest psühhotroonikast, mis loob nii energeetilisi kui ka geomagnetilisi "anomaaalseid tsoone", mida edasi uuritakse.

Ratta pööramisel deformeerub rehv külgjõudude mõjul. Ja selleks, et säilitada maksimaalne kontakt teega, kaldub ka auto ratas pöörde suunas. Aga igal pool pead teadma, millal peatuda, sest väga suure rattaga kaldub auto ratas tugevalt viltu ja siis kaotab haardumine.

Esialgu rakendasid insenerid auto vedrustuse puuduste kõrvaldamiseks roolitelje külgkalde. Ta sai lahti sellistest auto "vaevustest" nagu positiivne kumerus ja positiivne sissemurdmisõlg.

Arheoloogilistel väljakaevamistel leiti ka kummalisi matmisohvreid väljasirutatud tiibadega lindude näol. Nende katsealuste hilisemad aerodünaamilised uuringud näitasid, et suure tõenäosusega on tegemist iidsete purilennukitega. Üks neist leiti kirjaga "Amuni kingitus". Egiptuses kummardati jumalat Amonit kui tuulejumalat, nii et lendu seostati ilmselgelt.

Kuidas aga jõudsid selle iidse tsivilisatsiooni liikmed selle teadmiseni ilma esialgse arenguetapita? Sel juhul on vastus ainult. Need teadmised pärinesid nende aegade valitsustelt, mida egiptlased nimetasid oma jumalateks. See on võimalik enam kui tuhat aastat tagasi jäljetult kadunud tehnoloogiliselt arenenud tsivilisatsiooni liikmetele.

Paljud sõidukid kasutavad McPhersoni tüüpi vedrustust. See võimaldab saada negatiivse või nulli sissemurdmisvõimenduse. Ratta pöördepunkt koosneb ju ühest kangitoest, mille saab hõlpsasti ratta sisse asetada. Kuid ka see vedrustus pole täiuslik, sest selle disaini tõttu on pöördetelje kaldenurka peaaegu võimatu väikeseks muuta. Kurvides kallutab see välimist ratast ebasoodsa nurga all (nagu positiivne kumerus) ja sisemine ratas kaldub samaaegselt vastupidises suunas.

Kuid selliseid objekte napib endiselt. Need lagunevad, võivad hävida, kuid võivad olla hästi peidetud ka templites, püramiidides ja muudes ikoonilistes ehitistes, mis võivad lebada liikumatult, korralikult aardeküttide vastu kinnitatuna.

Suur püramiid oma suuruse ja disaini täpsuse poolest pole kunagi olnud võrdne. Püramiid kaalub ligikaudu kuus miljonit tonni. Oma Eiffeli tornina oli Suur püramiid maailma kõrgeim ehitis. Selle ehitamiseks kasutati üle kahe miljoni kivi. Ükski kivi ei kaalu alla tonni.

Selle tulemusena väheneb välisratta kontaktplaaster oluliselt. Ja kuna põhikoormus lasub kurvis välisrattal, kaotab kogu telg palju haardumist. Seda saab loomulikult osaliselt kompenseerida ratta ja kumerusega. Siis on välisratta haarduvus hea, sisemise ratta oma aga praktiliselt kaob.

Auto rataste kokkupõrge

Tagateljel on rataste positiivse sisselöömisega auto sirgjoonelisel liikumisel stabiilsem ja negatiivse pöörde korral käitub auto ebaadekvaatselt ja nühib küljelt küljele.

Ja mõned üle seitsmekümne tonni. Sees on kambrid ühendatud koridoridega. Tänaseks krobeline kivipüramiid, aga kohe pärast müüritise peeglilaadse läikega töödeldud. Arvatakse, et Suure Püramiidi tipp oli ehitud puhta kullaga. Päikesekiired pimestasid sadu kilomeetreid. Eksperdid on sajandeid spekuleerinud püramiidide eesmärgi üle. Traditsiooniline teooria väidab, et püramiidid olid sümboolne värav teispoolsusesse. Teised arvavad, et püramiid oli astronoomiline vaatluskeskus. Keegi ütleb, et abi on geograafilises mõõtmes.

Kuid tuleb meeles pidada, et sõiduki liigne kõrvalekalle nullist suurendab veeretakistust sirgel sõitmisel, kurvides on see aga märgatav vähemal määral.

Camber

Kui vaadata auto eest ja rattad kalduvad sissepoole, on see negatiivne kalle ja kui need kalduvad autost väljapoole, on see juba positiivne. Kamber on vajalik selleks, et säilitada ratta haardumine teepinnaga.

Üks veider teooria on see, et suur püramiid asus aidadel. Kuid tänapäeval on eksperdid üldiselt nõus, et püramiidid olid palju enamat kui lihtsalt hiiglaslik haud. Teadlased väidavad, et massiivne püramiiditehnoloogia ei pruukinud olla inimkonna ajaloo praegusel hetkel, kui need hooned ehitati, inimestele kättesaadav. Näiteks püramiidi kõrgus vastab kaugusele Maast Päikeseni. Püramiid oli täpselt orienteeritud neljale maailmale täpsusega, mida kunagi ei saavutatud.

Ja üllataval kombel asub Suur püramiid täpselt Maa keskpunktis. Kes ehitas Suure püramiidi, võis täpselt määrata laius- ja pikkuskraadi. See on üllatav, kuna pikkuskraadi määramise tehnoloogia avastati meie ajal kuueteistkümnendal sajandil. Püramiidid ehitati täpselt Maa keskpunkti. Samuti püramiidi kõrgus - suurelt kõrguselt vaadatuna, kuu pealt näha. Pealegi on püramiidi kuju üks parimaid radarite peegeldamiseks. Need põhjused panevad mõned teadlased uskuma, et Egiptuse püramiidid ehitati väljaspool nende muid eesmärke ja võimalike välismaiste maadeavastajate navigeerimiseks.

Kaldenurga muutmine mõjutab auto käitumist sirgel, kuna rattad ei ole teega risti, mis tähendab, et neil puudub maksimaalne haardumine. Kuid see mõjutab ainult tagaveolisi sõidukeid libisemisega startimisel.

Neile, kes soovivad mõista, mida ratta joondamise nurgad (Camber / Toe) tähendavad, ja mõistavad probleemi põhjalikult, pakub see artikkel vastuseid kõigile küsimustele.

Cheopsi püramiid asub Kairost veidi üle kaheksa kilomeetri läänes. See on ehitatud kunstlikult loodud korterile, mille pindala on 1,6 ruutkilomeetrit. Selle põhi ulatub kuni 900 ruutmeetrini ja on horisontaalasendis peaaegu millimeeter. Ehituseks kasutati kaks- ja kolmveerand miljonit kiviplokki, mille raskeim kaal kaalus kuni 70 tonni. Need sobivad nii, et see fakt on mõistatus. Püramiidi loomise tehniline pool jääb aga saladuseks, sest see on tänapäeva arenenud tehnoloogia jaoks tõsine probleem.

Põik ajalukku näitab, et keerukat rattajoondust kasutati erinevatel sõidukitel juba ammu enne auto tulekut. Siin on mõned enam-vähem tuntud näited.
Pole saladus, et osade hobuvankrite ja teiste "dünaamiliseks" sõiduks mõeldud hobuvankrite rattad paigaldati silmaga hästi nähtava suure positiivse kumerusega. Seda tehti selleks, et ratastelt lendav mustus ei pudeneks vankrisse ja tähtsatesse sõitjatesse, vaid paiskus laiali. Seega soovitasid revolutsioonieelsed juhised hea käru ehitamiseks paigaldada negatiivse kumerusega rattad. Sel juhul ei hüpanud see ratast lukustava tüübli kaotamisega kohe teljelt alla. Juhil oli aega märgata "käiguosa" kahjustusi, mis tekitasid eriti suuri probleeme kärus mitmekümne puud jahu olemasolu ja tungraua puudumine. Püstolivankrite konstrueerimisel (jällegi vastupidi) kasutati mõnikord positiivset kumerust. On selge, et mitte eesmärgiga kaitsta relva mustuse eest. Nii oli sulastel mugav püssi külje pealt kätega üle rataste veeretada, kartmata jalgu muljuda. Aga käru juures olid selle hiigelsuured rattad, mis aitasid kergesti üle kraavide pääseda, teise suunda - vankri poole. Sellest tulenev rööpmelaiuse suurenemine aitas kaasa Kesk-Aasia "mobiili" stabiilsuse suurenemisele, mida eristas kõrge raskuskese. Kuidas on need ajaloolised faktid seotud tänapäevaste autode rataste paigaldamisega? Jah, üldiselt mitte ühtegi. Siiski viivad need kasuliku järelduseni. On näha, et rataste paigaldus (eriti nende kumerus) ei allu ühelegi regulaarsusele.

Seetõttu pole hüpoteese, et püramiidi ehitamisel oleks kasutatud maagilisi jõude - papüürusele kirjutatud maagilised valemid võimaldasid liigutada raskeid kivitükke ja asetada need hämmastava täpsusega üksteise otsa. Edgar Cayce ütles, et need püramiidid ehitati kümme tuhat aastat tagasi, samas kui teised arvavad, et püramiidid ehitasid Atlantise elanikud, kes enne nende kontinendi hävitanud kataklüsmi otsisid varjupaika peamiselt Egiptuses. Ta loob teaduskeskusi, nemad lõid ka püramiidse varjualuse, kus võis peita suuri saladusi.

Selle parameetri valimisel lähtus "tootja" igal juhul erinevatest kaalutlustest, mida ta pidas prioriteetseks. Millele siis autovedrustuste disainerid UUKi valides püüdlevad? Muidugi ideaalini. Ideaalseks sirgjooneliselt liikuvale autole peetakse rataste sellist asendit, kus nende pöörlemistasandid (veeremistasand) on teepinnaga risti, paralleelsed kere sümmeetriatelgedega. ja ühtivad liikumise trajektooriga. Sel juhul on rehvi turvise hõõrdumisest ja kulumisest tingitud võimsuse kadu minimaalne ning rataste haardumine teega, vastupidi, on maksimaalne. Loomulikult tekib küsimus: mis sunnib sind tahtlikult ideaalist kõrvale kalduma? Tulevikku vaadates on mitmeid kaalutlusi. Esiteks hindame rataste joondust staatilise pildi alusel, kui sõiduk seisab. Kes ütles, et liikumisel, autoga kiirendamisel, pidurdamisel ja manööverdamisel see ei muutu? Teiseks ei ole rehvikadude vähendamine ja rehvi eluea pikendamine alati esmatähtis. Enne kui räägime sellest, milliseid tegureid vedrustuste arendajad arvestavad, leppigem kokku, et suurest hulgast auto vedrustuse geomeetriat kirjeldavatest parameetritest piirdume vaid nendega, mis kuuluvad põhi- või põhirühma. . Neid nimetatakse nii, kuna need määravad ära vedrustuse häälestuse ja omadused, neid jälgitakse alati selle diagnoosimise ajal ja reguleeritakse, kui selline võimalus on ette nähtud. Need on hästi tuntud juhttelje sisse-, kalde- ja kaldenurgad. Nende kriitiliste parameetrite kaalumisel peame meeles pidama vedrustuse muid omadusi.

Püramiid koosneb 203 kihist kiviplokkidest, mis kaaluvad 2,5–15 tonni. Mõned püramiidi põhjas olevad klotsid kaaluvad kuni 50 tonni. Esialgu oli kogu püramiid kaetud peene valge ja poleeritud lubjakivist kestaga, kuid kivi kasutati ehituseks, eriti pärast piirkonna sagedasi maavärinaid.

Püramiidi kaal on võrdeline Maa kaaluga 1: 10. Püramiidi maksimum on 280 Egiptuse küünart ja baaspindala on 440 Egiptuse küünart. Kui põhiskeem jagada püramiidi topeltkõrgusega, saame Ludolphi arvu - 3. Ludolphi arvust kõrvalekalle on vaid 0,05%. Aluse alus on võrdne ringi ümbermõõduga, mille raadius on võrdne püramiidi kõrgusega.

Toe-in (TOE) iseloomustab rataste orientatsiooni sõiduki pikitelje suhtes. Iga ratta asendit saab määrata teistest eraldi ja siis räägitakse individuaalsest lähenemisest. See on nurk ratta pöörlemistasandi ja sõiduki telje vahel ülaltvaates. Ühe telje rataste kogukonvergents (või lihtsalt konvergents). nagu nimigi ütleb, on üksikute nurkade summa. Kui rataste pöörlemistasandid ristuvad auto ees, on varvas sissetõmbumine positiivne (toe-in), kui taga - negatiivne (toe-out). Viimasel juhul saame rääkida rataste joondamisest.
Kohandusandmetes on mõnikord konvergents antud mitte ainult nurga, vaid ka lineaarse väärtusena. See on tingitud asjaolust. et rataste kokkupõrget hinnatakse ka veljeäärikute vahekauguste erinevuse järgi, mõõdetuna nende keskpunktide tasemel telje taga ja ees.

Olgu tõde milline tahes, võib-olla tunnevad arheoloogid kindlasti ära näiteks muistsete ehitajate oskused. Flinders Petrie järeldas, et mõõtmisvead olid nii väikesed, et ta kattis sõrme. Koridoreid ühendavad seinad, mis langevad 107 m püramiidi keskmesse, näitasid ideaalsest täpsusest vaid 0,5 cm kõrvalekallet. Kas suudame selgitada vaaraopüramiidi saladust, arhitektide ja ehitajate pedantsust või tundmatut Egiptuse maagiat või lihtsat vajadust hoida mõõtmed võimalikult lähedal, et püramiidist saadav kasu oleks maksimaalne?

Erinevates allikates, sealhulgas tõsises tehnilises kirjanduses, on sageli viidatud versioonile, mille kohaselt on rataste joondamine vajalik kaldenurga kõrvalmõjude kompenseerimiseks. Nad ütlevad, et rehvi deformatsiooni tõttu kontaktpinnas võib "kokkuvarisenud" ratast kujutada koonuse alusena. Kui rattad on paigaldatud positiivse kaldenurgaga (miks pole veel oluline), kipuvad need erinevatesse suundadesse "välja veerema". Selle vastu võitlemiseks viiakse rataste pöörlemistasandid kokku.(Jn 20)

Kas see on lihtsalt kokkusattumus, et see arv tähistab kaugust Päikesest, mis on esitatud miljonites miilides? Egiptuse küünar on täpselt ühe kümne millimeetri raadiuses Maast. Suur püramiid väljendab Maa ümbermõõdu ja raadiuse suhet 2p. Ring Ringi ruudu pindala on 023 jalga.

Ta käsitleb ka Nazca, Suure püramiidi ja Egiptuse hieroglüüfide tekstide sarnasusi. Bowles märgib, et suur püramiid ja Nazca platoo asuvad ekvaatoril, kui põhjapoolus asub Alaska kaguosas. Koordinaatide ja sfäärilise trigonomeetria abil demonstreerib raamat tähelepanuväärset seost kolme punkti – iidsete paikade – vahel.

Pean ütlema, et versioon ei ole armutu, kuid ei talu kriitikat. Kasvõi juba sellepärast, et see eeldab ühemõttelist seost kollapsi ja lähenemise vahel. Pakutud loogikat järgides tuleb negatiivse kaldenurgaga rattad paigaldada ebakõlaga ja kui kaldenurk on null, siis ei tohiks ka varvast olla. Tegelikkuses pole see sugugi nii.

Muidugi on see seos olemas ka Suure Püramiidi, Nazca platvormi ja "iidse joone" telje vahel, sõltumata sellest, kus asub põhjapoolus. Seda seost saab kasutada kolme punkti ja tasapinna vahelise kauguse määramiseks. Kuninglikus kambris on diagonaal 309 idaseinast, kaugus kambrist on 412, keskmine diagonaal 515.

Ollantaytambo, Suure püramiidi ja teljepunkti vahelised kaugused "iidsel joonel" väljendavad sama geomeetrilist seost. 3-4 Suure püramiidi kaugus Ollantaytambost on täpselt 30% Maa perifeeriast. Kaugus Suurest Püramiidist Machu Picchu ja Alaskal asuva teljepunktini on 25% Maa ümbermõõdust. Selle võrdhaarse kolmnurga kõrgusele venitades saame kaks täisnurkset kolmnurka, mille küljed on vahemikus 15% kuni 20% - 25%.

Tegelikkus järgib, nagu tavaliselt, keerulisemaid ja mitmetähenduslikumaid mustreid.. Kallutatud ratta veeremisel mõjub kontaktikohas tõepoolest külgjõud, mida sageli nimetatakse kambertõukejõuks. See tekib rehvi elastse deformatsiooni tagajärjel külgsuunas ja toimib kalde suunas. Mida suurem on ratta kaldenurk, seda suurem on kumeruse tõukejõud. Just seda kasutavad kaherattaliste sõidukite – mootorrataste ja jalgrataste – juhid kurvides. Neil piisab rata kallutamisest, et see "ette kirjutama" kõverat trajektoori, mida saab korrigeerida vaid rooliseadmega. Kambertõukejõud mängib olulist rolli ka sõidukite manööverdamisel, millest tuleb juttu allpool. Seega on ebatõenäoline, et seda tuleks teadlikult kompenseerida lähenemisega. Ja sõnum ise on see, et positiivse kaldenurga tõttu kipuvad rattad keerama väljapoole, st. lahknevuse suunas, on vale. Vastupidi, juhitavate rataste vedrustuse konstruktsioon on enamikul juhtudel selline, et positiivse kumeruse korral kipub selle tõukejõud suurendama toe-in-i. Seega pole "kambri kõrvalmõjude kompenseerimisega" midagi pistmist. Mõju iseloom ja sügavus (ja seega ka tulemus) sõltuvad paljudest asjaoludest: veoratas kas veereb vabalt, juhitakse või mitte, lõpuks vedrustuse kinemeetikast ja elastsusest. Seega mõjub vabalt veerevale autorattale pikisuunas veeretakistusjõud. See tekitab paindemomendi, mis kaldub pöörama ratast vedrustuse kinnituspunktide suhtes lahknemise suunas. Kui auto vedrustus on jäik (näiteks ei ole lõhestunud ega väändetala), siis pole mõju kuigi märkimisväärne. Sellegipoolest on see kindlasti nii, sest "absoluutne jäikus" on puhtalt teoreetiline termin ja nähtus. Lisaks sellele ei määra ratta liikumist mitte ainult vedrustuselementide elastne deformatsioon, vaid ka nende liigendites, rattalaagrites jne olevate konstruktsioonivahede kompenseerimine.
Suure painduvusega vedrustuse puhul (mis on tüüpiline näiteks elastsete puksidega kangikonstruktsioonidele) tõuseb tulemus kordades. Kui ratas pole mitte ainult vabalt veeretav, vaid ka juhitav, muutub olukord keerulisemaks. Täiendava vabadusastme ilmumise tõttu roolis on sama takistusjõu kahekordne mõju. Esivedrustuses painduvale momendile lisandub moment, mis kipub ratast ümber roolitelje keerama. Pöördemoment, mille suurus sõltub pöördtelje asendist, mõjutab roolimehhanismi osi ning annab tänu nende painduvusele olulise panuse ka ratta varba muutumisse liikumisel. Olenevalt sissesõiduõlast võib pöördemomendi panus olla pluss- või miinusmärgiga. See tähendab, et see võib kas suurendada rataste varba väljaulatumist või sellele vastu astuda. Kui te ei võta seda kõike arvesse ja paigaldate rattad algselt nullvarbaga, võtavad need liikumisel lahkneva asendi. See "voolab" tagajärjed, mis on tüüpilised varvaste reguleerimise rikkumiste korral: suurenenud kütusekulu, saehammaste turvise kulumine ja probleemid käsitsemisega, millest tuleb juttu hiljem.
Liikumistakistus sõltub sõiduki kiirusest. Seetõttu oleks ideaalne lahendus muudetav varvas, mis tagab sama ideaalse rataste joonduse kõigil kiirustel. Kuna seda on raske teha, on ratas eelnevalt "lamandaks tehtud", et saavutada reisikiirusel minimaalne rehvide kulumine. Veoteljel asuv ratas on suurema osa ajast allutatud veojõule. See ületab liikumisele vastupanujõudu, nii et resultantjõud suunatakse liikumise suunas. Sama loogikat rakendades saame, et sel juhul tuleb rattad staatikas seada ebakõlaga. Sarnase järelduse võib teha ka juhitavate veorataste kohta.
Parim tõe kriteerium on praktika. Kui vaatate seda silmas pidades kaasaegsete autode reguleerimisandmeid, võite olla pettunud, et ei leia suurt erinevust taga- ja esiveoliste mudelite rataste joonduses. Enamikul juhtudel on nii neil kui ka teistel see parameeter positiivne. Kui just esiveoliste sõidukite seas pole, on "neutraalse" varba reguleerimise juhtumid tavalisemad. Põhjus ei ole selles, et ülalkirjeldatud loogika pole õige. Lihtsalt konvergentsi väärtuse valimisel arvestatakse koos pikijõudude kompenseerimisega ka muid kaalutlusi, mis muudavad lõpptulemust. Üks olulisemaid on sõiduki optimaalse juhitavuse tagamine. Sõidukite kiiruste ja dünaamika kasvuga muutub see tegur üha olulisemaks.
Juhitavus on mitmetahuline kontseptsioon, mistõttu tasub selgitada, et rataste joondamine mõjutab kõige olulisemalt auto sirgjoonelise trajektoori stabiliseerumist ja käitumist pöörde sissepääsul. Seda mõju saab selgelt seletada juhitavate rataste näitega.

Oletame, et sirgjooneliselt liikudes mõjutab üks neist juhuslikult tee ebatasasusest tulenevat häiret. Suurenenud tõmbejõud pöörab ratast väheneva toe-in suunas. Roolimehhanismi kaudu edastatakse löök teisele rattale, mille lähenemine, vastupidi, suureneb. Kui algselt on ratastel positiivne sisselõige, siis esimesel vastupanujõud väheneb ja teisel suureneb, mis tõrjub häiret. Kui konvergents on null, ei ole vastumõju, ja kui see on negatiivne, tekib destabiliseeriv moment, mis aitab kaasa nördimuse tekkele. Sellise varvaste reguleerimisega auto küürib teed, seda tuleb pidevalt juhtida, mis on tavalise maanteeauto jaoks vastuvõetamatu.
Sellel "mündil" on miinus, positiivne külg - negatiivne varvas võimaldab teil saada roolilt kiireima vastuse. Juhi väikseimgi tegevus kutsub koheselt esile järsu trajektoori muutuse – auto manööverdab meelsasti, "nõustub" kergesti pöörama. Seda varvaste reguleerimist kasutatakse motospordis kogu aeg.

Need, kes vaatavad telesaateid WRC meistrivõistlustest, on ilmselt pööranud tähelepanu sellele, kui aktiivselt peab roolis töötama seesama Loeb või Grönholm, isegi suhteliselt sirgetel rajalõikudel. Sarnaselt mõjub auto käitumisele ka tagasilla sisselöömine – kuni väikese lahknevuseni toe-in-i vähendamine suurendab silla "liikuvust". Seda efekti kasutatakse sageli alajuhitavuse kompenseerimiseks sellistes sõidukites nagu esirattaveolised mudelid, mille esitelg on ülekoormatud.
Seega kujutavad reguleerimisandmetes toodud staatilised toe-in parameetrid omamoodi superpositsiooni ja mõnikord ka kompromissi soovi vahel säästa kütust ja kummi ning saavutada autole optimaalsed juhitavad omadused. Pealegi on märgata, et viimastel aastatel on levinud just viimane.

Kamber on parameeter, mis vastutab ratta orientatsiooni eest teepinna suhtes. Peame meeles, et ideaalis peaksid need olema üksteisega risti, s.t. kokkuvarisemist ei tohiks olla. Enamik maanteesõidukeid siiski teeb. Mis nipp see on?

Viide.
Kamber peegeldab ratta orientatsiooni vertikaali suhtes ja seda määratletakse kui nurga vertikaali ja ratta pöörlemistasandi vahel. Kui ratas on tegelikult “katki”, st. selle ülaosa on väljapoole kaldu, peetakse kumerust positiivseks. Kui ratas on kere poole kaldu, on kalle negatiivne.

Kuni viimase ajani oli kalduvus rattaid lõhkuda, st. anda kaldenurkadele positiivsed väärtused. Paljud kindlasti mäletavad autoteooria õpikuid, milles kaldega rataste paigaldamist seletati sooviga jaotada koormus ümber välimise ja sisemise rattalaagrite vahel. Nagu positiivse kaldenurgaga, langeb suurem osa sellest sisemisele laagrile, mida on lihtsam massiivsemaks ja vastupidavamaks muuta. Selle tulemusena on laagrikoostu vastupidavus kasulik. Lõputöö ei ole kuigi veenev, kasvõi sellepärast, et kui see on tõsi, siis ainult ideaalse olukorra jaoks - auto sirgjooneline liikumine absoluutselt tasasel teel. On teada, et isegi kõige väiksemate manöövrite ja sõidu ebakorrapärasuste ajal kogeb laagrikoost dünaamilisi koormusi, mis on suurusjärgu võrra suuremad kui staatilised jõud. Jah, ja neid ei levitata täpselt nii, nagu positiivne kumerus "dikteerib".

Mõnikord püüavad inimesed tõlgendada positiivset kumerust lisameetmena, mille eesmärk on sissemurdmisõla vähendamine. Kui me tutvume selle roolivedrustuse olulise parameetriga, saab selgeks, et see mõjutamisviis pole kaugeltki kõige edukam. Seda seostatakse samaaegse rööpmelaiuse ja ratta roolitelje kaldenurga muutumisega, mis on tulvil soovimatuid tagajärgi. Sissemurdmise õla vahetamiseks on sirgemaid ja vähem valusaid võimalusi. Samuti ei ole selle minimeerimine alati vedrustuse disainerite eesmärk.

Veenvam versioon on see, et positiivne kumerus kompenseerib rataste nihke, mis tekib teljekoormuse suurenemisel (sõiduki koormuse suurenemise või selle massi dünaamilise ümberjaotamise tagajärjel kiirendamisel ja pidurdamisel). Enamiku kaasaegsete vedrustustüüpide elastokinemaatilised omadused on sellised, et ratta massi suurenemisega väheneb kaldenurk. Selleks, et tagada rataste maksimaalne haardumine teega, on loogiline need enne veidi "lõhkuda". Pealegi ei mõjuta kumerus mõõdukates annustes oluliselt veeretakistust ega rehvide kulumist.

Sõiduki hea stabiilsuse tagamiseks ei piisa sellest, et kaldenurgad on staatikas negatiivsed. Vedrustuse projekteerijad peavad tagama, et rattad jääksid optimaalsesse asendisse või selle lähedale kõikides sõidutingimustes. Seda pole lihtne teha, kuna manöövrite ajal põhjustavad kõik kere asendi muutused, millega kaasneb vedrustuselementide nihkumine (nokimised, külgmised veeremised jne), kaldenurga olulist muutust. Kummalisel kombel on seda probleemi lihtsam lahendada sportautodel, millel on "raevukas" vedrustus, mida iseloomustavad kõrge nurga jäikus ja lühikesed käigud. Siin erinevad kumeruse (ja varba) staatilised väärtused kõige vähem sellest, kuidas need dünaamikas välja näevad.

On olemas lahendused kaldenurga muutuste minimeerimiseks ja nendele muutustele soovitud "trendi" andmiseks. Näiteks on soovitav, et kurvis jääks enim koormatud välimine ratas samasse optimaalsesse asendisse - kerge negatiivse kallega. Selleks peaks kere veeremisel ratas sellele veelgi rohkem "üle veerema", mis saavutatakse vedrustuse juhtelementide geomeetria optimeerimisega. Lisaks püüavad nad ise kererulli vähendada, kasutades selleks pidurivardaid.
On aus öelda, et vedrustuse elastsus ei ole alati stabiilsuse ja juhitavuse vaenlane. "Heades kätes" soosib elastsus seevastu neid. Näiteks tagasilla rataste "isejuhtimise" efekti oskusliku kasutamisega. Vestlusteema juurde tagasi tulles võib kokku võtta, et sõiduautode tehnilistes andmetes märgitud kaldenurgad erinevad oluliselt sellest, mis need nurgas olema saavad.

Meie poolt käsitletud kumerus ja varvas on parameetrid, mis määratakse auto kõigi nelja ratta jaoks. Järgmisena keskendume nurgakarakteristikutele, mis on seotud ainult juhitavate ratastega ja määravad nende pöörlemistelje ruumilise orientatsiooni.

Teatavasti määrab auto rooli roolitelje asendi kaks nurka: piki- ja põiki. Miks mitte muuta pöördetelg rangelt vertikaalseks? Erinevalt kollapsi ja konvergentsi juhtumitest on vastus sellele küsimusele ühemõttelisem. Siin on nad praktiliselt üksmeelsed, vähemalt pikisuunalise kaldenurga osas - ratas.

Kui olete juba tuttav trigonomeetriline ring , ja soovite lihtsalt värskendada oma mälu üksikute elementide kohta või olete täiesti kannatamatu, siis siin see on:

Siin analüüsime kõike üksikasjalikult samm-sammult.

Trigonomeetriline ring ei ole luksus, vaid vajadus

Trigonomeetria paljud seostavad läbimatu tihnikuga. Järsku nii palju trigonomeetriliste funktsioonide väärtusi, nii palju valemeid ...

Väga oluline on mitte käega vehkida trigonomeetriliste funktsioonide väärtused, - öeldakse, väärtuste tabeliga saab alati kannusesse vaadata.

Kui vaatate pidevalt trigonomeetriliste valemite väärtustega tabelit, siis vabaneme sellest harjumusest!

Aitab meid hädast välja! Töötate sellega mitu korda ja siis hüppab see teile pähe. Miks see on parem kui laud? Jah, tabelist leiate piiratud arvu väärtusi, kuid ringilt - KÕIK!

Näiteks öelge sisse vaadates trigonomeetriliste valemite väärtuste standardtabel mis on siinus näiteks 300 kraadist või -45.

Mitte mingil juhul? .. saate muidugi ühendada redutseerimisvalemid… Ja vaadates trigonomeetrilist ringi, saab sellistele küsimustele kergesti vastata. Ja varsti saate teada, kuidas!

Ja trigonomeetriliste võrrandite ja võrratuste lahendamisel ilma trigonomeetrilise ringita - üldiselt mitte kuskil.

Tutvustame trigonomeetrilist ringi

Lähme järjekorras.

Esmalt kirjutame välja järgmised numbrite jadad:

Ja nüüd see:

Ja lõpuks nii:

Muidugi on selge, et tegelikult on see esimesel kohal, teisel kohal ja viimasel -. See tähendab, et oleme ahela vastu rohkem huvitatud.

Aga kui ilus see välja tuli! Sel juhul taastame selle "imeredeli".

Ja miks me seda vajame?

See ahel on siinuse ja koosinuse peamised väärtused esimeses kvartalis.

Joonistame ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis ühikulise raadiusega ringi (see tähendab, et võtame suvalise raadiuse piki pikkust ja kuulutame selle pikkuse ühikuks).

"0-Start" kiirelt jätke kõrvale nurgad noole suunas (vt joonis).

Ringil saame vastavad punktid. Nii et kui projitseerime punktid igale teljele, siis tuleme välja just ülaltoodud ahela väärtuste juures.

Miks see nii on, küsite?

Me ei analüüsi kõike. Kaaluge põhimõte, mis võimaldab teil toime tulla teiste sarnaste olukordadega.

Kolmnurk AOB - ristkülikukujuline, selles. Ja me teame, et nurga b vastas asub pool hüpotenuusi suurusest jalg (meie hüpotenuus = ringi raadius, see tähendab 1).

Seega AB = (ja seega OM =). Ja Pythagorase teoreemi järgi

Loodetavasti hakkab midagi juba selgeks saama?

Nii et punkt B vastab väärtusele ja punkt M - väärtusele

Samamoodi ka ülejäänud esimese kvartali väärtustega.

Nagu aru saate, on meile tuttav telg (härg). koosinustelg ja (oy) telg on siinustelg ... hiljem.

Koosinusteljel nullist vasakul (siinusteljel alla nulli) on loomulikult negatiivsed väärtused.

Niisiis, siin ta on, Kõikvõimas, ilma milleta pole trigonomeetrias kusagil.

Aga kuidas trigonomeetrilist ringi kasutada, sellest räägime.

Nurkade loendamine trigonomeetrilisel ringil.

Tähelepanu!
On olemas täiendavaid
materjalid erijaos 555.
Neile, kes on väga "mitte väga ..."
Ja neile, kes on "väga ühtlased ...")

See on peaaegu sama, mis eelmises õppetükis. Seal on teljed, ring, nurk, kõik on lõug-chinarem. Lisatud veerandinumbrid (suure ruudu nurkades) - esimesest neljandani. Ja siis äkki kes ei tea? Nagu näete, on veerandid (neid nimetatakse ka ilusaks sõnaks "kvadrandid") nummerdatakse vastupäeva. Telgede nurga lisaväärtused. Kõik on selge, probleeme pole.

Ja lisatud on roheline nool. Plussiga. Mida see tähendab? Lubage mul teile meelde tuletada, et nurga fikseeritud külg alati naelutatud positiivse OX pooltelje külge. Niisiis, kui me keerame nurga liikuva külje mööda noolt plussmärgiga, st. kvartalinumbrite kasvavas järjekorras, nurk loetakse positiivseks. Näiteks on pildil positiivne nurk + 60 °.

Kui nurgad edasi lükata vastupidises suunas, päripäeva, nurk loetakse negatiivseks. Liigutage kursor pildi kohale (või puudutage tahvelarvutis pilti), näete sinist noolt, millel on miinus. See on nurkade negatiivse lugemise suund. Näitena on näidatud negatiivne nurk (-60 °). Ja näete ka, kuidas telgedel olevad numbrid on muutunud... Tõlkisin need ka negatiivseteks nurkadeks. Kvadrandi nummerdamine ei muutu.

Siit algavad tavaliselt esimesed arusaamatused. Kuidas nii !? Ja mis siis, kui negatiivne nurk ringil langeb kokku positiivsega!? Ja üldiselt selgub, et üht ja sama liikuva külje (või numbriringi punkti) asukohta võib nimetada nii negatiivseks kui ka positiivseks nurgaks !?

Jah. Täpselt nii. Oletame, et 90-kraadine positiivne nurk võtab ringi täpselt sama positsiooni negatiivse nurgana miinus 270 kraadi. Positiivne nurk, näiteks + 110 ° kraadi, on vajalik täpselt sama positsiooni negatiivse nurgana -250 °.

Pole probleemi. Kõik on õige.) Nurga positiivse või negatiivse arvutuse valik sõltub ülesande olukorrast. Kui seisund ei ütle midagi lihttekstina nurga märgi kohta (näiteks "määrake väikseim positiivne nurk" jne), siis töötame meile sobivate väärtustega.

Erandiks (ja kuidas ilma nendeta ?!) on trigonomeetrilised ebavõrdsused, kuid seal saame selle triki selgeks.

Nüüd küsimus teile. Kuidas ma teadsin, et 110 ° nurga asend on sama mis -250 ° nurga asend?
Annan vihje, et see on tingitud täiskäibest. 360 ° ... Kas pole selge? Seejärel joonistage ring. Joonistame ise paberile. Nurga märgistamine umbes 110 °. JA kaaluma kui palju jääb täiskäibeni. See jääb vaid 250 ° ...

Sain aru? Ja nüüd - tähelepanu! Kui ringil on nurgad 110 ° ja -250 ° sama positsioon, mis siis? Jah, seda 110 ° ja -250 ° nurkade all täpselt sama siinus, koosinus, puutuja ja kotangens!
Need. sin110 ° = sin (-250 °), ctg110 ° = ctg (-250 °) ja nii edasi. See on juba väga oluline! Ja iseenesest - on palju ülesandeid, kus on vaja avaldisi lihtsustada ning aluseks hilisemale redutseerimisvalemite ja muude trigonomeetriatarkuste väljatöötamisele.

Ilmselgelt võtsin 110 ° ja -250 ° juhuslikult, puhtalt näitena. Kõik need võrdsused töötavad kõigi nurkade puhul, mis asuvad ringil sama positsiooniga. 60 ° ja -300 °, -75 ° ja 285 ° jne. Märgin kohe, et nende paaride nurgad - mitmesugused. Kuid nende trigonomeetrilised funktsioonid - sama.

Ma arvan, et saate aru, mis on negatiivsed nurgad. See on üsna lihtne. Vastupäeva - positiivne arv. Teel – negatiivne. Kaaluge positiivset või negatiivset nurka oleneb meist endist... Meie soovist. Noh, ja loomulikult ka ülesandest ... Loodan, et saate aru, kuidas trigonomeetrilistes funktsioonides lülituda negatiivsetelt nurkadelt positiivsetele nurkadele ja vastupidi. Joonista ring, ligikaudne nurk ja vaata, kui palju on puudu täispöördeni, s.t. kuni 360 °.

Nurgad üle 360°.

Käsitleme nurki, mis on suuremad kui 360 °. Ja kas selliseid on? Neid on muidugi. Kuidas neid ringile joonistada? Pole probleemi! Oletame, et peame välja selgitama, millisesse kvartalisse 1000 ° nurk langeb? Lihtsalt! Teeme ühe täispöörde vastupäeva (nurk anti meile positiivseks!). 360° lahti keritud. Noh, lähme edasi! Veel üks pööre - juba sai 720 °. Kui palju on jäänud? 280 °. Täispöördeks ei piisa ... Kuid nurk on üle 270 ° - ja see on piir kolmanda ja neljanda kvartali vahel. Nii et meie 1000 ° nurk langeb neljandasse kvartalisse. Kõik.

Nagu näete, on see üsna lihtne. Lubage mul veel kord meelde tuletada, et nurk 1000 ° ja nurk 280 °, mille saime "lisa" täispöörete kõrvalejätmisega, on rangelt võttes mitmesugused nurgad. Kuid trigonomeetrilised funktsioonid toimivad nende nurkade all täpselt sama! Need. sin1000 ° = sin280 °, cos1000 ° = cos280 ° jne. Kui ma oleksin siinus, ei märkaks ma nende kahe nurga erinevust ...

Miks sa seda kõike vajad? Miks me peame nurgad ühelt teisele tõlkima? Jah, kõik sama eest.) Väljendite lihtsustamiseks. Avaldiste lihtsustamine on tegelikult koolimatemaatika põhiülesanne. Noh, tee peal treenib pea.)

Noh, harjutame?)

Vastame küsimustele. Esialgu lihtne.

1. Millises veerandis langeb nurk -325 °?

2. Millisesse veerandisse langeb nurk 3000 °?

3. Millises kvartalis langeb nurk -3000 °?

Kas on probleem? Või ebakindlus? Läheme jaotisse 555, Praktiline töö trigonomeetrilise ringiga. Seal, selle väga "Praktilise töö ..." esimeses õppetükis on kõik üksikasjalikult kirjeldatud ... selline ebakindluse küsimused ei peaks!

4. Mis märki on sin555 °?

5. Mis on tg555 ° märk?

Kas olete tuvastanud? Hästi! Kahtlus? See peaks olema jaotises 555 ... Muide, seal saate teada, kuidas tõmmata trigonomeetrilisele ringile puutujat ja kotangenti. Väga kasulik asi.

Ja nüüd on küsimused targemad.

6. Vähendage avaldis sin777 ° väikseima positiivse nurga siinuseni.

7. Tahandage avaldis cos777 ° suurima negatiivse nurga koosinuseni.

8. Vähendage avaldis cos (-777 °) väikseima positiivse nurga koosinuseni.

9. Taanda avaldis sin777 ° suurima negatiivse nurga siinuseni.

Kas olete küsimustest 6–9 hämmingus? Harjuge sellega eksamil ja selliseid sõnastusi ei leita ... Olgu nii, ma tõlgin. Ainult sinu jaoks!

Sõnad "andke väljend ..." tähendavad väljendi teisendamist nii, et see vastaks selle tähendusele pole muutunud ja välimus on muutunud vastavalt ülesandele. Niisiis, ülesannetes 6 ja 9 peaksime saama siinuse, mille sees on väikseim positiivne nurk. Kõik muu ei oma tähtsust.

Annan vastused järjekorras (rikkudes meie reegleid). Aga mis teha, on ainult kaks märki ja ainult neli neljandikku ... Variantides ei jookse ära.

6.sin57 °.

7.cos (-57 °).

8.cos57 °.

9.-sin (-57 °)

Ma arvan, et vastused küsimustele 6-9 ajasid mõned segadusse. Eriti -sin (-57 °), eks?) Tõepoolest, nurkade lugemise elementaarsetes reeglites on ruumi eksimustele ... Sellepärast pidin tegema õppetunni: "Kuidas määrata funktsioonide märke ja tuua nurki trigonomeetrilisel ringil?" Paragrahv 555. Seal sorteeritakse ülesanded 4-9. Hästi lahti võetud, koos kõigi lõksudega. Ja nad on siin.)

Järgmises tunnis käsitleme salapäraseid radiaane ja pi-arve. Õpime, kuidas lihtsalt ja õigesti teisendada kraadid radiaanideks ja vastupidi. Ja me oleme üllatunud, kui avastame, et see elementaarne teave saidil juba piisavalt mõne mittestandardse trigonomeetria ülesande lahendamiseks!

Kui teile meeldib see sait...

Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)

Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Kiire valideerimise testimine. Õppimine – huviga!)

saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.